9.3.1. Metoda de introducere a conceptului de „Monomial” și formarea capacității de a-și găsi valoarea numerică.

Cunoștințele de bază includ conceptele unei expresii algebrice, produs al expresiilor algebrice, un multiplicator (numeric și alfabetic); la abilități - scrierea unei expresii algebrice după elementele ei, evidențiind elementele unei expresii algebrice date.

Actualizarea cunoștințelor se realizează prin exerciții.

1. Din această mulțime, selectați astfel de expresii algebrice care sunt produse ale mai multor factori: a) 5 a 2 b; b) (7 ab 2 + din 2):(5m 2 n); la 8; d) 5 a 6 bb 4 a; e) ; f) g)

Condiția specificată este îndeplinită de expresii algebrice: 5 a 2 b; 8; 5a 6 bb 4 a; ; Cel mai probabil, elevii nu vor numi 8 dintre expresiile algebrice necesare; ; deși unii pot ghici ce poate fi reprezentat ca s. După ce au luat mai multe expresii algebrice, ar trebui să exersăm în izolarea factorului lor numeric, factorii literali, în scrierea de noi expresii conform expresiilor algebrice date.

2. Scrieți o nouă expresie algebrică folosind expresiile 3 a 2 bși A. Posibile răspunsuri ale elevilor: 3 a 2 b+ A; 3a 2 b– A; 3a 2 b A; 3a 2 b: A.

3. Care dintre următoarele expresii sunt monomii: a) 5 a 3 bcb 4; b) A; c) d) 3 4 e) 7 ab 2:n; e) - 5 a 6 b c 2; e) - a 3; g) h) - mnx. Numiți multiplicatorii numerici și alfabetici ai monomiilor.

4. Notează mai multe expresii algebrice care sunt monomii.

5. Notează mai multe monomii care diferă doar prin coeficient numeric.

6. Completați golurile: a) 12 a 3 b 4= 2A… b 2; b) - 24 m 2 b 7 p 6= 24bp …

7. În locul unei formulări verbale, scrieți expresii algebrice: a) produs dublu al numerelor Ași b; b) tripla produsul pătratului unui număr A si numere b.

8. Explicați expresiile: a) 2 A b; b) A 5b.

De exemplu, expresia A 5b poate fi explicat ca: 1) produsul numerelor A, 5 și b;2) produsul numerelor Ași 5 b;3) aria unui dreptunghi cu laturi Ași 5 b.

Exercițiile de tipul 7 și 8 contribuie, de asemenea, la însuşirea metodei de rezolvare a problemelor text cu ajutorul ecuaţiilor, întrucât traducerea formulărilor verbale în limbajul numerelor și literelor și interpretarea verbală a expresiilor algebrice sunt componente importante ale metodei de rezolvare a problemelor cu ajutorul ecuațiilor. .

9. Aflați valoarea numerică a monomului: 1) 5 mnx la m= 3, n= ; X=8; 2) (– 0,25)A b la A=12; b=8. Atunci când efectuează astfel de exerciții, studenții speciali trebuie subliniați asupra necesității de a folosi proprietățile și legile operațiilor aritmetice pentru a raționaliza calculele.

Organizarea exercițiilor poate fi diferită: o soluție la tablă, o soluție independentă, o soluție comentată, executarea simultană a exercițiilor la tablă cu implicarea elevilor slabi și munca independentă a elevilor puternici etc.

Pentru teme pentru acasă puteți folosi exercițiile de scriere a numerelor în formă standard, care vor servi drept motiv pentru introducerea conceptului formei standard a unui monom în lecția următoare.

9.3.2. Generalizarea și sistematizarea cunoștințelor pe tema: „Progresii”.

Reproducerea și corectarea cunoștințelor de bază se poate face prin exerciții de completare a tabelului, urmate de o discuție a rezultatelor.

Rețineți că progresiile aritmetice și geometrice oferă un exemplu de studiu al materialului în situații similare, așa că metodele de opoziție și comparație ar trebui să ocupe un loc important în sistematizarea cunoștințelor despre progresii. Discuția problemelor cheie se bazează pe clarificarea motivelor diferenței și comune în progresii.

Probleme de discutat.

ȘI). Numiți comun și diferit în structura definiției progresiilor aritmetice și geometrice.

B). Definiți o progresie geometrică infinit descrescătoare.

LA). Care este suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare? Notează-i formula.

G). Cum se demonstrează că o anumită secvență este o progresie aritmetică (geometrică)?

D). Utilizați săgețile pentru a afișa legăturile dintre definițiile, formulele indicate (Fig. 7):

A	a n = a n -1 + d		A 1 , A 2 , … …		a n \u003d a l + d (n-1)
			un n, d
	a n = (a n -1 + a n +1)		Semnul unei progresii aritmetice		S n = (a 1 + a 2) n

3. Notați toate definițiile, formulele pe tema „Progresiune geometrică” și indicați dependențele dintre ele.

Exercițiile 2 și 3 pot fi oferite elevilor să le parcurgă singuri, urmate de o discuție a rezultatelor cu toți elevii din clasă. Exercițiul 2 poate fi făcut colectiv, iar exercițiul 3 poate fi oferit ca muncă independentă.

Următoarele etape ale lecției de generalizare sunt implementate cu ajutorul unor exerciții, a căror implementare necesită analiza și utilizarea faptelor de bază, conducând la noi conexiuni și relații între conceptele și teoremele studiate.

4. Între numerele 4 și 9, introduceți un număr pozitiv astfel încât să obțineți trei membri consecutivi ai unei progresii geometrice. Formulați și rezolvați o problemă similară în raport cu o progresie aritmetică.

5. Determinați numerele a 1, a 2, a 3și a 4, dacă a 1, a 2, a 3 sunt membri succesivi ai unei progresii geometrice și a 1, a 3și a 4– progresie aritmetică și a 1 + a 4= 14, a 2 + a 3 = 12.

7. Pot fi trei numere pozitive simultan trei membri consecutivi ai unei progresii aritmetice și geometrice?

8. Se poate afirma că progresiile aritmetice și geometrice sunt funcții? Dacă da, căror tipuri de funcții aparțin?

9. Se ştie că un n = 2n+1 – progresie aritmetică. Ce este comun și diferit în graficele acestei progresii și o funcție liniară f(X) = 2X+1?

10. Este posibil să specificați secvențe care sunt
progresii aritmetice și geometrice?

Formele de efectuare a exercițiilor pot fi diferite: efectuarea de exerciții la tablă, comentarea deciziei etc. Unele dintre exercițiile de mai sus pot fi efectuate de către elevi pe cont propriu, iar implementarea lor poate fi realizată în funcție de capacitățile elevilor folosind carduri care conțin linii lipsă sau instrucțiuni pentru implementarea lor. Evident, cu cât abilitățile elevului sunt mai mici, cu atât setul de recomandări (instrucțiuni de implementare) ar trebui să fie mai extins pentru el.

9.3.3. Testarea, evaluarea și corectarea cunoștințelor, abilităților și abilităților pe tema: „Înmulțirea și împărțirea numerelor raționale”.

Verificarea cunoștințelor elevilor cu privire la materialul faptic, capacitatea de a explica esența conceptelor de bază se realizează în procesul de conversație, urmat de exerciții.

Întrebări pentru conversație

1. Formulați o regulă pentru înmulțirea a două numere cu aceleași semne. Dă exemple.

2. Formulați o regulă pentru înmulțirea a două numere cu semne diferite. Dă exemple.

3. Care este produsul mai multor numere dacă unul dintre ele este zero? In ce conditii A b= 0?

4. Care este produsul A(-1)? Dă exemple.

5. Cum se va schimba produsul atunci când semnul unuia dintre factori se va schimba?

6. Formulați legea comutativă a înmulțirii.

7. Cum se formulează legea asociativă a înmulțirii?

8. Notează, folosind litere, legile comutative și asociative ale înmulțirii.

9. Cum să găsiți produsul dintre trei, patru numere raționale?

10. Elevul, efectuând exercițiul de găsire a produsului 0,25 15 15 (–4), a folosit următoarea succesiune de acțiuni: (0,25 (–4)) 15 15 = (–1) 15 15 = –15 15. Ce legi foloseste el?

11. Ce factor al unei expresii algebrice se numește coeficient?

12. Cum se află coeficientul unui produs, în care există mai mulți factori alfabetici și numerici?

13. Care este coeficientul expresiei: A; - A; ab; – ab?

14. Formulați legea distributivă a înmulțirii. Scrie-l cu litere.

15. Ce termeni ai unei sume algebrice se numesc similari?

16. Explicați ce înseamnă să aduceți termeni similari.

17. Explicați cu ajutorul ce legi se realizează reducerea termenilor similari din expresia 5.2 y- 8A - 4,8y- 2A.

18. Care este regula de împărțire a numerelor raționale cu aceleași semne?

19. Care este regula de împărțire a numerelor raționale cu semne diferite?

20. Când este câtul a două numere raționale egal cu zero?

21. În ce ordine se realizează acțiunile comune cu numere raționale?

Unele întrebări pot face obiectul unei discuții colective, altele - fișe de control reciproc al elevilor, este posibil să se efectueze o dictare matematică pe baza unor întrebări etc.

Seria ulterioară de exerciții are ca scop monitorizarea, evaluarea și corectarea abilităților elevilor. Sunt posibile diferite forme de realizare a exercițiilor: o soluție independentă, însoțită de autocontrolul elevilor, o soluție comentată, efectuarea de exerciții la tablă, un sondaj oral etc. Această serie acoperă două grupuri de exerciții. Prima grupă nu necesită o natură reconstructivă pentru a desfășura activitate mentală, implementarea celei de-a doua grupe implică reconstrucția cunoștințelor și abilităților pe tema studiată.

1. Care dintre următoarele egalități sunt adevărate:

1) (–9) (–8) = –72; 2) (–1,4) 0,5 = – 0,7;

3) 12 (–0,2) = –0,24; 4) (–3,2) (–2,1) = 6,72?

Alege răspunsul corect.

Raspunsul 1); 2); 3); patru); nu există egalităţi adevărate.

2. Fără a efectua calcule, determinați care produs este pozitiv:

1) 0,26 (–17) (–52) (–34); 2) (–1) (–8) 0,4 (–3,4);

3) (–16) (–0,87) (– ) (–5); 4) 5 (–3,2) 0 (0,7).

Raspunsul 1); 2); 3); patru).

3. Specificați expresii care au coeficienți egali:

1) 9asși 3 X(4y); 2) (–3) (–8cb) și 4 X 6y;

3) absși 2,75 X y; 4) 3,15absși 0,001 abs.

4. Care dintre expresii conține termeni similari:

1) 7A– 12ab+ 14; 2) – 0,5xy + 2,7kh - 0,5;

3) 3Cu – 2,7hus – ;4) 72ab- ab + 241?

Specificați răspunsul corect.

Raspunsul 1); 2); patru); nu există expresii care să conţină termeni similari.

5. Indicați egalitățile corecte: : (–18.2

3. Alegeți cel mai mare și cel mai mic număr dintre numere
A,A 2 ,A 3 ,A 4 , A 5 , A 6 , A 7 la A = – 5, A = 3.

4. Simplificați expresia:

1) – X(y - 4) – 2(hu– 3) – 3X; 2) A(b + 3) – 3(2 – ab) + a.

Setul de sarcini de mai sus și succesiunea lor acoperă toate nivelurile de dobândire a cunoștințelor. Îndeplinirea întregului set de sarcini corespunde asimilării calitative a cunoștințelor și aptitudinilor și poate fi cotată drept „excelent”. Exercițiile primei grupe corespund asimilării cunoștințelor și aptitudinilor la nivelul aplicării acestora în situații care nu necesită reconstituirea cunoștințelor și aptitudinilor. Răspunsurile corecte la întrebări caracterizează asimilarea cunoștințelor la nivelul reproducerii. O notă de „satisfăcător” poate fi acordată unui elev care a finalizat majoritatea exercițiilor din prima grupă. Nota „bine” corespunde majorității exercițiilor efectuate corect din prima și a doua grupă.

Sarcini

1. Alegeți o temă specifică pentru cursul de corecție și dezvoltare de algebră la școala principală. Studiați secțiunile relevante ale programului și ale manualului. Dezvălui caracteristici metodologice studiind subiectul. Elaborați fragmente dintr-o metodologie de predare a unei teme. Pregătiți un set de carduri pentru a corecta cunoștințele elevilor.

2. Participați la câteva lecții de algebră la una dintre instituțiile speciale (corecționale) de tip VII din regiunea dumneavoastră. Analizați o lecție din punctul de vedere al orientării ei educaționale, corecționale-dezvoltatoare, educaționale și practice.

3. Unul dintre scopurile predării matematicii este formarea unei culturi matematice. Cultura computațională este una dintre componentele culturii matematice. Propuneți-vă interpretarea conceptului de „cultură computațională”. În ce etape de predare a matematicii pentru studenți speciali, atunci când predați ce conținut este posibil și adecvat să se stabilească obiectivul „formarii unei culturi informatice”? Dați un exemplu specific cu sistemul de sarcini corespunzător. Faceți o listă de literatură despre dezvoltarea conceptului de număr pentru lectura extracurriculara elevi speciali. Specificați în ce clase poate fi utilizat.

CAPITOLUL 10.

1.1. Întrebări generale de metodologia studiului material algebric.

1.2. Metodologia studiului expresii numerice.

1.3. Studiul expresiilor literale.

1.4. Studiul egalităților și inegalităților numerice.

1.5. Tehnica de studiere a ecuațiilor.

1.6. Rezolvați probleme aritmetice simple prin scrierea ecuațiilor.

1.1. Întrebări generale ale metodologiei de studiu al materialului algebric

Introducerea materialului algebric în cursul inițial de matematică face posibilă pregătirea elevilor pentru studiul conceptelor de bază ale matematicii moderne (variabilă, ecuație, egalitate, inegalitate etc.), contribuie la generalizarea cunoștințelor aritmetice, iar formarea gândirii funcționale la copii.

Elevii din ciclul primar ar trebui să primească informații inițiale despre expresii matematice, egalități și inegalități numerice, să învețe să rezolve ecuațiile prevăzute de curriculum și probleme simple de aritmetică prin întocmirea unei ecuații (baza teoretică pentru alegerea unei operații aritmetice în care relația dintre componente şi rezultatul operaţiei aritmetice corespunzătoare0.

Studiul materialului algebric se realizează în strânsă legătură cu materialul aritmetic.

1.2. Metodologie de studiere a expresiilor numerice

În matematică, o expresie este înțeleasă ca însemnând a anumite reguli o succesiune de simboluri matematice reprezentând numere și operații asupra acestora.

Expresii ca: 6; 3+2; 8:4+(7-3) - expresii numerice; tip: 8-a; 30:in; 5+(3+s) - expresii literale (expresii cu o variabilă).

Sarcinile studierii temei

2) Să familiarizeze elevii cu regulile pentru ordinea efectuării operaţiilor aritmetice.

3) Învață să găsești valorile numerice ale expresiilor.

4) Familiarizați-vă cu transformările identice ale expresiilor bazate pe proprietățile operațiilor aritmetice.

Rezolvarea sarcinilor stabilite se realizează pe parcursul tuturor anilor de studiu în clasa elementară x, începând din primele zile de ședere a copilului la școală.

Metodologia de lucru asupra expresiilor numerice prevede trei etape: la prima etapă - formarea conceptelor despre cele mai simple expresii (sumă, diferență, produs, coeficient a două numere); la a doua etapă - despre expresii care conțin două sau mai multe operații aritmetice ale unei etape; la a treia etapă – despre expresii care conţin două sau mai multe operaţii aritmetice de niveluri diferite.

Cu cele mai simple expresii - suma si diferenta - elevii sunt introdusi in clasa I (conform programului 1-4) cu produsul si privat - in clasa a II-a (cu termenul "produs" - in clasa a 2-a, cu termenul). „privat” – în clasa a III-a).

Luați în considerare metoda de studiu a expresiilor numerice.

Efectuând operații pe seturi, copiii, în primul rând, învață semnificația specifică a adunării și scăderii, prin urmare, în înregistrările de forma 3 + 2, 7-1, semnele acțiunilor sunt percepute de ei ca o denumire scurtă a cuvintelor. „adăugați”, „scădeți” (adăugați 2 la 3). În viitor, conceptele de acțiuni se adâncesc: elevii învață că adunând (scăzând) câteva unități, creștem (scădem) numărul cu același număr de unități (se citește: 3 crește cu 2), apoi copiii vor învăța numele semnelor plus (citire: 3 plus 2), „minus”.

În cadrul subiectului „Adunarea și scăderea în 20”, copiii sunt introduși în conceptele de „sumă”, „diferență” ca nume ale expresiilor matematice și ca denumire a rezultatului operațiilor aritmetice de adunare și scădere.

Luați în considerare un fragment din lecție (clasa a 2-a).

Atașați 4 cercuri roșii și 3 galbene pe tablă folosind apă:

OOOO OOO

Câte cercuri roșii? (Notați numărul 4.)

Câte cercuri galbene? (Notați numărul 3.)

Ce acțiune trebuie efectuată asupra numerelor scrise 3 și 4 pentru a afla câte cercuri roșii și câte galbene sunt împreună? (apare record: 4+3).

Spune-mi, fără să număr câte cercuri sunt?

O astfel de expresie în matematică, când există semnul „+” între numere, se numește sumă (Să spunem împreună: sumă) și se citește astfel: suma a patru și trei.

Acum să aflăm cu ce este egală suma numerelor 4 și 3 (dam un răspuns complet).

La fel si pentru diferenta.

Când se studiază adunarea și scăderea în 10, sunt incluse expresii formate din 3 sau mai multe numere legate prin aceleași și diferite semne ale operațiilor aritmetice: 3+1+2, 4-1-1, 7-4+3 etc. Dezvăluind sensul unor astfel de expresii, profesorul arată cum să le citească. Calculând valorile acestor expresii, copiii stăpânesc practic regula despre ordinea operațiilor aritmetice în expresii fără paranteze, deși nu o formulează: 10-3+2=7+2=9. Astfel de înregistrări sunt primul pas în efectuarea transformărilor identice.

Metodologia de familiarizare cu expresiile cu paranteze poate fi diferită (Descrieți un fragment al lecției în caiet, pregătiți-vă pentru exerciții practice).

Capacitatea de a compune și de a găsi sensul unei expresii este folosită de copii în rezolvarea problemelor aritmetice, în același timp, aici se stăpânește în continuare conceptul de „expresie”, este asimilat sensul specific al expresiilor din evidențele de rezolvare a problemelor.

Interesant este tipul de lucru propus de metodologul leton Ya.Ya. Mentzis.

Este dat, de exemplu, un text astfel: „Băiatul avea 24 de ruble, o prăjitură costă 6 ruble, o bomboană 2 ruble”, se propune:

a) faceți tot felul de expresii pe acest text și explicați ce arată acestea;

b) explicați ce arată expresiile:

2 celule 3 celule

24-2 24-(6+2) 24:6 24-6 3

În clasa a 3-a, împreună cu expresiile discutate mai devreme, ele includ expresii formate din două expresii simple (37+6) - (42+1), precum și formate dintr-un număr și un produs sau un coeficient de două numere. De exemplu: 75-50:25+2. Acolo unde ordinea în care sunt efectuate acțiunile nu se potrivește cu ordinea în care sunt scrise, se folosesc paranteze: 16-6:(8-5). Copiii trebuie să învețe să citească și să scrie corect aceste expresii, să le găsească semnificațiile.

Termenii „expresie”, „valoare expresiei” sunt introduși fără definiții. Pentru a le ușura copiilor să citească și să găsească sensul expresiilor complexe, metodologii recomandă utilizarea unei scheme care este compilată colectiv și utilizată atunci când citesc expresii:

1) Voi stabili care acțiune este efectuată ultima.

2) Mă voi gândi la cum sunt numite numerele atunci când efectuez această acțiune.

3) Voi citi cum sunt exprimate aceste numere.

Regulile pentru ordinea acțiunilor în expresiile complexe sunt studiate în clasa a III-a, dar copiii le folosesc practic pe unele în clasele I și II.

Prima este regula privind ordinea efectuării acțiunilor în expresii fără paranteze, când numerele sunt fie doar adunare și scădere, fie înmulțire și împărțire (3 cl.). Scopul lucrării în această etapă este, pe baza abilităților practice ale elevilor dobândite anterior, să acorde atenție ordinii în care se desfășoară acțiunile în astfel de expresii și să formuleze o regulă.

Conducând copiii către formularea regulii, înțelegerea acesteia poate fi diferită. Baza principală pe experiența existentă, independența maximă posibilă, crearea unei situații de căutare și descoperire, dovezi.

Puteți folosi tehnica metodică a lui Sh.A. Amonashvili „greșeala profesorului”.

De exemplu. Profesorul relatează că atunci când a găsit sensul următoarelor expresii, a primit răspunsuri, de a căror corectitudine este sigur (răspunsurile sunt închise).

36:2 6=6 etc.

Încurajează copiii să găsească valori de expresie, iar apoi comparați răspunsurile cu răspunsurile primite de profesor (în acest moment, rezultatele operațiilor aritmetice sunt deschise). Copiii demonstrează că profesorul a făcut greșeli și, pe baza studiului unor fapte particulare, formulează o regulă (vezi manualul de matematică, clasa a 3-a).

În mod similar, puteți introduce și restul regulilor pentru ordinea acțiunilor: atunci când expresiile fără paranteze conțin acțiuni ale etapei 1 și 2, în expresii cu paranteze. Este important ca copiii să realizeze că schimbarea ordinii de efectuare a operațiilor aritmetice duce la o schimbare a rezultatului, în legătură cu care matematicienii au decis să convină și să formuleze reguli care trebuie respectate cu strictețe.

Conversia expresiei este înlocuirea unei expresii date cu alta cu aceeași valoare numerică. Elevii efectuează astfel de transformări ale expresiilor, pe baza proprietăților operațiilor aritmetice și a consecințelor acestora (, pp. 249-250).

La studierea fiecărei proprietăți, elevii sunt convinși că în expresii de un anumit tip, acțiunile pot fi efectuate în moduri diferite, dar valoarea expresiei nu se schimba. În viitor, elevii aplică cunoștințele despre proprietățile acțiunilor pentru a transforma expresii date în expresii identice. De exemplu, sunt oferite sarcini din formular: continuați înregistrarea, astfel încât semnul „=” să fie păstrat:

76-(20 + 4) =76-20... (10 + 7) -5= 10-5...

60: (2 10) =60:10...

La finalizarea primei sarcini, elevii motivează astfel: în stânga, suma numerelor 20 și 4 se scade din 76. , în dreapta, 20 a fost scăzut din 76; pentru a obține aceeași sumă în dreapta ca în stânga, este necesar să mai scădeți în dreapta 4. Alte expresii se transformă în mod similar, adică după citirea expresiei, elevul își amintește regula corespunzătoare. Și, efectuând acțiuni după regulă, primește expresia transformată. Pentru a se asigura că conversia este corectă, copiii calculează valorile expresiilor date și convertite și le compară.

Aplicarea cunoștințelor despre proprietățile acțiunilor pentru fundamentarea tehnicilor de calcul, elevii I-IV clasele efectuează transformări ale expresiilor de forma:

72:3= (60+12):3 = 60:3+12:3 = 24 18 30= 18 (3 10) = (18 3) 10=540

De asemenea, aici este necesar ca elevii să explice nu numai pe baza a ceea ce primesc fiecare expresie ulterioară, ci și să înțeleagă că toate aceste expresii sunt legate prin semnul „=”, deoarece au același sens. Pentru a face acest lucru, ocazional ar trebui să le oferi copiilor să calculeze valorile expresiilor și să le compare. Acest lucru previne erori precum: 75 - 30 = 70 - 30 = 40+5 = 45, 24 12= (10 + 2) =24 10+24 2 = 288.

Elevii claselor II-IV efectuează transformarea expresiilor nu numai pe baza proprietăților acțiunii, ci și pe baza semnificației lor specifice. De exemplu, suma termenilor identici este înlocuită cu produsul: (6+ 6 + 6 = 6 3, și invers: 9 4 = = 9 + 9 + 9 + 9). Pe baza și înțelesul acțiunii înmulțirii, se convertesc expresii mai complexe: 8 4 + 8 = 8 5, 7 6-7 = 7 5.

Pe baza calculelor și analizei expresiilor special selectate, elevii clasei a IV-a sunt conduși la concluzia că, dacă parantezele din expresiile cu paranteze nu afectează ordinea acțiunilor, atunci acestea pot fi omise. Pe viitor, folosind proprietățile învățate ale acțiunilor și regulile pentru ordinea acțiunilor, elevii exersează transformarea expresiilor cu paranteze în expresii care sunt identice cu ele fără paranteze. De exemplu, se propune să scrieți aceste expresii fără paranteze, astfel încât valorile lor să nu se schimbe:

(65 + 30)-20 (20 + 4) 3

96 - (16 + 30) (40 + 24): 4

Deci, copiii înlocuiesc prima dintre expresiile date cu expresiile: 65 + 30-20, 65-20 + 30, explicând ordinea efectuării acțiunilor în ele. În acest fel, elevii se asigură că sensul expresiei nu se schimbă la schimbarea ordinii acțiunilor doar dacă în acest caz se aplică proprietățile acțiunilor.

Studiul materialului algebric în școala elementară. Introducerea elementelor de algebră în cursul elementar de matematică face posibilă încă de la începutul pregătirii desfășurarea unor lucrări sistematice care vizează dezvoltarea la copii atât de importante. concepte matematice precum expresia, egalitatea, inegalitatea, ecuația. Includerea elementelor de algebră vizează, în principal, o dezvăluire mai completă și mai profundă a conceptelor aritmetice, aducând generalizările elevilor la o mai mare măsură. nivel inalt , precum și crearea unor premise pentru asimilarea cu succes a cursului de algebră în viitor. Familiarizarea cu utilizarea unei litere ca simbol care denotă orice număr din zona numerelor cunoscute copiilor creează condițiile pentru generalizarea multor probleme ale teoriei aritmetice luate în considerare la cursul inițial, este o bună pregătire pentru introducerea. copiii în viitor la conceptele de variabilă, de funcție. Cunoașterea mai devreme cu utilizarea metodei algebrice de rezolvare a problemelor face posibilă realizarea unor îmbunătățiri serioase în întregul sistem de predare a copiilor să rezolve diverse probleme de text. Lucrarea la toate întrebările enumerate de conținut algebric, în conformitate cu modul în care este planificată în manuale, trebuie efectuată sistematic și sistematic în toți anii de învățământ primar. Studiul elementelor algebrei din matematica elementară este strâns asociat cu studiul aritmeticii. Acest lucru se exprimă, în special, în faptul că, de exemplu, ecuațiile și inegalitățile sunt rezolvate nu pe baza utilizării aparatului algebric, ci pe baza utilizării proprietăților operațiilor aritmetice, pe baza relației dintre componentele și rezultatele acestor operațiuni. Formarea fiecăruia dintre conceptele algebrice considerate nu este adusă la o definiție logică formală. Obiectivele studierii temei: 1. Formarea capacității elevilor de a citi, scrie și compara expresii numerice. 2. Să familiarizeze elevii cu regulile de realizare a ordinii acțiunilor în expresii numerice și să dezvolte capacitatea de a calcula valorile expresiilor în conformitate cu aceste reguli. 3. Pentru a forma abilitatea elevilor de a citi, notați expresiile literale și calculați valorile lor pentru valorile literelor date. 4. Să introducă studenții în ecuații de gradul I, cuprinzând acțiunile din prima și a doua etapă, pentru a-și forma capacitatea de a le rezolva prin metoda de selecție, precum și pe baza cunoașterii relației dintre componente și rezultat al operațiilor aritmetice. Expresii matematice. La formarea conceptului de expresie matematică la copii, trebuie să se țină cont de faptul că semnul de acțiune plasat între numere are două semnificații: pe de o parte, denotă o acțiune care trebuie efectuată asupra numerelor (de exemplu, 6 + 4). - adăugați patru la șase); pe de altă parte, semnul de acțiune servește la desemnarea expresiei (6 + 4 este suma numerelor 6 și 4). Conceptul de expresie se formează la elevii mai mici în strânsă legătură cu conceptele de operații aritmetice și contribuie la o mai bună asimilare a acestora. Familiarizarea cu expresiile numerice: metodologia de lucru asupra expresiilor prevede două etape. Pe prima dintre ele se formează conceptul celor mai simple expresii (suma, diferență, produs, coeficient a două numere), iar pe a doua, a celor complexe (suma unui produs și a unui număr, diferența a două coeficiente). , etc.). Cunoașterea primei expresii - suma a două numere apare în clasa I atunci când studiază adunarea și scăderea în 10. Efectuând operații pe mulțimi, elevii, în primul rând, învață semnificația specifică a adunării și scăderii, prin urmare, în intrări precum 5 + 1, 6-2 semne acțiunile sunt percepute de ei ca o denumire scurtă a cuvintelor „adăugați”, „scădeți”. Aproximativ în același plan se lucrează la următoarele expresii: diferența (nota 1), produsul și câtul a două numere (nota 2). Sunt introduși termenii „expresie matematică” și „valoarea unei expresii matematice” (fără definiții). După ce a înregistrat mai multe exemple într-o singură acțiune, profesorul raportează că aceste exemple sunt altfel numite expresii matematice. Regula folosită la citirea expresiilor: 1) stabiliți care acțiune se execută ultima; 2) amintiți-vă cum sunt numite numerele în această acțiune; 3) citiți cum sunt exprimate aceste numere. Exercițiile de citire și scriere a expresiilor complexe care conțin componente de acțiune date de expresii simple îi ajută pe copii să învețe regulile de ordine a acțiunilor și, de asemenea, îi pregătesc pentru rezolvarea ecuațiilor. Oferind astfel de exerciții și testând cunoștințele și abilitățile elevilor, profesorul ar trebui să se străduiască doar să se asigure că aceștia sunt capabili să îndeplinească practic astfel de sarcini: notează o expresie, citește-o, compune o expresie pentru sarcina propusă, alcătuiește o sarcină pentru aceasta. expresie (sau „citește altfel” această expresie), a înțeles ce înseamnă să notezi suma (diferența) folosind numere și semne de acțiune și ce înseamnă să calculezi suma (diferența), iar mai târziu, după introducerea termenilor corespunzători , ce înseamnă a compune o expresie și ce înseamnă a-i găsi valoarea. Învățarea regulilor de procedură. Scopul lucrării în această etapă este, pe baza aptitudinilor practice ale elevilor, de a le atrage atenția asupra ordinii în care se desfășoară acțiunile în astfel de expresii și de a formula regula corespunzătoare. Elevii rezolvă în mod independent exemplele selectate de profesor și explică în ce ordine au efectuat acțiunile din fiecare exemplu. Apoi ei formulează singuri concluzia sau citesc concluzia din manual. Lucrarea se desfășoară în următoarea succesiune: 1. Se ia în considerare regula cu privire la ordinea în care se efectuează acțiunile în expresii fără paranteze, când numerele sunt fie doar adunare și scădere, fie doar înmulțire și împărțire. Concluzie: dacă în expresia fără paranteze sunt indicate numai operații de adunare și scădere (sau numai operațiuni de înmulțire și împărțire), atunci acestea se efectuează în ordinea în care sunt scrise (adică de la stânga la dreapta). 2. În mod similar, studiați ordinea acțiunilor în expresiile cu paranteze de forma: 85-(46-14), 60: (30-20), 90: (2 * 5). Elevii sunt, de asemenea, familiarizați cu astfel de expresii și sunt capabili să citească, să scrie și să calculeze sensul lor. După ce explică ordinea efectuării acțiunilor în mai multe astfel de expresii, copiii formulează o concluzie: în expresiile cu paranteze, prima acțiune se execută asupra numerelor scrise între paranteze. 3. Cea mai dificilă regulă este ordinea de execuție a acțiunilor în expresii fără paranteze, atunci când acestea conțin acțiuni din primul și al doilea pas. Concluzie: procedura se adoptă de comun acord: mai întâi se efectuează înmulțirea, împărțirea, apoi adunarea, scăderea de la stânga la dreapta. 4. Exerciţii de calcul a sensului expresiilor, când elevul trebuie să aplice toate regulile învăţate. Cunoașterea transformărilor identice ale expresiilor. Transformarea identității unei expresii este înlocuirea unei expresii date cu o alta, a cărei valoare este egală cu valoarea expresiei date. Elevii efectuează astfel de transformări ale expresiilor, pe baza proprietăților operațiilor aritmetice și a consecințelor care decurg din acestea (cum se adună o sumă la un număr, cum se scăde un număr dintr-o sumă, cum se înmulțește un număr cu un produs etc. ). La studierea fiecărei proprietăți, elevii sunt convinși că în expresiile de un anumit tip, acțiunile pot fi efectuate în moduri diferite, dar sensul expresiei nu se schimbă (sensul expresiei nu se schimbă atunci când ordinea acțiunilor este schimbată doar dacă se aplică proprietăţile acţiunii) Introducere în expresiile literale. Deja în clasa I, devine necesară introducerea unui simbol care denotă un număr necunoscut. În literatura educațională și metodologică, în acest scop, au fost oferite elevilor o mare varietate de semne: elipse, celulă goală încercuită, asteriscuri, semnul întrebării etc. Dar, deoarece toate aceste semne ar trebui să fie folosite în alt scop, atunci pentru a scrie un număr necunoscut, ar trebui să utilizați semnul general acceptat în aceste scopuri - o scrisoare. În viitor, litera ca simbol matematic este folosită și în învățământul elementar de matematică pentru a scrie numere generalizate, adică atunci când nu se înțelege un număr întreg nenegativ, ci orice număr. O astfel de nevoie apare atunci când este necesară exprimarea proprietăților operațiilor aritmetice. Literele sunt necesare pentru a desemna cantități și pentru a scrie formule care reflectă relațiile dintre cantități, pentru a desemna puncte, segmente, vârfuri ale formelor geometrice. În clasa I, elevii folosesc o literă pentru a desemna un număr necunoscut pe care îl caută. Elevii se familiarizează cu scrierea și citirea unor litere latine, folosindu-le imediat pentru a scrie exemple cu un număr necunoscut (ecuații simple). Elevilor li se arată cum să traducă în limbajul simbolurilor matematice sarcina, exprimată verbal: „Am adăugat 2 la un număr necunoscut și am primit 6. Găsiți un număr necunoscut”. Profesorul explică cum să scrieți această problemă: notați numărul necunoscut cu litera x, apoi utilizați semnul + pentru a arăta că la numărul necunoscut s-a adăugat 2 și s-a obținut numărul egal cu 6, care se scrie folosind semnul egal: x + 2 = 6. Acum trebuie să efectuați o operație de scădere pentru a găsi celălalt termen prin suma a doi termeni și unul dintre ei. Lucrarea principală folosind litera ca simbol matematic se face în clasele ulterioare. La introducerea expresiilor literale rol importantîmbinarea pricepută a metodelor inductive și deductive joacă în sistemul de exerciții. În conformitate cu aceasta, exercițiile prevăd treceri de la expresiile numerice la cele alfabetice și, invers, de la expresiile alfabetice la cele numerice. a + b (a plus b) este, de asemenea, o expresie matematică, doar în ea termenii sunt indicați prin litere: fiecare dintre litere reprezintă orice numere. Prin acordarea literelor cu valori numerice diferite, puteți obține câte expresii numerice doriți. Mai departe, în legătură cu lucrarea asupra expresiilor, se dezvăluie conceptul de constantă. În acest scop, se consideră expresii în care se fixează o valoare constantă folosind numere, de exemplu: a ± 12, 8 ± s. Aici, ca și în etapa anterioară, sunt prevăzute exerciții pentru trecerea de la expresiile numerice la expresiile scrise cu litere și cifre și invers. În mod similar, puteți obține expresii matematice de forma: 17 ± n, k ± 30, iar mai târziu - expresii de forma: 7 * b, a: 8, 48: d. Lucrarea de calcul a valorilor expresiilor literale pentru diferite semnificații ale literelor, observând modificarea rezultatelor calculelor în funcție de modificarea componentelor acțiunilor pune bazele formării conceptului de variabilă. Sunt luate în considerare exerciții de găsire a valorilor numerice ale expresiilor pentru valorile literelor date. În plus, literele sunt folosite pentru a scrie într-o formă generalizată proprietățile operațiilor aritmetice studiate anterior pe exemple numerice specifice. Elevii, efectuând exerciții speciale, stăpânesc următoarele deprinderi: 1. Folosește litere pentru a scrie proprietățile operațiilor aritmetice, relația dintre componentele și rezultatele operațiilor aritmetice. 2. Citiți proprietățile operațiilor aritmetice, dependențe, relații scrise cu litere. 3. Efectuați o transformare identică a expresiei pe baza cunoașterii proprietăților operațiilor aritmetice. 4. Demonstrați validitatea egalităților sau inegalităților date folosind substituția numerică. Utilizarea simbolurilor alfabetice contribuie la creșterea nivelului de generalizare a cunoștințelor dobândite de elevii din ciclul primar și îi pregătește pentru studiul unui curs sistematic de algebră în clasele următoare. Egalitate, inegalitate. În practica predării în clasele primare, expresiile numerice sunt luate în considerare încă de la început în legătură inseparabilă cu egalităţi şi inegalităţi numerice. În matematică, egalitățile și inegalitățile numerice sunt împărțite în adevărate și false. În clasele elementare, în locul acestor termeni se folosesc cuvintele „adevărat” și „infidel”. Sarcinile studierii egalităților și inegalităților în clasele primare sunt de a-i învăța pe elevi să opereze practic cu egalități și inegalități: să compare numere, să compare expresii aritmetice, să rezolve inegalități simple cu o necunoscută, să treacă de la inegalitate la egalitate și de la egalitate la inegalitate. Conceptele de egalități, inegalități sunt relevate în interconectare. Când studiezi, material aritmetic. Egalitățile și inegalitățile numerice sunt studiate ca rezultat al comparării numerelor date sau a expresiilor aritmetice. Prin urmare, semnele „>”, „<», « = » соединяются не любые два числа, не любые два выражения, а лишь те, между которыми существуют указанные отношения. Первоначально у младших школьников формируются понятия только о верных равенствах и неравенствах (не во всех программах). Сравнение чисел осуществляется сначала на основе сравнения множеств, которое выполняется, с помощью установления взаимно однозначного соответствия. Установленные отношения записываются с помощью знаков «>», «<», « = », учащиеся упражняются в чтении и записи равенств и неравенств. Впоследствии при изучении нумерации чисел в пределах 100, 1000, а также нумерации многозначных чисел сравнение чисел осуществляется либо на основе сопоставления их по месту в натуральном ряду, либо на основе разложения чисел по десятичному составу и сравнения соответствующих разрядных чисел. Сравнение величин сначала выполняется с опорой на сравнение самих предметов по данному свойству, а потом осуществляется на основе сравнения числовых значений величин, для чего заданные величины выражаются в одинаковых единицах измерения. Переход к сравнению выражений осуществляется постепенно. Сначала в процессе изучения сложения и вычитания в пределах 10 учащиеся упражняются в сравнении выражения и числа (числа и выражения). Выражение и число (число и выражение) учащиеся сравнивают, не прибегая к операциям над множествами (подумай - поставь знак - объясни - проверь вычислением). Сравнить два выражения - значит, сравнить их значения. Сначала выполняются вычисления, затем рассматриваются задания на основе рассуждений с опорой на обобщение. Термины «решить неравенство», «решение неравенства» не вводятся в начальных классах. Уравнения. Подготовкой к ознакомлению учащихся с уравнениями является вся работа с равенствами и неравенствами. Особое значение среди всех этих упражнений имеют задания, при выполнении которых надо от неравенства перейти к равенству и наоборот. Впервые с уравнением учащиеся знакомятся в первом классе после того, как они познакомились с зависимостью между компонентами сложения. Здесь учащийся воспринимает уравнение как равенство, которое справедливо при определенном значении пока неизвестного числа. Выдвигается требование - найти такое значение буквы, обозначающей неизвестное. Чтобы составить уравнение, достаточно задание, выраженное словесно, записать с помощью математических символов. В соответствии с программой в начальных классах рассматриваются уравнения первой степени с одним неизвестным вида: 7+х=10, х-3=10 + 5, х*(17-10)=70, х:2+10 = 30. Неизвестное число сначала находят подбором, а позднее на основе знания связи между результатом и компонентами арифметических действий (т. е. знания способов нахождения неизвестных компонентов). Найти неизвестное число (корень) - значит решить уравнение. С целью формирования умений решать уравнения предлагают разнообразные упражнения: 1) Решите уравнения и выполните проверку. 2) Выполните проверку решенных уравнений, объясните ошибки в неверно решенных уравнениях. 3) Составьте уравнения с числами х, 7, 10, решите и проверьте решение. 3) Из заданных уравнений выберите и решите те, в которых неизвестное число находят вычитанием (делением). 4) Из заданных уравнений выпишите те, в которых неизвестное число равно 8. 5) Рассмотрите решение уравнения, определите, чем является неизвестное в уравнении и вставьте пропущенный знак действия: х...2=12 х…2=12 х=12:2 х=12+2 7) Решите уравнения; сравните уравнения и их решения: х+8=40 х*3 = 24 х-8=40 х: 3 = 24 После того как учащиеся освоят решение простейших уравнений, уравнения усложняются в том отношении, что: 1) в правой части дается выражение: x+10=30-7; 2) один из компонентов задан выражением к + (18 - 15) = 24; 3) один из компонентов задан выражением, причем в него входит неизвестное (73 - b) + 31 = 85 Для решения таких уравнений необходимы знания порядка действий в выражении, а также умения выполнять простейшие преобразования выражений. Далее вводятся уравнения, содержащие действия первой и второй ступени. Для овладения приемом решения этих уравнений в начальных классах учащемуся необходимо в первую очередь научиться левую часть представить в виде двух компонентов, в результате действий с которыми была получена правая часть, и разобрать состав каждого компонента. При обучении решения уравнений важно вырабатывать навык проверки его корня, то есть найденного значения буквы. Здесь учащиеся должны в уравнение вместо буквы подставить ее значение, отдельно вычислить левую и правую части и сравнить полученные результаты. Отношение равенства этих результатов является основанием для заключения, что найденное число удовлетворяет условиям уравнения. Решение задач с помощью уравнений. Чтобы понять роль решения задач с помощью уравнений, рассмотрим сначала, в чем суть этого способа. Пусть надо решить путем составления уравнения задачу: «На экскурсию поехало 28 мальчиков и несколько девочек. Все они разместились в двух автобусах, по 25 человек в каждом. Сколько девочек отправилось на экскурсию?» Обозначим число девочек, которые отправились на экскурсию, какой-либо буквой, например х. Для составления равенства можно выделить различные связи, в соответствии с которыми можно составить выражения и, приравняв их, получить уравнение: а) В условии задачи сказано, что все мальчики и девочки поехали в автобусах, значит, можно выразить, сколько мальчиков и девочек поехало на экскурсию (28+x) и сколько мальчиков и девочек разместилось в автобусах (25*2), а затем приравнять эти выражения; тогда получится уравнение 28+x=25*2; решив это уравнение, получим ответ на вопрос задачи. б) В условии задачи сказано, что в каждом автобусе разместилось по 25 человек, значит, можно выразить число экскурсантов в каждом автобусе через другие числа и приравнять полученное выражение к числу 25, тогда получится уравнение (28+х): 2 = 25. Можно, рассуждая аналогичным образом, составить и другие уравнения. Для решения задачи с помощью составления уравнений обозначают буквой искомое число, выделяют в условии задачи связи, которые позволяют составить равенство, содержащее неизвестное (уравнение), записывают соответствующие выражения и составляют равенство. Полученное уравнение решают. При этом решение полученного уравнения не связывается с содержанием задачи. Решение любой задачи можно выполнить путем составления уравнения, руководствуясь указанным планом. В этом заключается универсальность способа решения задач с помощью составления уравнений, что определяет его преимущества. Кроме того, как видно, решение задач способом составления уравнений способствует овладению понятием уравнения. Поэтому уже в начальных классах в определенной системе ведется обучение решению задач путем составления уравнений. В методике обучения решению задач с помощью составления уравнений предусматриваются следующие этапы: сначала ведется подготовительная работа к решению задач с помощью уравнений, затем вводится решение простых задач с помощью уравнений и, наконец, рассматриваются приемы составления уравнений при решении составных задач.

În „Minimul obligatoriu al conținutului învățământului primar” din domeniul de învățământ „Matematică”, studiul materialului algebric, așa cum era înainte, nu este evidențiat ca unitate didactică separată supusă studiului obligatoriu. În această parte a documentului, se remarcă pe scurt că este necesar „să se ofere cunoștințe despre expresiile numerice și alfabetice, semnificațiile acestora și diferențele dintre aceste expresii”. În „Cerințe pentru calitatea pregătirii absolvenților” se găsește doar o scurtă frază cu sens nedefinit „a învăța cum se calculează o componentă necunoscută a unei operații aritmetice”. Întrebarea despre cum să predați „calculați o componentă necunoscută” ar trebui să fie decisă de autorul programului sau al tehnologiei de învățare.

Să luăm în considerare modul în care sunt caracterizate conceptele de „expresie”, „egalitate”, „inegalitate”, „ecuație” și care este metodologia de studiu a acestora în diverse sisteme de pregătire metodologică

7.1. Expresii și tipurile lor...
în matematică

scoala elementara

Expresie numiți o notație matematică formată din numere, notate prin litere sau cifre, legate prin semne ale operațiilor aritmetice. Un singur număr este, de asemenea, o expresie. Se numește o expresie în care toate numerele sunt reprezentate prin cifre expresie numerică.

Dacă executăm acțiunile indicate într-o expresie numerică, vom obține un număr care se numește valoarea expresiei.

Expresiile pot fi clasificate după numărul de operații aritmetice care sunt utilizate la scrierea expresiilor și după modul în care sunt notate numerele. Conform primei baze, expresiile sunt împărțite în grupe: expresii elementare (care nu conțin un semn de operație aritmetică), simple (un semn de operație aritmetică) și compuse (mai mult de un semn de operație aritmetică). Conform bazei a doua, se disting expresiile numerice (numerele sunt scrise în cifre) și alfabetice (cel puțin un număr sau toate numerele sunt indicate prin litere).

Notația matematică, care în matematică este de obicei numită expresie, trebuie să fie distinsă de alte tipuri de notații.

Un exemplu sau exercițiu de calcul se numește înregistrarea unei expresii împreună cu o cerință pentru evaluarea acesteia.

5+3 expresie, 8- valoarea acesteia

5+3= exercițiu de calcul (exemplu),

8- rezultatul exercițiului de calcul (exemplu)

În funcție de semnul operației aritmetice, care se folosește în scrierea unei expresii simple, expresiile simple se împart în grupuri de expresii cu semnul „+,”, „-”, „”, „:”. Aceste expresii au denumiri speciale (2 + 3 - sumă; 7 - 4 - diferență; 7 × 2 - produs; 6: 3 - privat) și metode de lectură general acceptate cu care sunt introduși elevii din școala elementară.

Modalități de a citi expresii cu semnul „+”:

25+17 - 25 plus 17

25 + 17 - adăugați 17 la 25

25+17 - 25 da 17

25 + 17 - 25 și încă 17.

25 + 17 - suma numerelor douăzeci și cinci și șaptesprezece (suma 25 și 17)

25+17 - 25 cresc cu 17

25+17 - semestrul 1 25, termenul 2 17

Copiii se familiarizează cu înregistrarea expresiilor simple pe măsură ce se introduce acțiunea matematică corespunzătoare. De exemplu, cunoașterea acțiunii de adunare este însoțită de scrierea unei expresii pentru adunarea 2 + 1, iată exemple de primele forme de citire a acestor expresii: „adăugați unu la doi”, „doi și unu”, „doi și unul”. ”, „doi plus unu”. Alte formulări sunt introduse pe măsură ce copiii se familiarizează cu conceptele relevante. Învățând numele componentelor acțiunii și rezultatele acestora, copiii învață să citească o expresie folosind aceste nume (primul termen este 25, al doilea este 17 sau suma dintre 25 și 17). Cunoașterea conceptelor de „creștere cu...”, „scădere cu...” vă permite să introduceți o nouă formulare pentru citirea expresiilor pentru adunare și scădere cu acești termeni „douăzeci și cinci crește cu șaptesprezece”, „douăzeci și cinci”. scădere cu șaptesprezece”. Faceți același lucru cu alte tipuri de expresii simple.

Cu conceptele de „expresie”, „sensul expresiei” într-un număr de sisteme educaționale („Școala Rusiei” și „Armonia”), copiii se cunosc puțin mai târziu decât învață să le scrie, să calculeze și să le citească nu în totalitate. , dar în multe formulări. În alte programe și sisteme de instruire (sistemul lui L.V. Zankov, „Școala 2000 ...”, „Școala 2100”), aceste înregistrări matematice sunt imediat numite expresii și folosesc acest cuvânt în sarcinile de calcul.

Învățăm copiii să citească expresii cu diverse formulări, îi introducem în lumea termenilor matematici, le oferim posibilitatea de a învăța limbajul matematic, de a elabora sensul relațiilor matematice, ceea ce, fără îndoială, îmbunătățește cultura matematică a elevului, contribuie la asimilarea conștientă a multor concepte matematice.

Ø Fă ca mine. Discursul corect al profesorului, după care copiii repetă formularea, stă la baza discursului matematic competent al școlarilor. Un efect semnificativ se obține prin utilizarea metodei de comparare a formulării pe care o pronunță copiii cu un eșantion dat. Este util să folosiți o tehnică atunci când profesorul face în mod specific greșeli de vorbire, iar copiii o corectează.

Ø Oferă mai multe expresii și oferă să citești aceste expresii în moduri diferite. Un elev citește expresia, în timp ce alții verifică. Este util să oferiți atâtea expresii câte știu copiii până la această oră.

Ø Profesorul dictează expresiile în diferite moduri, iar copiii notează ei înșiși expresiile fără să le calculeze sensul. Astfel de sarcini au ca scop testarea cunoștințelor copiilor de terminologie matematică, și anume: capacitatea de a scrie expresii sau exerciții de calcul citite prin diferite formulări matematice.

Dacă se stabilește o sarcină care presupune verificarea formării unei abilități de calcul, este util să citiți expresii sau exerciții de calcul numai cu acele formulări care sunt bine învățate, fără să le pese de diversitatea lor, iar copiii sunt rugați să noteze doar rezultatele calcule, expresiile în sine nu pot fi scrise.

Se numește o expresie formată din mai multe simple compozit.

Prin urmare, caracteristica esențială a unei expresii compuse este compoziția sa din expresii simple. Expresiile compuse pot fi introduse după cum urmează:

1. Dați o expresie simplă și calculați valoarea acesteia

(7 + 2 = 9), numiți-o primul sau dat.

2. Compuneți a doua expresie astfel încât valoarea primei să devină o componentă a celei de-a doua (9 - 3), numiți această expresie o continuare a primei. Calculați valoarea celei de-a doua expresii (9 - 3 = 6).

3. Ilustrați procesul de îmbinare a primei și a doua expresii, pe baza manualului.

Manualul este o foaie de hârtie dreptunghiulară, care este împărțită în 5 părți și pliată sub forma unui acordeon. Pe fiecare parte a manualului există anumite înregistrări:

7 + 2

=

— 3

= 6

Ascunzând partea a doua și a treia a acestui manual (din prima expresie ascundem cerința pentru calculul și valoarea sa, iar în a doua ascundem răspunsul la întrebarea primei), obținem o expresie compusă și valoarea acesteia ( 7 + 2 -3 = 6). Îi dăm un nume - compus (compus din altele).

Ilustram procesul de îmbinare a altor perechi de expresii sau exerciții de calcul subliniind:

ü Puteți combina într-un compus doar o astfel de pereche de expresii atunci când valoarea uneia dintre ele este o componentă a celeilalte;

ü Valoarea expresiei de continuare este aceeași cu valoarea expresiei compuse.

Când se consolidează conceptul de expresie compusă, este util să se realizeze sarcini de două tipuri.

1 vedere. Având în vedere un set de expresii simple, este necesar să se selecteze perechi dintre ele pentru care relația „valoarea uneia dintre ele este o componentă a celeilalte” este adevărată. Compuneți o expresie compusă din fiecare pereche de expresii simple.

a 2-a vedere. Dată o expresie compusă. Este necesar să se noteze expresiile simple din care este compusă.

Această tehnică este utilă din mai multe motive:

§ prin analogie, putem introduce conceptul de problemă compozită;

§ se evidenţiază mai clar trăsătura esenţială a unei expresii compuse;

§ Erorile sunt prevenite la calcularea valorilor expresiilor compuse;

§ Această tehnică ne permite să ilustrăm rolul parantezelor în expresiile compuse.

Din clasa I se studiază expresiile compuse care conțin semnele „+”, „-” și paranteze. Unele sisteme educaționale („Școala Rusiei”, „Armonia”, „Școala 2000”) nu prevăd studiul parantezelor în clasa întâi. Se introduc în clasa a II-a la studierea proprietăților operațiilor aritmetice (proprietatea asociativă a sumei). Parantezele sunt introduse ca semne, cu ajutorul cărora la matematică se poate arăta ordinea în care se desfășoară acțiunile în expresii care conțin mai multe acțiuni. În viitor, copiii se familiarizează cu expresii compuse care conțin acțiunile primului și al doilea pas cu și fără paranteze. Studiul expresiilor compuse este însoțit de studiul regulilor pentru ordinea acțiunilor în aceste expresii și modul de citire a expresiilor compuse.

În toate programele, se acordă o atenție considerabilă transformării expresiilor, care se efectuează pe baza proprietății de combinare a sumei și a produsului, a regulilor de scădere a unui număr dintr-o sumă și a unei sume dintr-un număr, înmulțirea unei sume cu un număr și împărțirea unei sume la un număr. În opinia noastră, în programe separate, nu există suficiente exerciții care vizează dezvoltarea capacității de a citi expresii compuse, ceea ce, desigur, afectează ulterior capacitatea de a rezolva ecuații în al doilea mod (vezi mai jos). În ultimele ediții ale complexelor educaționale și metodologice de matematică pentru clasele elementare pentru toate programele, se acordă multă atenție sarcinilor de compilare a programelor și algoritmilor de calcul pentru expresii compuse în trei până la nouă acțiuni.

Expresii, în care un număr sau toate numerele sunt indicate prin litere, sunt apelate alfabetic (A+ 6; (A+în)× Cu- expresii literale). Propedeutica pentru introducerea expresiilor literale sunt expresii în care unul dintre numere este înlocuit cu puncte sau un pătrat gol. Această intrare se numește expresia „cu o fereastră” (+4 este o expresie cu o fereastră).

Sarcinile tipice care conțin expresii literale sunt sarcini pentru găsirea valorilor expresiilor, cu condiția ca litera să ia valori diferite dintr-o listă dată de valori. (Calculează valorile expresiilor A+ înși A— în, dacă A= 42, în= 90 sau A = 100, în= 230). Pentru a calcula valorile expresiilor literale, valorile date ale variabilelor sunt substituite alternativ în expresii și apoi funcționează ca și cu expresiile numerice.

Expresiile literale pot fi folosite pentru a introduce înregistrări generalizate ale proprietăților operațiilor aritmetice, pentru a forma idei despre posibilitatea unor valori variabile ale componentelor de acțiune și pentru a permite copiilor să fie aduși la conceptul matematic central de „valoare variabilă”. În plus, cu ajutorul expresiilor literale, copiii sunt conștienți de proprietățile existenței valorilor sumei, diferenței, produsului, coeficientului pe mulțimea numerelor întregi nenegative. Deci, în expresie A+ în pentru orice valoare a variabilelor Ași în puteți calcula valoarea sumei și valoarea expresiei A— în, pe setul indicat se poate calcula numai dacă în mai putin sau egal A. Prin analiza sarcinilor care vizează stabilirea posibilelor limite ale valorilor Ași înîn expresii A înși A: în, copiii stabilesc proprietățile existenței valorii produsului și a valorii coeficientului într-o formă adaptată vârstei.

Simbolurile cu litere sunt folosite ca mijloc de a rezuma cunoștințele și ideile copiilor despre caracteristicile cantitative ale obiectelor din lumea înconjurătoare și despre proprietățile operațiilor aritmetice. Rolul generalizator al simbolismului alfabetic îl face un instrument foarte puternic pentru formarea ideilor generalizate și a metodelor de acțiune cu conținut matematic, ceea ce mărește fără îndoială posibilitățile matematicii în dezvoltarea și formarea formelor abstracte de gândire.

7.2. Învățarea egalităților și inegalităților la curs

matematica in scoala primara

Compararea numerelor și/sau a expresiilor duce la apariția unor noi concepte matematice de „egalitate” și „inegalitate”.

egalitate apelați o înregistrare care conține două expresii conectate prin semnul "=" - egal (3 \u003d 1 + 2; 8 + 2 \u003d 7 + 3 - egal).

inegalitate numiți o înregistrare care conține două expresii și un semn de comparație care indică relația „mai mare decât” sau „mai mică decât” dintre aceste expresii

(3 < 5; 2+4 >2+3 sunt inegalități).

Egalitățile și inegalitățile sunt credincios și necredincios. Dacă valorile expresiilor din stânga și din dreapta egalității sunt aceleași, atunci egalitatea este considerată adevărată, dacă nu, atunci egalitatea va fi falsă. În consecință: dacă în înregistrarea inegalității semnul de comparație indică corect relația dintre numere (expresii elementare) sau valori ale expresiilor, atunci inegalitatea este adevărată, în caz contrar, inegalitatea este falsă.

Majoritatea sarcinilor din matematică sunt legate de calcularea valorilor expresiilor. Dacă se găsește valoarea expresiei, atunci expresia și valoarea ei pot fi conectate cu un semn „egal”, care se scrie de obicei ca egalitate: 3+1=4. Dacă valoarea expresiei a fost calculată corect, atunci egalitatea se numește adevărată, dacă este falsă, atunci egalitatea scrisă este considerată incorectă.

Copiii se familiarizează cu egalitățile în clasa I concomitent cu conceptul de „expresie” la tema „Numerele primelor zece”. Stăpânind modelul simbolic al formării numerelor următoare și anterioare, copiii notează egalitățile 2 + 1 = 3 și 4 - 1 = 3. În viitor, egalitățile sunt utilizate în mod activ în studiul compoziției numerelor cu o singură cifră. , iar apoi studiul aproape tuturor subiectelor din cursul de matematică din școala elementară este legat de acest concept.

Problema introducerii conceptelor de egalitate „adevărat” și „fals” în diverse programe este rezolvată în mod ambiguu. În sistemul „Școala 2000 ...”, acest concept este introdus simultan cu înregistrarea egalității, în sistemul „Școala Rusiei” - la studierea subiectului „Compoziția numerelor cu o singură cifră” în înregistrările egalităților „cu o fereastră” (+3 \u003d 5; 3 + \u003d 5). Alegând un număr care poate fi introdus în cutie, copiii sunt convinși că în unele cazuri sunt corecte, iar în altele sunt egalități incorecte. Trebuie remarcat faptul că aceste înregistrări matematice, pe de o parte, vă permit să consolidați compoziția numerelor sau a altui material de calcul pe tema lecției, pe de altă parte, formează o idee despre o variabilă și sunt o pregătire. pentru stăpânirea conceptului de „ecuație”.

În toate programele, cel mai des sunt utilizate două tipuri de sarcini, legate de conceptele de egalitate și inegalitate, egalități și inegalități adevărate și false:

· Sunt date numere sau expresii, trebuie să puneți un semn între ele pentru ca înregistrarea să fie corectă. De exemplu, „Puneți semnele:”<», «>"", "=" 7-5 ... 7-3; 6+4 … 6+3".

· Înregistrările sunt date cu un semn de comparație, este necesar să înlocuiți astfel de numere în loc de casetă pentru a obține egalitatea sau inegalitatea corectă. De exemplu, „Ridicați numerele astfel încât intrările să fie corecte: > ; sau +2< +3».

Dacă se compară două numere, atunci alegerea semnului este justificată de copii, pe baza principiului construirii unei serii de numere naturale, a semnificației numărului sau a compoziției acestuia. Comparând două expresii numerice sau o expresie cu un număr, copiii calculează valorile expresiilor și apoi le compară valorile, adică reduc compararea expresiilor la o comparație a numerelor. LA sistem educațional„Școala Rusiei” această metodă este dată sub forma unei reguli: „A compara două expresii înseamnă a compara semnificațiile lor”. Copiii efectuează același set de acțiuni pentru a verifica corectitudinea comparației. „Verificați dacă inegalitățile sunt adevărate:

42 + 6 > 47; 47 - 5 > 47 - 4".

Sarcinile care necesită punerea unui semn de comparație (sau verificarea dacă semnul de comparație este setat corect) au cel mai mare efect de dezvoltare fără a calcula valorile expresiilor de date din părțile din stânga și din dreapta ale inegalității (egalitate). În acest caz, copiii trebuie să pună un semn de comparație, pe baza tiparelor matematice identificate.

Forma de prezentare a sarcinii și modalitățile de înregistrare a implementării acesteia variază atât în ​​cadrul aceluiași program, cât și în programe diferite.

În mod tradițional, atunci când decideți inegalități cu variabilă Au fost utilizate două metode: metoda selecției și metoda reducerii la egalitate.

Prima cale numită metoda de selecție, care reflectă pe deplin acțiunile efectuate de copil atunci când o folosește. Cu această metodă, valoarea unui număr necunoscut este selectată fie dintr-un set arbitrar de numere, fie dintr-un anumit set al acestora. După fiecare alegere a valorii variabilei (un număr necunoscut), se verifică corectitudinea alegerii. Pentru a face acest lucru, valoarea găsită este înlocuită în inegalitatea dată în loc de numărul necunoscut. Se calculează valoarea părților din stânga și din dreapta ale inegalității (valoarea uneia dintre părți poate fi o expresie elementară, adică un număr), apoi se compară valoarea părților din stânga și din dreapta ale inegalității rezultate. Toate aceste acțiuni pot fi efectuate oral sau cu o evidență a calculelor intermediare.

A doua cale constă în faptul că în evidența inegalității, în locul semnului "<» или «>» puneți un semn egal și rezolvați egalitatea într-un mod cunoscut copiilor. Apoi, se efectuează raționament, în care se utilizează cunoștințele copiilor despre modificarea rezultatului unei acțiuni în funcție de modificarea uneia dintre componentele acesteia și se determină valorile admisibile ale variabilei.

De exemplu, „Determină ce valori pot lua Aîn inegalitate 12 - A < 7». Решение и образец рассуждений:

Să găsim valoarea A, dacă 12 - A= 7

Calculez folosind regula pentru găsirea subtraendului necunoscut: A= 12 — 7, A= 5.

Imi clarific raspunsul: A egală cu 5 („rădăcina ecuației este 5” în sistemul Zankov și „Școala 2000 ...”), valoarea expresiei 12 - 5 este 7 și trebuie să găsim astfel de valori. această expresie care ar fi mai mică de 7, ceea ce înseamnă că trebuie să scădem numere mai mari de cinci din 12. Acestea pot fi numerele 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. (Cu cât este mai mare numărul pe care îl scadem din același număr, cu atât este mai mică valoarea diferenței). Mijloace, A= 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Valori mai mari de 12 variabile A nu poate accepta, deoarece nu se poate scădea un număr mai mare dintr-un număr mai mic (nu știm cum, dacă nu se introduc numere negative).

Un exemplu de sarcină similară dintr-un manual de clasa a III-a (1-4), autori: I.I. Arginskaya, E.I. Ivanovskaya:

Nr. 224. „Rezolvați inegalitățile folosind soluția ecuațiilor corespunzătoare:

la— 37 < 29, 75 — Cu > 48, A+ 44 < 91.

Verificați-vă soluțiile: înlocuiți în fiecare inegalitate mai multe numere mai mari și mai mici decât rădăcina ecuației corespunzătoare.

Alcătuiește-ți propriile inegalități cu numere necunoscute, rezolvă-le și verifică soluțiile găsite.

Sugerați-vă continuarea sarcinii.

Trebuie remarcat faptul că o serie de tehnologii și programe de formare, sporind componenta logică și depășind semnificativ cerințele standard pentru conținutul educației matematice în clasele primare, introduc următoarele concepte:

Ø valoare variabila, valoare variabila;

Ø conceptul de „enunţ” (enunţurile adevărate şi false se numesc enunţuri (M3P)), „enunţuri adevărate şi false”;

Ø luați în considerare sisteme de ecuații (I.I. Arginskaya, E.I. Ivanovskaya).

7.3. Studierea ecuațiilor într-un curs de matematică

școală primară

Se numește o egalitate care conține o variabilă ecuaţie. A rezolva o ecuație înseamnă a găsi o astfel de valoare a unei variabile (un număr necunoscut) la care ecuația este convertită într-o egalitate numerică adevărată. Valoarea variabilei la care ecuația este convertită într-o egalitate adevărată se numește rădăcina ecuației.

În unele sisteme educaționale („Școala Rusiei” și „Armonia”) nu este prevăzută introducerea conceptului de „variabilă”. În ele, ecuația este tratată ca o egalitate care conține un număr necunoscut. Și mai departe, a rezolva ecuația înseamnă a găsi un astfel de număr, la înlocuirea lui, în loc de necunoscut, se obține egalitatea corectă. Acest număr se numește valoarea necunoscutului sau soluția ecuației. Astfel, termenul de „soluție a unei ecuații” este folosit în două sensuri: ca număr (rădăcină), la înlocuirea căruia în loc de un număr necunoscut, ecuația se transformă într-o egalitate adevărată și ca proces de rezolvare a ecuației în sine.

Majoritatea programelor și sistemelor de școală elementară iau în considerare două moduri de rezolvare a ecuațiilor.

Prima cale numită metoda de selecție, care reflectă pe deplin acțiunile efectuate de copil atunci când o folosește. Cu această metodă, valoarea unui număr necunoscut este selectată fie dintr-un set arbitrar de numere, fie dintr-un anumit set al acestora. După fiecare alegere de valoare se verifică corectitudinea soluției. Esența verificării rezultă din definiția ecuației și se reduce la efectuarea a patru acțiuni interdependente:

1. În ecuația dată valoarea găsită este înlocuită cu numărul necunoscut.

2. Se calculează valoarea părților din stânga și dreapta ale ecuației (valoarea uneia dintre părți poate fi o expresie elementară, adică un număr).

3. Se compară valoarea părților din stânga și din dreapta ale egalității rezultate.

4. Se face o concluzie despre corectitudinea sau incorectitudinea egalității obținute și, mai departe, dacă numărul găsit este o soluție (rădăcină) a ecuației.

La început, se execută doar prima acțiune, iar restul sunt rostite. Acest algoritm de verificare este salvat pentru fiecare modalitate de rezolvare a ecuației.

O serie de sisteme de instruire ("Școala 2000", sistemul de instruire al lui D.B. Elkonin - V.V. Davydov) pentru rezolvarea ecuații simple folosiți relația dintre parte și întreg.

8 + X=10; 8 și X - părți; 10 este un număr întreg. Pentru a găsi o parte, puteți scădea partea cunoscută din întreg: X= 10 — 8; X= 2.

În aceste sisteme de învățare, chiar și în stadiul rezolvării ecuațiilor prin metoda selecției, conceptul de „rădăcină a ecuației” este introdus în practica vorbirii, iar metoda soluției în sine se numește rezolvarea ecuației folosind „selecția rădăcină”.

A doua cale rezolvarea ecuației se bazează pe relația dintre rezultat și componentele acțiunii. Din această dependență urmează regula pentru găsirea uneia dintre componente. De exemplu, relația dintre valoarea sumei și unul dintre termeni sună astfel: „dacă unul dintre ei este scăzut din valoarea sumei a doi termeni, atunci se va obține un alt termen”. Din această dependență urmează regula de găsire a unuia dintre termeni: „pentru a găsi un termen necunoscut, este necesar să se scadă termenul cunoscut din valoarea sumei”. Când rezolvă ecuația, copiii raționează astfel:

Sarcină: Rezolvați ecuația 8 + X= 11.

În această ecuație, al doilea termen este necunoscut. Știm că pentru a găsi al doilea termen, trebuie să scazi primul termen din valoarea sumei. Deci, este necesar să scadă 8 din 11. Eu notez: X\u003d 11 - 8. Eu calculez, 11 minus 8 este 3, scriu X= 3.

Înregistrarea completă a soluției cu verificare va arăta astfel:

8 + X = 11

X = 11 — 8

X = 3

Metoda de mai sus rezolvă ecuații cu două sau mai multe acțiuni cu și fără paranteze. În acest caz, trebuie să determinați ordinea acțiunilor în expresia compusă și, denumind componentele din expresia compusă în funcție de ultima acțiune, ar trebui să evidențiați necunoscutul, care la rândul său poate fi o expresie pentru adunare, scădere, înmulțire. sau împărțire (exprimată ca sumă, diferență, produs sau coeficient) . Apoi se aplică o regulă pentru a găsi componenta necunoscută, exprimată ca sumă, diferență, produs sau coeficient, având în vedere numele componentelor pentru ultima acțiune din expresia compusă. Efectuând calcule în conformitate cu această regulă, se obține o ecuație simplă (sau din nou una compusă, dacă inițial existau trei sau mai multe semne de acțiune în expresie). Soluția sa se realizează conform algoritmului deja descris mai sus. Luați în considerare următoarea sarcină.

Rezolvați ecuația ( X + 2) : 3 = 8.

În această ecuație, dividendul este necunoscut, exprimat ca sumă de numere Xşi 2. (După regulile ordinii operaţiilor din expresie, operaţia de împărţire se execută ultima).

Pentru a găsi dividendul necunoscut, puteți înmulți câtul cu divizorul: X+ 2 = 8 × 3

Calculăm valoarea expresiei din dreapta semnului egal, obținem: X+ 2 = 24.

Intrarea completă arată astfel: ( X+ 2) : 3 = 8

X+ 2 = 8 × 3

X+ 2 = 24

X = 24 — 2

Verificați: (22 + 2) : 3 = 8

În sistemul educațional „Școala 2000...” datorită utilizării pe scară largă a algoritmilor și a tipurilor acestora, se oferă un algoritm (diagrama bloc) pentru rezolvarea unor astfel de ecuații (vezi diagrama 3).

A doua modalitate de rezolvare a ecuațiilor este destul de greoaie, mai ales pentru ecuațiile compuse, unde regula relației dintre componente și rezultatul acțiunii se aplică în mod repetat. În acest sens, mulți autori de programe („Școala Rusiei”, sistemele „Armonia”) nu includ deloc familiaritatea cu ecuațiile unei structuri complexe în programa școlii primare sau le introduc la sfârșitul clasei a patra.

În aceste sisteme, ele sunt limitate în principal la studiul ecuațiilor de următoarele tipuri:

X+ 2 = 6; 5 + X= 8 - ecuații pentru găsirea termenului necunoscut;

X – 2 = 6; 5 – X= 3 sunt ecuații pentru găsirea minuendului și, respectiv, subtraendului necunoscut;

X× 5 = 20,5 × X= 35 - ecuații pentru aflarea factorului necunoscut;

X: 3 = 8, 6: X= 2 sunt ecuații pentru găsirea dividendului necunoscut și respectiv a divizorului.

X× 3 \u003d 45 - 21; X× (63 - 58) = 20; (58 - 40): X= (2 × 3) - ecuații în care unul sau două numere din ecuație sunt reprezentate printr-o expresie numerică. Modul de rezolvare a acestor ecuații este de a calcula valorile acestor expresii, după care ecuația ia forma uneia dintre ecuațiile simple ale tipurilor de mai sus.

O serie de programe pentru predarea matematicii în clasele primare (sistemul educațional al lui L.V. Zankov și „Școala 2000...”) practică introducerea copiilor în mai multe ecuații complexe, unde regula relației dintre componente și rezultatul acțiunii trebuie aplicată în mod repetat și, adesea, necesită efectuarea de acțiuni pentru a transforma una dintre părțile ecuației pe baza proprietăților acțiunilor matematice. De exemplu, în aceste programe, elevilor din clasa a treia li se oferă următoarele ecuații de rezolvat:

3× X — (20 + X) = 70 sau 2 × X– 8 + 5 × X= 97.

În matematică, există a treia cale rezolvarea ecuațiilor, care se bazează pe teoreme privind echivalența ecuațiilor și consecințele din acestea. De exemplu, una dintre teoremele privind echivalența ecuațiilor într-o formulare simplificată arată astfel: „Dacă ambele părți ale ecuației cu domeniul definiției X adăugați aceeași expresie cu o variabilă, definită pe aceeași mulțime, apoi obținem o nouă ecuație echivalentă cu cea dată.

Din această teoremă rezultă consecințe, care sunt utilizate în rezolvarea ecuațiilor.

Corolarul 1. Dacă se adaugă același număr la ambele părți ale ecuației, atunci obținem o nouă ecuație echivalentă cu cea dată.

Corolarul 2. Dacă în ecuație unul dintre termeni (o expresie numerică sau o expresie cu o variabilă) este transferat dintr-o parte în alta, schimbând semnul termenului în opus, atunci obținem o ecuație echivalentă cu cea dată .

Astfel, procesul de rezolvare a unei ecuații se reduce la înlocuirea unei ecuații date cu altele echivalente, iar această înlocuire (transformare) poate fi realizată doar ținând cont de teoreme privind echivalența ecuațiilor sau de consecințele acestora.

Această metodă de rezolvare a ecuațiilor este universală; copiii sunt introduși în ea în L.V. Zankov și în clasele superioare.

În metodologia de lucru asupra ecuațiilor, un număr mare de sarcini creative:

alegerea ecuațiilor în funcție de un atribut dat dintr-un număr de cele propuse;

· să compare ecuații și metode ale soluțiilor acestora;

· să întocmească ecuaţii pentru numere date;

· să modifice în ecuația unuia dintre numerele cunoscute astfel încât valoarea variabilei să devină mai mare (mai mică) decât valoarea găsită inițial;

selectarea unui număr cunoscut într-o ecuație;

elaborarea de algoritmi de rezolvare pe baza de diagrame bloc pentru rezolvarea ecuatiilor sau fara ele;

întocmirea ecuaţiilor după textele de probleme.

De remarcat că în manualele moderne există tendința de a introduce material la nivel conceptual. De exemplu, fiecăruia dintre conceptele de mai sus i se oferă o definiție detaliată care reflectă caracteristicile sale esențiale. Cu toate acestea, nu toate definițiile întâlnite îndeplinesc cerințele principiului științific. De exemplu, conceptul de „expresie” dintr-unul din manualele de matematică pentru clasele elementare este interpretat astfel: „O notație matematică din operații aritmetice care nu conține semne mai mari decât, mai mici sau egale cu se numește expresie” (educațional sistemul „Școala 2000”). Rețineți că în acest caz definiția este incorectă, deoarece descrie ceea ce nu este în înregistrare, dar nu se știe ce este acolo. Aceasta este o inexactitate destul de tipică care este permisă în definiție.

Rețineți că definițiile conceptelor nu sunt date imediat, de exemplu. nu în timpul cunoașterii inițiale, ci într-un timp întârziat, după ce copiii s-au familiarizat cu notația matematică corespunzătoare și au învățat să opereze cu ea. Definițiile sunt date cel mai adesea sub formă implicită, descriptiv.

Pentru trimitere: În matematică se găsesc ca explicite și implicite definiții ale conceptelor. Printre explicit definițiile sunt cele mai comune definiții prin genul cel mai apropiat și diferența specifică. (O ecuație este o egalitate care conține o variabilă.). Definiții implicite poate fi împărțit în două tipuri: contextual şi ostensiv. În definițiile contextuale, conținutul unui nou concept este relevat printr-un pasaj de text, printr-o analiză a unei situații specifice.

De exemplu: 3+ X= 9. X este un număr necunoscut de găsit.

Definițiile ostensive sunt folosite pentru a introduce termeni prin demonstrarea obiectelor pe care acești termeni le denotă. Prin urmare, aceste definiții sunt numite și definiții prin afișare. De exemplu, în acest fel conceptele de egalitate și inegalitate sunt definite în clasele elementare.

2 + 7 > 2 + 6 9 + 3 = 12

78 — 9 < 78 6 × 4 = 4 × 6

inegalități de egalitate

7.4. Ordinea acțiunilor în expresii

Observațiile noastre și analiza muncii elevilor arată că studiul acestei linii de conținut este însoțit de următoarele tipuri de greșeli ale elevilor:

Nu se poate aplica corect regula ordinii operațiunilor;

· Selectați incorect numerele pentru a efectua acțiunea.

De exemplu, în expresia 62 + 30: (18 - 3) efectuați acțiuni în următoarea ordine:

62 + 30 = 92 sau cam asa ceva: 18 - 3 = 15

18 — 3 = 15 30: 15 = 2

30: 15 = 2 62 + 30 = 92

Pe baza datelor despre greșeli comune care apar la școlari, se pot distinge două acțiuni principale care ar trebui formate în procesul de studiere a acestei linii de conținut:

1) o acțiune de determinare a ordinii în care sunt efectuate operațiile aritmetice în termeni numerici;

2) acțiunea de a selecta numere pentru a calcula valorile operațiilor matematice intermediare.

În cursul matematicii claselor elementare, în mod tradițional, regulile pentru ordinea acțiunilor sunt formulate în următoarea formă.

Regula 1. În expresiile fără paranteze, care conțin doar adunare și scădere sau înmulțire și împărțire, operațiile se efectuează în ordinea în care sunt scrise: de la stânga la dreapta.

Regula 2În expresiile fără paranteze, înmulțirea sau împărțirea se efectuează în ordine de la stânga la dreapta, iar apoi adunarea sau scăderea.

Regula 3. În expresiile cu paranteze, valoarea expresiilor din paranteze este evaluată mai întâi. Apoi, în ordine de la stânga la dreapta, se efectuează înmulțirea sau împărțirea, apoi adunarea sau scăderea.

Fiecare dintre aceste reguli se concentrează pe un anumit tip de expresii:

1) expresii fără paranteze, care conțin doar acțiuni dintr-o etapă;

2) expresii fără paranteze care conțin acțiunile primului și celui de-al doilea pas;

3) expresii cu paranteze care conțin acțiuni din prima și a doua etapă.

Cu această logică de introducere a regulilor și succesiunea studiului lor, acțiunile de mai sus vor consta în următoarele operații, a căror stăpânire asigură asimilarea acestui material:

§ recunoaște structura expresiei și numește tipul căruia îi aparține;

§ corelati aceasta expresie cu regula care trebuie respectata la calcularea valorii acesteia;

§ sa stabileasca procedura actiunilor in conformitate cu regula;

§ selectați corect numerele pentru a efectua următoarea acțiune;

§ efectua calcule.

Aceste reguli sunt introduse în clasa a treia ca o generalizare pentru determinarea ordinii acțiunilor în expresiile diferitelor structuri. Trebuie remarcat faptul că, înainte de a se familiariza cu aceste reguli, copiii s-au întâlnit deja cu expresii cu paranteze. În clasa I și a II-a, atunci când studiază proprietățile operațiilor aritmetice (proprietatea asociativă a adunării, proprietatea distributivă a înmulțirii și împărțirii), ei sunt capabili să calculeze valorile expresiilor care conțin acțiuni dintr-o etapă, adică. sunt familiarizați cu regula numărul 1. Întrucât sunt introduse trei reguli care reflectă ordinea acțiunilor în expresii de trei tipuri, este necesar, în primul rând, să-i învățăm pe copii să distingă diferite expresii în ceea ce privește semnele că fiecare regulă este focalizată. pe.

În sistemul educațional „Armonia» Rolul principal în studiul acestei teme îl joacă un sistem de exerciții selectate corespunzător, prin implementarea cărora copiii învață modul general de determinare a ordinii acțiunilor în expresiile diferitelor structuri. De menționat că autorul programului de matematică în acest sistem construiește foarte logic o metodologie de introducere a regulilor pentru ordinea acțiunilor, oferă în mod constant copiilor exerciții pentru a exersa operațiile care fac parte din acțiunile de mai sus. Cele mai frecvente sarcini sunt:

ü să compare expresii și apoi să identifice semne de asemănare și de diferență în ele (semnul de asemănare reflectă tipul de expresie, în ceea ce privește orientarea acesteia față de regulă);

ü privind clasificarea expresiilor după un atribut dat;

ü alegerea expresiilor cu caracteristici date;

ü să construiască expresii după o regulă (condiție) dată;

ü asupra aplicării regulii în diverse modele de expresii (simbolice, schematice, grafice);

ü să întocmească un plan sau o organigramă a procedurii de realizare a acțiunilor;

ü la setarea parantezelor într-o expresie cu o valoare dată;

ü să determine ordinea acțiunilor în expresie când se calculează valoarea acesteia.

LA sisteme „Școala 2000...”și « scoala elementara secolul XXI" se propune o abordare ușor diferită a studierii ordinii acțiunilor în expresiile compuse. Această abordare se concentrează pe înțelegerea de către elevi a structurii expresiei. Cea mai importantă acțiune educațională în acest caz este selectarea mai multor părți într-o expresie compusă (ruperea expresiei în părți). În procesul de calcul al valorilor expresiilor compuse, elevii folosesc reguli de lucru:

1. Dacă expresia conține paranteze, atunci este împărțită în părți, astfel încât o parte să fie conectată cu cealaltă prin acțiunile primei etape (semnele plus și minus) care nu sunt cuprinse între paranteze, se găsește valoarea fiecărei părți , iar apoi acțiunile primei etape efectuate în ordine de la stânga la dreapta.

2. Dacă expresia nu conține acțiuni ale primei etape care nu sunt cuprinse între paranteze, dar există operații de înmulțire și împărțire care nu sunt cuprinse între paranteze, atunci expresia este împărțită în părți, concentrându-se pe aceste semne.

Aceste reguli vă permit să calculați valorile expresiilor care conțin un număr mare de operații aritmetice.

Luați în considerare un exemplu.

Cu semnele plus și minus neîncadrate între paranteze, împărțim expresia în părți: de la început până la primul semn (minus) neînchis între paranteze, apoi de la acest semn la următorul (plus) și de la semnul plus până la sfârșit. .

3 40 - 20 (60 - 55) + 81: (36: 4)

Au fost trei părți:

1 parte - 3 40

Partea 2 - 20 (60 - 55)

și 3 partea 81: (36:4).

Aflați valoarea fiecărei părți:

1) 3 40 = 120 2) 60 — 55 = 5 3) 36: 4 = 9 4) 120 -100 = 20

20 5 = 100 81: 9 = 9 20 + 9 = 29

Răspuns: valoarea expresiei este 29.

Scopul seminariilor de-a lungul acestei linii de conținut

· articole de rezumat și recenzie (manuale) cu conținut didactic, pedagogic și psihologic;

alcătuiește un fișier card pentru raport, pentru a studia o anumită temă;

· efectuarea analizei logice și didactice a manualelor școlare, a seturilor educaționale, precum și a analizei implementării unei anumite idei matematice, rând în manuale;

selectați sarcini pentru predarea conceptelor, fundamentarea enunțurilor matematice, formarea unei reguli sau construirea unui algoritm.

Sarcini pentru auto-studiu

Tema lecției. Caracteristicile conceptelor de „expresie”, „egalitate”, „inegalitate”, „ecuație” și metodologia de studiu a acestora în diverse metodologii

Drepturi de autor JSC „Biroul central de proiectare „BIBCOM” & LLC „Serviciul de carte de agenție” Ministerul Educației și Științei din Federația Rusă Instituție de stat de învățământ superior învăţământul profesional„Institutul Pedagogic de Stat Solikamsk” Departamentul de Matematică și Fizică V. I. Kuzminova ELEMENTE DE ALGEBRĂ LA CURSUL DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVII ȘCOALA PRIMARĂ Ajutor didactic Institutul Pedagogic de Stat Solikamsk 2011 74.202.42 K 89 Recenzători: Yu Yu. Catedra de Matematică și Fizică, Candidat la Științe Pedagogice, Conferențiar al SSPI L. G. Shestakova. Introducere ................................................ . .....................................4 Din istoria algebrei... .... ............................................. ..... ...............5 Caracteristici generale ale metodologiei de studiu al materialului algebric ......................... ..... ..................................8 Expresii numerice ........ .......................................................... ..................... ...9 K 89 Kuzminova, V. I. Elemente de algebră în cursul matematicii claselor elementare [Text]: material didactic / V. I. Kuzminova ; GOU VPO „Institutul Pedagogic de Stat Solikamsk”. - Solikamsk: SGPI, 2011. - 48 p. - 100 de exemplare. Egalități și inegalități numerice.................................................. .22 Transformări de identitate ale expresiilor numerice....28 Expresii literale........................................... ........... ..........................30 Ecuații la cursul inițial de matematică ..... ......................... ........35 Manualul este destinat studenților de licență care studiază în direcția 050700 - „Pedagogie” , profil 050707 - " Educatie primara". Manualul are ca scop aprofundarea și generalizarea cunoștințelor metodologice ale studenților cu privire la una dintre problemele metodologiei private - studiul materialului algebric în cursul de matematică, precum și sistematizarea tipurilor de sarcini care trebuie utilizate în proces. a stăpânirii elementelor de algebră de către copii. Învățarea elevilor mai tineri să rezolve probleme folosind metoda algebrică.................................................. .......................... ..................42 Inegalități cu o variabilă . ............................................................. ..........44 Predarea elevilor din clasele elementare la algebra ........45 Referințe... ..................... ............................ ...................47 UDC 37 LBC 74.202.42 Recomandat pentru publicare de către RISO SGPI. Proces-verbal nr. 17 din 10.12.2010 Kuzminova V. I., 2011 Institutul Pedagogic de Stat Solikamsk, 2011 3 Drepturi de autor OJSC Biroul Central de Proiectare BIBCOM & LLC Serviciul de carte de agenție Introducere Acest ajutor didactic este destinat studenților de licență care studiază în direcția 050700 – „Pedagogie”, profil 050707 – „Învățămînt primar”. Este recomandat atât pentru departamentele cu normă întreagă, cât și pentru cele cu fracțiune de normă. Manualul este dedicat studiului uneia dintre problemele disciplinei " Baza teoreticași tehnologii ale educației matematice elementare” – o metodologie de studiere a elementelor de algebră din cursul elementar de matematică. Manualul conține un scurt informatii istorice despre originea algebrei ca știință, dezvăluită Dispoziții generale legate de studiul materialului algebric în școala elementară. Manualul descrie metodologia de predare a elevilor mai tineri asupra anumitor aspecte (expresii numerice, egalități și inegalități numerice, expresii literale, ecuații și inegalități cu o variabilă), evidențiază tipurile de sarcini care trebuie utilizate atunci când clarifică ideile despre conceptele de bază ale algebră. Compensând lipsa de literatură educațională la disciplina „Fundamente teoretice și tehnologii ale educației matematice primare”, tutorial aprofundează și generalizează cunoștințele elevilor, permițând formarea abordării corecte a studiului elementelor de algebră și capacitatea de a lucra independent cu literatura educațională și metodologică. Din istoria algebrei Orice absolvent liceu Când a fost întrebat ce a fost învățat la lecțiile de algebră, probabil va spune: „Rezolvați ecuații și probleme folosind ecuații”. Oamenii de știință moderni aderă la același punct de vedere asupra conținutului algebrei. Matematicienii francezi Alexander Grothendieck (născut în 1928) și Jean Diedone (născut în 1906) scriu în articolul lor „Elemente de topologie algebrică”: Diophantus și până în prezent rămâne unul dintre obiectivele sale principale. Obiectivele algebrei au rămas neschimbate de mii de ani - au fost rezolvate ecuații: mai întâi liniare, apoi pătrate, apoi cubice, iar mai târziu ecuații de grade și mai mari. Dar forma în care au fost descrise rezultatele algebrice s-a schimbat dincolo de recunoaștere. Vechii egipteni și-au exprimat cunoștințele despre algebră în formă numerică. În papirusurile care au ajuns până la noi se rezolvă probleme de conținut practic: se calculează suprafețele de teren, volumele de vase, cantitatea de cereale etc. Toate sarcinile cu date numerice specifice, dar în unele dintre ele interesul teoretic este deja în alunecare. De exemplu, o sarcină din papirusul Cahuna (circa XVIII - XVI î.Hr.): „Găsiți două numere x și y, pentru 3 dintre care x2 + y2 = 100 și x ÷ y = 1 ÷” (în notație modernă). 4 În papirusuri, se rezolvă prin metoda „Poziție falsă”. Și anume 3 dacă punem x=1, atunci y = și x 2 + y 2 =(5)2. Dar conform condiției 4 4 5 x2 + y2 = 102, prin urmare, în loc de 1, ar trebui să luăm 10 ca x: = 8, 4 apoi y = 6. Progrese semnificative în dezvoltarea algebrei au fost realizate în Babilonul Antic. Acolo au fost rezolvate ecuații de primul, al doilea și chiar ecuații individuale de gradul al treilea. Metodele de rezolvare a unor ecuații specifice dau motive de a crede că babilonienii cunoșteau și regulile generale pentru găsirea ecuațiilor de gradul I și II. 4 5 Copyright JSC „Biroul Central de Proiectare „BIBCOM” & LLC „Serviciul Agenție Book-Service” Toate sarcinile și soluțiile lor au fost prezentate în formă verbală. Într-una dintre tăblițele cuneiforme, există o astfel de problemă: „Am scăzut din zonă latura pătratului meu, acesta este 870”. Este ușor de ghicit că vorbim despre ecuația pătratică x2 - x = 870. Dar aceste realizări nu pot fi numite încă știință, deoarece nu exista o teorie generală. Algebra a luat o formă complet diferită în Grecia antică. De la criza provocată de descoperirea segmentelor incomensurabile, la grecii antici, toată matematica a căpătat o formă geometrică. Matematicienii greci antici nu lucrau cu numere, ci cu segmente. Orice afirmații și dovezi aveau dreptul de a exista numai dacă erau date în limbaj geometric. De exemplu, relația pe care o scriem sub forma formulei (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, în Elementele lui Euclid se formează astfel: „Dacă segmentul AB este împărțit de punctul C în două segmente, atunci pătratul construit pe AB este egal cu două pătrate pe segmentele AC și CB împreună cu un dreptunghi dublat pe AC și CB. Aceasta este urmată de o dovadă îndelungată a acestui fapt în limbaj geometric. Abordarea geometrică a matematicii a reflectat probabil anumite trăsături ale vieții spirituale a grecilor antici. Grecii au creat sculpturi de neegalat, temple uimitor de perfecte și alte structuri arhitecturale, ale căror proporții sunt strict verificate matematic. Această dorință de frumos, armonie, proporționalitate, a contribuit la geometrizarea matematicii. Calea geometrică a fost o descoperire strălucitoare a matematicienilor antici, dar a împiedicat dezvoltarea algebrei. Metodele algebrice, ale căror germeni au apărut în civilizațiile anterioare, nu au fost dezvoltate în Grecia Antică. Separarea algebrei într-o ramură independentă a matematicii a avut loc în țările arabe, unde, după prăbușirea Imperiului Roman, centrul de activitate științifică. Până la sfârșitul secolului al VIII-lea ca urmare a trupelor agresive, arabii au cucerit aproape toate țările din Marea Mediterană, iar în Est posesiunile lor s-au extins până în India. Mulți califi arabi au încurajat dezvoltarea științelor pentru a le consolida puterea și gloria. În Bagdad, capitala califatului, se creează noi condiții pentru munca oamenilor de știință. Aici s-au deschis multe biblioteci, a fost construită Casa Înțelepciunii și a fost dotat cu ea un observator excelent. Matematicienii arabi în frunte studiază cu sârguință lucrările autorilor greci antici și realizările oamenilor de știință indieni. Un om de știință uzbec remarcabil din prima jumătate a secolului al IX-lea a lucrat în Casa Înțelepciunii. Al-Khwarizmi. Numele său complet este Mohammed ibn Mussa al-Khwarizmi al-Majusi, ceea ce înseamnă Mohammed fiul lui Muse din Khorezm din clanurile magicienilor. S-au păstrat lucrările sale despre aritmetică, astronomie, geografie, calcule calendaristice. Cel mai semnificativ este tratatul său de algebră. Aici a dezvoltat mai întâi regulile pentru transformarea ecuațiilor. Tratatul a fost numit Cartea scurtă despre completare și opoziție. În secolul al XII-lea. opera lui al-Khwarizmi a fost tradusă în limba latină iar multă vreme a rămas în Europa principalul ghid al algebrei. Numele arab pentru operația de finalizare este „al-jabr” și a dat numele ariei de matematică asociată cu arta rezolvării ecuațiilor. După al-Khwarizmi, mulți oameni de știință arabi își dedică lucrările rezolvării ecuațiilor. În secolul al XI-lea. a descris celebrul matematician Omar Khayyam soluție geometrică ecuații de gradul trei. Angajat în ecuații cubice și al-Biruni. În secolul XV. a lucrat remarcabilul matematician și astronom al-Kashi. A studiat ecuațiile de gradul al patrulea. Arabii erau interesați și de valoarea numerică a rădăcinilor. După rezolvarea cu succes a ecuațiilor de gradul 3 și 4, matematicienii au încercat să găsească formule pentru rezolvarea ecuațiilor de grade superioare. Ferrari a rezolvat ecuații de gradul 4. Erendrid Walter von Tschirngauz (1651 - 1708), Samuel Bring (1736 - 1798) au căutat soluții pentru ecuațiile de gradul cinci. Problema rezolvării ecuațiilor de gradul al cincilea în anii 30 ai secolului al XVIII-lea. studiat de cel mai mare matematician al acestui secol, Leonhard Euler. Mai târziu, un alt matematician remarcabil al secolului al XVIII-lea a continuat cercetările în această direcție. Joseph Louis Lagrange. Prin cercetările sale, teoria ecuațiilor algebrice a fost pusă pe drumul cel bun: tot ce se știa până atunci a fost obținut dintr-o poziție unificată, dificultățile au fost identificate clar. O mare contribuție la istoria rezolvării ecuațiilor algebrice a avut-o Niels Henrik Abel (născut 1802 - 1829), Evarist Galois (născut 1811 - 1833), ale cărui vieți au fost întrerupte la o vârstă fragedă. Dar munca lor nu a fost în zadar. Acești tineri străluciți au construit bazele algebrei moderne. 6 7 Copyright OJSC „Central Design Bureau „BIBCOM” & LLC „Agency Book-Service” Caracteristici generale ale metodologiei de studiere a materialului algebric Expresii numerice Introducerea elementelor de algebră în cursul inițial de matematică permite încă de la începutul pregătirii să desfășoară activități sistematice care vizează dezvoltarea unor concepte matematice atât de importante la copii, cum ar fi o expresie algebrică (expresie numerică, expresie literală), egalitate (egalitate numerică, ecuație), inegalitate (inegalitate numerică, inegalitate cu o variabilă). Familiarizarea cu litera și utilizarea ei ca simbol care denotă un număr abstract din zona numerelor cunoscute copiilor creează condițiile pentru generalizarea multor probleme ale teoriei aritmetice luate în considerare la cursul inițial, este o bună pregătire pentru familiarizare. copiii în viitor cu conceptele de „variabilă”, „funcție”, contribuie la dezvoltarea gândirii funcționale la copii. Propedeutica algebrică permite continuitatea predării materialului algebric între școala elementară și gimnaziu (5 - 7 celule), pregătește pentru asimilarea materialului unui curs sistematic de algebră la nivelurile medii (7 - 9 celule) și superioare. Organizarea procesului de asimilare a materialului algebric de către elevi se bazează pe următoarele prevederi: - conceptele algebrice sunt introduse în cursul de matematică din școala elementară în strânsă legătură cu studiul materialului aritmetic și se dezvoltă în funcție de conținutul acestuia; - includerea materialului algebric în cursul inițial de matematică ar trebui, în primul rând, să contribuie la formarea gândirii abstracte la școlari și, prin urmare, să crească nivelul de asimilare a întrebărilor aritmetice de către aceștia. Expresiile numerice (aritmetice) intră în sistemul de predare a matematicii destul de devreme, de îndată ce elevii mai tineri încep să se familiarizeze cu numerele ca modalități de a numi numere specifice bine definite. În același timp, copiii fac pași spre stăpânirea simbolurilor matematice și a limbajului matematic. În același timp, notând un număr într-o anumită succesiune de cifre, copilul începe să se familiarizeze cu un număr abstract. Operațiile aritmetice pot fi efectuate pe astfel de numere abstracte, indiferent de natura numărului. Considerând numerele ca un sistem de semne, trebuie amintit că operațiunile asupra acestora se supun unor reguli precis formulate. În acest sistem se construiesc expresii numerice, ele sunt formate din semne numerice (nume de numere) și semne ale operațiilor aritmetice. Fiecare număr este o expresie numerică. Dacă două expresii numerice sunt conectate cu un semn de acțiune, atunci înregistrarea rezultată este și o expresie numerică. Elevii mai tineri se familiarizează cu termenii „suma”, „diferență”, „produs”, „privat”. Numele operațiilor aritmetice, componentele lor (adunare, scădere, înmulțire, împărțire, sumand, scădere, redusă, dividende) sunt introduse în dicționarul elevilor. Pe lângă terminologie, ei trebuie să învețe și câteva elemente de simbolism matematic, în special, semnele de acțiune (plus, minus). Această lucrare este efectuată în studiul semnificației operațiilor aritmetice. În plus, este util să rezumați materialul. În acest scop, este necesar să se distribuie „constructorul aritmetic” copiilor. Este un set de numere, semne ale operațiilor aritmetice, litere, semne ale relațiilor matematice\u003e,<, =. Детям предлагается рассмотреть содержимое «конструктора» и распределить на группы детали. Далее учащиеся рассказывают, что они знают о каждой группе объектов. Затем детям предлагается из чисел и знаков арифметических 8 9 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» действий «сконструировать» математические объекты 5 + 4; 9 ⋅ 2 + +3 – 1 ⋅ 7 + 12: 4 (каждый придумывает и записывает их в тетрадь), по 8 – 10 таких выражений. Затем преподаватель учит выделять род (записи) и вид (состоящие из чисел, соединенных знаками арифметических действий) и предлагает сформулировать определение понятия «числовое выражение». После этого нужно научить распознавать такие выражения среди различных объектов, тем самым школьники учатся выделять главное, существенное и формулировать определение данного понятия. Затем предлагается снова рассмотреть все полученные выражения и распределить их на группы по определенному признаку. Варианты: выражения соединены одним знаком 8 – 3 и более, чем одним (25 ⋅ 3 – 12). Удобно в данном случае одну группу выражений назвать простыми, а другую сложными (составными). При этом дети обобщают, углубляют знания о простых числовых выражениях. Так как математика описывает не непосредственно наблюдаемые предметы, явления, а абстрактные понятия, связанные с практикой, то переход от непосредственной практики к математическому описанию некоторой ситуации затруднен. Чтобы такой подход осуществить, нужно уметь выделить в рассматриваемой ситуации существенные с некоторой точки зрения характеристики, остающиеся неизменными во всех одинаковых ситуациях, отбросить все то, что несущественно, и перевести на математический язык. Рассмотрим вариант закрепления представлений о простых числовых выражениях на примере углубления знаний о понятии «сумма». I. Рассматривается задача: «У Коли 5 марок, ему подарили ещё 2 марки». Выделяются несущественные признаки данной реальной ситуации. Что неважно, несущественно в этом описании? (Какие марки у детей, какова стоимость этих марок, где хранятся, откуда взялись эти марки?) А что важно, существенно в данном описании? (Сколько марок стало у Коли?) Важна количественная характеристика. Дети выполняют предметные действия. Выложить слева столько квадратов, сколько марок у Коли, справа столько квадратов, сколько марок ему подарили. Что сделали с марками – подарили. Показать на предметах: + придвинуть объекты справа. Больше или меньше стало марок? (Больше). Далее детям предложить построить графическую модель, а затем перейти к математическому описанию 10 5 + 2. Аналогично рассматриваются ещё 3 – 4 подобные ситуации. В аквариуме было 5 рыбок, туда пометили ещё 2-х рыбок. В альбоме по рисованию у Вити 5 рисунков о войне, он нарисовал ещё 2 рисунка. В вазе лежало 5 груш, ещё положили 2 груши. Таня вымыла 5 тарелок, а потом ещё 2. Дети закрепляют умение выделять существенное, отбрасывать несущественное на данный момент, выполнять предметные действия, от них переходить сначала к графическому, а затем к математическому описанию. Далее учитель предлагает выделить сходство и отличие данных ситуаций. Что общего, чем отличаются? 5+2 карточка появляется на доске. II. Теперь предлагается рассмотреть другой вид реальной ситуации. В букете 3 василька и 5 ромашек. Что несущественно? (Где рвали цветы, каких они размеров, где находится букет и т.д.) Что существенно, важно? (Общая численность. Сколько всего цветов.) Дети выполняют предметные действия. Учитель предлагает слева выложить столько квадратов, сколько васильков в букете, справа столько кругов, сколько ромашек в букете, а затем объединить объекты. Задается вопрос: больше или меньше теперь объектов? (Больше). Далее дети под руководством учителя от предметных действий переходят сначала к графическому, а затем к математическому описанию. 3 + 5. 11 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Аналогично рассматриваются 3 – 4 подобные ситуации. * В пенале 3 карандаша и 5 ручек. * В вазе 3 яблока и 5 груш. * На столе стоят 3 кружки и 5 стаканов. * На полке 3 альбома и 5 книг. Затем учитель предлагает выделить отличия и сходства ситуаций 3 + 5 , карточки выставляются на доске. III . Предлагается рассмотреть еще такой вид ситуаций. В нашем доме 6 этажей, а в другом на 3 этажа больше. Что несущественно? (Где находятся дома, что в них расположено и т.д.). Что существенно? (Последовательное приписывание к элементам одного множества элементов другого множества). (Множества упорядочены). Дети снова выполняют предметные действия. Учитель предлагает выложить в верхний ряд столько кругов, сколько этажей в одном доме, а в нижний на 3 круга больше. Сколько объектов стало во 2 ряду? (Больше). Дети от предметных действий переходят сначала к графическому, а затем к математическому описанию. 6 + 3. Аналогично рассматриваются 3- 4 ситуации Для постройки башни Аня взяла 6 кубиков, а Алёна на 3 больше. Длина одного ужа 1 метр, а другого на 2 больше. Высота березы 6 метров, а сосны на 3 метра больше. Учитель предлагает сравнить ситуации и выяснить, чем они отличаются, а чем похожи. На доске появляется карточка 6 + 3 . (Больше на – это столько, сколько. . . да ещё). IV. Предлагается такой жизненный сюжет. Катя нарисовала 7 флажков, а Саша на 2 флажка больше. Что неважно, несущественно? (На какой бумаге рисуют дети, какого они размера и т.д.). А что важно? (Продвижение по натуральному ряду на столько шагов вправо от первого числа, каково второе число). 12 7 и 2 характеризуют место в последовательности, на котором остановились действия по рисованию флажков, причем Саша продвинулся на 2 флажка больше. . Дети выполняют действия с предметами, затем строят графическую модель, а затем математическую модель. На доске появляется карточка 7 + 2 . Аналогично рассматриваются ещё несколько подобных ситуаций. Таня вымыла 7 кружек, а Лена на 2 кружки больше. Миша сорвал 7 орехов, а Антон на 2 ореха больше. Вера сорвала с грядки 7 ягод клубники, а Катя на 2 ягодки больше. Эти ситуации сравниваются детьми. Они выделяют отличие, а затем сходство. Уточняют, что это математическое описание подобных ситуаций. Далее учитель предлагает рассмотреть все записи на карточках, которые появились на доске. Дети учатся видеть отличие и сходство. (Это числовые выражения. Числа соединены одним знаком арифметического действия +, следовательно, это просто числовые выражения). Дети вспоминают, что такие выражения называются суммой чисел. Используются словарные карточки, выделяются компоненты. сумма 1е слагаемое 2е слагаемое Учатся читать выражения по-разному: *к прибавить *к увеличить на *к; ; плюс; 13 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» * сумма чисел и; * первое слагаемое, второе слагаемое Условия данного факта представляют для младших школьников определенную трудность. (Найдите сумму чисел 9 и 1, запишите сумму чисел 9 и 1). В результате такого целенаправленного обобщения учащиеся усваивают смысл понятия «числовое выражение», «простое числовое выражение», «сумма». Затем через комплекс специального подобранных заданий закрепляются представления о сумме: * запишите сумму чисел и; * чему равна сумма чисел и; Здесь 3+2 яблок. и 5+1 конфет. 2+3= ; 14 + * Какие два числа из круга в сумме дают 12? 14 3 = 9; Какие два числа из круга в сумме дают 19? Какие два числа из круга в сумме дают 14? Какие два числа из круга в сумме дают 10? * Машина делает «числовые сардельки»: 5+3 1+7 2+6 . Машина сломалась, числа выходят в неправильном порядке, их надо переставить и разложить «по сарделькам»: 1 4 5 2 3 6 ... 4 7 . * Найти для каждой пары суммы равную пару из овала: * Заполни окошки = 19; 6 * 1 . Здесь Какие два числа из круга в сумме дают 12? Какие два числа из круга в сумме дают 10? Какие два числа из круга в сумме дают 5? . Учитель обращает внимание на двоякий смысл термина «сумма»: сумма – это результат действия сложения; сумма – это само выражение. * сравните суммы чисел * + 6 = 8. 1+6 5 + 3 5+5 4+5 1 + 2 6+7 7+5 7 + 8 6+7 2+2 8+6 Понятие «разность», «произведение», «частное» могут быть закреплены по аналогии с закреплением понятия «сумма». Далее учащиеся знакомятся с числовыми выражениями, содержащими два и более арифметических действия при усвоении вычислительных приёмов: ± 2, ± 3, ± 1. Они решают примеры вида 3 + 1 + 1; 6 – 1 – 1; 2 + 2 + 2 и др., вычисляя, например, значение первого выражения, ученик поясняет: «К трём прибавить один, получится четыре, к четырем прибавить один, получится пять». Тем самым дети постепенно готовятся к выводу правила о порядке действий в выражениях, 15 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» содержащих действия одной ступени (позже действия разных ступеней и со скобками). Процесс обобщения знаний о сложных числовых выражениях и о правилах выполнения действий над ними осуществляется позже (II, III, IV кл.). При этом работу рекомендуется организовать поэтапно. I этап. Детям предлагается «сконструировать» сначала простые числовые выражения и закрепить знания о них, а затем сложные числовые выражения, например: 3 + 4 – 2; 19 – 13 + 12 – 6 + 8. Учащиеся записывают подобные выражения в тетради. Затем детям даются описания ряда жизненных ситуаций: они по конкретному описанию строят математическую модель, записывая её в тетради. Например: * В альбоме было 12 марок. Туда положили 3 марки, затем достали 4 марки, потом еще 2, затем еще 3 марки. Опять положили 5 марок, еще 3 марки, снова достали 6 марок, положили 1 марку и потом еще 4 марки: 12 + 3 – 4 – 2 – 3 + 5 + 3 – 6 + 1 + 4 . * В вазе лежало 8 конфет. Дети съели сначала 2, а потом 3 конфеты. В вазу добавили 5 конфет, затем 2 и 4. Снова съели сначала 1 конфету, а потом 2 конфеты. Опять добавили 1 конфету, а затем съели 8 конфет: 8–2–3+5+2+4–3–1–2+1–8 . Дети сравнивают записи, выделяют отличия, сходство. Делают вывод, что такие числовые выражения являются сложными, что они содержат только действия сложения и вычитания (т.е. действия одной ступени). Надо определить значения выражения. Когда дети учатся описывать ситуации на математическом языке, они видят и понимают, что действия надо выполнять в той последовательности, в которой они происходили. Для более прочного осознания данного факта можно научить детей строить графическую модель выражений. Например, дано выражение 8 – 4 + 1 – 3 = 2 . 16 Построить график или по данному графику восстановить числовое выражение После выполнения подобных заданий младшие школьники формулируют правило: «Если числовое выражение содержит только действия сложения или вычитания, то действия выполняются в том порядке, в котором они записаны слева направо». В данном случае происходит не механическое заучивание правила, а его осознанное восприятие. С целью закрепления порядка действий в подобных случаях предложить задания. * Расставьте порядок действий: + – – + – – – + . * Найдите ошибку: 1 + 3 + 2 – 5 – 4 + . Расставьте порядок действий, впишите числа и определите значение выражения. 17 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» II этап. Далее дети практически овладевают другими правилами порядка выполнения действий в выражениях, содержащих скобки. Школьники по заданию учителя записывают в тетради числовые выражения, описывающее определенную жизненную ситуации, например: В вазу положили 3 яблока и 4 груши, затем два фрукта взяли. 3+4 3–2 – 2 Как показать, что сначала положили фрукты? (Обвести овалом). Дети, рассуждая, какие фрукты могли быть взяты, получают и такие записи: + 4 или 3–1 4–1 + или 3 + 4–2 . Дети вспоминают, что в этом случае математики договорились пользоваться скобками. (3 + 4) – 2 Сначала фрукты положили. (3 – 2) + 4 Сначала взяли 2 яблока. (3 – 1) + (4 – 1) Взяли по 1 яблоку и 1 груше. 3 + (4 – 2) Взяли 2 груши. Дети подходят к осознанию того факта, что действия в скобках выполняются прежде всего. Предлагаются задания. Расставьте порядок действий: + ()+ – – Найдите ошибку: (1 + 2)+ + (+ (3 +). – Составьте граф данного выражения)–(+)– По данному графу восстановить выражение Данные задания способствуют осознанию детьми нового правила и последующей грамотной формулировке ими этого правила. III этап. Далее обобщаются знания учащихся о правиле порядка выполнения действий в выражениях, не имеющих скобок, и содержат действия умножения и деления. Работу можно организовать так. Детям предложить записать в тетрадь готовые числовые выражения и дать указание «Найдите лишнее выражение»: 18: 2 × 4: 6 × 5 × 2: 10; 44 × 2: 4 × 3; 95: 5 × 2 × 2; 98 – 4 + 5 – 9. Затем предлагается рассмотреть оставшиеся записи. Выяснить, чем они отличаются, а чем похожи. Эти числовые выражения содержат только действия умножения и деления. После выполнения заданий вида «Расставьте порядок действий, постройте графическое выражение» и др. дети формулируют правило (аналогично 1 правилу). Уточняются задания о действиях умножения и деления – «сильные» действия – это действия I ступени. Сложение и вычитание – «слабые» действия – это действия II ступени. IV этап. Обобщая знания о правилах выполнения действий в выражениях, не имеющих скобок и содержащих действия разных ступеней, работу можно организовать по-разному, например, так. 18 19 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Можно предложить детям выписать значения выражения 40–10:2. Ответы могут получиться разные: у одних значения выражения окажется равным 15, у других 35. Мнения анализируются, после выполнения нескольких подобных задания дети формулируют новое правило, которое через решение специальным образом подобранных упражнений осознанно усваивается учащимися. * Поставьте вместо звездочек знаки действия так, чтобы равенства были верными: 38 * 3 * 7 38 * 2 * 5 = 24 38 * 3 * 7 = 42 38 * 3 * 7 = 48 12 * 6 * 2 = 4 12 * 6 * 2 = 70 12 * 6 * 2 = 24 12 * 6 * 2 = 9 12 * 6 * 2 = 0 * Из заданных пар выражений выпишите только те, в которых вычисления выполнены по правилам порядка действий: 60 – 20: 4 = 10 4 × 3 + 20: 5 = 16 60 – 20: 4 = 55 4 × 3 + 20: 5 = 28. Порядок выполнения действий в числовых выражениях +, – *, : Действия 2 ступени Действия 1 ступени +, – Сначала действия 1 ступени потом действия 2 ступени *, : (), + , – , *, : Сначала действия в () затем действия 1 ступени потом действия 2 ступени V этап. На данном этапе ведется работа по обобщению знаний учащихся о порядке действий в выражениях, содержащих скобки и арифметические действия разных ступеней: сложение, вычитание, умножение, деление. Детям предложить записать в тетрадь следующие числовые выражения: (18 + 2) : 5 + 4 × 8 – 6 × 2 + 35 – 80: 20 99 + 48: 6: 2 – (45 + 15) : 10 + (12 – 6) и найти их значения. После обсуждения мнений о правилах поиска значения выражений под руководством учителя дети формулируют правило выполнения порядка арифметических действий в подобных числовых выражениях. Затем вместе с детьми можно составить схему-опору. 20 важные сильные 21 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Числовые равенства и неравенства - практике обучения в начальных классах числовые выражения В с самого начала рассматриваются в неразрывной связи с числовыми равенствами и неравенствами. В математике числовые равенства и неравенства делятся на истинные и ложные. В начальной школе вместо этих терминов можно употреблять слова «верные», «неверные». Процесс обобщения знаний о числовых равенствах и неравенствах можно организовать по-разному, например, так. Дети имеют глубокое представление о числовых выражениях, о порядке выполнения действий, поэтому можно предложить написать разные числовые выражения и, выбирая по 2, соединять их знаками отношений < ; > ; =: 18 – 6 = 34 + 2 9–5>3+7 13 – 7 + 2 < 14 + 8. Сравнивая значения левой и правой частей данных записей, дети убеждаются в том, что числовые равенства и неравенства могут быть верными и неверными (в пассивный словарь детей вводятся термины «истинные», «ложные»). Дети учатся выделять существенные признаки подобных записей. Два числовых выражения, соединенные знаком равенства, образуют числовое равенство, а знаками неравенства – числовые неравенства. – Наличие 2-х числовых выражений. – Наличие в записи знака равенства или неравенства. Далее дети учатся по этим признакам распознавать их среди различных объектов. Затем дети должны осознать тот факт, что не всегда между двумя выражениями можно установить отношение равенства или неравенства. Для этого предложить учащимся найти значение ряда числовых выражений: 7 – 35; 48: 9; 64 – 118; 21: 5. Подвести детей к выводу, что не существует натурального числа, являющегося значением каждого из них. На множестве натуральных чисел выражения не имеют смысла. 4:(8 – 8) 9: 0 44: 0. Такие выражения тоже не имеют смысла на любом числовом множестве. Дети запоминают тот факт, что на нуль делить нельзя. 22 После закрепления данных заданий ученики смогут сделать вывод, что отношение равенства устанавливается между двумя числовыми выражениями, имеющими смысл. Два числовых выражения равны тогда и только тогда, когда их числовые значения совпадают. Программа по математике для начальной школы ставит перед учащимися задачу уметь сравнивать числовые выражения и записывать результат сравнения с помощью знаков. Школьники осуществляют сравнение двух выражений либо с опорой на наглядность, либо без наглядности, на основе использования теоретических знаний с применением элементов дедуктивных рассуждений. Предлагаемые задания помогут учащимся постепенно овладеть приемом сравнения. Это позволит им в дальнейшем самостоятельно применять его для использования изученного в новых условиях. Обучение сравнению числовых выражений с последующим обобщением знаний можно осуществить поэтапно. Для этого нужно уточнить тот факт, что каждое число есть числовое выражение. I этап. Сравнение чисел в натуральной последовательности. Его цель – показать учащимся возможность использования свойств натурального ряда для их сравнения. * Учащимся предлагается последовательность чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 . . . Для каждого числа назовите предыдущее и последующие числа. Для любого числа можно назвать предыдущее число? Последующее число? Выберите любое число последовательности. Сравните его с предыдущим числом, последующим числом. Сформулируйте правило. Запишите результат сравнения с помощью знаков: 2 * 3 4 * 5 10 * 9 1 * 2. * Дана последовательность «сказочных» чисел: . 23 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» II этап. Сравните числа и выражения: Сравните и, и, и * Даны два соседних числа: A < B K >M M > N. Care este numele numărului B pentru numărul A? Numărul A pentru numărul B? (La fel și pentru alte cupluri). * Poate fi 1 în același timp<2и1>2 > și< . * Закончите предложения так, чтобы они выражали верную мысль: «Если к числу прибавить 1, то оно станет. . .» «Если из числа вычесть 1, то оно станет. . . » а) больше; б) меньше; в) последующим; г) предыдущим; д) следующим. * Сравните числа в каждой тройке: 1, 2, 3 0, 7, 8 8, 9, 10. Запишите результат сравнения по образцу 2, 3, 4 2<3 2<3<4 2<4 3 < 4. * Дана тройка последовательных чисел: , Как называется число Число для числа А, B, C α, β, γ. для числа? ? Сравните числа в каждой тройке. Запишите результат сравнения с помощью знаков. Восстановите предложение: « . . ., то оно станет больше»; « . . . , то оно станет меньше»; « . . . , то оно не изменится». Не находя значения суммы, сравните: 3+0*3 2*2=0 4+4*1 5+1*5 6*6+2 6+3*6 Сравните: 3+5*5 4+1*1 2 + 7 * 7. Сравните, где возможно: +1* 24 3 * 3 + 2. ε + 0 * ε. 25 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» –1* –2* α+2* +2 . III этап. Сравнение числовых выражений (сложных). Сравните, не вычисляя: 3824: 4 * 4268: 4 3624: 2 * 3624: 3 85 – 18 * 85 – 15 24 + 36 * 24 + 6 25 × 147 * 31 × 154. Далее рекомендуется провести математические исследования по «открытию» некоторых свойств числовых равенств и неравенств: a = b(u) a > b(u) a + c = b + c(u) a + c > b + c (u) a × c = b × c (u) a × c > b × c(u) a: c = b: c (u) c ≠ 0 a: c > b: c(u) c ≠ 0. În continuare, sunt dezvoltate carduri - sarcini în care trebuie să efectuați o serie de acțiuni, să prezentați o ipoteză, să trageți o concluzie. Comparați: (321 - 18) × 304 * (452 ​​​​- 15) × 204. Locuitorii insulei Roquefort aveau obiceiul de a executa pe toți străinii. Singurele excepții au fost cei care au făcut față puzzle-urilor lui Stevens - cel mai înțelept locuitor al acestei insule. Rezolvați una dintre ele: Verificați corectitudinea soluției folosind calcule. Astfel, studenții mai tineri își formează o idee conștientă a egalităților și inegalităților numerice, în timp ce se lucrează în continuare la dezvoltarea gândirii logice, abstracte. 26 27 Copyright JSC "TsKB "BIBCOM" & OOO "Agency Kniga-Service" Transformări identice ale expresiilor numerice În primul rând, trebuie să consolidați cunoștințele despre expresia numerică, despre egalitatea numerică. Înregistrarea unei expresii care are sens printr-o altă expresie din aceeași clasă de echivalență, în care ambele expresii sunt conectate printr-un semn egal, se numește transformare de identitate. În continuare, sunt elaborate 2 reguli, permițându-vă să transformați expresii numerice astfel încât fiecare următoare să fie identică cu fiecare dintre cele anterioare: Fiecare expresie poate fi înlocuită cu oricare alta, identic cu ea. Expresia rezultată dintr-o aplicare dată a proprietăților operațiilor aritmetice asupra acesteia este identic egală cu cea dată. Transformările identice fac posibilă obținerea de noi cunoștințe. De exemplu, 6 + 3. Mai întâi, 3 este înlocuit cu suma 2 + 1, apoi 2 este adăugat la 6 și la rezultat se adaugă 1. Acesta poate fi scris ca un lanț de transformări identice, după cum urmează: 6 + 3 = 6 + (2 + 1 ) = (6 + 2) + 1 = 8 + 1 = 9 (Cunoștințe noi, adăugând în părți). Ambele reguli sunt folosite aici. Într-adevăr, mai întâi numărul 3 a fost înlocuit cu o expresie egală cu acesta, apoi a fost aplicată proprietatea de asociativitate a adunării, după care 6 + 2 și 8 + 1 au fost înlocuite cu o expresie egală cu ele. Transformările identice ale expresiilor numerice necesită o anumită ingeniozitate bazată pe analiza unei expresii date, premergătoare transformării în sine, precum și pe cunoașterea proprietăților operațiilor aritmetice. În plus, transformările identice sunt bine motivate și sunt exemple de raționament deductiv corect. Stăpânirea capacității de a efectua transformări identice permite elevilor mai tineri să aplice proprietățile operațiilor aritmetice în practică și, prin urmare, contribuie la înțelegerea și memorarea lor, dezvoltă capacitatea de a-și justifica acțiunile și obișnuiește mintea cu deducție. Stăpânirea acestei abilități este foarte importantă din punctul de vedere al pregătirii studenților mai tineri pentru a studia cursul de algebră la nivelul mediu (și în viitor). Literatura metodologică oferă studenților mai tineri sarcini care vizează stăpânirea transformărilor identice. * Din aceste intrări, selectați-le pe cele care sunt expresii numerice: 2, +, 28: 4, (18 + 15) - (32 × 4), m + n, (29 - 32): 5. * Găsiți valorile ​​din acele expresii, pe care le puteți calcula: 2 + (5 - 4); (3 - 6) + 2; (8 + 12) - (5 - 5); (28:1) - (28 × 1); (135 × 29) : (234 - 234). * Comparați expresiile și găsiți-le valorile: (8 + 6) : 2 + 22: 1 * (8 + 6: 2 + 22) : 11; (((42 - 2) - 4) : 9) - 3 * ((42 - 2) - 4) : (9 - 3). * Folosind transformări identice, găsiți valorile expresiilor: 168: 7 + 4 × 25 - 24; 28.000 + 12.000: 6 × 7 - 24: 8; 60 × 3: 2 × 6 - 81: 9; 630: 70 + (20 - 5) - (13 + 2). * Puneți paranteze în această expresie astfel încât valoarea ei să fie egală cu 0; 40; o sută:. 18 + 21: 3 - 5 × 5. * Faceți expresii egale cu aceasta, astfel încât numărul de acțiuni să crească cu unu, doi, trei: 63: 7 21 × 2 24 - 4. 29 & LLC „Agency Book-Service” Expresii literale În clasele elementare se asigură lucrări pregătitoare pentru a dezvălui semnificația unei variabile în strânsă legătură cu studiul operațiilor de numerotare și aritmetică. Lucrările pregătitoare se desfășoară pe niveluri. Nivelul 1 - familiarizarea cu literele alfabetului latin. Este necesar să le explicăm copiilor că literele mici ale alfabetului latin vor fi folosite în lecțiile de matematică, pentru a învăța cum să scrieți, să citiți litere și să le folosiți pentru a scrie expresii algebrice. Nivelul 2 - rezolvarea problemelor cu datele lipsă. Textele sunt oferite, de exemplu, următoarele: Misha a citit. . . cărți și. . . basme. Câte cărți a citit Misha în total? Alegând numere în loc de puncte, copiii primesc sarcini de același conținut. O sarcină este analizată în detaliu împreună cu profesorul, copiii lucrează cu restul prin analogie. Se pot face multe sarcini. Numerele sunt selectate pe măsură ce studiați. Nivelul 3 – scrierea expresiilor care reflectă anumită situație și efectuarea de calcule. Este recomandabil să depășiți complotul de a vizita o cafenea pentru copii. Copiilor li se oferă meniul cafenelei. Ei află ce se poate cumpăra într-o cafenea și la ce preț. De exemplu: ceai - 6 ruble, o chiflă - 12 ruble, cârnați în aluat - 17 ruble, cafea - 10 ruble etc. Profesorul sugerează să noteze pe scurt conținutul meniului: h - ceai, k - cafea, c - apă (mineral), b - chiflă, d - hamburger etc. Ei învață să scrie o comandă pe scurt și să calculeze costul acesteia. De exemplu: h + b + 2 g (ceai, chiflă, 2 hamburgeri); 2 h + 3 k + 5 s + 2 v. Nivelul 4 – determinarea valorilor expresiei: 3 a + 8 – b cu a = 5, b = 1; 7 y - 3 x: c la y = 2, x = 8, c = 6. În stadiul de familiarizare cu expresiile literale, copiii lucrează cu expresii care conțin „ferestre”: 30 × 2 + 5. Ce înseamnă „fereastră” (un anumit număr); substituind un anumit număr în el, copiii găsesc valoarea expresiei. Apoi sunt analizate înregistrările comenzilor și sunt evidențiate asemănările și diferențele dintre acestea. Să fim de acord (consimțit matematic) în loc de „ferestre”, litere în ordinea folosirii literelor mici ale alfabetului latin a × 2 b + 5: c. Copiii trebuie să realizeze că o literă este un anumit număr. Ei învață cum să facă diverse intrări, cum ar fi 3 × a + b + c + 127; ax + b + 8 - 5; alocați în ele esențiale: 1) înregistrarea; 2) este format din numere și litere legate prin semnul operațiilor aritmetice. Prin aceste semne, copiii învață să recunoască înregistrări similare printre altele. Astfel, studenții mai tineri își fac o idee despre expresia literală. În același timp, trebuie să utilizați o fișă de dicționar: Exprimarea literei Pentru a stăpâni ideile unei expresii a literei pentru elevii mai tineri, puteți utiliza următoarele tipuri de sarcini: Citirea expresiei unei litere: x + y; a+b+c; 3 × a + 2 × b; 7xx-y. Trecerea de la expresii literale la numerice: b + d; b = 15; d=3; 15 + 3, dând litere valori numerice diferite, aflați câte expresii numerice pot fi obținute. Găsirea valorilor numerice ale expresiilor literale pentru valorile date ale literelor: k - c, cu k = 10, c = 2. Selectarea de către copii a valorilor numerice ale literelor incluse în expresie și găsirea valoarea expresiei c x m. 31 Drepturi de autor OJSC „Biroul Central de Proiectări „BIBCOM” & SRL „Serviciul Agenție Carte” Formarea conceptului de „permanent”: 15 8 notați suma 15 + 8 7 8 7+8 6 8 6+8 3 8 3+ 8 a 8 a + 8. Oferă-te să observi expresiile și întreabă ce ai observat? (al doilea termen este același, constant). Transformarea unui tabel cu trei coloane într-un tabel cu două coloane și invers: b m b–m 20 5 20 8 20 11 20 15 m 20 – m 5 8 11 15 Copiii trebuie să înțeleagă că o scrisoare poate lua nu numai diferite, ci și aceleasi valori. Formarea conceptului de „sfera de exprimare” (în formă implicită): d - 25; 13k; m + 13; 16:a; CD. Ce valori poate lua o variabilă (litera)? Folosirea literelor ca mijloc de generalizare a cunoștințelor: - notează proprietățile operațiilor aritmetice cu ajutorul literelor: a+b=b+a a + (b + c) = (a + b) + c; - notează relația dintre componente și rezultatul acțiunii: a + a + a + a + a = 5 × a 8 b = b + b + b + b + b + b + b + b; - citește proprietăți, relații, dependențe scrise cu litere: a> b (a + b) - c a × b = b × a; – efectuează transformări identice pe baza cunoașterii proprietăților operațiilor aritmetice (5 + c) × 4; – dovediți validitatea enunțurilor folosind substituții numerice: c + 12 > 1 + 10 d × 1 = d. 32 În algebră, simbolurile sunt folosite pentru a desemna lucruri. - Există simboluri grafice în viață? (DA). Copiii sunt invitați să ia în considerare o serie de simboluri și să răspundă la ce înseamnă ele: $ & - Gândește-te și desenează semne-simboluri „nu striga”, „profesorii nu au voie”, „numele tău”, „parc de agrement”, „produs este necomestibil”. – Scrieți simboluri pentru fiecare dintre imagini. Îndoiți simbolurile. De exemplu: a + 2a + 4a = 7a b + 5b + 6b = 10a + 3a + 2a = 9p + 20p + 8p = 14p + 20p + p = a + 5a + 16a = 15x + 5x + 16x = q + 7q + 10q + q = 2m + 3m + 2m + 10m = 12a + 10a + a = 15d + 10d + d + 4d = 33 4s + 3s + 7s = t + 2t + t + 5t = 26a + a + 2a + 3a = 15z + 12z + z + z = 20x + 17x + 3x = . Copyright OJSC „Central Design Bureau „BIBCOM” & LLC „Agency Book-Service” 5q + p + 2p + 6q = 3x + 2y + x + 5y = 10a + 2c + a + 3c = h + h + 5h + 2j = 2s + 5s + x + s = 5x + x + t + 8t = 4e + 8c + 5e + c = 12a + d + 9a + d = b + 19k + 8k + 9b = 6p + 2t + 5p + 4t = 10p + 4q + q + 2q = 7t + q + 3q + 3t = 4k + 6y + k + 3y = e + e + t + 9e + t = 10y + x + 21y + y = . Atenție: caracterele diferite nu se adună, nu se scad. Concluzie: utilizarea simbolurilor alfabetice contribuie la creșterea nivelului de cunoștințe dobândite de studenții mai tineri, îi pregătește să studieze un curs sistematic de algebră. Ecuații în matematică elementară O ecuație în matematică elementară este tratată ca o ecuație care conține o literă. A rezolva o ecuație înseamnă a afla la ce valori ale literei ecuația se transformă într-o egalitate adevărată. Unul dintre scopurile introducerii ecuațiilor în cursul inițial de matematică este asigurarea continuității între nivelul inițial și cel secundar. școală gimnazială. Conceptul de „ecuație” este unul dintre conceptele de bază ale matematicii. Există 3 etape în formarea ideilor despre ecuație în școala elementară. Etapa 1 - pregătitoare. În această etapă, se lucrează în două direcții: 1) starea conexiunii dintre componente și rezultatul operațiilor aritmetice: 7 + 8 = 15 34 - 11 = 23 15 - 7 = 8 23 + 11 = 34 15 - 8 = 7 34 - 23 = 11 18×2=36 36:18=2 36:2=18 45:5=9 9×5=45 45:9=5. Este necesar să vă asigurați că copiii învață 8 reguli. (Dacă scădem primul termen din sumă, obținem al doilea termen și așa mai departe). Conștientizarea elevilor cu privire la aceste reguli se realizează în procesul de implementare. exercitii practice , la rezolvarea unor probleme simple, la studierea compoziției unui număr; 2) selecția exercițiilor speciale - înregistrări cu „ferestre”, în procesul de efectuare a cărora elevii mai mici își fac ideea unei egalități numerice variabile, corecte și incorecte. Astfel de sarcini sunt rezolvate prin metoda de selecție. Această metodă formează o abordare conștientă și corectă din punct de vedere matematic pentru rezolvarea ecuațiilor, deoarece elevul se concentrează imediat pe faptul că trebuie să verifice numărul pe care l-a ales, adică. înlocuiți-l și aflați dacă ați obținut egalitatea numerică corectă sau incorectă. 34 35 Copyright OJSC „Biroul Central de Proiectări „BIBCOM” & OOO „Agenția Kniga-Service” + 3 = 12. Astfel, prin înlocuirea numărului 5 în „fereastră”, studentul este convins că aceasta va avea ca rezultat o egalitate numerică incorectă 5 + 3 = 8, iar numărul 9 este egalitatea numerică corectă. În practica predării, se folosesc mai des doar astfel de sarcini, caz în care funcțiile sarcinilor sunt restrânse la fixarea compoziției numerelor, iar metoda substituției își pierde sensul algebric. Prin urmare, este mai bine să formulăm sarcini de genul: „Ce egalitate vom obține dacă introducem numărul 10 în casetă”, sau „Explicați de ce numerele 1, 2, 9, 5 nu pot fi introduse în casetă”, sau „Ce număr ar trebui să fie introdus în casetă pentru a obține egalitatea corectă”. Atunci când alege numere, elevul ar trebui să se gândească la ce număr este indicat să înceapă. Se fac pregătiri pentru a verifica soluția ecuației. La găsirea valorilor expresiilor numerice, elevii pot folosi atât cunoștințele despre compoziția numărului, cât și tehnicile de calcul (numărarea și numărarea în părți). Metoda de selecție formează nu numai o abordare conștientă a rezolvării ecuațiilor, dar oferă și studentului posibilitatea de a exersa în consolidarea abilităților și tehnicilor de calcul. Etapa 2. În această etapă, există o cunoaștere a ecuației și a modalităților de a o rezolva. Introducerea conceptului de „ecuație” se reduce de fapt la înlocuirea „fereastră” cu o literă latină. (În matematică, necunoscutele incluse în ecuație sunt de obicei notate cu litere latine minuscule x, y, z ...): + 5 \u003d 12 - 8 \u003d 20 x + 5 \u003d 12 y - 8 \u003d 20. Este introdus termenul „ecuație”. Copiii învață să evidențieze trăsăturile esențiale ale unui concept dat și să le recunoască printre alte obiecte matematice. \u003d 9 și 6 + z \u003d 9 permite compararea a două tipuri de înregistrări 6 + copiilor să facă față în mod independent căutării unei soluții la ecuație prin metoda de selecție. Trebuie subliniat faptul că această metodă arată clar sensul conceptelor de „ecuație”, „rădăcină (soluție) ecuației”. Pentru a-i ajuta pe copii să-și amintească acești termeni, poți folosi o poezie: 36 Ecuația Când rezolvi o ecuație, prietene, trebuie să-i găsești coloana vertebrală. Semnificația scrisorii este ușor de verificat. Pune-l în ecuație cu grijă. Dacă adevărata egalitate iese cu tine, atunci chemați imediat rădăcina sensului. Să fie necesar să se rezolve ecuația x + 12 507 = 206 734. Rezolvarea ecuației înseamnă găsirea unui astfel de număr, adăugând la care 12 507, obținem 206 734. Puteți vedea că numărul dorit este aproximativ egal cu 200 000. Dar 200 000 + 12 507 = 212 507, care este mai mult de 206 734 cu aproximativ 6 000. Prin urmare, verificăm numărul 194 000, obținem 194 000 + 12 507 = 206 507, care este mai puțin de 230, 406, 7 dacă creștem numărul 194 000. obținem 194.200 + 12.507 = 206.707, care este mai mic decât numărul 206 734 cu 27. Prin urmare, numărul 194227 poate fi luat ca soluție a ecuației. Să verificăm 194 227 + 12 507 = rădăcina lui 206 734. această ecuație este numărul 194 227. Toate raționamentele legate de selectarea unei soluții a ecuației și verificarea acesteia se efectuează oral. Metoda de selecție formează elevilor capacitatea de a „evalua”, „analiza” ecuația scrisă, ceea ce creează condiții favorabile pentru rezolvarea ecuațiilor folosind „reguli”, de exemplu: x + 217 = 576 x = 576 - 217 x = 359 răspuns: x = 359. 359 + 217 = 576 576 = 576 (u) Când rezolvă ecuații, este util pentru copii să folosească lista de verificare „Cum se rezolvă o ecuație”: 1. Citiți ecuațiile în moduri diferite. 2. Numiți ceea ce se știe, ceea ce este necunoscut. 3. Amintiți-vă cum să găsiți această necunoscută. 4. Găsiți acest număr folosind regula corectă. 5. Faceți o verificare. 6. Notează răspunsul. 37 Copyright JSC „Central Design Bureau „BIBCOM” & LLC „Agency Book-Service” Etapa 3. În această etapă, ideile despre ecuație sunt fixe. În ciuda faptului că capacitatea de a rezolva ecuații este importantă în sine, semnificația ecuațiilor este dezvăluită doar atunci când sunt aplicate pentru rezolvarea unor probleme practice, de exemplu. acţionează ca metodă de modelare a unor fragmente specifice de realitate. Scrieți ecuația: șoferul are două recipiente identice de benzină. Ambele sunt incomplete. Unului îi lipsesc 8 litri, celălalt - 4 litri. Pentru a elibera una dintre canistre, șoferul a turnat toată benzina într-o canistra, dar aceasta a rămas incompletă. Ii lipseau 2 litri. Care este capacitatea fiecărui recipient. x–8+x–4+2=x x–4=8–2 x = 10 l. Fiecare canistra are un volum de 10 litri. Numărul necunoscut a fost mărit cu 120, a primit 270. Cu ce ​​este egal numărul necunoscut? Numărul conceput a fost redus cu 30, a primit 180. Ce număr au fost conceputi? Copiii învață să scrie ecuații folosind acest text și apoi îl rezolvă. Este util să le oferi copiilor să rezolve „probleme cu greutăți”. Balanta este echilibrata (balanta este in echilibru). x + x \u003d 10 2x \u003d 10 x \u003d 5 x \u003d 3. 38 x + x + x + x \u003d 12 x × 4 \u003d 12 x \u003d 12: 4 Sarcina se află pe o tigaie cântare, iar greutățile de pe cealaltă tigaie: x + x + x = x + x = 10 3x = 2x + 10 3x - 2x = 2x - 2x + 10 x = 10. 25 + 4x = 5x 4x = 2x + 20. Sarcina se află pe ambele scale. Puteți oferi o serie de sarcini care vizează stăpânirea conceptelor de „ecuație”, „rezolvare a ecuației” și metode de rezolvare a celor mai simple ecuații. Sarcina 1. 1.1. Comparați expresiile: 12 + 0 12 + 2 12 + 5 12 + 8 12 + 20 12 + 28 12 + 100. Aflați valoarea fiecăreia dintre aceste expresii. Aceste expresii pot fi scrise ca 12 + x. Vino cu mai multe expresii care pot fi și scrise. Ce numere l-au înlocuit pe x în expresia 12 + x dacă s-au obținut egalități: 12 + x \u003d 12 + 5 12 + x \u003d 12 + 34 12 + x \u003d 12 + 370. 1.2. Sunt corecte egalitățile: 72: 3 = 6 × 4 72: 3 + 5 = 6 × 4 + 5 72: 3 + x = 6 × 4 + x 72: 3 + 20 = 6 × 4 + 20 72: 3 + 16 = 6 × 4 + 16 72: 3 × 2 = 6 × 4 × 2 39 Copyright OJSC „Central Design Bureau „BIBCOM” & OOO „Agency Kniga-Service” 72: 3 × 5 = 6 × 4 × 5 72: 3 × х = 6 × 4 × x 72: 3 × 10 = 6 × 4 × 10 72: 3 - 4 = 6 × 4 - 4 72: 3 - 20 = 6 × 4 - 20 72: 3 - x = 6 × 4 - x 72: 3 – 12 = 6 × 4 – 12 72: 3: 3 = 6 × 4: 3 72: 3: 12 = 6 × 4: 12 72: 3: x = 6 × 4: x 72: 3: 6 = 6 × 4: 6. Ce numere nu pot fi puse în loc de x în ultimele două egalități din coloana din dreapta? 1.3. Găsiți 5 numere care pot fi puse în loc de x în expresia 8 - x și găsiți valoarea corespunzătoare. Găsiți 5 numere care nu pot fi puse în această expresie în loc de x. Găsiți valorile expresiei 28 - x la x = 0, x = 15, x = 16, x = 18. La ce valoare a lui x este expresia 28 - x = 12? x + 17 = 24? x + 17? Pentru x = 2, x = 6, x = 3, x = 5, x = 10. 3.1. Găsiți valorile expresiei: 25 + 3 - 25 12 + (15 - 12) 102 + 24 - 102 7 + (8 - 7) 78 + 15 - 78 4 + (36 - 4) 16 + 18 - 18 78 + (150 - 78) a + b - a a + (b - a). 3.2. Găsiți valori ale expresiei: 2×3:2 15×(45:15) 17×5:17 12×(36:12) 36×3:36 3×(21:3) 172×4:172 4×28:4 a×b:a a × (b:a). 3.3. Aflați care expresie sunt egale cu aceste expresii: 13 + x - 13 54 + (x - 54) 18 × x: 18 12 × (x: 12) 72 + x - 72 7 + (x - 7). 3.4. Aflați valoarea lui x pentru care sunt adevărate următoarele egalități: x + 2 - 2 = 5 - 2 x × 5: 5 = 30: 5 34 + x - x x + 7 - 7 = 12 - 7 108: x × x 28 + x - X. 3.5. Adăugați un număr la ambele părți ale acestei ecuații pentru a obține x: x - 5 = 7 x - 12 = 3 x - 21 = 5 x - 4 = 16. 3.6. Din ambele părți ale acestor egalități, scădeți un astfel de număr pentru a obține x: x + 5 \u003d 9 x + 17 \u003d 20 x + 43 \u003d 65 x + 14 \u003d 81. 3.7. Împărțiți ambele părți ale ecuației la un astfel de număr pentru a obține o expresie egală cu x: x × 5 = 30 x × 8 = 48 x × 15 = 60. 3.8. Mai scrieți două egalități adevărate dacă aceste egalități sunt adevărate: 12 + 24 = 36 78 + 102 = 180 74 + 330 = 404 a+b=c 17 + x = 20 x + 5 = 12 x + 8 = 28 27 + x = 34. 3.9. Aflați la ce valoare a variabilei x sunt valabile egalitățile, adică. rezolvați ecuațiile scrise de aceste egalități. Rezolvați fiecare ecuație în trei moduri: a) alegeți un număr potrivit; b) notează o egalitate care se realizează concomitent cu datele; c) adunați (scădeți, înmulțiți, împărțiți) la ambele părți ale ecuației același număr: x + 17 = 20 x - 6 = 13 x × 3 = 42 x: 6 = 54. 3.10. Rezolvați ecuația într-un mod care vă place sau este mai simplu: 29 + x = 32 6 + x = 4 12 × x = 36 72: x = 12. 40 41 Sarcina 2. 2.1. Găsiți valoarea acestor expresii pentru valorile specificate ale lui x. Completați tabelul: х 12 + х 15 – х 3×х 120: х 0 2 4 5 2.2. Completați tabelul. Găsiți un număr care înlocuiește x, la care ambele expresii sunt egale: x 22 - x 4 + x 5 6 8 10 2.3. Fără a calcula nimic, găsiți expresii egale și scrieți egalitățile: 54: 6 + 12 = 3 × 3 + 12 (102 - 90) : 2 = 12: 2 (12 + 15) × 3 = (36 - 9) × 3 Drepturi de autor Biroul central de proiectare „BIBCOM” OJSC & „Kniga-Service Agency” LLC Învățarea elevilor să rezolve probleme folosind metoda algebrică Problemele de calcul textuale sunt una dintre cele mai importante componente curs şcolar matematică. Rezolvarea acestor probleme joacă un rol important în dezvoltare generalăşcolarilor, interesaţi de matematică, îi introduce pe elevi în procedura modelării matematice. Rezolvarea unei probleme text constă din trei părți: – traducerea condiției în limbaj matematic (construcția unui model matematic al problemei); – operarea modelului obţinut folosind aparatul matematic şi obţinerea rezultatului în limbajul matematicii; – traducerea rezultatului obţinut în limbaj naturalși interpretarea acesteia. Acești trei pași constituie procedura de modelare matematică. Este necesar să se înarmeze cu capacitatea de modelare matematică deja în școala elementară. Prin urmare, elevii mai tineri trebuie să fie introduși în rezolvarea problemelor pentru compilarea ecuațiilor - metoda algebrică. Constă din următorii pași: 1) introducerea necunoscutului; 2) o expresie în termenii acestei necunoscute a cantităților la care se face referire în problemă; 3) întocmirea unei ecuaţii; 4) înțelegerea rezultatului și formularea unui răspuns. Scopul final al traducerii în soluția algebrică este model matematic sarcini - este o ecuație. Exemplu. Sarcina 1. Gândacii și păianjenii stau pe un copac. Sunt 20 în total și picioare 150. Câți gândaci sunt pe ramură? (Gândacul are 6 picioare, păianjenul are 8). Ecuația: x × 6 + (20 - x). Sarcina 2. Una dintre laturile dreptunghiului este cu 3 cm mai lungă decât cealaltă, iar perimetrul este de 30 cm.Care sunt laturile dreptunghiului? Schema de ecuații: (prima parte + a doua latură) × 2 \u003d 30 cm x cm - prima față; x + 3 cm a doua latură; (x + (x + 3)) × 2 = 30. Problema 3. O cutie conținea de două ori mai multe cuie decât cealaltă. Când s-au luat 30 de cuie din prima cutie și au fost puse 70 de cuie în a doua cutie, atunci numărul de cuie din ambele cutii a devenit egal. Câte cuie erau inițial în fiecare cutie? Schema de ecuații: (a devenit cuie în caseta 1) = (a devenit cuie în caseta a 2-a). x este numărul de cuie din caseta 2 inițial. x × 2 este numărul de cuie din prima casetă. Ecuația: x × 2 - 30 = x + 7 Problema 4. Sunt 83 de elevi în trei clase. Sunt cu 4 elevi mai mulți în clasa I decât în ​​a doua și cu 3 mai puțini decât în ​​a treia. Câți elevi sunt în fiecare clasă? Schema de ecuații: (clasa I) + (clasa a II-a) + (clasa a III-a) = 83 de elevi. x elevi din clasa a II-a. Ecuația: (x + 4) + x + (x + 4 + 3) = 83. Schema ecuației: Picioare de gândac + picioare de păianjen = 150 de picioare. x este numărul de gândaci; (20 - x) - numărul de păianjeni. 42 43 Copyright OJSC „Biroul Central de Proiectare „BIBCOM” & LLC „Agenția Kniga-Service” Inegalitatea cu o variabilă Predarea algebrei elementare elevilor de școală elementară Elevii mai tineri se confruntă cu inegalități cu o variabilă deja în clasa I, unde astfel de inegalități sunt stabilite folosind un „fereastră”, de exemplu, Conținut principal + 5< 8 7+3< 8+1>. Copiii trebuie să pună în „fereastră” astfel de numere pentru ca înregistrarea să fie corectă. În plus, după introducerea literelor, inegalitățile sunt propuse sub această formă: x + 5< 8 7 + 3 < z. В начальной школе неравенства решаются только методом подбора. Задания предлагаются в такой формулировке: – Какие из чисел 15, 180, 251, 6 удовлетворяют неравенству z >83, și care nu-l mulțumesc? De ce? - Care dintre numerele 64, 71, 60, 75, 8, 0 sunt soluții 65 - x > 5? Dovedește-o. – Va rezolva numărul 7 inegalitatea: 17 + x > 40 48: t > 1 a + a< 30 3 + y < 95 56 – n < 39 0: b >cinci? – Există soluții la inegalitatea dintre numerele 7, 9, 15, 30, 82: 8 x b – 8 > 90 d: 3 + 9< 12? – Найти два решения неравенства: r + 5 < 815 53 × m < 100 m – 4 >960 180: y > 20. – Aflați toate soluțiile inegalității: 7 × c< 9 x × 7 < 21 b+b<4 16: d >3 x 5< 1 3 – t >2. - Notează setul de soluții ale inegalității și notează-l pe dreapta numerică. Acest set are cel mai mic element? Lucrarea cu inegalitățile în școala elementară vizează în principal formarea conceptului de „variabilă” și, din punctul de vedere al învățării soluționării inegalităților, are un caracter propedeutic. 44 Linie algebrică în cursul inițial de matematică. Expresii numerice, egalități numerice, inegalități. Expresii cu o variabilă. Ecuații, inegalități cu funcție variabilă. Studierea în clasele elementare a expresiilor matematice (numerice și cu variabile). Studiul egalităților și inegalităților numerice. Învățarea rezolvării ecuațiilor. Propedeutică funcțională în clasele elementare. Cerințe de cunoștințe și abilități ale elevilor pe tema. Elevul trebuie: - să fie fluent în conținut algebric la nivel de liceu; - să cunoască întrebările de natură algebrică cuprinse în cursul inițial de matematică, nivelul de generalizare în dezvăluirea lor, succesiunea pregătirii; - întrebări aritmetice, a căror asimilare este facilitată de familiarizarea cu materialul algebric; - mijloace vizuale utilizate în studiul materialului algebric; - tipuri de exerciţii de natură algebrică; - jocuri didactice, care poate fi folosit în studiul materialului algebric; - tipuri diferite, forme şi metode de verificare a asimilării materialului algebric. Să fie capabil: - să implementeze în practica predării relația dintre materialul aritmetic și elementele de algebră; - Aplicați direct mijloace vizuale adecvate; - folosirea exerciţiilor algebrice în predare; - să folosească intenționat jocuri didactice care contribuie la asimilarea materialului algebric; 45 Copyright JSC „Central Design Bureau „BIBCOM” & LLC „Agency Book-Service” - selectați sarcinile de testare, compuneți lucrări scrise independente cu elemente de algebră; - evidențiază cunoștințele și aptitudinile de bază ale elevilor pe tema; – lucrul cu literatura științifică și populară legată de conținut algebric. Rapoarte: 1. Metodologia de utilizare a istoricului și material de divertisment la studierea elementelor de algebră în școala elementară. 2. Viața și opera lui Al-Khwarizmi. 3. Rolul lui Al-Khwarizmi în dezvoltarea algebrei. 4. Favorite ale zeilor. 5. Formarea gândirii funcționale la elevii mai tineri în predarea matematicii. Referințe 1. Vilenkin, N. Ya. În spatele paginilor unui manual de matematică [Text] / N. Ya. Vilenkin, L. P. Shibasov, Z. F. Shibasova. - M.: Educaţia, 1996. - P. 160 - 164. 2. Glazer, G. I. Istoria matematicii la şcoală: clasele IV - VI: un ghid pentru profesori [Text] / G. I. Glazer. - M .: Educație, 1981. 3. Sirazhdinov, S. Kh. Al - Khorezmi, un matematician și astronom remarcabil al Evului Mediu [Text] / S. Kh. Sirazhdinov, G. P. Matvievskaya. - M.: Educație, 1983. 46 Referințe 1. Bantova, M. A. Metode de predare a matematicii în clasele elementare [Text] / M. A. Bantova, G. V. Belotyukova. – M.: Iluminismul, 1984. – 201 p. 2. Belashistaya, A.V. Predarea matematicii în școala elementară [Text] / A.V. Belashistaya. – M.: Iris Press, 2006. – 168 p. 3. Vilenkin, N. Ya. În spatele paginilor unui manual de matematică: Aritmetică, Algebră, Geometrie [Text] / N. Ya. Vilenkin, L. P. Shibasov, Z. F. Shibasova. – M.: Iluminismul, 1996. – 315 p. 4. Întrebări ale metodologiei generale de predare a matematicii: instrucțiuni[Text] / comp. E. I. Zhilina. - Magnitogorsk. MGPT-uri, 1995. - 56 p. 5. Standardul caritabil de stat al învățământului profesional superior [Text]. - M., 2005. - 33 p. 6. Depman, I. Ya. În spatele paginilor unui manual de matematică [Text] / I. Ya. Depman, N. Ya. Vilenkin. - M.: Iluminismul, 1989. -175 p. 7. Depman, I. Ya. Povești despre algebră veche și nouă [Text] / I. Ya. Depman. - L .: Literatura pentru copii, 1967. - 144 p. 8. Istomina, N. B. Metode de predare a matematicii în școala primară: manual [Text] / N. B. Istomina. – M.: Academia, 2007. – 208 p. 9. Istomina, N. B. Metode de predare a matematicii în școala primară: Întrebări de metodologie privată [Text] / N. B. Istomina. – M.: Iluminismul, 2006. – 125 p. 10. Kolyagin, Yu. M. Metode de predare a matematicii în liceu: metodologie generală [Text] / Yu. M. Kolyagin. – M.: Iluminismul, 1975. – 203 p. 11. Levitas, G. G. Rezolvarea de probleme de text folosind ecuații [Text] / G. G. Levitas // Școala elementară. - 2001. - Nr. 1. - S. 76–79. 12. Meerzon, A. E. Manual de matematică pentru studenții facultăților din școlile elementare [Text] / A. E. Meerzon, A. S. Dobrotvorsky, A. L. Chekin. – M.: Iluminismul, 1988. – 146 p. 13. Smirnova, V. V. Învățarea rezolvării ecuațiilor în clasele elementare [Text] / V. V. Smirnova // Școala elementară plus. - 2003. - Nr. 11 - S. 56–59. 14. Stoilova, L. P. Matematică [Text] / L. P. Stoilova. – M.: Iluminismul, 2008. – 327 p. 15. Shadrina, I. V. Predarea matematicii în clasele elementare: un ghid pentru profesori, părinți, studenți ai universităților pedagogice [Text] / I. V. Shadrina. - M.: Presa școlară, 2003. - 143 p. 47 Copyright SA „Central Design Bureau „BIBCOM” & LLC „Agency Book-Service” Publicație educațională Valentina Ivanovna Kuzminova Elemente de algebră în cursul de matematică pentru elevii din ciclul primar Manual educațional și metodologic Şef. RIO Editor Proofreader Layout Design coperta L. V. Malysheva L. G. Abizyaeva L. V. Kravchenko E. V. Voronina E. V. Voronina Predată tipografiei la 11.03.2011. Semnat pentru publicare la 07.06.2011. Hârtie pentru copiatoare. Format 60x84/16. Literă de tip „Times New Roman”. Presa este digitală. Conv. cuptor foile 2.79. Tiraj 100 de exemplare. Ordinul nr. 270. Tipărit în departamentul editorial și de publicare al Instituției de Învățământ de Stat de Învățământ Profesional Superior „Institutul Pedagogic de Stat Solikamsk” 618547, Rusia, Teritoriul Perm, Solikamsk, st. Nord, 44.