Koulutus jää jäljelle sen jälkeen, kun kaikki koulussa opetettu unohdetaan.

Novosibirskin tutkija Igor Khmelinsky, joka työskentelee nyt Portugalissa, osoittaa, että ilman tekstien ja kaavojen suoraa ulkoamista abstraktin muistin kehittyminen lapsilla on vaikeaa. Tässä otteita hänen artikkelistaanOppitunnit koulutusuudistuksista Euroopassa ja entisen Neuvostoliiton maissa"

Oppiminen ulkoa ja pitkäkestoinen muisti

Kertotaulukon tietämättömyydellä on vakavammat seuraukset kuin kyvyttömyys havaita laskutoimituksia laskimella. Pitkäkestoinen muistimme toimii assosiatiivisen tietokannan periaatteella, eli tietyt tiedon elementit ulkoa opetettuna assosioituvat muihin niihin tutustumisen yhteydessä muodostuneiden assosiaatioiden perusteella. Siksi tietopohjan muodostamiseksi millä tahansa aihealueella, esimerkiksi aritmetiikassa, sinun on ensin opittava ainakin jotain ulkoa. Lisäksi äskettäin saapuva tieto siirtyy lyhytaikaisesta muistista pitkäkestoiseen muistiin, jos kohtaamme sen lyhyessä ajassa (useita päiviä) monta kertaa ja mieluiten erilaisissa olosuhteissa (mikä edistää hyödyllisten assosiaatioiden muodostumista). Kuitenkin, koska pysyvässä muistissa ei ole tietoa aritmetiikasta, äskettäin saapuvat tietoelementit liitetään elementteihin, joilla ei ole mitään tekemistä aritmeettisen kanssa - esimerkiksi opettajan persoonallisuus, kadun sää jne. Ilmeisesti sellaisesta ulkoa muistamisesta ei ole mitään todellista hyötyä opiskelijalle - koska assosiaatiot vievät pois tältä ainealueelta, opiskelija ei voi muistaa mitään aritmetiikkaan liittyvää tietoa, paitsi epämääräisiä ajatuksia siitä, että hän on täytynyt joskus kuulla siitä jotain. Tällaisille opiskelijoille puuttuvien assosiaatioiden roolia ovat yleensä erilaiset vihjeet - kopioi kollegalta, käytä ohjaavia kysymyksiä itse ohjauksessa, kaavoja sallittujen kaavojen luettelosta jne. SISÄÄN oikea elämä Ilman kehotusta tällainen henkilö osoittautuu täysin avuttomaksi eikä kykene soveltamaan päässään olevaa tietoa.

Matemaattisen laitteiston, jossa kaavoja ei opeteta ulkoa, muodostuminen on hitaampaa kuin muuten. Miksi? Ensinnäkin uudet ominaisuudet, lauseet, matemaattisten objektien väliset suhteet käyttävät lähes aina joitain aiemmin tutkittujen kaavojen ja käsitteiden ominaisuuksia. Opiskelijan huomion kiinnittäminen uuteen materiaaliin on vaikeampaa, jos näitä piirteitä ei saada lyhyessä ajassa muistista. Toiseksi kaavojen ulkopuolinen tietämättömyys estää ratkaisujen etsimisen merkityksellisiin ongelmiin suurella määrällä pieniä operaatioita, joissa vaaditaan paitsi tiettyjen muunnosten suorittamista, myös näiden liikkeiden järjestyksen tunnistaminen analysoimalla useiden kaavojen soveltamista kaksi tai kolme askelta eteenpäin.

Käytäntö osoittaa, että lapsen älyllinen ja matemaattinen kehitys, tietopohjan ja taitojen muodostuminen tapahtuu paljon nopeammin, jos suurin osa käytetystä tiedosta (ominaisuudet ja kaavat) on päässä. Ja mitä vahvemmin ja pidempään sitä pidetään siellä, sitä parempi.

Matemaatikko Henri Poincaré kirjoitti kirjassaan Science and Method: ”Jos luonto ei olisi kaunis, se ei olisi tuntemisen arvoista, elämä ei olisi kokemisen arvoista. En puhu tässä tietenkään kauneudesta, joka pistää silmään... Tarkoitan sitä syvempää kauneutta, joka avautuu osien harmoniassa, jonka vain mieli käsittää. Hän on se, joka luo pohjan, luo kehyksen tunteitamme hyväilevälle näkyvien värien leikille, ja ilman tätä tukea ohikiivien vaikutelmien kauneus olisi epätäydellinen, kuten kaikki epäselvä ja ohimenevä. Päinvastoin, älyllinen kauneus tuottaa tyydytystä sinänsä.

P.A.M. Dirac kirjoitti: "Teoreettisella fysiikalla on toinenkin varma kehityspolku. Luonnolla on se perustavanlaatuinen piirre, että perusfysikaaliset lait kuvataan matemaattisella teorialla, jonka laitteistolla on poikkeuksellinen voima ja kauneus. Tämän teorian ymmärtämiseksi sinulla on oltava epätavallisen korkea matemaattinen pätevyys.

Seitsemän vuotta sitten ukrainalainen fyysikko (ja taiteilija) Natalia Kondratieva kysyi useilta maailman johtavilta matemaatikoilta: "Mitä ovat kolme matemaattiset kaavat, mielestäsi kaunein?
Puheeseen matemaattisten kaavojen kauneudesta osallistuivat Sir Michael Atiyah ja David Elvarsi Britanniasta, Yakov Sinai ja Alexander Kirillov Yhdysvalloista, Friedrich Herzebruch ja Juri Manin Saksasta, David Ruel Ranskasta, Anatoli Vershik ja Robert Minlos Venäjältä sekä muut matemaatikot eri maat. Ukrainalaisista keskusteluun osallistuivat Kansallisen tiedeakatemian akateemikot Volodymyr Korolyuk ja Anatoli Skorokhod. Osa tällä tavalla saaduista materiaaleista muodosti Natalia Kondratievan julkaisun perustan tieteellistä työtä"Kolme kauneinta matemaattista kaavaa."
- Mikä oli tavoitteesi, kun kysyit matemaatikoilta kauniita kaavoja?
— Jokainen uusi vuosisata tuo tieteellisen paradigman päivityksen. Aivan vuosisadan alussa tunteella, että seisomme kynnyksellä uutta tiedettä, hänen uusi rooli ihmisyhteiskunnan elämässä käännyin matemaatikoiden puoleen kysymyksellä matemaattisten symbolien takana olevien ideoiden kauneudesta, ts. matemaattisten kaavojen kauneudesta.
Jotkut uuden tieteen piirteet voidaan jo havaita. Jos 1900-luvun tiede on hyvin tärkeä rooli Matematiikan "ystävyyttä" fysiikan kanssa pelataan, nyt matematiikka toimii tehokkaasti yhteistyössä biologian, genetiikan, sosiologian, taloustieteen kanssa... Näin ollen tiede tutkii vastaavuuksia. Matemaattiset rakenteet tutkivat eri alueiden ja suunnitelmien elementtien vuorovaikutusten vastaavuuksia. Ja paljon, mitä aiemmin pidimme itsestäänselvyytenä filosofisina lausumina, tiede hyväksyy konkreettisena tiedon.
Tämä prosessi alkoi jo 1900-luvulla. Joten Kolmogorov osoitti matemaattisesti, että satunnaisuutta ei ole, mutta siinä on erittäin suuri monimutkaisuus. Fraktaaligeometria vahvisti monimuotoisuuden yhtenäisyyden periaatteen ja niin edelleen.
- Mitkä kaavat nimettiin kauneimmaksi?
- Täytyy heti sanoa, että kaavoille ei ollut tavoitetta järjestää kilpailua. Kirjeessäni matemaatikoille kirjoitin: ”Ihmiset, jotka haluavat ymmärtää, mitkä lait hallitsevat maailmaa, ottavat polun löytääkseen maailman harmonian. Tämä polku kulkee äärettömyyteen (sillä liike on ikuinen), mutta ihmiset seuraavat sitä silti, koska. on erityinen ilo tavata toinen idea tai idea. Vastauksista kauniita kaavoja koskevaan kysymykseen saattaa olla mahdollista syntetisoida uusi puoli maailman kauneudesta. Lisäksi tämä työ voi olla hyödyllinen tuleville tutkijoille ideana maailman suuresta harmoniasta ja matematiikasta keinona löytää tämä kauneus.
Siitä huolimatta kaavojen joukossa oli selkeitä suosikkeja: Pythagoraan kaava ja Eulerin kaava.
Niitä seurasivat pikemminkin fyysiset kuin matemaattiset kaavat, jotka 1900-luvulla muuttivat käsitystämme maailmasta - Maxwell, Schrödinger, Einstein.
Kauneimpien joukossa ovat myös vielä keskustelun alla olevat kaavat, kuten esimerkiksi fysikaalisen tyhjiön yhtälöt. Myös muita kauniita matemaattisia kaavoja mainittiin.
- Miksi arvelet, että toisen ja kolmannen vuosituhannen vaihteessa Pythagoraan kaava nimettiin yhdeksi kauneimmista?
- Pythagoraan aikana tätä kaavaa pidettiin kosmisen evoluution periaatteen ilmaisuna: kaksi vastakkaista periaatetta (kaksi neliötä, jotka koskettavat kohtisuoraan) synnyttävät kolmannen, joka on yhtä suuri kuin niiden summa. On mahdollista antaa geometrisesti erittäin kauniita tulkintoja.
Ehkä siellä on jonkinlainen alitajuinen, geneettinen muisti noilta ajoilta, jolloin käsite "matematiikka" tarkoitti "tiedettä", ja synteesissä opittiin aritmetiikkaa, maalausta, musiikkia, filosofiaa.
Raphael Khasminsky kirjoitti kirjeessään, että koulussa hän hämmästyi Pythagoraan kaavan kauneudesta, joka suurelta osin määritti hänen kohtalonsa matemaatikona.
Mitä voit sanoa Eulerin kaavasta?
- Jotkut matemaatikot kiinnittivät huomiota siihen, että "kaikki kokoontuivat" siihen, ts. kaikkea upeinta matemaattiset luvut, ja yksikkö on täynnä ääretöntä! Tällä on syvä filosofinen merkitys.
Ei ihme, että Euler löysi tämän kaavan. Suuri matemaatikko teki paljon tuodakseen kauneuden tieteeseen, hän jopa esitteli "kauneusasteen" käsitteen matematiikassa. Pikemminkin hän esitteli tämän käsitteen musiikin teoriassa, jota hän piti osana matematiikkaa.
Euler uskoi, että esteettistä tajua voidaan kehittää ja että tämä tunne on tiedemiehelle välttämätön.
Viittaan viranomaisiin... Grothendieck: "Ymmärrys tästä tai tuosta matematiikasta on niin täydellistä kuin on mahdollista tuntea sen kauneus."
Poincaré: "Matematiikassa on tunne." Hän vertasi matematiikan esteettistä tunnetta suodattimeen, joka valitsee useista ratkaisuista harmonisimman ratkaisun, joka on pääsääntöisesti oikea. Kauneus ja harmonia ovat synonyymejä, ja harmonian korkein ilmentymä on tasapainon maailmanlaki. Matematiikka tutkii tätä lakia olemisen eri tasoilla ja sisällä eri näkökulmia. Ei ihme, että jokainen matemaattinen kaava sisältää yhtäläisyysmerkin.
Uskon, että ihmisen korkein harmonia on ajatuksen ja tunteen harmonia. Ehkä siksi Einstein sanoi, että kirjailija Dostojevski antoi hänelle enemmän kuin matemaatikko Gauss.
Otin Dostojevskin kaavan "Kauneus pelastaa maailman" epigrafiksi matematiikan kauneustyölle. Ja siitä ovat keskustelleet myös matemaatikot.
Ja he olivat samaa mieltä tämän väitteen kanssa?
— Matemaatikot eivät hyväksyneet tai kiistäneet tätä väitettä. He selvensivät sitä: "Kauneuden tiedostaminen pelastaa maailman." Tästä tuli heti mieleen Eugene Wignerin työ tietoisuuden roolista kvanttimittauksissa, jonka hän kirjoitti lähes viisikymmentä vuotta sitten. Tässä työssä Wigner osoitti sen ihmisen tietoisuus vaikuttaa ympäristöön ts. emme vain vastaanota tietoa ulkopuolelta, vaan myös lähetämme ajatuksemme ja tunteemme vastauksena. Tämä työ on edelleen ajankohtainen ja sillä on sekä kannattajia että vastustajia. Toivon todella, että 2000-luvulla tiede todistaa, että tietoisuus kauneudesta edistää maailmamme harmonisointia.

1. Eulerin kaava. Monet näkivät tässä kaavassa symbolin koko matematiikan yhtenäisyydestä, koska siinä "-1 edustaa aritmetiikkaa, i - algebraa, π - geometriaa ja e - analyysiä".

2. Tämä yksinkertainen yhtälö osoittaa, että arvo 0,999 (ja niin edelleen loputtomiin) on yhtä suuri kuin yksi. Monet ihmiset eivät usko, että tämä voi olla totta, vaikka rajateoriaan perustuvia todisteita on useita. Tasa-arvo osoittaa kuitenkin äärettömyyden periaatteen.


3. Tämän yhtälön muotoili Einstein osana uraauurtavaa yleinen teoria suhteellisuusteoria vuonna 1915. Tämän yhtälön oikea puoli kuvaa universumissamme olevaa energiaa (mukaan lukien "pimeä energia"). Vasen puoli kuvaa tila-aikageometriaa. Tasa-arvo kuvastaa sitä tosiasiaa, että Einsteinin yleisessä suhteellisuusteoriassa massa ja energia määräävät geometrian ja samalla kaarevuuden, joka on painovoiman ilmentymä. Einstein sanoi, että yleisen suhteellisuusteorian gravitaatioyhtälöiden vasen puoli, joka sisältää gravitaatiokentän, on kaunis ja ikään kuin marmorista veistetty, kun taas yhtälöiden oikea puoli, joka kuvaa ainetta, on edelleen ruma, kuin olisi tehty tavallisesta puusta.


4. Toinen hallitseva fysiikan teoria - standardimalli - kuvaa kaikkien sähkömagneettisia, heikkoja ja voimakkaita vuorovaikutuksia. alkuainehiukkasia. Jotkut fyysikot uskovat, että se heijastaa kaikkia maailmankaikkeudessa tapahtuvia prosesseja, paitsi pimeää ainetta ja pimeää energiaa, eikä se sisällä painovoimaa. SISÄÄN standardi malli Higgsin bosoni, joka oli vielä viime vuoteen vaikeasti havaittavissa, sopii myös tähän, vaikka kaikki asiantuntijat eivät ole varmoja sen olemassaolosta.


5. Pythagoraan lause on yksi euklidisen geometrian peruslauseista, joka määrittää sivujen välisen suhteen suorakulmainen kolmio. Muistamme hänet koulusta ja uskomme, että lauseen kirjoittaja on Pythagoras. Itse asiassa tätä kaavaa on käytetty siitä lähtien Muinainen Egypti pyramidien rakentamisen aikana.


6. Eulerin lause. Tämä lause loi perustan uudelle matematiikan haaralle - topologialle. Yhtälö muodostaa suhteen palloa topologisesti vastaavien monitahoisten kärkien, reunojen ja pintojen lukumäärän välille.


7. Suhteellisuusteorian erikoisteoria kuvaa liikettä, mekaniikan lakeja ja aika-avaruussuhteita mielivaltaisilla liikenopeuksilla, jotka ovat pienempiä kuin valon nopeus tyhjiössä, mukaan lukien ne, jotka ovat lähellä valonnopeutta. Einstein keksi kaavan, joka kuvaa, että aika ja avaruus eivät ole absoluuttisia käsitteitä, vaan ne ovat suhteellisia havainnointinopeuden mukaan. Yhtälö näyttää kuinka aika laajenee tai hidastuu riippuen siitä, miten ja missä henkilö liikkuu.


8. Euler ja Lagrange saivat yhtälön 1750-luvulla ratkaiseessaan isokronitehtävää. Tämä on ongelma sen käyrän määrittämisessä, jota pitkin raskas hiukkanen osuu kiinteään pisteeseen kiinteä aika, lähtökohdasta riippumatta. Yleisesti ottaen, jos järjestelmässäsi on symmetria, on olemassa vastaava symmetrian säilymislaki.


9. Callan-Symanzika yhtälö. Se on differentiaaliyhtälö, joka kuvaa n-korrelaatiofunktion kehitystä energia-asteikon muutoksen kanssa, jolla teoria määritellään, ja se sisältää teorian beetafunktiot ja poikkeavat mitat. Tämä yhtälö auttoi ymmärtämään kvanttifysiikkaa paremmin.


10. Minimipinnan yhtälö. Tämä yhtäläisyys selittää saippuakuplien muodostumisen.


11. Eulerin suora. Eulerin lause todistettiin vuonna 1765. Hän havaitsi, että kolmion sivujen keskipisteet ja sen korkeuksien kanta ovat samalla ympyrällä.


12. Vuonna 1928 P.A.M. Dirac ehdotti omaa versiotaan Schrödingerin yhtälöstä - joka vastasi A. Einsteinin teoriaa. Tiedemaailma järkyttyi – Dirac löysi elektronin yhtälön puhtaasti matemaattisten manipulaatioiden avulla korkeampien matemaattisten esineiden kanssa, joita kutsutaan spinoreiksi. Ja se oli sensaatio – tähän asti kaikkien suurten fysiikan löytöjen on perustuttava vankkaan kokeellisen tiedon pohjalle. Mutta Dirac uskoi, että puhdas matematiikka, jos se on tarpeeksi kaunista, on luotettava kriteeri johtopäätösten oikeellisuudelle. "Yhtälöiden kauneus on tärkeämpää kuin niiden yhteensopivuus kokeellisen tiedon kanssa. … Vaikuttaa siltä, ​​että jos yrität saada kauneutta yhtälöihin ja sinulla on terve intuitio, olet oikeilla jäljillä.” Hänen laskelmiensa ansiosta positroni - antielektroni - löydettiin, ja hän ennusti "spin" läsnäolon elektronissa - alkuainehiukkasen pyörimisen.


13. J. Maxwell sai hämmästyttäviä yhtälöitä, jotka yhdistivät kaikki sähkön, magnetismin ja optiikan ilmiöt. Merkittävä saksalainen fyysikko, yksi tilastollisen fysiikan perustajista Ludwig Boltzmann sanoi Maxwellin yhtälöistä: "Eikö Jumala piirtänyt näitä kirjaimia?"


14. Schrödingerin yhtälö: Yhtälö, joka kuvaa puhtaan tilan tilan ja ajan muutosta aaltofunktion avulla Hamiltonin kvanttijärjestelmissä. Sillä on sama tärkeä rooli kvanttimekaniikassa kuin Newtonin toisen lain yhtälöllä klassisessa mekaniikassa.

Pääni pyörii monista matemaattisista kaavoista, jotka sinun on tiedettävä. Ahtaaminen ja pinnasängyt ovat heikkoja varten. Mutta niille, jotka haluavat tulla vahvemmiksi matematiikassa, annamme vinkkejä matematiikan kaavojen ulkoa pitämiseen, jotta ne eivät katoa päässäsi ennen koetta, tenttiä tai TT:tä.

Ymmärrä kaava

Jos muistat vain joukon muuttujia, vaarana on "menettää" koko kaava, kun unohdat symbolin tai merkin.

Käytä kaikenlaisia ​​muistia

Lue kaavat ääneen, kirjoita arkille useita kertoja, kunnes muistat. Käytä kaikentyyppisiä muistia keskittyen johtaviin. Visuaalinen ja motorinen muisti yhdessä antavat suuremman vaikutuksen. Tietenkin mahdollisuudet muistaa on jokaisella erilainen. On olemassa erityisiä tekniikoita, jotka auttavat .

Tässä on lisää vinkkejä kaavojen muistamiseen

Muista tehdä kaavoista visuaalisia: ympyröi kaava kehykseen, kirjoita se eri värillä. Joten se on helpompi löytää abstraktisti ja muistaa. Vielä parempi, kirjoita kaavat erilliseen muistikirjaan ja ryhmittele ne aiheittain. Merkitse, minkälaisissa tehtävissä tämä tai tuo kaava on hyödyllinen, mikä on sen erikoisuus. Ota tapa lisätä kaavojen luetteloon. Tällainen "kaavahavaintopäiväkirja" auttaa sinua keräämään tärkeitä tietoja ennen testiä, koetta tai matemaattista TT:tä.

Monet koululaiset tekevät myös näin: kun leimattuja luonnoksia jaetaan, otat ja kirjoitat heti ylös tärkeitä, sinulle vaikeita kaavoja. Puoli tuntia ennen TT:tä opettelit nämä kaavat visuaalisesti ulkoa ja kirjoitit ne sitten nopeasti muistiin. Tämä säästää aikaa. Tämä life hack on erityisen hyvä trigonometriassa. Mitä enemmän kaavoja tiedät, sitä parempi.

Tarkista itse

Sinun on jatkuvasti palattava oppimaan materiaaliin, jotta et unohda sitä. Kokeile "Kaksi korttia" -menetelmää, se sopii pelkistyskaavojen, lyhennettyjen kertolaskujen, trigonometriset kaavat. Ota kaksi pinoa korttia eri väriä, kirjoita toiselle kaavan vasen puoli ja toiselle oikea puoli. Jaa tällä tavalla kaikki kaavat, jotka sinun on muistettava, ja sekoita sitten molemmat kasat. Vedä kortti kaavan vasemmalla puolella järjestykseen ja valitse sen jatko “oikeasta” ja päinvastoin.

Kortit ovat hyviä myös geometriassa

Jos haluat oppia geometriakaavoja ulkoa, hanki itsellesi aihekohtaiset kortit ("Aluekaavat", "Kaavat kolmiolle", "Kaavat neliölle" jne.) ja kirjoita niihin tiedot seuraavasti.

Voit korjata kaavat erilliseen muistikirjaan ja pitää sen aina käden ulottuvilla - kuten haluat

Olla positiivinen

Jos opit jotain paineen alla, aivot itse haluavat päästä eroon tiedon taakasta. Ajattele kaavojen ulkoa opettelemista hyvä harjoitus muistin harjoittelua varten. Kyllä, ja mieliala nousee, kun muistaa oikean ratkaisun.Ja tietysti päätä miten voit lisää testejä ja tehtäviä kokeeseen, tenttiin tai TT:hen valmistautumiseen!

CT:t matematiikassa ovat tyypillisiä tehtäviä: mitä enemmän testejä ratkaiset, sitä suurempi on mahdollisuus kohdata jotain samanlaista kuin CT:t. On mahdotonta valmistautua DT:hen yhdellä tehtävällä. Mutta kun olet ratkaissut 100 ongelmaa, 101 ongelmaa ei aiheuta vaikeuksia.

Dmitri Sudnik, matematiikan opettaja

Jos materiaali oli sinulle hyödyllistä, älä unohda laittaa "Pidän" sosiaalisiin verkostoihimme

Videokurssi "Get an A" sisältää kaikki menestymiseen tarvittavat aiheet kokeen läpäiseminen matematiikassa 60-65 pistettä. Täysin kaikki tehtävät 1-13 profiilikoe matematiikka. Soveltuu myös matematiikan peruskäytön suorittamiseen. Jos haluat läpäistä kokeen 90-100 pisteellä, sinun tulee ratkaista osa 1 30 minuutissa ja ilman virheitä!

Valmennuskurssi tenttiin luokille 10-11 sekä opettajille. Kaikki mitä tarvitset matematiikan tentin osan 1 (ensimmäiset 12 tehtävää) ja tehtävän 13 (trigonometria) ratkaisemiseen. Ja tämä on yli 70 pistettä yhtenäisestä valtionkokeesta, eikä sadan pisteen opiskelija eikä humanisti tule toimeen ilman niitä.

Kaikki tarvittava teoria. Nopeita tapoja tentin ratkaisuja, ansoja ja salaisuuksia. Kaikki osan 1 asiaankuuluvat tehtävät FIPI-pankin tehtävistä on analysoitu. Kurssi täyttää täysin USE-2018:n vaatimukset.

Kurssi sisältää 5 isoa aihetta, kukin 2,5 tuntia. Jokainen aihe on annettu tyhjästä, yksinkertaisesti ja selkeästi.

Satoja koetehtäviä. Tekstiongelmat ja todennäköisyysteoria. Yksinkertaiset ja helposti muistettavat ongelmanratkaisualgoritmit. Geometria. Teoria, viitemateriaali, analyysi kaikentyyppisistä USE-tehtävistä. Stereometria. Ovelia temppuja ratkaisemiseen, hyödyllisiä huijauslehtiä, tilamielikuvituksen kehittäminen. Trigonometria tyhjästä - tehtävään 13. Ymmärtäminen tukkeutumisen sijaan. Monimutkaisten käsitteiden visuaalinen selitys. Algebra. Juuret, potenssit ja logaritmit, funktio ja derivaatta. Pohja kokeen 2. osan monimutkaisten tehtävien ratkaisemiseen.