Yksityisyytesi on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Lue tietosuojakäytäntömme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Seuraavassa on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisiä henkilötietoja voimme kerätä ja kuinka voimme käyttää näitä tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, osoitteesi Sähköposti jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ja ilmoittaa sinulle ainutlaatuisia tarjouksia, kampanjat ja muut tapahtumat ja tulevat tapahtumat.
• Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi lähettääksemme sinulle tärkeitä ilmoituksia ja viestintää.
• Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan kannustimeen, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen paljastaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Ilmoita henkilötietosi siinä tapauksessa, että se on tarpeen - lain, oikeusjärjestyksen, oikeuskäsittelyn mukaisesti ja/tai Venäjän federaation alueella olevien julkisten pyyntöjen tai valtion elinten pyyntöjen perusteella. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muihin yleisen edun mukaisiin tarkoituksiin.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot asianomaiselle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suojaaminen

Suojelemme varotoimia – mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset – henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi säilyttäminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, tiedotamme tietosuoja- ja turvallisuuskäytännöistä työntekijöillemme ja valvomme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Positiivisen luvun b logaritmi kantaan a (a>0, a ei ole yhtä suuri kuin 1) on luku c siten, että a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Huomaa, että ei-positiivisen luvun logaritmia ei ole määritelty. Lisäksi logaritmin kantaluvun on oltava positiivinen luku, joka ei ole yhtä suuri kuin 1. Jos esimerkiksi neliöimme -2, saamme luvun 4, mutta tämä ei tarkoita, että 4:n kanta -2 logaritmi olisi 2.

Peruslogaritminen identiteetti

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

On tärkeää, että tämän kaavan oikean ja vasemman osan määritelmäalueet ovat erilaiset. Vasen puoli on määritelty vain b>0:lle, a>0:lle ja a ≠ 1:lle. Oikea puoli on määritelty mille tahansa b:lle, eikä se riipu a:sta ollenkaan. Siten peruslogaritmisen "identiteetin" käyttäminen yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemisessa voi johtaa DPV:n muutokseen.

Kaksi ilmeistä logaritmin määritelmän seurausta

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Todellakin, kun nostetaan lukua a ensimmäiseen potenssiin, saamme saman luvun, ja kun nostetaan se nollapotenssiin, saamme yhden.

Tulon logaritmi ja osamäärän logaritmi

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Haluaisin varoittaa koululaisia ​​näiden kaavojen ajattelemattomasta soveltamisesta ratkaisun aikana logaritmiset yhtälöt ja eriarvoisuudet. Kun niitä käytetään "vasemmalta oikealle", ODZ kapenee, ja kun siirrytään logaritmien summasta tai erotuksesta tulon tai osamäärän logaritmiin, ODZ laajenee.

Itse asiassa lauseke log a (f (x) g (x)) määritellään kahdessa tapauksessa: kun molemmat funktiot ovat ehdottomasti positiivisia tai kun f(x) ja g(x) ovat molemmat pienempiä kuin nolla.

Muuntamalla tämä lauseke summaksi log a f (x) + log a g (x) , joudumme rajoittumaan vain tapaukseen, jossa f(x)>0 ja g(x)>0. Hyväksyttyjen arvojen vaihteluväli on kaventunut, eikä tätä voida kategorisesti hyväksyä, koska se voi johtaa ratkaisujen menettämiseen. Samanlainen ongelma on kaavalla (6).

Aste voidaan ottaa pois logaritmin etumerkistä

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Ja taas haluaisin vaatia tarkkuutta. Harkitse seuraavaa esimerkkiä:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Yhtälön vasen puoli on luonnollisesti määritelty kaikille f(x):n arvoille nollaa lukuun ottamatta. Oikea puoli on vain f(x)>0! Ottamalla teho pois logaritmista, kavennetaan jälleen ODZ:tä. Käänteinen menettely johtaa sallittujen arvojen alueen laajentamiseen. Kaikki nämä huomautukset eivät koske vain 2:n tehoa, vaan myös mitä tahansa parillista potenssia.

Kaava muuttaa uuteen tukikohtaan

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Se harvinainen tapaus, jolloin ODZ ei muutu muuntamisen aikana. Jos olet valinnut kannan c viisaasti (positiivinen eikä yhtä suuri kuin 1), kaava uuteen kantaan siirtymiseen on täysin turvallinen.

Jos valitsemme luvun b uudeksi kantaksi c, saamme tärkeän kaavan (8) erikoistapauksen:

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Muutamia yksinkertaisia ​​esimerkkejä logaritmeilla

Esimerkki 1 Laske: lg2 + lg50.
Ratkaisu. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Käytimme logaritmien summan kaavaa (5) ja desimaalilogaritmin määritelmää.

Esimerkki 2 Laske: lg125/lg5.
Ratkaisu. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Käytimme uutta kantasiirtymäkaavaa (8).

Taulukko logaritmiin liittyvistä kaavoista

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

log a r b r = log a b tai kirjaudu a b= log a r b r

Logaritmin arvo ei muutu, jos logaritmin kanta ja logaritmin etumerkin alla oleva luku nostetaan samaan potenssiin.

Vain positiiviset luvut voivat olla logaritmin etumerkin alla, eikä logaritmin kanta ole yhtä suuri kuin yksi.

Esimerkkejä.

1) Vertaa log 3 9 ja log 9 81.

log 3 9=2, koska 3 2 =9;

log 9 81 = 2, koska 9 2 = 81.

Joten log 3 9 = log 9 81.

Huomaa, että toisen logaritmin kanta on yhtä suuri kuin ensimmäisen logaritmin kannan neliö: 9=3 2 ja toisen logaritmin etumerkin alla oleva luku on yhtä suuri kuin ensimmäisen logaritmin kannan neliö logaritmi: 81=9 2 . Osoittautuu, että sekä ensimmäisen logaritmin log 3 9 luku että kanta nostettiin toiseen potenssiin, eikä logaritmin arvo muuttunut tästä:

Lisäksi juuren purkamisen jälkeen n aste joukosta a on luvun rakentaminen a jossain määrin ( 1/n), niin log 3 9 voidaan saada log 9 81:stä ottamalla luvun neliöjuuri ja logaritmin kanta:

2) Tarkista yhtäläisyys: log 4 25=log 0,5 0,2.

Harkitse ensimmäistä logaritmia. Ota pohjan neliöjuuri 4 ja joukosta 25 ; saamme: log 4 25 = log 2 5.

Harkitse toista logaritmia. Logaritmin kanta: 0,5= 1/2. Tämän logaritmin etumerkin alla oleva luku: 0,2= 1/5. Nostetaan jokainen näistä luvuista miinus ensimmäiseen potenssiin:

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

Joten log 0,5 0,2 = log 2 5. Johtopäätös: tämä tasa-arvo on totta.

Ratkaise yhtälö:

log 4 x 4 + log 16 81 = log 2 (5x+2). Tuomme logaritmit vasemmalta kantaan 2 .

log 2 x 2 + log 2 3 = log 2 (5x+2). Otimme luvun neliöjuuren ja ensimmäisen logaritmin kannasta. Otimme luvun neljännen juuren ja toisen logaritmin kannan.

log 2 (3x 2) = log 2 (5x+2). Muunna logaritmien summa tulon logaritmiksi.

3x2=5x+2. Vastaanotettu tehostamisen jälkeen.

3x2-5x-2=0. Ratkaisemme toisen asteen yhtälön käyttämällä yleistä kaavaa täydelliselle toisen asteen yhtälölle:

a = 3, b = -5, c = -2.

D=b2-4ac=(-5)2-4-3∙(-2)=25+24=49=72>0; 2 todellista juuria.

Tutkimus.

x=2.

log 4 2 4 + log 16 81 = log 2 (5∙2+2);

log 2 2 2 + log 2 3 = log 2 12;

log 2 (4∙3) = log 2 12;

log 2 12 = log 2 12;

log a n b=(1/ n)∙ kirjaudu a b

Luvun logaritmi b syystä a n yhtä suuri kuin murto-osan tulo 1/ n luvun logaritmiin b syystä a.

Löytö:1) 21 log 8 3 + 40 log 25 2; 2) 30 log 32 3∙log 125 2 jos se tiedetään log 2 3=b,log 5 2=c.

Ratkaisu.

Ratkaise yhtälöt:

1) log 2 x+log 4 x+log 16 x=5,25.

Ratkaisu.

Tuomme nämä logaritmit kantaan 2. Käytä kaavaa: log a n b=(1/ n)∙ kirjaudu a b

log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5,25;

log2x+0.5log2x+0.25log2x=5.25. Tässä on samanlaisia ​​termejä:

(1+0,5+0,25) log 2 x = 5,25;

1,75 log 2 x=5,25 |:1,75

loki 2x=3. Logaritmin määritelmän mukaan:

2) 0,5log 4 (x-2) + log 16 (x-3) = 0,25.

Ratkaisu. Ota kantaluvun 16 logaritmi kantaan 4.

0,5 log 4 (x-2) + 0,5 log 4 (x-3) = 0,25 |: 0,5

log4(x-2)+log4(x-3)=0,5. Muunna logaritmien summa tulon logaritmiksi.

log 4 ((x-2)(x-3)) = 0,5;

log 4 (x2-2x-3x+6) = 0,5;

log 4 (x 2 - 5x+6) = 0,5. Logaritmin määritelmän mukaan:

x 2 -5x+4=0. Vietan lauseen mukaan:

x 1 = 1; x2=4. X:n ensimmäinen arvo ei toimi, koska x \u003d 1:lle tämän yhtälön logaritmeja ei ole olemassa, koska vain positiiviset luvut voivat olla logaritmin etumerkin alla.

Tarkastetaan tämä yhtälö x=4:lle.

Tutkimus.

0,5log 4 (4-2) + log 16 (4-3) = 0,25

0,5log 4 2+log 16 1 = 0,25

0,5∙0,5+0=0,25

log a b=log c b/log c a

Luvun logaritmi b syystä a on yhtä suuri kuin logaritmi numeroita b uudella pohjalla Kanssa jaettuna vanhan kantaluvun logaritmilla a uudella pohjalla Kanssa.

Esimerkkejä:

1) log 2 3 = log3/log2;

2) log 8 7=ln7/ln8.

Laskea:

1) loki 5 7 jos se tiedetään lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.

c b / Hirsi c a.

log 5 7 = log7/log5≈0,8451:0,6990≈1,2090.

Vastaus: loki 5 7≈1,209 0≈1,209 .

2) loki 5 7 jos se tiedetään ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.

Ratkaisu. Käytä kaavaa: log a b =loki c b / Hirsi c a.

log 5 7=ln7/ln5≈1,9459:1,6094≈1,2091.

Vastaus: loki 5 7≈1,209 1≈1,209 .

Etsi x:

1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.

Käytämme kaavaa: loki c b / Hirsi c a = kirjaudu a b . Saamme:

log 3 x=log 3 4+log 3 6+log 3 8;

log 3 x = log 3 (4∙6∙8);

log 3 x = log 3 192;

x = 192 .

2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10.

Käytämme kaavaa: loki c b / Hirsi c a = log a b . Saamme:

log 7 x=lg143-lg11-lg13;

log 7 x=lg143- (lg11+lg13);

log 7 x=log143-log(11∙13);

log 7 x=lg143-lg143;

x=1.

Sivu 1/1 1

Yksi primitiivisen tason algebran elementeistä on logaritmi. Nimi tuli kreikkalainen sanasta "numero" tai "teho" ja tarkoittaa tehoa, johon on tarpeen nostaa numero pohjassa lopullisen luvun löytämiseksi.

Logaritmien tyypit

• log a b on luvun b logaritmi kantaan a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• lg b - desimaalilogaritmi (logaritmin kantaluku 10, a = 10);
• ln b - luonnollinen logaritmi (logaritmin kanta e, a = e).

Kuinka ratkaista logaritmit?

Luvun b logaritmi kantaan a on eksponentti, mikä edellyttää, että kanta a nostetaan luvuksi b. Tulos lausutaan näin: "b:n logaritmi a:n kantaan". Ratkaisu logaritmisihin ongelmiin on, että sinun on määritettävä annettu aste määritetyillä luvuilla olevilla luvuilla. On olemassa joitakin perussääntöjä logaritmin määrittämiseen tai ratkaisemiseen sekä itse merkinnän muuntamiseen. Niiden avulla ratkaistaan ​​logaritmiset yhtälöt, löydetään derivaatat, ratkaistaan ​​integraalit ja suoritetaan monia muita operaatioita. Pohjimmiltaan ratkaisu logaritmiin itsessään on sen yksinkertaistettu merkintä. Alla on tärkeimmät kaavat ja ominaisuudet:

Kaikille a ; a > 0; a ≠ 1 ja mille tahansa x:lle; y > 0.

• a log a b = b on logaritminen perusidentiteetti
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , kun k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - uuteen kantaan siirtymisen kaava
• log a x = 1/log x a

Kuinka ratkaista logaritmit - vaiheittaiset ratkaisuohjeet

• Kirjoita ensin vaadittu yhtälö.

Huomaa: jos peruslogaritmi on 10, tietuetta lyhennetään, saadaan desimaalilogaritmi. Jos kannattaa luonnollinen luku e, sitten kirjoitetaan muistiin, vähennetään luonnolliseen logaritmiin. Se tarkoittaa, että kaikkien logaritmien tulos on potenssi, johon perusluku nostetaan luvun b saamiseksi.

Suoraan ratkaisu on tämän asteen laskemisessa. Ennen lausekkeen ratkaisemista logaritmilla se on yksinkertaistettava säännön mukaan eli kaavoilla. Löydät tärkeimmät identiteetit palaamalla artikkelissa hieman taaksepäin.

Kun lisäät ja vähennät logaritmeja kahdella eri luvulla, mutta joilla on sama kanta, korvaa yhdellä logaritmilla lukujen b ja c tulolla tai jaolla. Tässä tapauksessa voit soveltaa siirtymäkaavaa toiseen kantaan (katso yllä).

Jos käytät lausekkeita logaritmin yksinkertaistamiseksi, on joitain rajoituksia huomioitava. Ja se on: logaritmin a kanta on vain positiivinen luku, mutta ei yhtä suuri kuin yksi. Numeron b, kuten a, on oltava suurempi kuin nolla.

On tapauksia, joissa lausekkeen yksinkertaistamisen jälkeen et voi laskea logaritmia numeerisessa muodossa. Tapahtuu, että tällaisessa lausekkeessa ei ole järkeä, koska monet asteet ovat irrationaalisia lukuja. Jätä tässä tilanteessa luvun potenssi logaritmiksi.