Eksponentiaalisen funktion viitetiedot on annettu - perusominaisuudet, kuvaajat ja kaavat. Tarkastellaan seuraavia asioita: määritelmäalue, arvojoukko, monotonisuus, käänteisfunktio, derivaatta, integraali, potenssisarjan laajennus ja esitys kompleksilukujen avulla.

Määritelmä

Eksponentti funktio on yleistys n luvun tulosta, joka on yhtä suuri kuin a:
y (n) = a n = a a a a,
reaalilukujen joukkoon x:
y (x) = x.
Tässä a on kiinteä reaaliluku, jota kutsutaan eksponentiaalisen funktion kanta.
Kutsutaan myös eksponentiaalista funktiota, jonka kanta on a eksponentiaalinen kantaan a.

Yleistys suoritetaan seuraavasti.
Luonnolliselle x = 1, 2, 3,... , eksponentiaalinen funktio on x tekijän tulo:
.
Lisäksi sillä on ominaisuudet (1.5-8) (), jotka johtuvat lukujen kertolaskusäännöistä. Nollalla ja negatiivisilla kokonaislukujen arvoilla eksponentiaalinen funktio määritetään kaavoilla (1.9-10). Rationaalisten lukujen murto-arvoille x = m/n, , se määritetään kaavalla (1.11). Realille eksponentiaalinen funktio määritellään seuraavasti järjestysrajoitus:
,
jossa on mielivaltainen sarja rationaalilukuja, jotka konvergoivat x:ään.
Tällä määritelmällä eksponentiaalinen funktio määritellään kaikille , ja se täyttää ominaisuudet (1,5-8) sekä luonnolliselle x:lle.

Tiukka matemaattinen muotoilu eksponentiaalisen funktion määritelmästä ja todistus sen ominaisuuksista on annettu sivulla "Eksponentiaalisen funktion ominaisuuksien määritelmä ja todiste".

Eksponentiaalifunktion ominaisuudet

Eksponentiaalisella funktiolla y = a x on seuraavat ominaisuudet reaalilukujoukossa () :
(1.1) on määritelty ja jatkuva , kaikille ;
(1.2) kun a ≠ 1 sillä on monia merkityksiä;
(1.3) tiukasti kasvaa , tiukasti laskee ,
on vakio arvossa ;
(1.4) osoitteessa ;
osoitteessa ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Muita hyödyllisiä kaavoja
.
Kaava muuntamiseen eksponentiaaliseksi funktioksi, jolla on eri tehokanta:

Kun b = e , saamme eksponenttifunktion lausekkeen eksponentin suhteen:

Yksityiset arvot

, , , , .

Kuvassa on kaavioita eksponentiaalisesta funktiosta
y (x) = x
neljälle arvolle tutkinnon perusteet:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 ja a = 1/8 . Voidaan nähdä, että > 1 eksponentiaalinen funktio kasvaa monotonisesti. Mitä suurempi on tutkinnon a kanta, sitä voimakkaampi kasvu on. klo 0 < a < 1 eksponentiaalinen funktio pienenee monotonisesti. Mitä pienempi eksponentti a, sitä voimakkaampi lasku on.

Nouseva laskeva

Eksponentiaalinen funktio at on tiukasti monotoninen, joten sillä ei ole ääriarvoja. Sen tärkeimmät ominaisuudet on esitetty taulukossa.

	y = a x , a > 1	y = x, 0 < a < 1
Verkkotunnus	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Arvoalue	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Yksitoikkoinen	kasvaa monotonisesti	vähenee monotonisesti
Nollat, y= 0	Ei	Ei
Leikkauspisteet y-akselin kanssa, x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Käänteinen funktio

Eksponentiaalisen funktion käänteisluku, jonka kanta on a, on logaritmi kantaan a.

Jos sitten
.
Jos sitten
.

Eksponentiaalifunktion differentiaatio

Eksponentiaalisen funktion erottamiseksi sen kanta on vähennettävä numeroon e, sovelletaan derivaattataulukkoa ja kompleksisen funktion differentiointisääntöä.

Tätä varten sinun on käytettävä logaritmien ominaisuutta
ja johdannaistaulukon kaava:
.

Olkoon eksponentiaalinen funktio:
.
Tuomme sen tukikohtaan e:

Sovellamme monimutkaisen funktion differentiaatiosääntöä. Tätä varten otamme käyttöön muuttujan

Sitten

Johdannaisten taulukosta saamme (korvaa muuttuja x z:llä):
.
Koska on vakio, z:n derivaatta x:n suhteen on
.
Monimutkaisen funktion eriyttämissäännön mukaan:
.

Eksponentiaalifunktion johdannainen

.
N:nnen kertaluvun johdannainen:
.
Kaavojen johtaminen >>>

Esimerkki eksponentiaalisen funktion erottamisesta

Etsi funktion derivaatta
y= 35 x

Ratkaisu

Esitämme eksponentiaalisen funktion kantaluvun e:llä.
3 = e log 3
Sitten
.
Esittelemme muuttujan
.
Sitten

Johdannaisten taulukosta löydämme:
.
Koska 5ln 3 on vakio, niin z:n derivaatta x:n suhteen on:
.
Monimutkaisen funktion eriyttämissäännön mukaan meillä on:
.

Vastaus

Integraali

Lausekkeet kompleksilukuina

Harkitse kompleksilukufunktiota z:
f (z) = az
missä z = x + iy; i 2 = - 1 .
Ilmaisemme kompleksivakion a moduulin r ja argumentin φ avulla:
a = r e i φ
Sitten


.
Argumenttia φ ei ​​ole yksiselitteisesti määritelty. Yleisesti
φ = φ 0 + 2 pn,
missä n on kokonaisluku. Siksi funktio f (z) on myös epäselvä. Usein pidettiin sen tärkeintä merkitystä
.

Laajennus sarjassa

.

Viitteet:
SISÄÄN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematiikan käsikirja insinööreille ja korkeakouluopiskelijoille, Lan, 2009.

Toiminnot ja niiden ominaisuudet

Funktio on yksi tärkeimmistä matemaattisista käsitteistä.Toiminto on sellainen muuttujan y riippuvuus muuttujasta x, jossa jokainen muuttujan x arvo vastaa yhtä muuttujan y arvoa.

muuttuja X nimeltään itsenäinen muuttuja tai Perustelu. muuttuja klo nimeltään riippuva muuttuja. He myös sanovat senmuuttuja y on muuttujan x funktio. Riippuvaisen muuttujan arvot kutsutaanfunktion arvot.

Jos muuttuva riippuvuusklo muuttujastaX on funktio, se voidaan kirjoittaa seuraavasti:y= f( x ). (Lukea:klo on yhtä suurif alkaenX .) Symbolif( x) tarkoittaa funktion arvoa, joka vastaa argumentin arvoa, joka on yhtä suuriX .

Kaikki riippumattoman muuttujan muodon arvottoiminnon laajuus . Kaikki arvot, jotka riippuva muuttuja muodostaatoimintoalue .

Jos funktio annetaan kaavalla ja sen määritelmäaluetta ei ole määritelty, funktion toimialueen katsotaan koostuvan kaikista argumentin arvoista, joille kaava on järkevä.

Tapoja asettaa toiminto:

1. analyyttinen menetelmä (toiminto asetetaan käyttämällä matemaattinen kaava;

2.taulukkomuotoinen tapa (toiminto asetetaan taulukon avulla)

3. kuvaileva tapa (toiminto annetaan sanallisella kuvauksella)

4.graafinen menetelmä (funktio asetetaan kaaviolla).

Funktiokaavio kutsua koordinaattitason kaikkien pisteiden joukko, joiden abskissat ovat yhtä suuret kuin argumentin arvot, ja ordinaatit - vastaavat funktioarvot.

TOIMINTOJEN TÄRKEIMMÄT OMINAISUUDET

1. Toimintojen nollia

Funktio nolla on argumentin arvo, jossa funktion arvo on nolla.

2. Toimintovälit

Funktion vakiomerkin aikavälit ovat sellaisia ​​argumenttiarvoja, joissa funktion arvot ovat vain positiivisia tai vain negatiivisia.

3. Kasvava (pienentävä) toiminto.

Kasvava tietyllä aikavälillä funktio on funktio, jossa tämän välin argumentin suurempi arvo vastaa funktion suurempaa arvoa.

Toiminto y= f ( x ) nimeltään lisääntyy välissä (A; b ), jos jollekin x 1 Ja x 2 tästä intervallista sellaiseksix 1 < x 2 , epätasa-arvoaf ( x 1 )< f ( x 2 ).

hiipumassa tietyllä aikavälillä funktio on funktio, jonka argumentin suurempi arvo tästä välistä vastaa funktion pienempää arvoa.

Toiminto klo = f ( x ) nimeltään hiipumassa välissä (A; b ) , jos jollekin x 1 Ja x 2 tästä intervallista sellaiseksi x 1 < x 2 , epätasa-arvoaf ( x 1 )> f ( x 2 ).

4. Parilliset (parittomat) funktiot

Tasainen toiminta - funktio, jonka määritelmäalue on symmetrinen origon suhteen ja minkä tahansaX määritelmän alueelta tasa-arvof (- x ) = f ( x ) . Parillisen funktion kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen.

Esimerkiksi y = x 2 on tasainen toiminto.

outo toiminto- funktio, jonka määritelmäalue on symmetrinen origon suhteen ja minkä tahansa X määritelmän alueelta tasa-arvo f (- x ) = - f (x ). Parittoman funktion kuvaaja on symmetrinen origon suhteen.

Esimerkiksi: y = x 3 - pariton toiminto .

Toiminto yleisnäkymä ei ole parillinen tai pariton (y = x 2 +x ).

Joidenkin toimintojen ja niiden grafiikan ominaisuudet

1. Lineaarinen funktio kutsutaan muodon funktioksi , Missä k Ja b - numerot.

Lineaarifunktion määritelmäalue on joukkoR todellisia lukuja.

Lineaarinen funktiokaavioklo = kx + b ( k ≠ 0) on suora, joka kulkee pisteen (0;b ) ja yhdensuuntainen linjan kanssaklo = kx .

Suora, ei yhdensuuntainen akselin kanssaOU, on lineaarisen funktion kuvaaja.

Lineaarifunktion ominaisuudet.

1. Milloin k > 0 toiminto klo = kx + b

2. Milloin k < 0 toiminto y= kx + b vähenee määritelmän alueella.

y = kx + b ( k ≠ 0 ) on koko lukurivi, ts. joukkoR todellisia lukuja.

klo k = 0 joukko funktioarvojay= kx + b koostuu yhdestä numerostab .

3. Milloin b = 0 ja k = 0 funktio ei ole parillinen eikä pariton.

klo k = 0 lineaarifunktiolla on muotoy= b ja klo b ≠ 0 se on tasainen.

klo k = 0 ja b = 0 lineaarifunktiolla on muotoy= 0 ja ovat sekä parillisia että parittomia samanaikaisesti.

Lineaarinen funktiokaavioy= b on suora, joka kulkee pisteen (0; b ) ja yhdensuuntainen akselin kanssaVai niin. Huomaa, että milloin b = 0 funktiokaavioy= b osuvat yhteen akselin kanssa vai niin .

5. Milloin k > 0 meillä on se klo> 0 jos ja klo< 0 jos. klo k < 0 meillä on, että y > 0 jos ja klo< 0, если .

2. Toiminto y = x 2

Rtodellisia lukuja.

Antamalla muuttujanX useita arvoja funktion laajuudesta ja laskemalla vastaavat arvotklo kaavan mukaan y = x 2 , piirrä funktio kaaviosta.

Funktiokaavio y = x 2 nimeltään paraabeli.

Funktion ominaisuudet y = x 2 .

1. Jos X= 0 siis y= 0 eli paraabelilla on yhteinen piste (0; 0) koordinaattiakseleiden kanssa - origo.

2. Jos x ≠ 0 , Että klo > 0, ts. kaikki paraabelin pisteet, paitsi origo, sijaitsevat x-akselin yläpuolella.

3. Joukko funktioarvojaklo = X 2 on jännefunktioklo = X 2 vähenee.

X

3. Toiminto

Tämän toiminnon laajuus on span-funktioy = | x | vähenee.

7. Funktio ottaa pisteen pienimmän arvonX, se on yhtä kuin 0. Suurin arvo ei ole olemassa.

6. Toiminto

Toiminnan laajuus: .

Toimintoalue: .

Kaavio on hyperboli.

1. Funktion nollat.

y ≠ 0, ei nollia.

2. Merkin pysyvyyden intervallit,

Jos k > 0 siis klo> 0 klo X > 0; klo < 0 при X < О.

Jos k < 0, то klo < 0 при X > 0; klo> 0 klo X < 0.

3. Kasvu- ja laskuvälit.

Jos k > 0, niin funktio pienenee, kun .

Jos k < 0, то функция возрастает при .

4. Parilliset (parittomat) funktiot.

Funktio on outo.

Neliön trinomi

Tyyppiyhtälö kirves 2 + bx + c = 0, missä a , b Ja Kanssa - joitakin numeroita jaa≠ 0, soitettu neliö.

Neliöyhtälössäkirves 2 + bx + c = 0 kerroin A nimeltään ensimmäinen kerroin b - toinen kerroin, kanssa - vapaa jäsen.

Juurikaava toisen asteen yhtälö näyttää:

.

Ilmaisua kutsutaan syrjivä toisen asteen yhtälö ja sitä merkitäänD .

Jos D = 0, silloin on vain yksi luku, joka täyttää yhtälön kirves 2 + bx + c = 0. Sovimme kuitenkin, että tässä tapauksessa toisen asteen yhtälöllä on kaksi yhtä suurta reaalijuurta ja itse luvulla nimeltään kaksoisjuuri.

Jos D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Jos D > 0, niin toisen asteen yhtälöllä on kaksi erilaista reaalijuurta.

Olkoon toisen asteen yhtälökirves 2 + bx + c = 0. Alkaen a≠ 0, jakamalla tämän yhtälön molemmat puolet arvollaA, saamme yhtälön . Olettaen Ja , tulemme yhtälöön , jossa ensimmäinen kerroin on yhtä suuri kuin 1. Tällaista yhtälöä kutsutaanannettu.

Yllä olevan toisen asteen yhtälön juurien kaava on:

.

Muodon yhtälöt

A x 2 + bx = 0, kirves 2 + kanssa = 0, A x 2 = 0

nimeltään epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä. Epätäydelliset toisen asteen yhtälöt ratkaistaan ​​laskemalla yhtälön vasen puoli.

Vietan lause .

Neliöyhtälön juurien summa on yhtä suuri kuin toisen kertoimen suhde ensimmäiseen, otettuna vastakkaisella etumerkillä, ja juurien tulo on vapaan termin suhde ensimmäiseen kertoimeen, ts.

Käänteinen lause.

Jos minkä tahansa kahden luvun summaX 1 Ja X 2 on yhtä suuri kuin , ja heidän tuotteensa on, niin nämä luvut ovat toisen asteen yhtälön juuretvai niin 2 + b x + c = 0.

katselutoiminto vai niin 2 + b x + c nimeltään neliön trinomi. Tämän funktion juuret ovat vastaavan toisen asteen yhtälön juuretvai niin 2 + b x + c = 0.

Jos neliötrinomin diskriminantti on suurempi kuin nolla, tämä trinomi voidaan esittää seuraavasti:

vai niin 2 + b x + c \u003d a (x-x 1 )(x-x 2 )

Missä X 1 Ja X 2 - trinomiaaliset juuret

Jos neliötrinomin diskriminantti on nolla, tämä trinomi voidaan esittää seuraavasti:

vai niin 2 + b x + c \u003d a (x-x 1 ) 2

Missä X 1 on trinomin juuri.

Esimerkiksi, 3x 2 - 12x + 12 = 3 (x - 2) 2 .

Tyyppiyhtälö vai niin 4 + b X 2 + kanssa= 0 kutsutaan bi-neliö. Muuttamalla muuttujaa kaavan mukaanX 2 = y se pelkistetään toisen asteen yhtälöksiA y 2 + kirjoittaja + = kanssa 0.

neliöfunktio

neliöfunktio on funktio, joka voidaan kirjoittaa kaavanay = kirves 2 + bx + c , Missä x on riippumaton muuttuja,a , b Ja c ovat joitakin numeroita jaa ≠ 0.

Funktion ominaisuudet ja sen graafin tyyppi määräytyvät pääasiassa kertoimen arvojen perusteellaa ja syrjivä.

Neliöfunktion ominaisuudet

Verkkotunnus:R;

Arvoalue:

klo A > 0 [- D/(4 a); ∞)

klo A < 0 (-∞; - D/(4 a)];

Parillinen, pariton:

klo b = 0 funktio on parillinen

klo b ≠ 0 funktio ei ole parillinen eikä pariton

klo D> 0 kaksi nollaa: ,

klo D= 0 yksi nolla:

klo D < 0 нулей нет

Vakiovälit:

jos a > 0, D> 0 siis

jos a > 0, D= 0 siis

e jos a > 0, D < 0, то

jos< 0, D> 0 siis

jos< 0, D= 0 siis

jos< 0, D < 0, то

- Monotonisuuden intervallit

> 0

osoitteessa a< 0

Toisen funktion kuvaaja onparaabeli - käyrä, joka on symmetrinen suoran suhteen joka kulkee paraabelin kärjen kautta (paraabelin kärki on paraabelin ja symmetria-akselin leikkauspiste).

Kun haluat piirtää neliöllisen funktion, tarvitset:

1) etsi paraabelin kärjen koordinaatit ja merkitse se koordinaattitasoon;

2) rakentaa vielä muutama paraabeliin kuuluva piste;

3) yhdistä merkityt kohdat tasaisella viivalla.

Paraabelin kärjen koordinaatit määritetään kaavoilla:

; .

Funktiokaavioiden muuntaminen

1. venyttely graafiset taiteety = x 2 akselia pitkinklo V|a| kertaa (milloin|a| < 1 on pakkaus 1/|a| kerran).

Jos< 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика отно­сительно оси X (paraabelin oksat suunnataan alaspäin).

Tulos: funktiokaavioy=ah 2 .

2. Rinnakkaissiirto funktiokaavioy=ah 2 akselia pitkinX päällä| m | (oikealla klo

m > 0 ja vasemmalle kloT< 0).

Tulos: funktiokaavioy \u003d a (x - t) 2 .

3. Rinnakkaissiirto funktiokaavio akselia pitkinklo päällä| n | (ylös klon> 0 ja alas kloP< 0).

Tulos: funktiokaavioy \u003d a (x - t) 2 + s.

Neliölliset epätasa-arvot

Muotojen epätasa-arvovai niin 2 + b x + c > 0 javai niin 2 + bx + c< 0, missäX -muuttuva,a , b JaKanssa - joitain numeroita jaa≠ Nollaa kutsutaan toisen asteen epäyhtälöiksi, joissa on yksi muuttuja.

Toisen asteen epäyhtälön ratkaiseminen yhdellä muuttujalla voidaan nähdä välien löytämisenä, joissa vastaava neliöfunktio saa positiivisia tai negatiivisia arvoja.

Ratkaise muodon epäyhtälötvai niin 2 + bx + c > 0 javai niin 2 + bx + c< 0 toimi seuraavasti:

1) etsi neliötrinomin diskriminantti ja selvittää onko trinomilla juuria;

2) jos trinomilla on juuret, merkitse ne akselilleX ja merkittyjen pisteiden kautta piirretään kaavamaisesti paraabeli, jonka haarat on suunnattu ylöspäinA > 0 tai alas kloA< 0; jos trinomilla ei ole juuria, niin kuvaa kaavamaisesti paraabelia, joka sijaitsee ylemmässä puolitasossaA > 0 tai alareunassa milloinA < 0;

3) etsi akseliltaX aikavälit, joilla paraabelin pisteet sijaitsevat akselin yläpuolellaX (jos ne ratkaisevat epätasa-arvonvai niin 2 + bx + c > 0) tai akselin alapuolellaX (jos ne ratkaisevat epätasa-arvonvai niin 2 + bx + c < 0).

Esimerkki:

Ratkaistaan ​​eriarvoisuus .

Harkitse toimintoa

Sen kuvaaja on paraabeli, jonka haarat ovat alaspäin (koska ).

Selvitä, kuinka kuvaaja sijaitsee suhteessa akseliinX. Ratkaistaan ​​yhtälö tälle . Me ymmärrämme senx = 4. Yhtälöllä on yksi juuri. Paraabeli siis koskettaa akseliaX.

Kuvattuamme kaavamaisesti paraabelin huomaamme, että funktio ottaa negatiiviset arvot mille tahansaX, paitsi 4.

Vastaus voidaan kirjoittaa näin:X - mikä tahansa luku, joka ei ole yhtä suuri kuin 4.

Epäyhtälöiden ratkaiseminen intervallimenetelmällä

ratkaisukaavio

1. Etsi nollia funktio epäyhtälön vasemmalla puolella.

2. Merkitse nollien sijainti lukuakselille ja määritä niiden monikertaisuus (Josk i parillinen, sitten parillisen monikertaisuuden nolla, josk i pariton - sitten pariton).

3. Etsi funktion merkit sen nollien välisissä väleissä, alkaen oikeasta väliltä: tässä välissä epäyhtälön vasemmalla puolella oleva funktio on aina positiivinen eriarvoisuuden vähentyneelle muodolle. Kun siirrytään oikealta vasemmalle funktion nollan kautta yhdestä intervallista viereiseen, tulee ottaa huomioon:

jos nolla on pariton monikertaisuus, funktion etumerkki muuttuu,

jos nolla on parillinen moninkertaisuus, funktion merkki säilyy.

4. Kirjoita vastaus muistiin.

Esimerkki:

(x + 6) (x + 1) (X - 4) < 0.

Toimintojen nollia löytyi. Ne ovat tasa-arvoisia:X 1 = -6; X 2 = -1; X 3 = 4.

Merkitsemme funktion nollat ​​koordinaattiviivallef ( x ) = (x + 6) (x + 1) (X - 4).

Etsi tämän funktion etumerkit jokaiselta väliltä (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) ja

Kuvasta voidaan nähdä, että epäyhtälön ratkaisujoukko on välien (-∞; -6) ja (-1; 4) liitto.

Vastaus: (-∞ ; -6) ja (-1; 4).

Tarkasteltavaa epäyhtälöiden ratkaisumenetelmää kutsutaanintervallimenetelmä.

venäläinen lukio

ABSTRAKTI

Täytetty

opiskelija 10"F" luokka Burmistrov Sergey

Valvoja

matematiikan opettaja

Yulina O.A.

Nižni Novgorod

Toiminto ja sen ominaisuudet

Toiminto- muuttuva riippuvuus klo muuttujasta x , jos jokainen arvo X vastaa yhtä arvoa klo .

Muuttuja x- riippumaton muuttuja tai argumentti.

Muuttuja y- riippuva muuttuja

Toiminnan arvo- merkitys klo joka vastaa annettua arvoa X .

Toiminnan laajuus- kaikki riippumattoman muuttujan saamat arvot.

Toimintoalue (arvojoukko) - kaikki funktion arvot.

Toiminto on tasainen- jos jollekin X f(x)=f(-x)

Toiminto on outo- jos jollekin X funktion laajuudesta, tasa-arvo f(-x)=-f(x)

Lisää toimintoja - jos jollekin x 1 Ja x 2, sellasta x 1 < x 2, eriarvoisuutta f( x 1 ) x 2 )

Vähentynyt toiminta- jos jollekin x 1 Ja x 2, sellasta x 1 < x 2, eriarvoisuutta f( x 1 )>f( x 2 )

Tapoja asettaa toiminto

¨ Funktion määrittämiseksi sinun on määritettävä tapa, jolla jokaiselle argumenttiarvolle löytyy vastaava funktion arvo. Yleisin on tapa määrittää funktio kaavan avulla klo =f(x), Missä f(x)- jokin lauseke muuttujan kanssa X. Tässä tapauksessa sanomme, että funktio on annettu kaavalla tai että funktio on annettu kaavalla analyyttisesti.

¨ Käytännössä sitä käytetään usein taulukkomainen tapa, jolla funktio määritellään. Tällä menetelmällä tarjotaan taulukko, joka osoittaa funktion arvot taulukossa olevan argumentin arvoille. Esimerkkejä taulukkofunktion määrittelystä ovat neliötaulukko, kuutiotaulukko.

Toimintojen tyypit ja niiden ominaisuudet

1) Pysyvä toiminta- kaavan antama funktio y= b , Missä b- joku numero. Vakiofunktion y \u003d b kuvaaja on x-akselin suuntainen suora viiva, joka kulkee y-akselin pisteen (0; b) kautta

2) Suora suhteellisuus- kaavan antama funktio y= kx , missä k¹0. Määrä k nimeltään suhteellisuuskerroin .

Toiminnan ominaisuudet y=kx :

1. Toimintoalue on kaikkien reaalilukujen joukko

2. y=kx- pariton toiminto

3. Kun k>0, funktio kasvaa ja k:lla<0 убывает на всей числовой прямой

3)Lineaarinen funktio- kaavan antama funktio y=kx+b, Missä k Ja b - todellisia lukuja. Jos erityisesti k = 0, niin saadaan vakiofunktio y=b; Jos b = 0, niin saamme suoran suhteellisuuden y=kx .

Toiminnon ominaisuudet y=kx+b :

1. Määritelmäalue - kaikkien reaalilukujen joukko

2. Toiminto y=kx+b yleinen näkemys, ts. ei parillinen eikä pariton.

3. Kun k>0, funktio kasvaa ja k:lla<0 убывает на всей числовой прямой

Funktion kaavio on suoraan .

4)Käänteinen suhteellisuus- kaavan antama funktio y=k /X, missä k¹0 Numero k nimeltään käänteinen suhteellisuuskerroin.

Toiminnon ominaisuudet y=k / x:

1. Määritelmäalue - kaikkien reaalilukujen joukko nollaa lukuun ottamatta

2. y=k / x - outo toiminto

3. Jos k>0, niin funktio pienenee välillä (0;+¥) ja välillä (-¥;0). Jos k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).

Funktion kaavio on hyperbeli .

5)Toiminto y=x2

Toiminnon ominaisuudet y=x2:

2. y=x2 - tasainen toiminto

3. Toiminto pienenee intervallin mukaan

Funktion kaavio on paraabeli .

6)Toiminto y = x 3

Toiminnon ominaisuudet y=x3:

1. Määritelmäalue on koko lukurivi

2. y = x 3 - outo toiminto

3. Funktio kasvaa koko lukurivillä

Funktion kaavio on kuutioinen paraabeli

7)Tehofunktio luonnollisella eksponentilla- kaavan antama funktio y=xn, Missä n- luonnollinen luku. Kun n=1 saadaan funktio y=x, sen ominaisuuksia tarkastellaan luvussa 2. Arvolle n=2;3 saadaan funktiot y=x 2 ; y = x 3. Niiden ominaisuuksia käsitellään edellä.

Olkoon n mielivaltainen parillinen luku, joka on suurempi kuin kaksi: 4,6,8... Tässä tapauksessa funktio y=xn sillä on samat ominaisuudet kuin funktiolla y=x 2 . Funktion kuvaaja muistuttaa paraabelia y=x 2 , vain |x|>1:n kaavion haarat nousevat sitä jyrkemmin, mitä suurempi n ja |x|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.

Olkoon n mielivaltainen pariton luku, joka on suurempi kuin kolme: 5,7,9... Tässä tapauksessa funktio y=xn sillä on samat ominaisuudet kuin funktiolla y=x 3 . Funktiograafi muistuttaa kuutioparaabelia.

8)Potenttifunktio negatiivisella kokonaisluvulla - kaavan antama funktio y=x-n , Missä n- luonnollinen luku. Jos n=1 saadaan y=1/x, tämän funktion ominaisuuksia tarkastellaan luvussa 4.

Olkoon n pariton luku, joka on suurempi kuin yksi: 3,5,7... Tässä tapauksessa funktio y=x-n sillä on periaatteessa samat ominaisuudet kuin funktiolla y=1/x.

Olkoon n parillinen luku, esimerkiksi n=2.

Toiminnon ominaisuudet y = x -2 :

1. Funktio on määritelty kaikille x¹0

2. y=x -2 - tasainen toiminto

3. Toiminto pienenee (0;+¥) ja kasvaa (-¥;0).

Jokaisella funktiolla, jonka parillinen n on suurempi kuin kaksi, on samat ominaisuudet.

9)Toiminto y= Ö X

Toiminnon ominaisuudet y= Ö X :

1. Määritelmäalue on säde.

Funktio yavl. intervalli [ 1; 3].

1. Kun x = -3, x = - 1, x = 1,5, x = 4,5, funktion arvo on nolla.

Argumentin arvoa, jossa funktion arvo on nolla, kutsutaan funktion nollaksi.

//nuo. tälle funktiolle numerot -3;-1;1,5; 4,5 ovat nollia.

2. Aikaväleillä [ 4.5; 3) ja (1; 1.5) ja (4.5; 5.5] funktion f kuvaaja sijaitsee abskissa-akselin yläpuolella, ja välein (-3; -1) ja (1.5; 4.5) akselin abskissan alla tämä on selitetään seuraavasti - intervalleilla [ 4.5; 3) ja (1; 1.5) ja (4.5; 5.5] funktio saa positiivisia arvoja, ja intervalleilla (-3; -1) ja ( 1.5; 4.5) ovat negatiivisia.

Jokaista osoitetuista intervalleista (jossa funktio saa saman etumerkin arvot) kutsutaan funktion vakiomerkkiväliksi f.//ts. jos esimerkiksi otamme välin (0; 3), niin se ei ole annetun funktion vakiomerkkiväli.

Matematiikassa haettaessa funktion vakiomerkkisiä intervalleja on tapana ilmoittaa maksimipituisia intervalleja. //Nuo. väli (2; 3) on vakioväli funktio f, mutta vastauksen tulee sisältää väli [ 4,5; 3) joka sisältää välin (2; 3).

3. Jos siirrät x-akselia pitkin 4,5:stä 2:een, huomaat, että funktion kaavio laskee, eli funktion arvot pienenevät. //Matematiikassa on tapana sanoa, että välissä [ 4,5; 2] toiminto pienenee.

Kun x kasvaa 2:sta 0:aan, funktion kuvaaja nousee, ts. funktion arvot kasvavat. //Matematiikassa on tapana sanoa, että välissä [ 2; 0] funktio kasvaa.

Funktiota f kutsutaan, jos millä tahansa kahdella argumentin x1 ja x2 arvolla tästä intervallista siten, että x2 > x1, epäyhtälö f (x2) > f (x1) täyttyy. // tai Funktiota kutsutaan kasvaa tietyllä aikavälillä, jos jollekin argumentin arvolle tästä intervallista, argumentin suurempi arvo vastaa funktion suurempaa arvoa.//ts. mitä enemmän x, sitä enemmän y.

Funktiota f kutsutaan pienenee tietyllä aikavälillä, jos jollekin kahdelle argumentin x1 ja x2 arvolle tästä intervallista siten, että x2 > x1, jollain välillä pienenevä epäyhtälö f(x2) täyttyy, jos jollekin tämän välin argumentin arvolle on suurempi argumentin arvo vastaa funktion pienempää arvoa. //nuo. mitä enemmän x, sitä vähemmän y.

Jos funktio kasvaa koko määritelmäalueen yli, sitä kutsutaan lisääntyy.

Jos funktio pienenee koko määritelmän alueella, sitä kutsutaan hiipumassa.

Esimerkki 1 kaavio kasvavista ja laskevista funktioista, vastaavasti.

Esimerkki 2

Määrittele yavl. onko lineaarinen funktio f(x) = 3x + 5 kasvava vai laskeva?

Todiste. Käytetään määritelmiä. Olkoot x1 ja x2 argumentin mielivaltaisia ​​arvoja ja x1< x2., например х1=1, х2=7

Asiaan liittyvä sisältö:

1. "Menen asumaan Sweateriin" Anna Nikolskaya
2. Dieselgate venäjäksi: miksi venäläiset karttavat dieselautoja
3. Dieselpolttoaineen lämmityskattilat
4. Dieselkattiloiden käyttö lämmitykseen