Rajojen teoria- yksi matemaattisen analyysin osista, jonka voi hallita, toiset tuskin laskevat rajoja. Kysymys rajojen löytämisestä on melko yleinen, koska temppuja on kymmeniä rajaratkaisuja monenlaisia. Samat rajat löytyvät sekä L'Hopitalin säännöllä että ilman sitä. Sattuu niin, että aikataulu äärettömän pienten toimintojen sarjassa antaa sinun saada nopeasti halutun tuloksen. On olemassa joukko temppuja ja temppuja, joiden avulla voit löytää minkä tahansa monimutkaisuuden funktion rajan. Tässä artikkelissa yritämme ymmärtää tärkeimmät rajoitukset, joita käytännössä kohdataan. Emme anna tässä teoriaa ja rajan määritelmää, Internetissä on monia resursseja, joissa tätä pureskellaan. Tehdään siis käytännön laskelmia, tässä aloitat "En tiedä! En tiedä miten! Meitä ei opetettu!"

Raja-arvojen laskeminen korvausmenetelmällä

Esimerkki 1 Etsi funktion raja
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Ratkaisu: Teoriassa tällaiset esimerkit lasketaan tavallisella substituutiolla

Raja on 18.11.
Tällaisissa rajoissa ei ole mitään monimutkaista ja viisasta - he korvasivat arvon, laskivat, kirjoittivat rajan vastauksena. Tällaisten rajojen perusteella kaikille kuitenkin opetetaan, että funktioon on ensin korvattava arvo. Lisäksi rajat monimutkaistavat, tuovat käsitteen äärettömyydestä, epävarmuudesta ja vastaavista.

Raja epävarmuudella, jonka tyyppi on ääretön jaettuna äärettömyydellä. Epävarmuuden paljastamismenetelmät

Esimerkki 2 Etsi funktion raja
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=ääretön).
Ratkaisu: Muotopolynomin jaettuna polynomilla raja on annettu ja muuttuja pyrkii äärettömään

Yksinkertainen korvaaminen arvolla, jolle muuttujan tulisi löytää rajat, ei auta, saamme epävarmuuden muodossa ääretön jaettuna äärettömyydellä.
Rajan potin teoria Rajan laskenta-algoritmi on löytää "x":n suurin aste osoittajasta tai nimittäjästä. Seuraavaksi osoittaja ja nimittäjä yksinkertaistetaan siihen ja löydetään funktion raja

Koska arvo pyrkii nollaan, kun muuttuja menee äärettömyyteen, ne jätetään huomiotta tai kirjoitetaan lopulliseen lausekkeeseen nollina

Välittömästi käytännössä voit tehdä kaksi johtopäätöstä, jotka ovat vihje laskelmissa. Jos muuttuja pyrkii äärettömään ja osoittajan aste on suurempi kuin nimittäjän aste, niin raja on yhtä suuri kuin ääretön. Muussa tapauksessa, jos nimittäjässä oleva polynomi on suurempaa kuin osoittajassa, raja on nolla.
Rajakaava voidaan kirjoittaa muodossa

Jos meillä on tavallisen tukin muotoinen funktio ilman murtolukuja, niin sen raja on ääretön

Seuraavan tyyppiset rajat koskevat lähellä nollaa olevien funktioiden käyttäytymistä.

Esimerkki 3 Etsi funktion raja
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Ratkaisu: Tässä ei tarvitse ottaa pois polynomin johtavaa kertojaa. Juuri päinvastoin, on tarpeen löytää osoittajan ja nimittäjän pienin potenssi ja laskea raja

x^2 arvo; x yleensä nollaan, kun muuttuja pyrkii nollaan Siksi ne jätetään huomiotta, joten saamme

että raja on 2,5.

Nyt tiedät kuinka löytää funktion raja eräänlainen polynomi jaettuna polynomilla, jos muuttuja pyrkii äärettömyyteen tai 0:aan. Mutta tämä on vain pieni ja helppo osa esimerkeistä. Seuraavasta materiaalista opit kuinka paljastaa funktion rajojen epävarmuustekijät.

Raja epävarmuudella 0/0 ja sen laskentamenetelmät

Heti kaikki muistavat säännön, jonka mukaan nollalla ei voi jakaa. Kuitenkin rajojen teoria tarkoittaa tässä yhteydessä äärettömän pieniä funktioita.
Katsotaanpa muutamia esimerkkejä havainnollistamaan.

Esimerkki 4 Etsi funktion raja
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Ratkaisu: Kun nimittäjään korvataan muuttujan x = -1 arvo, saadaan nolla, osoittajassa sama. Meillä on siis muodon epävarmuus 0/0.
Tällaista epävarmuutta on helppo käsitellä: sinun on kerrottava polynomi tai pikemminkin valittava tekijä, joka muuttaa funktion nollaksi.

Hajottamisen jälkeen funktion raja voidaan kirjoittaa muodossa

Tämä on koko funktion rajan laskemisen tekniikka. Teemme samoin, jos polynomilla jaetun polynomin muodolla on raja.

Esimerkki 5 Etsi funktion raja
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Ratkaisu: Suora korvaus näkyy
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
mitä meillä on tyypin epävarmuus 0/0.
Jaa polynomit kertoimella, joka tuo singulaarisuuden


On opettajia, jotka opettavat, että 2. kertaluvun polynomit, eli "neliöyhtälöiden" tyyppi, tulisi ratkaista diskriminantilla. Mutta todellinen käytäntö osoittaa, että se on pidempi ja monimutkaisempi, joten eroon ominaisuuksista määritetyn algoritmin rajoissa. Näin ollen kirjoitamme funktion yksinkertaisten tekijöiden muodossa ja laskemme rajan

Kuten näette, tällaisten rajojen laskemisessa ei ole mitään monimutkaista. Osaat jakaa polynomit rajojen tutkimisen aikana sen mukaan vähintään ohjelman mukaan on jo läpäistävä.
Tehtävien joukossa tyypin epävarmuus 0/0 on niitä, joissa on tarpeen soveltaa lyhennettyjen kertolaskujen kaavoja. Mutta jos et tiedä niitä, jakamalla polynomin monomilla, saat halutun kaavan.

Esimerkki 6 Etsi funktion raja
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Ratkaisu: Meillä on tyyppiä 0/0 oleva epävarmuus. Osoittimessa käytämme lyhennetyn kertolaskukaavaa

ja laske haluttu raja

Epävarmuuden ilmaisumenetelmä kertomalla konjugaatilla

Menetelmää sovelletaan rajoihin, joissa irrationaaliset funktiot synnyttävät epävarmuutta. Laskentapisteessä osoittaja tai nimittäjä muuttuu nollaan, eikä rajaa tiedetä.

Esimerkki 7 Etsi funktion raja
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Ratkaisu: Esitetään muuttuja rajakaavassa

Korvaamalla saamme tyypin 0/0 epävarmuuden.
Rajateorian mukaan menetelmä tämän singulaarisuuden ohittamiseksi koostuu irrationaalisen lausekkeen kertomisesta sen konjugaatilla. Jotta lauseke pysyy muuttumattomana, nimittäjä on jaettava samalla arvolla

Neliöiden erotussäännöllä yksinkertaistamme osoittajaa ja laskemme funktion rajan

Yksinkertaistamme termejä, jotka luovat rajan singulaarisuuden ja suoritamme korvauksen

Esimerkki 8 Etsi funktion raja
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Ratkaisu: Suora substituutio osoittaa, että rajan singulariteetti on muotoa 0/0.

Laajenna kertomalla ja jakamalla konjugaatilla osoittajaan

Kirjoita neliöiden ero

Yksinkertaistamme termejä, jotka tuovat esiin singulaarisuuden ja löydämme funktion rajan

Esimerkki 9 Etsi funktion raja
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Ratkaisu: Korvaa kakkosluku kaavassa

Saada epävarmuus 0/0.
Nimittäjä on kerrottava konjugaattilausekkeella ja osoittajassa ratkaista toisen asteen yhtälö tai kerroin, ottaen huomioon singulaarisuuden. Koska tiedetään, että 2 on juuri, niin toinen juuri löydetään Vieta-lauseen avulla

Näin ollen kirjoitamme osoittajan muotoon

ja laita raja sisään

Kun olet pienentänyt neliöiden eroa, pääsemme eroon osoittajan ja nimittäjän ominaisuuksista

Yllä olevalla tavalla pääset eroon singulaarisuudesta monissa esimerkeissä ja sovellus tulee huomata kaikkialla, missä annettu juurien ero muuttuu nollaksi korvaamisen yhteydessä. Muut rajoitukset koskevat eksponentiaaliset funktiot, äärettömän pienet funktiot, logaritmit, singulaariset rajat ja muut tekniikat. Mutta voit lukea tästä alla olevista rajoituksia koskevista artikkeleista.

Toiminto y=f (x) kutsutaan lakia (sääntöä), jonka mukaan joukon X jokainen alkio x liittyy yhteen ja vain yhteen joukon Y alkioon y .

Elementti x ∈ X nimeltään funktion argumentti tai itsenäinen muuttuja.
y-elementti ∈ Y nimeltään funktion arvo tai riippuva muuttuja.

Joukkoa X kutsutaan toiminnon laajuus.
Elementtien joukko y ∈ Y, joilla on esikuvat joukossa X , kutsutaan alue tai joukko funktioarvoja.

Varsinaista funktiota kutsutaan rajoitettu ylhäältä (alhaalta), jos on sellainen luku M, että seuraava epäyhtälö pätee kaikkiin:
.
Numerofunktiota kutsutaan rajoitettu, jos on olemassa luku M, joka kaikille :
.

yläkasvot tai tarkka yläraja todellista funktiota kutsutaan pienimmäksi luvuista, joka rajoittaa sen arvojen aluetta ylhäältä. Tämä on siis luku s, jolle kaikille ja mille tahansa :lle on sellainen argumentti, jonka funktion arvo on suurempi kuin s′ : .
Funktion yläraja voidaan merkitä seuraavasti:
.

Vastaavasti alaosa tai tarkka alaraja todellista funktiota kutsutaan suurimmaksi luvuista, joka rajoittaa sen arvojen vaihteluväliä alhaalta. Tämä on siis luku i, jolle kaikille ja mille tahansa , on sellainen argumentti , jonka funktion arvo on pienempi kuin i′ : .
Funktion alaraja voidaan merkitä seuraavasti:
.

Funktion rajan määrittäminen

Funktion Cauchyn rajan määritelmä

Äärilliset funktiorajat päätepisteissä

Olkoon funktio määritelty jossain päätepisteen ympäristössä, paitsi ehkä itse pisteelle. kohdassa , jos jollekin on olemassa sellainen , riippuen siitä , että kaikille x , joille epäyhtälö
.
Toiminnon raja on merkitty seuraavasti:
.
Tai klo.

Olemassaolon ja universaalisuuden loogisia symboleja käyttämällä funktion rajan määritelmä voidaan kirjoittaa seuraavasti:
.

Yksipuoliset rajat.
Vasen raja pisteessä (vasemman puolen raja):
.
Oikea raja pisteessä (oikea raja):
.
Vasemmalla ja oikealla olevat rajat on usein merkitty seuraavasti:
; .

Funktion äärelliset rajat äärettömän pisteissä

Rajat äärettömän kaukana olevissa pisteissä määritellään samalla tavalla.
.
.
.
Niitä kutsutaan usein nimellä:
; ; .

Pistealueen käsitteen käyttäminen

Jos otamme käyttöön pisteen pisteytetyn ympäristön käsitteen, voimme antaa yhtenäisen määritelmän funktion äärelliselle rajalle äärellisissä ja äärettömissä pisteissä:
.
Tässä päätepisteitä varten
; ;
.
Kaikki äärettömän pisteiden lähialueet puhkaistaan:
; ; .

Äärettömät toimintorajat

Määritelmä
Olkoon funktio määritelty jossain pisteen pisteytetyssä ympäristössä (ääreisessä tai äärettömässä). Toiminnan raja f (x) kuten x → x 0 on yhtä kuin ääretön, jos mikä tahansa mielivaltaisen suuri luku M > 0 , on olemassa luku δ M > 0 , riippuen M , että kaikille x:lle, jotka kuuluvat pisteen δ M - lähialueeseen : , seuraava epäyhtälö pätee:
.
Ääretön raja määritellään seuraavasti:
.
Tai klo.

Olemassaolon ja universaalisuuden loogisia symboleja käyttämällä funktion äärettömän rajan määritelmä voidaan kirjoittaa seuraavasti:
.

On myös mahdollista ottaa käyttöön tiettyjen merkkien äärettömien rajojen määritelmiä, jotka ovat yhtä suuria ja:
.
.

Universaali määritelmä funktion rajalle

Pisteen lähialueen käsitettä käyttämällä voidaan antaa funktion äärelliselle ja äärettömälle rajalle universaali määritelmä, joka soveltuu sekä äärellisiin (kaksipuolisiin ja yksipuolisiin) että äärettömän etäisiin pisteisiin:
.

Funktion rajan määrittely Heinen mukaan

Olkoon funktio määritelty jollain joukolla X : .
Lukua a kutsutaan funktion rajaksi kohdassa:
,
jos jollekin sekvenssille, joka konvergoi x:ään 0 :
,
jonka alkiot kuuluvat joukkoon X : ,
.

Kirjoitamme tämän määritelmän käyttämällä olemassaolon ja universaalisuuden loogisia symboleja:
.

Jos otamme joukoksi X pisteen x vasemman puolen 0 , niin saamme vasemman rajan määritelmän. Jos se on oikeakätinen, saamme oikean rajan määritelmän. Jos otamme joukoksi X äärettömän pisteen naapuruston, saamme funktion rajan määritelmän äärettömässä.

Lause
Cauchyn ja Heinen määritelmät funktion rajalle ovat samanarvoisia.
Todiste

Funktion rajan ominaisuudet ja lauseet

Lisäksi oletetaan, että tarkasteltavat funktiot on määritelty pisteen vastaavassa ympäristössä, joka on äärellinen luku tai jokin symboleista: . Se voi olla myös yksipuolinen rajapiste, eli sen muoto voi olla tai . Naapurusto on kaksipuolinen kaksipuolinen raja ja yksipuolinen yksipuolinen.

Perusominaisuudet

Jos funktion f arvot ovat (x) muuttaa (tai tehdä määrittelemättömäksi) äärellisessä määrässä pisteitä x 1 , x 2 , x 3 , ... x n, niin tämä muutos ei vaikuta funktion rajan olemassaoloon ja arvoon mielivaltaisessa pisteessä x 0 .

Jos on äärellinen raja, niin on olemassa sellainen pisteen x naapuruus 0 , jossa funktio f (x) rajoitettu:
.

Olkoon funktiolla piste x 0 muu loppuraja kuin nolla:
.
Sitten mille tahansa luvulle c väliltä , on olemassa sellainen pisteen x pisteytetty ympäristö 0 mitä varten,
, Jos ;
, Jos.

Jos jossain pisteen naapurustossa , on vakio, sitten .

Jos pisteen x jollakin lävistetyllä alueella on äärelliset rajat ja ja 0
,
Tuo .

Jos , ja jossain pisteen naapurustossa
,
Tuo .
Varsinkin jos jossain pisteen alueella
,
sitten jos , sitten ja ;
jos , sitten ja .

Jos jollakin pisteen x puhkaisualueella 0 :
,
ja on olemassa äärelliset (tai tietyn merkin äärettömät) yhtä suuret rajat:
, Tuo
.

Todisteet tärkeimmistä ominaisuuksista on annettu sivulla
"Toiminnon rajojen perusominaisuudet".

Funktion rajan aritmeettiset ominaisuudet

Olkoon funktiot ja määritelty jossain pisteen pisteytetyssä ympäristössä. Ja olkoon rajalliset rajat:
Ja .
Ja olkoon C vakio, eli annettu luku. Sitten
;
;
;
, Jos.

Jos sitten .

Aritmeettisten ominaisuuksien todistukset on annettu sivulla
"Funktion rajojen aritmeettiset ominaisuudet".

Cauchy-kriteeri funktion rajan olemassaololle

Lause
Jotta funktio, joka on määritelty äärellisen tai äärettömässä pisteessä x 0 , jolla oli tässä vaiheessa äärellinen raja, on välttämätöntä ja riittävää, että mille tahansa ε:lle > 0 pisteen x alueella oli sellainen reikäinen alue 0 , että mille tahansa pisteelle ja tästä naapurustosta seuraava epätasa-arvo pätee:
.

Monimutkainen toimintoraja

Monimutkainen funktiorajalause
Olkoon funktiolla raja ja yhdistä pisteen pisteytetty ympäristö pisteen pisteytettyyn ympäristöön. Määrittele funktio tälle naapurustolle ja määritä sille raja.
Tässä - viimeiset tai äärettömän kaukana olevat kohdat: . Asuinalueet ja niitä vastaavat rajat voivat olla joko kaksipuolisia tai yksipuolisia.
Sitten kompleksifunktiolla on raja ja se on yhtä suuri:
.

Kompleksifunktion raja-lausetta sovelletaan, kun funktiota ei ole määritelty pisteessä tai sillä on muu arvo kuin raja-arvo. Tämän lauseen soveltamiseksi pisteen, jossa funktion arvojoukko ei sisällä pistettä, täytyy olla lävistetty ympäristö:
.

Jos funktio on jatkuva pisteessä , niin rajamerkkiä voidaan soveltaa jatkuvan funktion argumenttiin:
.
Seuraavassa on tätä tapausta vastaava lause.

Lause funktion jatkuvan funktion rajasta
Olkoon funktiolle g raja (t) kuten t → t 0 , ja se on yhtä suuri kuin x 0 :
.
Tässä kohta t 0 voi olla äärellinen tai ääretön: .
Ja anna funktion f (x) jatkuva x:ssä 0 .
Sitten on yhdistelmäfunktion f raja (g(t)), ja se on yhtä suuri kuin f (x0):
.

Teoreemojen todistukset on annettu sivulla
"Monimutkaisen toiminnon raja ja jatkuvuus".

Äärettömän pienet ja äärettömän suuret funktiot

Äärimmäisen pienet toiminnot

Määritelmä
Funktiota kutsutaan infinitesimaaliksi jos
.

Summa, ero ja tuote rajallisesta määrästä äärettömän pieniä toimintoja varten on äärettömän pieni funktio .

Rajatun funktion tulo Joillakin pisteen naapurustossa äärettömään pieneen for on äärettömän pieni funktio for .

Jotta funktiolla olisi äärellinen raja, se on välttämätöntä ja riittävää
,
missä on infinitesimal funktio .

"Äärettömän pienten funktioiden ominaisuudet".

Äärimmäisen suuret toiminnot

Määritelmä
Funktiota kutsutaan äärettömäksi suureksi if
.

Summa tai erotus rajoitettu toiminto, jollain pisteen puhkaisualueella ja äärettömän suuri funktio for on äärettömän suuri funktio .

Jos funktio on äärettömän suuri pisteessä , ja funktio on rajoitettu jollain pisteen lävistetyllä alueella, niin
.

Jos funktio pisteen jollakin pisteytetyllä alueella täyttää epäyhtälön:
,
ja funktio on äärettömän pieni seuraaville:
, ja (jossain pisteen puhkaisemassa ympäristössä), sitten
.

Todisteet ominaisuuksista on esitetty kohdassa
"Äärettömän suurten funktioiden ominaisuudet".

Äärettömän suurten ja äärettömän pienten funktioiden välinen suhde

Äärettömän suurten ja äärettömän pienten funktioiden välinen yhteys seuraa kahdesta edellisestä ominaisuudesta.

Jos funktio on äärettömän suuri kohdassa , niin funktio on äärettömän pieni kohdassa .

Jos funktio on äärettömän pieni , ja , niin funktio on äärettömän suuri .

Äärettömän pienen ja äärettömän suuren funktion välinen suhde voidaan ilmaista symbolisesti:
, .

Jos äärettömällä pienellä funktiolla on määrätty etumerkki kohdassa , eli se on positiivinen (tai negatiivinen) jossain pisteen pisteytetyssä ympäristössä, tämä tosiasia voidaan ilmaista seuraavasti:
.
Samalla tavalla, jos äärettömän suurella funktiolla on tietty merkki kohdassa , he kirjoittavat:
.

Sitten äärettömän pienten ja äärettömän suurten funktioiden symbolista yhteyttä voidaan täydentää seuraavilla suhteilla:
, ,
, .

Sivulta löytyy lisää äärettömyyden symboleihin liittyviä kaavoja
"Pisteet äärettömyydessä ja niiden ominaisuudet".

Monotonisten toimintojen rajat

Määritelmä
Jollekin reaalilukujoukolle X määritettyä funktiota kutsutaan tiukasti kasvamassa, jos kaikille sellaisille, että seuraava epäyhtälö pätee:
.
Vastaavasti varten tiukasti laskeva funktio, seuraava epäyhtälö pätee:
.
varten ei-vähenevä:
.
varten ei-nouseva:
.

Tämä tarkoittaa, että tiukasti kasvava funktio on myös ei-pienenevä. Tiukasti laskeva funktio on myös ei-kasvava.

Funktiota kutsutaan yksitoikkoinen onko se ei-laskeva tai ei-nouseva.

Lause
Älä anna funktion pienentyä välillä , jossa .
Jos sitä ylhäältä rajoittaa luku M:, on olemassa äärellinen raja. Jos ei ole rajoitettu edellä, niin .
Jos sitä rajoittaa alhaalta luku m: , niin siinä on äärellinen raja . Jos ei ole rajoitettu alle, niin .

Jos pisteet a ja b ovat äärettömässä, niin lausekkeissa rajamerkit tarkoittavat sitä, että .
Tämä lause voidaan muotoilla kompaktimmin.

Älä anna funktion pienentyä välillä , jossa . Sitten pisteissä a ja b on yksipuoliset rajat:
;
.

Samanlainen lause ei-kasvavalle funktiolle.

Älä anna funktion kasvaa välissä , jossa . Sitten on yksipuolisia rajoituksia:
;
.

Lauseen todistus on kerrottu sivulla
"Monotonisten toimintojen rajat".

Viitteet:
L.D. Kudrjavtsev. Matemaattisen analyysin kurssi. Osa 1. Moskova, 2003.
CM. Nikolsky. Matemaattisen analyysin kurssi. Osa 1. Moskova, 1983.

Niille, jotka haluavat oppia löytämään rajoitukset tässä artikkelissa, puhumme siitä. Emme syvenny teoriaan, se annetaan yleensä opettajien luennoilla. Joten "tylsää teoriaa" tulisi hahmotella muistikirjoissasi. Jos ei, voit lukea kirjastosta otettuja oppikirjoja oppilaitos tai muita verkkoresursseja.

Niinpä rajan käsite on varsin tärkeä korkeamman matematiikan kurssin tutkimisessa, varsinkin kun törmäät integraalilaskeluun ja ymmärrät rajan ja integraalin välisen suhteen. Nykyisessä materiaalissa tarkastellaan yksinkertaisia ​​esimerkkejä, sekä tapoja ratkaista ne.

Ratkaisuesimerkkejä

Esimerkki 1

Laske a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Ratkaisu

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Meille lähetetään usein näitä rajoja ja pyydetään apua niiden ratkaisemiseen. Päätimme korostaa niitä erillisenä esimerkkinä ja selittää, että nämä rajat on yksinkertaisesti muistettava, yleensä. Jos et pysty ratkaisemaan ongelmaasi, lähetä se meille. Me tarjoamme yksityiskohtainen ratkaisu. Pystyt perehtymään laskennan etenemiseen ja keräämään tietoa. Tämä auttaa sinua saamaan hyvityksen opettajalta ajoissa!

Vastaus

$$ \teksti(a)) \lim \limits_(x \to \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac (1 )(x) = 0 $$

Mitä tehdä lomakkeen epävarmuudella: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Esimerkki 3

Ratkaise $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Ratkaisu

Kuten aina, aloitamme korvaamalla arvon $ x $ rajamerkin alla olevaan lausekkeeseen. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Mitä seuraavaksi? Mikä pitäisi olla tuloksena? Koska tämä on epävarmuus, tämä ei ole vielä vastaus ja jatkamme laskemista. Koska meillä on osoittajissa polynomi, jaamme sen tekijöiksi tutulla kaavalla $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Muistatko? Loistava! Käytä nyt sitä laulun kanssa :) Saamme, että osoittaja $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Jatkamme ratkaisemista yllä olevan muutoksen perusteella: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Vastaus

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Otetaan kahden viimeisen esimerkin raja äärettömyyteen ja otetaan huomioon epävarmuus: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Esimerkki 5

Laske $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Ratkaisu

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Mitä tehdä? Kuinka olla? Älä panikoi, sillä mahdoton on mahdollista. Sekä osoittajassa että nimittäjässä X on poistettava sulut ja pienennettävä sitä. Yritä sen jälkeen laskea raja. Yritetään... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Käyttämällä esimerkin 2 määritelmää ja korvaamalla infinity x:llä, saamme: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Vastaus

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algoritmi rajojen laskemiseen

Tehdään siis lyhyesti yhteenveto analysoiduista esimerkeistä ja laaditaan algoritmi rajojen ratkaisemiseksi:

1. Korvaa rajamerkkiä seuraavan lausekkeen piste x. Jos saadaan tietty luku tai ääretön, niin raja on täysin ratkaistu. Muuten meillä on epävarmuus: "nolla jaettuna nollalla" tai "äärettömyydellä jaettuna äärettömyydellä" ja siirrytään ohjeen seuraaviin kappaleisiin.
2. Epävarmuuden "nolla jaa nolla" poistamiseksi sinun on kerrottava osoittaja ja nimittäjä. Vähennä vastaavia. Korvaa lausekkeen piste x rajamerkin alle.
3. Jos epävarmuus on "ääretön jaettuna äärettömyydellä", otetaan pois suurimman asteen osoittajassa ja nimittäjässä x. Lyhennämme x:itä. Korvaamme x-arvot rajan alta jäljellä olevaan lausekkeeseen.

Tässä artikkelissa tutustuit kurssilla usein käytettyihin rajanratkaisun perusteisiin. Matemaattinen analyysi. Nämä eivät tietenkään ole kaikentyyppisiä tutkijoiden tarjoamia ongelmia, vaan vain yksinkertaisimmat rajat. Puhumme muun tyyppisistä tehtävistä tulevissa artikkeleissa, mutta ensin sinun on opittava tämä oppitunti, jotta voit jatkaa. Keskustelemme siitä, mitä tehdä, jos on juuria, asteita, tutkimme äärettömän pieniä ekvivalenttifunktioita, upeita rajoja, L'Hopitalin sääntöä.

Jos et pysty selvittämään rajoja itse, älä panikoi. Autamme aina mielellämme!

Kun lasket rajoja, ota huomioon seuraavat perussäännöt:

1. Funktioiden summan (eron) raja on yhtä suuri kuin termien rajojen summa (ero):

2. Funktioiden tulon raja on yhtä suuri kuin tekijöiden rajojen tulo:

3. Kahden funktion suhteen raja on yhtä suuri kuin näiden funktioiden rajojen suhde:

.

4. Rajamerkistä voidaan ottaa vakiotekijä:

.

5. Vakion raja on sama kuin itse vakio:

6. Jatkuvissa toiminnoissa raja- ja toimintosymbolit voidaan vaihtaa keskenään:

.

Funktion rajan löytäminen tulee aloittaa korvaamalla arvo funktion lausekkeeseen. Lisäksi, jos saadaan numeerinen arvo 0 tai ¥, haluttu raja löytyy.

Esimerkki 2.1. Laske raja.

Ratkaisu.

.

Kutsutaan lausekkeita muotoa , , , , epävarmuustekijöitä.

Jos muodon epävarmuus saadaan, niin rajan löytämiseksi on välttämätöntä muuttaa funktiota siten, että tämä epävarmuus paljastaa.

Muodon määrittämättömyys saadaan yleensä, kun on annettu kahden polynomin suhteen raja. Tässä tapauksessa rajan laskemiseksi on suositeltavaa kertoa polynomit ja vähentää niitä yhteisellä kertoimella. Tämä kerroin on nolla raja-arvossa X .

Esimerkki 2.2. Laske raja.

Ratkaisu.

Korvaamalla saamme epävarmuuden:

.

Kerrotaan osoittaja ja nimittäjä:

;

Vähennämme yhteisellä tekijällä ja saamme

Muodon epävarmuus saadaan, kun kahden polynomin välisen suhteen raja on annettu. Tässä tapauksessa laskentaa varten on suositeltavaa jakaa molemmat polynomit arvolla X ylimmässä tutkinnossa.

Esimerkki 2.3. Laske raja.

Ratkaisu.∞:n korvaaminen johtaa muodon epävarmuuteen, joten jaamme kaikki lausekkeen ehdot x 3.

.

Tässä on otettu huomioon se.

Kun lasketaan juuria sisältävän funktion rajoja, on suositeltavaa kertoa ja jakaa funktio adjoint-lausekkeella.

Esimerkki 2.4. Laske raja

Ratkaisu.

Laskettaessa rajoja muodon tai (1) ∞ epävarmuuden paljastamiselle käytetään usein ensimmäistä ja toista merkittävää rajaa:

Monet ongelmat, jotka liittyvät jonkin määrän jatkuvaan kasvuun, johtavat toiseen merkittävään rajaan.

Tarkastellaan Ya. I. Perelmanin esimerkkiä, joka antaa tulkinnan numerosta e korkokorkoongelmassa. Säästöpankeissa korkorahat lisätään kiinteään pääomaan vuosittain. Jos yhteys tehdään useammin, pääoma kasvaa nopeammin, koska iso summa. Otetaanpa puhtaasti teoreettinen, hyvin yksinkertaistettu esimerkki.

Anna pankin laittaa 100 den. yksiköitä 100 prosentin vuosikorolla. Jos korollista rahaa lisätään kiinteään pääomaan vasta vuoden kuluttua, niin tähän mennessä 100 den. yksiköitä muuttuu 200 deniksi.

Katsotaan nyt mihin 100 den muuttuu. yksikköä, jos kiinteään pääomaan lisätään korkorahaa kuuden kuukauden välein. Puolen vuoden jälkeen 100 den. yksiköitä kasvaa 100 × 1,5 = 150 ja vielä kuuden kuukauden kuluttua - 150 × 1,5 = 225 (rahayksikköä). Jos liittyminen tehdään joka kolmasosa vuodesta, niin vuoden kuluttua 100 den. yksiköitä muuttuu 100 × (1 + 1/3) 3 "237 (den. yksikköä).

Pidennämme korkorahojen lisäämisaikaa 0,1 vuoteen, 0,01 vuoteen, 0,001 vuoteen ja niin edelleen. Sitten 100 denistä. yksiköitä vuotta myöhemmin:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. yksikköä),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. yksikköä),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. yksikköä).

Liittymiskoron ehtojen rajoittamattomalla lyhennyksellä kertynyt pääoma ei kasva loputtomasti, vaan lähestyy tiettyä rajaa, joka on noin 271. Vuotuiseen 100 %:iin asetettu pääoma ei voi kasvaa enempää kuin 2,71-kertainen, vaikka kertynyt korko olisikin lisätään pääkaupunkiin joka sekunti, koska

Esimerkki 2.5. Laske funktioraja

Ratkaisu.

Esimerkki 2.6. Laske funktioraja .

Ratkaisu. Korvaamalla saamme epävarmuuden:

.

Käyttämällä trigonometrinen kaava, muutamme osoittajan tuotteeksi:

Tuloksena saamme

Tämä ottaa huomioon toisen ihana raja.

Esimerkki 2.7. Laske funktioraja

Ratkaisu.

.

Selvittääksesi muodon epävarmuuden tai, voit käyttää L'Hopital-sääntöä, joka perustuu seuraavaan lauseeseen.

Lause. Kahden äärettömän pienen tai äärettömän suuren funktion suhteen raja on yhtä suuri kuin niiden derivaattojen suhteen raja

Huomaa, että tätä sääntöä voidaan soveltaa useita kertoja peräkkäin.

Esimerkki 2.8. löytö

Ratkaisu. Korvattaessa meillä on muotoa koskeva epävarmuus. L'Hopitalin sääntöä soveltamalla saamme

Toiminnan jatkuvuus

Tärkeä funktion ominaisuus on jatkuvuus.

Määritelmä. Toiminto otetaan huomioon jatkuva jos pieni muutos argumentin arvossa aiheuttaa pienen muutoksen funktion arvossa.

Matemaattisesti tämä on kirjoitettu seuraavasti:

Alalla ja ymmärretään muuttujien lisäys, eli seuraavan ja edellisen arvon välinen ero: , (Kuva 2.3)

Kuva 2.3 - Muuttujien lisäys

Pisteessä jatkuvan funktion määritelmästä seuraa, että . Tämä tasa-arvo tarkoittaa kolmen ehdon täyttymistä:

Ratkaisu. Toiminnan vuoksi piste on epäilyttävä tauolle, tarkista se, löydä yksipuoliset rajat

Siten, , tarkoittaa - taukopiste

Funktiojohdannainen

Sekvenssien ja funktioiden rajojen käsitteet. Kun jonolle on löydettävä raja, se kirjoitetaan seuraavasti: lim xn=a. Tällaisessa sekvenssijonossa xn pyrkii a:han ja n pyrkii äärettömyyteen. Sarja esitetään yleensä sarjana, esimerkiksi:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Jaksot on jaettu nouseviin ja laskeviin. Esimerkiksi:
xn=n^2 - kasvava sekvenssi
yn=1/n - sekvenssi
Joten esimerkiksi sekvenssin xn=1/n^ raja:
lim1/n^2=0

x→∞
Tämä raja on nolla, koska n→∞ ja sekvenssi 1/n^2 pyrkivät nollaan.

Yleensä muuttuja x pyrkii äärelliseen rajaan a, lisäksi x lähestyy jatkuvasti a:ta ja a:n arvo on vakio. Tämä kirjoitetaan seuraavasti: limx = a, kun taas n voi myös pyrkiä sekä nollaan että äärettömään. Funktioita on äärettömästi, niille raja pyrkii äärettömyyteen. Muissa tapauksissa, kun esimerkiksi junan hidastustoiminto on mahdollinen nollaan pyrkivä raja.
Rajoilla on useita ominaisuuksia. Yleensä kaikilla funktioilla on vain yksi raja. Tämä on rajan tärkein ominaisuus. Muut on lueteltu alla:
* Summaraja on yhtä suuri kuin rajojen summa:
lim(x+y)=limx+limy
* Tuotteen raja on yhtä suuri kuin rajojen tulo:
lim(xy)=limx*limy
* Osamäärän raja on yhtä suuri kuin rajojen osamäärä:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Vakiokerroin otetaan pois rajamerkistä:
lim(Cx)=C lim x
Annettu funktio 1 /x, jossa x →∞, sen raja on nolla. Jos x→0, niin tällaisen funktion raja on yhtä suuri kuin ∞.
varten trigonometriset funktiot ovat saatavilla näistä säännöistä. Koska syntifunktio x pyrkii aina ykköseen lähestyessään nollaa, identiteetti pätee siihen:
lim sin x/x=1

Useissa toiminnoissa, joiden rajoja laskettaessa syntyy epävarmuus - tilanne, jossa rajaa ei voida laskea. Ainoa tie ulos tästä tilanteesta on L'Hopital. Epävarmuustekijöitä on kahdenlaisia:
* muodon epävarmuus 0/0
* muodon ∞/∞ epävarmuus
Esimerkiksi annettuna seuraavan muotoisen rajan: lim f(x)/l(x), lisäksi f(x0)=l(x0)=0. Tässä tapauksessa epävarmuus on muotoa 0/0. Tällaisen ongelman ratkaisemiseksi molemmat funktiot erotetaan toisistaan, minkä jälkeen tuloksen raja löytyy. Muotoa 0/0 oleville epävarmuuksille raja on:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (kuten x→0)
Sama sääntö pätee tyypin ∞/∞ epävarmuuksille. Mutta tässä tapauksessa seuraava yhtälö on totta: f(x)=l(x)=∞
L'Hospital-säännön avulla voit löytää arvot kaikista rajoista, joissa epävarmuustekijöitä esiintyy. Pakollinen ehto

volyymi - virheiden puuttuminen johdannaisten löytämisessä. Joten esimerkiksi funktion (x^2)" derivaatta on yhtä suuri kuin 2x. Tästä voimme päätellä, että:
f"(x)=nx^(n-1)