Trimiteți-vă munca bună în baza de cunoștințe este simplu. Utilizați formularul de mai jos

Studenții, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vor fi foarte recunoscători.

Postat pe http://www.allbest.ru

Conţinut
Introducere
1. Modele matematice

1.1 Clasificarea modelelor economice și matematice

2. Modelare de optimizare

2.1 Programare liniară

2.1.1 Programarea liniară ca instrument de modelare matematică a economiei
2.1.2 Exemple de modele de programare liniară
2.2.3 Alocarea optimă a resurselor

Concluzie

Introducere

Matematica modernă se caracterizează printr-o pătrundere intensă în alte științe; acest proces are loc în mare parte datorită împărțirii matematicii într-un număr de domenii independente. Matematica a devenit pentru multe ramuri ale cunoașterii nu doar un instrument de calcul cantitativ, ci și o metodă de cercetare precisă și un mijloc de formulare extrem de clară a conceptelor și problemelor. Fără matematica modernă cu aparatul său logic și de calcul dezvoltat, progresul în diferite domenii nu ar fi posibil. activitate umana. modelarea economică matematică liniară

Economia ca știință despre motivele obiective ale funcționării și dezvoltării societății folosește o varietate de caracteristici cantitative, și prin urmare a încorporat un număr mare de metode matematice.

Relevanța acestui subiect constă în faptul că economia modernă folosește metode de optimizare care stau la baza programării matematice, a teoriei jocurilor, a planificării rețelelor, a teoriei cozilor și a altor științe aplicate.

Studierea aplicațiilor economice ale disciplinelor matematice care stau la baza matematicii economice moderne permite dobândirea unor abilități în rezolvarea problemelor economice și extinderea cunoștințelor în acest domeniu.

Scopul acestei lucrări este studierea unor metode de optimizare utilizate în rezolvarea problemelor economice.

1. Modele matematice

Modele matematice în economie. Utilizarea pe scară largă a modelelor matematice este o direcție importantă pentru îmbunătățirea analizei economice. Specificarea datelor sau prezentarea lor sub forma unui model matematic ajută la alegerea soluției care necesită cel mai puțin forță de muncă și crește eficiența analizei.

Toate problemele economice rezolvate prin programarea liniară se disting prin soluții alternative și anumite condiții limitative. Rezolvarea unei astfel de probleme înseamnă alegerea celei mai bune, optime dintre toate opțiunile (alternative) permise. Importanța și valoarea utilizării metodei de programare liniară în economie constă în faptul că opțiunea optimă este selectată dintr-un număr destul de semnificativ de opțiuni alternative.

Cele mai semnificative puncte la formularea și rezolvarea problemelor economice sub forma unui model matematic sunt:

· adecvarea modelului economic şi matematic al realităţii;

· analiza tiparelor corespunzătoare acestui proces;

· identificarea metodelor prin care problema poate fi rezolvată;

· analiza rezultatelor obţinute sau însumarea.

Analiza economică înseamnă, în primul rând, analiza factorială.

Fie y=f(x i) o funcție care caracterizează modificarea unui indicator sau proces; x 1 ,x 2 ,…,x n - factori de care depinde funcția y=f(x i). Este specificată o relație funcțională deterministă între indicatorul y și un set de factori. Lăsați indicatorul y să se schimbe în perioada analizată. Este necesar să se determine ce parte din incrementul numeric al funcției y=f(x 1 ,x 2 ,…,x n) se datorează incrementului fiecărui factor.

Se poate distinge în analiza economică - analiza influenţei productivităţii muncii şi a numărului de muncitori asupra volumului de produse produse; analiza impactului marjei de profit a principalului active de producțieși standardizate capital de lucru pe nivelul de rentabilitate; analiza impactului fondurilor împrumutate asupra agilității și independenței întreprinderii etc.

În analiza economică, pe lângă sarcinile care se rezumă la defalcarea în părțile sale componente, există un grup de sarcini în care este necesar să se lege funcțional o serie de caracteristici economice, de exemplu. construiți o funcție care să conțină calitatea principală a tuturor indicatorilor economici luați în considerare.

În acest caz, se pune o problemă inversă - așa-numita problemă de analiză factorială inversă.

Să fie un set de indicatori x 1,x 2,…,x n, care caracterizează un proces economic F. Fiecare dintre indicatori caracterizează acest proces. Este necesar să se construiască o funcție f(x i) de modificări în procesul F, care să conțină principalele caracteristici ale tuturor indicatorilor x 1,x 2,…,x n

Punctul principal în analiza economică este determinarea criteriului prin care vor fi comparate diverse opțiuni de soluție.

Modele matematice în management. În toate sferele activității umane, luarea deciziilor joacă un rol important. Pentru a formula o problemă de luare a deciziilor, trebuie îndeplinite două condiții:

· disponibilitate de alegere;

· alegerea unei opțiuni după un anumit principiu.

Există două principii cunoscute pentru alegerea unei soluții: volițional și criterial.

Alegerea voluntară, cea mai des folosită, este folosită în absența modelelor formalizate ca singura posibilă.

Alegerea bazată pe criterii constă în acceptarea unui anumit criteriu și compararea opțiunilor posibile în funcție de acest criteriu Opțiunea pentru care criteriul adoptat ia cea mai bună decizie se numește optimă, iar problema luării celei mai bune decizii se numește problemă de optimizare.

Criteriul de optimizare se numește funcție obiectiv.

Orice problemă a cărei soluție se reduce la găsirea maximului sau minimului funcției obiectiv se numește problemă extremă.

Sarcinile de management sunt asociate cu găsirea extremului condiționat al funcției obiective sub restricții cunoscute impuse variabilelor acesteia.

La rezolvarea diferitelor probleme de optimizare se iau ca functie obiectiv cantitatea sau costul produselor fabricate, costurile de productie, valoarea profitului etc. Limitările se referă de obicei la resursele umane materiale și financiare.

Sarcinile de management de optimizare, diferite ca conținut și implementate folosind produse software standard, corespund uneia sau alteia clase de modele economice și matematice.

Să luăm în considerare clasificarea unor probleme de optimizare de bază implementate de management în producție.

Clasificarea problemelor de optimizare după funcția de control:

Funcția de control	Probleme de optimizare	Clasa de modele economice și matematice
Tehnic și pregătirea organizatorică producție	Modelarea compoziției produsului; Optimizarea compoziției claselor, loturii, amestecurilor; Optimizarea tăierii materialului din tablă, produselor laminate; Optimizarea alocării resurselor în modele de rețea de pachete de lucru; Optimizarea amenajărilor instalațiilor, a instalațiilor de producție și a echipamentelor; Optimizarea rutei de fabricare a produsului; Optimizarea tehnologiilor și modurilor tehnologice.	Teoria grafurilor Programare discretă Programare liniară Planificarea si managementul retelei Modelare prin simulare Programare dinamică Programare neliniară
Planificare tehnică și economică	Construirea unui master plan și prognozarea indicatorilor de dezvoltare a întreprinderii; Optimizarea portofoliului de comenzi si a programului de productie; Optimizarea distribuției programului de producție pe perioadele de planificare.	Modele de echilibrare matrice „Input-output” Corelație- analiza regresiei Extrapolarea tendințelor Programare liniară
Managementul operațional al producției principale	Optimizarea standardelor de calendar și planificare; Sarcini din calendar; Optimizarea planurilor standard; Optimizarea planurilor de productie pe termen scurt.	Programare neliniară Modelare prin simulare Programare liniară Programare cu numere întregi

Tabelul 1.

Combinarea diferitelor elemente de model duce la diferite clase de probleme de optimizare:

Masa 2.

1.1 Clasificarea modelelor economice și matematice

Există o varietate semnificativă de tipuri și tipuri de modele economice și matematice necesare pentru utilizarea în managementul obiectelor și proceselor economice. Modelele economice și matematice se împart în: macroeconomice și microeconomice, în funcție de nivelul obiectului de control modelat, dinamice, care caracterizează modificările în timp ale obiectului de control și statice, care descriu relațiile dintre diferiții parametri și indicatori ai obiectului la acel moment anume. Modelele discrete afișează starea obiectului de control în momente separate, fixe. Modelele de simulare sunt modele economice și matematice utilizate pentru a simula obiecte și procese economice controlate folosind informația și tehnologia informatică. Pe baza tipului de aparate matematice utilizate în modele, există modele economico-statistice, modele de programare liniară și neliniară, modele matrice și modele de rețea.

Modele factoriale. Grupul modelelor factorilor economico-matematici include modele care, pe de o parte, cuprind factori economici de care depinde starea obiectului economic gestionat, iar pe de altă parte, parametrii stării obiectului care depind de acești factori. Dacă factorii sunt cunoscuți, atunci modelul ne permite să determinăm parametrii necesari. Modelele factoriale sunt furnizate cel mai adesea de funcții liniare sau statice simple din punct de vedere matematic, care caracterizează relația dintre factori și parametrii unui obiect economic care depind de aceștia.

Modele de bilanț. Modelele de bilanţ, atât statistice cât şi dinamice, sunt utilizate pe scară largă în modelarea economică şi matematică. Crearea acestor modele se bazează pe metoda echilibrului - o metodă de comparare reciprocă a resurselor materiale, de muncă și financiare și a nevoilor acestora. Descriind sistemul economic în ansamblu, modelul său de echilibru este înțeles ca un sistem de ecuații, fiecare dintre acestea exprimând necesitatea unui echilibru între cantitatea de produse fabricate de obiectele economice individuale și cererea totală pentru aceste produse. Prin această abordare, sistemul economic este format din obiecte economice, fiecare dintre ele produce un anumit produs. Dacă în locul conceptului de „produs” introducem conceptul de „resursă”, atunci modelul de echilibru trebuie înțeles ca un sistem de ecuații care satisfac cerințele dintre o anumită resursă și utilizarea acesteia.

Cele mai importante tipuri de modele de bilanţ:

· Echilibre materiale, de muncă și financiare pentru economia în ansamblu și sectoarele sale individuale;

· Solduri interindustriale;

· Bilanțurile matriceale ale întreprinderilor și firmelor.

Modele de optimizare. O clasă mare de modele economice și matematice formează modele de optimizare care vă permit să selectați cea mai bună opțiune optimă dintre toate soluțiile. În conținutul matematic, optimitatea este înțeleasă ca atingerea extremumului criteriului de optimitate, numit și funcție obiectiv. Modelele de optimizare sunt utilizate cel mai adesea în probleme de găsire cel mai bun mod utilizarea resurselor economice, ceea ce permite atingerea efectului țintă maxim. Programarea matematică a fost dezvoltată pe baza rezolvării problemei tăierii optime a foilor de placaj, ceea ce asigură utilizarea cât mai completă a materialului. După ce și-a pus o astfel de problemă, celebrul matematician și economist rus academician L.V. Kantorovich a fost găsit demn Premiul Nobelîn economie.

2. Modelare de optimizare

2.1 Programare liniară

2.1.1 Programarea liniară ca instrument de modelare matematică a economiei

Studiul proprietăților sistemului general inegalități liniare a fost realizată încă din secolul al XIX-lea, iar prima problemă de optimizare cu funcție obiectiv liniară și constrângeri liniare a fost formulată în anii 30 ai secolului XX. Unul dintre primii oameni de știință străini care a pus bazele programării liniare este John von Neumann, un cunoscut matematician și fizician care a demonstrat teorema principală despre jocurile matriceale. Printre oamenii de știință autohtoni, o mare contribuție la teoria optimizării liniare a avut-o laureatul Premiului Nobel L.V. Kantorovich, N.N. Moiseev, E.G. Holstein, D.B. Yudin și mulți alții.

Programarea liniară este în mod tradițional considerată una dintre ramurile cercetării operaționale care studiază metode de găsire a extremului condiționat al funcțiilor multor variabile.

În analiza matematică clasică se studiază formularea generală a problemei determinării unui extremum condiționat, dar în legătură cu dezvoltarea productie industriala, transport, complex agroindustrial, sectorul bancar, rezultatele tradiționale ale analizei matematice nu au fost suficiente. Nevoile de practică și dezvoltarea tehnologiei informatice au condus la necesitatea de a determina soluții optime la analiza complexă sisteme economice. Instrumentul principal pentru rezolvarea unor astfel de probleme este modelarea matematică, adică. o descriere formală a procesului studiat și studiul acestuia folosind instrumente matematice.

Arta modelării matematice este de a lua în considerare cea mai largă gamă posibilă de factori care influențează comportamentul unui obiect, folosind relații cât mai simple. Din acest motiv, procesul de modelare este adesea în mai multe etape. În primul rând, se construiește un model relativ simplu, apoi se efectuează cercetarea acestuia, făcând posibilă înțelegerea care dintre proprietățile integratoare ale obiectului nu sunt surprinse de o schemă formală dată, după care, complicând modelul, o mai mare adecvare a acestuia la realitatea este asigurată. Mai mult, în multe cazuri, prima aproximare a realității este un model în care toate dependențele dintre variabilele care caracterizează starea obiectului sunt liniare. Practica arată că un număr semnificativ de procese economice sunt descrise destul de complet de modele liniare și, prin urmare, programarea liniară ca un aparat care permite găsirea unui extremum condiționat pe o mulțime dată. ecuatii lineareși inegalități, piese de teatru rol important la analiza acestor procese.

2.1.2 Exemple de modele de programare liniară

Mai jos vom lua în considerare mai multe situații, al căror studiu este posibil folosind instrumente de programare liniară. Deoarece principalul indicator în aceste situații este economic - cost, modelele corespunzătoare sunt economice și matematice.

Problema tăierii materialelor. Materialul dintr-o probă în cantitate de d unități este primit pentru prelucrare. Este necesar să se facă k componente diferite de el în cantități proporționale cu numerele a 1,..., a k. Fiecare unitate de material poate fi tăiată n căi diferite, în timp ce folosind metoda i-a (i=1,...,n) dă b ij , unități ale produsului j-lea (j = 1,...,k).

Este necesar să găsiți un plan de tăiere care să ofere numărul maxim de seturi.

Modelul economic și matematic al acestei probleme poate fi formulat după cum urmează. Să notăm x i - numărul de unități de materiale tăiate i-a cale, iar x este numărul de seturi de produse fabricate.

Având în vedere că cantitatea totală de material este egală cu suma unităților sale, tăiate în diverse moduri, obținem:

Condiția de completitudine va fi exprimată prin ecuațiile:

Este evident că

x i 0 (i=1,…,n)(3)

Scopul este de a determina o soluție X = (x 1 ,…, x n) care satisface constrângerile (1)-(3), la care funcția F = x ia valoarea maximă. Să ilustrăm problema luată în considerare cu următorul exemplu.Pentru a produce grinzi de 1,5 m, 3 m și 5 m lungime în raport de 2:1:3, se taie 200 de bușteni de 6 m lungime.Determină planul de tăiere care oferă numărul maxim de seturi. Pentru a formula problema corespunzătoare de optimizare a programării liniare, definim toate modalitățile posibile de tăiere a buștenilor, indicând numărul corespunzător de grinzi obținute (Tabelul 1).

tabelul 1

Să notăm cu x i numărul de bușteni tăiați folosind metoda i-a (i = 1,2, 3, 4); x este numărul de seturi de grinzi.

Ținând cont de faptul că toți buștenii trebuie tăiați, iar numărul de grinzi de fiecare dimensiune trebuie să satisfacă condiția de completitudine, modelul economic și matematic de optimizare va lua următoarea formă x > max cu restricții:

x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =200

x i 0 (i=1,2,3,4)

Problema alegerii programului optim de producție pentru o întreprindere. Lasă o întreprindere să producă n tipuri diferite de produse. Pentru producerea acestor tipuri de produse, întreprinderea folosește M tipuri de materiale și materii prime și N tipuri de echipamente. Este necesar să se determine volumele de producție ale întreprinderii (adică programul său de producție) la un interval de planificare dat pentru a maximiza profit brutîntreprinderilor.

unde a i este prețul de vânzare al produselor de tip i;

b i -- costuri variabile pentru producerea unei unități de produs de tip i;

Zp -- condiționat costuri fixe, pe care îl vom presupune independent de vectorul x = (x 1 ,..., x n).

În același timp, trebuie respectate restricțiile privind volumele de material și materii prime utilizate și timpul de utilizare a echipamentelor în interval.

Să notăm cu Lj(j = l,...,M) volumul rezervelor de resurse materiale de tip j, iar cu φ k (k = 1,..., N) timpul în care echipamentele de tipul poate fi folosit k. Cunoaștem consumul de resurse materiale și materii prime de tip j pentru producerea unei unități de produs de tip i, pe care o notăm cu l ij (i = 1,..., n; j = 1,..., M). Se mai cunoaște t ik - timpul de încărcare a unei unități de echipament de tip k pentru producerea unei unități de produs de tip i (i = 1,..., n; k = 1,..., N) . Fie m k numărul de unități de echipamente de tip k (k=l,...,N).

Cu notația introdusă, restricțiile privind volumul de materiale consumate și resursele de materii prime pot fi stabilite după cum urmează:

Constrângerile asupra capacității de producție sunt date de următoarele inegalități

În plus, variabilele

x i ?0 i=1,…,n (7)

Astfel, sarcina de a alege un program de producție care maximizează profitul este de a alege un plan de producție x = (x 1 ..., x n) care să satisfacă constrângerile (5)-(7) și să maximizeze funcția (4).

În unele cazuri, o întreprindere trebuie să furnizeze volume prestabilite de produse Vt altor entități economice, iar apoi în modelul luat în considerare, în loc de constrângere (1.7), poate fi inclusă o constrângere de formă:

x t > Vt i= 1, ...,n.

Problema cu dieta. Să luăm în considerare problema alcătuirii unei rații alimentare pe cap de locuitor a costului minim, care să conțină anumiți nutrienți în volumele necesare. Vom presupune că există o listă cunoscută de produse din n articole (pâine, zahăr, unt, lapte, carne etc.), pe care o vom nota cu literele F 1,...,F n. În plus, sunt luate în considerare astfel de caracteristici ale produsului (nutrienți) precum proteinele, grăsimile, vitaminele, mineralele și altele. Să notăm aceste componente cu literele N 1,...,N m. Să presupunem că pentru fiecare produs F i este cunoscut conținutul cantitativ al componentelor de mai sus într-o unitate de produs (i = 1,...,n). În acest caz, puteți crea un tabel care să conțină caracteristicile produselor:

F 1 ,F 2 ,…F j …F n

N 1 a 11 a 12 …a 1j …a 1N

N 2 a 21 a 22 …a 2j …a 2N

N i a i1 a i2 ...a ij ...a iN

N m a m1 a m2 …a mj …a mN

Elementele acestui tabel formează o matrice cu m rânduri și n coloane. Să o notăm cu A și să o numim matricea nutrițională. Să presupunem că am compilat o dietă x = (x 1, x 2,..., x n) pentru o anumită perioadă (de exemplu, o lună). Cu alte cuvinte, planificăm pentru fiecare persoană pentru o lună x, unități (kilograme) de produs F 1, x 2 unități de produs F 2 etc. Nu este greu de calculat câte vitamine, grăsimi, proteine și alți nutrienți va primi o persoană în această perioadă. De exemplu, componenta N 1 este prezentă în această dietă într-o cantitate

a 11 x 1 + a 12 x 2+…+ a 1n x n

întrucât, în funcție de condiție, x 1 unități de produs F 1 conform matricei nutriționale conțin 11 x 1 unități de component N 1; la această cantitate se adaugă o porţie dintr-o substanţă 12 x 2 N 1 din x 2 unităţi de produs F 2 etc. În mod similar, puteți determina cantitatea tuturor celorlalte substanțe N i din dieta preparată (x 1,..., x n).

Să presupunem că există anumite cerințe fiziologice cu privire la cantitatea necesară nutrienți în N i (i/ = 1,..., N) în perioada planificată. Fie ca aceste cerințe să fie specificate de vectorul b = (b 1 ...,b n), i-a componentă care b i indică conținutul minim necesar de componenta N i în dietă. Aceasta înseamnă că coeficienții x i ai vectorului x trebuie să satisfacă următorul sistem de restricții:

a 11 x 1 + a 12 x 2+…+ a 1n x n ?b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2+…+ a 2n x n ?b 2 (8)

a m1 x 1 + a m2 x 2+…+ a mn x n ?b m

În plus, din sensul de fond al problemei este evident că toate variabilele x 1,..., x n sunt nenegative și, prin urmare, la constrângerile (8) se adaugă următoarele inegalități:

x 1 0; x 2 ?0;... x n ?0; (9)

Având în vedere că în majoritatea cazurilor, constrângerile (8) și (9) sunt satisfăcute de un număr infinit de rații, o vom alege pe cea al cărei cost este minim.

Fie prețurile produselor F 1,...,F n egale cu 1,...,c n, respectiv

Prin urmare, costul întregii rații x = (x 1 ..., x n) poate fi scris ca

c 1 x 1 + c 2 x 2 +…+ c n x n >min (10)

Formularea finală a problemei dietei constă în alegerea dintre toți vectorii x = (x 1 ,...,x n) care satisfac constrângerile (8) și (9) pe cel pentru care funcția obiectiv (10) ia valoarea minimă.

Problema transportului. Există m puncte S 1 ,..., S m pentru producerea unui produs omogen (cărbune, ciment, petrol etc.), iar volumul producției în punctul S i este egal cu a i unități. Produsul produs este consumat în punctele Q 1 ...Q n iar nevoia de el în punctul Q j este de k j unități (j = 1,...,n). Este necesar să se întocmească un plan de transport de la punctele Si (i = 1,...,m) la punctele Q j (j = 1,..., n) pentru a satisface nevoile pentru produsul b j, minimizând costuri de transport.

Fie costul transportului unei unități de produs de la punctul S i la punctul Q i egal cu c ij. Vom presupune în continuare că atunci când transportăm x ij unități de produs de la S i la Q j, costurile de transport sunt egale cu c ij x ij.

Să numim un plan de transport o mulțime de numere x ij c i = 1,..., m; j = 1,..., n, îndeplinind următoarele restricții:

x ij ?0, i=1,2,…,m; j=1,…,n (11)

Cu un plan de transport (x ij), costurile de transport se vor ridica la

Formarea finală a problemei transportului este următoarea: dintre toate seturile de numere (x ij) care satisfac constrângerile (11), găsiți o mulțime care minimizează (12).

2.1.3 Alocarea optimă a resurselor

Clasa de probleme discutată în acest capitol are numeroase aplicații practice.

În termeni generali, aceste sarcini pot fi descrise după cum urmează. Există o anumită cantitate de resurse, care poate fi înțeleasă ca numerar, resurse materiale (de exemplu, materii prime, semifabricate, forță de muncă, tipuri diferite echipamente etc.). Aceste resurse trebuie distribuite între diferite obiecte ale utilizării lor pe intervale separate ale perioadei de planificare sau pe intervale diferite între diferite obiecte, astfel încât să se obțină eficiența totală maximă din metoda de distribuție selectată. Un indicator de eficiență poate servi, de exemplu, profit, produse comercializabile, productivitatea capitalului (probleme de maximizare) sau costuri totale, cost, timp pentru a finaliza o anumită cantitate de muncă etc. (probleme de minimizare).

În general, majoritatea covârșitoare a problemelor de programare matematică se încadrează în formularea generală a problemei alocării optime a resurselor. Desigur, atunci când se iau în considerare modele și scheme de calcul pentru rezolvarea unor astfel de probleme folosind metoda DP, este necesar să se precizeze forma generala probleme de alocare a resurselor.

În cele ce urmează, vom presupune că în problemă sunt îndeplinite condițiile necesare pentru construirea unui model DP. Să descriem o problemă tipică de alocare a resurselor în formă generală.

Problema 1. Există o sumă inițială de fonduri care trebuie distribuită pe n ani între întreprinderi. Fonduri (k=1, 2,…,n; i=1,…, s) alocate în al k-lea an la a-a întreprindere, să genereze venituri în valoare și să se întoarcă în valoare până la sfârșitul anului. În distribuția ulterioară, veniturile pot fie să participe (parțial sau complet), fie să nu participe.

Este necesar să se determine o astfel de metodă de distribuire a resurselor (suma de fonduri alocată fiecărei întreprinderi în fiecare an de plan) astfel încât venitul total al întreprinderilor pentru n ani să fie maxim.

În consecință, venitul total primit de la întreprinderile s este luat ca un indicator al eficienței procesului de alocare a resurselor pe n ani:

Cantitatea de resurse la începutul anului k va fi caracterizată de valoarea (parametrul de stare). Management activat pasul k constă în alegerea variabilelor care denotă resursele alocate întreprinderii i-a în anul k.

Dacă presupunem că venitul nu participă la distribuția ulterioară, atunci ecuația stării procesului are forma

Dacă o parte din venit este implicată în distribuția ulterioară în orice an, atunci valoarea corespunzătoare este adăugată în partea dreaptă a egalității (4.2).

Este necesar să se determine n variabile nenegative care îndeplinesc condițiile (4.2) și maximizează funcția (4.1).

Procedura de calcul DP incepe cu introducerea unei functii care denota veniturile primite pe n--k+1 ani, incepand cu al-lea an si pana la sfarsitul perioadei luate in considerare, cu repartizarea optima a fondurilor intre intreprinderile s, dacă fondurile au fost distribuite în al-lea an. Funcțiile pentru k=1, 2, ...n-1 satisfac ecuațiile funcționale (2.2), care se vor scrie astfel:

Pentru k=n conform (2.2) se obține

În continuare, este necesar să se rezolve secvenţial ecuaţiile (4.4) şi (4.3) pentru toate posibilele (k = n--1, n--2, 1). Fiecare dintre aceste ecuații reprezintă o problemă de optimizare pentru o funcție în funcție de s variabile. Astfel, o problemă cu ns variabile este redusă la o succesiune de n probleme, fiecare dintre ele conţinând s variabile. În această formulare generală, problema este încă complexă (datorită multidimensionalității sale) și în acest caz este imposibil de simplificat considerând-o ca o problemă ns-step. De fapt, să încercăm să facem asta. Să numerotăm pașii după numerele întreprinderii, mai întâi în anul 1, apoi în al 2-lea etc.:

și vom folosi un parametru pentru a caracteriza soldul fondurilor.

În timpul celui de-al k-lea an, starea „la începutul oricărui pas s(k-1)_+i (i=1,2,…,s) va fi determinată din starea anterioară folosind ecuație simplă. Cu toate acestea, după un an, i.e. până la începutul anului următor, fondurile vor trebui adăugate la fondurile disponibile și, prin urmare, starea de la începutul pasului (ks+1) va depinde nu numai de starea ks-a anterioară, ci de asemenea, asupra tuturor statelor și controalelor pentru anul precedent. Ca rezultat, obținem un proces cu un efect secundar. Pentru a elimina efectele secundare, trebuie introduși mai mulți parametri de stare; sarcina la fiecare pas rămâne complexă datorită multidimensionalității sale.

Problema 2. Activitățile a două întreprinderi (s=2) sunt planificate pentru n ani. Fondurile inițiale sunt: Fondurile x investite în întreprinderea I generează venituri f 1 (x) până la sfârșitul anului și sunt returnate în aceeași sumă; fondurile x investite în întreprinderea II generează venituri f 2 (x) și sunt returnate în valoare. La sfârșitul anului, toate fondurile rămase sunt redistribuite între întreprinderile I și II, nu se primesc fonduri noi și veniturile nu sunt investite în producție.

Este necesar să se găsească modalitatea optimă de distribuire a fondurilor disponibile.

Vom considera procesul de distribuire a fondurilor ca unul în n pași, în care numărul pasului corespunde numărului anului. Sistemul gestionat este format din două întreprinderi cu fonduri investite în ele. Sistemul este caracterizat de un parametru de stat - suma de fonduri care ar trebui redistribuită la începutul celui de-al-lea an. Există două variabile de control la fiecare pas: - suma fondurilor alocate întreprinderilor I, respectiv II. Din moment ce fondurile sunt redistribuite integral în fiecare an, atunci). Pentru fiecare pas problema devine unidimensională. Să notăm prin, atunci

Indicatorul de eficiență al pasului k este egal cu. Acesta este venitul primit de la două întreprinderi în cursul anului k.

Indicatorul de performanță al sarcinii - venitul primit de la două întreprinderi pe parcursul a n ani - este

Ecuația de stat exprimă soldul fondurilor după pasul k și are forma

Fie venitul optim conditionat primit din repartizarea fondurilor intre doua intreprinderi timp de n--k+1 ani, incepand cu anul k pana la sfarsitul perioadei luate in considerare. Să notăm relațiile de recurență pentru aceste funcții:

unde - se determină din ecuația de stare (4.6).

Cu o investiție discretă de resurse, se poate pune întrebarea despre alegerea etapei Dx în schimbarea variabilelor de control. Acest pas poate fi specificat sau determinat pe baza acurateței necesare a calculelor și a acurateței datelor sursă. În general, această sarcină este complexă și necesită interpolare din tabele în etapele anterioare de calcul. Uneori, o analiză preliminară a ecuației de stare permite selectarea pasului corespunzător Dx, precum și stabilirea valorilor limită pentru care trebuie efectuată tabelarea la fiecare pas.

Să considerăm o problemă bidimensională similară celei anterioare, în care se construiește un model DP discret al procesului de alocare a resurselor.

Sarcina 3. Elaborarea unui plan optim de repartizare anuală a fondurilor între două întreprinderi pe o perioadă de planificare de trei ani în următoarele condiții:

1) suma inițială este de 400;

2) fondurile investite în valoare de x aduc venituri f 1 (x) la întreprinderea I și se restituie în valoare de 60% din x, iar la întreprinderea II - f2(x) și, respectiv, 20%;

3) toți numerarul primit din fondurile returnate se distribuie anual:

4) funcțiile f 1 (x) și f2 (x) sunt date în tabel. 1:

Modelul de programare dinamică pentru această problemă este similar cu modelul compilat în problema 1.

Procesul de management este un proces în trei etape. Parametru -- fonduri care urmează să fie distribuite în al k-lea an (k=l, 2, 3). Variabila de control este fondurile investite în întreprinderea I în anul k. Fondurile investite în întreprinderea II în al-lea an sunt. Prin urmare, procesul de management la pasul k-a depinde de un parametru (model unidimensional). Ecuația de stare se va scrie sub forma

Și ecuații funcționale în formă

Să încercăm să determinăm valorile maxime posibile pentru care este necesar să se tabulare la pasul k (k=l, 2, 3). La =400, din ecuația (4.8) determinăm valoarea maximă posibilă: avem = 0,6*400=2400 (toate fondurile sunt investite în întreprinderea I). În mod similar, pentru că obținem valoarea limită de 0,6 * 240 = 144. Fie ca intervalul de schimbare să coincidă cu tabelul unu, adică Dx = 50. Să creăm un tabel cu profitul total la acest pas:

Acest lucru va ușura calculele suplimentare. Deoarece celulele situate în diagonală în tabel corespund aceleiași valori indicate în primul rând (prima coloană) din tabel. 2. A doua linie a tabelului conține valorile lui f 1 (x), iar a doua coloană conține valorile lui f 2 (y) luate din tabel. 1. Valorile din celulele rămase ale tabelului se obțin prin adăugarea numerelor f 1 (x) și f 2 (y), situate în al 2-lea rând și în a 2-a coloană și corespunzătoare coloanei și rândului de la intersecția căreia se află această celulă. De exemplu, pentru =150 obținem o serie de numere: 20 --for x = 0, y=150; 18 --pentru x=50, y=100; 18-- pentru x--100, y=50; 15 -- pentru x=150, y=0.

Să efectuăm optimizarea condiționată conform schemei obișnuite. al 3-lea pas. Ecuația de bază (4.9)

După cum sa menționat mai sus, . Să ne uităm la numerele de pe diagonalele corespunzătoare lui =0; 50; 100; 150 și alegeți cel mai mare de pe fiecare diagonală. Acesta este În prima linie găsim controlul optim condiționat corespunzător. La pasul 3, vom plasa datele de optimizare în tabelul principal (Tabelul 4). Introduce coloana Dx, care este ulterior folosită pentru interpolare.

Optimizarea pasului 2 este realizată în tabel. 5 conform unei ecuații de forma (4.10):

In acest caz se poate obtine venitul maxim egal cu Zmax=99,l. Calculul direct al venitului conform tabelului. 2 pentru controlul optim găsit dă 97,2. Discrepanța rezultatelor cu 1,9 (aproximativ 2%) este explicată printr-o eroare de interpolare liniară.

Am luat în considerare câteva variante ale problemei alocării optime a resurselor. Există și alte variante ale acestei probleme, ale căror caracteristici sunt luate în considerare de modelul dinamic corespunzător.

Concluzie

In acest munca de curs Sunt luate în considerare tipurile de modele matematice utilizate în economie și management, precum și clasificarea acestora.

O atenție deosebită în munca de curs este acordată modelării de optimizare.

Se studiază principiul construirii modelelor de programare liniară și se oferă și modele ale următoarelor probleme:

· Problema tăierii materialelor;

· Sarcina de a alege programul optim de producție pentru o întreprindere;

· Problema cu dieta;

· Sarcina de transport.

Lucrarea prezintă caracteristicile generale ale problemelor de programare discretă, descrie principiul optimității și ecuația Bellman și oferă descriere generala proces de modelare.

Au fost selectate trei sarcini pentru a construi modelele:

· Problema alocării optime a resurselor;

· Problema managementului optim al stocurilor;

· Problemă de înlocuire.

La rândul său, pentru fiecare dintre sarcini, sunt construite diverse modele de programare dinamică. Pentru probleme individuale, calculele numerice sunt date în conformitate cu modelele construite.

Bibliografie:

1. Vavilov V.A., Zmeev O.A., Zmeeva E.E. Manual electronic „Cercetare operațională”

2. Kalikhman I.L., Voitenko M.A. „Programarea dinamică în exemple și probleme”, 1979

3. Kosorukov O.A., Mishchenko A.V. „Cercetare operațională”, 2003

4. Materiale de pe Internet.

Postat pe Allbest.ru

Documente similare

Studiul aplicațiilor economice ale disciplinelor matematice pentru rezolvarea problemelor economice: utilizarea modelelor matematice în economie și management. Exemple de modele de programare liniară și dinamică ca instrument de modelare economică.

lucrare de curs, adăugată 21.12.2010

Concepte de bază și tipuri de modele, clasificarea acestora și scopurile creării. Caracteristicile metodelor economice şi matematice aplicate. caracteristici generale principalele etape ale modelării economice şi matematice. Aplicarea modelelor stocastice în economie.

rezumat, adăugat 16.05.2012

Soluție grafică probleme de programare liniară. Rezolvarea problemelor de programare liniară folosind metoda simplex. Posibilități de utilizare practică a programării matematice și a metodelor economico-matematice în rezolvarea problemelor economice.

lucrare curs, adăugată 10.02.2014

Modelarea sistemelor economice: concepte de bază și definiții. Modele matematice și metode de calcul a acestora. Câteva informații din matematică. Exemple de probleme de programare liniară. Metode de rezolvare a problemelor de programare liniară.

prelegere, adăugată 15.06.2004

Baza teoretica probleme economice şi matematice despre amestecuri. Principii de construcție și structură a unui sistem integrat de modele economice și matematice. Caracteristicile organizatorice și economice și indicatorii tehnico-economici ai activității complexului de producție agricolă Rodina.

lucru curs, adăugat 04/01/2011

Fundamentele teoretice ale metodelor economice și matematice. Etapele luării deciziilor. Clasificarea problemelor de optimizare. Probleme de programare liniară, neliniară, convexă, pătratică, întregă, parametrică, dinamică și stocastică.

lucrare curs, adăugată 05.07.2013

Concept și tipuri de modele. Etapele construirii unui model matematic. Fundamentele modelării matematice a relației variabilelor economice. Determinarea parametrilor unei ecuații de regresie liniară cu un singur factor. Metode de optimizare a matematicii în economie.

rezumat, adăugat la 02.11.2011

Modele tipice de management: exemple de modele economice și matematice și utilizarea lor practică. Procesul de integrare a diferitelor tipuri de modele în modele mai complexe. Determinarea planului optim de producție pentru fiecare tip de produs.

test, adaugat 14.01.2015

Fundamentele întocmirii, rezolvării și analizării problemelor economice și matematice. Starea, rezolvarea, analiza problemelor economice și matematice pentru modelarea structurii culturilor furajere pentru volume date de produse zootehnice. Instrucțiuni.

manual de instruire, adăugat la 01.12.2009

Concepte de bază ale modelării. Concepte generaleși definirea modelului. Setarea problemelor de optimizare. Metode de programare liniară. Problemă generală și tipică în programarea liniară. Metoda simplex pentru rezolvarea problemelor de programare liniară.

Un model este, în primul rând, o reprezentare simplificată a unui obiect sau fenomen real care își păstrează caracteristicile de bază, esențiale. Procesul de dezvoltare a modelului în sine, de ex. modelarea poate fi realizată în diverse moduri, dintre care cele mai frecvente sunt modelarea fizică și matematică. Cu toate acestea, folosind fiecare dintre aceste metode, pot fi obținute modele diferite, deoarece implementarea lor specifică depinde de caracteristicile obiectului real pe care creatorul modelului le consideră a fi principalele. Prin urmare, în practica inginerească și în cercetare științifică Pot fi utilizate diferite modele ale aceluiași obiect, deoarece diversitatea lor permite un studiu mai amănunțit al celor mai diverse aspecte ale unui obiect sau fenomen real.

În practica ingineriei și în științele naturii, modelele fizice sunt utilizate pe scară largă, care diferă de obiectul studiat, de obicei la dimensiuni mai mici, și sunt folosite pentru a efectua experimente, ale căror rezultate sunt folosite pentru a studia obiectul original și pentru a trage concluzii despre alegerea uneia sau alteia opțiuni pentru dezvoltarea sau proiectarea acesteia, dacă vorbim despre un proiect de structură inginerească. Calea modelării fizice se dovedește a fi neproductivă pentru analiza obiectelor și fenomenelor economice. Din cauza asta Principala metodă de modelare în economie este metoda modelării matematice , adică descrierea principalelor caracteristici ale unui proces real folosind un sistem de formule matematice.

Cum procedăm când creăm un model matematic? Care sunt tipurile de modele matematice? Ce caracteristici apar la modelarea fenomenelor economice? Să încercăm să clarificăm aceste probleme.

Când creăm un model matematic, pornim de la o problemă reală. În primul rând, situația este clarificată, importantă și caracteristici secundare, parametri, proprietăți, calități, conexiuni etc. Apoi se selectează unul dintre modelele matematice existente sau se creează un nou model matematic pentru a descrie obiectul studiat.

Se introduc notațiile. Constrângerile pe care trebuie să le îndeplinească variabilele se notează. Scopul este determinat - funcția țintă este selectată (dacă este posibil). Alegerea funcției obiective nu este întotdeauna simplă. Pot exista situații în care îți dorești asta, asta și multe altele... Dar scopuri diferite duc la decizii diferite. În acest caz, problema aparține clasei de probleme multicriteriale.

Economia este unul dintre cele mai complexe domenii de activitate. Obiectele economice pot fi descrise prin sute și mii de parametri, mulți dintre care sunt aleatori. În plus, factorul uman operează în economie.

Prezicerea comportamentului uman poate fi dificilă, uneori imposibilă.

Complexitatea unui sistem de orice natură (tehnică, biologică, socială, economică) este determinată de numărul de elemente incluse în acesta, de legăturile dintre

aceste elemente, precum și relațiile dintre sistem și mediu. Economia are toate semnele de a fi foarte sistem complex. Reunește un număr mare de elemente și se distinge printr-o varietate de conexiuni interne și conexiuni cu alte sisteme ( mediul natural, activitate economică alte subiecte, relații sociale etc.). ÎN economie nationala procesele naturale, tehnologice, sociale, factorii obiectivi și subiectivi interacționează. Economia depinde de structura socială a societății, de politică și de mulți, mulți alți factori.

Complexitatea relațiilor economice a fost adesea folosită pentru a justifica imposibilitatea modelării economiei și studierii acesteia folosind matematica. Și totuși, modelarea fenomenelor, obiectelor și proceselor economice este posibilă. Puteți modela un obiect de orice natură și orice complexitate. Pentru a modela economia, nu se folosește un model, ci un sistem de modele. Acest sistem conține modele care descriu diferite aspecte ale economiei. Există modele ale economiei unei țări (se numesc macroeconomice), există modele de modele economice pentru o întreprindere separată sau chiar un model al unui eveniment economic (se numesc microeconomice). La compilarea unui model al economiei unui obiect complex, se realizează așa-numita agregare. În acest caz, un număr de parametri corelați sunt combinați într-un singur parametru, reducând astfel numărul total de parametri. În această etapă, experiența și intuiția joacă un rol important. Puteți selecta nu toate caracteristicile ca parametri, ci pe cele mai importante.

După ce o problemă de matematică a fost compilată, se alege o metodă de rezolvare a acesteia. În această etapă, de regulă, se folosește un computer. După primirea unei soluții, aceasta este comparată cu realitatea. Dacă rezultatele obținute sunt confirmate prin practică, atunci modelul poate fi aplicat și se pot face previziuni cu ajutorul acestuia. Dacă răspunsurile obținute pe baza modelului nu corespund realității, atunci modelul nu este potrivit. Este necesar să se creeze un model mai complex care să se potrivească mai bine cu obiectul studiat.

Care model este mai bun: simplu sau complex? Răspunsul la această întrebare nu poate fi clar.

Dacă modelul este prea simplu, atunci nu corespunde bine obiectului real. Dacă modelul este prea complex, atunci se poate dovedi că, deși există un model bun, nu putem obține un răspuns pe baza acestuia. Poate exista un model bun și un algoritm pentru rezolvarea problemei corespunzătoare. Dar timpul de rezolvare va fi atât de lung, încât toate celelalte avantaje ale modelului vor fi eliminate. Prin urmare, atunci când alegeți un model, aveți nevoie de un „mijloc de aur”.

Ministerul Căilor Ferate Federația Rusă

Ural Universitate de stat Căi de comunicare

Institutul de Căi Ferate Chelyabinsk

LUCRARE DE CURS

curs: „Modelare economică și matematică”

Subiect: „Modele matematice în economie”

Efectuat:

Cifru:

Abordare:

Verificat:

Celiabinsk 200_ g.

Introducere

Întocmirea unui model matematic

Crearea și salvarea rapoartelor

Analiza solutiei gasite. Răspunsuri la întrebări

Partea Nr. 2 „Calculul modelului economico-matematic al soldului input-output

Rezolvarea unei probleme pe computer

Echilibrul intersectorial al producției și distribuției produselor

Literatură

Introducere

Modelarea în cercetarea științifică a început să fie folosită din cele mai vechi timpuri și a surprins treptat noi domenii de cunoaștere științifică: proiectare tehnică, construcție și arhitectură, astronomie, fizică, chimie, biologie și, în final, științe sociale. Mari succese și recunoaștere în aproape toate industriile stiinta moderna adus la metoda modelării secolului al XX-lea. Cu toate acestea, metodologia de modelare a fost dezvoltată independent de științe individuale de mult timp. Absent un singur sistem concepte, terminologie comună. Numai treptat a început să se realizeze rolul modelării ca metodă universală de cunoaștere științifică.

Termenul „model” este utilizat pe scară largă în domenii diverse activitate umană și are multe sensuri semantice. Să luăm în considerare doar astfel de „modele” care sunt instrumente pentru obținerea cunoștințelor.

Un model este un obiect material sau imaginat mental care, în procesul de cercetare, înlocuiește obiectul original, astfel încât studiul său direct să ofere noi cunoștințe despre obiectul original.

Modelarea se referă la procesul de construire, studiere și aplicare a modelelor. Este strâns legat de categorii precum abstracția, analogia, ipoteza etc. Procesul de modelare include în mod necesar construcția abstracțiilor, inferențe prin analogie și construirea ipotezelor științifice.

caracteristica principală modelarea este că este o metodă de cunoaștere indirectă folosind obiecte substitutive. Modelul acționează ca un fel de instrument de cunoaștere pe care cercetătorul îl pune între el și obiect și cu ajutorul căruia studiază obiectul de interes pentru el. Această caracteristică a metodei de modelare este cea care determină formele specifice de utilizare a abstracțiilor, analogiilor, ipotezelor și a altor categorii și metode de cunoaștere.

Necesitatea utilizării metodei modelării este determinată de faptul că multe obiecte (sau probleme legate de aceste obiecte) fie sunt imposibil de studiat direct, fie această cercetare necesită mult timp și bani.

Modelarea este un proces ciclic. Aceasta înseamnă că primul ciclu în patru pași poate fi urmat de un al doilea, al treilea etc. În același timp, cunoștințele despre obiectul studiat sunt extinse și rafinate, iar modelul inițial este îmbunătățit treptat. Deficiențele descoperite după primul ciclu de modelare, din cauza cunoașterii slabe a obiectului și a erorilor în construcția modelului, pot fi corectate în ciclurile ulterioare. Astfel, metodologia de modelare conține mari oportunități de autodezvoltare.

Scopul modelării matematice a sistemelor economice este de a folosi metode matematice pentru a rezolva cât mai eficient problemele apărute în domeniul economiei, utilizând, de regulă, tehnologia informatică modernă.

Procesul de rezolvare a problemelor economice se desfășoară în mai multe etape:

Formularea substanțială (economică) a problemei. Mai întâi trebuie să înțelegeți sarcina și să o formulați clar. În același timp, sunt determinate și obiectele care se referă la problema care se rezolvă, precum și situația care trebuie realizată ca urmare a soluționării acesteia. Acesta este stadiul formulării semnificative a problemei. Pentru ca o problemă să fie descrisă cantitativ și pentru a utiliza tehnologia informatică în rezolvarea ei, este necesară efectuarea unei analize calitative și cantitative a obiectelor și situațiilor legate de aceasta. În acest caz, obiectele complexe sunt împărțite în părți (elemente), conexiunile acestor elemente, proprietățile lor, valorile cantitative și calitative ale proprietăților, relațiile cantitative și logice dintre ele, exprimate sub formă de ecuații, inegalități etc. sunt determinate. Aceasta este etapa analizei de sistem a problemei, în urma căreia obiectul este prezentat sub forma unui sistem.

Următoarea etapă este formularea matematică a problemei, în timpul căreia se construiește un model matematic al obiectului și se determină metode (algoritmi) pentru obținerea unei soluții a problemei. Aceasta este etapa de sinteză a sistemului (formularea matematică) a problemei. Trebuie remarcat faptul că în această etapă se poate dovedi că analiza sistemului efectuată anterior a condus la un set de elemente, proprietăți și relații pentru care nu există o metodă acceptabilă de rezolvare a problemei, ca urmare este necesar să revenim la stadiul analizei sistemului. De regulă, problemele rezolvate în practica economică sunt standardizate, analiza sistemului se realizează pe baza unui model matematic binecunoscut și a unui algoritm de rezolvare, problema constă doar în alegerea unei metode adecvate.

Următorul pas este dezvoltarea unui program pentru rezolvarea problemei pe un computer. Pentru obiectele complexe constând dintr-un număr mare de elemente cu un număr mare de proprietăți, poate fi necesară compilarea unei baze de date și instrumente pentru lucrul cu aceasta, metode de preluare a datelor necesare calculelor. Pentru sarcinile standard, nu se realizează dezvoltarea, ci alegerea unui pachet de aplicații adecvat și a unui sistem de gestionare a bazelor de date.

În etapa finală, modelul este operat și se obțin rezultate.

Astfel, rezolvarea problemei include următorii pași:

2. Analiza sistemului.

3. Sinteza sistemului (formularea matematică a problemei)

4. Dezvoltarea sau selectarea software-ului.

5. Rezolvarea problemei.

Utilizarea consecventă a metodelor de cercetare operațională și implementarea lor pe tehnologia informatică și informatică modernă face posibilă depășirea subiectivității și eliminarea așa-numitelor decizii cu voință puternică bazate nu pe o relatare strictă și exactă a circumstanțelor obiective, ci pe emoții aleatorii și interes personal al managerii diferite niveluri care, de altfel, nu pot coordona aceste decizii volitive.

Analiza sistemului face posibilă luarea în considerare și utilizarea în management a tuturor informațiilor disponibile despre obiectul gestionat, coordonarea deciziilor luate din punctul de vedere al unui criteriu de eficiență mai degrabă obiectiv, decât subiectiv. Economisirea calculelor la control este aceeași cu economisirea la țintire la tragere. Cu toate acestea, un computer nu numai că face posibilă luarea în considerare a tuturor informațiilor, dar și eliberează managerul de informații inutile și ocolește toate informațiile necesare ocolind persoana, prezentându-i doar cele mai generalizate informații, chintesența. Abordarea sistemică în economie este eficientă în sine, fără utilizarea unui computer, ca metodă de cercetare și nu schimbă legile economice descoperite anterior, ci doar învață cum să le folosești cel mai bine.

Complexitatea proceselor din economie impune ca decidentul să fie înalt calificat și să aibă o experiență vastă. Acest lucru, însă, nu garantează erori; modelarea matematică vă permite să oferiți un răspuns rapid la întrebarea pusă sau să efectuați studii experimentale care sunt imposibile sau necesită costuri și timp mari pe un obiect real.

Modelarea matematică vă permite să luați o decizie optimă, adică cea mai bună. Poate diferi ușor de o decizie bine luată fără utilizarea modelării matematice (aproximativ 3%). Cu toate acestea, cu volume mari de producție, o astfel de eroare „minoră” poate duce la pierderi uriașe.

Metode matematice, folosite pentru a analiza modelul matematic și a lua decizia optimă, sunt foarte complexe și implementarea lor fără utilizarea unui calculator este dificilă. Ca parte a programelor excela Și Mathcad Există instrumente care vă permit să efectuați analize matematice și să găsiți soluția optimă.

Partea nr. 1 „Studiul modelului matematic”

Formularea problemei.

Compania are capacitatea de a produce 4 tipuri de produse. Pentru a produce o unitate din fiecare tip de produs, este necesar să cheltuiți o anumită cantitate de forță de muncă, resurse financiare și de materii prime. Există o cantitate limitată din fiecare resursă disponibilă. Vânzările unei unități de producție aduc profit. Valorile parametrilor sunt date în tabelul 1. Condiție suplimentară: costurile financiare pentru producția produselor nr. 2 și nr. 4 nu trebuie să depășească 50 de ruble. (fiecare tip).

Pe baza modelării matematice prin mijloace excela determinați ce produse și în ce cantități este indicat să produceți din punctul de vedere al obținerii celui mai mare profit, analizați rezultatele, răspundeți la întrebări, trageți concluzii.

Ministerul Căilor Ferate al Federației Ruse

Universitatea de transport de stat din Ural

Institutul de Căi Ferate Chelyabinsk

LUCRARE DE CURS

curs: „Modelare economică și matematică”

Subiect: „Modele matematice în economie”

Efectuat:

Cifru:

Abordare:

Verificat:

Celiabinsk 200_ g.

Introducere

Crearea și salvarea rapoartelor

Rezolvarea unei probleme pe computer

Literatură

Introducere

Modelarea în cercetarea științifică a început să fie folosită din cele mai vechi timpuri și a surprins treptat noi domenii de cunoaștere științifică: proiectare tehnică, construcție și arhitectură, astronomie, fizică, chimie, biologie și, în final, științe sociale. Metoda de modelare a secolului al XX-lea a adus un mare succes și recunoaștere în aproape toate ramurile științei moderne. Cu toate acestea, metodologia de modelare a fost dezvoltată independent de științe individuale de mult timp. Nu exista un sistem unificat de concepte, nici o terminologie unificată. Numai treptat a început să se realizeze rolul modelării ca metodă universală de cunoaștere științifică.

Termenul „model” este utilizat pe scară largă în diverse domenii ale activității umane și are multe semnificații semantice. Să luăm în considerare doar astfel de „modele” care sunt instrumente pentru obținerea cunoștințelor.

Caracteristica principală a modelării este că este o metodă de cunoaștere indirectă folosind obiecte proxy. Modelul acționează ca un fel de instrument de cunoaștere pe care cercetătorul îl pune între el și obiect și cu ajutorul căruia studiază obiectul de interes pentru el. Această caracteristică a metodei de modelare este cea care determină formele specifice de utilizare a abstracțiilor, analogiilor, ipotezelor și a altor categorii și metode de cunoaștere.

Procesul de rezolvare a problemelor economice se desfășoară în mai multe etape:

În etapa finală, modelul este operat și se obțin rezultate.

Astfel, rezolvarea problemei include următorii pași:

2. Analiza sistemului.

3. Sinteza sistemului (formularea matematică a problemei)

4. Dezvoltarea sau selectarea software-ului.

5. Rezolvarea problemei.

Utilizarea consecventă a metodelor de cercetare operațională și implementarea lor pe tehnologia informațională și informatică modernă face posibilă depășirea subiectivității și eliminarea așa-numitelor decizii volitive bazate nu pe o relatare strictă și exactă a circumstanțelor obiective, ci pe emoțiile aleatorii și pe interesul personal al managerilor la diferite niveluri, care, de altfel, nu pot coordona aceste decizii volitive.

Metodele matematice folosite pentru analiza modelului matematic și luarea deciziei optime sunt foarte complexe, iar implementarea lor fără utilizarea unui calculator este dificilă. Ca parte a programelor excela Și Mathcad Există instrumente care vă permit să efectuați analize matematice și să găsiți soluția optimă.

Partea nr. 1 „Studiul modelului matematic”

Formularea problemei.

Tabelul 1.

Întocmirea unui model matematic

Funcția obiectivă (TF).

Funcția obiectiv arată în ce sens soluția problemei ar trebui să fie cea mai bună (optimă). În sarcina noastră TF:

Profit → max.

Valoarea profitului poate fi determinată prin formula:

Profit = count 1 ∙ pr 1 + count 2 ∙ pr 2 + count 3 ∙ pr 3 + count 4 ∙ pr 4, Unde numără 1,…, numără 4 –

cantitățile din fiecare tip de produs produs;

pr 1,…, pr 4 - profiturile primite din vânzarea unei unităţi din fiecare tip de produs. Înlocuirea valorilor pr 1,…, pr 4 ( din tabelul 1) obținem:

TF: 1,7 ∙ numără 1 + 2,3 ∙ numără 2 + 2 ∙ numără 3 + 5 ∙ numără 4 → max (1)

Restricții (OGR).

Constrângerile stabilesc dependențe între variabile. În problema noastră, se impun restricții la utilizarea resurselor, ale căror cantități sunt limitate. Cantitatea de materii prime necesare pentru producerea tuturor produselor poate fi calculată folosind formula:

Materii prime = din 1 ∙ cantitate 1 + din 2 ∙ cantitate 2 + din 3 ∙ cantitate 3 + din 4 ∙ cantitate 4, Unde de la 1,…, de la 4 –

cantităţile de materii prime necesare pentru a produce o unitate din fiecare tip de produs. Cantitatea totală de materii prime utilizate nu poate depăși resursa disponibilă. Înlocuind valorile din tabelul 1, obținem prima limitare - pentru materiile prime:

1,8 ∙ numără 1 + 1,4 ∙ numără 2 + 1 ∙ numără 3 + 0,15 ∙ numără 4 ≤ 800 (2)

Să notăm în mod similar restricțiile privind finanțele și costurile forței de muncă:

0,63 ∙ numără 1 + 0,1 ∙ numără 2 + 1 ∙ numără 3 + 1,7 ∙ numără 4 ≤ 400 (3)

1,1 ∙ numără 1 + 2,3 ∙ numără 2 + 1,6 ∙ numără 3 + 1,8 ∙ numără 4 ≤ 1000 (4)

Condiții la limită (GRU).

Condițiile limită arată limitele în care variabilele dorite se pot schimba. În problema noastră, acestea sunt costurile financiare pentru producerea produselor nr. 2 și nr. 4 în funcție de condiția:

0,1 ∙ număr 2 ≤ 50 rub.; 1,7 ∙ număr 4 ≤ 50 frec. ( 5)

Pe de altă parte, trebuie să introducem că cantitatea de producție trebuie să fie mai mare sau egală cu zero. Aceasta este o condiție evidentă pentru noi, dar o condiție necesară pentru computer:

numără 1 ≥ 0; numără 2 ≥ 0; numără 3 ≥ 0; numără 4 ≥ 0. ( 6)

Deoarece toate variabilele căutate ( numără 1,…, numără 4) sunt incluse în raportul 1-7 la prima putere și asupra acestora se efectuează doar acțiunile de însumare și înmulțire cu coeficienți constanți, atunci modelul este liniar.

Rezolvarea unei probleme pe computer.

Porniți calculatorul. Înainte de a intra în rețea, setați numele de utilizator ZA, cu parola A. Descărcați programul excela. Salvați fișierul sub numele Lidovitsky Kulik. X ls. în dosarul Ek/k 31 (2). Creați un antet: în stânga este data, în centru este numele fișierului, în dreapta este numele foii.

Creăm și formatăm antetul și tabelul de date sursă (Tabelul 1). Introducem datele în tabel în funcție de varianta problemei.

Creăm și formatăm un tabel pentru calcul. Introduceți valorile inițiale în celulele „Cantitate”. Le alegem aproape de rezultatul așteptat. Nu avem informatii preliminare si de aceea le vom alege egale cu 1. Acest lucru va face usor controlul formulelor introduse.

În rândul „Input-uri de muncă” introducem termenii formulei (4) - produsul cantității de produse cu cantitatea de input-uri de muncă necesare pentru a produce o unitate de producție:

pentru produsul nr. 1 (=C15*C8);

produse nr. 2 (=D15*D8);

produsele nr. 3 (=E15*E8);

produsele nr. 4 (=F15*F8).

În coloana „TOTAL” găsim suma conținutului acestor celule folosind butonul de sumă automată Σ. În coloana „Rămas” găsim diferența dintre conținutul celulelor „Resurse-Costuri cu forța de muncă” din Tabelul 1 și „TOTAL-Costuri cu forța de muncă” (=G8-G17). În mod similar, completați „Finanțe” (=G9) -G18) și „Materiile prime” (=G10- G19).

În celula „Profit”, calculăm profitul folosind partea stângă a formulei (1). În acest caz, vom folosi funcția =SUMPRODUCT (C15: F15; C11: F11).

Atribuim celulele care conțin profitul total, costurile financiare, cu forța de muncă și cu materiile prime, precum și cantitățile de produse, denumiri, respectiv: „Profit”, „Finanțe”, „Man de muncă”, „Materia primă”, „Pr1”, „Pr2 ”, „Pr3” , „Pr4”. excela va include aceste nume în rapoarte.

Apelarea casetei de dialog Găsirea unei soluții echipe Service-Căutați o soluție...

Scopul funcției obiectiv.

Plasați cursorul în fereastră Setați celula țintăși făcând clic pe celula „Profit”, introduceți adresa acesteia în ea. Introducem direcția funcției obiectiv: Valoare maximă.

Introduceți în fereastră adresele variabilelor necesare care conțin cantități de produse 1-4 Schimbarea celulelor .

Intrarea restricțiilor.

Faceți clic pe butonul Adăuga. Apare o casetă de dialog Adăugarea de restricții. Plasați cursorul în fereastră Referință de celulăși introduceți acolo adresa celulei „Costuri cu forța de muncă”. Deschideți lista de condiții și selectați<=, в поле Prescripţie Introduceți adresa celulei „Resurse-muncă”. Faceți clic pe butonul Adăuga. La o fereastră nouă Adăugarea de restricțiiÎn mod similar, introducem o restricție financiară. Faceți clic pe butonul Adăuga, introducem restricții la materiile prime. Click pe Bine. au fost introduse restricții. Fereastra apare din nou pe ecran Găsirea unei soluții, în câmp Restricții este vizibilă o listă de restricții impuse.

Intrarea în condiții la limită.

Introducerea GRU nu este diferită de introducerea restricțiilor. La fereastră Adăugarea de restricțiiîn câmp Referință de celulă Folosind mouse-ul, introduceți adresa celulei „Fin2”. Alegerea unui semn<=. В поле Prescripţie notează 50. Dați clic pe Adăuga. Folosind mouse-ul, introduceți adresa celulei „Fin4”. Alegerea unui semn<=. В поле Prescripţie notează 50. Dați clic pe Bine. să ne întoarcem la fereastră Găsirea unei soluții. În câmp Restricții este vizibilă o listă completă a OGR și GRU introduse (Fig. 1).

Poza 1.

Introducerea parametrilor.

Faceți clic pe butonul Opțiuni. Apare o fereastră Opțiuni de căutare a soluției. În câmp Model liniar bifeaza casuta. Lăsăm neschimbați parametrii rămași. Click pe Bine(Fig. 2).

Figura 2.

Soluţie.

La fereastră Găsirea unei soluții faceți clic pe butonul A executa. Pe ecran apare o fereastră Rezultatele căutării soluției. Se spune „Soluția a fost găsită. Toate constrângerile și condițiile de optimitate sunt îndeplinite”.

Crearea și salvarea rapoartelor

Pentru a răspunde la întrebările sarcinii, vom avea nevoie de rapoarte. În câmp Tip de raport Utilizați mouse-ul pentru a selecta toate tipurile: „Rezultate”, „Stability” și „Limits”.

Pune un punct în câmp Salvați soluția găsităși faceți clic pe Bine. (Fig. 3). excela generează rapoartele solicitate și le plasează pe foi separate. Se deschide foaia originală cu calculul. În coloana „Cantitate” - valorile găsite pentru fiecare tip de produs.

Figura 3.

Generam un raport de sinteză. Copiem și plasăm rapoartele primite pe o singură coală de hârtie. Le edităm astfel încât totul să fie pe o singură pagină.

Prezentăm grafic rezultatele soluției. Construim diagrame „Cantitatea producției” și „Distribuția resurselor”.

Pentru a construi o diagramă „Cantitatea de produse”, deschideți expertul pentru diagrame și primul pas este să selectați versiunea volumetrică a unei histograme obișnuite. Al doilea pas în fereastra de date sursă este selectarea intervalului de date = Lidovitsky! 14 USD: 15 USD. Al treilea pas în parametrii diagramei este să setați numele diagramei „Cantitatea de produse”. Al patrulea pas este plasarea diagramei pe foaia existentă. Prin apăsarea unui buton Gata Terminăm de construit diagrama.

Pentru a construi o diagramă de „Distribuire a resurselor”, deschideți expertul diagramă și primul pas este să selectați o histogramă tridimensională. Al doilea pas în fereastra de date sursă este selectarea intervalului: Lidovitsky! 17 USD: 19 USD; Lidovitsky! 14 USD: 14 USD. Al treilea pas în parametrii diagramei este să setați numele diagramei „Alocarea resurselor”. Al patrulea pas este plasarea diagramei pe foaia existentă. Prin apăsarea unui buton Gata Terminăm construcția diagramei (Fig. 4).

Figura 4.

Aceste diagrame ilustrează cel mai bun mix de produse din punctul de vedere al obținerii celui mai mare profit și al alocării corespunzătoare a resurselor.

Tipărim o fișă cu tabele de date sursă, cu diagrame și rezultate de calcul, și o fișă cu un raport de sinteză pe hârtie.

Analiza solutiei gasite. Răspunsuri la întrebări

Conform raportului de rezultate.

Profitul maxim care poate fi obținut dacă sunt îndeplinite toate condițiile sarcinii este de 1292,95 ruble.

Pentru a face acest lucru, este necesar să se producă cantitatea maximă posibilă de produse nr. 2 - 172,75 și nr. 4 - 29,41 unități, cu costuri financiare care nu depășesc 50 de ruble. pentru fiecare tip, iar produsele nr. 1 - 188.9 și nr. 3 - 213.72. În acest caz, resursele pentru costurile forței de muncă, finanțe și materii prime vor fi complet epuizate.

Conform raportului de sustenabilitate.

Modificarea uneia dintre datele de intrare nu va duce la o structură diferită a soluției găsite, de exemplu. la o altă gamă de produse necesară obținerii unui profit maxim, dacă: profitul din vânzarea unității de produs nr. 1 nu crește cu mai mult de 1,45 și scade cu cel mult 0,35. Prin urmare:

(1,7 - 0,35) = 1,35 < Прибыль 1 < 3,15 = (1,7 + 1,45)

profitul din vânzarea unității de produs nr. 2 nu va crește cu mai mult de 0,56 și va scădea cu cel mult 1,61. Prin urmare:

(2,3 - 1,61) = 0,69 < Прибыль 2 < 2,86 = (2,3 + 0,56)

profitul din vânzarea unității de produs nr. 3 nu va crește cu mai mult de 0,56 și va scădea cu cel mult 0,39. Prin urmare:

(2 - 0,39) = 1,61 < Прибыль 3 < 2,56 = (2 + 0,56)

profitul din vânzarea unității de produs nr. 4 poate scădea cu cel mult 2,81, adică. cu 56,2% și crește nelimitat. Astfel: profitul 4 > 2,19 = (5 - 2,81) resursa pentru materii prime poate fi mărită cu 380,54, i.e. cu 47,57% și redus cu 210,46, i.e. cu 26,31%. Astfel: 589,54< С < 1180,54 ресурс по финансам может быть увеличен на 231,38, т.е. на 57,84% и уменьшен на 195,98, т.е. на 48,99%. Таким образом: 204,02 < Ф < 631,38 ресурс по трудозатратам может быть увеличен на 346,45, т.е. на 34,64% и уменьшен на 352,02, т.е. на 35, 20%. Таким образом: 647,98 < ТЗ < 1346,45

Conform raportului de limite:

Cantitatea de ieșire de un tip poate varia de la 0 la valoarea optimă găsită; acest lucru nu va duce la o modificare a gamei de produse necesare pentru a obține un profit maxim. În același timp, dacă produceți produsul nr. 1, atunci profitul va fi de 971,81 ruble, produsul nr. 2 - 895,63 ruble, produsul nr. 3 - 865,51 ruble, produsul nr. 4 - 1145,89 ruble.

concluzii

Studiul modelului matematic și analiza ulterioară a acestuia ne permite să tragem următoarele concluzii:

Profitul maxim posibil, în valoare de 1292,95 ruble, dacă sunt îndeplinite toate condițiile și restricțiile specificate, poate fi obținut dacă produceți produsul nr. 1 - 188.9 unități, produsul nr. 2 - 172.75 unități, produsul nr. 3 - 213.72 unități, produse Nr. 4 - 29,41 unități.

După lansarea producției, toate resursele vor fi cheltuite complet.

Structura soluției găsite depinde cel mai puternic de vânzările unităților de producție nr. 1 și nr. 3, precum și de scăderea sau creșterea tuturor resurselor disponibile.

Partea Nr. 2 „Calculul modelului economico-matematic al soldului input-output

Prevederi teoretice.

Metoda bilanțului- o metodă de comparare reciprocă a resurselor financiare, materiale și de muncă și a nevoilor acestora. Modelul de echilibru al unui sistem economic este un sistem de ecuații care îndeplinește cerințele de potrivire a disponibilității unei resurse și a utilizării acesteia.

Echilibrul intersectorial reflectă producția și distribuția produsului pe industrie, relațiile de producție intersectoriale, utilizarea resurselor materiale și de muncă, crearea și distribuția venitului național.

Schema echilibrului intersectorial.

Fiecare industrie din bilanţ este atât consumatoare, cât şi producătoare. Există 4 zone de bilanţ (cadrante) cu conţinut economic:

tabelul conexiunilor materiale inter-industriale, aici X ij - valorile fluxurilor de produse inter-industriale, i.e. costul mijloacelor de producţie produse în industria i şi cerute ca costuri materiale în industria j.

Produsele finale sunt produse care părăsesc sfera producției în sfera consumului, acumulării, exportului etc.

Producția netă condiționat Zj este suma deprecierii Cj și a producției nete (Uj + mj).

Reflectă distribuția și utilizarea finală a venitului național. Coloana și rândul producției brute sunt utilizate pentru a verifica bilanţul și a întocmi un model economic și matematic.

Totalul costurilor materiale ale oricărei industrii consumatoare și producția netă condiționată a acesteia este egal cu producția brută a acestei industrii:

(1)

Producția brută a fiecărei industrii este egală cu suma costurilor materiale ale industriilor care consumă produsele sale și produsele finale ale acestei industrii.

(2)

Să însumăm toate ramurile ecuației 1:

La fel și pentru ecuația 2:

Partea stângă este produsul brut, apoi echivalăm părțile drepte:

(3)

Formularea problemei.

Există un sistem economic cu patru ramuri. Determinați coeficienții costurilor totale ale materialelor pe baza datelor: matricea coeficienților costurilor materiale directe și vectorul producției brute (Tabelul 2).

Masa 2.

Întocmirea unui model de bilanţ.

La baza modelului economico-matematic al echilibrului input-output se află matricea de coeficienți ai costurilor directe materiale:

Coeficientul costurilor directe materiale arată de cât produs al industriei i este necesar, dacă luăm în considerare doar costurile directe pentru producerea unei unități de produs a industriei j.

Având în vedere expresia 4, expresia 2 poate fi rescrisă:

(5)

Vector producție brută.

Vector produs final.

Să notăm matricea de coeficienți ai costurilor materiale directe:

Atunci sistemul de ecuații 5 sub formă de matrice:

(6)

Ultima expresie este modelul de echilibru intrare-ieșire sau modelul Leontief. Folosind modelul puteți:

După ce a specificat valorile producției brute X, determinați volumele produselor finale Y:

(7)

unde E este matricea de identitate.

După ce a specificat valoarea produsului final Y, determinați valoarea produsului brut X:

(8)

să notăm cu B valoarea (E-A) - 1, adică.

atunci elementele matricei B vor fi .

Pentru fiecare industrie:

Aceștia sunt coeficienții costurilor totale ale materialelor; ei arată cât de mult produs al industriei i trebuie produs pentru a obține o unitate de produs final al industriei j, ținând cont de costurile directe și indirecte ale acestor produse.

Pentru a calcula modelul economico-matematic al soldului intrare-ieșire, ținând cont de valorile date:

Matrici ale coeficienților de cost direct al materialului:

Vectori ai producției brute:

Să luăm matricea de identitate corespunzătoare matricei A:

Pentru a calcula coeficienții costurilor totale ale materialelor, folosim formula:

Pentru a determina producția brută pentru toate industriile, utilizați formula:

Pentru a determina valoarea fluxurilor de produse intersectoriale (matricea x), determinăm elementele matricei x folosind formula:

unde i = 1…n; j = 1…n;

n este numărul de rânduri și coloane ale matricei pătrate A.

Pentru a determina vectorul producției nete condiționate Z, elementele vectorului sunt calculate folosind formula:

Rezolvarea unei probleme pe computer

Descărcați programul Mathcad .

Creați un fișier sub nume Lidovitskiy- Kulik . mcd.în dosarul Ek/k 31 (2).

Pe baza setărilor preliminare (șablon), creăm și formatăm titlul.

Introduceți cu comentariile adecvate ( ORIGINEA=1) matricea dată de coeficienți ai costurilor materiale directe A și vectorul producției brute X (toate inscripțiile și denumirile sunt introduse cu caractere latin, formulele și comentariile date trebuie situate fie la nivelul, fie deasupra valorilor calculate).

Calculăm matricea coeficienților costurilor totale ale materialelor B. Pentru a face acest lucru, calculăm matricea unitară corespunzătoare matricei A. Pentru aceasta, folosim funcția identitate ( cols( A)).

Calculăm matricea B folosind formula:

Determinăm volumul producției brute pentru toate industriile Y folosind formula:

Definirea matricei X valorile fluxurilor intersectoriale de produse. Pentru a face acest lucru, definim elementele matricei prin specificarea comentariilor:

i=1. rândurile (A) j=1. cols (A) x i,j =A i,j ·X j

După aceasta găsim matricea X .

Calculăm vectorul producției condițional pure Z setând formula pentru aceasta:

Deoarece în echilibru Z este un vector rând, găsim vectorul transpus Z T .

Să găsim totalurile:

9.11.1 Produse pur condiționat:

9.11.2 Produse finale:

9.11.3 Producția brută:

Imprimăm rezultatele soluției pe hârtie.

Echilibrul intersectorial al producției și distribuției produselor

Pe baza datelor obținute vom întocmi un bilanț intersectorial al producției și distribuției resurselor.

concluzii

Pe baza matricei coeficienților costurilor materiale directe și a vectorului producției brute, s-au determinat coeficienții costurilor materiale totale și s-a întocmit un bilanț inter-industrial al producției și distribuției resurselor.

Conexiuni materiale determinate sau valori ale fluxurilor de produse intersectoriale (matrice X), adică costul mijloacelor de producţie produse în industria producătoare şi cerute ca costuri materiale în industria consumatoare.

Am determinat produsul final (Y), adică produse care părăsesc industria producătoare în industria consumatoare.

Am determinat valoarea producției nete condiționate pe industrie (Zj; Z T).

A fost determinată distribuția finală a producției brute (X). Folosind coloana și rândul producției brute, am verificat soldul (138+697+282+218) =1335.

Pe baza bilanţului întocmit se pot trage următoarele concluzii:

totalul costurilor materiale ale oricărei industrii consumatoare și producția netă condiționată a acesteia este egală cu producția brută a acestei industrii.

Producția brută a fiecărei industrii este egală cu suma costurilor materiale ale industriilor care consumă produsele sale și produsele finale ale acestei industrii.

Literatură

1. " Modele matematice în economie." Orientări pentru efectuarea lucrărilor de laborator și de testare pentru studenții specialităților economice de educație prin corespondență. Zhukovsky A.A. CHIPS UrGUPS. Chelyabinsk. 2001.

2. Gataulin A.M., Gavrilov G.V., Sorokina T.M. ş.a. Modelarea matematică a proceselor economice. - M., Agropromizdat, 1990.

3. Metode economice și matematice și modele aplicate: Manual pentru universități / Editat de V. V. Fedoseeva. - M.: UNITATE, 2001.

4. Căutați soluții optime folosind Excel 7.0. Kuritsky B.Ya. Sankt Petersburg: „VNV – Sankt Petersburg”, 1997.

5. Plis A.I., Slivina N.A. MathCAD 2000. Atelier de matematică pentru economiști și ingineri. Moscova. Finanțe și statistici. 2000.

1. Modelarea ca metodă de cunoaştere ştiinţifică.

Modelarea în cercetarea științifică a început să fie folosită din cele mai vechi timpuri și a surprins treptat noi domenii de cunoaștere științifică: proiectare tehnică, construcție și arhitectură, astronomie, fizică, chimie, biologie și, în final, științe sociale. Metoda de modelare a secolului al XX-lea a adus un mare succes și recunoaștere în aproape toate ramurile științei moderne. Cu toate acestea, metodologia de modelare a fost dezvoltată de mult timp independent de științe individuale. Nu exista un sistem unificat de concepte, nici o terminologie unificată. Numai treptat a început să se realizeze rolul modelării ca metodă universală de cunoaștere științifică.

Procesul de modelare include trei elemente: 1) subiectul (cercetătorul), 2) obiectul cercetării, 3) un model care mediază relația dintre subiectul cunoscător și obiectul cognoscibil.

Să existe sau să fie nevoie să creăm un obiect A. Construim (material sau mental) sau găsim în lumea reală un alt obiect B - un model al obiectului A. Etapa de construire a unui model presupune prezența unor cunoștințe despre obiectul original. . Capacitățile cognitive ale modelului sunt determinate de faptul că modelul reflectă orice caracteristică esențială a obiectului original. Problema necesității și gradului suficient de similitudine între original și model necesită o analiză specifică. Evident, modelul își pierde sensul atât în cazul identității cu originalul (atunci încetează să mai fie original), cât și în cazul deosebirii excesive față de original în toate privințele semnificative.

Astfel, studiul unor laturi ale obiectului modelat se realizează cu prețul refuzului de a reflecta alte laturi. Prin urmare, orice model îl înlocuiește pe original doar într-un sens strict limitat. De aici rezultă că pentru un obiect pot fi construite mai multe modele „specializate”, concentrându-se atenția asupra anumitor aspecte ale obiectului studiat sau caracterizând obiectul cu diferite grade de detaliu.

În a doua etapă a procesului de modelare, modelul acționează ca un obiect de studiu independent. Una dintre formele unor astfel de cercetări este efectuarea de experimente „model”, în care condițiile de funcționare ale modelului sunt modificate în mod deliberat și sunt sistematizate datele despre „comportamentul” acestuia. Rezultatul final al acestui pas este o mulțime de cunoștințe despre modelul R.

În a treia etapă, cunoștințele sunt transferate de la model la original - formarea unui set de cunoștințe S despre obiect. Acest proces de transfer de cunoștințe se realizează după anumite reguli. Cunoștințele despre model trebuie ajustate ținând cont de acele proprietăți ale obiectului original care nu au fost reflectate sau au fost modificate în timpul construcției modelului. Putem, cu suficient motiv, să transferăm orice rezultat de la un model la original dacă acest rezultat este asociat în mod necesar cu semne de similitudine între original și model. Dacă un anumit rezultat al unui studiu de model este asociat cu diferența dintre model și original, atunci transferul acestui rezultat este ilegal.

A patra etapă este verificarea practică a cunoștințelor obținute cu ajutorul modelelor și utilizarea acestora pentru a construi o teorie generală a obiectului, transformarea sau controlul acestuia.

Pentru a înțelege esența modelării, este important să nu pierdem din vedere faptul că modelarea nu este singura sursă de cunoștințe despre un obiect. Procesul de modelare este „cufundat” într-un proces mai general de cunoaștere. Această împrejurare este luată în considerare nu numai în etapa de construire a modelului, ci și în etapa finală, când are loc combinarea și generalizarea rezultatelor cercetării obținute pe baza diverselor mijloace de cunoaștere.

2. Caracteristici ale aplicării metodei modelării matematice în economie.

Pătrunderea matematicii în economie presupune depășirea unor dificultăți semnificative. Matematica, care s-a dezvoltat de-a lungul mai multor secole în principal în legătură cu nevoile fizicii și tehnologiei, a fost parțial de vină pentru acest lucru. Dar motivele principale stau încă în natura proceselor economice, în specificul științei economice.

Majoritatea obiectelor studiate de știința economică pot fi caracterizate prin conceptul cibernetic al unui sistem complex.

Cea mai comună înțelegere a unui sistem este ca un set de elemente care interacționează și formează o anumită integritate, unitate. O calitate importantă a oricărui sistem este apariția - prezența proprietăților care nu sunt inerente niciunuia dintre elementele incluse în sistem. Prin urmare, atunci când studiem sistemele, nu este suficient să folosiți metoda împărțirii lor în elemente și apoi să studiați aceste elemente separat. Una dintre dificultățile cercetării economice este că aproape nu există obiecte economice care să poată fi considerate elemente separate (nesistemice).

Complexitatea unui sistem este determinată de numărul de elemente incluse în acesta, de conexiunile dintre aceste elemente, precum și de relația dintre sistem și mediu. Economia țării are toate caracteristicile unui sistem foarte complex. Combină un număr mare de elemente și se distinge printr-o varietate de conexiuni interne și conexiuni cu alte sisteme (mediu natural, economii ale altor țări etc.). În economia națională interacționează procesele naturale, tehnologice, sociale, factori obiectivi și subiectivi.

Complexitatea economiei a fost văzută uneori ca o justificare a imposibilității de a o modela și de a o studia folosind matematica. Dar acest punct de vedere este fundamental greșit. Puteți modela un obiect de orice natură și orice complexitate. Și tocmai obiectele complexe sunt cele care prezintă cel mai mare interes pentru modelare; Aici modelarea poate oferi rezultate care nu pot fi obținute prin alte metode de cercetare.

Posibilitatea potențială de modelare matematică a oricăror obiecte și procese economice nu înseamnă, desigur, fezabilitatea sa cu succes cu un anumit nivel de cunoștințe economice și matematice, informații specifice disponibile și tehnologie informatică. Și deși este imposibil să se indice limitele absolute ale formalizabilității matematice a problemelor economice, vor exista întotdeauna probleme neformalizate, precum și situații în care modelarea matematică nu este suficient de eficientă.

3. Caracteristici ale observaţiilor şi măsurătorilor economice.

Pentru o lungă perioadă de timp, principalul obstacol în calea aplicării practice a modelării matematice în economie a fost completarea modelelor dezvoltate cu informații specifice și de înaltă calitate. Acuratețea și completitudinea informațiilor primare, posibilitățile reale de colectare și prelucrare a acestora determină în mare măsură alegerea tipurilor de modele aplicate. Pe de altă parte, studiile de modelare economică propun noi cerințe pentru sistemul informațional.

În funcție de obiectele care se modelează și de scopul modelelor, informațiile inițiale utilizate în acestea au o natură și o origine semnificativ diferite. Poate fi împărțit în două categorii: despre dezvoltarea trecută și starea actuală a obiectelor (observații economice și prelucrarea lor) și despre dezvoltarea viitoare a obiectelor, inclusiv date despre schimbările așteptate ale parametrilor lor interni și condițiilor externe (prognoze). A doua categorie de informații este rezultatul cercetărilor independente, care pot fi efectuate și prin simulare.

Metodele pentru observațiile economice și utilizarea rezultatelor acestor observații sunt elaborate de statistica economică. Prin urmare, merită remarcate doar problemele specifice ale observațiilor economice asociate modelării proceselor economice.

În economie, multe procese sunt masive; ele sunt caracterizate prin modele care nu sunt evidente doar din una sau câteva observații. Prin urmare, modelarea în economie trebuie să se bazeze pe observații în masă.

O altă problemă este generată de dinamismul proceselor economice, de variabilitatea parametrilor acestora și de relațiile structurale. Ca urmare, procesele economice trebuie monitorizate constant și este necesar să existe un flux constant de date noi. Deoarece observațiile proceselor economice și prelucrarea datelor empirice durează de obicei destul de mult timp, atunci când se construiesc modele matematice ale economiei, este necesar să se ajusteze informațiile inițiale ținând cont de întârzierea acesteia.

Cunoașterea relațiilor cantitative ale proceselor și fenomenelor economice se bazează pe măsurători economice. Precizia măsurătorilor determină în mare măsură acuratețea rezultatelor finale ale analizei cantitative prin simulare. Prin urmare, o condiție necesară pentru utilizarea eficientă a modelării matematice este îmbunătățirea măsurilor economice. Utilizarea modelării matematice a acutizat problema măsurătorilor și comparațiilor cantitative ale diverselor aspecte și fenomene ale dezvoltării socio-economice, fiabilitatea și completitudinea datelor obținute și protecția acestora de distorsiuni intenționate și tehnice.

În timpul procesului de modelare, apare interacțiunea între indicatorii economici „primari” și „secundari”. Orice model de economie națională se bazează pe un anumit sistem de măsuri economice (produse, resurse, elemente etc.). În același timp, unul dintre rezultatele importante ale modelării economice naționale este obținerea de noi indicatori economici (secundari) - prețuri justificate economic pentru produse din diverse industrii, evaluări ale eficienței resurselor naturale de diferite calități și indicatori ai mediului social. utilitatea produselor. Aceste măsuri pot fi însă influențate de măsuri primare insuficient fundamentate, ceea ce obligă la elaborarea unei metodologii speciale de ajustare a măsurilor primare la modelele de afaceri.

Din punctul de vedere al „intereselor” modelării economice, în prezent cele mai stringente probleme de îmbunătățire a indicatorilor economici sunt: evaluarea rezultatelor activității intelectuale (în special în domeniul dezvoltărilor științifice și tehnice, industria informatică), construcția generală. indicatori de dezvoltare socio-economică, măsurarea efectelor de feedback (impactul mecanismelor economice și sociale asupra eficienței producției).

4. Aleatorie și incertitudine în dezvoltarea economică.

Pentru metodologia de planificare economică, conceptul de incertitudine a dezvoltării economice este important. În studiile privind prognoza și planificarea economică se disting două tipuri de incertitudine: „adevărată”, datorită proprietăților proceselor economice, și „informații”, asociată cu caracterul incomplet și inexactitatea informațiilor disponibile despre aceste procese. Adevărata incertitudine nu poate fi confundată cu existența obiectivă a diferitelor opțiuni de dezvoltare economică și cu posibilitatea de a alege în mod conștient opțiuni eficiente dintre acestea. Vorbim despre imposibilitatea fundamentală de a alege cu exactitate o singură opțiune (optimă).

În dezvoltarea economică, incertitudinea este cauzată de două motive principale. În primul rând, cursul proceselor planificate și controlate, precum și influențele externe asupra acestor procese, nu pot fi prezise cu acuratețe din cauza acțiunii factorilor aleatori și a limitărilor cogniției umane în fiecare moment. Acest lucru este tipic în special pentru prognoza progresului științific și tehnologic, a nevoilor societății și a comportamentului economic. În al doilea rând, planificarea și managementul general al statului nu numai că nu sunt cuprinzătoare, ci și nu sunt atotputernice, iar prezența multor entități economice independente cu interese speciale nu ne permite să prezicem cu exactitate rezultatele interacțiunilor lor. Informațiile incomplete și inexacte despre procesele obiective și comportamentul economic măresc adevărata incertitudine.

În primele etape ale cercetării privind modelarea economică s-au folosit cu precădere modele de tip determinist. În aceste modele, se presupune că toți parametrii sunt cunoscuți exact. Cu toate acestea, modelele deterministe sunt înțelese greșit în sens mecanic și identificate cu modele care sunt lipsite de toate „gradele de alegere” (oportunități de alegere) și au o singură soluție fezabilă. Un reprezentant clasic al modelelor strict deterministe este modelul de optimizare a economiei naționale, care este utilizat pentru a determina cea mai bună opțiune de dezvoltare economică dintre multe opțiuni fezabile.

Ca urmare a acumulării de experiență în utilizarea modelelor strict deterministe, s-au creat oportunități reale pentru utilizarea cu succes a unei metodologii mai avansate de modelare a proceselor economice care iau în considerare stocasticitatea și incertitudinea. Aici se pot distinge două domenii principale de cercetare. În primul rând, se va îmbunătăți metodologia de utilizare a modelelor strict deterministe: efectuarea de calcule multivariate și experimente pe model cu variații în proiectarea modelului și a datelor inițiale ale acestuia; studierea stabilității și fiabilității soluțiilor rezultate, identificarea zonei de incertitudine; includerea rezervelor în model, utilizarea tehnicilor care cresc adaptabilitatea deciziilor economice la situații probabile și neprevăzute. În al doilea rând, se răspândesc modele care reflectă direct stocasticitatea și incertitudinea proceselor economice și utilizează aparatul matematic adecvat: teoria probabilității și statistica matematică, teoria jocurilor și a deciziilor statistice, teoria cozilor de așteptare, programarea stocastică și teoria proceselor aleatorii.

5. Verificarea adecvării modelelor.

Complexitatea proceselor și fenomenelor economice și a altor trăsături ale sistemelor economice menționate mai sus fac dificilă nu numai construirea modelelor matematice, ci și verificarea adecvării acestora și a adevărului rezultatelor obținute.

În științele naturii, o condiție suficientă pentru adevărul rezultatelor modelării și oricăror alte forme de cunoaștere este coincidența rezultatelor cercetării cu faptele observate. Categoria „practică” coincide aici cu categoria „realitate”. În economie și alte științe sociale, principiul „practica este criteriul adevărului” înțeles în acest fel este mai aplicabil modelelor descriptive simple utilizate pentru descrierea pasivă și explicarea realității (analiza evoluției trecute, prognoza pe termen scurt a proceselor economice incontrolabile). , etc.).

Sarcina principală a științei economice este însă constructivă: dezvoltarea metodelor științifice de planificare și conducere a economiei. Prin urmare, un tip comun de modele matematice ale economiei sunt modelele de procese economice controlate și reglementate utilizate pentru a transforma realitatea economică. Astfel de modele sunt numite normative. Dacă modelele normative sunt orientate doar spre confirmarea realității, atunci ele nu vor putea servi drept instrument pentru rezolvarea unor probleme socio-economice noi calitativ.

Specificul verificării modelelor economice normative este că acestea, de regulă, „concurează” cu alte metode de planificare și management care și-au găsit deja aplicare practică. În același timp, nu este întotdeauna posibil să se efectueze un experiment pur pentru verificarea modelului, eliminând influența altor acțiuni de control asupra obiectului modelat.

Situația devine și mai complicată atunci când se pune problema verificării modelelor de prognoză și planificare pe termen lung (atât descriptive, cât și normative). La urma urmei, nu puteți aștepta pasiv 10-15 ani sau mai mult pentru a se întâmpla evenimente pentru a verifica corectitudinea premiselor modelului.

În ciuda circumstanțelor complicate remarcate, conformitatea modelului cu faptele și tendințele vieții economice reale rămâne cel mai important criteriu care determină direcțiile de îmbunătățire a modelelor. O analiză cuprinzătoare a discrepanțelor identificate între realitate și model, compararea rezultatelor din model cu rezultatele obținute prin alte metode ajută la dezvoltarea modalităților de corectare a modelelor.

Un rol semnificativ în verificarea modelelor revine analizei logice, inclusiv prin intermediul modelării matematice în sine. Astfel de metode formalizate de verificare a modelului precum probarea existenței unei soluții în model, verificarea adevărului ipotezelor statistice despre relațiile dintre parametrii și variabilele modelului, compararea dimensiunilor mărimilor etc., fac posibilă restrângerea clasa de modele potențial „corecte”.

Consistența internă a premiselor modelului se verifică și prin compararea consecințelor obținute cu ajutorul acestuia între ele, precum și cu consecințele modelelor „concurente”.

Evaluând starea actuală a problemei adecvării modelelor matematice la economie, trebuie recunoscut că crearea unei metodologii constructive cuprinzătoare pentru verificarea modelului, ținând cont atât de trăsăturile obiective ale obiectelor modelate, cât și de caracteristicile cunoașterii acestora. , este încă una dintre cele mai stringente sarcini ale cercetării economice și matematice.

6. Clasificarea modelelor economice şi matematice.

Modelele matematice ale proceselor și fenomenelor economice pot fi numite mai pe scurt modele economico-matematice. Pentru clasificarea acestor modele se folosesc baze diferite.

În funcție de scopul propus, modelele economice și matematice sunt împărțite în teoretice și analitice, utilizate în studiile proprietăților și modelelor generale ale proceselor economice și aplicate, utilizate în rezolvarea unor probleme economice specifice (modele de analiză economică, prognoză, management).

Modelele economice și matematice pot fi destinate studierii diferitelor aspecte ale economiei naționale (în special, structurile sale de producție, tehnologice, sociale, teritoriale) și părțile sale individuale. La clasificarea modelelor în funcție de procesele economice și problemele de fond studiate, se pot distinge modele ale economiei naționale în ansamblu și subsistemele acesteia - industrii, regiuni etc., complexe de modele de producție, consum, generare și distribuție a veniturilor, resurse de muncă, prețuri, relații financiare etc. .d.

Să ne oprim mai în detaliu asupra caracteristicilor unor astfel de clase de modele economice și matematice, care sunt asociate cu cele mai mari caracteristici ale metodologiei și tehnicilor de modelare.

În conformitate cu clasificarea generală a modelelor matematice, acestea sunt împărțite în funcționale și structurale și includ și forme intermediare (structural-funcționale). În studiile la nivel economic național se folosesc mai des modelele structurale, întrucât interconexiunile subsistemelor sunt de mare importanță pentru planificare și management. Modelele structurale tipice sunt modele de conexiuni intersectoriale. Modelele funcționale sunt utilizate pe scară largă în reglementarea economică, atunci când comportamentul unui obiect („ieșire”) este influențat de modificarea „inputului”. Un exemplu este modelul comportamentului consumatorului în condiţiile relaţiilor marfă-bani. Același obiect poate fi descris simultan atât printr-o structură, cât și printr-un model funcțional. De exemplu, pentru a planifica un sistem industrial separat, se folosește un model structural, iar la nivel economic național, fiecare industrie poate fi reprezentată printr-un model funcțional.

Diferențele dintre modelele descriptive și cele normative au fost deja arătate mai sus. Modelele descriptive răspund la întrebarea: cum se întâmplă acest lucru? sau cum s-ar putea dezvolta cel mai probabil acest lucru în continuare?, adică ele explică doar fapte observate sau oferă o predicție plauzibilă. Modelele normative răspund la întrebarea: cum ar trebui să fie asta?, i.e. implică o activitate intenționată. Un exemplu tipic de modele normative sunt modelele de planificare optimă, care formalizează într-un fel sau altul obiectivele dezvoltării economice, oportunitățile și mijloacele de realizare a acestora.

Utilizarea unei abordări descriptive în modelarea economică se explică prin necesitatea identificării empirice a diferitelor dependențe ale economiei, stabilirii tiparelor statistice de comportament economic al grupurilor sociale și studierii căilor probabile de dezvoltare a oricăror procese în condiții constante sau care au loc fără factori externi. influențe. Exemple de modele descriptive sunt funcțiile de producție și funcțiile de cerere ale consumatorilor construite pe baza prelucrării datelor statistice.

Dacă un model economico-matematic este descriptiv sau normativ depinde nu numai de structura sa matematică, ci de natura utilizării acestui model. De exemplu, modelul input-output este descriptiv dacă este utilizat pentru a analiza proporțiile perioadei trecute. Dar același model matematic devine normativ atunci când este utilizat pentru a calcula opțiuni echilibrate de dezvoltare a economiei naționale care să satisfacă nevoile finale ale societății la standardele de cost de producție planificate.

Multe modele economice și matematice combină caracteristicile modelelor descriptive și normative. O situație tipică este atunci când un model normativ al unei structuri complexe combină blocuri individuale, care sunt modele descriptive private. De exemplu, un model intersectorial ar putea include funcții de cerere a consumatorilor care descriu comportamentul consumatorului pe măsură ce venitul se modifică. Astfel de exemple caracterizează tendința de a combina eficient abordările descriptive și normative pentru modelarea proceselor economice. Abordarea descriptivă este utilizată pe scară largă în modelarea prin simulare.

Pe baza naturii reflectării relațiilor cauză-efect, se face o distincție între modelele strict deterministe și modelele care țin cont de aleatoriu și de incertitudine. Este necesar să se facă distincția între incertitudinea descrisă de legile probabilistice și incertitudinea pentru care legile teoriei probabilităților nu sunt aplicabile. Al doilea tip de incertitudine este mult mai dificil de modelat.

Conform metodelor de reflectare a factorului timp, modelele economice și matematice sunt împărțite în statice și dinamice. În modelele statice, toate dependențele se referă la un moment sau o perioadă de timp. Modelele dinamice caracterizează schimbările în procesele economice în timp. Pe baza duratei perioadei de timp luate în considerare, modelele de prognoză și planificare pe termen scurt (până la un an), pe termen mediu (până la 5 ani), pe termen lung (10-15 sau mai mulți ani) diferă. Timpul însuși în modelele economice și matematice se poate schimba fie continuu, fie discret.

Modelele proceselor economice sunt extrem de diverse sub forma dependențelor matematice. Este deosebit de important să evidențiem clasa de modele liniare care sunt cele mai convenabile pentru analiză și calcule și, ca urmare, au devenit larg răspândite. Diferențele dintre modelele liniare și neliniare sunt semnificative nu numai din punct de vedere matematic, ci și din punct de vedere teoretic și economic, deoarece multe dependențe din economie sunt fundamental neliniare: eficiența utilizării resurselor cu creșterea producției, schimbări. în cererea și consumul populației cu producție crescută, modificări ale cererii și consumului populației cu venituri în creștere etc. Teoria „economiei liniare” diferă semnificativ de teoria „economiei neliniare”. Concluziile despre posibilitatea de a combina planificarea centralizată și independența economică a subsistemelor economice depind în mod semnificativ de faptul dacă seturile de posibilități de producție ale subsistemelor (industrii, întreprinderi) sunt presupuse a fi convexe sau neconvexe.

În funcție de raportul dintre variabilele exogene și endogene incluse în model, acestea pot fi împărțite în deschise și închise. Nu există modele complet deschise; modelul trebuie să conţină cel puţin o variabilă endogenă. Modele economice și matematice complet închise, i.e. fără a include variabilele exogene, sunt extrem de rare; construcția lor necesită o abstracție completă din „mediu”, adică. îngroșarea gravă a sistemelor economice reale care au întotdeauna legături externe. Marea majoritate a modelelor economice și matematice ocupă o poziție intermediară și diferă prin gradul de deschidere (închidere).

Pentru modelele la nivel economic național este importantă împărțirea în agregate și detaliate.

În funcție de faptul dacă modelele economice naționale includ sau nu factori și condiții spațiale, se face o distincție între modelele spațiale și cele punctuale.

Astfel, clasificarea generală a modelelor economice și matematice include mai mult de zece caracteristici principale. Odată cu dezvoltarea cercetării economice și matematice, problema clasificării modelelor utilizate devine mai complicată. Odată cu apariția de noi tipuri de modele (în special tipuri mixte) și de noi caracteristici ale clasificării acestora, are loc procesul de integrare a modelelor de diferite tipuri în structuri de model mai complexe.

7. Etapele modelării economice şi matematice.

Principalele etape ale procesului de modelare au fost deja discutate mai sus. În diferite ramuri ale cunoașterii, inclusiv în economie, ei dobândesc propriile caracteristici specifice. Să analizăm succesiunea și conținutul etapelor unui ciclu de modelare economică și matematică.

1. Enunțarea problemei economice și analiza calitativă a acesteia. Principalul lucru aici este de a formula clar esența problemei, ipotezele făcute și întrebările la care sunt necesare răspunsuri. Această etapă include identificarea celor mai importante caracteristici și proprietăți ale obiectului modelat și abstracția de la cele minore; studierea structurii unui obiect și a dependențelor de bază care leagă elementele acestuia; formularea de ipoteze (cel puţin preliminare) care explică comportamentul şi dezvoltarea obiectului.

2. Construirea unui model matematic. Aceasta este etapa formalizării unei probleme economice, exprimând-o sub forma unor dependențe și relații matematice specifice (funcții, ecuații, inegalități etc.). De obicei, se determină mai întâi proiectul (tipul) principal al unui model matematic, iar apoi sunt specificate detaliile acestui proiect (o listă specifică de variabile și parametri, forma conexiunilor). Astfel, construcția modelului este la rândul său împărțită în mai multe etape.

Este greșit să credem că, cu cât un model ia în considerare mai multe fapte, cu atât „funcționează” mai bine și dă rezultate mai bune. Același lucru se poate spune despre astfel de caracteristici ale complexității modelului precum formele de dependențe matematice utilizate (liniare și neliniare), luând în considerare factorii aleatoriei și incertitudinii etc. Complexitatea excesivă și greutatea modelului complică procesul de cercetare. Este necesar să se ia în considerare nu numai capacitățile reale de informare și suport matematic, ci și să se compare costurile modelării cu efectul rezultat (pe măsură ce complexitatea modelului crește, creșterea costurilor poate depăși creșterea efectului) .

Una dintre caracteristicile importante ale modelelor matematice este potențialul utilizării lor pentru a rezolva probleme de diferite calități. Prin urmare, chiar și atunci când se confruntă cu o nouă problemă economică, nu este nevoie să ne străduim să „inventăm” modelul; În primul rând, trebuie să încercați să aplicați modele deja cunoscute pentru a rezolva această problemă.

În procesul de construire a unui model, se realizează o comparație a două sisteme de cunoștințe științifice - economic și matematic. Este firesc să ne străduim să obținem un model care să aparțină unei clase bine studiate de probleme matematice. Adesea, acest lucru se poate face simplificând oarecum ipotezele inițiale ale modelului, fără a distorsiona trăsăturile esențiale ale obiectului modelat. Totuși, o situație este posibilă și atunci când formalizarea unei probleme economice duce la o structură matematică necunoscută anterior. Nevoile științei și practicii economice la mijlocul secolului XX. a contribuit la dezvoltarea programării matematice, a teoriei jocurilor, a analizei funcționale și a matematicii computaționale. Este probabil ca în viitor dezvoltarea științei economice să devină un stimulent important pentru crearea de noi ramuri ale matematicii.

3. Analiza matematică a modelului. Scopul acestei etape este de a clarifica proprietățile generale ale modelului. Aici sunt folosite metode de cercetare pur pur matematice. Cel mai important punct este demonstrarea existenței soluțiilor în modelul formulat (teorema existenței). Dacă se poate dovedi că problema matematică nu are soluție, atunci nu este nevoie de lucrări ulterioare asupra versiunii originale a modelului; fie formularea problemei economice, fie metodele de formalizare matematică a acesteia ar trebui ajustate. În timpul studiului analitic al modelului se clarifică întrebări, cum ar fi, de exemplu, există o soluție unică, ce variabile (necunoscute) pot fi incluse în soluție, care vor fi relațiile dintre ele, în ce măsură și în funcție de ce condiții inițiale se schimbă, care sunt tendințele în schimbarea lor etc. Un studiu analitic al unui model, în comparație cu unul empiric (numeric), are avantajul că concluziile obținute rămân valabile pentru diferite valori specifice ale parametrilor externi și interni ai modelului.

Cunoașterea proprietăților generale ale unui model este atât de importantă, de multe ori pentru a demonstra astfel de proprietăți, cercetătorii idealizează în mod deliberat modelul original. Și totuși, modelele de obiecte economice complexe sunt foarte greu de studiat analitic. În cazurile în care metodele analitice nu reușesc să determine proprietățile generale ale modelului, iar simplificările modelului conduc la rezultate inacceptabile, se trece la metodele de cercetare numerică.

4. Pregătirea informațiilor de bază. Modelarea impune cerințe stricte asupra sistemului informațional. În același timp, posibilitățile reale de obținere a informațiilor limitează alegerea modelelor destinate utilizării practice. În acest caz, nu se ține cont doar de posibilitatea fundamentală de pregătire a informațiilor (într-un anumit interval de timp), ci și de costurile de pregătire a matricelor de informații corespunzătoare. Aceste costuri nu trebuie să depășească efectul utilizării informațiilor suplimentare.

În procesul de pregătire a informațiilor sunt utilizate pe scară largă metodele teoriei probabilităților, statisticii teoretice și matematice. În modelarea economică și matematică a sistemului, informațiile inițiale utilizate în unele modele sunt rezultatul funcționării altor modele.

5. Soluție numerică. Această etapă include dezvoltarea algoritmilor de rezolvare numerică a problemei, compilarea programelor de calculator și calcule directe. Dificultățile acestei etape se datorează în primul rând dimensiunii mari a problemelor economice și necesității procesării unor cantități semnificative de informații.

De obicei, calculele care utilizează un model economico-matematic sunt de natură multivariată. Datorită vitezei mari a computerelor moderne, este posibil să se efectueze numeroase experimente „model”, studiind „comportamentul” modelului în diferite schimbări în anumite condiții. Cercetările efectuate prin metode numerice pot completa semnificativ rezultatele cercetării analitice, iar pentru multe modele este singura fezabilă. Clasa problemelor economice care pot fi rezolvate prin metode numerice este mult mai largă decât clasa problemelor accesibile cercetării analitice.

6. Analiza rezultatelor numerice și aplicarea acestora. În această etapă finală a ciclului se pune întrebarea despre corectitudinea și completitudinea rezultatelor modelării, despre gradul de aplicabilitate practică a acestora din urmă.

Metodele de verificare matematică pot identifica construcțiile de model incorecte și, prin urmare, pot restrânge clasa modelelor potențial corecte. Analiza informală a concluziilor teoretice și a rezultatelor numerice obținute prin model, compararea acestora cu cunoștințele existente și cu faptele realității, face posibilă, de asemenea, detectarea deficiențelor în formularea problemei economice, a modelului matematic construit, precum și a informațiilor și a suportului matematic al acestuia.

Relații între etape. Figura 1 prezintă conexiunile dintre etapele unui ciclu de modelare economică și matematică.

Să fim atenți la conexiunile reciproce ale etapelor care apar datorită faptului că în timpul procesului de cercetare se descoperă neajunsuri ale etapelor anterioare de modelare.

Deja în etapa de construire a unui model, poate deveni clar că formularea problemei este contradictorie sau conduce la un model matematic prea complex. În conformitate cu aceasta, formularea originală a problemei este ajustată. Mai mult, analiza matematică a modelului (etapa 3) poate arăta că o ușoară modificare a enunțului problemei sau formalizarea acesteia dă un rezultat analitic interesant.

Cel mai adesea, nevoia de a reveni la etapele anterioare ale modelării apare la pregătirea informațiilor inițiale (etapa 4). Este posibil să descoperiți că informațiile necesare lipsesc sau că costul pregătirii lor este prea mare. Apoi trebuie să revenim la formularea problemei și formalizarea acesteia, modificându-le astfel încât să ne adaptăm la informațiile disponibile.

Întrucât problemele economice și matematice pot fi complexe ca structură și au o dimensiune mare, se întâmplă adesea ca algoritmii și programele de calculator cunoscuți să nu permită rezolvarea problemei în forma ei inițială. Dacă este imposibil să se dezvolte noi algoritmi și programe într-un timp scurt, formularea originală a problemei și modelul sunt simplificate: condițiile sunt eliminate și combinate, numărul de factori este redus, relațiile neliniare sunt înlocuite cu unele liniare. , se întărește determinismul modelului etc.

Deficiențele care nu pot fi corectate în etapele intermediare ale modelării sunt eliminate în ciclurile ulterioare. Dar rezultatele fiecărui ciclu au și un sens complet independent. Începând cercetările prin construirea unui model simplu, puteți obține rapid rezultate utile, apoi puteți trece la crearea unui model mai avansat, completat cu condiții noi, inclusiv dependențe matematice rafinate.

Pe măsură ce modelarea economică și matematică se dezvoltă și devine mai complexă, etapele sale individuale sunt izolate în domenii specializate de cercetare, diferențele dintre modelele teoretico-analitice și cele aplicate se intensifică, iar modelele sunt diferențiate în funcție de niveluri de abstractizare și idealizare.

Teoria analizei matematice a modelelor economice s-a dezvoltat într-o ramură specială a matematicii moderne - economia matematică. Modelele studiate în cadrul economiei matematice pierd legătura directă cu realitatea economică; se ocupă exclusiv de obiecte şi situaţii economice idealizate. La construirea unor astfel de modele, principiul principal nu este atât de a vă apropia de realitate, cât de a obține un număr cât mai mare de rezultate analitice prin demonstrații matematice. Valoarea acestor modele pentru teoria și practica economică este că ele servesc ca bază teoretică pentru modelele aplicate.

Domenii de cercetare destul de independente sunt pregătirea și prelucrarea informațiilor economice și dezvoltarea suportului matematic pentru problemele economice (crearea de baze de date și bănci de informații, programe de construcție automată a modelelor și servicii software pentru economiștii utilizatori). În etapa de utilizare practică a modelelor, rolul principal ar trebui să fie jucat de specialiști în domeniul relevant al analizei economice, al planificării și al managementului. Principalul domeniu de activitate pentru economiști și matematicieni rămâne formularea și formalizarea problemelor economice și sinteza procesului de modelare economică și matematică.

8. Rolul cercetării economice şi matematice aplicate.

Putem distinge cel puțin patru aspecte ale utilizării metodelor matematice în rezolvarea problemelor practice.

1. Îmbunătățirea sistemului informațional economic. Metodele matematice fac posibilă organizarea sistemului de informații economice, identificarea deficiențelor informațiilor existente și dezvoltarea cerințelor pentru pregătirea de noi informații sau corectarea acestora. Dezvoltarea și aplicarea modelelor economice și matematice indică modalități de îmbunătățire a informațiilor economice care vizează rezolvarea unui sistem specific de probleme de planificare și management. Progresul în suportul informațional pentru planificare și management se bazează pe dezvoltarea rapidă a instrumentelor tehnice și software ale informaticii.

2. Intensificarea si cresterea acuratetii calculelor economice. Formalizarea problemelor economice și utilizarea computerelor accelerează foarte mult calculele standard, de masă, măresc precizia și reduc intensitatea muncii și fac posibilă realizarea unor justificări economice multivariate pentru activități complexe care sunt inaccesibile sub dominația tehnologiei „manuale”.

3. Aprofundarea analizei cantitative a problemelor economice. Datorită aplicării metodei de modelare, capacitățile de analiză cantitativă specifică sunt îmbunătățite semnificativ; studiul multor factori care influențează procesele economice, evaluarea cantitativă a consecințelor modificărilor condițiilor de dezvoltare a obiectelor economice etc.

4. Rezolvarea unor probleme economice fundamental noi. Prin modelare matematică se pot rezolva probleme economice care sunt practic imposibil de rezolvat prin alte mijloace, de exemplu: găsirea versiunii optime a planului economic național, simularea activităților economice naționale, automatizarea controlului asupra funcționării obiectelor economice complexe.

Sfera de aplicare practică a metodei de modelare este limitată de capacitățile și eficacitatea formalizării problemelor și situațiilor economice, precum și de starea informațiilor, a suportului matematic și tehnic al modelelor utilizate. Dorința de a aplica cu orice preț un model matematic poate să nu dea rezultate bune din cauza lipsei măcar a unor condiții necesare.

În conformitate cu ideile științifice moderne, sistemele de dezvoltare și luare a deciziilor de afaceri ar trebui să combine metode formale și informale, care să se consolideze reciproc și să se completeze unele cu altele. Metodele formale sunt în primul rând un mijloc de pregătire bazată științific a materialului pentru acțiunile umane în procesele de management. Acest lucru face posibilă utilizarea productivă a experienței și intuiției unei persoane, a capacității sale de a rezolva probleme slab formalizate.

Vopsele, fata, manichiura, sampoane. Îngrijire a pielii

Metode și modele economice și matematice de analiză. Raport: Aplicarea metodelor economice și matematice în economie

Trimiteți-vă munca bună în baza de cunoștințe este simplu. Utilizați formularul de mai jos

Introducere

1. Modele matematice

1.1 Clasificarea modelelor economice și matematice

2. Modelare de optimizare

2.1 Programare liniară

2.1.1 Programarea liniară ca instrument de modelare matematică a economiei

2.1.2 Exemple de modele de programare liniară

2.1.3 Alocarea optimă a resurselor

Concluzie

Documente similare

Introducere

Partea nr. 1 „Studiul modelului matematic”

Introducere

Partea nr. 1 „Studiul modelului matematic”

Întocmirea unui model matematic

Crearea și salvarea rapoartelor

Analiza solutiei gasite. Răspunsuri la întrebări

concluzii

Partea Nr. 2 „Calculul modelului economico-matematic al soldului input-output

Rezolvarea unei probleme pe computer

Echilibrul intersectorial al producției și distribuției produselor

concluzii

Literatură

1. Modelarea ca metodă de cunoaştere ştiinţifică.

2. Caracteristici ale aplicării metodei modelării matematice în economie.

3. Caracteristici ale observaţiilor şi măsurătorilor economice.

4. Aleatorie și incertitudine în dezvoltarea economică.

5. Verificarea adecvării modelelor.

6. Clasificarea modelelor economice şi matematice.

7. Etapele modelării economice şi matematice.

8. Rolul cercetării economice şi matematice aplicate.

Trimiteți-vă munca bună în baza de cunoștințe este simplu. Utilizați formularul de mai jos

Introducere

1. Modele matematice

1.1 Clasificarea modelelor economice și matematice

2. Modelare de optimizare

2.1 Programare liniară

2.1.1 Programarea liniară ca instrument de modelare matematică a economiei

2.1.2 Exemple de modele de programare liniară

2.1.3 Alocarea optimă a resurselor

Concluzie

Documente similare

Introducere

Partea nr. 1 „Studiul modelului matematic”

Introducere

Partea nr. 1 „Studiul modelului matematic”

Întocmirea unui model matematic

Crearea și salvarea rapoartelor

Analiza solutiei gasite. Răspunsuri la întrebări

concluzii

Partea Nr. 2 „Calculul modelului economico-matematic al soldului input-output

Rezolvarea unei probleme pe computer

Echilibrul intersectorial al producției și distribuției produselor

concluzii

Literatură

1. Modelarea ca metodă de cunoaştere ştiinţifică.

2. Caracteristici ale aplicării metodei modelării matematice în economie.

3. Caracteristici ale observaţiilor şi măsurătorilor economice.

4. Aleatorie și incertitudine în dezvoltarea economică.

5. Verificarea adecvării modelelor.

6. Clasificarea modelelor economice şi matematice.

7. Etapele modelării economice şi matematice.

8. Rolul cercetării economice şi matematice aplicate.

Materiale conexe: