Suorakulmainen kolmio on kolmio, jossa yksi kulmista on suora, eli yhtä suuri kuin 90 astetta.
- Oikeaa kulmaa vastapäätä olevaa puolta kutsutaan hypotenuusaksi. c tai AB)
- Oikean kulman vieressä olevaa puolta kutsutaan jalaksi. Jokaisella suorakulmaisella kolmiolla on kaksi jalkaa (merkitty muodossa a ja b tai AC ja BC)
Suorakulmaisen kolmion kaavat ja ominaisuudet
Kaavan nimitykset:(katso kuva yllä)
a, b- suorakulmaisen kolmion jalat
c- hypotenuusa
α, β - kolmion terävät kulmat
S- neliö
h- korkeus laskettu ylhäältä oikea kulma hypotenuusaan
m a a vastakkaisesta kulmasta ( α )
m b- sivulle vedetty mediaani b vastakkaisesta kulmasta ( β )
mc- sivulle vedetty mediaani c vastakkaisesta kulmasta ( γ )
AT suorakulmainen kolmio kumpikin jalka on pienempi kuin hypotenuusa(Formula 1 ja 2). Tämä ominaisuus on seuraus Pythagoraan lauseesta.
Minkä tahansa terävän kulman kosini vähemmän kuin yksi (Formula 3 ja 4). Tämä ominaisuus on seurausta edellisestä. Koska mikä tahansa jaloista on pienempi kuin hypotenuusa, jalan suhde hypotenuusaan on aina pienempi kuin yksi.
Hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summa (Pythagoraan lause). (Formula 5). Tätä ominaisuutta käytetään jatkuvasti ongelmien ratkaisemisessa.
Suorakulmaisen kolmion pinta-ala yhtä suuri kuin puolet jalkojen tulosta (Formula 6)
Mediaanien neliösumma jalkoihin on yhtä suuri kuin viisi hypotenuusan mediaanin neliötä ja viisi hypotenuusan neliötä jaettuna neljällä (kaava 7). Edellä mainittujen lisäksi siellä 5 kaavaa lisää, joten on suositeltavaa tutustua myös oppituntiin " Suorakulmaisen kolmion mediaani", joka kuvaa mediaanin ominaisuuksia tarkemmin.
Korkeus suorakulmainen kolmio on yhtä suuri kuin jalkojen tulo jaettuna hypotenuusalla (kaava 8)
Jalkojen neliöt ovat kääntäen verrannollisia hypotenuusaan pudonneen korkeuden neliöön (kaava 9). Tämä identiteetti on myös yksi Pythagoraan lauseen seurauksista.
Hypotenuusan pituus yhtä suuri kuin rajatun ympyrän halkaisija (kaksi sädettä) (kaava 10). Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on rajatun ympyrän halkaisija. Tätä ominaisuutta käytetään usein ongelmanratkaisussa.
Kirjattu säde sisään suorakulmainen kolmio ympyrät löytyy puolikkaana lausekkeesta, joka sisältää tämän kolmion haarojen summan miinus hypotenuusan pituus. Tai jalkojen tulona jaettuna tietyn kolmion kaikkien sivujen (kehän) summalla. (Formula 11)
Kulman sini vastapäätä tämä nurkka jalka hypotenuusaan(sinin määritelmän mukaan). (Formula 12). Tätä ominaisuutta käytetään ongelmien ratkaisemiseen. Kun tiedät sivujen mitat, voit löytää kulman, jonka ne muodostavat.
Kulman A (α, alfa) kosini suorakulmaisessa kolmiossa on yhtä suuri kuin suhde vieressä tämä nurkka jalka hypotenuusaan(sinin määritelmän mukaan). (Formula 13)
Geometristen ongelmien ratkaiseminen vaatii valtavasti tietoa. Yksi tämän tieteen perusmääritelmistä on suorakulmainen kolmio.
Tämä käsite tarkoittaa, että se koostuu kolmesta kulmasta ja
sivuilla, ja yhden kulman arvo on 90 astetta. Suoran kulman muodostavia sivuja kutsutaan jaloiksi, kun taas kolmatta sivua, joka on sitä vastapäätä, kutsutaan hypotenuusaksi.
Jos tällaisen kuvion jalat ovat yhtä suuret, sitä kutsutaan tasakylkiseksi suorakulmaiseksi kolmioksi. Tässä tapauksessa on olemassa kuuluminen kahteen, mikä tarkoittaa, että molempien ryhmien ominaisuuksia havaitaan. Muista, että tasakylkisen kolmion pohjan kulmat ovat ehdottomasti aina yhtä suuret, joten tällaisen kuvan terävät kulmat sisältävät 45 astetta.
Jos jokin seuraavista ominaisuuksista on olemassa, voimme väittää, että yksi suorakulmainen kolmio on yhtä suuri kuin toinen:
- kahden kolmion jalat ovat yhtä suuret;
- hahmoilla on sama hypotenuusa ja yksi jalka;
- hypotenuusa ja mikä tahansa terävistä kulmista ovat yhtä suuret;
- havaitaan jalan tasa-arvo ja terävä kulma.
Suorakulmaisen kolmion pinta-ala voidaan laskea helposti sekä vakiokaavojen avulla että arvona, joka on yhtä suuri kuin puolet sen jalkojen tulosta.
Suorakulmaisessa kolmiossa havaitaan seuraavat suhteet:
- jalka on vain keskiarvo, joka on verrannollinen hypotenuusaan ja sen projektioon siinä;
- jos kuvaat ympyrää suorakulmaisen kolmion ympärillä, sen keskipiste on hypotenuusan keskellä;
- oikeasta kulmasta vedetty korkeus on keskiarvo, joka on verrannollinen kolmion jalkojen projektioihin sen hypotenuusaan.
On mielenkiintoista, että riippumatta siitä, mikä suorakulmainen kolmio on, nämä ominaisuudet huomioidaan aina.
Pythagoraan lause
Yllä olevien ominaisuuksien lisäksi suorakulmaisille kolmioille on ominaista seuraava ehto:
Tämä lause on nimetty sen perustajan mukaan - Pythagoraan lause. Hän havaitsi tämän suhteen, kun hän tutki neliöiden ominaisuuksia
Lauseen todistamiseksi rakennamme kolmion ABC, jonka jalat merkitsemme a ja b sekä hypotenuusa c. Seuraavaksi rakennamme kaksi neliötä. Toinen puoli on hypotenuusa, toinen kahden jalan summa.
Sitten ensimmäisen neliön pinta-ala voidaan löytää kahdella tavalla: neljän kolmion ABC ja toisen neliön pinta-alojen summana tai sivun neliönä, luonnollisesti nämä suhteet ovat yhtä suuret. Tuo on:
kun 2 + 4 (ab/2) = (a + b) 2 , muunnamme tuloksena olevan lausekkeen:
c 2 + 2 ab = a 2 + b 2 + 2 ab
Tuloksena saamme: c 2 \u003d a 2 + b 2
Siten suorakulmaisen kolmion geometrinen kuvio ei vastaa vain kaikkia kolmioille ominaisia ominaisuuksia. Suoran kulman läsnäolo johtaa siihen, että hahmolla on muita ainutlaatuisia suhteita. Heidän tutkimuksensa on hyödyllinen paitsi tieteessä, myös tieteessä Jokapäiväinen elämä, koska sellainen kuvio kuin suorakulmainen kolmio löytyy kaikkialta.
Suorakulmaisen kolmion ominaisuudet
Hyvät seitsemäsluokkalaiset, tiedättekö jo mitä geometrisia kuvioita kutsutaan kolmioksi, tiedät kuinka todistaa merkit niiden tasa-arvosta. Tiedät myös kolmioiden erikoistapaukset: tasakylkiset ja suorakaiteen muotoiset. Tasakylkisten kolmioiden ominaisuudet ovat sinulle tuttuja.
Mutta jopa suorakulmaisilla kolmioilla on monia ominaisuuksia. Yksi ilmeinen liittyy lauseeseen kolmion sisäkulmien summasta: suorakulmaisessa kolmiossa terävien kulmien summa on 90°. Opit suorakulmaisen kolmion hämmästyttävimmän ominaisuuden luokalla 8, kun opit kuuluisaa Pythagoraan lausetta.
Ja nyt puhumme kahdesta tärkeästä ominaisuudesta. Toinen niistä viittaa suorakulmaisiin kolmioihin, joiden kulma on 30°, ja toinen mielivaltaisiin suorakulmaisiin kolmioihin. Muotoilkaamme ja todistakaamme nämä ominaisuudet.
Tiedät hyvin, että geometriassa on tapana muotoilla väitteet todistetuille päinvastoin, kun väitteen ehto ja johtopäätös ovat päinvastaisia. Käänteiset väitteet eivät aina pidä paikkaansa. Meidän tapauksessamme molemmat käänteiset väitteet ovat totta.
Kiinteistö 1.1 Suorakulmaisessa kolmiossa 30° kulman vastainen jalka on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta.
Todistus: Tarkastellaan suorakaiteen muotoista ∆ ABC:tä, jossa ÐA=90°, ÐB=30°, sitten ÐC=60°..gif" width="167" height="41">, mikä oli siis todistettava.
Ominaisuus 1.2 (käänteinen ominaisuudelle 1.1) Jos suorakulmaisen kolmion jalka on puolet hypotenuusasta, niin vastakkainen kulma on 30°.
Kiinteistö 2.1 Suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusaan vedetty mediaani on puolet hypotenuusasta.
Tarkastellaan suorakaiteen muotoista ∆ ABC:tä, jossa ÐB=90°.
BD-mediaani, eli AD=DC. Todistakaamme se.
Tehdään sen todistamiseksi lisäkonstruktio: jatketaan BD:tä pisteen D jälkeen niin, että BD=DN ja yhdistetään N A:een ja C:hen..gif" width="616" height="372 src=">
Annettu: ∆ABC, ÐC=90o, ÐA=30o, ÐBEC=60o, EC=7cm
1. ÐEBC=30o, koska suorakaiteen muotoisessa ∆BCE teräväkulmien summa on 90o
2.BE=14cm (ominaisuus 1)
3. ÐABE=30o, koska ÐA+ÐABE=ÐBEC (kolmion ulkokulman ominaisuus) siis ∆AEB- tasakylkinen AE=EB=14cm.
BC=2AN=20 cm (ominaisuus 2).
Tehtävä 3. Osoita, että hypotenuusaan vedetyn suorakulmaisen kolmion korkeus ja mediaani muodostavat kulman, joka on yhtä suuri kuin kolmion terävien kulmien erotus.
Annettu: ∆ ABC, РВАС=90°, AM-mediaani, AH-korkeus.
Todista: РМАН=РС-РВ.
Todiste:
1) РМАС=РС (ominaisuuden mukaan 2 ∆ AMC-tasokylkinen, AM=CM)
2) RMAN = RMAS-RNAS = Rs-RNAS.
On vielä todistettava, että PNAS = PB. Tämä johtuu siitä tosiasiasta, että РВ+РС=90° (∆ ABC:ssä) ja РНАС+РС=90° (∆ ANS:stä).
Eli РМАН=РС-РВ, joka oli todistettava.
https://pandia.ru/text/80/358/images/image014_39.gif" width="194" height="184">Otettu huomioon: ∆ABC, ÐBAC=90°, AH-korkeus, .
Etsi: РВ, РС.
Ratkaisu: Piirrä AM-mediaani. Olkoon AH=x, sitten BC=4x ja
VM=MS=AM=2x.
Suorakulmaisessa ∆ AMN:ssä hypotenuusa AM on 2 kertaa suurempi kuin jalka AH, joten ÐAMN=30°. Koska VM=AM,
РВ=РВАМ100%">
Jatketaan AC pisteen A jälkeen niin, että AD=AC. Sitten ∆ABC=∆ABD (kahdelle jalalle). BD=BC=2AC=CD, joten ∆DBC on tasasivuinen, ÐC=60o ja RABC=30o.
Tehtävä 5
Tasakylkisessä kolmiossa yksi kulmista on 120o, kanta 10 cm. Etsi sivulle piirretty korkeus.
Ratkaisu: Aluksi huomioidaan, että 120o kulma voi olla vain kolmion kärjessä ja että sivulle vedetty korkeus putoaa sen jatkolle.
AB - tikkaat, K - kissanpentu.
Tikkaiden missä tahansa asennossa, kunnes ne lopulta putosivat maahan ∆ABC-suorakulmainen. SC - mediaani ∆ABC.
Kiinteistön 2 mukaan SK=1/2AB. Toisin sanoen milloin tahansa SC-segmentin pituus on vakio.
Vastaus: Piste K liikkuu ympyrän kaarta pitkin, jonka keskipiste on C ja säde SK=1/2AB.
Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun.
Suorakulmaisen kolmion yksi kulmista on 60° ja hypotenuusan ja pienemmän jalan välinen ero on 4 cm. selvitä hypotenuusan pituus. Suorakaiteen muotoiseen ∆ ABC:hen, jossa hypotenuusa BC ja kulma B on 60o, piirretään korkeus AD. Etsi DC, jos DB = 2 cm. ∆АВС РС=90о, СD - korkeudet, ВС=2ВD. Todista, että AD=3BD. Suorakulmaisen kolmion korkeus jakaa hypotenuusan osiin 3 cm ja 9 cm. Etsi kolmion kulmat ja etäisyys hypotenuusan keskipisteestä suurempaan haaraan. Puolittaja jakaa kolmion kahdeksi tasakylkiseksi kolmioksi. Etsi alkuperäisen kolmion kulmat. Mediaani jakaa kolmion kahdeksi tasakylkiseksi kolmioksi. Onko mahdollista löytää kulmia
alkuperäinen kolmio?
Keskitaso
Suorakulmainen kolmio. Täydellinen kuvitettu opas (2019)
SUORAKULMAINEN KOLMIO. ENSIMMÄINEN TASO.
Ongelmissa suora kulma ei ole ollenkaan välttämätön - alempi vasen, joten sinun on opittava tunnistamaan suorakulmainen kolmio tässä muodossa,
ja sellaisessa
ja sellaisessa 
Mitä hyvää suorakulmaisessa kolmiossa on? No... Ensinnäkin hänen juhliillaan on erityisiä kauniita nimiä.
Huomio piirustukseen!
Muista äläkä sekoita: jalat - kaksi ja hypotenuusa - vain yksi(ainoa, ainutlaatuinen ja pisin)!
No, keskustelimme nimistä, nyt tärkein asia: Pythagoraan lause.
Pythagoraan lause.
Tämä lause on avain monien suorakulmaiseen kolmioon liittyvien ongelmien ratkaisemiseen. Pythagoras todisti sen täysin ikimuistoisina aikoina, ja siitä lähtien se on tuonut monia etuja niille, jotka sen tuntevat. Ja parasta hänessä on, että hän on yksinkertainen.
Niin, Pythagoraan lause:
Muistatko vitsin: "Pythagoran housut ovat tasa-arvoisia joka puolelta!"?
Piirretään nämä hyvin pythagoralaiset housut ja katsotaan niitä. 
Näyttääkö se todella shortsilta? No, millä puolella ja missä ne ovat tasa-arvoisia? Miksi ja mistä vitsi tuli? Ja tämä vitsi liittyy juuri Pythagoraan lauseeseen, tarkemmin sanottuna tapaan, jolla Pythagoras itse muotoili lauseensa. Ja hän muotoili sen näin:
"Summa neliöiden pinta-ala, rakennettu jalkoihin, on yhtä suuri kuin neliön alue rakennettu hypotenuusalle.
Eikö se kuulosta hieman erilaiselta, eikö? Ja niin, kun Pythagoras piirsi lauseensa lausunnon, juuri tällainen kuva osoittautui.
Tässä kuvassa pienten neliöiden pinta-alojen summa on yhtä suuri kuin suuren neliön pinta-ala. Ja jotta lapset muistavat paremmin, että jalkojen neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö, joku nokkela keksi tämän vitsin Pythagoran housuista.
Miksi muotoilemme nyt Pythagoraan lausetta
Kärsikö Pythagoras ja puhuiko neliöistä?
Muinaisina aikoina ei ollut... algebraa! Ei ollut merkkejä ja niin edelleen. Ei ollut kirjoituksia. Voitteko kuvitella kuinka kauheaa oli muinaisten köyhien opiskelijoiden muistaa kaikki sanoin??! Ja voimme olla iloisia siitä, että meillä on yksinkertainen Pythagoraan lauseen muotoilu. Toistetaan se uudelleen muistaakseni paremmin:
Nyt sen pitäisi olla helppoa:
| Hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summa. |
No, tärkein lause suorakulmaisesta kolmiosta keskusteltiin. Jos olet kiinnostunut siitä, miten se todistetaan, lue seuraavat teoriatasot, ja nyt siirrytään ... trigonometrian pimeään metsään! Kauheisiin sanoihin sini, kosini, tangentti ja kotangentti.
Sini, kosini, tangentti, kotangentti suorakulmaisessa kolmiossa.
Itse asiassa kaikki ei ole ollenkaan niin pelottavaa. Tietenkin sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin "todellista" määritelmää tulisi tarkastella artikkelissa. Mutta et todellakaan halua, ethän? Voimme iloita: ratkaistaksesi suorakulmaista kolmiota koskevat ongelmat, voit yksinkertaisesti täyttää seuraavat yksinkertaiset asiat:
Miksi kaikki on kiinni nurkasta? Missä kulma on? Tämän ymmärtämiseksi sinun on tiedettävä, kuinka lauseet 1 - 4 kirjoitetaan sanoin. Katso, ymmärrä ja muista!
1.
Se itse asiassa kuulostaa tältä:
Entä kulma? Onko kulmaa vastapäätä oleva jalka, toisin sanoen vastakkainen jalka (kulmaa varten)? Tietysti on! Tämä on kateti!
Mutta entä kulma? Katso tarkkaan. Mikä jalka on kulman vieressä? Tietenkin kissa. Joten kulman osalta jalka on vierekkäinen ja
Ja nyt huomio! Katso mitä saimme:
Katso kuinka hieno se on:
Siirrytään nyt tangenttiin ja kotangenttiin.
Miten se nyt puetaan sanoiksi? Mikä on jalka suhteessa kulmaan? Tietenkin vastapäätä - se "makaa" nurkkaa vastapäätä. Ja kateti? Kulman vieressä. Mitä saimme?
Katso kuinka osoittaja ja nimittäjä käännetään?
Ja nyt taas kulmat ja vaihto tehty:
Yhteenveto
Kirjoitetaan lyhyesti ylös, mitä olemme oppineet.
 |
Pythagoraan lause: |
Oikean kolmion päälause on Pythagoraan lause.
Pythagoraan lause
Muuten, muistatko hyvin, mitä jalat ja hypotenuusa ovat? Jos ei, katso kuvaa - päivitä tietosi
On mahdollista, että olet jo käyttänyt Pythagoraan lausetta monta kertaa, mutta oletko koskaan miettinyt, miksi tällainen lause on totta. Miten sen todistaisit? Tehdään kuten muinaiset kreikkalaiset. Piirretään neliö, jossa on sivu.
Näet kuinka ovelasti jaoimme sen sivut pituisiksi segmenteiksi ja!
Yhdistetään nyt merkityt pisteet
Tässä kuitenkin huomautimme jotain muuta, mutta sinä itse katsot kuvaa ja mieti miksi.
Mikä on suuremman neliön pinta-ala?
Oikein,.
Entä pienempi alue?
Tietysti, .
Neljän kulman kokonaispinta-ala säilyy. Kuvittele, että otimme niistä kaksi ja nojasimme toisiamme vasten hypotenuusilla.
Mitä tapahtui? Kaksi suorakulmiota. Joten "pistokkaiden" pinta-ala on yhtä suuri.
Laitetaan nyt kaikki yhteen.
Muunnetaan:
Joten vierailimme Pythagorassa - todistimme hänen lauseensa muinaisella tavalla.
Suorakulmainen kolmio ja trigonometria
Suorakulmaiselle kolmiolle pätevät seuraavat suhteet:
Terävän kulman sini on yhtä suuri kuin vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan
Terävän kulman kosini on yhtä suuri kuin viereisen jalan suhde hypotenuusaan.
Terävän kulman tangentti on yhtä suuri kuin vastakkaisen jalan suhde viereiseen jalkaan.
Terävän kulman kotangentti on yhtä suuri kuin viereisen jalan suhde vastakkaiseen jalkaan.
Ja jälleen kerran, kaikki tämä lautasen muodossa:
Se on erittäin mukava!
Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvon merkit
I. Kahdella jalalla
II. Jalkojen ja hypotenuusan kautta
III. Hypotenuusan ja terävän kulman mukaan
IV. Jalkaa pitkin ja terävä kulma
a) 
b) 
Huomio! Tässä on erittäin tärkeää, että jalat ovat "vastaavia". Jos se menee esimerkiksi näin:
SITÄ KOLMIOT EIVÄT OLE SAMALLA, huolimatta siitä, että niillä on yksi identtinen terävä kulma.
Tarvitsee molemmissa kolmioissa jalka oli vierekkäinen tai molemmissa - vastakkainen.
Oletko huomannut, kuinka suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvomerkit eroavat tavallisista kolmioiden tasa-arvomerkeistä?
Katso aihetta "ja kiinnitä huomiota siihen, että "tavallisten" kolmioiden yhtäläisyyteen tarvitaan niiden kolmen elementin yhtäläisyys: kaksi sivua ja niiden välinen kulma, kaksi kulmaa ja niiden välinen sivu tai kolme sivua.
Mutta suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvoon riittää vain kaksi vastaavaa elementtiä. Se on hienoa, eikö?
Suunnilleen sama tilanne, jossa on merkkejä suorakulmaisten kolmioiden samankaltaisuudesta.
Merkkejä suorakulmaisten kolmioiden samankaltaisuudesta
I. Akuutti kulma
II. Kahdella jalalla
III. Jalkojen ja hypotenuusan kautta
Mediaani suorakulmaisessa kolmiossa
Miksi se on niin?
Harkitse kokonaista suorakulmiota suorakulmaisen kolmion sijaan.
Piirretään diagonaali ja tarkastellaan pistettä - diagonaalien leikkauspistettä. Mitä tiedät suorakulmion diagonaaleista?
Ja mitä tästä seuraa?
Niin siinä kävi
- - mediaani:
Muista tämä tosiasia! Auttaa paljon!
Vielä yllättävämpää on, että myös päinvastainen on totta.
Mitä hyötyä voidaan saada siitä, että hypotenuusaan vedetty mediaani on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta? Katsotaanpa kuvaa
Katso tarkkaan. Meillä on: , eli etäisyydet pisteestä kolmion kaikkiin kolmeen kärkeen osoittautuivat yhtä suuriksi. Mutta kolmiossa on vain yksi piste, etäisyydet, joista noin kaikki kolmion kolme kärkeä ovat yhtä suuret, ja tämä on KUVAUTETUN YMPÄRISTÖN KESKUS. Mitä tapahtui?
Joten aloitetaan tästä "paitsi...".
Katsotaanpa i.
Mutta samanlaisissa kolmioissa kaikki kulmat ovat yhtä suuret!
Samaa voidaan sanoa ja
Piirretään se nyt yhdessä:
Mitä hyötyä tästä "kolminkertaisesta" samankaltaisuudesta voi olla.
No esimerkiksi - kaksi kaavaa suorakulmaisen kolmion korkeudelle.
Kirjoitamme vastaavien osapuolten suhteet:
Korkeuden löytämiseksi ratkaisemme suhteet ja saamme ensimmäinen kaava "Korkeus suorakulmaisessa kolmiossa":
Joten sovelletaan samankaltaisuutta: .
Mitä nyt tapahtuu?
Jälleen ratkaisemme suhteet ja saamme toisen kaavan:
Molemmat näistä kaavoista on muistettava erittäin hyvin ja se, jota on helpompi käyttää.
Kirjoitetaan ne uudestaan muistiin.
Pythagoraan lause:
Suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summa:.
Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvomerkit:
- kahdella jalalla:
- jalkaa ja hypotenuusa pitkin: tai
- jalkaa ja sen vieressä olevaa terävää kulmaa pitkin: tai
- jalkaa pitkin ja vastakkaiseen terävään kulmaan: tai
- hypotenuusan ja terävän kulman mukaan: tai.
Merkkejä suorakulmaisten kolmioiden samankaltaisuudesta:
- yksi terävä kulma: tai
- kahden jalan suhteellisuudesta:
- jalan ja hypotenuusan suhteellisuudesta: tai.
Sini, kosini, tangentti, kotangentti suorakulmaisessa kolmiossa
- Suorakulmaisen kolmion terävän kulman sini on vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan:
- Suorakulmaisen kolmion terävän kulman kosini on viereisen jalan suhde hypotenuusaan:
- Suorakulmaisen kolmion terävän kulman tangentti on vastakkaisen jalan suhde viereiseen:
- Suorakulmaisen kolmion terävän kulman kotangentti on viereisen haaran suhde vastakkaiseen:.
Suorakulmaisen kolmion korkeus: tai.
Suorakulmaisessa kolmiossa suoran kulman kärjestä vedetty mediaani on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta: .
Suorakulmaisen kolmion pinta-ala:
- katetrien kautta:
- jalan läpi ja terävässä kulmassa: .
No, aihe on ohi. Jos luet näitä rivejä, olet erittäin siisti.
Koska vain 5% ihmisistä pystyy hallitsemaan jotain itse. Ja jos olet lukenut loppuun, olet 5 %:ssa!
Nyt se tärkein asia.
Olet keksinyt teorian tästä aiheesta. Ja toistan, se on... se on vain super! Olet jo parempi kuin suurin osa ikäisistäsi.
Ongelmana on, että tämä ei ehkä riitä...
Minkä vuoksi?
Menestystä varten kokeen läpäiseminen, pääsystä instituuttiin budjetilla ja, TÄRKEIMMÄN, elinikäiseksi.
En vakuuta sinua mistään, sanon vain yhden asian ...
Hyvän koulutuksen saaneet ansaitsevat paljon enemmän kuin ne, jotka eivät ole saaneet sitä. Tämä on tilastoa.
Mutta tämä ei ole pääasia.
Pääasia, että he ovat ONNELISEMME (sellaisia tutkimuksia on). Ehkä siksi, että heille avautuu paljon enemmän mahdollisuuksia ja elämästä tulee valoisampaa? En tiedä...
Mutta ajattele itse...
Mitä tarvitaan, jotta voit olla varmasti parempi kuin muut kokeessa ja lopulta... onnellisempi?
TÄYTÄ KÄSI RATKAISEMME ONGELMIA TÄSTÄ AIHESTA.
Kokeessa sinulta ei kysytä teoriaa.
Tarvitset ratkaista ongelmat ajoissa.
Ja jos et ole ratkaissut niitä (PALJON!), teet varmasti tyhmän virheen jossain tai et yksinkertaisesti tee sitä ajoissa.
Se on kuin urheilussa - sinun täytyy toistaa monta kertaa voittaaksesi varmasti.
Löydä kokoelma mistä tahansa välttämättä ratkaisuilla yksityiskohtainen analyysi ja päätä, päätä, päätä!
Voit käyttää tehtäviämme (ei välttämätöntä) ja suosittelemme niitä ehdottomasti.
Jotta saat apua tehtäviemme avulla, sinun on autettava pidentämään parhaillaan lukemasi YouClever-oppikirjan käyttöikää.
Miten? Vaihtoehtoja on kaksi:
- Avaa pääsy kaikkiin tämän artikkelin piilotettuihin tehtäviin - 299 hieroa.
- Avaa pääsy kaikkiin piilotettuihin tehtäviin kaikissa opetusohjelman 99 artikkelissa - 499 hieroa.
Kyllä, meillä on 99 tällaista artikkelia oppikirjassa ja pääsy kaikkiin tehtäviin ja kaikkiin niissä oleviin piiloteksteihin voidaan avata välittömästi.
Pääsy kaikkiin piilotettuihin tehtäviin tarjotaan sivuston koko elinkaaren ajan.
Tiivistettynä...
Jos et pidä tehtävistämme, etsi muita. Älä vain lopeta teoriaan.
"Ymmärretty" ja "tiedän kuinka ratkaista" ovat täysin erilaisia taitoja. Tarvitset molemmat.
Etsi ongelmia ja ratkaise!
Keskitaso
Suorakulmainen kolmio. Täydellinen kuvitettu opas (2019)
SUORAKULMAINEN KOLMIO. ENSIMMÄINEN TASO.
Ongelmissa suora kulma ei ole ollenkaan välttämätön - alempi vasen, joten sinun on opittava tunnistamaan suorakulmainen kolmio tässä muodossa,
ja sellaisessa
ja sellaisessa
Mitä hyvää suorakulmaisessa kolmiossa on? No... Ensinnäkin hänen juhliillaan on erityisiä kauniita nimiä.
Huomio piirustukseen!
Muista äläkä sekoita: jalat - kaksi ja hypotenuusa - vain yksi(ainoa, ainutlaatuinen ja pisin)!
No, keskustelimme nimistä, nyt tärkein asia: Pythagoraan lause.
Pythagoraan lause.
Tämä lause on avain monien suorakulmaiseen kolmioon liittyvien ongelmien ratkaisemiseen. Pythagoras todisti sen täysin ikimuistoisina aikoina, ja siitä lähtien se on tuonut monia etuja niille, jotka sen tuntevat. Ja parasta hänessä on, että hän on yksinkertainen.
Niin, Pythagoraan lause:
Muistatko vitsin: "Pythagoran housut ovat tasa-arvoisia joka puolelta!"?
Piirretään nämä hyvin pythagoralaiset housut ja katsotaan niitä.
Näyttääkö se todella shortsilta? No, millä puolella ja missä ne ovat tasa-arvoisia? Miksi ja mistä vitsi tuli? Ja tämä vitsi liittyy juuri Pythagoraan lauseeseen, tarkemmin sanottuna tapaan, jolla Pythagoras itse muotoili lauseensa. Ja hän muotoili sen näin:
"Summa neliöiden pinta-ala, rakennettu jalkoihin, on yhtä suuri kuin neliön alue rakennettu hypotenuusalle.
Eikö se kuulosta hieman erilaiselta, eikö? Ja niin, kun Pythagoras piirsi lauseensa lausunnon, juuri tällainen kuva osoittautui.
Tässä kuvassa pienten neliöiden pinta-alojen summa on yhtä suuri kuin suuren neliön pinta-ala. Ja jotta lapset muistavat paremmin, että jalkojen neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö, joku nokkela keksi tämän vitsin Pythagoran housuista.
Miksi muotoilemme nyt Pythagoraan lausetta
Kärsikö Pythagoras ja puhuiko neliöistä?
Muinaisina aikoina ei ollut... algebraa! Ei ollut merkkejä ja niin edelleen. Ei ollut kirjoituksia. Voitteko kuvitella kuinka kauheaa oli muinaisten köyhien opiskelijoiden muistaa kaikki sanoin??! Ja voimme olla iloisia siitä, että meillä on yksinkertainen Pythagoraan lauseen muotoilu. Toistetaan se uudelleen muistaakseni paremmin:
Nyt sen pitäisi olla helppoa:
| Hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summa. |
No, tärkein lause suorakulmaisesta kolmiosta keskusteltiin. Jos olet kiinnostunut siitä, miten se todistetaan, lue seuraavat teoriatasot, ja nyt siirrytään ... trigonometrian pimeään metsään! Kauheisiin sanoihin sini, kosini, tangentti ja kotangentti.
Sini, kosini, tangentti, kotangentti suorakulmaisessa kolmiossa.
Itse asiassa kaikki ei ole ollenkaan niin pelottavaa. Tietenkin sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin "todellista" määritelmää tulisi tarkastella artikkelissa. Mutta et todellakaan halua, ethän? Voimme iloita: ratkaistaksesi suorakulmaista kolmiota koskevat ongelmat, voit yksinkertaisesti täyttää seuraavat yksinkertaiset asiat:
Miksi kaikki on kiinni nurkasta? Missä kulma on? Tämän ymmärtämiseksi sinun on tiedettävä, kuinka lauseet 1 - 4 kirjoitetaan sanoin. Katso, ymmärrä ja muista!
1.
Se itse asiassa kuulostaa tältä:
Entä kulma? Onko kulmaa vastapäätä oleva jalka, toisin sanoen vastakkainen jalka (kulmaa varten)? Tietysti on! Tämä on kateti!
Mutta entä kulma? Katso tarkkaan. Mikä jalka on kulman vieressä? Tietenkin kissa. Joten kulman osalta jalka on vierekkäinen ja
Ja nyt huomio! Katso mitä saimme:
Katso kuinka hieno se on:
Siirrytään nyt tangenttiin ja kotangenttiin.
Miten se nyt puetaan sanoiksi? Mikä on jalka suhteessa kulmaan? Tietenkin vastapäätä - se "makaa" nurkkaa vastapäätä. Ja kateti? Kulman vieressä. Mitä saimme?
Katso kuinka osoittaja ja nimittäjä käännetään?
Ja nyt taas kulmat ja vaihto tehty:
Yhteenveto
Kirjoitetaan lyhyesti ylös, mitä olemme oppineet.
|
Pythagoraan lause: |
Oikean kolmion päälause on Pythagoraan lause.
Pythagoraan lause
Muuten, muistatko hyvin, mitä jalat ja hypotenuusa ovat? Jos ei, katso kuvaa - päivitä tietosi
On mahdollista, että olet jo käyttänyt Pythagoraan lausetta monta kertaa, mutta oletko koskaan miettinyt, miksi tällainen lause on totta. Miten sen todistaisit? Tehdään kuten muinaiset kreikkalaiset. Piirretään neliö, jossa on sivu.
Näet kuinka ovelasti jaoimme sen sivut pituisiksi segmenteiksi ja!
Yhdistetään nyt merkityt pisteet
Tässä kuitenkin huomautimme jotain muuta, mutta sinä itse katsot kuvaa ja mieti miksi.
Mikä on suuremman neliön pinta-ala?
Oikein,.
Entä pienempi alue?
Tietysti, .
Neljän kulman kokonaispinta-ala säilyy. Kuvittele, että otimme niistä kaksi ja nojasimme toisiamme vasten hypotenuusilla.
Mitä tapahtui? Kaksi suorakulmiota. Joten "pistokkaiden" pinta-ala on yhtä suuri.
Laitetaan nyt kaikki yhteen.
Muunnetaan:
Joten vierailimme Pythagorassa - todistimme hänen lauseensa muinaisella tavalla.
Suorakulmainen kolmio ja trigonometria
Suorakulmaiselle kolmiolle pätevät seuraavat suhteet:
Terävän kulman sini on yhtä suuri kuin vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan
Terävän kulman kosini on yhtä suuri kuin viereisen jalan suhde hypotenuusaan.
Terävän kulman tangentti on yhtä suuri kuin vastakkaisen jalan suhde viereiseen jalkaan.
Terävän kulman kotangentti on yhtä suuri kuin viereisen jalan suhde vastakkaiseen jalkaan.
Ja jälleen kerran, kaikki tämä lautasen muodossa:
Se on erittäin mukava!
Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvon merkit
I. Kahdella jalalla
II. Jalkojen ja hypotenuusan kautta
III. Hypotenuusan ja terävän kulman mukaan
IV. Jalkaa pitkin ja terävä kulma
a)
b)
Huomio! Tässä on erittäin tärkeää, että jalat ovat "vastaavia". Jos se menee esimerkiksi näin:
SITÄ KOLMIOT EIVÄT OLE SAMALLA, huolimatta siitä, että niillä on yksi identtinen terävä kulma.
Tarvitsee molemmissa kolmioissa jalka oli vierekkäinen tai molemmissa - vastakkainen.
Oletko huomannut, kuinka suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvomerkit eroavat tavallisista kolmioiden tasa-arvomerkeistä?
Katso aihetta "ja kiinnitä huomiota siihen, että "tavallisten" kolmioiden yhtäläisyyteen tarvitaan niiden kolmen elementin yhtäläisyys: kaksi sivua ja niiden välinen kulma, kaksi kulmaa ja niiden välinen sivu tai kolme sivua.
Mutta suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvoon riittää vain kaksi vastaavaa elementtiä. Se on hienoa, eikö?
Suunnilleen sama tilanne, jossa on merkkejä suorakulmaisten kolmioiden samankaltaisuudesta.
Merkkejä suorakulmaisten kolmioiden samankaltaisuudesta
I. Akuutti kulma
II. Kahdella jalalla
III. Jalkojen ja hypotenuusan kautta
Mediaani suorakulmaisessa kolmiossa
Miksi se on niin?
Harkitse kokonaista suorakulmiota suorakulmaisen kolmion sijaan.
Piirretään diagonaali ja tarkastellaan pistettä - diagonaalien leikkauspistettä. Mitä tiedät suorakulmion diagonaaleista?
Ja mitä tästä seuraa?
Niin siinä kävi
- - mediaani:
Muista tämä tosiasia! Auttaa paljon!
Vielä yllättävämpää on, että myös päinvastainen on totta.
Mitä hyötyä voidaan saada siitä, että hypotenuusaan vedetty mediaani on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta? Katsotaanpa kuvaa
Katso tarkkaan. Meillä on: , eli etäisyydet pisteestä kolmion kaikkiin kolmeen kärkeen osoittautuivat yhtä suuriksi. Mutta kolmiossa on vain yksi piste, etäisyydet, joista noin kaikki kolmion kolme kärkeä ovat yhtä suuret, ja tämä on KUVAUTETUN YMPÄRISTÖN KESKUS. Mitä tapahtui?
Joten aloitetaan tästä "paitsi...".
Katsotaanpa i.
Mutta samanlaisissa kolmioissa kaikki kulmat ovat yhtä suuret!
Samaa voidaan sanoa ja
Piirretään se nyt yhdessä:
Mitä hyötyä tästä "kolminkertaisesta" samankaltaisuudesta voi olla.
No esimerkiksi - kaksi kaavaa suorakulmaisen kolmion korkeudelle.
Kirjoitamme vastaavien osapuolten suhteet:
Korkeuden löytämiseksi ratkaisemme suhteet ja saamme ensimmäinen kaava "Korkeus suorakulmaisessa kolmiossa":
Joten sovelletaan samankaltaisuutta: .
Mitä nyt tapahtuu?
Jälleen ratkaisemme suhteet ja saamme toisen kaavan:
Molemmat näistä kaavoista on muistettava erittäin hyvin ja se, jota on helpompi käyttää.
Kirjoitetaan ne uudestaan muistiin.
Pythagoraan lause:
Suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summa:.
Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvomerkit:
- kahdella jalalla:
- jalkaa ja hypotenuusa pitkin: tai
- jalkaa ja sen vieressä olevaa terävää kulmaa pitkin: tai
- jalkaa pitkin ja vastakkaiseen terävään kulmaan: tai
- hypotenuusan ja terävän kulman mukaan: tai.
Merkkejä suorakulmaisten kolmioiden samankaltaisuudesta:
- yksi terävä kulma: tai
- kahden jalan suhteellisuudesta:
- jalan ja hypotenuusan suhteellisuudesta: tai.
Sini, kosini, tangentti, kotangentti suorakulmaisessa kolmiossa
- Suorakulmaisen kolmion terävän kulman sini on vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan:
- Suorakulmaisen kolmion terävän kulman kosini on viereisen jalan suhde hypotenuusaan:
- Suorakulmaisen kolmion terävän kulman tangentti on vastakkaisen jalan suhde viereiseen:
- Suorakulmaisen kolmion terävän kulman kotangentti on viereisen haaran suhde vastakkaiseen:.
Suorakulmaisen kolmion korkeus: tai.
Suorakulmaisessa kolmiossa suoran kulman kärjestä vedetty mediaani on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta: .
Suorakulmaisen kolmion pinta-ala:
- katetrien kautta:
- jalan läpi ja terävässä kulmassa: .
No, aihe on ohi. Jos luet näitä rivejä, olet erittäin siisti.
Koska vain 5% ihmisistä pystyy hallitsemaan jotain itse. Ja jos olet lukenut loppuun, olet 5 %:ssa!
Nyt se tärkein asia.
Olet keksinyt teorian tästä aiheesta. Ja toistan, se on... se on vain super! Olet jo parempi kuin suurin osa ikäisistäsi.
Ongelmana on, että tämä ei ehkä riitä...
Minkä vuoksi?
Kokeen onnistuneesta läpäisystä, instituutin budjetille pääsystä ja, TÄRKEIMMÄN, elinikäiseksi.
En vakuuta sinua mistään, sanon vain yhden asian ...
Hyvän koulutuksen saaneet ansaitsevat paljon enemmän kuin ne, jotka eivät ole saaneet sitä. Tämä on tilastoa.
Mutta tämä ei ole pääasia.
Pääasia, että he ovat ONNELISEMME (sellaisia tutkimuksia on). Ehkä siksi, että heille avautuu paljon enemmän mahdollisuuksia ja elämästä tulee valoisampaa? En tiedä...
Mutta ajattele itse...
Mitä tarvitaan, jotta voit olla varmasti parempi kuin muut kokeessa ja lopulta... onnellisempi?
TÄYTÄ KÄSI RATKAISEMME ONGELMIA TÄSTÄ AIHESTA.
Kokeessa sinulta ei kysytä teoriaa.
Tarvitset ratkaista ongelmat ajoissa.
Ja jos et ole ratkaissut niitä (PALJON!), teet varmasti tyhmän virheen jossain tai et yksinkertaisesti tee sitä ajoissa.
Se on kuin urheilussa - sinun täytyy toistaa monta kertaa voittaaksesi varmasti.
Löydä kokoelma mistä tahansa välttämättä ratkaisuilla, yksityiskohtaisella analyysillä ja päätä, päätä, päätä!
Voit käyttää tehtäviämme (ei välttämätöntä) ja suosittelemme niitä ehdottomasti.
Jotta saat apua tehtäviemme avulla, sinun on autettava pidentämään parhaillaan lukemasi YouClever-oppikirjan käyttöikää.
Miten? Vaihtoehtoja on kaksi:
- Avaa pääsy kaikkiin tämän artikkelin piilotettuihin tehtäviin - 299 hieroa.
- Avaa pääsy kaikkiin piilotettuihin tehtäviin kaikissa opetusohjelman 99 artikkelissa - 499 hieroa.
Kyllä, meillä on 99 tällaista artikkelia oppikirjassa ja pääsy kaikkiin tehtäviin ja kaikkiin niissä oleviin piiloteksteihin voidaan avata välittömästi.
Pääsy kaikkiin piilotettuihin tehtäviin tarjotaan sivuston koko elinkaaren ajan.
Tiivistettynä...
Jos et pidä tehtävistämme, etsi muita. Älä vain lopeta teoriaan.
"Ymmärretty" ja "tiedän kuinka ratkaista" ovat täysin erilaisia taitoja. Tarvitset molemmat.
Etsi ongelmia ja ratkaise!
