Arvojen ja määrien vertailu käytännön ongelmien ratkaisemisessa on ollut muinaisista ajoista lähtien. Samaan aikaan ilmaantui sellaisia ​​sanoja kuin enemmän ja vähemmän, korkeampi ja matalampi, kevyempi ja raskaampi, hiljaisempi ja äänekkäämpi, halvempi ja kalliimpi jne., jotka tarkoittivat homogeenisten määrien vertailun tuloksia.

Käsitteet enemmän ja vähemmän syntyivät esineiden laskemisen, määrien mittaamisen ja vertailun yhteydessä. Esimerkiksi antiikin Kreikan matemaatikot tiesivät, että minkä tahansa kolmion sivu on pienempi kuin kahden muun sivun summa ja että kolmion suurempi sivu on suurempaa kulmaa vastapäätä. Arkhimedes, kun hän laski ympyrän kehää, havaitsi, että minkä tahansa ympyrän kehä on kolme kertaa halkaisija, ylimäärällä, joka on pienempi kuin seitsemäsosa halkaisijasta, mutta yli kymmenen seitsemänkymmentäensimmäistä osaa halkaisijasta.

Kirjoita numeroiden ja määrien väliset suhteet symbolisesti käyttämällä >- ja b-merkkejä. Merkinnät, joissa kaksi numeroa on yhdistetty jollakin merkistä: > (suurempi kuin), Kohtasit myös numeerisia epäyhtälöitä perusluokissa. Tiedät, että eriarvoisuus voi olla totta tai ei. Esimerkiksi \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) on kelvollinen numeerinen epäyhtälö, 0,23 > 0,235 on virheellinen numeerinen epäyhtälö.

Epätasa-arvot, jotka sisältävät tuntemattomia, voivat olla tosia joidenkin tuntemattomien arvojen kohdalla ja epätosi toisille. Esimerkiksi epäyhtälö 2x+1>5 on tosi, kun x = 3, mutta epätosi, kun x = -3. Epäyhtälölle, jossa on yksi tuntematon, voit asettaa tehtävän: ratkaise epäyhtälö. Epäyhtälöiden ratkaisuongelmia käytännössä asetetaan ja ratkaistaan ​​yhtä usein kuin yhtälöiden ratkaisuongelmia. Esimerkiksi monet taloudelliset ongelmat rajoittuvat lineaaristen epätasa-arvojärjestelmien tutkimiseen ja ratkaisemiseen. Monilla matematiikan aloilla epäyhtälöt ovat yleisempiä kuin yhtälöt.

Jotkut epäyhtälöt toimivat ainoana apukeinona todistaa tai kumota tietyn kohteen, esimerkiksi yhtälön juuren, olemassaolo.

Numeeriset epäyhtälöt

Voit verrata kokonaislukuja ja desimaalilukuja. Tunne vertailun säännöt tavallisia murtolukuja samoilla nimittäjillä mutta eri osoittajilla; samoilla osoittajilla, mutta eri nimittäjillä. Täällä opit vertaamaan mitä tahansa kahta numeroa etsimällä niiden eron etumerkki.

Lukujen vertailua käytetään laajalti käytännössä. Esimerkiksi taloustieteilijä vertaa suunniteltuja indikaattoreita todellisiin, lääkäri potilaan lämpötilaa normaaliin, sorvaja koneistetun kappaleen mittoja standardiin. Kaikissa tällaisissa tapauksissa verrataan joitain lukuja. Lukujen vertailun seurauksena syntyy numeerisia epäyhtälöitä.

Määritelmä. Luku a on suurempi kuin luku b jos ero a-b positiivinen. Luku a on pienempi kuin luku b, jos ero a-b on negatiivinen.

Jos a on suurempi kuin b, he kirjoittavat: a > b; jos a on pienempi kuin b, niin he kirjoittavat: a Siten epäyhtälö a > b tarkoittaa, että ero a - b on positiivinen, ts. a - b > 0. Epäyhtälö a Jollekin kahdelle luvulle a ja b seuraavista kolmesta suhteesta a > b, a = b, a Lause. Jos a > b ja b > c, niin a > c.

Lause. Jos sama luku lisätään epäyhtälön molemmille puolille, niin epäyhtälön etumerkki ei muutu.
Seuraus. Mikä tahansa termi voidaan siirtää epätasa-arvon yhdestä osasta toiseen muuttamalla tämän termin etumerkkiä päinvastaiseksi.

Lause. Jos epäyhtälön molemmat puolet kerrotaan samalla positiivisella luvulla, niin epäyhtälön etumerkki ei muutu. Jos epäyhtälön molemmat puolet kerrotaan samalla negatiivisella luvulla, niin epäyhtälön etumerkki muuttuu päinvastaiseksi.
Seuraus. Jos epäyhtälön molemmat osat jaetaan samalla positiivisella luvulla, niin eriarvoisuuden merkki ei muutu. Jos epäyhtälön molemmat osat jaetaan samalla negatiivisella luvulla, niin eriarvoisuuden merkki muuttuu päinvastaiseksi.

Tiedät, että numeerisia yhtäläisyyksiä voidaan lisätä ja kertoa termi kerrallaan. Seuraavaksi opit suorittamaan samanlaisia ​​​​toimia eriarvoisuuksien kanssa. Käytännössä käytetään usein kykyä lisätä ja kertoa epäyhtälöitä termi kerrallaan. Nämä toiminnot auttavat sinua ratkaisemaan lausekkeiden arvojen arviointiin ja vertailuun liittyvät ongelmat.

Erilaisia ​​ongelmia ratkaistaessa on usein tarpeen lisätä tai kertoa termeiltä epäyhtälöiden vasen ja oikea osa. Joskus sanotaan, että eriarvoisuudet lisätään tai kerrotaan. Esimerkiksi, jos turisti käveli yli 20 km ensimmäisenä päivänä ja yli 25 km toisena päivänä, voidaan väittää, että hän käveli kahdessa päivässä yli 45 km. Vastaavasti, jos suorakulmion pituus on alle 13 cm ja leveys alle 5 cm, voidaan väittää, että tämän suorakulmion pinta-ala on alle 65 cm2.

Näitä esimerkkejä tarkasteltaessa seuraava lauseet epäyhtälöiden yhteen- ja kertolaskuista:

Lause. Kun lasketaan yhteen saman merkin epäyhtälöt, saadaan samanmerkkinen epäyhtälö: jos a > b ja c > d, niin a + c > b + d.

Lause. Kun kerrotaan samanmerkkiset epäyhtälöt, joiden vasen ja oikea puoli ovat positiivisia, saadaan samanmerkkinen epäyhtälö: jos a > b, c > d ja a, b, c, d ovat positiivisia lukuja, niin ac > bd.

Epäyhtälöt merkillä > (suurempi kuin) ja 1/2, 3/4 b, c Yhdessä tiukkojen epäyhtälömerkkien kanssa > ja Samalla tavalla epäyhtälö \(a \geq b \) tarkoittaa, että luku a on suurempi kuin tai yhtä suuri kuin b, eli ja vähintään b.

Epäyhtälöjä, jotka sisältävät merkin \(\geq \) tai merkin \(\leq \), kutsutaan ei-tiukiksi. Esimerkiksi \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) eivät ole tiukkoja epäyhtälöitä.

Kaikki tiukkojen epäyhtälöiden ominaisuudet pätevät myös ei-tiukille epäyhtälöille. Lisäksi, jos tiukkojen epäyhtälöiden kohdalla merkkejä > pidettiin vastakkaisina, ja tiedät, että useiden sovellettujen ongelmien ratkaisemiseksi sinun on laadittava matemaattinen malli yhtälön tai yhtälöjärjestelmän muodossa. Seuraavaksi saat sen selville matemaattisia malleja monien ongelmien ratkaisemiseksi ovat epäyhtälöt tuntemattomien kanssa. Esittelemme epäyhtälön ratkaisemisen käsitteen ja näytämme, kuinka tarkistetaan, onko annettu luku ratkaisu tietylle epäyhtälölle.

Muotojen epätasa-arvo
\(ax > b, \quad ax jossa a ja b on annettu numeroita ja x on tuntematon, kutsutaan lineaariset epäyhtälöt yhden tuntemattoman kanssa.

Määritelmä. Epäyhtälön ratkaisu yhden tuntemattoman kanssa on tuntemattoman arvo, jolle tämä epäyhtälö muuttuu todelliseksi numeeriseksi epäyhtälöksi. Eriarvoisuuden ratkaiseminen tarkoittaa sen kaikkien ratkaisujen löytämistä tai sen toteamista, että niitä ei ole.

Ratkaisit yhtälöt vähentämällä ne yksinkertaisimpiin yhtälöihin. Vastaavasti epäyhtälöitä ratkaistaessa niitä on taipumus pelkistää ominaisuuksien avulla yksinkertaisimpien epäyhtälöiden muotoon.

Toisen asteen epäyhtälöiden ratkaisu yhdellä muuttujalla

Muotojen epätasa-arvo
\(ax^2+bx+c >0 \) ja \(ax^2+bx+c missä x on muuttuja, a, b ja c ovat joitain lukuja ja \(a \neq 0 \) kutsutaan toisen asteen epäyhtälöt yhdellä muuttujalla.

Epätasa-arvon ratkaiseminen
\(ax^2+bx+c >0 \) tai \(ax^2+bx+c \) voidaan ajatella etsivän aukkoja, joissa funktio \(y= ax^2+bx+c \) saa positiivisen tai negatiiviset arvot Tätä varten riittää analysoida kuinka funktion \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) kuvaaja sijaitsee koordinaattitasossa: mihin paraabelin haarat on suunnattu - ylös tai alas , leikkaako paraabeli x-akselin ja jos se leikkaa, niin missä pisteissä.

Algoritmi toisen asteen epäyhtälöiden ratkaisemiseksi yhdellä muuttujalla:
1) etsi neliön trinomin \(ax^2+bx+c\) diskriminantti ja selvitä onko trinomilla juuria;
2) jos trinomilla on juuret, merkitse ne x-akselille ja piirrä merkittyjen pisteiden läpi kaavamainen paraabeli, jonka haarat on suunnattu ylöspäin kohdassa a > 0 tai alaspäin kohdasta 0 tai alemmas a 3) etsi aukkoja x-akseli, jonka pisteparaabelit sijaitsevat x-akselin yläpuolella (jos ne ratkaisevat epäyhtälön \(ax^2+bx+c >0 \)) tai x-akselin alapuolella (jos ne ratkaisevat epäyhtälön
\(ax^2+bx+c Epäyhtälöiden ratkaisu intervallimenetelmällä

Harkitse toimintoa
f(x) = (x + 2) (x - 3) (x - 5)

Tämän funktion toimialue on kaikkien numeroiden joukko. Funktion nollat ​​ovat luvut -2, 3, 5. Ne jakavat funktion alueen väliin \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5 ) \) ja \( (5; +\infty) \)

Selvitetään, mitkä ovat tämän funktion merkit kussakin ilmoitetuissa intervalleissa.

Lauseke (x + 2)(x - 3)(x - 5) on kolmen tekijän tulos. Kunkin näiden tekijöiden etumerkki tarkasteluissa aikaväleissä on osoitettu taulukossa:

Yleensä annetaan funktio kaavalla
f(x) = (x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n),
missä x on muuttuja ja x 1 , x 2 , ..., x n eivät ole yhtä suuria lukuja. Numerot x 1 , x 2 , ..., x n ovat funktion nollia. Jokaisessa välissä, johon määritelmäalue on jaettu funktion nollalla, funktion etumerkki säilyy, ja nollan läpi kulkiessaan sen etumerkki vaihtuu.

Tätä ominaisuutta käytetään muodon epäyhtälöiden ratkaisemiseen
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) missä x 1 , x 2 , ..., x n eivät ole yhtä suuria lukuja

Harkittu menetelmä epäyhtälöiden ratkaisemista kutsutaan intervallimenetelmäksi.

Otetaan esimerkkejä epäyhtälöiden ratkaisemisesta intervallimenetelmällä.

Ratkaise epäyhtälö:

\(x(0.5-x)(x+4) On selvää, että funktion f(x) = x(0.5-x)(x+4) nollat ​​ovat pisteitä \frac(1)(2) , \; x=-4 \)

Piirrämme funktion nollat ​​todelliselle akselille ja laskemme etumerkin jokaiselle välille:

Valitsemme ne intervallit, joilla funktio on pienempi tai yhtä suuri kuin nolla, ja kirjoitamme vastauksen muistiin.

Vastaus:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \oikea) \)

Välitysmenetelmä on yksinkertainen tapa ratkaista murto-rationaaliset epäyhtälöt. Tämä on epäyhtälöiden nimi, jotka sisältävät rationaalisia (tai murto-rationaalisia) lausekkeita, jotka riippuvat muuttujasta.

1. Harkitse esimerkiksi seuraavaa epäyhtälöä

Intervallimenetelmän avulla voit ratkaista sen muutamassa minuutissa.

Tämän epäyhtälön vasemmalla puolella on rationaalinen murto-osafunktio. Rational, koska se ei sisällä juuria, sinejä tai logaritmeja - vain rationaalisia lausekkeita. Oikealla on nolla.

Intervallimenetelmä perustuu rationaalisen murtofunktion seuraavaan ominaisuuteen.

Murtolukuinen rationaalinen funktio voi muuttaa etumerkkiä vain niissä pisteissä, joissa se on nolla tai sitä ei ole olemassa.

Muista, kuinka neliötrinomi otetaan huomioon, eli muodon lauseke.

Missä ja ovat juuret toisen asteen yhtälö.

Piirrämme akselin ja järjestämme pisteet, joissa osoittaja ja nimittäjä katoavat.

Nimittäjän ja nollat ​​ovat punkturoituja pisteitä, koska näissä pisteissä epäyhtälön vasemmalla puolella olevaa funktiota ei ole määritelty (ei voi jakaa nollalla). Osoittimen ja - nollat ​​ovat varjostettuja, koska epäyhtälö ei ole tiukka. For ja epäyhtälömme täyttyy, koska sen molemmat osat ovat yhtä suuret kuin nolla.

Nämä pisteet jakavat akselin intervalleiksi.

Määritetään murto-rationaalisen funktion etumerkki epäyhtälömme vasemmalla puolella jokaisella näistä intervalleista. Muistamme, että murto-osainen rationaalinen funktio voi muuttaa etumerkkiä vain niissä pisteissä, joissa se on nolla tai sitä ei ole olemassa. Tämä tarkoittaa, että jokaisella intervalleilla niiden pisteiden välillä, joissa osoittaja tai nimittäjä katoaa, epäyhtälön vasemmalla puolella olevan lausekkeen etumerkki on vakio - joko "plus" tai "miinus".

Ja siksi funktion etumerkin määrittämiseksi kullakin sellaisella välillä otamme minkä tahansa tähän väliin kuuluvan pisteen. Se joka meille sopii.
. Otetaan esimerkiksi ja tarkistetaan lausekkeen etumerkki epäyhtälön vasemmalta puolelta. Jokainen "suluista" on negatiivinen. Vasemmalla puolella on kyltti.

Seuraava intervalli: . Tarkastellaan kylttiä. Saamme, että vasen puoli on vaihtanut merkin muotoon .

Otetaan . Kun lauseke on positiivinen - se on siis positiivinen koko väliltä - .

Sillä , Epäyhtälön vasen puoli on negatiivinen.

Ja lopuksi class="tex" alt="(!LANG:x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Olemme löytäneet millä aikaväleillä lauseke on positiivinen. Vielä on kirjoitettava vastaus:

Vastaus:.

Huomaa: aikavälien merkit vuorottelevat. Tämä tapahtui, koska kulkiessaan kunkin pisteen läpi täsmälleen yksi lineaarisista tekijöistä muutti etumerkkiä ja loput pitivät sen ennallaan.

Näemme, että intervallimenetelmä on hyvin yksinkertainen. Murto-rationaalisen epäyhtälön ratkaisemiseksi intervallimenetelmällä saamme sen muotoon:

Tai class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, tai tai .

(vasemmalla puolella - murto-rationaalinen funktio, oikealla - nolla).

Sitten - merkitsemme numeroviivalle kohdat, joissa osoittaja tai nimittäjä katoaa.
Nämä pisteet jakavat koko lukuviivan intervalleiksi, joissa jokaisessa murto-rationaalifunktio säilyttää etumerkkinsä.
Jää vain selvittää sen merkki jokaisella intervallilla.
Teemme tämän tarkistamalla lausekkeen etumerkin missä tahansa pisteessä annetulla aikavälillä. Sen jälkeen kirjoitamme vastauksen muistiin. Siinä kaikki.

Mutta herää kysymys: vuorottelevatko merkit aina? Ei ei aina! Meidän tulee olla varovaisia, ettemme sijoita kylttejä mekaanisesti ja ajattelemattomasti.

2. Katsotaanpa toista epätasa-arvoa.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \left(x-3\right))>0"> !}

Asetamme jälleen pisteet akselille. Pisteet ja ovat pisteytetty, koska ne ovat nimittäjän nollia. Piste on myös rei'itetty, koska epätasa-arvo on tiukka.

Kun osoittaja on positiivinen, molemmat tekijät nimittäjässä ovat negatiivisia. Tämä on helppo tarkistaa ottamalla mikä tahansa luku tietystä intervallista, esimerkiksi . Vasemmalla puolella on kyltti:

Kun osoittaja on positiivinen; nimittäjän ensimmäinen tekijä on positiivinen, toinen tekijä on negatiivinen. Vasemmalla puolella on kyltti:

Kun tilanne on sama! Osoittaja on positiivinen, nimittäjän ensimmäinen tekijä on positiivinen, toinen on negatiivinen. Vasemmalla puolella on kyltti:

Lopuksi komennolla class="tex" alt="(!LANG:x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Vastaus:.

Miksi hahmojen vuorottelu katkesi? Koska pisteen läpi kulkiessaan kertoja "vastaa" siitä ei vaihtanut merkkiä. Näin ollen eriarvoisuutemme koko vasen puoli ei myöskään vaihtanut etumerkkiä.

Johtopäätös: jos lineaarinen tekijä on parillisessa potenssissa (esimerkiksi neliössä), niin pisteen läpi kulkiessaan lausekkeen etumerkki vasemmalla ei muutu. Parittoman asteen tapauksessa merkki tietysti muuttuu.

3. Tarkastellaanpa monimutkaisempaa tapausta. Se eroaa edellisestä siinä, että eriarvoisuus ei ole tiukka:

Vasen puoli on sama kuin edellisessä tehtävässä. Merkkien kuva on sama:

Ehkä vastaus on sama? Ei! Ratkaisu lisätään Tämä johtuu siitä, että , sekä vasen että oikea puoli epätasa-arvo on nolla - siksi tämä kohta on ratkaisu.

Vastaus:.

Matematiikan kokeen ongelmassa tämä tilanne tulee usein vastaan. Täällä hakijat joutuvat ansaan ja menettävät pisteitä. Ole varovainen!

4. Entä jos osoittajaa tai nimittäjää ei voida ottaa huomioon lineaarisissa tekijöissä? Harkitse tätä epätasa-arvoa:

Neliötrinomia ei voi kertoa: diskriminantti on negatiivinen, juuria ei ole. Mutta tämä on hyvä! Tämä tarkoittaa, että ilmaisun etumerkki on kaikille sama, ja erityisesti se on positiivinen. Voit lukea tästä lisää neliöfunktion ominaisuuksia käsittelevästä artikkelista.

Ja nyt voimme jakaa epätasa-arvomme molemmat puolet arvolla, joka on positiivinen kaikille. Pääsemme vastaavaan epätasa-arvoon:

Mikä on helppo ratkaista intervallimenetelmällä.

Huomio - jaoimme epätasa-arvon molemmat puolet arvolla, jonka tiesimme varmasti, että se oli positiivista. Epäyhtälöä ei tietenkään yleensä pitäisi kertoa tai jakaa muuttujalla, jonka etumerkkiä ei tunneta.

5 . Harkitse toista epätasa-arvoa, joka vaikuttaa melko yksinkertaiselta:

Haluan siis kertoa sen arvolla. Mutta olemme jo älykkäitä, emmekä tee tätä. Loppujen lopuksi se voi olla sekä positiivista että negatiivista. Ja tiedämme, että jos molemmat epätasa-arvon osat kerrotaan negatiivisella arvolla, epätasa-arvon merkki muuttuu.

Toimimme eri tavalla - keräämme kaiken yhteen osaan ja tuomme sen yhteiseen nimittäjään. Nolla jää oikealle puolelle:

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

Ja sen jälkeen - sovellettavissa intervallimenetelmä.

Jatkamme kaivamista aiheeseen "erä-arvojen ratkaiseminen yhdellä muuttujalla". Me tunnemme jo lineaariset epäyhtälöt ja toisen asteen epäyhtälöt. Ne ovat erikoistapauksia. rationaalista eriarvoisuutta jota nyt tutkimme. Aloitetaan selvittämällä, millaisia ​​epätasa-arvoja kutsutaan rationaalisiksi. Seuraavaksi käsittelemme niiden jakamista kokonaisluku- ja murto-rationaalisiksi epäyhtälöiksi. Ja sen jälkeen tutkimme, kuinka rationaalisten epäyhtälöiden ratkaisu yhdellä muuttujalla suoritetaan, kirjoitamme vastaavat algoritmit ja tarkastelemme tyypillisten esimerkkien ratkaisuja yksityiskohtaisilla selityksillä.

Sivulla navigointi.

Mitä ovat rationaaliset eriarvoisuudet?

Koulussa, algebran tunneilla, heti kun keskustelu eriarvoisuuksien ratkaisemisesta tulee esiin, kohtaaminen rationaalisten eriarvoisuuksien kanssa tapahtuu välittömästi. Aluksi niitä ei kuitenkaan kutsuta oikealla nimellä, koska tässä vaiheessa eriarvoisuustyypit eivät juuri kiinnosta, ja päätavoitteena on hankkia alkutaidot eriarvoisuuden kanssa työskennellä. Itse termi "rationaalinen epätasa-arvo" otetaan käyttöön myöhemmin 9. luokalla, kun tämän tyyppisen eriarvoisuuden yksityiskohtainen tutkimus alkaa.

Selvitetään, mitä rationaalinen epätasa-arvo on. Tässä on määritelmä:

Äänitetyssä määritelmässä ei sanota mitään muuttujien lukumäärästä, mikä tarkoittaa, että mikä tahansa määrä niitä on sallittu. Tästä riippuen erotetaan rationaaliset epäyhtälöt yhden, kahden jne. kanssa. muuttujia. Muuten, oppikirja antaa samanlaisen määritelmän, mutta rationaalisille epäyhtälöille yhdellä muuttujalla. Tämä on ymmärrettävää, sillä koulu keskittyy eriarvoisuuksien ratkaisemiseen yhdellä muuttujalla (alla puhutaan myös rationaalisten epäyhtälöiden ratkaisemisesta yhdellä muuttujalla). Epäyhtälöt kahdella muuttujalla harvoin huomioidaan, ja kolmen tai useamman muuttujan epäyhtälöihin ei kiinnitetä käytännössä lainkaan huomiota.

Joten rationaalinen epäyhtälö voidaan tunnistaa sen merkinnöistä, tätä varten riittää, kun tarkastellaan sen vasemmalla ja oikealla puolella olevia lausekkeita ja varmistetaan, että ne ovat rationaalisia lausekkeita. Nämä pohdinnat antavat meille mahdollisuuden antaa esimerkkejä rationaalisesta epätasa-arvosta. Esimerkiksi x>4, x 3 +2 y≤5 (y−1) (x 2 +1), ovat rationaalista epätasa-arvoa. Ja eriarvoisuutta ei ole rationaalinen, koska sen vasen puoli sisältää muuttujan juuren merkin alla, ja siksi se ei ole rationaalinen lauseke. Epäyhtälö ei myöskään ole rationaalinen, koska sen molemmat osat eivät ole rationaalisia ilmaisuja.

Lisäkuvauksen helpottamiseksi otamme käyttöön rationaaliset epäyhtälöt jaetaan kokonaislukuihin ja murtolukuihin.

Määritelmä.

Rationaalista eriarvoisuutta kutsutaan koko, jos sen molemmat osat ovat rationaalisia kokonaislukulausekkeita.

Määritelmä.

Murto-rationaalinen epätasa-arvo on rationaalinen epäyhtälö, josta ainakin yksi osa on murtolauseke.

Joten 0,5 x ≤ 3 (2–5 y), ovat kokonaislukuepäyhtälöt, ja 1:x+3>0 ja - murto-osa rationaalinen.

Nyt meillä on selkeä käsitys siitä, mitä rationaaliset epäyhtälöt ovat, ja voimme turvallisesti alkaa käsitellä periaatteita ratkaista kokonaisluku- ja murto-rationaaliset epäyhtälöt yhdellä muuttujalla.

Kokonaislukuepäyhtälöiden ratkaiseminen

Asetetaan itsellemme tehtävä: ratkaistaan ​​kokonaislukuinen rationaalinen epäyhtälö yhdellä muuttujalla x muotoa r(x) , ≥), missä r(x) ja s(x) ovat rationaalisia kokonaislukulausekkeita. Sen ratkaisemiseksi käytämme vastaavia epäyhtälön muunnoksia.

Siirrämme lauseketta oikealta puolelta vasemmalle, mikä johtaa meidät ekvivalenttiin epäyhtälöön muotoa r(x) − s(x)<0 (≤, >, ≥) ja nolla oikealla. Ilmeisesti myös vasemmalle puolelle muodostettu lauseke r(x)−s(x) on kokonaisluku, ja tiedetään, että mikä tahansa . Kun lauseke r(x)−s(x) on muunnettu identtiseksi yhtäläiseksi polynomiksi h(x) (tässä todetaan, että lausekkeilla r(x)−s(x) ja h(x) on sama muuttuja x ), siirrytään ekvivalenttiin epäyhtälöön h(x)<0 (≤, >, ≥).

Yksinkertaisimmissa tapauksissa tehdyt muunnokset riittävät halutun ratkaisun saamiseksi, koska ne johtavat meidät alkuperäisestä kokonaislukujen rationaalisesta epäyhtälöstä epäyhtälöyn, jonka voimme ratkaista, esimerkiksi lineaariseen tai neliömäiseen. Harkitse esimerkkejä.

Esimerkki.

Etsi ratkaisu koko rationaaliselle epäyhtälölle x·(x+3)+2·x≤(x+1) 2 +1 .

Ratkaisu.

Ensin siirrämme lausekkeen oikealta puolelta vasemmalle: x (x+3)+2 x−(x+1) 2 −1≤0. Tehtyämme kaiken vasemmalla puolella saavumme kohteeseen lineaarinen epätasa-arvo 3 x−2≤0 , mikä vastaa alkuperäistä kokonaislukuepäyhtälöä. Hänen ratkaisunsa ei ole vaikea:
3 x ≤ 2 ,
x≤2/3.

Vastaus:

x≤2/3.

Esimerkki.

Ratkaise epätasa-arvo (x 2 +1) 2 -3 x 2 > (x 2 - x) (x 2 + x).

Ratkaisu.

Aloitamme tavalliseen tapaan siirtämällä lauseketta oikealta puolelta ja sitten teemme muunnoksia vasemmalle puolelle käyttämällä:
(x 2 +1) 2 −3 x 2 −(x 2 − x) (x 2 + x)>0,
x 4 +2 x 2 +1−3 x 2 −x 4 +x 2 >0,
1>0 .

Eli suoritettaessa vastaavia muunnoksia päästiin epäyhtälöön 1>0 , joka pätee kaikkiin muuttujan x arvoihin. Ja tämä tarkoittaa, että alkuperäisen kokonaislukuepäyhtälön ratkaisu on mikä tahansa reaaliluku.

Vastaus:

x - mikä tahansa.

Esimerkki.

Ratkaise epätasa-arvo x+6+2 x 3 −2 x (x 2 +x−5)>0.

Ratkaisu.

Oikealla puolella on nolla, joten siitä ei tarvitse siirtää mitään. Muunnetaan koko lauseke vasemmalla polynomiksi:
x+6+2 x 3 −2 x 3 −2 x 2 +10 x>0,
−2 x 2 +11 x+6>0 .

Olemme saaneet neliöllisen epäyhtälön, joka vastaa alkuperäistä epäyhtälöä. Ratkaisemme sen millä tahansa tuntemallamme menetelmällä. Ratkaisemme neliöllisen epäyhtälön graafisesti.

Etsi neliötrinomin −2 x 2 +11 x+6 juuret:

Teemme kaavamaisen piirustuksen, johon merkitsemme löydetyt nollat, ja otamme huomioon, että paraabelin haarat on suunnattu alaspäin, koska johtava kerroin on negatiivinen:

Koska ratkaisemme epäyhtälön >-merkillä, olemme kiinnostuneita väleistä, joilla paraabeli sijaitsee x-akselin yläpuolella. Tämä tapahtuu välillä (−0.5, 6) ja se on haluttu ratkaisu.

Vastaus:

(−0,5, 6) .

Monimutkaisemmissa tapauksissa tuloksena olevan epäyhtälön h(x) vasemmalla puolella<0 (≤, >, ≥) on kolmannen tai korkeamman asteen polynomi. Tällaisten epäyhtälöiden ratkaisemiseen sopii intervallimenetelmä, jonka ensimmäisessä vaiheessa täytyy löytää kaikki polynomin h (x) juuret, mikä usein tehdään läpi.

Esimerkki.

Etsi ratkaisu koko rationaaliselle epäyhtälölle (x 2 +2) (x+4)<14−9·x .

Ratkaisu.

Siirretään kaikki vasemmalle puolelle, jonka jälkeen sinne ja:
(x 2 +2) (x+4)−14+9 x<0 ,
x 3 +4 x 2 +2 x+8−14+9 x<0 ,
x 3 +4 x 2 +11 x−6<0 .

Suoritetut manipulaatiot johtavat epätasa-arvoon, joka vastaa alkuperäistä. Sen vasemmalla puolella on kolmannen asteen polynomi. Se voidaan ratkaista intervallimenetelmällä. Tätä varten sinun on ensin löydettävä juuret polynomille, joka perustuu x 3 +4 x 2 +11 x−6=0. Selvitetään, onko sillä rationaalisia juuria, jotka voivat olla vain vapaan termin jakajien joukossa, eli lukujen ±1, ±2, ±3, ±6 joukossa. Korvaamalla nämä luvut vuorotellen muuttujan x sijasta yhtälössä x 3 +4 x 2 +11 x−6=0 saadaan selville, että yhtälön juuret ovat luvut 1 , 2 ja 3 . Tämä mahdollistaa polynomin x 3 +4 x 2 +11 x−6 esittämisen tulona (x−1) (x−2) (x−3) , ja epäyhtälön x 3 +4 x 2 +11 x− 6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.

Ja sitten on vielä tehtävä intervallimenetelmän standardivaiheet: merkitse numeroviivalle pisteet koordinaateilla 1, 2 ja 3, jotka jakavat tämän viivan neljään väliin, määrität ja sijoitat merkit, piirrät viivot intervalleihin miinusmerkillä (koska ratkaisemme epäyhtälöä merkillä<) и записать ответ.

Mistä meillä on (−∞, 1)∪(2, 3) .

Vastaus:

(−∞, 1)∪(2, 3) .

On huomattava, että joskus se on epäkäytännöllistä epäyhtälöstä r(x) − s(x)<0 (≤, >, ≥) siirtyy epäyhtälöön h(x)<0 (≤, >, ≥), jossa h(x) on polynomi, jonka aste on suurempi kuin kaksi. Tämä pätee tapauksiin, joissa polynomin h(x) kertoimia on vaikeampaa kuin esittää lauseke r(x) − s(x) lineaaristen binomien ja neliötrinomien tulona, ​​esimerkiksi hakasulkeemalla yhteinen tekijä. Selitetään tämä esimerkillä.

Esimerkki.

Ratkaise epätasa-arvo (x 2 -2 x -1) (x 2 -19) ≥ 2 x (x 2 -2 x -1).

Ratkaisu.

Tämä on täyttä eriarvoisuutta. Jos siirrämme lausekkeen sen oikealta puolelta vasemmalle, avaa sitten sulut ja tuo samanlaiset termit, saamme epäyhtälön x 4 −4 x 3 −16 x 2 +40 x+19≥0. Sen ratkaiseminen on erittäin vaikeaa, koska se edellyttää neljännen asteen polynomin juurien löytämistä. On helppo tarkistaa, ettei sillä ole rationaalisia juuria (ne voivat olla numerot 1, -1, 19 tai -19), ja on ongelmallista etsiä sen muita juuria. Siksi tämä polku on umpikuja.

Etsitään muita mahdollisia ratkaisuja. On helppo nähdä, että kun lauseke on siirretty alkuperäisen kokonaislukuepäyhtälön oikealta puolelta vasemmalle, voidaan ottaa yhteiskerroin x 2 −2 x −1 pois suluista:
(x 2 -2 x -1) (x 2 -19) -2 x (x 2 -2 x -1)≥0,
(x 2 -2 x -1) (x 2 -2 x -19)≥0.

Suoritettu muunnos on ekvivalentti, joten tuloksena olevan epäyhtälön ratkaisu on alkuperäisen epäyhtälön ratkaisu.

Ja nyt voimme löytää lausekkeen nollat, jotka sijaitsevat tuloksena olevan epäyhtälön vasemmalla puolella, tähän tarvitaan x 2 −2 x−1=0 ja x 2 −2 x−19=0 . Niiden juuret ovat numerot . Tämän avulla voimme siirtyä ekvivalenttiin epäyhtälöön ja voimme ratkaista sen intervallimenetelmällä:

Piirustuksen mukaan kirjoitamme vastauksen muistiin.

Vastaus:

Tämän kappaleen lopuksi haluan vain lisätä, että ei läheskään aina ole mahdollista löytää kaikkia polynomin h (x) juuria ja sen seurauksena laajentaa se lineaaristen binomien ja neliötrinomien tuloksi. Näissä tapauksissa ei ole mahdollista ratkaista epäyhtälöä h(x)<0 (≤, >, ≥), mikä tarkoittaa, että alkuperäiseen koko rationaaliseen yhtälöön ei löydy ratkaisua.

Murto-rationaalisten epäyhtälöiden ratkaisu

Käsitellään nyt tällaisen ongelman ratkaisua: vaaditaan ratkaisemaan murto-rationaalinen epäyhtälö yhdellä muuttujalla x muotoa r(x) , ≥), jossa r(x) ja s(x) ovat joitain rationaalisia lausekkeita, ja ainakin yksi niistä on murtoluku. Annetaan heti algoritmi sen ratkaisemiseksi, jonka jälkeen teemme tarvittavat selitykset.

Algoritmi murto-rationaalisen epäyhtälön ratkaisemiseksi yhdellä muuttujalla r(x) , ≥):

• Ensin sinun on löydettävä alkuperäisen epäyhtälön muuttujan x hyväksyttävien arvojen alue (ODV).
• Seuraavaksi sinun on siirrettävä lauseke epäyhtälön oikealta puolelta vasemmalle, ja siellä muodostettu lauseke r(x) − s(x) muunnetaan murtoluvun p(x)/q(x) muotoon. ) , jossa p(x) ja q(x) ovat kokonaislukulausekkeita, jotka ovat lineaaristen binomiaalien, hajoamattomien neliötrinomien ja niiden potenssien tuloja luonnollisella eksponentilla.
• Seuraavaksi sinun on ratkaistava tuloksena oleva epäyhtälö intervallimenetelmällä.
• Lopuksi edellisessä vaiheessa saadusta ratkaisusta on välttämätöntä jättää pois kohdat, jotka eivät sisälly ensimmäisessä vaiheessa löydetyn alkuperäisen epäyhtälön x-muuttujan DPV:hen.

Siten saadaan haluttu murto-rationaalisen epäyhtälön ratkaisu.

Algoritmin toinen vaihe vaatii selitystä. Kun lauseke siirretään epäyhtälön oikealta puolelta vasemmalle, saadaan epäyhtälö r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), joka vastaa alkuperäistä. Täällä kaikki on selvää. Mutta kysymyksiä herättää sen muunnos edelleen muotoon p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥).

Ensimmäinen kysymys kuuluu: "Onko se aina mahdollista toteuttaa"? Teoreettisesti kyllä. Tiedämme, että kaikki on mahdollista. Rationaalisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä ovat polynomeja. Ja algebran peruslauseesta ja Bezoutin lauseesta seuraa, että mikä tahansa n-asteinen polynomi, jolla on yksi muuttuja, voidaan esittää lineaaristen binomien tulona. Tämä selittää mahdollisuuden suorittaa tämä muutos.

Käytännössä polynomien faktorointi on melko vaikeaa, ja jos niiden aste on korkeampi kuin neljäs, niin se ei aina ole mahdollista. Jos faktorointi on mahdotonta, niin alkuperäiseen epätasa-arvoon ei löydy ratkaisua, mutta tällaisia ​​tapauksia ei yleensä tapahdu koulussa.

Toinen kysymys: "Onko epäyhtälö p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥) vastaa epäyhtälöä r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), ja siten myös alkuperäinen"? Se voi olla joko vastaava tai eriarvoinen. Se on ekvivalentti, kun lausekkeen p(x)/q(x) ODZ on sama kuin lausekkeen r(x)−s(x) ODZ. Tässä tapauksessa algoritmin viimeinen vaihe on redundantti. Mutta lausekkeen p(x)/q(x) DPV voi olla leveämpi kuin lausekkeen r(x)−s(x) DPV. ODZ:n laajeneminen voi tapahtua, kun fraktioita pienennetään, kuten esimerkiksi siirryttäessä . Myös ODZ:n laajentamista voidaan helpottaa vähentämällä vastaavia termejä, kuten esimerkiksi siirtyessä . Tässä tapauksessa on tarkoitettu algoritmin viimeinen vaihe, joka eliminoi ODZ:n laajenemisesta aiheutuvat ylimääräiset ratkaisut. Pidetään tätä silmällä, kun analysoimme alla esimerkkien ratkaisuja.

• Kehittää kykyä ratkaista rationaalisia eriarvoisuuksia monijuuristen intervallien menetelmällä, auttaa opiskelijoita kehittämään tarvetta ja halua yleistää opittua materiaalia;
• Kehitä kykyä vertailla ratkaisuja, tunnistaa oikeat vastaukset; kehittää uteliaisuutta, loogista ajattelua, kognitiivista kiinnostusta aihetta kohtaan
• Kasvata tarkkuutta päätöksenteossa, kykyä voittaa vaikeudet eriarvoisuuksien ratkaisemisessa.

Materiaalit ja laitteet: interaktiivinen taulu, kortit, testikokoelma.

Oppitunnin edistyminen

I. Organisatorinen hetki

II. Tiedon päivitys

Etuluokkakysely kysymyksistä:

Millä muuttujan arvoilla murtoluku on järkevä (kuva 1)?

Toista algoritmi muodon (x - x 1) (x - x 2) ... (x - x n) > 0 tai (x - x 1) (x - x 2) ... (x -) epäyhtälöiden ratkaisemiseksi. x n)< 0, где x 1 , x 2 , … x n не равные друг другу числа.

Interaktiivisella taululla näkyy algoritmi epäyhtälöiden ratkaisemiseksi intervallimenetelmällä:

III. Uuden materiaalin oppiminen. Monijuuristen murto-rationaalisten epäyhtälöiden ratkaisu intervallimenetelmällä.

Epäyhtälöiden ratkaiseminen muuttujan useilla kriittisillä arvoilla liittyy yleensä suurimpiin vaikeuksiin. Jos aikaisemmin oli mahdollista asettaa merkkejä aikaväleille yksinkertaisesti niitä vuorotellen, niin nyt kriittistä arvoa kulkiessa koko lausekkeen etumerkki ei välttämättä muutu. Tutustumme niin kutsuttuun "terälehti" -menetelmään, joka auttaa voittamaan vaikeudet, jotka liittyvät toimintomerkkien järjestelyyn aikaväleillä.

Harkitse esimerkkiä: (x+3) 2 > 0/

Vasemmalla puolella on yksi kriittinen piste x = - 3. Merkitsemme sen reaaliviivalle. Tämän pisteen monikerta on 2, joten voimme olettaa, että meillä on kaksi yhdistettyä kriittistä pistettä, joiden välillä on myös väli, jonka alku ja loppu ovat samassa pisteessä -3. Merkitsemme tällaiset välit "terälehdillä", kuten kuvassa 3. Siten saatiin kolme väliä: kaksi numeerista väliä (-∞; -3); (-3; +∞) ja "terälehti" niiden välissä. Jäljelle jää merkkien laittaminen. Tätä varten laskemme nollan sisältävän intervallin merkin ja asetamme merkit muiden päälle yksinkertaisesti vuorotellen niitä. Kylttien sijoittelun tulos on esitetty kuvassa 4

Riisi. 3	Riisi. neljä

Vastaus: x € (-∞; -3) U (-3; +∞)

Tarkastellaan nyt monimutkaisempaa epäyhtälöä (kuva 5):

Esitellään funktio (kuva 6):

Merkitsemme kriittiset pisteet numeroviivalle ottaen huomioon niiden moninkertaisuuden - jokaiselle lisäsululle, jolla on tietty kriittinen arvo, piirrämme ylimääräisen "terälehden". Joten kuvassa 7 yksi "terälehti" näkyy pisteessä x \u003d 3, koska (x-3)? \u003d (x-3) (x-3).

Koska (x - 6) 3 \u003d (x - 6) (x - 6) (x - 6), kaksi "terälehteä" näkyy pisteessä x \u003d 6. Ensimmäinen kerroin otetaan huomioon akselin pisteessä 6, ja kaksi lisäkerrointa otetaan huomioon lisäämällä kaksi "terälehteä". Seuraavaksi määritämme merkin yhdelle intervalleista ja asetamme merkit muille vuorotellen miinuksia ja plussia.

Kaikki "+":lla ja tummilla pisteillä merkityt aukot antavat vastauksen.

X € [-4;-1) U (3) U (6;+∞).

IV. Uuden materiaalin korjaaminen

1. Ratkaise epäyhtälö:

Otetaan kertoimella epäyhtälön vasen puoli:

Ensin piirrämme koordinaattiakselille nimittäjän kriittiset pisteet, saamme (kuva 10)

Lisäämällä osoittajapisteet saadaan (kuva 11)

Ja nyt määritämme merkit välissä ja "terälehdissä" (kuva 12)

Riisi. 12

Vastaus: x € (-1; 0) U (0; 1) U (2)

2. Valitse numerovälit, jotka ovat epäyhtälöiden ratkaisuja intervallimenetelmällä, ottaen huomioon polynomin juurien monikerroin (kuva 13).

V. Oppitunnin yhteenveto

Keskustellessamme luokan kanssa teemme johtopäätökset:

1) On mahdollista sijoittaa kylttejä väliajoin yksinkertaisesti vuorotellen niitä.

3) Tällaisella ratkaisulla yksittäiset juuret eivät koskaan katoa.

Yksityisyytesi on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Lue tietosuojakäytäntömme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Seuraavassa on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisiä henkilötietoja voimme kerätä ja kuinka voimme käyttää näitä tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, osoitteesi Sähköposti jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ja ilmoittaa sinulle ainutlaatuisista tarjouksista, kampanjoista ja muista tapahtumista ja tulevista tapahtumista.
• Ajoittain voimme käyttää henkilökohtaisia ​​tietojasi lähettääksemme sinulle tärkeitä ilmoituksia ja viestejä.
• Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan kannustimeen, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen paljastaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Ilmoita henkilötietosi siinä tapauksessa, että se on tarpeen - lain, oikeusjärjestyksen, oikeuskäsittelyn mukaisesti ja/tai Venäjän federaation alueella olevien julkisten pyyntöjen tai valtion elinten pyyntöjen perusteella. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muihin yleisen edun mukaisiin tarkoituksiin.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot asianomaiselle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suojaaminen

Suojelemme varotoimia – mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset – henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi säilyttäminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, tiedotamme tietosuoja- ja turvallisuuskäytännöistä työntekijöillemme ja valvomme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.