Tämän artikkelin alussa keskustelimme konseptista trigonometriset funktiot. Niiden päätarkoituksena on tutkia trigonometrian perusteita ja jaksollisten prosessien tutkimusta. Ja trigonometristä ympyrää emme turhaan piirtäneet, koska useimmissa tapauksissa trigonometriset funktiot määritellään kolmion tai sen tiettyjen osien sivujen suhteeksi yksikköympyrässä. Mainitsin myös trigonometrian kiistatta suuren merkityksen moderni elämä. Mutta tiede ei seiso paikallaan, minkä seurauksena voimme laajentaa merkittävästi trigonometrian soveltamisalaa ja siirtää sen säännökset todellisiin ja joskus kompleksisiin lukuihin.

Trigonometrian kaavat on useita tyyppejä. Ajatellaanpa niitä järjestyksessä.

1. Saman kulman trigonometristen funktioiden suhteet

Tässä tulemme pohtimaan sellaista käsitettä kuin trigonometriset perusidentiteetit.

Trigonometrinen identiteetti on yhtäläisyys, joka koostuu trigonometrisista suhteista ja joka pätee kaikkiin siihen sisältyvien kulmien arvoihin.

Harkitse tärkeimpiä trigonometrisiä identiteettejä ja niiden todisteita:

Ensimmäinen identiteetti seuraa tangentin määritelmästä.

Otetaan suorakulmainen kolmio, jossa kärjessä A on terävä kulma x.



Identiteettien todistamiseksi on tarpeen käyttää Pythagoraan lausetta:

(BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2

Nyt jaetaan (AB) 2:lla tasa-arvon molemmat osat ja muistaen kulman sinin ja cos:n määritelmät, saamme toisen identiteetin:

(BC) 2 / (AB) 2 + (AC) 2 / (AB) 2 = 1

sin x = (BC)/(AB)

cos x = (AC)/(AB)

sin 2 x + cos 2 x = 1

Kolmannen ja neljännen identiteetin todistamiseksi käytämme edellistä todistetta.

Tätä varten jaamme toisen identiteetin molemmat osat cos 2 x:llä:

sin 2 x/ cos 2 x + cos 2 x/ cos 2 x = 1/ cos 2 x

sin 2x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x

Ensimmäisen identiteetin tg x \u003d sin x / cos x perusteella saamme kolmannen:

1 + tg2x = 1/cos2x

Nyt jaamme toisen identiteetin synnillä 2 x:

sin 2 x/ sin 2 x + cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x

1+ cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x

cos 2 x/ sin 2 x on vain 1/tg 2 x, joten saamme neljännen identiteetin:

1 + 1/tg2x = 1/sin2x

On aika muistaa lause kolmion sisäkulmien summasta, joka sanoo, että kolmion kulmien summa \u003d 180 0. Osoittautuu, että kolmion kärjessä B on kulma, jonka arvo on 180 0 - 90 0 - x \u003d 90 0 - x.



Muista synnin ja cosin määritelmät uudelleen ja saamme viidennen ja kuudennen identiteetin:

sin x = (BC)/(AB)

cos(90 0 - x) = (BC)/(AB)

cos(90 0 - x) = sin x

Tehdään nyt seuraavasti:

cos x = (AC)/(AB)

sin(90 0 - x) = (AC)/(AB)

sin(90 0 - x) = cos x

Kuten näette, täällä kaikki on alkeellista.

On muitakin identiteettejä, joita käytetään matemaattisten identiteettien ratkaisemisessa, annan ne yksinkertaisesti muodossa taustatieto, koska ne kaikki ovat peräisin edellä mainitusta.



2. Trigonometristen funktioiden lausekkeet toistensa läpi

   (kyltin valinta juuren edessä määräytyy sen mukaan, missä ympyrän neljänneksistä kulma sijaitsee?)







3. Seuraavat ovat kaavat kulmien yhteen- ja vähentämiseen:



4. Kaksois-, kolmois- ja puolikulmakaavat.

   Huomaan, että ne kaikki seuraavat edellisistä kaavoista.

sin 2x \u003d 2sin x * cos x

cos 2x \u003d cos 2 x -sin 2 x \u003d 1-2sin 2 x \u003d 2cos 2 x -1

tg2x = 2tgx/(1 - tg2x)

сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x

sin3x \u003d 3sin x - 4sin 3 x

cos3x \u003d 4cos 3 x - 3cos x

tg 3x = (3tgx - tg 3x) /(1 - 3tg 2 x)

сtg 3x = (сtg 3 x - 3сtg x) / (3сtg 2 x - 1)









5. Kaavat trigonometristen lausekkeiden muuntamiseen:

Tässä artikkelissa tarkastelemme kattavasti . Trigonometriset perusidentiteetit ovat yhtäläisyyksiä, jotka muodostavat suhteen yhden kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin välille ja antavat sinun löytää minkä tahansa näistä trigonometrisista funktioista tunnetun toisen kulman kautta.

Luettelemme välittömästi tärkeimmät trigonometriset identiteetit, joita analysoimme tässä artikkelissa. Kirjoitamme ne taulukkoon, ja alla annamme näiden kaavojen johtamisen ja annamme tarvittavat selitykset.

Sivulla navigointi.

Yhden kulman sinin ja kosinin suhde

Joskus he eivät puhu yllä olevassa taulukossa luetelluista tärkeimmistä trigonometrisista identiteeteista, vaan yhdestä yksittäisestä trigonometrinen perusidentiteetti ystävällinen . Selitys tälle tosiasialle on melko yksinkertainen: yhtäläisyydet saadaan trigonometrisesta perusidentiteetistä sen jälkeen, kun sen molemmat osat jaetaan vastaavasti ja yhtäläisyydet Ja seuraa sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmistä. Keskustelemme tästä yksityiskohtaisemmin seuraavissa kappaleissa.

Toisin sanoen tasa-arvo on erityisen kiinnostava, jolle annettiin trigonometrisen pääidentiteetin nimi.

Ennen trigonometrisen perusidentiteetin todistamista annamme sen muotoilun: yhden kulman sinin ja kosinin neliöiden summa on yhtä suuri kuin yksi. Nyt todistetaan se.

Trigonometristä perusidentiteettiä käytetään hyvin usein muunnos trigonometriset lausekkeet . Se mahdollistaa yhden kulman sinin ja kosinin neliöiden summan korvaamisen yhdellä. Yhtä usein trigonometristä perusidentiteettiä käytetään käänteisessä järjestyksessä: yksikkö korvataan minkä tahansa kulman sinin ja kosinin neliöiden summalla.

Tangentti ja kotangentti sinin ja kosinin kautta

Identiteetit, jotka yhdistävät tangentin ja kotangentin muodon ja yhden kulman siniin ja kosiniin seuraa välittömästi sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmistä. Itse asiassa määritelmän mukaan sini on y:n ordinaatta, kosini on x:n abskissa, tangentti on ordinaatin suhde abskissaan, eli , ja kotangentti on abskissan suhde ordinaataan, eli .

Tämän ilmeisyyden vuoksi identiteetit ja usein tangentin ja kotangentin määritelmät eivät anneta abskissan ja ordinaatan suhteen, vaan sinin ja kosinin suhteen. Joten kulman tangentti on tämän kulman sinin ja kosinin suhde, ja kotangentti on kosinin suhde siniin.

Tämän jakson päätteeksi on huomattava, että identiteetit ja pidä kiinni kaikista sellaisista kulmista, joille niissä olevilla trigonometrisilla funktioilla on järkeä. Joten kaava pätee mille tahansa muulle kuin (muuten nimittäjä on nolla, emmekä määrittäneet jakoa nollalla) ja kaava - kaikille erilainen kuin , jossa z on mikä tahansa.

Tangentin ja kotangentin välinen suhde

Vielä ilmeisempi trigonometrinen identiteetti kuin kaksi edellistä on identiteetti, joka yhdistää muodon yhden kulman tangentin ja kotangentin . On selvää, että se tapahtuu kaikille muille kulmille kuin , muuten tangenttia tai kotangenttia ei ole määritelty.

Todiste kaavasta erittäin yksinkertainen. Määritelmän mukaan ja mistä . Todistus olisi voitu tehdä hieman eri tavalla. Siitä lähtien ja , Tuo .

Joten yhden kulman tangentti ja kotangentti, jossa niillä on järkeä, on.

Videokurssi "Get an A" sisältää kaikki menestymiseen tarvittavat aiheet kokeen läpäiseminen matematiikassa 60-65 pistettä. Täysin kaikki tehtävät 1-13 profiilikoe matematiikka. Soveltuu myös matematiikan peruskäytön suorittamiseen. Jos haluat läpäistä kokeen 90-100 pisteellä, sinun tulee ratkaista osa 1 30 minuutissa ja ilman virheitä!

Valmennuskurssi tenttiin luokille 10-11 sekä opettajille. Kaikki mitä tarvitset matematiikan tentin osan 1 (ensimmäiset 12 tehtävää) ja tehtävän 13 (trigonometria) ratkaisemiseen. Ja tämä on yli 70 pistettä yhtenäisestä valtionkokeesta, eikä sadan pisteen opiskelija eikä humanisti tule toimeen ilman niitä.

Kaikki tarvittava teoria. Nopeita tapoja tentin ratkaisuja, ansoja ja salaisuuksia. Kaikki osan 1 asiaankuuluvat tehtävät FIPI-pankin tehtävistä on analysoitu. Kurssi täyttää täysin USE-2018:n vaatimukset.

Kurssi sisältää 5 isoa aihetta, kukin 2,5 tuntia. Jokainen aihe on annettu tyhjästä, yksinkertaisesti ja selkeästi.

Satoja koetehtäviä. Tekstiongelmat ja todennäköisyysteoria. Yksinkertaiset ja helposti muistettavat ongelmanratkaisualgoritmit. Geometria. Teoria, viitemateriaali, analyysi kaikentyyppisistä USE-tehtävistä. Stereometria. Ovelia temppuja ratkaisemiseen, hyödyllisiä huijauslehtiä, tilamielikuvituksen kehittäminen. Trigonometria tyhjästä - tehtävään 13. Ymmärtäminen tukkeutumisen sijaan. Monimutkaisten käsitteiden visuaalinen selitys. Algebra. Juuret, potenssit ja logaritmit, funktio ja derivaatta. Pohja kokeen 2. osan monimutkaisten tehtävien ratkaisemiseen.

Tämä on viimeinen ja eniten pääoppitunti tarvitaan ongelmien ratkaisemiseen B11. Tiedämme jo, kuinka kulmat muunnetaan radiaanimittasta astemittaksi (katso oppitunti " Kulman radiaani ja astemitta"), ja tiedämme myös kuinka määrittää trigonometrisen funktion etumerkki keskittymällä koordinaattien neljänneksiin (katso oppitunti "Trigonometristen funktioiden merkit").

Asia on edelleen pieni: laskea itse funktion arvo - juuri se luku, joka on kirjoitettu vastauksessa. Tässä trigonometrinen perusidentiteetti tulee apuun.

Trigonometrinen perusidentiteetti. Kaikille kulmille α väite on tosi:

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Tämä kaava suhteuttaa yhden kulman sinin ja kosinin. Nyt kun tunnemme sinin, voimme helposti löytää kosinin - ja päinvastoin. Riittää ottaa neliöjuuri:

Huomaa "±"-merkki juurien edessä. Tosiasia on, että trigonometrisen perusidentiteetin perusteella ei ole selvää, mikä alkuperäinen sini ja kosini olivat: positiivinen vai negatiivinen. Loppujen lopuksi neliöinti on tasainen funktio, joka "polttaa" kaikki miinukset (jos niitä on).

Siksi kaikissa B11-tehtävissä, jotka löytyvät matematiikan KÄYTTÖÖN, on välttämättä lisäehtoja, jotka auttavat pääsemään eroon merkkien epävarmuudesta. Yleensä tämä on osoitus koordinaattineljänneksestä, jolla etumerkki voidaan määrittää.

Huomaavainen lukija kysyy varmasti: "Entä tangentti ja kotangentti?" Näitä funktioita on mahdotonta laskea suoraan yllä olevista kaavoista. Trigonometrisesta perusidentiteetistä on kuitenkin tärkeitä seurauksia, jotka sisältävät jo tangentteja ja kotangentteja. Nimittäin:

Tärkeä seuraus: minkä tahansa kulman α trigonometrinen perusidentiteetti voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

Nämä yhtälöt ovat helposti pääteltävissä perusidentiteetistä - riittää jakaa molemmat puolet cos 2 α:lla (saadaan tangentti) tai sin 2 α:lla (kotangentti).

Katsotaanpa tätä kaikkea konkreettisia esimerkkejä. Alla on todellisia B11-tehtäviä, jotka on otettu kokeiluvaihtoehdot KÄYTTÖ matematiikassa 2012.

Tiedämme kosinin, mutta emme tiedä siniä. Pääasiallinen trigonometrinen identiteetti ("puhtaassa" muodossaan) yhdistää juuri nämä toiminnot, joten työskentelemme sen kanssa. Meillä on:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ± 1/10 = ± 0,1.

Ongelman ratkaisemiseksi on vielä löydettävä sinin merkki. Koska kulma α ∈ (π /2; π ), niin sisään asteen mitta se kirjoitetaan näin: α ∈ (90°; 180°).

Siksi kulma α on II koordinaattineljänneksessä - kaikki siellä olevat sinit ovat positiivisia. Siksi sin α = 0,1.

Tiedämme siis sinin, mutta meidän on löydettävä kosini. Molemmat funktiot ovat perustrigonometrisessa identiteetissä. Korvaamme:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ± 1/2 = ± 0,5.

Jäljelle jää murto-osan edessä olevan merkin käsittely. Mitä valita: plus vai miinus? Ehdolla kulma α kuuluu väliin (π 3π /2). Muunnetaan kulmat radiaanimittasta astemittaksi - saadaan: α ∈ (180°; 270°).

Ilmeisesti tämä on III koordinaattineljännes, jossa kaikki kosinit ovat negatiivisia. Siksi cosα = −0,5.

Tehtävä. Etsi tg α, jos tiedät seuraavat asiat:

Tangentti ja kosini yhdistetään yhtälöllä, joka seuraa trigonometrisesta perusidentiteetistä:

Saamme: tg α = ±3. Tangentin etumerkki määräytyy kulman α avulla. Tiedetään, että α ∈ (3π /2; 2π ). Muunnetaan kulmat radiaanimittasta astemittaksi - saadaan α ∈ (270°; 360°).

Ilmeisesti tämä on IV koordinaattineljännes, jossa kaikki tangentit ovat negatiivisia. Siksi tgα = −3.

Tehtävä. Etsi cos α, jos tiedät seuraavat asiat:

Jälleen sini tunnetaan ja kosini on tuntematon. Kirjoitamme ylös tärkeimmän trigonometrisen identiteetin:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ± 0,6.

Merkki määräytyy kulman mukaan. Meillä on: α ∈ (3π /2; 2π ). Muunnetaan kulmat asteista radiaaneiksi: α ∈ (270°; 360°) on IV-koordinaattineljännes, jossa kosinit ovat positiivisia. Siksi cos α = 0,6.

Tehtävä. Etsi sin α, jos tiedät seuraavan:

Kirjoitetaan kaava, joka seuraa trigonometrisen perusidentiteetistä ja yhdistää suoraan sinin ja kotangentin:

Tästä saadaan, että sin 2 α = 1/25, ts. sin α = ±1/5 = ±0,2. Tiedetään, että kulma α ∈ (0; π /2). Asteina tämä kirjoitetaan seuraavasti: α ∈ (0°; 90°) - I-koordinaattineljännes.

Joten kulma on I-koordinaatin neljänneksessä - kaikki trigonometriset funktiot ovat siellä positiivisia, joten sin α \u003d 0,2.