Jatkamme valmiiden vastausten analysointia rajateoriasta ja keskitymme tänään vain tapaukseen, jossa funktion muuttuja tai sekvenssin luku pyrkii äärettömyyteen. Ohjeet rajan laskemiseen äärettömyyteen pyrkivällä muuttujalla annettiin aiemmin, tässä keskitytään vain yksittäistapauksiin, jotka eivät ole kaikille ilmeisiä ja yksinkertaisia.

Esimerkki 35. Meillä on murto-osan muodossa oleva sekvenssi, jossa osoittaja ja nimittäjä ovat juurifunktioita.
Meidän on löydettävä raja, koska luku pyrkii äärettömään.
Tässä ei tarvitse paljastaa osoittajan irrationaalisuutta, vaan vain analysoida huolellisesti juuret ja selvittää, missä luvun korkeampi aste sisältyy.
Ensimmäisessä meillä on osoittajan juuret kertoimella n ^ 4, eli n ^ 2 voidaan ottaa pois suluista.
Teemme samoin nimittäjällä.
Seuraavaksi estimoimme jaksossa olevien radikaalilausekkeiden arvon rajaan.

Saimme jaon nollalla, mikä on väärin koulukurssilla, mutta rajasiirtymässä tämä on sallittua.
Vain muutoksella "arvioimaan, missä toiminto on taipumus".
Siksi kaikki opettajat eivät voi tulkita yllä olevaa merkintää oikeaksi, vaikka he ymmärtävät, että tuloksena oleva raja ei muutu tästä.
Katsotaanpa vastausta, joka on koottu opettajien vaatimusten mukaisesti teorian mukaan.
Yksinkertaistamiseksi arvioimme vain tärkeimmät lisäykset juuren alla

Lisäksi osoittajan aste on 2, nimittäjässä 2/3, joten osoittaja kasvaa nopeammin, mikä tarkoittaa, että raja pyrkii äärettömään.
Sen etumerkki riippuu tekijöistä kohdassa n^2, n^(2/3) , joten se on positiivinen.

Esimerkki 36. Tarkastellaan esimerkkiä jakolajasta eksponentiaaliset funktiot. Tällaisia ​​käytännön esimerkkejä on vähän, joten kaikki opiskelijat eivät ymmärrä helposti, kuinka ilmaantuvia epävarmuustekijöitä voidaan paljastaa.
Osoittajan ja nimittäjän maksimikerroin on 8^n , ja yksinkertaista sitä

Seuraavaksi arvioimme kunkin termin panoksen
Termit 3/8 menevät nollaan, kun muuttuja menee äärettömään, koska 3/8<1 (свойство степенно-показательной функции).

Esimerkki 37. Kertoimia sisältävän sekvenssin raja selvitetään kirjoittamalla kertoja uudelleen osoittajan ja nimittäjän suurimmaksi yhteiseksi tekijäksi.
Seuraavaksi pienennämme sitä ja arvioimme rajan osoittajassa ja nimittäjässä olevien numeroindikaattoreiden arvolla.
Esimerkissämme nimittäjä kasvaa nopeammin, joten raja on nolla.


Tässä käytetään seuraavaa

tekijän omaisuutta.

Esimerkki 38. Käyttämättä L'Hopitalin sääntöä, vertaamme muuttujan maksimiarvoja murtoluvun osoittajassa ja nimittäjässä.
Koska nimittäjä sisältää muuttujan 4>2 suurimman indeksin, niin se kasvaa nopeammin.
Tästä päätämme, että funktion raja pyrkii nollaan.

Esimerkki 39. Paljastamme muodon ääretön jaettuna äärettömällä piirteen ottamalla x ^ 4 murtoluvun osoittajasta ja nimittäjästä.
Rajalle siirtymisen tuloksena saamme äärettömän.

Esimerkki 40
Osoittajassa ja nimittäjässä olevan muuttujan korkein aste on 3, mikä tarkoittaa, että raja on olemassa ja on yhtä suuri kuin teräs.
Otamme pois x^3:n ja suoritamme läpikulun rajaan asti

Esimerkki 41. Meillä on ykköstyypin singulariteetti äärettömyyden potenssiin.
Ja tämä tarkoittaa, että suluissa oleva lauseke ja itse indikaattori on vähennettävä toiseksi tärkeäksi rajaksi.
Kirjoitetaan osoittaja, jotta siinä korostetaan nimittäjän kanssa identtinen lauseke.
Seuraavaksi siirrytään lausekkeeseen, joka sisältää yksikön ja termin.
Asteeksi sinun on valittava kerroin 1 / (termi).
Siten saamme eksponentin murto-osan rajan potenssissa.

Singulaarisuuden paljastamiseksi käytettiin toista rajaa:

Esimerkki 42. Meillä on ykköstyypin singulariteetti äärettömyyden potenssiin.
Sen paljastamiseksi funktio on vähennettävä toiseen merkittävään rajaan.
Kuinka tämä tehdään, esitetään yksityiskohtaisesti alla olevassa kaavassa.


Voit löytää monia vastaavia ongelmia. Niiden ydin on saada haluttu aste indikaattorissa, ja se on yhtä suuri kuin suluissa olevan termin käänteisluku yksiköissä.
Tällä tavalla saamme eksponentin. Jatkolaskenta rajoittuu eksponentin asteen rajan laskemiseen.
Tässä eksponentiaalinen funktio pyrkii äärettömyyteen, koska arvo on suurempi kuin yksi e=2.72>1.

Esimerkki 43 Murtoluvun nimittäjässä meillä on epävarmuus, jonka tyyppi on ääretön miinus ääretön, itse asiassa yhtä suuri kuin jako nollaan.
Päästäksemme eroon juuresta kerromme konjugaattilausekkeella ja kirjoitamme sitten nimittäjä uudelleen käyttämällä neliöiden erotuskaavaa.
Saamme äärettömyyden epävarmuuden jaettuna äärettömyydellä, joten otamme muuttujan suurimmassa määrin pois ja pienennämme sitä sillä.
Seuraavaksi arvioimme kunkin termin panoksen ja löydämme funktion rajan äärettömyydessä

Tämä online-matematiikan laskin auttaa sinua tarvittaessa laske toimintoraja. Ohjelmoida rajaratkaisuja ei vain anna vastausta ongelmaan, se johtaa yksityiskohtainen ratkaisu selityksien kanssa, eli näyttää rajan laskennan edistymisen.

Tämä ohjelma voi olla hyödyllinen lukiolaisille yleissivistävät koulut kokeisiin ja kokeisiin valmistautuessa, kun tietoja testataan ennen yhtenäistä valtiontutkintoa, vanhemmat voivat hallita monien matematiikan ja algebran ongelmien ratkaisua. Tai ehkä sinulle on liian kallista palkata tutor tai ostaa uusia oppikirjoja? Vai haluatko vain saada sen valmiiksi mahdollisimman pian? kotitehtävät matematiikka vai algebra? Tässä tapauksessa voit myös käyttää ohjelmiamme yksityiskohtaisen ratkaisun kanssa.

Tällä tavalla voit suorittaa oman harjoittelusi ja/tai kouluttaa omasi nuoremmat veljet tai sisaruksia, kun taas koulutustaso ratkaistavien tehtävien alalla nousee.

Syötä funktiolauseke

Laske raja

Havaittiin, että joitain tämän tehtävän ratkaisemiseen tarvittavia komentosarjoja ei ladattu, eikä ohjelma välttämättä toimi.
AdBlock voi olla käytössä.
Tässä tapauksessa poista se käytöstä ja päivitä sivu.

JavaScript on poistettu käytöstä selaimessasi.
JavaScriptin on oltava käytössä, jotta ratkaisu tulee näkyviin.
Tässä on ohjeet JavaScriptin käyttöönottoon selaimessasi.

Koska On paljon ihmisiä, jotka haluavat ratkaista ongelman, pyyntösi on jonossa.
Muutaman sekunnin kuluttua ratkaisu tulee näkyviin alle.
Odota, ole hyvä sek...

Jos sinä huomasi ratkaisussa virheen, voit kirjoittaa siitä palautelomakkeeseen.
Älä unohda ilmoittaa mikä tehtävä sinä päätät mitä syötä kenttiin.

Pelimme, palapelimme, emulaattorimme:

Vähän teoriaa.

Funktion raja kohdassa x-> x 0

Olkoon funktio f(x) määritelty jossain joukossa X ja pisteen \(x_0 \in X \) tai \(x_0 \notin X \)

Ota X:stä jokin muu pisteiden sarja kuin x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
konvergoimassa x*:aan. Funktioarvot tämän sekvenssin kohdissa muodostavat myös numeerisen sekvenssin
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
ja voidaan esittää kysymys sen rajan olemassaolosta.

Määritelmä. Lukua A kutsutaan funktion f (x) rajaksi pisteessä x \u003d x 0 (tai kohdassa x -> x 0), jos jollakin argumentin x arvosarjalla (1) joka konvergoi x 0:aan, joka on erilainen kuin x 0, vastaava arvojono (2) funktio konvergoi numeroon A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

Funktiolla f(x) voi olla vain yksi raja pisteessä x 0. Tämä seuraa siitä tosiasiasta, että sekvenssi
(f(x n)) on vain yksi raja.

On olemassa toinen määritelmä funktion rajalle.

Määritelmä Lukua A kutsutaan funktion f(x) rajaksi pisteessä x = x 0, jos mille tahansa luvulle \(\varepsilon > 0 \) on olemassa luku \(\delta > 0 \) siten, että kaikille \ (x \in X, \; x \neq x_0 \) tyydyttää epäyhtälön \(|x-x_0| Käyttäen loogisia symboleja, tämä määritelmä voidaan kirjoittaa muodossa
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Huomaa, että epäyhtälöt \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| Ensimmäinen määritelmä perustuu käsitteeseen numeerisen sekvenssin rajasta, joten sitä kutsutaan usein "sekvenssikielen" määritelmäksi. Toista määritelmää kutsutaan "\(\varepsilon - \delta" \)" määritelmä.
Nämä kaksi funktion rajan määritelmää ovat samanarvoisia, ja voit käyttää kumpaa tahansa niistä sen mukaan, kumpi on sopivampaa tietyn ongelman ratkaisemiseksi.

Huomaa, että funktion rajan määritelmää "sekvenssien kielellä" kutsutaan myös funktion rajan määritelmäksi Heinen mukaan ja funktion rajan määritelmää "kielellä \(\varepsilon - \delta \)" kutsutaan myös Cauchyn mukaan funktion rajan määritelmäksi.

Toimintoraja kohdassa x->x 0 - ja kohdassa x->x 0 +

Seuraavassa käytämme funktion yksipuolisten rajojen käsitteitä, jotka määritellään seuraavasti.

Määritelmä Lukua A kutsutaan funktion f (x) oikeaksi (vasemmaksi) rajaksi pisteessä x 0, jos jokaiselle sekvenssille (1), joka konvergoi x 0:aan, jonka alkiot x n ovat suurempia (pienempiä) kuin x 0, vastaava jono. (2) konvergoi A:han.

Symbolisesti se on kirjoitettu näin:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \oikea) $$

Voidaan antaa vastaava määritelmä funktion yksipuolisille rajoituksille "kielellä \(\varepsilon - \delta \)":

Määritelmä lukua A kutsutaan funktion f(x) oikeaksi (vasemmaksi) rajaksi pisteessä x 0, jos jollekin \(\varepsilon > 0 \) on olemassa \(\delta > 0 \) siten, että kaikki x:t täyttävät epäyhtälöt \(x_0 Symboliset merkinnät:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0

Katsotaanpa havainnollistavia esimerkkejä.

Olkoon x numeerinen muuttuja, X sen muutoksen alue. Jos jokainen X:ään kuuluva luku x liittyy johonkin numeroon y, sanotaan, että joukossa X on määritelty funktio, ja kirjoitetaan y \u003d f (x).
Joukko X on tässä tapauksessa taso, joka koostuu kahdesta koordinaattiakselista - 0X ja 0Y. Piirretään esimerkiksi funktio y \u003d x 2. Akselit 0X ja 0Y muodostavat X - sen muutosalueen. Kuvassa näkyy selvästi, miten toiminto toimii. Tässä tapauksessa sanomme, että funktio y \u003d x 2 on määritelty joukossa X.

Funktion kaikkien yksityisten arvojen joukkoa Y kutsutaan arvojen joukoksi f(x). Toisin sanoen arvojoukko on 0Y-akselin väli, jossa funktio määritellään. Kuvattu paraabeli osoittaa selvästi, että f(x) > 0 , koska x2 > 0. Siksi alue on . Katsomme arvojoukkoa 0Y:n mukaan.

Kaikkien x:n kokonaisuutta kutsutaan f(x:n) alueeksi. Tarkastelemme määritelmien joukkoa 0X:llä ja meidän tapauksessamme kelvollisten arvojen alue on [-; +].

Pistettä a (a kuuluu tai X) kutsutaan joukon X rajapisteeksi, jos missä tahansa pisteen a ympäristössä on joukon X muita pisteitä kuin a.

On aika ymmärtää - mikä on funktion raja?

Puhdas b, johon funktio pyrkii, kun x pyrkii numeroon a, kutsutaan toimintoraja. Se on kirjoitettu seuraavasti:

Esimerkiksi f (x) \u003d x 2. Meidän on selvitettävä, mihin funktio pyrkii (ei ole yhtä suuri) kohdassa x 2. Kirjoitetaan ensin raja:

Katsotaanpa kaaviota.

Piirrä 0Y-akselin suuntainen viiva 0X-akselin pisteen 2 kautta. Se ylittää kaaviomme pisteessä (2;4). Pudotetaan tästä pisteestä kohtisuora 0Y-akselille - ja päästään pisteeseen 4. Tähän funktiomme pyrkii x 2:ssa. Jos nyt korvaamme arvon 2 f (x) -funktiossa, niin vastaus tulee ole sama.

Nyt ennen kuin siirryt asiaan rajan laskeminen, esittelemme perusmääritelmiä.

Sen esitteli ranskalainen matemaatikko Augustin Louis Cauchy 1800-luvulla.

Oletetaan, että funktio f(x) on määritelty jollain välillä, joka sisältää pisteen x = A, mutta f(A):n arvon määrittäminen ei ole ollenkaan välttämätöntä.

Sitten Cauchyn määritelmän mukaan toimintoraja f(x) on jokin luku B kohdassa x, joka pyrkii A:han, jos jokaisella C > 0:lla on luku D > 0 siten, että

Nuo. jos funktio f(x) kohdassa x A on rajoitettu rajalla B, tämä kirjoitetaan muodossa

Sekvenssirajoitus tiettyä lukua A kutsutaan, jos jollekin mielivaltaisen pienelle positiiviselle luvulle B > 0 on sellainen luku N, jolle kaikki arvot tapauksessa n > N täyttävät epäyhtälön

Tämä raja näyttää tältä.

Sekvenssiä, jolla on raja, kutsutaan konvergentiksi, jos ei, divergentiksi.

Kuten olet jo huomannut, rajat ilmaistaan ​​lim-merkillä, jossa muuttujan jokin ehto kirjoitetaan, ja sitten itse funktio on jo kirjoitettu. Tällainen joukko luetaan "funktion rajaksi ehdolla ...". Esimerkiksi:

on funktion raja, koska x pyrkii 1:een.

Ilmaus "menee 1:een" tarkoittaa, että x ottaa peräkkäin arvoja, jotka lähestyvät äärettömän lähellä yhtä.

Nyt käy selväksi, että tämän rajan laskemiseksi riittää, että korvataan arvo 1 x:n sijaan:

Tietyn numeerisen arvon lisäksi x voi myös pyrkiä äärettömään. Esimerkiksi:

Lauseke x tarkoittaa, että x kasvaa jatkuvasti ja lähestyy ääretöntä loputtomasti. Siksi, kun x:n sijaan korvataan ääretön, käy ilmeiseksi, että funktio 1-x pyrkii, mutta päinvastaisella merkillä:

Tällä tavalla, rajan laskeminen riippuu sen löytämisestä erityinen merkitys tai tietty alue, jolle rajan rajoittama funktio osuu.

Edellä olevan perusteella seuraa, että rajoja laskettaessa on tärkeää käyttää useita sääntöjä:

tajuamalla rajan ydin ja perussäännöt rajalaskelmat, saat keskeisen käsityksen niiden ratkaisemisesta. Jos mikä raja aiheuttaa sinulle vaikeuksia, kirjoita kommentteihin ja autamme sinua ehdottomasti.

Huomaa: Oikeustiede on lakitiede, joka auttaa konflikteissa ja muissa elämänvaikeuksissa.

Yllä olevasta artikkelista saat selville, mikä on raja ja millä sitä syödään - tämä on ERITTÄIN tärkeää. Miksi? Et ehkä ymmärrä mitä determinantit ovat ja ratkaise ne onnistuneesti, et ehkä ymmärrä ollenkaan mitä johdannainen on ja löydä ne "viiden" joukosta. Mutta jos et ymmärrä, mikä raja on, käytännön tehtävien ratkaiseminen on vaikeaa. Ei myöskään ole tarpeetonta tutustua päätösten suunnittelunäytteisiin ja suunnittelusuosituksiini. Kaikki tiedot esitetään yksinkertaisella ja helposti saatavilla olevalla tavalla.

Ja tätä oppituntia varten tarvitsemme seuraavat metodologiset materiaalit: Merkittävät rajat ja Trigonometriset kaavat. Ne löytyvät sivulta. Oppaat on parasta tulostaa - se on paljon kätevämpää, lisäksi niitä on usein käytettävä offline-tilassa.

Mitä ihmeellistä on upeissa rajoissa? Näiden rajojen huomionarvoisuus piilee siinä, että kuuluisien matemaatikoiden suurimmat mielet ovat todenneet ne, ja kiitollisten jälkeläisten ei tarvitse kärsiä kamalista rajoista. trigonometriset funktiot, logaritmit, asteet. Eli rajoja etsittäessä käytetään valmiita, teoreettisesti todistettuja tuloksia.

On olemassa useita merkittäviä rajoja, mutta käytännössä osa-aikaisilla opiskelijoilla on 95 prosentissa tapauksista kaksi merkittävää rajaa: Ensimmäinen ihana raja , Toinen ihana raja. On huomattava, että nämä ovat historiallisesti vakiintuneita nimiä, ja kun he esimerkiksi puhuvat "ensimmäisestä merkittävästä rajasta", he tarkoittavat tällä hyvin erityistä asiaa, ei mitään katosta otettua satunnaista rajaa.

Ensimmäinen upea raja

Harkitse seuraavaa rajaa: (Käytän alkuperäisen kirjaimen "hän" sijaan kreikkalainen kirjain"alfa", se on kätevämpää materiaalin esittämisen kannalta).

Rajojen löytämissääntömme mukaan (katso artikkeli Rajoitukset. Ratkaisuesimerkkejä) yritämme korvata funktioon nollan: osoittajassa saamme nollan (nollan sini on nolla), nimittäjässä tietysti myös nolla. Edessämme on siis muodon epämääräisyys, jota ei onneksi tarvitse paljastaa. Tiedän matemaattinen analyysi, on todistettu, että:

Tätä matemaattista tosiasiaa kutsutaan Ensimmäinen upea raja. En anna analyyttistä todistetta rajasta, mutta tässä se on geometrinen merkitys Katsotaanpa oppituntia äärettömän pienet funktiot.

Usein käytännön tehtävissä toiminnot voidaan järjestää eri tavalla, tämä ei muuta mitään:

– sama ensimmäinen ihana raja.

Mutta et voi itse järjestää osoittajaa ja nimittäjää uudelleen! Jos raja on annettu muodossa , niin se on ratkaistava samassa muodossa ilman mitään uudelleenjärjestelyä.

Käytännössä ei vain muuttuja voi toimia parametrina, vaan myös alkeistoiminto, monimutkainen toiminto. On vain tärkeää, että se pyrkii nollaan.

Esimerkkejä:
, , ,

Täällä , , , , ja kaikki surina - ensimmäinen upea raja on voimassa.

Ja tässä on seuraava merkintä - harhaoppi:

Miksi? Koska polynomilla ei ole tapana nolla, se pyrkii viiteen.

Kysymys on muuten täytöstä, mutta mikä on raja ? Vastaus löytyy oppitunnin lopusta.

Käytännössä kaikki ei ole niin sujuvaa, tuskin koskaan opiskelijalle tarjotaan ilmaisen rajan ratkaisemista ja helpon hyvityksen saamista. Hmm... kirjoitan näitä rivejä, ja mieleen tuli erittäin tärkeä ajatus - loppujen lopuksi näyttää olevan parempi muistaa "ilmaiset" matemaattiset määritelmät ja kaavat ulkoa, tästä voi olla korvaamaton apu testissä, kun asia ratkaistaan ​​"kahden" ja "kolmen" välillä, ja opettaja päättää kysyä opiskelijalta yksinkertaisen kysymyksen tai tarjota ratkaisua yksinkertaisin esimerkki("ehkä hän (a) tietää vielä mitä?!").

Siirrytään käytännön esimerkkeihin:

Esimerkki 1

Löydä raja

Jos havaitsemme rajassa sinin, tämän pitäisi välittömästi saada meidät ajattelemaan mahdollisuutta soveltaa ensimmäistä merkittävää rajaa.

Ensin yritämme korvata 0:lla rajamerkin alla olevaa lauseketta (teemme tämän henkisesti tai luonnoksessa):

Meillä on siis muodon määrittelemättömyys, sen muista ilmoittaa päätöksenteossa. Rajamerkin alla oleva lauseke näyttää ensimmäiseltä upealta rajalta, mutta tämä ei ole aivan sitä, se on sinin alla, mutta nimittäjässä.

Tällaisissa tapauksissa meidän on järjestettävä ensimmäinen ihana raja itse, käyttämällä keinotekoista laitetta. Päättely voi olla seuraava: "sinin alla, joka meillä on, mikä tarkoittaa, että meidän on päästävä myös nimittäjään".
Ja tämä tehdään hyvin yksinkertaisesti:

Eli nimittäjä kerrotaan keinotekoisesti tässä tapauksessa 7:llä ja jaetaan samalla seitsemällä. Nyt levy on saanut tutun muodon.
Kun tehtävä on piirretty käsin, on suositeltavaa merkitä ensimmäinen ihana raja yksinkertaisella kynällä:

Mitä tapahtui? Itse asiassa ympyröity lauseke on muuttunut yksiköksi ja kadonnut tuotteeseen:

Nyt on vain päästävä eroon kolmikerroksisesta murto-osasta:

Joka on unohtanut monikerroksisten murtolukujen yksinkertaistamisen, päivitä lähdekirjan materiaali Kuumat koulumatematiikan kaavat .

Valmis. Lopullinen vastaus:

Jos et halua käyttää kynämerkkejä, ratkaisu voidaan muotoilla seuraavasti:

“

Käytämme ensimmäistä merkittävää rajaa

“

Esimerkki 2

Löydä raja

Jälleen näemme rajassa murto-osan ja sinin. Yritämme korvata nollan osoittajassa ja nimittäjässä:

Meillä on todellakin epävarmuutta, ja siksi meidän on yritettävä järjestää ensimmäinen merkittävä raja. Oppitunnilla Rajoitukset. Ratkaisuesimerkkejä harkitsimme sääntöä, että kun meillä on epävarmuus , meidän on jaettava osoittaja ja nimittäjä tekijöiksi. Tässä - sama asia, esittelemme tutkinnot tuotteena (kertoimet):

Kuten edellisessä esimerkissä, hahmottelemme lyijykynällä upeat rajat (tässä niitä on kaksi) ja osoitamme, että ne pyrkivät yhteen:

Itse asiassa vastaus on valmis:

Seuraavissa esimerkeissä en tee taidetta Paintissa, ajattelen kuinka tehdä ratkaisu oikein muistikirjaan - ymmärrät jo.

Esimerkki 3

Löydä raja

Korvaamme nollan lausekkeessa rajamerkin alla:

On saatu epävarmuus, joka pitää paljastaa. Jos rajassa on tangentti, se muunnetaan melkein aina siniksi ja kosiniksi tunnetun trigonometrisen kaavan mukaan (muuten, he tekevät suunnilleen saman kotangentin kanssa, katso metodologinen materiaali Kuumat trigonometriset kaavat Sivulla Matemaattiset kaavat, taulukot ja vertailumateriaalit).

Tässä tapauksessa:

Nollan kosini on yhtä suuri kuin yksi, ja siitä on helppo päästä eroon (älä unohda merkitä, että se pyrkii yhteen):

Jos siis rajassa kosini on KERTOJA, niin karkeasti sanottuna se on muutettava yksiköksi, joka katoaa tuloon.

Täällä kaikki osoittautui yksinkertaisemmiksi, ilman kertomuksia ja jakoja. Ensimmäinen merkittävä raja muuttuu myös yhtenäisyydeksi ja katoaa tuotteeseen:

Tuloksena ääretön saadaan, se tapahtuu.

Esimerkki 4

Löydä raja

Yritämme korvata nollan osoittajassa ja nimittäjässä:

Saatu epävarmuus (nollan kosini, kuten muistamme, on yhtä suuri kuin yksi)

Käytämme trigonometrinen kaava. Pistä muistiin! Jostain syystä tätä kaavaa käyttävät rajoitukset ovat hyvin yleisiä.

Otamme pois vakiokertoimet rajakuvakkeen yli:

Järjestetään ensimmäinen merkittävä raja:

Tässä meillä on vain yksi ihana raja, joka muuttuu yhdeksi ja katoaa tuotteeseen:

Päästään eroon kolmikerroksisesta:

Raja on itse asiassa ratkaistu, osoitamme, että jäljellä oleva sini pyrkii nollaan:

Esimerkki 5

Löydä raja

Tämä esimerkki on monimutkaisempi, yritä selvittää se itse:

Jotkut rajat voidaan pienentää ensimmäiseen merkittävään rajaan muuttujaa vaihtamalla, voit lukea tästä hieman myöhemmin artikkelista Rajaa ratkaisumenetelmät.

Toinen ihana raja

Matemaattisen analyysin teoriassa on todistettu, että:

Tätä tosiasiaa kutsutaan toinen merkittävä raja.

Viite: on irrationaalinen luku.

Ei vain muuttuja voi toimia parametrina, vaan myös monimutkainen funktio. On vain tärkeää, että se pyrkii äärettömyyteen.

Esimerkki 6

Löydä raja

Kun rajamerkin alla oleva lauseke on vallassa - tämä on ensimmäinen merkki siitä, että sinun on yritettävä soveltaa toista ihanaa rajaa.

Mutta ensin, kuten aina, yritämme korvata lauseeseen äärettömän suuren luvun, minkä periaatteen mukaan tämä tehdään, sitä analysoitiin oppitunnilla Rajoitukset. Ratkaisuesimerkkejä.

Se on helppo nähdä milloin asteen kanta ja eksponentti - , eli muodossa on epävarmuus:

Tämä epävarmuus paljastuu juuri toisen merkittävän rajan avulla. Mutta kuten usein tapahtuu, toinen ihana raja ei ole hopeavadilla, ja se on järjestettävä keinotekoisesti. Voit perustella seuraavasti: tämä esimerkki parametri , mikä tarkoittaa , että meidän on myös järjestettävä . Tätä varten nostamme kantaa potenssiin, ja jotta lauseke ei muutu, nostamme sen potenssiin:

Kun tehtävä on laadittu käsin, merkitsemme lyijykynällä:

Melkein kaikki on valmista, kauheasta tutkinnosta on tullut kaunis kirje:

Samanaikaisesti itse raja-kuvake siirretään indikaattoriin:

Esimerkki 7

Löydä raja

Huomio! Tämän tyyppinen raja on hyvin yleinen, joten tutustu tähän esimerkkiin erittäin huolellisesti.

Yritämme korvata äärettömän suuren luvun lausekkeessa rajamerkin alla:

Tuloksena on epävarmuus. Mutta toinen merkittävä raja koskee muodon epävarmuutta. Mitä tehdä? Sinun on muunnettava tutkinnon perusta. Päättelemme näin: nimittäjässä meillä on , mikä tarkoittaa, että meidän on järjestettävä myös osoittajaan.

Rajateoria on yksi matemaattisen analyysin haaroista. Kysymys rajojen ratkaisemisesta on varsin laaja, koska rajojen ratkaisemiseen on olemassa kymmeniä menetelmiä monenlaisia. On olemassa kymmeniä vivahteita ja temppuja, joiden avulla voit ratkaista yhden tai toisen rajan. Siitä huolimatta yritämme edelleen ymmärtää tärkeimmät käytännössä kohdattavat rajatyypit.

Aloitetaan rajan käsitteestä. Mutta ensin lyhyt historiallinen tausta. Olipa kerran ranskalainen Augustin Louis Cauchy 1800-luvulla, joka loi perustan matemaattiselle analyysille ja antoi tiukat määritelmät, erityisesti rajan määritelmän. On sanottava, että tämä sama Cauchy näki, haaveilee ja tulee uneksimaan kaikkien fyysisten ja matemaattisten tiedekuntien opiskelijoiden painajaisissa, koska hän osoitti valtavan määrän matemaattisen analyysin lauseita, ja yksi lause on inhottavampi kuin toinen. Tältä osin emme harkitse rajan tiukkaa määritelmää, vaan yritämme tehdä kaksi asiaa:

1. Ymmärrä, mikä raja on.
2. Opi ratkaisemaan tärkeimmät rajatyypit.

Pahoittelen joitakin epätieteellisiä selityksiä, on tärkeää, että materiaali on ymmärrettävää teekannullekin, mikä itse asiassa on projektin tehtävä.

Joten mikä on raja?

Ja heti esimerkki siitä, miksi pitää isoäitiäsi räjäyttää...

Mikä tahansa raja koostuu kolmesta osasta:

1) Tunnettu raja-kuvake.
2) merkinnät raja-kuvakkeen alla, tässä tapauksessa . Merkintä kuuluu "x pyrkii yhtenäisyyteen". Useimmiten - täsmälleen, vaikka "x":n sijasta käytännössä on muita muuttujia. Käytännön tehtävissä yksikön sijasta voi olla mikä tahansa luku, samoin kuin ääretön ().
3) Toiminnot rajamerkin alla, tässä tapauksessa .

Itse levy kuuluu näin: "funktion raja, kun x pyrkii yhtenäisyyteen."

Analysoidaan seuraavaa tärkeää kysymystä - mitä lauseke "x etsii yhtenäisyyteen? Ja mikä on "pyrkiminen"?
Rajan käsite on niin sanotusti käsite, dynaaminen. Muodostetaan jono: ensin , sitten , , …, , ….
Eli ilmaisu "x etsii yhteen" tulee ymmärtää seuraavasti - "x" ottaa johdonmukaisesti arvot jotka ovat äärettömän lähellä yhtenäisyyttä ja käytännössä yhtenevät sen kanssa.

Miten yllä oleva esimerkki ratkaistaan? Yllä olevan perusteella sinun tarvitsee vain korvata yksikkö rajamerkin alla olevassa funktiossa:

Ensimmäinen sääntö on siis: Kun sinulle annetaan jokin raja, yritä ensin liittää numero funktioon.

Olemme tarkistaneet yksinkertaisin raja, mutta näitä löytyy myös käytännössä, eikä niin harvinaista!

Infinity esimerkki:

Ymmärtää mitä se on? Tämä on tilanne, kun se kasvaa loputtomasti, toisin sanoen: ensin, sitten, sitten, sitten ja niin edelleen loputtomiin.

Ja mitä toiminnolle tapahtuu tällä hetkellä?
, , , …

Joten: jos , niin funktiolla on taipumus miinus äärettömään:

Karkeasti ottaen ensimmäisen sääntömme mukaan korvaamme funktioon äärettömän "x":n sijaan ja saamme vastauksen .

Toinen esimerkki äärettömyydestä:

Alamme jälleen kasvaa äärettömyyteen ja tarkastelemme funktion käyttäytymistä:

Johtopäätös: , funktio kasvaa loputtomasti:

Ja toinen esimerkkisarja:

Yritä itse analysoida mielessäsi seuraavat asiat ja muistaa yksinkertaisimmat rajatyypit:

, , , , , , , , ,
Jos jossain on epäilyksiä, voit ottaa laskimen ja harjoitella vähän.
Siinä tapauksessa yritä rakentaa sekvenssi , , . Jos sitten , , .

Huomaa: tarkalleen ottaen tämä lähestymistapa useiden lukujen sekvenssien rakentamiseen on virheellinen, mutta se sopii varsin yksinkertaisimpien esimerkkien ymmärtämiseen.

Kiinnitä huomiota myös seuraavaan asiaan. Vaikka raja on annettu suurella numerolla ylhäällä tai ainakin miljoonalla: , niin silti , koska ennemmin tai myöhemmin "x" saa niin jättimäiset arvot, että miljoona heihin verrattuna on todellinen mikrobi.

Mitä yllä olevasta tulee muistaa ja ymmärtää?

1) Kun jokin raja on annettu, yritämme ensin yksinkertaisesti korvata funktion numeron.

2) Sinun on ymmärrettävä ja ratkaistava välittömästi yksinkertaisimmat rajat, kuten , , jne.

Nyt tarkastellaan rajojen ryhmää, kun , ja funktio on murtoluku, jonka osoittajassa ja nimittäjässä ovat polynomit

Esimerkki:

Laske raja

Sääntömme mukaan yritämme korvata äärettömän funktiolla. Mitä saamme huipulla? ääretön. Ja mitä tapahtuu alla? Myös äärettömyys. Näin ollen meillä on muodon niin kutsuttu epämääräisyys. Voisi luulla, että , ja vastaus on valmis, mutta yleisessä tapauksessa näin ei ole ollenkaan, vaan täytyy soveltaa jotain ratkaisua, jota nyt tarkastelemme.

Kuinka ratkaista tämän tyyppiset rajat?

Ensin katsomme osoittajaa ja löydämme suurimman tehon:

Osoittimen suurin teho on kaksi.

Nyt katsomme nimittäjä ja löydämme myös korkeimman asteen:

Nimittäjän suurin potenssi on kaksi.

Sitten valitsemme osoittajan ja nimittäjän suurimman tehon: tässä esimerkissä ne ovat samat ja yhtä kuin kaksi.

Ratkaisumenetelmä on siis seuraava: epävarmuuden paljastamiseksi on välttämätöntä jakaa osoittaja ja nimittäjä korkeimmalla tasolla.

Tässä se on, vastaus, eikä ollenkaan äärettömyys.

Mikä on olennaista päätöksenteossa?

Ensin ilmoitamme epävarmuuden, jos sellaista on.

Toiseksi on toivottavaa keskeyttää ratkaisu väliselityksiä varten. Käytän yleensä merkkiä, sillä ei ole matemaattista merkitystä, vaan se tarkoittaa, että ratkaisu keskeytetään väliselvitystä varten.

Kolmanneksi rajassa on toivottavaa merkitä, mitä ja minne se suuntaa. Kun työ on tehty käsin, on helpompi tehdä se näin:

Muistiinpanoihin on parempi käyttää yksinkertaista kynää.

Tälle ei tietenkään voi mitään, mutta sitten ehkä opettaja huomaa ratkaisun puutteet tai alkaa kysyä lisäkysymyksiä tehtävästä. Ja tarvitsetko sitä?

Esimerkki 2

Löydä raja
Taas osoittajasta ja nimittäjästä löydämme korkeimmassa asteessa:

Enimmäisaste osoittajassa: 3
Nimittäjän enimmäisaste: 4
Valita suurin arvo, tässä tapauksessa neljä.
Algoritmimme mukaan epävarmuuden paljastamiseksi jaamme osoittajan ja nimittäjän luvulla .
Täysi muotoilu työt voivat näyttää tältä:

Jaa osoittaja ja nimittäjä luvulla

Esimerkki 3

Löydä raja
"x":n maksimiaste osoittajassa: 2
"x":n maksimiteho nimittäjässä: 1 (voidaan kirjoittaa muodossa)
Epävarmuuden paljastamiseksi on välttämätöntä jakaa osoittaja ja nimittäjä luvulla. Puhdas ratkaisu voi näyttää tältä:

Jaa osoittaja ja nimittäjä luvulla

Tietue ei tarkoita nollalla jakamista (nollalla ei voi jakaa), vaan jakoa äärettömän pienellä luvulla.

Näin ollen, kun paljastamme muodon määrittämättömyyden, voimme saada äärellinen luku, nolla tai ääretön.

Tyyppiepävarmuuden rajat ja menetelmä niiden ratkaisemiseksi

Seuraava rajojen ryhmä on jossain määrin samanlainen kuin juuri tarkastellut rajat: osoittajassa ja nimittäjässä on polynomeja, mutta "x" ei enää pyri äärettömyyteen, vaan lopullinen numero.

Esimerkki 4

Ratkaise raja
Ensin yritetään korvata -1 murtoluvulla:

Tässä tapauksessa saadaan ns. epävarmuus.

Yleissääntö : jos osoittajassa ja nimittäjässä on polynomeja ja muodossa on epävarmuus, niin sen paljastamiseksi kerroin osoittaja ja nimittäjä.

Tätä varten on usein tarpeen päättää toisen asteen yhtälö ja/tai käytä lyhennettyjä kertolaskukaavoja. Jos nämä asiat unohtuvat, käy sivulla Matemaattiset kaavat ja taulukot ja tarkistaa metodologinen materiaali Kuumat kaavat koulun kurssi matematiikka. Muuten, se on parasta tulostaa, sitä tarvitaan hyvin usein, ja paperilla oleva tieto imeytyy paremmin.

Ratkaisemme siis rajamme

Osoittajan ja nimittäjän faktorointi

Jotta voit kertoa osoittajan, sinun on ratkaistava toisen asteen yhtälö:

Ensin löydämme syrjinnän:

Ja sen neliöjuuri: .

Jos diskriminantti on suuri, esimerkiksi 361, käytämme laskinta, neliöjuurifunktio on yksinkertaisimmalla laskimella.

! Jos juuria ei eroteta kokonaan (saadaan murtoluku pilkulla), on erittäin todennäköistä, että erottaja on laskettu väärin tai tehtävässä on kirjoitusvirhe.

Seuraavaksi löydämme juuret:

Tällä tavalla:

Kaikki. Osoittaja on tekijä.

Nimittäjä. Nimittäjä on jo yksinkertaisin tekijä, eikä sitä voi mitenkään yksinkertaistaa.

Ilmeisesti se voidaan lyhentää seuraavasti:

Nyt korvataan -1 lausekkeessa, joka jää rajamerkin alle:

Luonnollisesti sisään valvoa työtä, testissä, tentissä, päätöstä ei koskaan maalata niin yksityiskohtaisesti. Lopullisessa versiossa suunnittelun pitäisi näyttää suunnilleen tältä:

Lasketaan osoittaja kertoimella.

Esimerkki 5

Laske raja

Ensinnäkin "puhdas" ratkaisu

Otetaan kertoimella osoittaja ja nimittäjä.

Osoittaja:
Nimittäjä:



,

Mikä tässä esimerkissä on tärkeää?
Ensin sinun on ymmärrettävä hyvin, kuinka osoittaja paljastetaan, ensin suluissa 2 ja sitten käytettiin neliöiden erotuskaavaa. Tämä on kaava, joka sinun täytyy tietää ja nähdä.