Sunt date principalele proprietăți ale logaritmului natural, graficul, domeniul de definiție, mulțimea de valori, formulele de bază, derivata, integrala, expansiunea într-o serie de puteri și reprezentarea funcției ln x prin intermediul numerelor complexe.

Definiție

logaritmul natural este funcția y = ln x, invers exponentului, x \u003d e y , și care este logaritmul la baza numărului e: ln x = log e x.

Logaritmul natural este utilizat pe scară largă în matematică deoarece derivata sa are cea mai simplă formă: (ln x)′ = 1/ x.

Bazat definiții, baza logaritmului natural este numărul e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graficul funcției y = ln x.

Graficul logaritmului natural (funcțiile y = ln x) se obţine din graficul exponentului prin reflexie în oglindă în jurul dreptei y = x .

Logaritmul natural este definit pentru valorile pozitive ale lui x. Ea crește monoton pe domeniul său de definire.

Ca x → 0 limita logaritmului natural este minus infinitul ( - ∞ ).

Ca x → + ∞, limita logaritmului natural este plus infinitul ( + ∞ ). Pentru x mare, logaritmul crește destul de lent. Orice functie de putere x a cu exponent pozitiv a crește mai repede decât logaritmul.

Proprietățile logaritmului natural

Domeniu de definire, set de valori, extrema, crestere, scadere

Logaritmul natural este o funcție crescătoare monoton, deci nu are extreme. Principalele proprietăți ale logaritmului natural sunt prezentate în tabel.

ln x valori

log 1 = 0

Formule de bază pentru logaritmi naturali

Formule care rezultă din definiția funcției inverse:

Principala proprietate a logaritmilor și consecințele acesteia

Formula de înlocuire a bazei

Orice logaritm poate fi exprimat în termeni de logaritmi naturali folosind formula de schimbare a bazei:

Demonstrațiile acestor formule sunt prezentate în secțiunea „Logaritm”.

Funcție inversă

Reciproca logaritmului natural este exponentul.

Daca atunci

Daca atunci .

Derivată ln x

Derivată a logaritmului natural:
.
Derivată a logaritmului natural al modulo x:
.
Derivată de ordinul al n-lea:
.
Derivarea formulelor > > >

Integral

Integrala se calculează prin integrare pe părți:
.
Asa de,

Expresii în termeni de numere complexe

Considerăm o funcție a unei variabile complexe z:
.
Să exprimăm variabila complexă z prin modul r si argument φ :
.
Folosind proprietățile logaritmului, avem:
.
Sau
.
Argumentul φ nu este definit în mod unic. Dacă punem
, unde n este un număr întreg,
atunci va fi același număr pentru n diferit.

Prin urmare, logaritmul natural, în funcție de o variabilă complexă, nu este o funcție cu o singură valoare.

Extinderea seriei de putere

Pentru , expansiunea are loc:

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.

Ce este un logaritm?

Atenţie!
Există suplimentare
material din Secțiunea Specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Ce este un logaritm? Cum se rezolvă logaritmii? Aceste întrebări îi încurcă pe mulți absolvenți. În mod tradițional, subiectul logaritmilor este considerat complex, de neînțeles și înfricoșător. Mai ales - ecuații cu logaritmi.

Acest lucru nu este absolut adevărat. Absolut! Nu crezi? Bun. Acum, timp de aproximativ 10 - 20 de minute:

1. Înțelegeți ce este un logaritm.

2. Învață să rezolvi o întreagă clasă ecuații exponențiale. Chiar dacă nu ai auzit de ei.

3. Învață să calculezi logaritmi simpli.

Mai mult, pentru aceasta va trebui doar să cunoașteți tabla înmulțirii și cum se ridică un număr la o putere ...

Simt că te îndoiești... Ei bine, ține timpul! Merge!

Mai întâi, rezolvă următoarea ecuație în minte:

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Egalitățile enumerate la conversia expresiilor cu logaritmi sunt utilizate atât de la dreapta la stânga, cât și de la stânga la dreapta.

Este de remarcat faptul că nu este necesar să memorați consecințele proprietăților: atunci când efectuați transformări, vă puteți descurca cu proprietățile de bază ale logaritmilor și ale altor fapte (de exemplu, cele pentru b≥0), din care corespunzătoare urmează consecințele. „Efectul secundar” al acestei abordări este doar că soluția va fi puțin mai lungă. De exemplu, pentru a face fără consecință, care este exprimată prin formula , și pornind doar de la proprietățile de bază ale logaritmilor, va trebui să efectuați un lanț de transformări de următoarea formă: .

Același lucru se poate spune despre ultima proprietate din lista de mai sus, care corespunde formulei , deoarece rezultă și din proprietățile de bază ale logaritmilor. Principalul lucru de înțeles este că este întotdeauna posibil ca gradul unui număr pozitiv cu un logaritm în exponent să schimbe baza gradului și numărul de sub semnul logaritmului. Pentru dreptate, observăm că exemplele care implică implementarea unor transformări de acest fel sunt rare în practică. Vom da mai jos câteva exemple.

Conversia expresiilor numerice cu logaritmi

Ne-am amintit de proprietățile logaritmilor, acum este timpul să învățăm cum să le punem în practică pentru a transforma expresiile. Este firesc să începeți cu transformarea expresiilor numerice, și nu a expresiilor cu variabile, deoarece este mai convenabil și mai ușor să învățați elementele de bază despre ele. Așa că vom face, și vom începe cu o foarte exemple simple pentru a învăța cum să alegem proprietatea dorită a logaritmului, dar vom complica treptat exemplele, până în momentul în care vor trebui aplicate mai multe proprietăți la rând pentru a obține rezultatul final.

Selectarea proprietății dorite a logaritmilor

Nu există atât de puține proprietăți ale logaritmilor și este clar că trebuie să puteți alege cea potrivită dintre ele, ceea ce în acest caz particular va duce la rezultatul dorit. De obicei, acest lucru nu este dificil de realizat comparând forma logaritmului sau expresiei convertite cu tipurile părților din stânga și din dreapta ale formulelor care exprimă proprietățile logaritmilor. Dacă partea stângă sau dreaptă a uneia dintre formule se potrivește cu logaritmul sau expresia dată, atunci cel mai probabil această proprietate ar trebui utilizată în timpul transformării. Următoarele exemple demonstrează clar acest lucru.

Să începem cu exemple de transformare a expresiilor folosind definiția logaritmului, care corespunde formulei a log a b =b , a>0 , a≠1 , b>0 .

Exemplu.

Calculați, dacă este posibil: a) 5 log 5 4 , b) 10 log(1+2 π) , c) , d) 2 log 2 (−7) , e) .

Soluţie.

În exemplu, litera a) arată clar structura a log a b , unde a=5 , b=4 . Aceste numere îndeplinesc condițiile a>0 , a≠1 , b>0 , astfel încât puteți utiliza în siguranță egalitatea a log a b =b . Avem 5 log 5 4=4 .

b) Aici a=10 , b=1+2 π , sunt îndeplinite condițiile a>0 , a≠1 , b>0. În acest caz are loc egalitatea 10 lg(1+2 π) =1+2 π.

c) Și în acest exemplu avem de-a face cu un grad de forma a log a b , unde și b=ln15 . Asa de .

În ciuda faptului că aparține aceleiași forme a log a b (aici a=2 , b=−7 ), expresia de sub litera d) nu poate fi convertită prin formula a log a b =b . Motivul este că nu are sens deoarece conține un număr negativ sub semnul logaritmului. Mai mult, numărul b=−7 nu îndeplinește condiția b>0 , ceea ce face imposibilă recurgerea la formula a log a b =b , întrucât necesită condițiile a>0 , a≠1 , b>0 . Deci, nu putem vorbi despre calcularea valorii 2 log 2 (−7) . În acest caz, scrierea 2 log 2 (−7) = −7 ar fi o eroare.

În mod similar, în exemplul de sub litera e) este imposibil să se ofere o soluție a formei , deoarece expresia originală nu are sens.

Răspuns:

a) 5 log 5 4 =4 , b) 10 log(1+2 π) =1+2 π , c) , d), e) expresiile nu au sens.

Este adesea util să convertiți un număr pozitiv ca putere a unui număr pozitiv non-unu cu un logaritm în exponent. Se bazează pe aceeași definiție a logaritmului a log a b =b , a>0 , a≠1 , b>0 , dar formula se aplică de la dreapta la stânga, adică sub forma b=a log a b . De exemplu, 3=e ln3 sau 5=5 log 5 5 .

Să trecem la utilizarea proprietăților logaritmilor pentru a transforma expresii.

Exemplu.

Aflați valoarea expresiei: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) lg1, g) log 3,75 1, h) log 5 π 7 1 .

Soluţie.

În exemplele de la literele a), b) și c), sunt date expresiile log −2 1 , log 1 1 , log 0 1, care nu au sens, deoarece baza logaritmului nu trebuie să conțină un număr negativ, zero sau unu, deoarece am definit logaritmul doar pentru o bază pozitivă și non-unită. Prin urmare, în exemplele a) - c) nu se poate pune problema găsirii valorii expresiei.

În toate celelalte sarcini, evident, în bazele logaritmilor există numere pozitive și non-unitare 7, e, 10, 3,75 și respectiv 5 π 7, iar unitățile sunt peste tot sub semnele logaritmilor. Și cunoaștem proprietatea logaritmului unității: log a 1=0 pentru orice a>0 , a≠1 . Astfel, valorile expresiilor b) - f) sunt egale cu zero.

Răspuns:

a), b), c) expresiile nu au sens, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) log 3,75 1=0, h) log 5 e 7 1 =0 .

Exemplu.

Calculați: a) , b) lne , c) lg10 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), e) log −3 (−3) , f) log 1 1 .

Soluţie.

Este clar că trebuie să folosim proprietatea logaritmului bazei, care corespunde formulei log a a=1 pentru a>0 , a≠1 . Într-adevăr, în sarcinile sub toate literele, numărul de sub semnul logaritmului coincide cu baza acestuia. Astfel, vreau să spun imediat că valoarea fiecăreia dintre expresiile date este 1 . Cu toate acestea, nu vă grăbiți să trageți concluzii: în sarcinile de la literele a) - d) valorile expresiilor sunt într-adevăr egale cu unu, iar în sarcinile e) și f) expresiile originale nu au sens, deci nu se poate. se spune că valorile acestor expresii sunt egale cu 1.

Răspuns:

a) , b) lne=1 , c) lg10=1 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, e), f) expresiile nu au sens.

Exemplu.

Aflați valoarea: a) log 3 3 11 , b) , c) , d) log −10 (−10) 6 .

Soluţie.

Evident, sub semnele logaritmilor sunt niște grade de bază. Pe baza acestui fapt, înțelegem că proprietatea gradului bazei este utilă aici: log a a p =p, unde a>0, a≠1 și p este orice număr real. Având în vedere acest lucru, avem următoarele rezultate: a) log 3 3 11 =11 , b) , în) . Este posibil să scrieți o egalitate similară pentru exemplul sub litera d) de forma log −10 (−10) 6 =6? Nu, nu poți, pentru că log −10 (−10) 6 nu are sens.

Răspuns:

a) log 3 3 11 =11, b) , în) d) expresia nu are sens.

Exemplu.

Exprimați expresia ca sumă sau diferență de logaritmi din aceeași bază: a) , b) , c) log((−5) (−12)) .

Soluţie.

a) Produsul este sub semnul logaritmului și cunoaștem proprietatea logaritmului produsului log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y> 0 . În cazul nostru, numărul din baza logaritmului și numerele din produs sunt pozitive, adică îndeplinesc condițiile proprietății selectate, prin urmare, o putem aplica în siguranță: .

b) Aici folosim proprietatea logaritmului coeficientului , unde a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 . În cazul nostru, baza logaritmului este un număr pozitiv e, numărătorul și numitorul π sunt pozitive, ceea ce înseamnă că îndeplinesc condițiile proprietății, deci avem dreptul să folosim formula aleasă: .

c) În primul rând, rețineți că expresia lg((−5) (−12)) are sens. Dar, în același timp, nu avem dreptul să aplicăm formula pentru logaritmul produsului log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 , întrucât numerele −5 și −12 sunt negative și nu îndeplinesc condițiile x>0 , y>0 . Adică, este imposibil să efectuați o astfel de transformare: log((−5)(−12))=log(−5)+log(−12). Dar ce să faci? În astfel de cazuri, expresia originală trebuie să fie pre-transformată pentru a evita numerele negative. Vom vorbi în detaliu despre cazuri similare de conversie a expresiilor cu numere negative sub semnul logaritmului într-unul dintre, dar deocamdată vom oferi o soluție acestui exemplu, care este clară în prealabil și fără explicații: lg((−5)(−12))=lg(5 12)=lg5+lg12.

Răspuns:

A) , b) , c) lg((−5) (−12))=lg5+lg12 .

Exemplu.

Simplificați expresia: a) log 3 0,25 + log 3 16 + log 3 0,5, b) .

Soluţie.

Aici ne vor ajuta toate aceleași proprietăți ale logaritmului produsului și ale logaritmului coeficientului pe care le-am folosit în exemplele anterioare, abia acum le vom aplica de la dreapta la stânga. Adică convertim suma logaritmilor în logaritmul produsului, iar diferența logaritmilor în logaritmul coeficientului. Avem
A) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 (0,25 16 0,5)=log 3 2.
b) .

Răspuns:

A) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 2, b) .

Exemplu.

Scăpați de gradul sub semnul logaritmului: a) log 0,7 5 11, b) , c) log 3 (−5) 6 .

Soluţie.

Este ușor de observat că avem de-a face cu expresii precum log a b p . Proprietatea corespunzătoare a logaritmului este log a b p =p log a b , unde a>0 , a≠1 , b>0 , p este orice număr real. Adică în condițiile a>0 , a≠1 , b>0 din logaritmul gradului log a b p putem merge la produsul p·log a b . Să realizăm această transformare cu expresiile date.

a) În acest caz a=0,7 , b=5 și p=11 . Deci log 0,7 5 11 =11 log 0,7 5 .

b) Aici , sunt îndeplinite condițiile a>0 , a≠1 , b>0. De aceea

c) Expresia log 3 (−5) 6 are aceeași structură log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 . Dar pentru b, condiția b>0 nu este îndeplinită, ceea ce face imposibilă aplicarea formulei log a b p =p log a b . Deci, de ce nu poți termina treaba? Este posibil, dar este necesară o transformare prealabilă a expresiei, pe care o vom discuta în detaliu mai jos în paragraful de la rubrica . Soluția va fi așa: log 3 (−5) 6 =log 3 5 6 =6 log 3 5.

Răspuns:

a) log 0,7 5 11 =11 log 0,7 5 ,
b)
c) log 3 (−5) 6 =6 log 3 5 .

Destul de des, formula pentru logaritmul gradului atunci când se efectuează transformări trebuie aplicată de la dreapta la stânga sub forma p log a b \u003d log a b p (acest lucru necesită aceleași condiții pentru a, b și p). De exemplu, 3 ln5=ln5 3 și lg2 log 2 3=log 2 3 lg2 .

Exemplu.

a) Calculați valoarea log 2 5 dacă se știe că lg2≈0,3010 și lg5≈0,6990. b) Scrieți fracția ca logaritm în baza 3.

Soluţie.

a) Formula pentru trecerea la o nouă bază a logaritmului ne permite să reprezentăm acest logaritm ca raport al logaritmilor zecimal, ale căror valori ne sunt cunoscute: . Rămâne doar să facem calculele, avem .

b) Aici este suficient să folosiți formula pentru trecerea la o nouă bază și să o aplicați de la dreapta la stânga, adică sub forma . Primim .

Răspuns:

a) log 2 5≈2,3223, b) .

În această etapă, am luat în considerare destul de scrupulos transformarea celor mai simple expresii folosind proprietățile de bază ale logaritmilor și definiția unui logaritm. În aceste exemple, a trebuit să folosim o proprietate și nimic altceva. Acum, cu conștiința curată, puteți trece la exemple a căror transformare necesită utilizarea mai multor proprietăți ale logaritmilor și alte transformări suplimentare. Ne vom ocupa de ele în paragraful următor. Dar înainte de asta, să ne oprim pe scurt asupra exemplelor de aplicare a consecințelor din proprietățile de bază ale logaritmilor.

Exemplu.

a) Scăpați de rădăcina sub semnul logaritmului. b) Convertiți fracția într-un logaritm de bază 5. c) Scapa de puterile de sub semnul logaritmului si de la baza lui. d) Calculați valoarea expresiei . e) Înlocuiți expresia cu o putere cu baza 3.

Soluţie.

a) Dacă amintim corolarul din proprietatea logaritmului gradului , atunci poți răspunde imediat: .

b) Aici folosim formula de la dreapta la stânga, avem .

c) În acest caz, formula conduce la rezultat . Primim .

d) Și aici este suficient să aplicăm corolarul căruia îi corespunde formula . Asa de .

e) Proprietatea logaritmului ne permite să obținem rezultatul dorit: .

Răspuns:

A) . b) . în) . G) . e) .

Aplicarea constantă a mai multor proprietăți

Sarcinile reale pentru transformarea expresiilor folosind proprietățile logaritmilor sunt de obicei mai complicate decât cele de care ne-am ocupat în paragraful anterior. În ele, de regulă, rezultatul nu se obține într-un singur pas, dar soluția constă deja în aplicarea secvențială a unei proprietăți după alta, împreună cu transformări identice suplimentare, precum deschiderea parantezelor, reducerea termenilor similari, reducerea fracțiilor etc. . Deci haideți să ne apropiem de astfel de exemple. Nu este nimic complicat în acest sens, principalul lucru este să acționați cu atenție și consecvență, respectând ordinea în care sunt efectuate acțiunile.

Exemplu.

Calculați valoarea unei expresii (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5.

Soluţie.

Diferența de logaritmi între paranteze prin proprietatea logaritmului coeficientului poate fi înlocuită cu logaritmul log 3 (15:5) și apoi se calculează valoarea sa log 3 (15:5)=log 3 3=1 . Iar valoarea expresiei 7 log 7 5 după definiția logaritmului este 5 . Înlocuind aceste rezultate în expresia originală, obținem (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.

Iată o soluție fără explicații:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
= log 3 3 5=1 5=5 .

Răspuns:

(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.

Exemplu.

Care este valoarea expresiei numerice log 3 log 2 2 3 −1 ?

Soluţie.

Să transformăm mai întâi logaritmul, care se află sub semnul logaritmului, după formula logaritmului gradului: log 2 2 3 =3. Deci log 3 log 2 2 3 =log 3 3 și apoi log 3 3=1 . Deci log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

Răspuns:

log 3 log 2 2 3 −1=0 .

Exemplu.

Simplificați expresia.

Soluţie.

Formula de conversie la o nouă bază a logaritmului permite ca raportul dintre logaritmi și o bază să fie reprezentat ca log 3 5 . În acest caz, expresia originală va lua forma . Prin definiția logaritmului 3 log 3 5 =5 , adică , iar valoarea expresiei rezultate, în virtutea aceleiași definiții a logaritmului, este egală cu doi.

Aici versiune scurta soluție, care este de obicei dată: .

Răspuns:

.

Pentru o tranziție lină la informațiile din următorul paragraf, să aruncăm o privire la expresiile 5 2+log 5 3 și lg0.01 . Structura lor nu se potrivește cu niciuna dintre proprietățile logaritmilor. Deci, ce se întâmplă dacă nu pot fi convertite folosind proprietățile logaritmilor? Este posibil dacă efectuați transformări preliminare care pregătesc aceste expresii pentru aplicarea proprietăților logaritmilor. Asa de 5 2+log 5 3 =5 2 5 log 5 3 =25 3=75, și lg0,01=lg10 −2 = −2 . Mai departe vom înțelege în detaliu cum se realizează o astfel de pregătire a expresiilor.

Pregătirea expresiilor pentru aplicarea proprietăților logaritmilor

Logaritmii din expresia convertită diferă foarte des în structura notației din părțile din stânga și din dreapta ale formulelor care corespund proprietăților logaritmilor. Dar la fel de des, transformarea acestor expresii implică utilizarea proprietăților logaritmilor: utilizarea lor necesită doar o pregătire preliminară. Și această pregătire constă în efectuarea anumitor transformări identice care aduc logaritmii într-o formă convenabilă pentru aplicarea proprietăților.

Pentru dreptate, observăm că aproape orice transformare a expresiilor poate acționa ca transformări preliminare, de la reducerea banală a termenilor similari la aplicare. formule trigonometrice. Acest lucru este de înțeles, deoarece expresiile convertite pot conține orice obiecte matematice: paranteze, module, fracții, rădăcini, grade etc. Astfel, trebuie să fii pregătit să efectueze orice transformare necesară pentru a beneficia în continuare de proprietățile logaritmilor.

Să spunem imediat că în acest paragraf nu ne propunem sarcina de a clasifica și analiza toate transformările preliminare imaginabile care ne permit să aplicăm proprietățile logaritmilor sau definiția unui logaritm în viitor. Aici ne vom concentra doar pe patru dintre ele, care sunt cele mai caracteristice și cel mai des întâlnite în practică.

Și acum în detaliu despre fiecare dintre ele, după care, în cadrul subiectului nostru, rămâne doar să ne ocupăm de transformarea expresiilor cu variabile sub semnele logaritmilor.

Selectarea puterilor sub semnul logaritmului și în baza acestuia

Să începem imediat cu un exemplu. Să avem un logaritm. Evident, în această formă, structura sa nu este propice utilizării proprietăților logaritmilor. Este posibil să transformăm cumva această expresie pentru a o simplifica, sau chiar mai bine să-i calculăm valoarea? Pentru a răspunde la această întrebare, să aruncăm o privire mai atentă la numerele 81 și 1/9 în contextul exemplului nostru. Este ușor de observat aici că aceste numere pot fi reprezentate ca o putere a lui 3 , într-adevăr, 81=3 4 și 1/9=3 −2 . În acest caz, logaritmul original este prezentat sub formă și devine posibilă aplicarea formulei . Asa de, .

Analiza exemplului analizat dă naștere următoarei idei: dacă este posibil, puteți încerca să evidențiați gradul sub semnul logaritmului și la baza acestuia pentru a aplica proprietatea logaritmului gradului sau consecința acestuia. Rămâne doar să ne dăm seama cum să evidențiem aceste grade. Vom oferi câteva recomandări cu privire la această problemă.

Uneori este destul de evident că numărul de sub semnul logaritmului și/sau din baza lui reprezintă o putere întreagă, ca în exemplul discutat mai sus. Aproape constant ai de-a face cu puteri a lui doi, care sunt bine familiare: 4=2 2 , 8=2 3 , 16=2 4 , 32=2 5 , 64=2 6 , 128=2 7 , 256=2 8 , 512= 2 9 , 1024=2 10 . Același lucru se poate spune despre gradele triplei: 9=3 2 , 27=3 3 , 81=3 4 , 243=3 5 , ... În general, nu strica dacă există tabelul de grade numere naturale în termen de zece. De asemenea, nu este dificil să lucrezi cu puteri întregi de zece, sută, mii etc.

Exemplu.

Calculați valoarea sau simplificați expresia: a) log 6 216 , b) , c) log 0,000001 0,001 .

Soluţie.

a) Evident, 216=6 3 , deci log 6 216=log 6 6 3 =3 .

b) Tabelul puterilor numerelor naturale ne permite să reprezentăm numerele 343 și 1/243 ca puteri ale 7 3 și, respectiv, 3 −4. Prin urmare, următoarea transformare a logaritmului dat este posibilă:

c) Deoarece 0,000001=10 −6 și 0,001=10 −3, atunci log 0,000001 0,001=log 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.

Răspuns:

a) log 6 216=3, b) , c) log 0,000001 0,001=1/2 .

În cazuri mai complexe, pentru a evidenția puterile numerelor, trebuie să apelezi.

Exemplu.

Transformați expresia în mai mult la vedere log 3 648 log 2 3 .

Soluţie.

Să vedem care este descompunerea numărului 648 în factori primi:

Adică 648=2 3 3 4 . În acest fel, log 3 648 log 2 3=log 3 (2 3 3 4) log 2 3.

Acum convertim logaritmul produsului în suma logaritmilor, după care aplicăm proprietățile logaritmului gradului:
log 3 (2 3 3 4) log 2 3=(log 3 2 3 + log 3 3 4) log 2 3=
=(3 log 3 2+4) log 2 3 .

În virtutea corolarului proprietății logaritmului gradului, care corespunde formulei , produsul log32 log23 este produsul și se știe că este egal cu unu. Având în vedere acest lucru, obținem 3 log 3 2 log 2 3+4 log 2 3=3 1+4 log 2 3=3+4 log 2 3.

Răspuns:

log 3 648 log 2 3=3+4 log 2 3.

Destul de des, expresiile sub semnul logaritmului și în baza acestuia sunt produse sau rapoarte ale rădăcinilor și/sau puterilor unor numere, de exemplu, , . Expresii similare pot fi reprezentate ca grad. Pentru a face acest lucru, se realizează tranziția de la rădăcini la grade și se aplică. Aceste transformări vă permit să selectați gradele sub semnul logaritmului și în baza acestuia și apoi să aplicați proprietățile logaritmilor.

Exemplu.

Calculați: a) , b).

Soluţie.

a) Expresia din baza logaritmului este produsul puterilor cu aceleași baze, prin proprietatea corespunzătoare a puterilor pe care o avem 5 2 5 −0,5 5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.

Acum să convertim fracția sub semnul logaritmului: să trecem de la rădăcină la grad, după care vom folosi proprietatea raportului de grade cu aceleași baze: .

Rămâne să înlocuiți rezultatele obținute în expresia originală, utilizați formula și terminați transformarea:

b) Deoarece 729=3 6 , și 1/9=3 −2 , expresia originală poate fi rescrisă ca .

Apoi, aplicați proprietatea rădăcinii exponentului, treceți de la rădăcină la exponent și utilizați proprietatea raportului puterilor pentru a converti baza logaritmului într-o putere: .

Luand in considerare ultimul rezultat, avem .

Răspuns:

A) , b).

Este clar că în cazul general, pentru a obține puteri sub semnul logaritmului și în baza acestuia, pot fi necesare diverse transformări ale diferitelor expresii. Să dăm câteva exemple.

Exemplu.

Care este valoarea expresiei: a) , b) .

Soluţie.

Mai mult, observăm că expresia dată are forma log A B p , unde A=2 , B=x+1 și p=4 . Am transformat expresii numerice de acest fel în funcție de proprietatea logaritmului gradului log a b p \u003d p log a b, prin urmare, cu o expresie dată, vreau să fac același lucru și să merg de la log 2 (x + 1) 4 la 4 log 2 (x + 1) . Și acum să calculăm valoarea expresiei inițiale și a expresiei obținute după transformare, de exemplu, cu x=−2 . Avem log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 , și 4 log 2 (−2+1)=4 log 2 (−1)- expresie lipsită de sens. Acest lucru ridică o întrebare legitimă: „Cu ce ​​am greșit”?

Și motivul este următorul: am efectuat transformarea log 2 (x+1) 4 =4 log 2 (x+1) , pe baza formulei log a b p =p log a b , dar această formulă avem dreptul de a aplica numai în condițiile a>0 , a≠1 , b>0 , p - orice număr real. Adică, transformarea pe care am făcut-o are loc dacă x+1>0 , care este același x>−1 (pentru A și p sunt îndeplinite condițiile). Totuși, în cazul nostru, ODZ a variabilei x pentru expresia originală constă nu numai din intervalul x> −1 , ci și din intervalul x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

Necesitatea de a lua în considerare ODZ

Să continuăm să analizăm transformarea expresiei log 2 (x+1) 4 pe care am ales-o, iar acum să vedem ce se întâmplă cu ODZ la trecerea la expresia 4 log 2 (x+1) . În paragraful anterior, am găsit ODZ a expresiei originale - aceasta este mulțimea (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Acum să găsim aria valorilor acceptabile ale variabilei x pentru expresia 4 log 2 (x+1) . Este determinată de condiția x+1>0 , care corespunde mulțimii (−1, +∞) . Este evident că atunci când treceți de la log 2 (x+1) 4 la 4·log 2 (x+1), intervalul de valori admisibile se îngustează. Și am convenit să evităm reformele care duc la o îngustare a ODZ, deoarece aceasta poate duce la diverse consecințe negative.

Aici merită să rețineți că este util să controlați ODZ la fiecare pas al transformării și să nu îi permiteți să se îngusteze. Și dacă dintr-o dată, la o anumită etapă a transformării, a existat o îngustare a ODZ, atunci merită să ne uităm foarte atent dacă această transformare este permisă și dacă am avut dreptul să o realizăm.

Sincer, spunem că în practică trebuie să lucrăm de obicei cu expresii în care ODZ a variabilelor este de așa natură încât ne permite să folosim proprietățile logaritmilor fără restricții în forma deja cunoscută nouă, atât de la stânga la dreapta, cât și de la de la dreapta la stânga, la efectuarea transformărilor. Te obișnuiești repede cu asta și începi să faci transformările mecanic, fără să te gândești dacă a fost posibil să le realizezi. Și în astfel de momente, după noroc, se strecoară exemple mai complexe, în care aplicarea inexactă a proprietăților logaritmilor duce la erori. Deci, trebuie să fiți mereu în alertă și să vă asigurați că nu există nicio îngustare a ODZ.

Nu strică să evidențiezi separat principalele transformări bazate pe proprietățile logaritmilor, care trebuie efectuate cu mare atenție, ceea ce poate duce la o îngustare a DPV și, ca urmare, la erori:

Unele transformări ale expresiilor în funcție de proprietățile logaritmilor pot duce și la opus - extinderea ODZ. De exemplu, trecerea de la 4 log 2 (x+1) la log 2 (x+1) 4 extinde ODZ de la mulțimea (−1, +∞) la (−∞, −1)∪(−1, +∞ ). Astfel de transformări au loc dacă rămâneți în ODZ pentru expresia originală. Deci transformarea tocmai menționată 4 log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 are loc pe variabila ODZ x pentru expresia originală 4 log 2 (x+1) , adică atunci când x+1> 0 , care este același cu (−1, +∞) .

Acum că am discutat nuanțele cărora trebuie să le acordați atenție atunci când convertiți expresii cu variabile folosind proprietățile logaritmilor, rămâne să ne dăm seama cum ar trebui să fie efectuate corect aceste conversii.

X+2>0. Functioneaza in cazul nostru? Pentru a răspunde la această întrebare, să aruncăm o privire la DPV a variabilei x. Este determinată de sistemul de inegalități , care este echivalentă cu condiția x+2>0 (dacă este necesar, vezi articolul rezolvarea sistemelor de inegalități). Astfel, putem aplica în siguranță proprietatea logaritmului gradului.

Avem
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3 7 log(x+2)−log(x+2)−5 4 log(x+2)=
=21 log(x+2)−log(x+2)−20 log(x+2)=
=(21−1−20)lg(x+2)=0 .

Puteți acționa diferit, deoarece ODZ vă permite să faceți acest lucru, de exemplu astfel:

Răspuns:

3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.

Și ce să faci atunci când condițiile asociate cu proprietățile logaritmilor nu sunt îndeplinite pe ODZ? Ne vom ocupa de asta cu exemple.

Să ni se ceară să simplificăm expresia lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 . Transformarea acestei expresii, spre deosebire de expresia din exemplul precedent, nu permite folosirea liberă a proprietății logaritmului gradului. De ce? ODZ a variabilei x în acest caz este unirea a două intervale x>−2 și x<−2 . При x>−2 putem aplica în siguranță proprietatea logaritmului gradului și procedăm ca în exemplul de mai sus: log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). Dar ODZ conține un alt interval x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2și mai departe, datorită proprietăților de putere ale lui lg|x+2| 4−lg|x+2| 2. Expresia rezultată poate fi transformată în funcție de proprietatea logaritmului gradului, deoarece |x+2|>0 pentru orice valoare a variabilei. Avem log|x+2| 4−lg|x+2| 2 =4 log|x+2|−2 log|x+2|=2 log|x+2|. Acum puteți scăpa de modul, deoarece și-a făcut treaba. Deoarece transformăm la x+2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Să luăm în considerare încă un exemplu pentru a face lucrul cu modulele familiar. Să concepem din expresie treceți la suma și diferența logaritmilor binoamelor liniare x−1 , x−2 și x−3 . Mai întâi găsim ODZ:

Pe intervalul (3, +∞), valorile expresiilor x−1 , x−2 și x−3 sunt pozitive, deci putem aplica în siguranță proprietățile logaritmului sumei și diferenței:

Și pe intervalul (1, 2), valorile expresiei x−1 sunt pozitive, iar valorile expresiilor x−2 și x−3 sunt negative. Prin urmare, pe intervalul luat în considerare, reprezentăm x−2 și x−3 folosind modulo ca −|x−2| și −|x−3| respectiv. în care

Acum putem aplica proprietățile logaritmului produsului și al coeficientului, deoarece pe intervalul considerat (1, 2) valorile expresiilor x−1 , |x−2| și |x−3| - pozitiv.

Avem

Rezultatele obținute pot fi combinate:

În general, un raționament similar permite, pe baza formulelor pentru logaritmul produsului, raportului și gradului, să se obțină trei rezultate practic utile care sunt destul de convenabile de utilizat:

• Logaritmul produsului a două expresii arbitrare X și Y de forma log a (X·Y) poate fi înlocuit cu suma logaritmilor log a |X|+log a |Y| , a>0, a≠1.
• Logaritmul special log a (X:Y) poate fi înlocuit cu diferența logaritmilor log a |X|−log a |Y| , a>0 , a≠1 , X și Y sunt expresii arbitrare.
• De la logaritmul unei expresii B la o putere pare p de forma log a B p, se poate trece la expresia p log a |B| , unde a>0 , a≠1 , p este un număr par și B este o expresie arbitrară.

Rezultate similare sunt date, de exemplu, în instrucțiunile de rezolvare exemplificative și ecuații logaritmiceîn colecția de probleme de matematică pentru solicitanții la universități, editată de M. I. Skanavi.

Exemplu.

Simplificați expresia .

Soluţie.

Ar fi bine să aplici proprietățile logaritmului gradului, sumei și diferenței. Dar o putem face aici? Pentru a răspunde la această întrebare, trebuie să cunoaștem ODZ.

Să o definim:

Este destul de evident că expresiile x+4 , x−2 și (x+4) 13 pe intervalul de valori posibile ale variabilei x pot lua atât valori pozitive, cât și negative. Prin urmare, va trebui să lucrăm prin module.

Proprietățile modulului vă permit să rescrieți ca , deci

De asemenea, nimic nu vă împiedică să utilizați proprietatea logaritmului gradului și apoi să aduceți termeni similari:

O altă secvență de transformări duce la același rezultat:

și deoarece expresia x−2 poate lua atât valori pozitive, cât și negative pe ODZ, atunci când se ia un exponent par 14

Continuăm să studiem logaritmii. În acest articol vom vorbi despre calculul logaritmilor, acest proces se numește logaritm. În primul rând, ne vom ocupa de calculul logaritmilor prin definiție. Apoi, luați în considerare modul în care sunt găsite valorile logaritmilor folosind proprietățile lor. După aceea, ne vom opri asupra calculului logaritmilor prin valorile date inițial ale altor logaritmi. În cele din urmă, să învățăm cum să folosim tabelele de logaritmi. Întreaga teorie este furnizată cu exemple cu soluții detaliate.

Navigare în pagină.

Calcularea logaritmilor prin definiție

În cele mai simple cazuri, este posibil să efectuați rapid și ușor găsirea logaritmului prin definiție. Să aruncăm o privire mai atentă asupra modului în care are loc acest proces.

Esența sa este de a reprezenta numărul b sub forma a c , de unde, după definiția logaritmului, numărul c este valoarea logaritmului. Adică, prin definiție, găsirea logaritmului corespunde următorului lanț de egalități: log a b=log a a c =c .

Deci, calculul logaritmului, prin definiție, se reduce la găsirea unui astfel de număr c care a c \u003d b, iar numărul c însuși este valoarea dorită a logaritmului.

Având în vedere informațiile din paragrafele anterioare, atunci când numărul de sub semnul logaritmului este dat de un anumit grad al bazei logaritmului, atunci puteți indica imediat cu ce este egal logaritmul - este egal cu exponentul. Să arătăm exemple.

Exemplu.

Găsiți log 2 2 −3 și, de asemenea, calculați logaritmul natural al lui e 5.3 .

Soluţie.

Definiția logaritmului ne permite să spunem imediat că log 2 2 −3 = −3 . Într-adevăr, numărul de sub semnul logaritmului este egal cu baza 2 la puterea −3.

În mod similar, găsim al doilea logaritm: lne 5.3 =5.3.

Răspuns:

log 2 2 −3 = −3 și lne 5.3 =5.3 .

Dacă numărul b sub semnul logaritmului nu este dat ca putere a bazei logaritmului, atunci trebuie să luați în considerare cu atenție dacă este posibil să veniți cu o reprezentare a numărului b sub forma a c . Adesea, această reprezentare este destul de evidentă, mai ales când numărul de sub semnul logaritmului este egal cu baza puterii lui 1, sau 2, sau 3, ...

Exemplu.

Calculați logaritmii log 5 25 și .

Soluţie.

Este ușor de observat că 25=5 2 , aceasta vă permite să calculați primul logaritm: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Se trece la calculul celui de-al doilea logaritm. Un număr poate fi reprezentat ca o putere a lui 7: (vezi dacă este necesar). Prin urmare, .

Să rescriem al treilea logaritm în forma următoare. Acum poți vedea asta , de unde tragem concluzia că . Prin urmare, prin definiția logaritmului .

Pe scurt, soluția ar putea fi scrisă după cum urmează:

Răspuns:

log 5 25=2 , și .

Când un număr natural suficient de mare se află sub semnul logaritmului, atunci nu strica să-l descompuneți în factori primi. Adesea ajută să reprezentați un astfel de număr ca o putere a bazei logaritmului și, prin urmare, să calculați acest logaritm prin definiție.

Exemplu.

Aflați valoarea logaritmului.

Soluţie.

Unele proprietăți ale logaritmilor vă permit să specificați imediat valoarea logaritmilor. Aceste proprietăți includ proprietatea logaritmului lui unu și proprietatea logaritmului unui număr egal cu baza: log 1 1=log a a 0 =0 și log a a=log a a 1 =1 . Adică, atunci când numărul 1 sau numărul a se află sub semnul logaritmului, egal cu baza logaritmului, atunci în aceste cazuri logaritmii sunt 0 și, respectiv, 1.

Exemplu.

Care sunt logaritmii și lg10?

Soluţie.

Deoarece , rezultă din definiția logaritmului .

În al doilea exemplu, numărul 10 sub semnul logaritmului coincide cu baza sa, deci logaritmul zecimal de zece este egal cu unu, adică lg10=lg10 1 =1 .

Răspuns:

Și lg10=1.

Rețineți că calcularea logaritmilor prin definiție (pe care am discutat în paragraful anterior) implică utilizarea logaritmului de egalitate a a p =p , care este una dintre proprietățile logaritmilor.

În practică, când numărul de sub semnul logaritmului și baza logaritmului sunt ușor de reprezentat ca putere a unui număr, este foarte convenabil să folosiți formula , care corespunde uneia dintre proprietățile logaritmilor. Luați în considerare un exemplu de găsire a logaritmului, ilustrând utilizarea acestei formule.

Exemplu.

Calculați logaritmul lui .

Soluţie.

Răspuns:

.

Proprietățile logaritmilor nemenționați mai sus sunt și ele folosite în calcul, dar despre asta vom vorbi în paragrafele următoare.

Găsirea logaritmilor în termenii altor logaritmi cunoscuți

Informațiile din acest paragraf continuă subiectul utilizării proprietăților logaritmilor în calculul lor. Dar aici principala diferență este că proprietățile logaritmilor sunt folosite pentru a exprima logaritmul original în termenii unui alt logaritm, a cărui valoare este cunoscută. Să luăm un exemplu pentru clarificare. Să presupunem că știm că log 2 3≈1.584963 , atunci putem găsi, de exemplu, log 2 6 făcând o mică transformare folosind proprietățile logaritmului: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

În exemplul de mai sus, a fost suficient să folosim proprietatea logaritmului produsului. Cu toate acestea, mult mai des trebuie să utilizați un arsenal mai larg de proprietăți ale logaritmilor pentru a calcula logaritmul inițial în ceea ce privește cele date.

Exemplu.

Calculați logaritmul de la 27 la baza 60 dacă se știe că log 60 2=a și log 60 5=b .

Soluţie.

Deci trebuie să găsim log 60 27 . Este ușor de observat că 27=3 3 , iar logaritmul original, datorită proprietății logaritmului gradului, poate fi rescris ca 3·log 60 3 .

Acum să vedem cum log 60 3 poate fi exprimat în termeni de logaritmi cunoscuți. Proprietatea logaritmului unui număr egal cu baza vă permite să scrieți logaritmul de egalitate 60 60=1 . Pe de altă parte, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . În acest fel, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Prin urmare, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

În cele din urmă, calculăm logaritmul original: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Răspuns:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Separat, merită menționat sensul formulei pentru trecerea la o nouă bază a logaritmului formei . Vă permite să treceți de la logaritmi cu orice bază la logaritmi cu o anumită bază, ale căror valori sunt cunoscute sau este posibil să le găsiți. De obicei, de la logaritmul inițial, conform formulei de tranziție, aceștia trec la logaritmi într-una dintre bazele 2, e sau 10, deoarece pentru aceste baze există tabele de logaritmi care le permit să fie calculate cu un anumit grad de precizie. În secțiunea următoare, vom arăta cum se face acest lucru.

Tabele de logaritmi, utilizarea lor

Pentru un calcul aproximativ al valorilor logaritmilor, se poate folosi tabele logaritmice. Cele mai utilizate sunt tabelul cu logaritmi de bază 2, tabelul cu logaritmi naturali și tabelul cu logaritmi zecimal. Când lucrați în sistemul numeric zecimal, este convenabil să utilizați un tabel de logaritmi la baza zece. Cu ajutorul lui, vom învăța să găsim valorile logaritmilor.

Tabelul prezentat permite, cu o precizie de o zecemiime, să se găsească valorile logaritmilor zecimali ale numerelor de la 1.000 la 9.999 (cu trei zecimale). Vom analiza principiul găsirii valorii logaritmului folosind un tabel de logaritmi zecimali folosind un exemplu specific - este mai clar. Să găsim lg1,256 .

În coloana din stânga a tabelului de logaritmi zecimal găsim primele două cifre ale numărului 1,256, adică găsim 1,2 (acest număr este încercuit cu albastru pentru claritate). A treia cifră a numărului 1.256 (numărul 5) se găsește în prima sau ultima linie din stânga liniei duble (acest număr este încercuit cu roșu). A patra cifră a numărului original 1.256 (numărul 6) se găsește în prima sau ultima linie din dreapta liniei duble (acest număr este încercuit cu verde). Acum găsim numerele în celulele tabelului de logaritmi la intersecția rândului marcat cu coloanele marcate (aceste numere sunt evidențiate în portocaliu). Suma numerelor marcate dă valoarea dorită a logaritmului zecimal până la a patra zecimală, adică log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Este posibil, folosind tabelul de mai sus, să găsiți valorile logaritmilor zecimali ale numerelor care au mai mult de trei cifre după virgulă zecimală și să depășească, de asemenea, limitele de la 1 la 9.999? Da, poti. Să arătăm cum se face acest lucru cu un exemplu.

Să calculăm lg102.76332 . Mai întâi trebuie să scrii număr în formă standard: 102,76332=1,0276332 10 2 . După aceea, mantisa ar trebui să fie rotunjită la a treia zecimală, avem 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, în timp ce logaritmul zecimal inițial este aproximativ egal cu logaritmul numărului rezultat, adică luăm lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Acum aplicați proprietățile logaritmului: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. În final, găsim valoarea logaritmului lg1.028 conform tabelului de logaritmi zecimali lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Ca rezultat, întregul proces de calculare a logaritmului arată astfel: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

În concluzie, este de remarcat faptul că folosind tabelul de logaritmi zecimali, puteți calcula valoarea aproximativă a oricărui logaritm. Pentru a face acest lucru, este suficient să utilizați formula de tranziție pentru a merge la logaritmi zecimali, pentru a găsi valorile acestora în tabel și pentru a efectua calculele rămase.

De exemplu, să calculăm log 2 3 . Conform formulei pentru trecerea la o nouă bază a logaritmului, avem . Din tabelul logaritmilor zecimali găsim lg3≈0,4771 și lg2≈0,3010. În acest fel, .

Bibliografie.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi alţii.Algebra şi începuturile analizei: un manual pentru clasele 10-11 ale instituţiilor de învăţământ general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice).

Astăzi vom vorbi despre formule logaritmiceși dați o demonstrație exemple de solutie.

Prin ele însele, ele implică modele de soluție conform proprietăților de bază ale logaritmilor. Înainte de a aplica formulele logaritmice la soluție, reamintim pentru dvs., mai întâi toate proprietățile:

Acum, pe baza acestor formule (proprietăți), arătăm exemple de rezolvare a logaritmilor.

Exemple de rezolvare a logaritmilor pe bază de formule.

Logaritm un număr pozitiv b în baza a (notat log a b) este exponentul la care trebuie ridicat a pentru a obține b, cu b > 0, a > 0 și 1.

Conform definiției log a b = x, care este echivalent cu a x = b, deci log a a x = x.

Logaritmi, exemple:

log 2 8 = 3, deoarece 2 3 = 8

log 7 49 = 2 deoarece 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, deoarece 5 -1 = 1/5

Logaritm zecimal este un logaritm obișnuit, a cărui bază este 10. Notat cu lg.

log 10 100 = 2 deoarece 10 2 = 100

logaritmul natural- și logaritmul obișnuit, dar cu baza e (e \u003d 2,71828 ... - un număr irațional). Denumită ln.

Este de dorit să ne amintim formulele sau proprietățile logaritmilor, deoarece vom avea nevoie de ele mai târziu când rezolvăm logaritmi, ecuații logaritmice și inegalități. Să lucrăm din nou prin fiecare formulă cu exemple.

• Identitatea logaritmică de bază
  un log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Logaritmul coeficientului este egal cu diferența logaritmilor
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Proprietățile gradului unui număr logaritmabil și ale bazei logaritmului

  Exponentul unui număr logaritmic log a b m = mlog a b

  Exponent al bazei logaritmului log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  dacă m = n, obținem log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Trecerea la o nouă fundație
  log a b = log c b / log c a,

  dacă c = b, obținem log b b = 1

  atunci log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

După cum puteți vedea, formulele logaritmice nu sunt atât de complicate pe cât par. Acum, având în vedere exemple de rezolvare a logaritmilor, putem trece la ecuații logaritmice. Vom lua în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor logaritmice mai detaliat în articolul: „”. Nu ratați!

Dacă mai aveți întrebări despre soluție, scrieți-le în comentariile articolului.

Notă: am decis să obțin o educație dintr-o altă clasă de studii în străinătate ca opțiune.