Taululle on kirjoitettu 30 erilaista luonnollista lukua, joista jokainen on joko parillinen tai sen desimaaliluku päättyy numeroon 7. Kirjoitettujen lukujen summa on 810.

a) Voiko taululla olla tasan 24 parillista numeroa?

Numeerinen sarja saadaan yleisellä termillä: a_(n) = 1/(n^2+n)

A) Etsi n:n pienin arvo siten, että a_(n)< 1/2017.

B) Etsi n:n pienin arvo, jolle tämän sekvenssin ensimmäisen n ehdon summa on suurempi kuin 0,99.

B) Onko tässä sarjassa termejä, jotka muodostavat aritmeettisen progression?

A) Olkoon kahdeksan eri luonnollisen luvun tulo yhtä suuri kuin A ja samojen lukujen tulo 1:llä lisättynä yhtä suuri kuin B. Etsi korkein arvo B/A.

B) Olkoon kahdeksan luonnollisen luvun (ei välttämättä eri) tulo yhtä suuri kuin A ja samojen lukujen tulo 1:llä korotettuna yhtä suuri kuin B. Voiko lausekkeen arvo olla 210?

C) Olkoon kahdeksan luonnollisen luvun tulo (ei välttämättä erilainen) yhtä suuri kuin A ja samojen lukujen tulo 1:llä korotettuna yhtä suuri kuin B. Voiko lausekkeen B / A arvo olla 63?

Seuraava toimenpide suoritetaan luonnollisella luvulla: sen kahden vierekkäisen numeron väliin kirjoitetaan näiden numeroiden summa (esim. luku 110911253 saadaan luvusta 1923).

A) Anna esimerkki luvusta, josta saadaan 4106137125

B) Voidaanko numero 27593118 saada mistä tahansa numerosta?

C) Mikä on 9:n suurin kerrannainen, joka voidaan saada kolminumeroisesta luvusta, jonka desimaaliluku ei sisällä yhdeksää?

Ryhmässä on 32 opiskelijaa. Jokainen heistä kirjoittaa joko yhden tai kaksi koepaperit, joista jokaisesta voit saada 0-20 pistettä mukaan lukien. Lisäksi kumpikin kahdesta kontrollityöstä erikseen antaa keskimäärin 14 pistettä. Lisäksi jokainen opiskelija nimesi korkeimman pistemääränsä (jos hän kirjoitti yhden teoksen, hän nimesi sen sen mukaan), näistä pisteistä löytyi aritmeettinen keskiarvo ja se on yhtä suuri kuin S.

< 14.
B) Voisiko olla niin, että 28 ihmistä kirjoittaa kaksi kontrollia ja S=11?
C) Montako opiskelijaa voi maksimissaan kirjoittaa kaksi koetta, jos S=11?

Taululle on kirjoitettu 100 erilaista luonnollista lukua, joiden summa on 5130

A) Voiko käydä niin, että taululle on kirjoitettu numero 240?

B) Voiko käydä ilmi, että numero 16 ei ole taululla?

K) Mikä on pienin määrä 16:n kerrannaisia, joka voi olla taululla?

Taululle on kirjoitettu 30 erilaista luonnollista lukua, joista jokainen on joko parillinen tai sen desimaaliluku päättyy numeroon 7. Kirjoitettujen lukujen summa on 810.

a) Voiko taululla olla tasan 24 parillista numeroa?

B) Voiko taululla tarkalleen kaksi numeroa päättyä 7:ään?

K) Mikä on pienin määrä 7:ään päättyviä numeroita, joka voi olla taululla?

Jokainen 32 opiskelijasta kirjoitti joko yhden kahdesta kokeesta tai kirjoitti molemmat kokeet. Jokaisesta työstä oli mahdollista saada kokonaislukumäärä pisteitä 0-20 mukaan lukien. Kummallakin koetyöllä erikseen keskimääräinen pistemäärä oli 14. Sitten jokainen opiskelija nimesi korkeimman pistemääränsä (jos opiskelija kirjoitti yhden työn, niin hän nimesi sen pistemäärän). Nimettyjen pisteiden aritmeettinen keskiarvo oli yhtä suuri kuin S.

A) Anna esimerkki, kun S< 14

B) Voisiko S:n arvo olla 17?

C) Mikä on pienin arvo, jonka S voisi saada, jos molemmat kokeet kirjoittaisi 12 opiskelijaa?

19) Taululle on kirjoitettu 30 numeroa. Jokainen niistä, joko luvun parillinen tai desimaaliesitys, päättyy numeroon 3. Niiden summa on 793.

A) Voiko taululla olla täsmälleen 23 parillista numeroa?
b) voi vain yksi luvuista päättyä 3:een;
c) mikä on pienin määrä näistä luvuista, joka voi päättyä kolmeen?

Taululle on kirjoitettu useita erilaisia ​​luonnollisia lukuja, joista minkä tahansa kahden tulo on suurempi kuin 40 ja pienempi kuin 100.

a) Voiko taululla olla 5 numeroa?

b) Voiko taululla olla 6 numeroa?

C) Mikä on suurin arvo, jonka taululla olevien lukujen summa voi saada, jos niitä on neljä?

Numerot annetaan: 1, 2, 3, ..., 99, 100. Onko mahdollista jakaa nämä luvut kolmeen ryhmään niin, että

A) kussakin ryhmässä lukujen summa oli jaollinen kolmella.
b) kussakin ryhmässä lukujen summa oli jaollinen 10:llä.
c) yhden ryhmän lukujen summa oli jaollinen luvulla 102, toisen ryhmän lukujen summa 203:lla ja kolmannen ryhmän lukujen summa jaollinen luvulla 304?

a) Etsi luonnollinen luku n siten, että summa 1+2+3+...+n on kolminumeroinen luku, jonka kaikki numerot ovat samat.

B) Aritmeettisen progression muodostavien neljän luvun summa on 1 ja näiden lukujen kuutioiden summa on 0,1. Etsi nämä numerot.

A) Voidaanko luvut 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 jakaa kahteen ryhmään näiden ryhmien lukujen samalla tulolla?

B) Voidaanko luvut 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14 jakaa kahteen ryhmään näiden ryhmien lukujen samalla tulolla?

C) Mikä on vähiten lukuja, jotka jätetään pois joukosta 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, jotta loput luvut voidaan jakaa kahteen ryhmään samalla tavalla näiden ryhmien lukujen tulo? Anna esimerkki tällaisesta jakamisesta ryhmiin.

Annettu ruudullinen neliö, jonka koko on 6x6.

A) Voidaanko tämä neliö jakaa kymmeneen pareittain erilliseen ruudulliseen monikulmioon?
B) Voidaanko tämä neliö leikata yhteentoista pareittain erilliseen ruudulliseen monikulmioon?
B) Mikä on suurin määrä pareittain erillisiä ruudullisia suorakulmioita, joihin tämä neliö voidaan leikata?

Jokainen 3 x 3 -taulukon solu sisältää numeroita 1-9 (kuva). Yhdellä siirrolla se ratkaistaan ​​kahdeksi vierekkäiseksi numeroksi (solut
joilla on yhteinen puoli) lisää sama kokonaisluku.

A) Onko mahdollista saada tällä tavalla taulukko, jonka kaikissa soluissa on samat numerot?

B) Onko tällä tavalla mahdollista saada taulukko, joka koostuu yhdestä yksiköstä (keskellä) ja kahdeksasta nollasta?

C) Useiden siirtojen jälkeen taulukkoon ilmestyi kahdeksan nollaa ja muutama nollasta poikkeava luku N. Etsi kaikki mahdolliset N.

A) Jokainen tason piste on maalattu yhdellä kahdesta väristä. Onko tasossa välttämättä kaksi samanväristä pistettä, jotka ovat täsmälleen 1 metrin päässä toisistaan?

B) Jokainen viivan piste on maalattu yhdellä 10 väristä. Onko tarpeen löytää kaksi samanväristä pistettä suoralta, jotka ovat kokonaislukumäärän metrin päässä toisistaan?

Jossa suurin määrä kuution kärjet voidaan värjätä Sininen väri niin että sinisten kärkien joukosta on mahdotonta valita kolmea, jotka muodostavat tasasivuisen kolmion?

Viisinumeroisen luonnollisen luvun N tiedetään olevan jaollinen 12:lla ja sen numeroiden summa on jaollinen 12:lla.

A) Voivatko N:n kaikki viisi numeroa olla erilaisia?
B) Etsi pienin mahdollinen luku N;
B) Etsi suurin mahdollinen luku N;
D) Mikä on suurin luku samat numerot voi sisältyä luvun N merkintään? Kuinka monta tällaista numeroa N on (joiden tietueessa on suurin määrä identtisiä numeroita)?

Siinä on viisi tikkua, joiden pituus on 2, 3, 4, 5, 6.

A) Onko mahdollista taittaa tasakylkistä kolmiota käyttämällä kaikkia sauvoja?

b) Onko mahdollista taittaa suorakulmainen kolmio käyttämällä kaikkia sauvoja?

c) Mikä on pienin pinta-ala, jolla kolmio voidaan taittaa kaikilla kepeillä? (Tauko, tikkuja ei sallita)

Kolme erilaista luonnollista lukua ovat jonkin tylpän kolmion sivujen pituuksia.

a) Voiko näistä luvuista suuremman ja pienemmän suhde olla yhtä suuri kuin 3/2?

B) Voiko näistä luvuista suuremman suhde pienempiin olla yhtä suuri kuin 5/4?

C) Mikä on pienin arvo, jonka näistä luvuista suurimman suhde pienimpään voi saada, jos tiedetään, että keskimääräinen luku on 18?

Äärillinen sarja a1,a2,...,a_(n) koostuu n:stä, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin 3, ei välttämättä erillisiä luonnollisia lukuja, ja kaikille luonnollisille k:lle, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin n-2, yhtälö a_(k +2) = 2a_(k +1)-a_(k)-1.

A) Anna esimerkki tällaisesta sekvenssistä n = 5, jossa a_(5) = 4.

B) Voiko jokin luonnollinen luku esiintyä kolme kertaa tällaisessa sarjassa?

C) Mikä on suurin n, sellainen sarja voi koostua vain kolminumeroisista luvuista?

Kokonaisluvut x, y ja z tässä järjestyksessä muodostavat geometrisen progression.

A) Voivatko luvut x+3, y^2 ja z+5 muodostaa aritmeettisen progression tässä järjestyksessä?

B) Voivatko luvut 5x, y ja 3z muodostaa aritmeettisen progression esitetyssä järjestyksessä?

B) Etsi kaikki x, y ja z siten, että luvut 5x+3, y^2 ja 3z+5 muodostavat aritmeettisen progression tässä järjestyksessä.

Taululle kirjoitetaan kaksi luonnollista lukua: 672 ja 560. Yhdellä siirrolla mikä tahansa näistä luvuista voidaan korvata niiden erotuksen moduulilla tai puolittaa (jos luku on parillinen).

a) Voiko taululle ilmestyä kaksi identtistä numeroa muutamalla siirrolla?

B) Voiko numero 2 ilmestyä taululle muutamalla siirrolla?

C) Etsi pienin luonnollinen luku, joka voi ilmestyä laudalle tällaisten liikkeiden seurauksena.

Shakki voidaan voittaa, hävitä tai tasapeli. Shakinpelaaja kirjoittaa jokaisen pelaamansa pelin tuloksen ja laskee jokaisen pelin jälkeen kolme indikaattoria: "voitot" - voittoprosentti pyöristettynä lähimpään kokonaislukuun, "tasapelit" - tasapelien prosenttiosuus pyöristettynä lähimpään kokonaislukuun. , ja "tappiot", yhtä suuri kuin ero 100 ja "voittojen" ja "tasapelien" indikaattoreiden summa. (Esimerkiksi 13,2 kierrosta 13:een, 14,5 kierrosta 15:een, 16,8 kierrosta 17:ään).
a) Voiko ”voittojen” tulos olla jossain vaiheessa 17, jos alle 50 peliä on pelattu?
b) Voiko tappioprosentti nousta voitetun pelin jälkeen?
c) Yksi peleistä hävisi. Mikä on pienin pelattujen pelien määrä, joka voi johtaa "tappioon" 1?

Olkoon q luonnollisten lukujen x ja y pienin yhteinen jakaja ja d suurin yhteinen jakaja, jotka täyttävät yhtälön 3x=8y–29.

Komppaniassa on kaksi joukkuetta, ensimmäisessä ryhmässä on vähemmän sotilaita kuin toisessa, mutta yli 50 ja yhteensä sotilaita on alle 120. Komentaja tietää, että komppaniaa voidaan rakentaa useammalla henkilöllä peräkkäin niin, että jokaisella rivillä on sama numero sotilaita enemmän kuin 7, ja samaan aikaan ei ole sotilaita kahdesta eri joukkueesta missään rivissä.

A) Kuinka monta sotilasta on ensimmäisessä ryhmässä ja kuinka monta toisessa? Anna ainakin yksi esimerkki.

B) Onko mahdollista rakentaa komppania ilmoitetulla tavalla, jossa on 11 sotilasta samassa rivissä?

C) Kuinka monta sotilasta voi olla komppaniassa?

Olkoon q luonnollisten lukujen x ja y pienin yhteinen jakaja ja d suurin yhteinen jakaja, jotka täyttävät yhtälön 3x=8y-29.

A) Voiko q/d - olla yhtä suuri kuin 170?

B) Voiko q/d - olla yhtä suuri kuin 2?

C) Etsi q/d:n pienin arvo

Selvitä, onko yleisillä termeillä kaksi sarjaa

A) 3; 16; 29; 42;... ja 2; 19; 36; 53;...

B) 5; 16; 27; 38;... ja 8; 19; kolmekymmentä; 41;...

B) Määritä yhteisten termien enimmäismäärä, joka kahdella aritmeettisella progressiolla voi olla 1; ...; 1000 ja 9; ...; 999, jos jokaisella niistä tiedetään olevan jokin muu ero kuin 1.

A) Voidaanko luku 2016 esittää seitsemän peräkkäisen luonnollisen luvun summana?

A) Voidaanko luku 2016 esittää kuuden peräkkäisen luonnollisen luvun summana?

B) Ilmaise luku 2016 suurimman peräkkäisten parillisten luonnollisten lukujen summana.

Lukujoukkoa kutsutaan hyväksi, jos se voidaan jakaa kahteen osajoukkoon, joilla on sama lukujen summa.

A) Onko sarja (200;201;202;...;299) hyvä?

B) Onko joukko (2;4;8;...;2^(100)) hyvä?

C) Kuinka monta hyvää neljän alkion osajoukkoa joukolla (1;2;4;5;7;9;11) on?

Kyselyn tuloksena kävi ilmi, että noin 58 % vastaajista pitää keinotekoisesta joulukuusesta enemmän kuin luonnollista (luku 58 saadaan pyöristämällä ylöspäin kokonaislukuun). Samasta tutkimuksesta kävi ilmi, että noin 42 % vastaajista ei ollut koskaan huomauttanut Uusivuosi ei kotona.

A) Voisiko kyselyyn osallistua tasan 40 henkilöä?
b) Olisiko tarkalleen 48 henkilöä voinut osallistua kyselyyn?
c) Mikä on pienin määrä ihmisiä, jotka voivat osallistua tähän kyselyyn?

Vanya pelaa peliä. Pelin alussa taululle kirjoitetaan kaksi erilaista luonnollista lukua väliltä 1 - 9999. Yhdessä pelin liikkeessä Vanyan on päätettävä toisen asteen yhtälö x^2-px+q=0, jossa p ja q ovat kaksi Vanyan valitsemassa järjestyksessä otettua lukua, jotka on kirjoitettu taululle tämän liikkeen alkuun mennessä, ja jos tällä yhtälöllä on kaksi eri luonnollista juuria, korvaa nämä kaksi lukua laudalla näillä juurilla. Jos tällä yhtälöllä ei ole kahta erilaista luonnollista juurta, Vanya ei voi tehdä liikettä ja peli päättyy.

A) Onko sellaisia ​​kahta alkavaa numeroa, joilla Vanya pystyy tekemään vähintään kaksi siirtoa?
b) Onko kaksi alkavaa numeroa, joilla Vanya pystyy tekemään kymmenen siirtoa?
c) Kuinka monta liikettä Vanya voi tehdä suurin piirtein näissä olosuhteissa?

Taululle kirjoitettiin 30 luonnollista numeroa (eivät välttämättä erilaisia), joista jokainen on suurempi kuin 14, mutta ei ylitä 54:tä. Kirjoitettujen lukujen aritmeettinen keskiarvo oli 18. Jokaisen taululla olevan luvun sijasta he kirjoittivat numero, joka oli puolet alkuperäisestä. Numerot, jotka sen jälkeen osoittautuivat alle 8:ksi, poistettiin taululta.

Kutsumme nelinumeroista lukua erittäin onnekkaaksi, jos kaikki sen desimaalimerkinnän numerot ovat erilaisia ​​ja näiden kahden ensimmäisen numeron summa on yhtä suuri kuin kahden viimeisen numeron summa. Esimerkiksi numero 3140 on erittäin onnekas.
a) Onko olemassa kymmenen peräkkäistä nelinumeroista numeroa, joiden joukossa on kaksi erittäin onnekasta?
b) Voiko kahden erittäin onnekkaan nelinumeroisen luvun ero olla yhtä suuri kuin 2015?
c) Etsi pienin luonnollinen luku, jolla ei ole erittäin onnekkaan nelinumeroisen luvun kerrannaista.

Erään koulun oppilaat kirjoittivat kokeen. Opiskelija voi saada tästä kokeesta kokonaisen ei-negatiivisen määrän pisteitä. Opiskelijan katsotaan läpäisevän kokeen, jos hän saa vähintään 50 pistettä. Tulosten parantamiseksi jokaiselle kokeen osallistujalle annettiin 5 pistettä, joten kokeen läpäisseiden määrä kasvoi.

A) Voisiko koetta läpäisemättömien osallistujien keskiarvo laskea tämän jälkeen?

B) Voisivatko ei-testiin osallistuneiden keskipisteet laskea, kun taas kokeeseen osallistuneiden keskimääräiset pisteet myös laskea?

C) Oletetaan, että alun perin testin läpäisseiden osallistujien keskimääräinen pistemäärä oli 60 pistettä, testiä läpäisemättömien - 40 pistettä ja kaikkien osallistujien keskimääräinen pistemäärä oli 50 pistettä. Pisteiden lisäämisen jälkeen kokeen läpäisseiden osallistujien keskiarvoksi tuli 63 pistettä ja kokeen läpäisemättömien 43 pistettä. Mikä on pienin osallistujamäärä tällaisessa tilanteessa?

Kolmesta erilaisesta luonnollisesta luvusta tiedetään, että ne ovat jonkin tylpän kolmion sivujen pituuksia.

A) Voisiko näistä luvuista suuremman ja pienemmän suhde olla yhtä suuri kuin 13/7?

B) Voisiko näistä luvuista suuremman suhde pienempiin olla yhtä suuri kuin 8/7?

C) Mikä on pienin arvo, jonka näistä luvuista suurimman suhde pienimpään voi saada, jos tiedetään, että näiden lukujen keskiarvo on 25?

Shakkiturnaukseen osallistuvat pojat ja tytöt. Shakkipelin voitosta saa 1 pisteen, tasapelistä 0,5 pistettä, tappiosta 0 pistettä. Turnauksen sääntöjen mukaan jokainen osallistuja pelaa keskenään kahdesti.

A) Mikä on pisteiden enimmäismäärä, jonka tytöt voivat saada yhteensä, jos turnaukseen osallistuu viisi poikaa ja kolme tyttöä?

B) Mikä on kaikkien osallistujien pisteiden summa, jos osallistujia on yhteensä yhdeksän?

C) Kuinka monta tyttöä voisi osallistua turnaukseen, jos tiedetään, että heitä on 9 kertaa vähemmän kuin poikia ja että pojat saivat yhteensä tasan neljä kertaa enemmän pisteitä kuin tytöt?

Aritmeettinen progressio (jolla on eri erotus kuin nolla) annetaan luonnollisista luvuista, joiden desimaaliluku ei sisällä numeroa 9.

A) Voiko tällaisessa etenemisessä olla 10 termiä?
b) Osoita, että sen jäsenten lukumäärä on pienempi kuin 100.
c) Osoita, että minkä tahansa tällaisen etenemisen termien lukumäärä on enintään 72.
d) Anna esimerkki tällaisesta etenemisestä, jossa on 72 jäsentä.

Punainen kynä maksaa 18 ruplaa, sininen 14 ruplaa. Sinun on ostettava kyniä, joilla on vain 499 ruplaa ja noudatettava lisäehtoa: sinisten lyijykynien määrä ei saa poiketa punaisten lyijykynien määrästä enempää kuin kuusi.

a) Onko mahdollista ostaa 30 kynää?

b) Onko mahdollista ostaa 33 kynää?

c) Mikä on suurin määrä kyniä, joita voit ostaa?

Tiedetään, että a, b, c ja d ovat pareittain erillisiä kaksinumeroisia lukuja.
a) Voiko yhtälö (a+c)/(b+d)=7/19
b) Voiko murto-osa (a+c)/(b+d) olla 11 kertaa pienempi kuin summa (a/c)+(b/d)
c) Mikä on pienin arvo, jonka murtoluku (a + c) / (b + d) voi saada, jos a> 3b ja c> 6d

Tiedetään, että a, b, c ja d ovat pareittain erillisiä kaksinumeroisia lukuja.

A) Voiko yhtälö (3a+2c)/(b+d) = 12/19

B) Voiko murto (3a+2c)/(b+d) olla 11 kertaa pienempi kuin summa 3a/b + 2c/d

K) Mikä on murto-osan (3a+2c)/(b+d) pienin mahdollinen arvo, jos a>3b ja c>2d?

Luonnolliset luvut a, b, c ja d täyttävät ehdon a>b>c>d.

A) Etsi luvut a, b, c ja d, jos a+b+c+d=15 ja a2−b2+c2−d2=19.

B) Voiko olla a+b+c+d=23 ja a2−b2+c2−d2=23?

C) Olkoon a+b+c+d=1200 ja a2−b2+c2−d2=1200. Etsi mahdollisten arvojen lukumäärä luvulle a.

Yhden koulun oppilaat kirjoittivat kokeen. Jokaisen opiskelijan tulos on kokonaisluku, ei-negatiivinen pisteiden määrä. Opiskelijan katsotaan läpäisevän kokeen, jos hän on saanut vähintään 85 pistettä. Koska tehtävät osoittautuivat liian vaikeiksi, päätettiin lisätä 7 pistettä kaikille kokeen osallistujille, minkä ansiosta kokeen läpäisseiden määrä kasvoi.
a) Voisiko olla, että kokeeseen läpäisseiden osallistujien keskimääräinen pistemäärä laski tämän jälkeen?
b) Voisiko olla, että sen jälkeen kokeeseen osallistuneiden keskipistemäärä laski ja myös kokeeseen osallistumattomien keskipistemäärä laski?
c) Tiedetään, että alun perin kokeeseen osallistuneiden keskimääräinen pistemäärä oli 85, testiä läpäisemättömien osallistujien keskimääräinen pistemäärä oli 70. Pisteiden yhteenlaskun jälkeen testin läpäisseiden osallistujien keskiarvoksi tuli 100, eikä läpäissyt. testi - 72. Mikä on pienin osallistujamäärä testi, onko tällainen tilanne mahdollinen?

Kutsumme kolmea lukua hyväksi kolmioksi, jos ne voivat olla kolmion sivujen pituuksia.
Kutsutaan kolmea lukua suureksi kolmioksi, jos ne voivat olla suorakulmaisen kolmion sivujen pituuksia.
a) Sinulle annetaan 8 erilaista luonnollista lukua. Voisiko se olla. ettei heidän joukossaan ole yhtäkään hyvää kolmikkoa?
b) Annettu 4 erilaista luonnollista lukua. Voiko niiden joukosta löytää kolme upeaa kolmosta?
c) annetaan 12 erilaista lukua (ei välttämättä luonnollisia lukuja). Mikä on suurin määrä täydellisiä kolmosia, joka voi olla niiden joukossa?

Useat identtiset tynnyrit sisältävät tietyn määrän litraa vettä (ei välttämättä samaa). Kerralla voit kaataa minkä tahansa määrän vettä tynnyristä toiseen.
a) Olkoon neljä tynnyriä, joissa 29, 32, 40, 91 litraa. Onko mahdollista tasoittaa veden määrää tynnyreissä enintään neljässä verensiirrossa?
b) Polku on seitsemän tynnyriä. Onko aina mahdollista tasoittaa veden määrä kaikissa tynnyreissä korkeintaan viidessä siirrossa?
c) Kuinka monta verensiirtoa tarvitaan vähintään 26 tynnyrin vesimäärän tasaamiseksi?

Taululle on kirjoitettu 30 luonnollista numeroa (eivät välttämättä erilaisia), joista jokainen on suurempi kuin 4, mutta ei ylitä 44:ää. Kirjoitettujen lukujen aritmeettinen keskiarvo oli 11. Taululla olevan jokaisen luvun sijasta ne kirjoitti numeron puolet alkuperäisestä. Numerot, jotka sen jälkeen osoittautuivat pienemmiksi kuin 3, poistettiin taululta.
a) Voiko taululle jääneiden lukujen aritmeettinen keskiarvo olla suurempi kuin 16?
b) Voisiko taululle jääneiden lukujen aritmeettinen keskiarvo olla suurempi kuin 14 mutta pienempi kuin 15?
c) Etsi keskiarvon suurin mahdollinen arvo aritmeettiset numerot jotka jäävät taululle.

Yhdessä kirjanpitokilpailun tehtävistä vaaditaan bonuksia tietyn osaston työntekijöille yhteensä 800 000 ruplaa (bonuksen suuruus jokaista työntekijää kohti on 1000:n kokonaislukukerroin). Kirjanpitäjälle jaetaan bonukset, ja hänen on jaettava ne ilman vaihtoa tai vaihtoa, sillä hänellä on 25 1000 ruplan seteliä ja 110 5000 ruplaa.
a) Onko mahdollista suorittaa tehtävä, jos osastolla on 40 työntekijää ja kaikkien pitäisi saada tasapuolisesti?
b) Onko mahdollista suorittaa tehtävä, jos johtavalle asiantuntijalle on annettava 80 000 ruplaa ja loput jaetaan tasan 80 työntekijän kesken?
c) Millä maksimihenkilömäärällä osastolla tehtävä voidaan suorittaa mahdollisen palkkionjaon osalta?

Taululle kirjoitetaan luku 2045 ja useita (vähintään kaksi) luonnollista lukua, jotka eivät ylitä 5000. Kaikki taululle kirjoitetut luvut ovat erilaisia. Minkä tahansa kahden kirjoitetun luvun summa on jaollinen toisella.
a) Voidaanko taululle kirjoittaa tasan 1024 numeroa?
b) Voidaanko taululle kirjoittaa tasan viisi numeroa?
c) Mikä on pienin määrä numeroita, jotka voidaan kirjoittaa taululle?

Taululle kirjoitettiin useita ei välttämättä erilaisia ​​kaksinumeroisia luonnollisia lukuja ilman nollia desimaalimerkinnässä. Näiden lukujen summa osoittautui yhtä suureksi kuin 2970. Jokaisessa numerossa ensimmäinen ja toinen numero vaihdettiin (esim. luku 16 korvattiin 61:llä)
a) Anna esimerkki alkuluvuista, joiden tuloksena saatujen lukujen summa on tasan 3 kertaa pienempi kuin alkuperäisten lukujen summa.
b) Voisiko saatujen lukujen summa olla tasan 5 kertaa pienempi kuin alkuperäisten lukujen summa?
c) Etsi saatujen lukujen summan pienin mahdollinen arvo.

Kasvava äärellinen aritmeettinen progressio koostuu useista ei-negatiivisista kokonaisluvuista. Matemaatikko laski progression kaikkien jäsenten summan neliön ja niiden neliöiden summan välisen eron. Sitten matemaatikko lisäsi seuraavan termin tähän etenemiseen ja laski jälleen saman eron.
A) Anna esimerkki tällaisesta etenemisestä, jos ero oli toisella kerralla 48 suurempi kuin ensimmäisellä kerralla.
B) Toisella kerralla ero osoittautui 1440 enemmän kuin ensimmäisellä kerralla. Olisiko eteneminen alun perin voinut koostua 12 termistä?
C) Toisella kerralla ero oli 1440 suurempi kuin ensimmäisellä kerralla. Mikä on suurin jäsenmäärä, joka olisi voinut olla alussa?

Numerot väliltä 9 - 18 kirjoitetaan kerran ympyrään jossain järjestyksessä. Jokaiselle kymmenestä vierekkäisestä lukuparista löydettiin niiden suurin yhteinen jakaja.
a) Voisiko olla, että kaikki suurimmat yhteiset jakajat ovat yhtä suuria kuin 1? a) Taululle on kirjoitettu joukko -8, -5, -4, -3, -1, 1, 4. Mitä lukuja keksittiin?
b) Joillekin taululle kirjoitetun joukon erilaisille kuvitetuille numeroille luku 0 esiintyy tasan 2 kertaa.
Mikä on pienin mahdollinen määrä lukuja?
c) Joillekin kuvitetuille luvuille taululle kirjoitetaan joukko. Onko tästä joukosta aina mahdollista määrittää aiotut luvut yksiselitteisesti?

Useita (ei välttämättä erilaisia) luonnollisia lukuja ajatellaan. Nämä luvut ja kaikki niiden mahdolliset summat (kahdella, kolmella jne.) kirjoitetaan taululle ei-laskevassa järjestyksessä. Jos jokin taululle kirjoitettu luku n toistetaan useita kertoja, yksi tällainen luku n jätetään taululle ja loput n:n suuruiset luvut pyyhitään pois. Jos esimerkiksi luvut 1, 3, 3, 4 on suunniteltu, taululle kirjoitetaan joukko 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
a) Anna esimerkki kuvitetuista luvuista, joiden joukot 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 kirjoitetaan taululle.
b) Onko olemassa esimerkkiä sellaisista kuvitetuista luvuista, joille joukot 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22 kirjoitetaan hallitus?
c) Anna kaikki esimerkit kuvitetuista luvuista, joiden taululle kirjoitetaan joukko 7, 9, 11, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 41.

Kivipalikoita on: 50 kpl 800 kg, 60 kpl 1000 kg ja 60 kpl 1500 kg (lohkoja ei voi halkaista).
a) Onko mahdollista viedä kaikki nämä lohkot kerralla pois 60:llä kuorma-autolla, joiden jokaisen kantavuus on 5 tonnia, olettaen, että valitut lohkot mahtuvat rekan sisään?
b) Onko mahdollista viedä kaikki nämä lohkot pois yhtä aikaa 38:lla kuorma-autolla, joiden kunkin kantavuus on 5 tonnia, olettaen, että valitut lohkot mahtuvat trukkiin?
c) Mikä on pienin määrä 5 tonnin kantokykyisiä kuorma-autoja, joka tarvitaan kaikkien näiden lohkojen poistamiseen samanaikaisesti, olettaen, että valitut lohkot mahtuvat trukkiin?

Annettu n erilaista luonnollista lukua, jotka muodostavat aritmeettisen progression (n on suurempi tai yhtä suuri kuin 3).

a) Voiko kaikkien annettujen lukujen summa olla yhtä suuri kuin 18?

B) Mikä on n:n suurin arvo, jos kaikkien annettujen lukujen summa on pienempi kuin 800?

C) Etsi kaikki mahdolliset n:n arvot, jos kaikkien annettujen lukujen summa on 111?

Useita (ei välttämättä erilaisia) luonnollisia lukuja ajatellaan. Nämä luvut ja kaikki niiden mahdolliset summat (kahdella, kolmella jne.) kirjoitetaan taululle ei-laskevassa järjestyksessä. Jos jokin taululle kirjoitettu luku n toistetaan useita kertoja, yksi tällainen luku n jätetään taululle ja loput n:n suuruiset luvut pyyhitään pois. Jos esimerkiksi luvut 1, 3, 3, 4 on suunniteltu, taululle kirjoitetaan joukko 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

A) Anna esimerkki kuvitetuista luvuista, joiden joukot 2, 4, 6, 8, 10 kirjoitetaan taululle.

Kortit käännetään ja sekoitetaan. Puhtaille puolelleen he kirjoittavat jälleen yhden numeroista:

11, 12, 13, -14, -15, 17, -18, 19.
Tämän jälkeen kunkin kortin numerot lasketaan yhteen ja tuloksena saadut kahdeksan summaa kerrotaan.

a) Voiko tulos olla 0?

B) Voiko tulos olla 117?

C) Mikä on pienin ei-negatiivinen kokonaisluku, joka voi olla tuloksena?

Useita kokonaislukuja ajatellaan. Näiden lukujen joukko ja kaikki niiden mahdolliset summat (kahdella, kolmella jne.) kirjoitetaan taululle ei-laskevassa järjestyksessä. Esimerkiksi, jos luvut 2, 3, 5 on suunniteltu, taululle kirjoitetaan joukko 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

A) Taululle on kirjoitettu joukko -11, -7, -5, -4, -1, 2, 6. Mitä lukuja keksittiin?
b) Joillekin taululle kirjoitetussa joukossa oleville erilaisille kuvitetuille numeroille luku 0 esiintyy tasan 4 kertaa. Mikä on pienin mahdollinen määrä lukuja? a) Kuinka monta numeroa taululle on kirjoitettu?
b) Mitä lukuja kirjoitetaan enemmän: positiivisia vai negatiivisia?
c) Mikä on suurin määrä positiivisia lukuja niiden joukossa?

Harjoitukset venäjän kielen yhtenäisen valtiontutkinnon tehtävän nro 19 suorittamiseksi

Lohko 1.

Aseta välimerkit: ilmoita kaikki numerot, joiden kohdalla pilkut tulee olla lauseessa.

Kaikki ovat niin tottuneet niihin (kelloihin) (1), että (2) jos ne katoaisivat (3) jotenkin ihmeellisesti seinältä (4), se olisi surullista, ikään kuin syntyperäinen ääni olisi kuollut eikä mikään voisi tukkia tyhjää paikkaa. (Bulgakov)

2. Kolmannen kellon soiton jälkeen (1) esirippu tärisi ja ryömi hitaasti ylös (2) ja (3) heti, kun yleisö näki suosikkinsa (4), teatterin seinät värisivät kirjaimellisesti suosionosoituksista ja innostuneesta huudosta.

3. Ensimmäinen (1) asia, jonka näimme talon lähellä (2) oli ohut mustasta marmorista valmistettu obeliski (3) ja (4) kun luin sokkelin toisella puolella olevan kirjoituksen (5) se selvisi (6) ), että obeliski asennettiin Lermontovin syntymän satavuotispäivänä

4. Valtava pilvi (1) lähestyi, jota seurasi sadeverho (2) ja (3), kun koko taivas oli peitetty tiheällä verholla (4), sitten isoja pisaroita jysähti maahan.

En vain ole valmis (1) sanomaan hyvästit intohimolleni maalausta kohtaan (2) ja (3) jos minusta tulee jonakin päivänä todellinen taiteilija (4) minusta tulee ehdottomasti sellainen.

Kuljen eteenpäin siinä uskossa (1), että saavutan halutun tavoitteen (2) ja että (3) jos Jumala haluaa (4) tulen vanhurskaaksi niiden (5) silmissä, joita rakastan.

7. Heti auringon noustessa (1) kävi selväksi (2), että (3) jos mennään pidemmälle (4) voit juuttua suoon (5) ja luutnantti antoi käskyn pysähtyä.

Aluksi ajattelin (1) etten ymmärtäisi mitään shakkipelioppikirjasta (2) mutta (3) kun aloin lukea (4) huomasin (5), että se oli kirjoitettu hyvin yksinkertaisesti ja selkeästi.

9. Hadji Murad istui lähellä huoneessa (1) ja (2), vaikka hän ei ymmärtänyt keskustelua (3), hän tunsi (4), että he riitelivät hänestä.

10. Hän halusi vakuuttaa itselleen (1), ettei vaaraa ollut (2) ja että tiellä olevat ratsastajat vain kuvittelivat pojan pelosta (3) ja (4), vaikka hän onnistuikin pettämään lapsen mielen. lyhyitä minuutteja (5), mutta syvällä sisimmässään hän tunsi selvästi väistämättömän tragedian lähestyvän.

Kaupungin laitamilla oli upea puisto, jossa oli varjoisia kujia ja huvimajat rentoutumista varten (1) ja (2), vaikka sinne ei ollutkaan kovin kätevää päästä (3) kaupunkilaiset rakastivat tätä paikkaa (4) ja usein vietti lomaa täällä.

Rykmentti (1) levisi kuin pitkä käärme ja (2) kun auringonsäteet putosivat pisteisiin ja kiväärinpiippeihin (3) oli nähtävissä (4) kuinka ase loisti.

13. En tiennyt (1) kuinka kauan vaelsin metsien läpi (2) ja (3) kun palasin metsänhoitajan taloon (4) kävi ilmi (5), että he olivat odottaneet minua siellä pitkä aika.

Joutsenet lensivät huutaen ylös, tekivät useita jäähyväiskierroksia järven yli (1), jossa he viettivät kesän (2) ja (3), kun valkosiipinen lauma piiloutui sumuiseen kaukaisuuteen (4) vanha metsästäjä ja minä ( 5) katsoi pitkään hiljaa taivaalle.

15. Leonid Andreev otti tuolloin tuhansia valokuvia sukulaisistaan, ystävistään (1) ja (2) kun tulimme hänen luokseen (3) hän sai meidät (4) katsomaan kaikkia näitä tuhansia kuvia (5), koska hän halusi yllättää kaikki harrastuksellaan.

16. Muutamaa päivää myöhemmin (1) kun kauna alkoi hiipua (2) ja (3) Andreyn teko lakkasi vaikuttamasta niin pahalta (4) kuin Vovka aluksi ajatteli (5), ystävät päättivät tavata ja jutella.

Muistin (1), että puutarhan vartija oli vaihdettava (2) ja (3) heti kun Semjonov vapautettiin (4) laittoi hänet virkaan.

Huuhtelimme vaatteet (1) ja (2) niiden kuivuessa (3) kuumalla hiekalla (4) kylpeimme.

Volodka tiesi (1), ettei hän osannut valehdella (2) ja (3), että hänen ilmeensä perusteella Julia arvaisi välittömästi (4), mitä Domnikovkassa oli tapahtunut.

Oli tarpeen levätä (1), mutta Ivan tunsi (2), että (3) jos hän istuisi (4), hän ei luultavasti nousisi enää ylös.

Saksalainen seisoi varjoissa (1) ja (2), kun (3) Sasha kulki eteenpäin, kosketti hänen olkapäätään (4), hän tunsi (5) kuinka saksalainen vapisi.

Oli sininen ilta, mutta (1) kun (2) tuli syttyi (3) hämärä sakeutui tulen ympärille (4) ja alkoi näyttää (5), että se oli jo oikea yö.

Väittelimme veljeni kanssa lukemistamme kirjoista (1) ja (2), jos äiti (3) joskus yritti lisätä sanan (4) hiljentyimme kohteliaasti.

Vasja meni lyhdyn kanssa veturiin (1), koska (2) se oli vaikeaa autolle (3) ja hän halusi olla hänen lähellään (4) ikään kuin näin toimiessaan hän voisi jakaa hänen kohtalonsa.

Kuminaamiossa ja aaltopahviputkessa ei ollut mitään erikoista, mutta (1) heti kun (2) majuri otti laatikon (3) selvisi (4), että salaisuus oli siinä.

Lämmin tuuli kahisi hieman puiden lehtiä (1) ja (2), jos (3) ei olisi lapioiden ääntä ja hälyttäviä autojen torvia moottoritiellä (4), niin se ei näyttäisi sodalta.

Lohko 2.

Aseta välimerkit: ilmoita kaikki numerot (numerot), joiden kohdalla pilkut tulee olla lauseessa.

1. Aurinko oli jo noussut (1), kun matkailijat katselivat ympärilleen mäen huipulla (2) ja (3), vaikka siellä ei ollut yhtäkään pilveä (4) taivas oli oudon valkoisen värinen (5) ja muuttui johda harmaa lähemmäs horisonttia.

2. Aluksi kukaan ei ymmärtänyt (1) kuinka vene meni virtaa vastaan ​​ilman purjetta ja moottoria (2) mutta (3) kun ihmiset menivät alas joelle (4) kaikki näkivät koiraryhmän vetämässä vene.
3. Belikov käytti aurinkolasit, jersey, hän täytti korvansa vanulla (1) ja (2) noustessaan taksiin (3) käski nostaa yläosan (4), jotta kukaan ei pääse tunkeutumaan hänen ahtaaseen pikku maailmaansa.

4. Keksin uusia ideoita (1) ja (2) jos tulet (3) puhun mielelläni (4) mikä minua huolestuttaa.

5. Romashov käveli hitaasti pitkin valtatietä (1) ja (2) katsellessaan auringonlaskun maagista tulta (3) hänestä (4) tuntui, että kirkkaan aamunkoiton takana oli jonkinlainen mystinen elämä.

6. Väestön ja talouden alueellinen rakenne ulkomaista Eurooppaa muodostui XIX-luvulla (1), jolloin lähes pääasiallinen sijoitustekijä (2) oli luonnonvara (3) ja (4), kun Ison-Britannian, Ranskan, Saksan, Belgian, Puolan ja Tšekin hiilimetallurgiset alueet , ja muut maat syntyivät.

7. En tiennyt (1) mitä Gregory ajatteli (2) mutta halusin (3) - (4) ja hän koki samat tunteet (5) kuin minä.

8. Missä tahansa roolissa lahjakas näyttelijä tuntee olonsa vapaaksi ja luonnolliseksi (1) ja (2), kun hän ilmaisee sankarinsa luonnetta lavalla (3) ja kokee kohtalonsa (4), silloin hän yleensä saavuttaa täydellisen tunteen ( 5) että hän on sama sankari.

9. Äidin kasvot, saatuaan selville kaikki lasten tahallisten temppujen olosuhteet, muuttuivat tiukiksi, jopa jotenkin ahneiksi (1) ja sitä seurasi ankara ja taitava nuhde (2), joka (3) huolimatta siitä, että lapset myönsivät täysin heidän syyllisyys (4) heidän täytyi silti kuunnella.
10. Sellaisella säällä (1) kun luonto vaikutti lempeältä ja harkitsevalta (2) Ivan Ivanovich ja Burkin (3) olivat täynnä rakkautta tätä alaa kohtaan (4) ja molemmat ajattelivat (5) kuinka mahtavaa (6) ja kuinka kaunista tämä on maa.

11. Matveylle (1) tapahtui pieni tapaus, jonka hän muisti koko elämänsä (2) ja (3), vaikka hän ei voinut pitää itseään syyllisenä (4) hänen omatuntonsa oli levoton.

12. Nuoren solistin esityksen jälkeen yleisö koki (1), että (2) vaikka esiintyjä ei onnistunut täysin ilmentämään ohjaajan tarkoitusta lavalla (3), he olivat silti läsnä suuren lahjakkuuden syntyessä. (4) ja koko monituhannen sali kirjaimellisesti räjähti aplodit.

13. Soul of A.P. Tšekhova kärsi aina tylsyydestä ja elämän joutilaisuudesta (1) ja (2) kun kirjailija sai suurta mainetta (3) kun hän tunsi omistautunutta rakkautta kaikesta (4) mikä oli älykästä ja rehellistä venäläisessä yhteiskunnassa (5) hän teki ei eristäydy saavuttamattomuudessa kylmä majesteetti.

14. Korolev selitti heille (1) että he palvelisivat lentokentän kunnossapitopataljoonassa (2) ja (3) että (4) ellei heidän pataljoonansa (5) olisi koneet voisivat lentää ja taistella.

15. Satojen vuosien ajan siellä (1) missä suuri mänty seisoi (2) kaikki oli muuttumatonta (3), mutta (4) kun se kaatui (5), paljon on muuttunut.

Lohko 3.

Tehtävä 19

1 vaihtoehto

Auringonlaskun aikaan alkoi sataa (1), joka karkoitti välittömästi ilmaan kerääntyneen tukkoisuuden (2) ja (3) samalla kun se kahisi täysin ja yksitoikkoisesti talon ympärillä olevassa puutarhassa (4) märän vehreyden makea raikkaus veti sisään aulan avoimet ikkunat.

Kun Ivan Aristarkhovich ilmestyi pukuhuoneen ovelle (1), hän nojasi tavallisesti (2) ja (3) kaikki näyttelijät saivat vaikutelman (4), että heidän taiteellinen johtaja erittäin pitkä (5), vaikka todella vain oviaukko oli melko alhainen.

On hyvin tunnettua (1), että (2) jos urheilija ei harjoittele säännöllisesti (3) niin (4) vaikka kuinka hän yrittää (5) hän ei saavuta hyviä tuloksia.

Prinssiä ei odotettu kartanolla (1), koska kukaan ei tiennyt (2) saapuuko hän (3) ja (4), joten hänen ilmestymisensä tuli kaikille yllätyksenä.

Yhden kaupungin kauneimman rakennuksen kiviterassilla (1) oli kaksi (2) ja (3) ja varjot pitkittyivät tasaisesti (4) ne näyttivät (5) kuin ikkunoissa ylemmät kerrokset häikäisevä aurinko paistoi.

Minusta näytti (1), ettei kukaan voinut häiritä (2) ympäröivää rauhaa (3) ja sitä odottamattomampaa oli Aleksein äkillinen ilmestyminen ystävien kanssa.

Lintuja ei kuultu (1), koska ne eivät laula helteinä (2) ja jäässä oli hiljaisuutta (3).

Kun Ivan palasi kotiin illalla (1), kaikki päivälliset vaikutelmat tulvivat hänen ylleen (2) ja (3), koska hän oli kaikkein ristiriitaisimpien tunteiden vallassa (4), hän alkoi etsiä syitä emotionaaliseen innostumiseensa.

Ganin meni maihin (1) ja (2) nähdessään sinisen turkkilaisen valtavalla appelsiinikasalla laiturilla (3) hän tunsi lävistävästi ja selvästi (4) kuinka kaukana hänen kotimaansa lämmin valtaosa oli hänestä.

Tehtävä 19

Vaihtoehto 2

Ilmoita kaikki numerot, jotka tulee korvata pilkuilla lauseessa

1. Tämä pitkä rivi tuntui Levinille erityisen vaikealta (1), mutta (2) kun rivi saavutettiin loppuun (3) ja Titus alkoi seurata jälkiä hitain askelin (4), Levin kulki karhoaan pitkin. Samalla tavalla.

2. Muutaman tunnin kuluttua (1) Ivan uupui (2) ja (3), kun hän tajusi (4) ettei pystynyt selviytymään papereista (5) hän itki hiljaa ja katkerasti.

3. Kun taiteilija asui Krimillä (1) hän omisti kaiken aikansa luontokuvien mietiskelylle (2) ja (3) jos sää oli suosiollinen kävelylle (4) hän opiskeli tuntikausia meren rannalla aaltojen piirtämistä juoksevat loputtomasti yksi toisensa jälkeen.

Lumi peitti matkailijoiden jäljet ​​(1) ja kävi selväksi (2), että (3) jos lumisade ei lopu yöllä (4), niin paluuta on vaikea löytää.

Ajattelin ihmisiä (1), joiden elämä (2) liittyi tähän tarinaan (3) ja halusin tietää (4), mitä heistä tuli.

Elena haaveili siihen pisteeseen asti (1), että (2) kuultuaan ovikellon (3) hän ei heti ymmärtänyt (4) mitä oli tapahtumassa.

Kaikki rakastivat minua (1) ja (2), vaikka olin äärettömän tuhma (3) minulle annettiin kaikki anteeksi (4) riippumatta siitä, mitä tein.

Sanotaan (1) että ystävällisyys parantaa yksinäisyyttä (2) ja (3) kun asettuin kylään (4) minulla oli tilaisuus varmistaa tämä.

Kun piti kiirehtiä kuntosalille (1), Nikolenka yritti parhaansa mukaan pysyä vanhemman veljensä (2) ja (3) perässä, koska hän liikkui aina nopeasti (4), ekaluokkalaisen piti usein saada hänet kiinni. ohittaa.

Tehtävä 19

3 vaihtoehto

Ilmoita kaikki numerot, jotka tulee korvata pilkuilla lauseessa

Lucy oli lempeästi sitkeä (1) ja (2), vaikka kaikkea oli vaikea muistaa (3) vähitellen vanha nainen kertoi (4) kuinka se oli.

Minuutin välein tapaavat katsoivat kelloa (1) ja (2), kun juna ilmestyi kaukaa (3) väkijoukko nojautui sitä kohti (4), vaikka tämä ei voinut nopeuttaa tapaamista rakkaiden kanssa.

Saavuimme kalenterin mukaan Boldinoon samaan aikaan runoilijan kanssa (1) ja (2) jos otetaan huomioon ero uuden ja vanhan tyylin välillä (3), niin kymmenen päivää aikaisemmin (4) kun vihreä väri hallitsi edelleen kaikkialla luonnossa.

On olemassa mielipide (1), että sää vaikuttaa ihmisen hyvinvointiin (2) ja (3) Olen vakuuttunut tästä useammin kuin kerran.

Myöhästynyt salama välähti suoraan pään yläpuolella (1) ja (2) sen loistaessa (3) Näin (4) jonkinlaisen valkoisen pisteen välkkyvän rannalla.

Loppupäivä kesti Zakharilla sietämättömän pitkäksi (1) ja (2), kun aurinko laski (3) ja harmaat varjot alkoivat peittää maan tiheämmin (4), hän tunsi helpotuksesta.

Kun kaikki vieraat lähtivät (1) emäntä halusi olla yksin (2) ja (3) kun Anton pyysi lupaa viettää iltaa naapureiden kanssa (4) hän ei pitänyt poikaansa.

Pjotr ​​Ivanovitš yritti aina välttää puhumista pöydässä (1) ja (2), kun hänet kutsuttiin syömään (3) hän vain istui (4) ja söi hiljaa.

En muista (1) kuinka pääsin paikalle (2) mutta (3) kun heräsin (4) ystäväni seisoivat jo vieressäni.

Tehtävä 19

4 vaihtoehto

Ilmoita kaikki numerot, jotka tulee korvata pilkuilla lauseessa

Lahjakas näyttelijä tuntee olonsa vapaaksi ja luonnolliseksi missä tahansa roolissa (1) ja (2) kun hän ilmaisee sankarinsa luonnetta lavalla (3), hän yleensä tuntee (4) olevansa sama sankari.

Sisar yritti kertoa Kittylle (1), mistä lääkäri puhui (2), mutta (3) vaikka hän puhui hyvin pitkään ja erittäin sujuvasti (4), hän ei pystynyt välittämään hänen sanomansa merkitystä.

On aina vaikea aloittaa ei-rakastamaa työtä (1) ja (2) viivyttääksemme epämiellyttävää hetkeä edes vähän (3) etsimme usein tekosyitä (4), jotka voisivat jotenkin oikeuttaa tahdon puutteemme.

Kolmannen kellon soiton jälkeen (1) esirippu tärisi ja ryömi hitaasti ylös (2) ja (3) heti, kun yleisö näki suosikkinsa (4), teatterin seinät värisivät kirjaimellisesti suosionosoituksista ja innostuneesta huudosta.

Kaikki vieraat lähtivät (1) emäntä halusi olla yksin (2) ja (3) kun Anton pyysi lupaa viettää iltaa naapureiden kanssa (4) hän ei pitänyt poikaansa.

Ennen aamunkoittoa kaukana (1) ja nukkuvan metsän yläpuolella leijuu läpinäkyvä yöhiljaisuus (2) ja (3) kun siihen tottuu (4), jokainen kahina ja kuiskaus alkaa kuulua selvästi.

Sisäänkäynnin ovi lensi yhtäkkiä auki (1) ja kadulle hyppäsi epäsiisti näköinen vahva nuori mies (2), joka (3) jos Aleksei ei olisi ehtinyt astua sivuun (4), olisi luultavasti törmännyt häneen.

Kesäyö sinistyi jo Volgan yllä (1) ja (2) kun olimme rannalla (3) näimme (4) valot välkkyvän kaukaa ohi kulkevien moottorilaivojen mastoissa.

Tatjana Afanasjevna antoi veljelleen merkin (1), että potilas halusi nukkua (2) ja (3), kun kaikki hitaasti poistuivat huoneesta (4) istuivat jälleen pyörivän pyörän ääreen.

Tehtävä 19

5 vaihtoehto

Ilmoita kaikki numerot, jotka tulee korvata pilkuilla lauseessa

Hänen kätensä vapisi (1) ja (2) kun Nikolai ojensi hevosen sulhaselle (3) hän tunsi (4) veren ryntävän hänen sydämeensä.

Lumi peitti säiliöt (1) ja (2), kun säiliöalukset nousivat tornista hengittämään (3), se peitti välittömästi niiden punaiset kasvot (4) ikään kuin yrittäisi jäähdyttää niitä.

Ja vanha nainen puhui ja puhui onnellisuudestaan ​​(1) ja (2), vaikka hänen sanansa olivat tuttuja (3), heidän pojanpojallaan tuli yhtäkkiä heistä makea sydänsuru (4) ikään kuin kaikki, mitä hän kuuli, tapahtuisi hänelle.

Startsev vältti puhumista (1) ja (2) kun hänet kutsuttiin syömään (3) hän istui (4) ja söi hiljaa.

Elena ei ehtinyt poistua lavalta muiden näyttelijöiden kanssa (1) ja (2), kun esirippu avautui (3) salin meluisa aalto (4) peitti hänet.

Se haisee voimakkaammin sumulle (1) ja (2), kun astumme niitylle (3) niittyjen, vielä kosteiden ruohopeitteiden tuoksu (4), vaikka merkkejä sen ensimmäisestä kuihtumisesta on jo näkyvissä.

Lisa meni autiolle alueelle (1) ja (2), kun hänen jalkansa alkoivat pudota voimakkaasti mukulakivestä (3) hän muisti (4) kuinka hän palasi tälle alueelle aurinkoisena päivänä ensimmäisen tapaamisen jälkeen Tsvetukhinin kanssa.

Katya kuunteli tarinaa viimeisimmistä saavutuksista ydinfysiikan alalla erittäin huolellisesti (1) ja (2), jos Konstantinov ei olisi ymmärtänyt (3), että hänen tieteellisten kiinnostuksen kohteidensa laajuus ei todellakaan voinut kiihottaa niin nuorta henkilöä (4) hän olisi jatkanut päättelyään.

Nyt minun on lähdettävä hetkeksi (1) mutta (2) kun palaan Moskovaan uudelleen (3) olen vilpittömästi iloinen nähdessäni sinut (4), jos suvaitset suostua tapaamiseen.

Tehtävä 19

6 vaihtoehto

Ilmoita kaikki numerot, jotka tulee korvata pilkuilla lauseessa

1. Aleksei oli yksin kaivannossa (1) ja (2), kun vaunut (3) ja (4) katosivat, kenttä puhdistettiin pölystä (5), hän päätti katsoa ympärilleen.

Katya valmistautui erittäin vakavasti elämänsä ensimmäiseen tenttiin (1) ja (2) ollessaan yleisössä istuvien opettajien edessä (3) hän tuli onnelliseksi (4), koska oli tilaisuus esitellä kertyneensä. tietoa.

SISÄÄN vanhempien kotiin kaikki oli kuten ennen (1) ja (2) jos Volodya näytti kaventaneen kotitilaa (3) niin tämä johtuu vain siitä, että (4) hän oli poissaolon vuosien aikana kypsynyt ja kasvanut paljon.

Yöllä jokeen tuotiin puutavaraa (1) ja (2), kun valkoinen sumu kietoi rannat (3) kaikki kahdeksan yritystä laskivat lautoja (4) siltojen hylkyjen päälle.

Sellainen väsymys asettui kohtaan (1), että (2) vaikka ei olisi käskyä (3) asettua lepäämään (4), ihmiset eivät voisi ottaa askeltakaan pidemmälle.

Emäntä tajusi (1), että (2) jos vieraat nyt taas löytävät itsensä aulasta (3), he eivät enää näe kaukaista kujaa laskevan auringon säteissä (4) ja hän ehdotti kävelyä puutarha.

Hyttyset lauloivat loputtoman laulun (1) ja (2) hämärän syttyessä (3) ja kaikki muut äänet vaikenivat (4) Aloin kuulla kaukaisen vesiputouksen ääntä.

Ohjaajan huomautusten (1) jälkeen pojat kävelivät nopeammin (2) ja (3) kun alkoi hämärtää (4) yöpymispaikalle oli enää kolme kilometriä jäljellä.

Hän jatkoi matkaansa (1), mutta (2) kun matkaa oli jäljellä enää kaksitoista mailia (3), rengas vihelsi yhtäkkiä ja upposi (4), koska terävä kivi putosi jälleen pyörän alle.

Vastaukset

	1 vaihtoehto	Vaihtoehto 2	3 vaihtoehto	4 vaihtoehto	5 vaihtoehto	6 vaihtoehto

Venäjän kielen yhtenäisen valtiontutkinnon vaikein välimerkkitehtävä vaatii sinua olemaan erittäin varovainen. Olemme käyneet läpi vaihtoehdot puolestasi. syntaktiset rakenteet osoitti, kuinka järkeillä. Taitojen kehittäminen on harjoittelukysymys.

Tehtävän muotoilu:

Aseta välimerkit: merkitse kaikki numerot, joiden tilalle

Lauseessa tulee olla pilkkuja.

Tässä tehtävässä törmäät monimutkaisiin lauseisiin, jotka koostuvat kolmesta tai useammasta yksinkertaisesta lauseesta, joita yhdistää koordinoiva ja alistava yhteys. Puhuimme koordinoivasta yhteydestä ja koordinoivista liitoista tehtävässä 15, n alisteisuutta lauseiden välissä - tehtävässä 18.

Ajattele samalla tavalla kuin tehtävässä 18:

Luimme lauseen tekemällä semanttisia taukoja;

Jakaa vaikea lause yksinkertaisiksi (jokaisella yksinkertaisella lauseella on kieliopillinen perusta, se ilmaisee ajatuksen);

Tarkastelemme, miten lauseet liittyvät toisiinsa (alisteisen konjunktion paikka on alalauseen alussa).

Pysähdytään vaikeuksiin, joita voi kohdata.

1. Kiinnitä huomiota tähän järjestelmään (liitto...), , (liitto...).

Lause alkaa alisteisella liitolla, jolloin se ei ole risteyksessä, seuraavan virkkeen (pää) alussa. Useimmiten tällaisissa rakenteissa on liittoja jos, milloin, niin pian kuin, koska jne.

Jos katso pilviä pitkään, näet Mitä ne näyttävät valkoisilta eläinhahmoilta. Niin pian kuin sade lakkasi, kevyt sumu leijui kylän yllä, ikään kuin talojen katot savusivat hieman.

2. Eri alaisuudessa kaksi ammattiliittoa voi olla lähellä, mutta samalla viitata erilaisiin ehdotuksiin. Harkitse vaihtoehtoa, jos risteyksessä on alisteisia konjunkteja: , (mitä jos…), …).

Minusta näytti, Mitä, Jos emme harjoittele joka päivä, meillä ei ole mahdollisuutta voittaa.(Päälause: minusta se näytti. Ensimmäinen alalause: että meillä ei ole mahdollisuutta voittaa. Toinen adjektiivi: jos emme harjoittele päivittäin.) Pilkut ovat lauseiden rajoissa. Jos "suoristamme" lausetta, saamme ymmärrettävämmän konstruktion: Minusta näytti, että meillä ei olisi mahdollisuutta voittaa, jos emme harjoittaisi joka päivä.

Merkit asetetaan eri tavalla, kun liitto Jos Jatkoa esiintyy sanojen TO, SO, MUTTA muodossa. Katso kuinka skeema muuttuu:

, (Mitä(jos sitten...).

Siksi, jos näet liittojen risteyksen, lue lause tarkemmin ja tarkista, onko siellä "häntä" ETTÄ(harvemmin NIIN, MUTTA). ETTÄ ikään kuin se korvaisi pilkun ammattiliittojen välisessä risteyksessä.

Vanha mies istui niin hiljaa mitä jos ei lievää yskää, Että hänen läsnäoloaan ei voitu arvata. Anton Prokofjevitšillä oli muuten vain niin omituisia housuja, mitä milloin hän laittoi ne päälle Että koirat purivat häntä aina vasikoihin.

3. Ammattiliittojen risteyksessä voi olla koordinoiva ja alisteinen ammattiliitto: JA MILLOIN; JA JOS; JA VAIKKA jne. Jos JA yhdistää lauseita, sitten merkit sijoitetaan 2 kohdassa tarkoitettujen sääntöjen mukaisesti. Halkeiluilla lautta heitettiin rannoille, ja siihen hän ei törmännyt teräviin kiviin, nojasimme airoihin.(Pilkut näkyvät kaikissa lauserajoissa: halkeilla lautta heitettiin rannoille; ja nojasimme airoihin; jotta se ei murtu terävistä kivistä.) Potilas tarvitsee lepoa ja jos emme halua häiritä häntä, Että täytyy poistua huoneesta.(Ammattiliittojen risteyksessä ei ole pilkkua, koska siellä on "häntä" ETTÄ: potilas tarvitsee lepoa; ja hänen on poistuttava kammiosta; jos emme halua häiritä häntä... sitten.)

Entä jos liitto JA yhdistää homogeeniset lauseen jäsenet, silloin sen eteen ei sijoiteta pilkkua . Mumu ei mennyt isännän taloon, ja kun Gerasim kantoi polttopuita huoneisiin, hän jäi kuistille.(Päälause: Mumu ei mennyt isännän luokse vaan jäi kuistille; sivulause: kun Gerasim kantoi polttopuita huoneisiin.)

4. sivulauseet voi olla homogeeninen ja yhdistää liiton JA. Tällaisissa tapauksissa niiden väliin ei sijoiteta pilkkua (kuten pilkkua ei sijoiteta väliin homogeeniset jäsenet liiton I yhdistämät lauseet). Minulla ei ollut aikaa kertoa Mitä tehty jo Ja Mitä aikoo silti tehdä sen. Lausemalli: , (mitä ...) ja (mitä ...)

Tehdään tehtävä:

Rykmentti (1) levisi pitkän käärmeen tavoin ja (2) kun auringonsäteet putosivat pisteisiin ja kiväärinpiippeihin (3) oli nähtävissä (4) kuinka ase loisti.

Jaamme lauseet yksinkertaisiin, keskittyen intonaatioon, kunkin lauseen semanttiseen riippumattomuuteen, liitoihin: rykmentti levisi kuin pitkä käärme], Ja [se oli näkyvissä] - liitto Ja linkitetty kaksi lausetta;

Ja , (Kun auringonsäteet putosivat pisteisiin ja kiväärien piippuihin) – pilkku väliin JA - KUN laittaa koska lauseen jälkeen Ei ETTÄ ; (Kun auringon säteet putosivat pisteisiin ja kiväärien piippuihin),[...se oli näkyvissä], (Miten kiiltäviä aseita). Vastaus: Pilkut 1, 2, 3, 4

KÄYTÄ matematiikan profiilitasolla

Työ koostuu 19 tehtävästä.
Osa 1:
8 tehtävää, joissa on lyhyt vastaus perusmonimutkaisuuden tasolle.
Osa 2:
4 tehtävää lyhyellä vastauksella
7 tehtävää yksityiskohtaisella vastauksella korkeatasoinen vaikeuksia.

Ajoaika - 3 tuntia 55 minuuttia.

Esimerkkejä USE-tehtävistä

USE-tehtävien ratkaiseminen matematiikassa.

Itsenäinen ratkaisu:

1 kilowattitunti sähköä maksaa 1 rupla 80 kopekkaa.
Sähkömittari näytti 1.11.12625 kilowattituntia ja 1.12.12802 kilowattituntia.
Paljonko joutuu maksamaan sähköstä marraskuussa?
Anna vastauksesi ruplissa.

Vaihtopisteessä 1 grivna maksaa 3 ruplaa 70 kopekkaa.
Lomailijat vaihtoivat ruplaa hryvnaksi ja ostivat 3 kg tomaatteja hintaan 4 grivnaa kilolta.
Paljonko tämä osto heille maksoi? Pyöristä vastauksesi lähimpään kokonaislukuun.

Masha lähetti tekstiviestejä henkilöltä uudenvuoden terveisiä 16 ystävälleni.
Yhden tekstiviestin hinta on 1 rupla 30 kopekkaa. Ennen viestin lähettämistä Mashalla oli tilillään 30 ruplaa.
Kuinka monta ruplaa Mashalla on kaikkien viestien lähettämisen jälkeen?

Koulussa on kolminkertaiset turistiteltat.
Mikä on pienin määrä telttoja 20 hengen retkelle?

Novosibirsk-Krasnojarsk-juna lähtee klo 15.20 ja saapuu klo 4.20 seuraavana päivänä (Moskovan aikaa).
Kuinka monta tuntia juna kulkee?

Ratkaise yhtälö:

1/cos 2x + 3tgx - 5 = 0

Osoita juuret
kuuluvat segmenttiin (-n; n/2).

Ratkaisu:

1) Kirjoitetaan yhtälö seuraavasti:

(tg 2 x +1) + 3tgx - 5 = 0

Tg 2x + 3tgx - 4 = 0

tgx = 1 tai tgx = -4.

Siten:

X = n/4 + nk tai x = -arctg4 + nk.

Segmentti (-p; p / 2)

Juuret -3p/4, -arctg4, p/4 kuuluvat.

Vastaus: -3p/4, -arctg4, p/4.

Tiedätkö mitä?

Jos kerrot ikäsi 7:llä ja sitten 1443:lla, tuloksena on ikäsi kolme kertaa peräkkäin.

Pidämme negatiivisia lukuja luonnollisina, mutta näin ei aina ollut. Ensimmäistä kertaa negatiiviset luvut laillistettiin Kiinassa III vuosisadalla, mutta niitä käytettiin vain poikkeustapauksissa, koska niitä pidettiin yleisesti merkityksettöminä. Hieman myöhemmin Intiassa alettiin käyttää negatiivisia lukuja merkitsemään velkoja, mutta ne eivät juurtuneet länteen - kuuluisa Aleksandrian Diophantus väitti, että yhtälö 4x + 20 = 0 on absurdi.

Amerikkalainen matemaatikko George Danzig, joka oli yliopiston jatko-opiskelija, myöhästyi eräänä päivänä oppitunnilta ja näki taululle kirjoitetut yhtälöt väärin kotitehtävät. Hänestä se tuntui tavallista monimutkaisemmalta, mutta muutaman päivän kuluttua hän pystyi suorittamaan sen. Kävi ilmi, että hän ratkaisi kaksi "ratkaisematonta" tilastojen ongelmaa, joiden kanssa monet tutkijat kamppailivat.

Venäläisessä matemaattisessa kirjallisuudessa nolla ei ole luonnollinen luku, vaan länsimaisessa kirjallisuudessa se päinvastoin kuuluu luonnollisten lukujen joukkoon.

Käyttämämme desimaalilukujärjestelmä syntyi siitä syystä, että ihmisellä on 10 sormea ​​käsissään. Abstraktin laskennan kyky ei ilmennyt ihmisissä heti, ja kätevimmäksi osoittautui käyttää sormia laskemiseen. Maya-sivilisaatio ja heistä riippumatta tšukchit käyttivät historiallisesti desimaalilukujärjestelmää käyttämällä sormien lisäksi myös varpaita. Muinaisessa Sumerissa ja Babylonissa yleisten kaksois- ja seksagesimaalisten järjestelmien perustana oli myös käsien käyttö: kämmenen muiden sormien sormet, joita on 12, laskettiin peukalolla.

Eräs tuttu nainen pyysi Einsteinia soittamaan hänelle, mutta varoitti, että hänen puhelinnumeronsa on erittäin vaikea muistaa: - 24-361. Muistaa? Toistaa! Yllättynyt Einstein vastasi: - Tietenkin, muistan! Kaksi tusinaa ja 19 neliötä.

Stephen Hawking on yksi suurimmista teoreettisista fyysikoista ja tieteen popularisoijista. Itseään koskevassa tarinassa Hawking mainitsi, että hänestä tuli matematiikan professori, joka ei ollut saanut minkäänlaista matemaattista koulutusta sen jälkeen. lukio. Kun Hawking aloitti matematiikan opettamisen Oxfordissa, hän luki oppikirjansa kaksi viikkoa ennen omia oppilaitaan.

Suurin määrä, joka voidaan kirjoittaa roomalaisilla numeroilla rikkomatta Schwartzmanin sääntöjä (roomalaisten numeroiden kirjoittamista koskevat säännöt), on 3999 (MMMCMXCIX) - et voi kirjoittaa enempää kuin kolme numeroa peräkkäin.

On monia vertauksia siitä, kuinka joku tarjoaa toiselle maksaakseen hänelle jostain palvelusta seuraavasti: hän laittaa yhden riisinjyvän shakkilaudan ensimmäiseen soluun, kaksi toiseen ja niin edelleen: jokainen seuraava solu on kaksi kertaa niin paljon kuin edellinen. Seurauksena on, että se, joka maksaa tällä tavalla, joutuu varmasti tuhoon. Tämä ei ole yllättävää: se on arvioitu kokonaispaino riisiä tulee olemaan yli 460 miljardia tonnia.

Monissa lähteissä, joiden tarkoituksena on usein rohkaista huonosti suoriutuvia opiskelijoita, väitetään, että Einstein epäonnistui matematiikassa koulussa tai lisäksi opiskeli huonosti kaikissa aineissa. Itse asiassa kaikki ei ollut niin: Albert oli edelleen mukana varhainen ikä alkoi osoittaa lahjakkuutta matematiikassa ja tiesi sen paljon koulun opetussuunnitelman ulkopuolella.

KÄYTÄ 2019:ää matematiikan tehtävässä 19 ratkaisulla

Demo versio kokeesta 2019 matematiikka

Matematiikan yhtenäinen valtiokoe 2019 pdf muodossa Perustaso | Profiilin taso

Matematiikan tenttiin valmistautumisen tehtävät: perus- ja profiilitaso sekä vastaukset ja ratkaisut.

Matematiikka: pohja | profiili 1-12 | | | | | | | | Koti

KÄYTÄ 2019:ää matematiikan tehtävässä 19

KÄYTÄ 2019 matematiikan profiilitason tehtävää 19 ratkaisulla

KÄYTÄ matematiikassa

Luku P on yhtä suuri kuin 11:tä suuremman luonnollisen luvun tulo.
Mikä on pienin määrä luonnollisia jakajia (mukaan lukien yksi ja itse luku), joka P:llä voi olla.

Mikä tahansa luonnollinen luku N voidaan esittää tulona:

N = (p1 x k1) (p2 x k2) ... jne.,

Missä p1, p2 jne. - alkuluvut,

Ja k1, k2 jne. ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja.

Esimerkiksi:

15 = (3 1) (5 1)

72 = 8 x 9 = (2 x 3) (3 2)

Joten luvun N luonnollisten jakajien kokonaismäärä on

(k1 + 1) (k2 + 1) ...

Joten olettaen, P = N1 N2 ... N11, missä
N1 = (p1 x k) (p2 x k) ...
N2 = (p1 x k) (p2 x k) ...
...,
mikä tarkoittaa sitä
P = (p1 x (k + k + ... + k)) (p2 x (k + k + ... + k)) ...,

Ja luvun P luonnollisten jakajien kokonaismäärä on

(k + k + ... + k + 1) (k + k + ... + k + 1) ...

Tämä ilmaisu kestää minimiarvo, jos kaikki luvut N1...N11 ovat saman alkuluvun peräkkäisiä luonnolliset potenssit, alkaen luvusta 1: N1 = p, N2 = p 2, ... N11 = p 1 1.

Eli esim.
N1 = 2 1 = 2,
N2 = 2 2 = 4,
N3 = 2 3 = 8,
...
N11 = 2 1 1 = 2048.

Silloin luvun P luonnollisten jakajien lukumäärä on yhtä suuri
1 + (1 + 2 + 3 + ... + 11) = 67.

KÄYTÄ matematiikassa

Etsi kaikki luonnolliset luvut
ei ole esitettävissä kahden muun suhteellisen alkuluvun summana kuin 1.

Ratkaisu:

Jokainen luonnollinen luku voi olla parillinen (2 k) tai pariton (2 k+1).

1. Jos numero on pariton:
n = 2k+1 = (k)+(k+1). Numerot k ja k+1 ovat aina alkulukuja

(jos on jokin luku d, joka on x:n ja y:n jakaja, niin myös luvun |x-y| on oltava jaollinen d:llä. (k+1)-(k) = 1, eli 1:n on oltava jaollinen d:llä, ts. d=1, ja tämä on todiste molemminpuolisesta yksinkertaisuudesta)

Toisin sanoen olemme osoittaneet, että kaikki parittomat luvut voidaan esittää kahden suhteellisen alkuluvun summana.
Poikkeuksena ehdon mukaan ovat luvut 1 ja 3, koska 1:tä ei voi esittää ollenkaan luonnollisten lukujen summana ja 3 = 2 + 1 eikä mikään muu, eikä yksikkö terminä sovi ehtoon.

2. Jos luku on parillinen:
n = 2 k
Tässä on otettava huomioon kaksi tapausta:

2.1. k - parillinen, ts. esitetään muodossa k = 2 m.
Sitten n = 4m = (2m+1)+(2m-1).
Lukuilla (2 m+1) ja (2 m-1) voi olla vain yhteinen jakaja (katso edellä), joka jakaa luvun (2 m+1)-(2 m-1) = 2. 2 on jaollinen 1:llä ja 2.
Mutta jos jakaja on 2, niin käy ilmi, että pariton luku 2 m + 1 täytyy olla jaollinen kahdella. Näin ei voi olla, joten jäljelle jää vain 1.

Joten todistimme, että kaikki 4 m:n muotoiset luvut (eli 4:n kerrannaiset) voidaan esittää myös kahden koprime-luvun summana.
Tässä poikkeuksena on luku 4 (m=1), joka, vaikka se voidaan esittää muodossa 1 + 3, ei silti sovi meille termiksi.

2.1. k - pariton, ts. esitetään muodossa k = 2 m-1.
Sitten n = 2 (2 m-1) = 4 m-2 = (2 m-3)+(2 m+1)
Lukuilla (2 m-3) ja (2 m + 1) voi olla yhteinen jakaja, joka jakaa luvun 4. Eli joko 1, 2 tai 4. Mutta ei 2 eikä 4 ole hyvä, koska (2 m + 1) on pariton luku, eikä sitä voida jakaa kahdella tai neljällä.

Joten todistimme, että kaikki luvut, jotka ovat muotoa 4 m-2 (eli kaikki 2:n kerrannaiset, mutta eivät 4:n kerrannaiset) voidaan esittää myös kahden koprime-luvun summana.
Tässä poikkeuksena ovat luvut 2 (m=1) ja 6 (m=2), joissa yksi koprime-pariksi jaottelun termeistä on yhtä suuri kuin yksi.