Matematiikassa on sellainen asia kuin funktion raja. Ymmärtääksesi rajojen löytämisen, sinun on muistettava funktion rajan määritelmä: funktiolla f (x) on raja L pisteessä x = a, jos jokaisessa x:n arvosarjassa konvergoi piste a, y:n arvojen sarja lähestyy:

• L lim f(x) = L

Rajojen käsite ja ominaisuudet

Mikä on raja, voidaan ymmärtää esimerkistä. Oletetaan, että meillä on funktio y=1/x. Jos lisäämme jatkuvasti x:n arvoa ja katsomme mitä y on yhtä suuri, saamme jatkuvasti pieneneviä arvoja: x=10000 y=1/10000; x=1000000 y=1/1000000. Nuo. mitä enemmän x, sitä vähemmän y. Jos x = ∞, y on niin pieni, että sen voidaan katsoa olevan yhtä kuin 0. Siten funktion y \u003d 1 / x raja x pyrkii ∞ on 0. Se kirjoitetaan näin:

• lim1/х=0

Toiminnon rajalla on useita ominaisuuksia, jotka sinun on muistettava: tämä helpottaa suuresti ongelmien ratkaisua rajojen löytämiseksi:

• Summaraja on yhtä suuri kuin rajojen summa: lim(x+y)=lim x+lim y
• Tuloksen raja on yhtä suuri kuin rajojen tulo: lim(xy)=lim x*lim y
• Osamäärän raja on yhtä suuri kuin rajojen osamäärä: lim(x/y)=lim x/lim y
• Vakiokerroin otetaan pois rajamerkistä: lim(Cx)=C lim x

Funktio y=1 /x, jossa x →∞, raja on nolla, kun x→0, raja on ∞.

• lim (sin x)/x=1 x→0

Ensimmäistä merkittävää rajaa kutsutaan seuraavaksi tasa-arvoksi:

\begin(yhtälö)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(yhtälö)

Koska arvolla $\alpha\to(0)$ meillä on $\sin\alpha\to(0)$, sanomme, että ensimmäinen merkittävä raja paljastaa muodon $\frac(0)(0)$ määrittämättömyyden. Yleisesti ottaen kaavassa (1) muuttujan $\alpha$ sijaan, sinimerkin alla ja nimittäjässä, mikä tahansa lauseke voi sijaita, kunhan kaksi ehtoa täyttyy:

1. Sinimerkin alla ja nimittäjässä olevat lausekkeet pyrkivät samanaikaisesti nollaan, ts. on epävarmuus muodossa $\frac(0)(0)$.
2. Lausekkeet sinimerkin alla ja nimittäjässä ovat samat.

Usein käytetään myös seurauksia ensimmäisestä merkittävästä rajasta:

\begin(yhtälö) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(yhtälö) \begin(yhtälö) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(yhtälö) \begin(yhtälö) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(yhtälö)

Tällä sivulla on ratkaistu yksitoista esimerkkiä. Esimerkki nro 1 on omistettu kaavojen (2)-(4) todistukselle. Esimerkit #2, #3, #4 ja #5 sisältävät ratkaisuja yksityiskohtaisine kommentteineen. Esimerkit 6-10 sisältävät ratkaisuja, joissa on vähän tai ei ollenkaan kommentteja, kuten edellisissä esimerkeissä annettiin yksityiskohtaiset selitykset. Ratkaisu käyttää jonkin verran trigonometriset kaavat joka löytyy.

Huomaa, että läsnäolo trigonometriset funktiot yhdistettynä $\frac (0) (0)$ epävarmuuteen ei tarkoita, että ensimmäistä merkittävää rajaa on sovellettava. Joskus yksinkertaiset trigonometriset muunnokset riittävät - katso esimerkiksi.

Esimerkki #1

Todista, että $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Koska $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, niin:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\oikea| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Koska $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ ja $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , Että:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Tehdään korvaus $\alpha=\sin(y)$. Koska $\sin(0)=0$, niin ehdosta $\alpha\to(0)$ meillä on $y\to(0)$. Lisäksi on nollan ympäristö, jossa $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, joten:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\oikea| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Yhtälö $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ on todistettu.

c) Tehdään korvaus $\alpha=\tg(y)$. Koska $\tg(0)=0$, ehdot $\alpha\to(0)$ ja $y\to(0)$ ovat vastaavat. Lisäksi on nollan naapurusto, jossa $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, joten luotaen kohdan a) tuloksiin meillä on:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\oikea| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Yhtälö $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ on todistettu.

Yhtälöitä a), b), c) käytetään usein yhdessä ensimmäisen merkittävän rajan kanssa.

Esimerkki #2

Laske raja $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.

Koska $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ ja $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, ts. ja murtoluvun osoittaja ja nimittäjä pyrkivät samanaikaisesti nollaan, niin tässä on kyse muotoa $\frac(0)(0)$ olevasta epävarmuudesta, ts. tehty. Lisäksi voidaan nähdä, että lausekkeet sinimerkin alla ja nimittäjässä ovat samat (eli ja täyttyvät):

Joten molemmat sivun alussa luetellut ehdot täyttyvät. Tästä seuraa, että kaava on sovellettavissa, ts. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7) ))=1$.

Vastaus: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Esimerkki #3

Etsi $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Koska $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ ja $\lim_(x\to(0))x=0$, kyseessä on muodon $\frac() epävarmuus 0 )(0)$, eli tehty. Sinimerkin alla ja nimittäjässä olevat lausekkeet eivät kuitenkaan täsmää. Tässä on tarpeen säätää nimittäjässä oleva lauseke haluttuun muotoon. Tarvitsemme lausekkeen $9x$ olevan nimittäjässä - silloin siitä tulee totta. Pohjimmiltaan meiltä puuttuu 9$-tekijä nimittäjästä, jonka syöttäminen ei ole niin vaikeaa, kerro vain nimittäjässä oleva lauseke 9$:lla. Tietenkin, jotta voit kompensoida kertolaskua $9$:lla, sinun on jaettava välittömästi 9$:lla ja jaettava:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$

Nyt lausekkeet nimittäjässä ja sinimerkin alla ovat samat. Molemmat rajan $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ ehdot täyttyvät. Tästä syystä $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Ja tämä tarkoittaa, että:

9 $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Vastaus: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Esimerkki #4

Etsi $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Koska $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ ja $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, tässä on kyse muodossa $\frac(0)(0)$. Ensimmäisen merkittävän rajan muoto on kuitenkin rikki. Osoittaja, joka sisältää $\sin(5x)$, vaatii $5x$ nimittäjän. Tässä tilanteessa helpoin tapa on jakaa osoittaja $5x$:lla ja kertoa heti $5x$:lla. Lisäksi suoritamme samanlaisen toimenpiteen nimittäjällä kertomalla ja jakamalla $\tg(8x)$ $8x$:lla:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Pienentämällä $x$ ja ottamalla vakio $\frac(5)(8)$ pois rajamerkistä, saamme:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Huomaa, että $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ täyttää täysin ensimmäisen merkittävän rajan vaatimukset. Löytääksesi $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ käytetään seuraavaa kaavaa:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Vastaus: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Esimerkki #5

Etsi $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Koska $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (muista, että $\cos(0)=1$) ja $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, niin kyseessä on muodon $\frac(0)(0)$ määrittelemättömyys. Ensimmäisen ihanan rajan soveltamiseksi sinun tulee kuitenkin päästä eroon osoittajassa olevasta kosinista siirtymällä sineihin (kaavan soveltamiseksi) tai tangenteihin (kaavan soveltamiseksi). Voit tehdä tämän seuraavalla muunnolla:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\oikea)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\oikea)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Palataan rajaan:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\oikea| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\oikea) $$

Murtoluku $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ on jo lähellä muotoa, joka vaaditaan ensimmäiselle merkittävälle rajalle. Työstetään vähän murto-osan $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ kanssa ja sovitetaan se ensimmäiseen upeaan rajaan (huomaa, että osoittajan ja sinin alla olevien lausekkeiden on vastattava):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Palataan harkittuun rajaan:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\oikea) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Vastaus: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Esimerkki #6

Etsi raja $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Koska $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ ja $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, niin käsittelemme epävarmuutta $\frac(0)(0)$. Avataan se ensimmäisen merkittävän rajan avulla. Tätä varten siirrytään kosinuksista sineihin. Koska $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, niin:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Kun ohitetaan annettu raja sineille, meillä on:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\) frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\oikea)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x) \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Vastaus: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Esimerkki #7

Laske raja $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ annettu $\alpha\neq\ beta $.

Yksityiskohtaiset selitykset annettiin aiemmin, mutta tässä on vain huomautettava, että $\frac(0)(0)$ on jälleen määrittelemätön. Siirrytään kosineista sineihin kaavan avulla

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Yllä olevaa kaavaa käyttämällä saamme:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\oikea| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\oikea)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac) (\alpha-\beta)(2)\oikea))(x)\oikea)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\oikea))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alfa^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Vastaus: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.

Esimerkki #8

Etsi raja $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Koska $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (muista, että $\sin(0)=\tg(0)=0$) ja $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, niin tässä on kyse muodon $\frac(0)(0)$ määrittämättömyydestä. Puretaan se näin:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\oikea| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\oikea))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\oikea))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\oikea)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\oikea) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1) ) =\frac(1)(2). $$

Vastaus: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Esimerkki #9

Etsi raja $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Koska $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ ja $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, silloin on määrittämättömyys muodossa $\frac(0)(0)$. Ennen kuin jatkat sen laajentamista, on kätevää muuttaa muuttuja siten, että uusi muuttuja pyrkii nollaan (huomaa, että muuttuja $\alpha \to 0$ kaavoissa). Helpoin tapa on ottaa käyttöön muuttuja $t=x-3$. Kuitenkin jatkomuunnosten helpottamiseksi (tämä etu näkyy alla olevan ratkaisun aikana) kannattaa tehdä seuraava korvaus: $t=\frac(x-3)(2)$. Huomautan, että molemmat korvaukset ovat sovellettavissa tässä tapauksessa, vain toinen vaihto antaa sinun työskennellä vähemmän murtolukujen kanssa. Alkaen $x\to(3)$, sitten $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\oikea| =\left|\begin(tasattu)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(tasattu)\oikea| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\oikea) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Vastaus: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Esimerkki #10

Etsi raja $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2) $.

Jälleen olemme tekemisissä $\frac(0)(0)$ epävarmuuden kanssa. Ennen kuin jatkat sen laajentamista, on kätevää tehdä muuttujan muutos siten, että uusi muuttuja pyrkii nollaan (huomaa, että kaavoissa muuttuja on $\alpha\to(0)$). Helpoin tapa on ottaa käyttöön muuttuja $t=\frac(\pi)(2)-x$. Alkaen $x\to\frac(\pi)(2)$, sitten $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\oikea| =\left|\begin(tasattu)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(tasattu)\oikea| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\oikea))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Vastaus: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

Esimerkki #11

Etsi rajat $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\) pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

Tässä tapauksessa meidän ei tarvitse käyttää ensimmäistä ihanaa rajaa. Huomaa: sekä ensimmäisessä että toisessa rajassa on vain trigonometrisiä funktioita ja numeroita. Usein tällaisissa esimerkeissä on mahdollista yksinkertaistaa rajamerkin alla olevaa lauseketta. Tässä tapauksessa mainitun yksinkertaistamisen ja joidenkin tekijöiden vähentämisen jälkeen epävarmuus katoaa. Annoin tämän esimerkin vain yhdellä tarkoituksella: osoittaa, että trigonometristen funktioiden läsnäolo rajamerkin alla ei välttämättä tarkoita ensimmäisen merkittävän rajan soveltamista.

Koska $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (muista, että $\sin\frac(\pi)(2)=1$) ja $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (muista, että $\cos\frac(\pi)(2)=0$), silloin on kyse epävarmuudesta muodossa $\frac(0)(0)$. Tämä ei kuitenkaan tarkoita ollenkaan, että meidän pitäisi käyttää ensimmäistä merkittävää rajaa. Epävarmuuden paljastamiseksi riittää, kun huomioidaan, että $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\oikea| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Vastaava ratkaisu on Demidovichin ratkaisukirjassa (nro 475). Toisen rajan osalta, kuten tämän osan edellisissä esimerkeissä, meillä on epävarmuus muodossa $\frac(0)(0)$. Miksi se syntyy? Se syntyy, koska $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ ja $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Käytämme näitä arvoja muuttamaan lausekkeita osoittajassa ja nimittäjässä. Toimintamme tarkoitus: kirjoita summa osoittajaan ja nimittäjään tulona. Muuten, usein on kätevää muuttaa muuttuja samanlaisen muodon sisällä niin, että uusi muuttuja pyrkii nollaan (katso esim. esimerkit nro 9 tai 10 tällä sivulla). Kuitenkin sisään tämä esimerkki muuttujaa ei kannata korvata, vaikka haluttaessa muuttujan $t=x-\frac(2\pi)(3)$ muutos on helppo toteuttaa.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\oikea )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\oikea))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\oikea)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

Kuten näet, meidän ei tarvinnut soveltaa ensimmäistä upeaa rajaa. Tietenkin tämä voidaan tehdä haluttaessa (katso huomautus alla), mutta se ei ole välttämätöntä.

Mikä olisi ratkaisu käyttämällä ensimmäistä merkittävää rajaa? näytä piilota

Käyttämällä ensimmäistä merkittävää rajaa saamme:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi) )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ oikea))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\oikea)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Vastaus: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

Rajojen teoria- yksi matemaattisen analyysin osista, jonka voi hallita, toiset tuskin laskevat rajoja. Kysymys rajojen löytämisestä on melko yleinen, koska temppuja on kymmeniä rajaratkaisuja monenlaisia. Samat rajat löytyvät sekä L'Hopitalin säännöllä että ilman sitä. Sattuu niin, että aikataulu äärettömän pienten toimintojen sarjassa antaa sinun saada nopeasti halutun tuloksen. On olemassa joukko temppuja ja temppuja, joiden avulla voit löytää minkä tahansa monimutkaisuuden funktion rajan. Tässä artikkelissa yritämme ymmärtää tärkeimmät rajoitukset, joita käytännössä kohdataan. Emme anna tässä teoriaa ja rajan määritelmää, Internetissä on monia resursseja, joissa tätä pureskellaan. Tehdään siis käytännön laskelmia, tässä aloitat "En tiedä! En tiedä miten! Meitä ei opetettu!"

Raja-arvojen laskeminen korvausmenetelmällä

Esimerkki 1 Etsi funktion raja
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Ratkaisu: Teoriassa tällaiset esimerkit lasketaan tavallisella substituutiolla

Raja on 18.11.
Tällaisissa rajoissa ei ole mitään monimutkaista ja viisasta - he korvasivat arvon, laskivat, kirjoittivat rajan vastauksena. Tällaisten rajojen perusteella kaikille kuitenkin opetetaan, että funktioon on ensin korvattava arvo. Lisäksi rajat monimutkaistavat, tuovat käsitteen äärettömyydestä, epävarmuudesta ja vastaavista.

Raja epävarmuudella, jonka tyyppi on ääretön jaettuna äärettömyydellä. Epävarmuuden paljastamismenetelmät

Esimerkki 2 Etsi funktion raja
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=ääretön).
Ratkaisu: Muotopolynomin jaettuna polynomilla raja on annettu ja muuttuja pyrkii äärettömään

Yksinkertainen korvaaminen arvolla, jolle muuttujan tulisi löytää rajat, ei auta, saamme epävarmuuden muodossa ääretön jaettuna äärettömyydellä.
Rajan potin teoria Rajan laskenta-algoritmi on löytää "x":n suurin aste osoittajasta tai nimittäjästä. Seuraavaksi osoittaja ja nimittäjä yksinkertaistetaan siihen ja löydetään funktion raja

Koska arvo pyrkii nollaan, kun muuttuja menee äärettömyyteen, ne jätetään huomiotta tai kirjoitetaan lopulliseen lausekkeeseen nollina

Välittömästi käytännössä voit tehdä kaksi johtopäätöstä, jotka ovat vihje laskelmissa. Jos muuttuja pyrkii äärettömään ja osoittajan aste on suurempi kuin nimittäjän aste, niin raja on yhtä suuri kuin ääretön. Muussa tapauksessa, jos nimittäjässä oleva polynomi on suurempaa kuin osoittajassa, raja on nolla.
Rajakaava voidaan kirjoittaa muodossa

Jos meillä on tavallisen tukin muotoinen funktio ilman murtolukuja, niin sen raja on ääretön

Seuraavan tyyppiset rajat koskevat lähellä nollaa olevien funktioiden käyttäytymistä.

Esimerkki 3 Etsi funktion raja
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Ratkaisu: Tässä ei tarvitse ottaa pois polynomin johtavaa kertojaa. Juuri päinvastoin, on tarpeen löytää osoittajan ja nimittäjän pienin potenssi ja laskea raja

x^2 arvo; x yleensä nollaan, kun muuttuja pyrkii nollaan Siksi ne jätetään huomiotta, joten saamme

että raja on 2,5.

Nyt tiedät kuinka löytää funktion raja eräänlainen polynomi jaettuna polynomilla, jos muuttuja pyrkii äärettömyyteen tai 0:aan. Mutta tämä on vain pieni ja helppo osa esimerkeistä. Seuraavasta materiaalista opit kuinka paljastaa funktion rajojen epävarmuustekijät.

Raja epävarmuudella 0/0 ja sen laskentamenetelmät

Heti kaikki muistavat säännön, jonka mukaan nollalla ei saa jakaa. Kuitenkin rajojen teoria tarkoittaa tässä yhteydessä äärettömän pieniä funktioita.
Katsotaanpa muutamia esimerkkejä havainnollistamaan.

Esimerkki 4 Etsi funktion raja
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Ratkaisu: Kun nimittäjään korvataan muuttujan x = -1 arvo, saadaan nolla, osoittajassa sama. Meillä on siis muodon epävarmuus 0/0.
Tällaista epävarmuutta on helppo käsitellä: sinun on kerrottava polynomi tai pikemminkin valittava tekijä, joka muuttaa funktion nollaksi.

Hajottamisen jälkeen funktion raja voidaan kirjoittaa muodossa

Tämä on koko funktion rajan laskemisen tekniikka. Teemme samoin, jos polynomilla jaetun polynomin muodolla on raja.

Esimerkki 5 Etsi funktion raja
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Ratkaisu: Suora korvaus näkyy
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
mitä meillä on tyypin epävarmuus 0/0.
Jaa polynomit kertoimella, joka tuo singulaarisuuden


On opettajia, jotka opettavat, että 2. kertaluvun polynomit, eli "neliöyhtälöiden" tyyppi, tulisi ratkaista diskriminantilla. Mutta todellinen käytäntö osoittaa, että se on pidempi ja monimutkaisempi, joten eroon ominaisuuksista määritetyn algoritmin rajoissa. Näin ollen kirjoitamme funktion yksinkertaisten tekijöiden muodossa ja laskemme rajan

Kuten näette, tällaisten rajojen laskemisessa ei ole mitään monimutkaista. Osaat jakaa polynomit rajojen tutkimisen aikana sen mukaan vähintään ohjelman mukaan on jo läpäistävä.
Tehtävien joukossa tyypin epävarmuus 0/0 on niitä, joissa on tarpeen soveltaa lyhennettyjen kertolaskujen kaavoja. Mutta jos et tiedä niitä, jakamalla polynomin monomilla, saat halutun kaavan.

Esimerkki 6 Etsi funktion raja
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Ratkaisu: Meillä on tyyppiä 0/0 oleva epävarmuus. Osoittimessa käytämme lyhennetyn kertolaskukaavaa

ja laske haluttu raja

Epävarmuuden ilmaisumenetelmä kertomalla konjugaatilla

Menetelmää sovelletaan rajoihin, joissa irrationaaliset funktiot synnyttävät epävarmuutta. Laskentapisteessä osoittaja tai nimittäjä muuttuu nollaan, eikä rajaa tiedetä.

Esimerkki 7 Etsi funktion raja
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Ratkaisu: Esitetään muuttuja rajakaavassa

Korvaamalla saamme tyypin 0/0 epävarmuuden.
Rajateorian mukaan menetelmä tämän singulaarisuuden ohittamiseksi koostuu irrationaalisen lausekkeen kertomisesta sen konjugaatilla. Jotta lauseke pysyy muuttumattomana, nimittäjä on jaettava samalla arvolla

Neliöiden erotussäännöllä yksinkertaistamme osoittajaa ja laskemme funktion rajan

Yksinkertaistamme termejä, jotka luovat rajan singulaarisuuden ja suoritamme korvauksen

Esimerkki 8 Etsi funktion raja
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Ratkaisu: Suora substituutio osoittaa, että rajan singulariteetti on muotoa 0/0.

Laajenna kertomalla ja jakamalla konjugaatilla osoittajaan

Kirjoita neliöiden ero

Yksinkertaistamme termejä, jotka tuovat esiin singulaarisuuden ja löydämme funktion rajan

Esimerkki 9 Etsi funktion raja
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Ratkaisu: Korvaa kakkosluku kaavassa

Saada epävarmuus 0/0.
Nimittäjä on kerrottava konjugaattilausekkeella ja osoittajassa ratkaistava toisen asteen yhtälö tai kerrottava kertoimella singulaarisuus huomioon ottaen. Koska tiedetään, että 2 on juuri, niin toinen juuri löydetään Vieta-lauseen avulla

Näin ollen kirjoitamme osoittajan muotoon

ja laita raja sisään

Kun olet pienentänyt neliöiden eroa, pääsemme eroon osoittajan ja nimittäjän ominaisuuksista

Yllä olevalla tavalla pääset eroon singulaarisuudesta monissa esimerkeissä ja sovellus tulee huomata kaikkialla, missä annettu juurien ero muuttuu nollaksi korvaamisen yhteydessä. Muut rajoitukset koskevat eksponentiaaliset funktiot, äärettömän pienet funktiot, logaritmit, singulaariset rajat ja muut tekniikat. Mutta voit lukea tästä alla olevista rajoituksia koskevista artikkeleista.

Sovellus

Rajoitukset online-sivustolle opiskelijoiden ja koululaisten käsittelemän materiaalin täydelliseen yhdistämiseen. Kuinka löytää raja verkossa resurssimme avulla? Tämä on erittäin helppo tehdä, sinun tarvitsee vain kirjoittaa alkuperäinen funktio muuttujalla x oikein, valita haluttu ääretön valitsimesta ja napsauttaa "Ratkaisu" -painiketta. Siinä tapauksessa, että funktion raja on laskettava jossain kohdassa x, sinun on määritettävä tämän pisteen numeerinen arvo. Saat vastauksen rajapäätökseen muutamassa sekunnissa, toisin sanoen - välittömästi. Jos syötät kuitenkin virheellisiä tietoja, palvelu ilmoittaa sinulle automaattisesti virheestä. Korjaa aiemmin esitelty funktio ja hanki oikea päätös raja. Rajat ratkaisemiseksi, kaikki mahdollisia temppuja, L'Hopital-menetelmää käytetään erityisen usein, koska se on universaali ja johtaa vastaukseen nopeammin kuin muut funktion rajan laskentamenetelmät. On mielenkiintoista pohtia esimerkkejä, joissa moduuli on läsnä. Muuten, resurssiemme sääntöjen mukaan moduulia merkitään klassisella pystypalkilla matematiikan "|" tai Abs(f(x)) latinalaisesta absoluuttisesta. Usein lukujonon summan laskeminen vaatii ratkaisun rajaan. Kuten kaikki tietävät, sinun on vain ilmaistava oikein tutkittavan sekvenssin osasumma, ja sitten kaikki on paljon helpompaa ilmaisen sivustopalvelumme ansiosta, koska rajan laskeminen osasummasta on numeerisen sekvenssin lopullinen summa . Yleisesti ottaen teoria rajan ylittämisestä on kaiken matemaattisen analyysin peruskäsite. Kaikki perustuu juuri rajasiirtymiin, eli rajojen ratkaisu on matemaattisen analyysin tieteen perusta. Integraatiossa käytetään myös rajan kulkua, kun integraali esitetään teoreettisesti rajattoman määrän alueita summana. Siellä missä jotain on rajoittamaton määrä, eli objektien määrän taipumus äärettömyyteen, silloin rajasiirtymien teoria astuu aina voimaan, ja yleisesti hyväksytyssä muodossa tämä on kaikille tuttu ratkaisu rajoista. Rajojen ratkaiseminen verkossa sivustolla on ainutlaatuinen palvelu tarkan ja välittömän vastauksen saamiseksi reaaliajassa. Toiminnan raja (funktion raja-arvo) in annettu piste, joka rajoittaa funktion määrittelyaluetta, on sellainen arvo, johon tarkasteltavan funktion arvo pyrkii, kun sen argumentti pyrkii tiettyyn pisteeseen. Ei harvoin, ja sanoisimme jopa hyvin usein, opiskelijoilla on kysymys rajojen ratkaisemisesta verkossa opiskellessaan laskemista. Kysymys rajan ratkaisemisesta verkossa yksityiskohtainen ratkaisu vain erikoistapauksissa käy selväksi, että monimutkaisen tehtävän suorittaminen on mahdotonta ilman laskennallista rajalaskuria. Palvelumme tarjoama rajojen ratkaisu on tae tarkkuudesta ja yksinkertaisuudesta.Funktion raja on yleistys sekvenssin rajan käsitteestä: alun perin funktion raja pisteessä ymmärrettiin funktion rajaksi. funktion alueen elementtien sarja, joka koostuu kuvista funktion alueen elementtisarjan pisteistä, jotka konvergoivat tiettyyn pisteeseen (raja, jota tarkastellaan); jos tällainen raja on olemassa, funktion sanotaan konvergoivan määritettyyn arvoon; jos tällaista rajaa ei ole olemassa, funktion sanotaan poikkeavan. Rajojen ratkaiseminen verkossa on helppo ratkaisu käyttäjille, jos he osaavat ratkaista rajan verkossa verkkosivuston avulla. Olkaamme keskittyneitä älkääkä antako virheiden aiheuttaa meille ongelmia epätyydyttävien arvosanojen muodossa. Kuten mikä tahansa ratkaisu rajoituksiin verkossa, tehtäväsi esitetään kätevässä ja ymmärrettävässä muodossa, yksityiskohtaisella ratkaisulla, noudattaen kaikkia ratkaisun saamista koskevia sääntöjä ja määräyksiä. Funktion rajan määritelmä on useimmiten muotoiltu naapurustöiden kielellä. Tässä funktion rajoja tarkastellaan vain funktion aluetta rajoittavissa pisteissä, mikä tarkoittaa, että tietyn pisteen jokaisessa ympäristössä on pisteitä juuri tämän funktion määritelmän alueelta. Tämä antaa meille mahdollisuuden puhua funktion argumentin taipumuksesta tiettyyn pisteeseen. Mutta määritelmäalueen rajapisteen ei tarvitse kuulua itse alueeseen, ja tämä todistetaan ratkaisemalla raja: esimerkiksi voidaan tarkastella funktion rajaa avoimen välin päissä, jossa funktio on määritelty. Tässä tapauksessa itse intervallin rajat eivät sisälly määritelmäalueeseen. Tässä mielessä tietyn pisteen lävistettyjen naapureiden järjestelmä on tällaisen joukkokannan erikoistapaus. Rajojen ratkaiseminen verkossa yksityiskohtaisella ratkaisulla tapahtuu reaaliajassa ja kaavojen soveltaminen eksplisiittisessä muodossa Voit säästää aikaa ja ennen kaikkea rahaa, koska emme pyydä tästä palkkiota. Jos funktion toimialueen jossain kohdassa on raja ja tämän rajan ratkaisu on yhtä suuri kuin funktion arvo kyseisessä pisteessä, niin funktio on jatkuva siinä pisteessä. Verkkosivuillamme rajaratkaisu on saatavilla verkossa 24 tuntia vuorokaudessa, joka päivä ja joka minuutti.Rajalaskurin käyttö on erittäin tärkeää ja pääasia on, että sitä käytetään aina, kun tarvitset tietosi tarkistamista. Opiskelijat hyötyvät selvästi kaikista näistä toiminnoista. Rajan laskeminen vain teoriaa käyttäen ja soveltaen ei ole aina niin helppoa kuin maan yliopistojen matematiikan laitosten kokeneet opiskelijat sanovat. Fakta pysyy tosiasiana, kun tavoite on olemassa. Yleensä rajojen löydetty ratkaisu ei sovellu paikallisesti ongelmien asettamiseen. Opiskelija iloitsee heti, kun hän löytää rajalaskimen verkosta Internetissä ja vapaassa käytössä, eikä vain itselleen, vaan kaikille. Nimittämistä tulee pitää matematiikkana, yleensä sen ymmärtämisenä. Jos kysyt Internetissä kuinka löytää raja verkossa yksityiskohtaisesti, pyynnön seurauksena ilmestyvien sivustojen massa ei auta tavalla kuin me. Puolien ero kerrotaan tapahtuman ekvivalenssilla. Funktion ensisijaisesti legitiimi raja on määritettävä sen mukaan, miten he määrittelevät itse matemaattisen ongelman. Hamilton oli oikeassa, mutta kannattaa ottaa huomioon hänen aikalaistensa lausunnot. Ei missään nimessä rajojen laskeminen verkossa ole niin vaikea tehtävä kuin miltä ensi silmäyksellä saattaa tuntua.. Jotta ei riko horjumattomien teorioiden totuutta. Palatakseni alkutilanteeseen, on tarpeen laskea raja nopeasti, tehokkaasti ja siististi muotoillussa muodossa. Olisiko ollut mahdollista tehdä toisin? Tämä lähestymistapa on ilmeinen ja perusteltu. Rajalaskin luotiin lisäämään tietämystä ja parantamaan kirjoittamisen laatua kotitehtävät ja nousta yleinen mieliala opiskelijoiden keskuudessa, se on heille oikein. Sinun tarvitsee vain ajatella mahdollisimman nopeasti ja mieli voittaa. Online-rajojen nimenomainen puhuminen interpoloinnilla on erittäin hienostunut harjoitus ammattinsa ammattilaisille. Ennustamme aikatauluttomien erojen järjestelmän suhteen avaruuden pisteissä. Ja jälleen, ongelma on pelkistetty epävarmuuteen, joka perustuu siihen tosiasiaan, että funktion raja on olemassa äärettömyydessä ja tietyllä paikallisen pisteen alueella tietyllä x-akselilla alkuperäisen lausekkeen affiinin muunnoksen jälkeen. On helpompi analysoida pisteiden nousua tasossa ja avaruuden huipulla. SISÄÄN yleinen kanta Matemaattisen kaavan johtamisesta ei puhuta niin luonnossa kuin teoriassakaan, joten online-rajalaskuria käytetään tässä mielessä aiottuun tarkoitukseen. Ilman rajaa verkossa minun on vaikea jatkaa laskelmia käyräavaruuden tutkimisen alalla. Oikean oikean vastauksen löytäminen ei olisi helpompaa. Eikö rajaa voi laskea, jos jokin piste avaruudessa on ennalta määrittelemätön? Kumotaan vastausten olemassaolo opintoalueen ulkopuolelta. Matemaattisen analyysin näkökulmasta voidaan väittää rajojen ratkaisusta akselin pistejonon tutkimuksen alkuna. Se voi olla sopimatonta itse laskelmien toiminnasta. Numerot esitetään äärettömänä sekvenssinä ja tunnistetaan alkutietueeseen, kun olemme ratkaisseet rajan yksityiskohtaisesti verkossa teorian mukaisesti. Perusteltu vain parhaan hinta-laatusuhteen puolesta. Toimintorajan tulos virheellisesti muotoillun ongelman selvänä virheenä voi vääristää käsitystä epävakaan järjestelmän todellisesta mekaanisesta prosessista. Kyky ilmaista merkitys suoraan katseluporttiin. Kun online-rajaa on verrattu samanlaiseen yksipuolisen raja-arvon tietueeseen, on parempi välttää sen nimenomaista ilmaisemista vähennyskaavojen avulla. Tehtävän suhteellisen suorittamisen aloittamisen lisäksi. Laajennamme polynomia, kun olemme onnistuneet laskemaan yksipuolisen rajan ja kirjoittamaan sen äärettömyyteen. Yksinkertaiset heijastukset johtavat matemaattisessa analyysissä todelliseen tulokseen. Yksinkertainen rajojen ratkaisu johtuu usein suoritettavien vastakkaisten matemaattisten kuvien eri tasa-arvosta. Fibonacci-viivat ja -luvut ovat purkaneet verkkorajalaskimen, tästä riippuen voit tilata rajattoman laskennan ja monimutkaisuus voi jäädä taustalle. On olemassa prosessi, jossa graafi avataan tasossa kolmiulotteisen avaruuden siivussa. Tämä synnytti tarpeen esittää erilaisia ​​näkemyksiä monimutkaisesta matemaattisesta ongelmasta. Tulos ei kuitenkaan jätä sinua odottamaan. Meneillään oleva nousevan tuotteen toteutusprosessi kuitenkin vääristää riviavaruutta ja kirjoittaa muistiin online-rajan päästäkseen tutustumaan ongelman lauseeseen. Ongelmien kertymisprosessin luonnollisuus määrittää tarpeen saada tietoa kaikista matematiikan tieteenaloista. Erinomaisesta rajalaskimesta tulee välttämätön työkalu taitavien opiskelijoiden käsissä, ja he arvostavat sen kaikkia etuja digitaalisen edistyksen analogeihin verrattuna. Kouluissa verkkorajoja kutsutaan jostain syystä eri tavalla kuin oppilaitoksissa. Funktion arvo kasvaa argumentin muuttamisesta. Jopa Lopital sanoi - funktion rajan löytäminen on vain puolet taistelusta, on tarpeen saattaa tehtävä loogiseen päätökseensä ja esittää vastaus laajennetussa muodossa. Todellisuus on riittävä tapauksen tosiasioiden olemassaololle. Historiallisesti liitetty online-rajaan tärkeitä näkökohtia matemaattisia tieteitä ja muodostavat perustan lukuteorian opiskelulle. Sivun koodaus sisään matemaattiset kaavat saatavilla asiakkaan kielellä selaimessa. Kuinka laskeisit rajan hyväksyttävällä lainmukaisella menetelmällä pakottamatta funktiota muuttumaan x-akselin suuntaan. Yleensä avaruuden todellisuus ei riipu vain funktion kuperuudesta tai sen koveruudesta. Poista ongelmasta kaikki tuntemattomat, ja rajojen ratkaisu vähentää käytettävissäsi olevia matemaattisia resursseja pienin kustannuksin. Asetetun tehtävän ratkaisu korjaa toimivuuden sataprosenttisesti. Tapahtuva odotus napauttaa online-rajaa yksityiskohtaisesti suhteessa poikkeamaan vähiten merkitsevästä singulaarisuhteesta. Kolme päivää on kulunut siitä, kun matemaattinen päätös tieteen puolesta tehtiin. Tämä on todella hyödyllistä toimintaa. Ilman syytä olla rajoittamatta online merkitsisi eroa yleisessä lähestymistavassa tilanneongelmien ratkaisemiseen. paras otsikko jatkossa vaaditaan yksipuolinen raja, jonka epävarmuus on 0/0. Resurssi ei voi olla vain kaunis ja hyvä, vaan myös hyödyllinen, kun se voi laskea rajan puolestasi. Suuri tiedemies tutki opiskelijana kirjoittamisen toimintoja tieteellistä työtä. Kymmenen vuotta on kulunut. Ennen erilaisia ​​vivahteita kannattaa yksiselitteisesti kommentoida matemaattista odotusta sen puolesta, että funktion raja lainaa päämiesten eroa. Tilatulla testata vastasi. Matematiikassa poikkeuksellinen asema opetuksessa on omituisen kyllä ​​online-rajan tutkiminen vastavuoroisten kolmansien osapuolten suhteiden kanssa. Kuten yleensä tapahtuu. Et voi pelata mitään. Analysoituamme opiskelijoiden lähestymistapoja matemaattisiin teorioihin, jätämme rajojen päätöksen perusteellisesti viimeiseen vaiheeseen. Tämä on seuraavan merkitys, tutki tekstiä. Taittuminen määrittelee matemaattisen lausekkeen yksiselitteisesti vastaanotetun tiedon olemukseksi. raja online on monisuuntaisten vektoreiden matemaattisen suhteellisuusjärjestelmän todellisen sijainnin määrittämisen ydin. Tässä mielessä tarkoitan ilmaista oma mielipide. Kuten edellisessä tehtävässä. Online erottuva raja laajentaa yksityiskohtaisesti sen vaikutusta matemaattiseen näkemykseen peräkkäisen tutkimuksen ohjelma-analyysin alalla. Teorian kontekstissa matematiikka on jotain korkeampaa kuin pelkkä tiede. Uskollisuus vahvistetaan teoilla. Ei ole mahdollista tahallisesti katkaista peräkkäisten lukujen ketjua, jotka alkavat liikkua ylöspäin, jos raja on laskettu väärin. Kaksipuolinen pinta ilmaistaan ​​luonnollisessa muodossaan täysikokoisena. Mahdollisuudesta tutkia matemaattinen analyysi funktion raja sulkee sisäänsä funktionaalisten sarjojen sekvenssin epsilonialueena tietyssä pisteessä. Toisin kuin funktioteoriassa, laskelmien virheet eivät ole poissuljettuja, mutta tämä on tilanteen mukaan. Jakamalla online-tehtävän rajalla, voit kirjoittaa muuttujan divergenssifunktion nopea tuote kolmiulotteisen avaruuden epälineaarinen järjestelmä. Triviaali tapaus on operaation perusta. Sinun ei tarvitse olla opiskelija analysoidaksesi tätä tapausta. Käynnissä olevan laskennan momenttijoukko, alun perin rajojen ratkaisu, määrittelee koko ordinaatta-akselin etenemisjärjestelmän toiminnan useilla lukuarvoilla. Perusarvoksi otetaan pienin mahdollinen matemaattinen arvo. Päätelmä on ilmeinen. Tasojen välinen etäisyys auttaa teoriassa laajenemaan online-rajoituksia, koska merkityksen sirkumpolaarisen aspektin divergentin laskentamenetelmän soveltamisella ei ole taustalla olevaa merkitystä. Erinomainen valinta, jos rajalaskin sijaitsee palvelimella, se voidaan ottaa sellaisenaan vääristämättä pinta-alan muutoksen merkitystä, muuten lineaarisuusongelma kasvaa. Täydellinen matemaattinen analyysi paljasti järjestelmän epävakauden ja sen kuvauksen pisteen pienimmän ympäristön alueella. Kuten mikä tahansa funktioraja ordinaattien ja abskissojen leikkausakselilla, on mahdollista sulkea kohteiden numeeriset arvot jossain minimiympäristössä tutkimusprosessin toiminnallisuuden jakautumisen mukaan. Kirjoitetaan tehtävä kohta kohdalta. Kirjoittamisessa on jako eri vaiheisiin. Akateemisia väitteitä siitä, että rajan laskeminen on todella vaikeaa tai ei ollenkaan helppoa, tukee analyysi poikkeuksetta kaikkien opiskelijoiden ja jatko-opiskelijoiden matemaattisista näkemyksistä. Mahdolliset välitulokset eivät jätä sinua odottamaan pitkään. Yllä oleva raja verkossa tutkii yksityiskohtaisesti objektien järjestelmäeron absoluuttista minimiä, jonka ylittyessä matematiikan avaruuden lineaarisuus vääristyy. Opiskelijat eivät käytä laajan alueen segmentointia moninkertaisen poikkeaman laskemiseen online-vähennysrajalaskimen kirjoittamisen jälkeen. Alkamisen jälkeen kielletään opiskelijoilta matematiikan tilaympäristön tutkimiseen tarkoitettujen tehtävien tarkistaminen. Koska olemme jo löytäneet funktion rajan, rakennetaan sen tutkimuksesta kuvaaja tasolle. Korostetaan y-akseli erityisellä värillä ja näytetään viivojen suunta. Siellä on vakautta. Epävarmuus on läsnä pitkään vastauksen kirjoittamisen aikana. Laske funktion raja pisteessä yksinkertaisesti analysoimalla rajojen ero äärettömyydessä alkuolosuhteissa. Tämä menetelmä ei ole kaikkien käyttäjien tiedossa. Tarvitsemme matemaattista analyysiä. Rajojen ratkaisu kerää kokemusta sukupolvien mieliin moniksi vuosiksi eteenpäin. On mahdotonta olla mutkistamatta prosessia. Kaikkien sukupolvien opiskelijat ovat vastuussa sen tekemisestä. Kaikki edellä mainitut voivat alkaa muuttua, jos funktioiden sijainnista tiettyä pistettä lähellä ei ole kiinnitysargumenttia, joka on jäljessä rajalaskimista laskentatehoeron suhteen. Tutkitaan funktiota saadaksesi tuloksena oleva vastaus. Päätelmä ei ole ilmeinen. Jos implisiittisesti määriteltyjen funktioiden kokonaismäärästä ei lasketa pois matemaattisten lausekkeiden muuntamisen jälkeen, se jää viimeinen askel löytääksesi rajat oikein ja tarkasti verkosta. On tarpeen tarkistaa annetun päätöksen hyväksyttävyys. Prosessi jatkuu. Paikanna sekvenssi funktioista erillään ja matemaatikot joutuvat laajaa kokemustaan ​​hyödyntäen laskemaan raja tutkimuksen oikean suunnan perustelulle. Tällainen tulos ei vaadi teoreettista nousua. Muuta x-akselin nollasta poikkeavan pisteen jossain ympäristössä olevien lukujen osuutta sivurajalaskuriin online-muuttuva spatiaalinen kaltevuuskulma matematiikan kirjallisen tehtävän alla. Yhdistetään kaksi aluetta avaruudessa. Ratkaisijoiden erimielisyyksiä siitä, miten funktion raja saa avaruudessa yksipuolisten arvojen ominaisuudet, ei voi sivuuttaa opiskelijoiden vahvistuneilla kontrolloiduilla suorituksilla. Matematiikan online-rajan suunta on ottanut yhden pienimmistä kiistellyistä kannanotoista juuri näiden rajojen laskennan epävarmuudesta. Tieteen alkuvaiheessa opiskelija oppii ulkoa online-rajalaskimen tasakylkisten kolmioiden ja kuutioiden korkeudelle, joiden sivu on kolme ympyrän sädettä. Jätetään opiskelijoiden omantunnon ratkaistavaksi rajat toimivan matemaattisen heikentyneen järjestelmän tutkimuksessa tutkimustason puolelta. Opiskelijan näkemys lukuteoriasta on moniselitteinen. Jokaisella on oma mielipiteensä. Oikea suunta matematiikan opiskelussa auttaa laskemaan rajan varsinaisessa merkityksessä, kuten edistyneiden maiden yliopistoissa. Matematiikassa kotangentti lasketaan raja-laskimena ja se on kahden muun perustrigonometrisen funktion, nimittäin argumentin kosinin ja sinin, suhde. Tämä päättää ratkaisun puolisegmentteihin. Toinen lähestymistapa ei todennäköisesti ratkaise tilannetta menneen hetken hyväksi. Voit puhua pitkään siitä, kuinka on erittäin vaikeaa ja hyödytöntä ratkaista raja verkossa yksityiskohtaisesti ymmärtämättä, mutta tämä lähestymistapa on taipuvainen rakentamaan opiskelijoiden sisäistä kurinalaisuutta.

Tyyppi- ja muotoepävarmuus ovat yleisimpiä epävarmuustekijöitä, jotka on otettava huomioon rajoja ratkaistaessa.

Suurin osa opiskelijoille kohdistetuista rajojen tehtävistä sisältää vain sellaisia ​​epävarmuustekijöitä. Niiden paljastamiseksi tai tarkemmin sanoen epäselvyyksien välttämiseksi on olemassa useita keinotekoisia menetelmiä rajamerkin alla olevan lausekkeen muodon muuntamiseksi. Nämä tekniikat ovat seuraavat: osoittajan ja nimittäjän termikohtainen jako muuttujan suurimmalla potenssilla, kertominen konjugaattilausekkeella ja tekijöiden jakaminen myöhempää pelkistystä varten ratkaisuja käyttämällä toisen asteen yhtälöt ja lyhennetyt kertolaskukaavat.

Lajien epämääräisyys

Esimerkki 1

n on yhtä suuri kuin 2. Siksi jaamme osoittajan ja nimittäjän termillä seuraavasti:

.

Kommentoi lausekkeen oikealle puolelle. Nuolet ja numerot osoittavat, mitä murtoluvuilla on taipumus korvata sen sijaan näärettömät arvot. Tässä, kuten esimerkissä 2, tutkinto n nimittäjässä on enemmän kuin osoittajassa, minkä seurauksena koko murto-osa pyrkii äärettömään pieneen arvoon tai "super pieniin lukuihin".

Saamme vastauksen: tämän funktion raja äärettömyyteen pyrkivällä muuttujalla on .

Esimerkki 2 .

Ratkaisu. Tässä muuttujan suurin teho x on yhtä suuri kuin 1. Siksi jaamme osoittajan ja nimittäjän termin termillä x:

Kommentti ratkaisun etenemisestä. Osoittimessa ajetaan "x" kolmannen asteen juuren alle ja jotta sen alkuaste (1) pysyy muuttumattomana, annamme sille saman asteen kuin juurelle, eli 3. Ei ole nuolia ja ylimääräisiä numeroita tässä merkinnässä, joten yritä mielessä, mutta määritä analogisesti edellisen esimerkin kanssa, mitä osoittajassa ja nimittäjässä olevilla lausekkeilla on taipumus korvata "x" äärettömällä.

Saimme vastauksen: tämän funktion raja äärettömyyteen pyrkivällä muuttujalla on yhtä suuri kuin nolla.

Lajien epämääräisyys

Esimerkki 3 Selvitä epävarmuus ja löydä raja.

Ratkaisu. Osoittaja on kuutioiden erotus. Otetaan se kertoimella käyttämällä lyhennettyä kertolaskua koulun matematiikan kurssista:

Nimittäjä on neliötrinomi, jonka kerromme ratkaisemalla toisen asteen yhtälön (jälleen viittaus toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen):

Kirjataan muistiin muunnosten tuloksena saatu lauseke ja selvitetään funktion raja:

Esimerkki 4 Selvitä epävarmuus ja löydä raja

Ratkaisu. Osamäärärajalause ei päde tässä, koska

Siksi muunnamme murto-osan identtisesti: kertomalla osoittaja ja nimittäjä binomikonjugaatilla nimittäjään ja vähentämällä x+1. Lauseen 1 seurauksen mukaan saamme lausekkeen, jonka ratkaisemalla löydämme halutun rajan:

Esimerkki 5 Selvitä epävarmuus ja löydä raja

Ratkaisu. Suora arvonkorvaus x= 0 tiettyyn funktioon johtaa muotoa 0/0 olevaan määrittelemättömyyteen. Sen paljastamiseksi suoritamme identtiset muunnokset ja tuloksena saamme halutun rajan:

Esimerkki 6 Laskea

Ratkaisu: käytä rajalauseita

Vastaus: 11

Esimerkki 7 Laskea

Ratkaisu: tässä esimerkissä osoittajan ja nimittäjän rajat ovat 0:

; . Näin ollen osamäärärajalausetta ei voida soveltaa.

Kerroimme osoittajan ja nimittäjän pienentääksemme murtolukua yhteisellä nollaan pyrkivällä kertoimella ja mahdollistaa siten Lauseen 3 soveltamisen.

Laajennamme osoittajan neliötrinomia kaavalla, jossa x 1 ja x 2 ovat trinomin juuria. Kerroin ja nimittäjä, vähennä murtolukua (x-2) ja käytä sitten Lause 3.

Vastaus:

Esimerkki 8 Laskea

Ratkaisu: Sillä , osoittaja ja nimittäjä pyrkivät äärettömyyteen, joten kun sovelletaan lausetta 3 suoraan, saadaan lauseke , joka edustaa epävarmuutta. Päästäksesi eroon tällaisesta epävarmuudesta, jaa osoittaja ja nimittäjä argumentin suurimmalla potenssilla. Tässä esimerkissä sinun on jaettava X:

Vastaus:

Esimerkki 9 Laskea

Ratkaisu: x 3:

Vastaus: 2

Esimerkki 10 Laskea

Ratkaisu: Osoittaja ja nimittäjä pyrkivät äärettömään. Jaamme osoittajan ja nimittäjän argumentin suurimmalla potenssilla, ts. x 5:

=

Murtoluvun osoittaja pyrkii 1:een, nimittäjä 0:aan, joten murto-osa pyrkii äärettömyyteen.

Vastaus:

Esimerkki 11. Laskea

Ratkaisu: Osoittaja ja nimittäjä pyrkivät äärettömään. Jaamme osoittajan ja nimittäjän argumentin suurimmalla potenssilla, ts. x 7:

Vastaus: 0

Johdannainen.

Funktion y = f(x) derivaatta argumentin x suhteen sen inkrementin y ja argumentin x lisäyksen x suhteen rajaa kutsutaan, kun argumentin inkrementti pyrkii nollaan: . Jos tämä raja on äärellinen, niin funktio y = f(x) kutsutaan differentioituvaksi pisteessä x. Jos tämä raja on olemassa, sanomme, että funktio y = f(x) on ääretön derivaatta kohdassa x.

Pääosan johdannaiset perustoiminnot:

1. (const)=0 9.

3. 11.

4. 12.

Erottamisen säännöt:

a)

Esimerkki 1 Etsi funktion derivaatta

Ratkaisu: Jos löydämme toisen termin derivaatan murtoluvun differentiaatiosäännöllä, niin ensimmäinen termi on monimutkainen funktio, jonka derivaatta löytyy kaavasta:

Missä , Sitten

Ratkaisussa käytettiin seuraavia kaavoja: 1,2,10, a, c, d.

Vastaus:

Esimerkki 21. Etsi funktion derivaatta

Ratkaisu: molemmat termit ovat monimutkaisia ​​funktioita, joissa ensimmäiselle , , ja toiselle , sitten

Vastaus:

Johdannaiset sovellukset.

1. Nopeus ja kiihtyvyys

Olkoon funktio s(t) kuvaava asema objekti jossain koordinaattijärjestelmässä hetkellä t. Tällöin funktion s(t) ensimmäinen derivaatta on hetkellinen nopeus esine:
v=s′=f′(t)
Funktion s(t) toinen derivaatta on hetkellinen kiihtyvyys esine:
w=v′=s′′=f′′(t)

2. Tangenttiyhtälö
y-y0=f'(x0)(x-x0),
missä (x0,y0) ovat kosketuspisteen koordinaatit, f′(x0) on funktion f(x) derivaatan arvo kosketuspisteessä.

3. Normaali yhtälö
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),

missä (x0,y0) ovat sen pisteen koordinaatit, johon normaali piirretään, f′(x0) on funktion f(x) derivaatan arvo annetussa pisteessä.

4. Toiminto nouseva ja laskeva
Jos f′(x0)>0, niin funktio kasvaa pisteessä x0. Alla olevassa kuvassa funktio kasvaa x:llä x2.
Jos f'(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1Jos f′(x0)=0 tai derivaatta ei ole olemassa, niin tämä ominaisuus ei salli funktion monotonisuuden luonnetta pisteessä x0.

5. Toiminnon paikallinen ääripää
Funktiolla f(x) on paikallinen maksimi pisteessä x1, jos pisteen x1 naapurusto on olemassa siten, että kaikille tämän naapuruston x:ille epäyhtälö f(x1)≥f(x) pätee.
Vastaavasti funktiolla f(x) on paikallinen minimi pisteessä x2, jos pisteen x2 naapurusto on olemassa siten, että kaikille tämän naapuruston x:ille epäyhtälö f(x2)≤f(x) pätee.

6. Kriittiset kohdat
Piste x0 on Kriittinen piste funktio f(x), jos derivaatta f′(x0) siinä on nolla tai sitä ei ole olemassa.

7. Ensimmäinen riittävä merkki ääripään olemassaolosta
Jos funktio f(x) kasvaa (f′(x)>0) kaikilla x:illä jollain välillä (a,x1] ja pienenee (f′(x))<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) kaikille x:lle väliltä )