Progresie aritmetică denumește o succesiune de numere (termeni ai unei progresii)

În care fiecare termen ulterior diferă de cel precedent printr-un termen nou, care se mai numește diferență de pas sau de progresie.

Astfel, prin specificarea pasului de progresie și a primului său termen, puteți găsi oricare dintre elementele acestuia folosind formula

Proprietățile unei progresii aritmetice

1) Fiecare membru al unei progresii aritmetice, începând de la al doilea număr, este media aritmetică a membrilor anteriori și următori ai progresiei

Este adevărat și invers. Dacă media aritmetică a termenilor impari (pari) adiacenți ai unei progresii este egală cu termenul care se află între ei, atunci această succesiune de numere este o progresie aritmetică. Folosind această declarație, este foarte ușor să verifici orice secvență.

De asemenea, prin proprietatea progresiei aritmetice, formula de mai sus poate fi generalizată la următoarele

Acest lucru este ușor de verificat dacă scrieți termenii în dreapta semnului egal

Este adesea folosit în practică pentru a simplifica calculele în probleme.

2) Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice se calculează folosind formula

Amintiți-vă bine formula pentru suma unei progresii aritmetice este indispensabilă în calcule și se găsește destul de des în situații simple de viață.

3) Dacă trebuie să găsiți nu întreaga sumă, ci o parte a secvenței începând cu al k-lea termen, atunci următoarea formulă a sumei vă va fi utilă

4) De interes practic este găsirea sumei n termeni ai unei progresii aritmetice pornind de la numărul k-lea. Pentru a face acest lucru, utilizați formula

Aceasta încheie materialul teoretic și trece la rezolvarea problemelor comune în practică.

Exemplul 1. Aflați al patruzecilea termen al progresiei aritmetice 4;7;...

Soluţie:

Dupa starea pe care o avem

Să stabilim pasul de progres

Folosind o formulă binecunoscută, găsim al patruzecelea termen al progresiei

Exemplul 2. Progresie aritmetică este dat de al treilea și al șaptelea termen. Găsiți primul termen al progresiei și suma a zece.

Soluţie:

Să notăm elementele date ale progresiei folosind formulele

Pe prima o scadem din a doua ecuatie, ca rezultat gasim pasul de progresie

Înlocuim valoarea găsită în oricare dintre ecuații pentru a găsi primul termen al progresiei aritmetice

Calculăm suma primilor zece termeni ai progresiei

Fără a folosi calcule complexe, am găsit toate cantitățile necesare.

Exemplul 3. O progresie aritmetică este dată de numitor și unul dintre termenii săi. Găsiți primul termen al progresiei, suma celor 50 de termeni ai săi începând de la 50 și suma primilor 100.

Soluţie:

Să notăm formula pentru al sutelea element al progresiei

și găsește-l pe primul

Pe baza primului, găsim al 50-lea termen al progresiei

Aflarea sumei părții din progresie

și suma primelor 100

Valoarea progresiei este de 250.

Exemplul 4.

Aflați numărul de termeni ai unei progresii aritmetice dacă:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Soluţie:

Să scriem ecuațiile în termenii primului termen și al pasului de progresie și să le determinăm

Înlocuim valorile obținute în formula sumei pentru a determina numărul de termeni din sumă

Efectuăm simplificări

și rezolvați ecuația pătratică

Dintre cele două valori găsite, doar numărul 8 se potrivește condițiilor problemei. Astfel, suma primilor opt termeni ai progresiei este 111.

Exemplul 5.

Rezolvați ecuația

1+3+5+...+x=307.

Rezolvare: Această ecuație este suma unei progresii aritmetice. Să scriem primul său termen și să găsim diferența de progres

Dacă pentru fiecare număr natural n potrivește un număr real un n , atunci ei spun că este dat succesiune de numere :

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , un n , . . . .

Deci, secvența de numere este o funcție a argumentului natural.

Număr A 1 numit primul termen al secvenței , număr A 2 — al doilea termen al secvenței , număr A 3 — al treilea și așa mai departe. Număr un n numit al n-lea termen secvente , și un număr natural n — numărul lui .

Din doi membri alăturați un n Și un n +1 membru al secvenței un n +1 numit ulterior (către un n ), A un n — anterior (către un n +1 ).

Pentru a defini o secvență, trebuie să specificați o metodă care vă permite să găsiți un membru al secvenței cu orice număr.

Adesea secvența este specificată folosind formule al n-lea termen , adică o formulă care vă permite să determinați un membru al unei secvențe după numărul acesteia.

De exemplu,

o succesiune de numere impare pozitive poate fi dată prin formula

un n= 2n- 1,

iar succesiunea alternării 1 Și -1 - formulă

b n = (-1)n +1 . ◄

Secvența poate fi determinată formulă recurentă, adică o formulă care exprimă orice membru al secvenței, începând cu unii, prin membrii anteriori (unul sau mai mulți).

De exemplu,

Dacă A 1 = 1 , A un n +1 = un n + 5

A 1 = 1,

A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Dacă a 1= 1, a 2 = 1, un n +2 = un n + un n +1 , atunci primii șapte termeni ai șirului numeric se stabilesc după cum urmează:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

un 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,

A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Secvențele pot fi final Și fără sfârşit .

Secvența este numită final , dacă are un număr finit de membri. Secvența este numită fără sfârşit , dacă are infinit de membri.

De exemplu,

succesiune de două cifre numere naturale:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

Succesiunea numerelor prime:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

fără sfârşit. ◄

Secvența este numită crescând , dacă fiecare dintre membrii săi, începând cu al doilea, este mai mare decât precedentul.

Secvența este numită in scadere , dacă fiecare dintre membrii săi, începând cu al doilea, este mai mic decât precedentul.

De exemplu,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — succesiune crescătoare;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — secvență descrescătoare. ◄

O succesiune ale cărei elemente nu scad pe măsură ce numărul crește sau, dimpotrivă, nu cresc, se numește succesiune monotonă .

Secvențele monotone, în special, sunt secvențe crescătoare și secvențe descrescătoare.

Progresie aritmetică

Progresie aritmetică este o succesiune în care fiecare membru, începând de la al doilea, este egal cu precedentul, la care se adaugă același număr.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , un n, . . .

este o progresie aritmetică dacă pentru orice număr natural n conditia este indeplinita:

un n +1 = un n + d,

Unde d - un anumit număr.

Astfel, diferența dintre termenii următori și anteriori ai unei progresii aritmetice date este întotdeauna constantă:

a 2 - A 1 = a 3 - A 2 = . . . = un n +1 - un n = d.

Număr d numit diferența de progresie aritmetică.

Pentru a defini o progresie aritmetică, este suficient să indicați primul său termen și diferența.

De exemplu,

Dacă A 1 = 3, d = 4 , atunci găsim primii cinci termeni ai secvenței după cum urmează:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

A 5 = A 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Pentru o progresie aritmetică cu primul termen A 1 si diferenta d a ei n

un n = a 1 + (n- 1)d.

De exemplu,

găsiți al treizecilea termen al progresiei aritmetice

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

un 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

un n-1 = a 1 + (n- 2)d,

un n= a 1 + (n- 1)d,

un n +1 = A 1 + nd,

atunci evident

un n=	a n-1 + a n+1
	2

Fiecare membru al unei progresii aritmetice, pornind de la al doilea, este egal cu media aritmetica a membrilor precedenti si urmatori.

numerele a, b și c sunt termeni succesivi ai unei progresii aritmetice dacă și numai dacă unul dintre ei este egal cu media aritmetică a celorlalte două.

De exemplu,

un n = 2n- 7 , este o progresie aritmetică.

Să folosim afirmația de mai sus. Avem:

un n = 2n- 7,

un n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

un n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Prin urmare,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = un n,
2		2

◄

Rețineți că n Al treilea termen al unei progresii aritmetice poate fi găsit nu numai prin A 1 , dar și orice anterioară un k

un n = un k + (n- k)d.

De exemplu,

Pentru A 5 poate fi notat

un 5 = a 1 + 4d,

un 5 = a 2 + 3d,

un 5 = a 3 + 2d,

un 5 = a 4 + d. ◄

un n = un n-k + kd,

un n = un n+k - kd,

atunci evident

un n=	A n-k +a n+k
	2

orice membru al unei progresii aritmetice, începând cu al doilea, este egal cu jumătate din suma membrilor egal distanțați ai acestei progresii aritmetice.

În plus, pentru orice progresie aritmetică este valabilă următoarea egalitate:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

De exemplu,

în progresie aritmetică

1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;

2) 28 = un 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) un 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, deoarece

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ un n,

primul n termenii unei progresii aritmetice este egal cu produsul dintre jumătate din suma termenilor extremi și numărul de termeni:

De aici, în special, rezultă că dacă trebuie să însumați termenii

un k, un k +1 , . . . , un n,

atunci formula anterioară își păstrează structura:

De exemplu,

în progresie aritmetică 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Dacă este dată o progresie aritmetică, atunci cantitățile A 1 , un n, d, nȘiS n legate prin două formule:

Prin urmare, dacă semnificațiile lui trei dintre aceste mărimi sunt date, apoi valorile corespunzătoare ale celorlalte două mărimi sunt determinate din aceste formule, combinate într-un sistem de două ecuații cu două necunoscute.

O progresie aritmetică este o succesiune monotonă. în care:

• Dacă d > 0 , atunci este în creștere;
• Dacă d < 0 , atunci este în scădere;
• Dacă d = 0 , atunci secvența va fi staționară.

Progresie geometrică

Progresie geometrică este o succesiune în care fiecare membru, începând de la al doilea, este egal cu precedentul înmulțit cu același număr.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

este o progresie geometrică dacă pentru orice număr natural n conditia este indeplinita:

b n +1 = b n · q,

Unde q ≠ 0 - un anumit număr.

Astfel, raportul dintre termenul următor al unei progresii geometrice date și cel precedent este un număr constant:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Număr q numit numitorul progresiei geometrice.

Pentru a defini o progresie geometrică, este suficient să indicați primul său termen și numitorul.

De exemplu,

Dacă b 1 = 1, q = -3 , atunci găsim primii cinci termeni ai secvenței după cum urmează:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 și numitorul q a ei n Al treilea termen poate fi găsit folosind formula:

b n = b 1 · qn -1 .

De exemplu,

găsiți al șaptelea termen al progresiei geometrice 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

atunci evident

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

fiecare membru al progresiei geometrice, incepand de la al doilea, este egal cu media geometrica (proportionala) a membrelor precedente si urmatoare.

Întrucât este și inversul adevărat, următoarea afirmație este valabilă:

numerele a, b și c sunt termeni succesivi ai unei progresii geometrice dacă și numai dacă pătratul unuia dintre ele este egal cu produsul celorlalte două, adică unul dintre numere este media geometrică a celorlalte două.

De exemplu,

Să demonstrăm că succesiunea dată de formulă b n= -3 2 n , este o progresie geometrică. Să folosim afirmația de mai sus. Avem:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Prin urmare,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

care dovedeşte afirmaţia dorită. ◄

Rețineți că n Al treilea termen al unei progresii geometrice poate fi găsit nu numai prin b 1 , dar și orice membru anterior b k , pentru care este suficient să folosiți formula

b n = b k · qn - k.

De exemplu,

Pentru b 5 poate fi notat

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

atunci evident

b n 2 = b n - k· b n + k

pătratul oricărui termen al unei progresii geometrice, începând de la al doilea, este egal cu produsul termenilor acestei progresii echidistant de acesta.

În plus, pentru orice progresie geometrică egalitatea este adevărată:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

De exemplu,

în progresie geometrică

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , deoarece

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

primul n membrii unei progresii geometrice cu numitor q ≠ 0 calculat prin formula:

Și atunci când q = 1 - conform formulei

S n= nb 1

Rețineți că, dacă trebuie să însumați termenii

b k, b k +1 , . . . , b n,

atunci se folosește formula:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

De exemplu,

în progresie geometrică 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Dacă este dată o progresie geometrică, atunci mărimile b 1 , b n, q, nȘi S n legate prin două formule:

Prin urmare, dacă sunt date valorile oricărei trei dintre aceste mărimi, atunci valorile corespunzătoare ale celorlalte două mărimi sunt determinate din aceste formule, combinate într-un sistem de două ecuații cu două necunoscute.

Pentru o progresie geometrică cu primul termen b 1 și numitorul q au loc următoarele proprietățile monotonității :

• progresia crește dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:

b 1 > 0 Și q> 1;

b 1 < 0 Și 0 < q< 1;

• Progresia este în scădere dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:

b 1 > 0 Și 0 < q< 1;

b 1 < 0 Și q> 1.

Dacă q< 0 , atunci progresia geometrică este alternativă: termenii săi cu numere impare au același semn ca primul său termen, iar termenii cu numere pare au semnul opus. Este clar că o progresie geometrică alternativă nu este monotonă.

Produsul primului n termenii unei progresii geometrice pot fi calculati folosind formula:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

De exemplu,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Progresie geometrică în scădere infinită

Progresie geometrică în scădere infinită numită progresie geometrică infinită al cărei modul numitor este mai mic 1 , acesta este

|q| < 1 .

Rețineți că o progresie geometrică infinit descrescătoare poate să nu fie o succesiune descrescătoare. Se potrivește ocaziei

1 < q< 0 .

Cu un astfel de numitor, succesiunea este alternativă. De exemplu,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare numiți numărul de care se apropie fără limită suma primelor n membrii unei progresii cu o creștere nelimitată a numărului n . Acest număr este întotdeauna finit și este exprimat prin formula

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

De exemplu,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Relația dintre progresiile aritmetice și geometrice

Progresiile aritmetice și geometrice sunt strâns legate. Să ne uităm la doar două exemple.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . d , Acea

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

De exemplu,

1, 3, 5, . . . - progresie aritmetica cu diferenta 2 Și

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - progresie geometrică cu numitor 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - progresie geometrică cu numitor q , Acea

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - progresie aritmetica cu diferenta log aq .

De exemplu,

2, 12, 72, . . . - progresie geometrică cu numitor 6 Și

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - progresie aritmetica cu diferenta lg 6 . ◄

Primul nivel

Progresie aritmetică. Teorie detaliată cu exemple (2019)

Secvență de numere

Deci, hai să ne așezăm și să începem să scriem câteva numere. De exemplu:
Puteți scrie orice numere și pot fi atâtea câte doriți (în cazul nostru, există). Indiferent câte numere am scrie, putem spune întotdeauna care este primul, care este al doilea și tot așa până la ultimul, adică le putem numerota. Acesta este un exemplu de succesiune de numere:

Secvență de numere
De exemplu, pentru secvența noastră:

Numărul atribuit este specific unui singur număr din succesiune. Cu alte cuvinte, nu există trei numere secunde în succesiune. Al doilea număr (ca și al-lea număr) este întotdeauna același.
Numărul cu număr se numește al treilea termen al șirului.

De obicei, numim întreaga secvență printr-o literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe este aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru: .

În cazul nostru:

Să presupunem că avem o succesiune de numere în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală.
De exemplu:

etc.
Această secvență de numere se numește progresie aritmetică.
Termenul „progresie” a fost introdus de autorul roman Boethius încă din secolul al VI-lea și a fost înțeles în mai multe în sens larg, ca o succesiune infinită de numere. Denumirea „aritmetică” a fost transferată din teoria proporțiilor continue, care a fost studiată de grecii antici.

Aceasta este o secvență de numere, fiecare membru al căruia este egal cu cel anterior adăugat la același număr. Acest număr se numește diferența unei progresii aritmetice și este desemnat.

Încercați să determinați care secvențe de numere sunt o progresie aritmetică și care nu sunt:

A)
b)
c)
d)

Am înţeles? Să comparăm răspunsurile noastre:
Este progresie aritmetică - b, c.
Nu este progresie aritmetică - a, d.

Să revenim la progresia dată () și să încercăm să găsim valoarea celui de-al treilea termen. Există Două mod de a-l găsi.

1. Metoda

Putem adăuga numărul de progresie la valoarea anterioară până ajungem la al treilea termen al progresiei. Este bine că nu avem multe de rezumat - doar trei valori:

Deci, al treilea termen al progresiei aritmetice descrise este egal cu.

2. Metoda

Ce se întâmplă dacă ar trebui să găsim valoarea celui de-al treilea termen al progresiei? Însumarea ne-ar lua mai mult de o oră și nu este un fapt că nu am greși atunci când adunăm numere.
Desigur, matematicienii au venit cu un mod în care nu este necesar să adăugați diferența unei progresii aritmetice la valoarea anterioară. Aruncă o privire mai atentă la imaginea desenată... Cu siguranță ai observat deja un anumit tipar și anume:

De exemplu, să vedem în ce constă valoarea celui de-al treilea termen al acestei progresii aritmetice:


Cu alte cuvinte:

Încercați să găsiți singur valoarea unui membru al unei anumite progresii aritmetice în acest fel.

ai calculat? Comparați notele cu răspunsul:

Vă rugăm să rețineți că ați obținut exact același număr ca în metoda anterioară, când am adăugat secvențial termenii progresiei aritmetice la valoarea anterioară.
Să încercăm să „depersonalizăm” această formulă- Hai să o aducem la forma generala si obtinem:

Ecuația de progresie aritmetică.

Progresiile aritmetice pot fi crescătoare sau descrescătoare.

Crescând- progresii în care fiecare valoare ulterioară a termenilor este mai mare decât cea anterioară.
De exemplu:

Descendentă- progresii în care fiecare valoare ulterioară a termenilor este mai mică decât cea anterioară.
De exemplu:

Formula derivată este utilizată în calculul termenilor atât în ​​termeni crescanți, cât și în termeni descrescători ai unei progresii aritmetice.
Să verificăm acest lucru în practică.
Ni se oferă o progresie aritmetică constând din următoarele numere: Să verificăm care va fi al-lea număr al acestei progresii aritmetice dacă folosim formula noastră pentru a o calcula:

De atunci:

Astfel, suntem convinși că formula funcționează atât în ​​progresie aritmetică descrescătoare, cât și în creștere.
Încercați să găsiți singuri termenii al treilea și al treilea ai acestei progresii aritmetice.

Să comparăm rezultatele:

Proprietatea progresiei aritmetice

Să complicăm problema - vom deriva proprietatea progresiei aritmetice.
Să presupunem că ni se oferă următoarea condiție:
- progresie aritmetică, găsiți valoarea.
Ușor, spui și începi să numeri după formula pe care o știi deja:

Să, ah, atunci:

Absolut corect. Se pare că mai întâi găsim, apoi îl adăugăm la primul număr și obținem ceea ce căutăm. Dacă progresia este reprezentată de valori mici, atunci nu este nimic complicat, dar dacă ni se dau numere în stare? De acord, există posibilitatea de a face o greșeală în calcule.
Acum gândiți-vă dacă este posibil să rezolvați această problemă într-un singur pas folosind orice formulă? Bineînțeles că da, și asta vom încerca să scoatem acum.

Să notăm termenul necesar al progresiei aritmetice, deoarece formula pentru a-l găsi este cunoscută - aceasta este aceeași formulă pe care am derivat-o la început:
, Apoi:

• termenul anterior al progresiei este:
• următorul termen al progresiei este:

Să rezumam termenii anteriori și următori ai progresiei:

Rezultă că suma termenilor anteriori și următori ai progresiei este valoarea dublă a termenului de progresie situat între ei. Cu alte cuvinte, pentru a găsi valoarea unui termen de progresie cu valori anterioare și succesive cunoscute, trebuie să le adunați și să împărțiți la.

Așa e, avem același număr. Să asigurăm materialul. Calculați singur valoarea progresiei, nu este deloc dificil.

Bine făcut! Știi aproape totul despre progres! Rămâne să aflăm o singură formulă, care, potrivit legendei, a fost ușor dedusă de unul dintre cei mai mari matematicieni ai tuturor timpurilor, „regele matematicienilor” - Karl Gauss...

Când Carl Gauss avea 9 ani, un profesor, ocupat să verifice munca elevilor din alte clase, a atribuit următoarea sarcină în clasă: „Calculează suma tuturor numerelor naturale de la la (conform altor surse la) inclusiv.” Imaginați-vă surpriza profesorului când unul dintre elevii săi (acesta era Karl Gauss) un minut mai târziu a dat răspunsul corect la sarcină, în timp ce majoritatea colegilor temerului, după lungi calcule, au primit rezultatul greșit...

Tânărul Carl Gauss a observat un anumit model pe care și tu îl poți observa cu ușurință.
Să presupunem că avem o progresie aritmetică constând din --i termeni: Trebuie să găsim suma acestor termeni ai progresiei aritmetice. Desigur, putem să însumăm manual toate valorile, dar ce se întâmplă dacă sarcina necesită găsirea sumei termenilor săi, așa cum căuta Gauss?

Să descriem progresul care ni s-a dat. Aruncați o privire mai atentă la numerele evidențiate și încercați să efectuați diverse operații matematice cu ele.


Ai încercat? Ce ai observat? Dreapta! Sumele lor sunt egale

Acum spune-mi, câte astfel de perechi sunt în total în progresia care ni s-a dat? Desigur, exact jumătate din toate numerele, adică.
Pe baza faptului că suma a doi termeni ai unei progresii aritmetice este egală, iar perechile similare sunt egale, obținem că suma totală este egală cu:
.
Astfel, formula pentru suma primilor termeni ai oricărei progresii aritmetice va fi:

În unele probleme nu cunoaștem al treilea termen, dar știm diferența de progresie. Încercați să înlocuiți formula celui de-al treilea termen în formula sumei.
Ce ai primit?

Bine făcut! Acum să revenim la problema care i-a fost pusă lui Carl Gauss: calculați singur cu ce este egală suma numerelor care încep de la th și suma numerelor începând de la th.

Cât ai primit?
Gauss a descoperit că suma termenilor este egală, iar suma termenilor. Asta ai decis?

De fapt, formula pentru suma termenilor unei progresii aritmetice a fost dovedită de omul de știință grec antic Diophantus încă din secolul al III-lea și, de-a lungul acestui timp, oamenii plini de spirit au folosit pe deplin proprietățile progresiei aritmetice.
De exemplu, imaginați-vă Egiptul Antic și cel mai mare proiect de construcție din acea vreme - construcția unei piramide... Imaginea arată o parte a acesteia.

Unde este progresul aici, zici? Privește cu atenție și găsește un model în numărul de blocuri de nisip din fiecare rând al peretelui piramidei.


De ce nu o progresie aritmetică? Calculați câte blocuri sunt necesare pentru a construi un perete dacă cărămizi bloc sunt plasate la bază. Sper că nu veți număra în timp ce vă mutați degetul pe monitor, vă amintiți ultima formulă și tot ce am spus despre progresia aritmetică?

În acest caz, progresia arată astfel: .
Diferența de progresie aritmetică.
Numărul de termeni ai unei progresii aritmetice.
Să substituim datele noastre în ultimele formule (calculați numărul de blocuri în 2 moduri).

Metoda 1.

Metoda 2.

Și acum puteți calcula pe monitor: comparați valorile obținute cu numărul de blocuri care se află în piramida noastră. Am înţeles? Bravo, ai stăpânit suma celor n-ai termeni ai unei progresii aritmetice.
Desigur, nu poți construi o piramidă din blocuri de la bază, dar din? Încercați să calculați câte cărămizi de nisip sunt necesare pentru a construi un zid cu această condiție.
Ai reușit?
Răspunsul corect este blocurile:

Instruire

Sarcini:

1. Masha se pune în formă pentru vară. În fiecare zi crește numărul de genuflexiuni cu. De câte ori va face Masha genuflexiuni într-o săptămână dacă a făcut genuflexiuni la primul antrenament?
2. Care este suma tuturor numerelor impare conținute în.
3. Când stochează jurnalele, loggerile le stivuiesc în așa fel încât fiecare strat superior conține un jurnal mai puțin decât cel precedent. Câți bușteni sunt într-o zidărie, dacă fundația zidăriei sunt bușteni?

Raspunsuri:

1. Să definim parametrii progresiei aritmetice. În acest caz
   (săptămâni = zile).

   Răspuns:În două săptămâni, Masha ar trebui să facă genuflexiuni o dată pe zi.

2. Primul număr impar, ultimul număr.
   Diferența de progresie aritmetică.
   Numărul de numere impare din este jumătate, totuși, să verificăm acest fapt folosind formula pentru găsirea celui de-al treilea termen al unei progresii aritmetice:

   Numerele conțin numere impare.
   Să înlocuim datele disponibile în formula:

   Răspuns: Suma tuturor numerelor impare conținute în este egală.

3. Să ne amintim de problema piramidelor. Pentru cazul nostru, a , deoarece fiecare strat superior este redus cu un buștean, atunci în total există o grămadă de straturi, adică.
   Să înlocuim datele în formula:

   Răspuns: Sunt bușteni în zidărie.

Să rezumam

1. - o succesiune de numere în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală. Poate fi în creștere sau în scădere.
2. Găsirea formulei Al treilea termen al unei progresii aritmetice se scrie cu formula - , unde este numărul de numere din progresie.
3. Proprietatea membrilor unei progresii aritmetice- - unde este numărul de numere în progresie.
4. Suma termenilor unei progresii aritmetice poate fi găsit în două moduri:
   
   , unde este numărul de valori.

PROGRESIA ARITMETICĂ. NIVEL MEDIU

Secvență de numere

Să ne așezăm și să începem să scriem câteva numere. De exemplu:

Puteți scrie orice numere și pot fi atâtea câte doriți. Dar putem spune întotdeauna care este primul, care este al doilea și așa mai departe, adică le putem număra. Acesta este un exemplu de succesiune de numere.

Secvență de numere este un set de numere, fiecăruia cărora li se poate atribui un număr unic.

Cu alte cuvinte, fiecare număr poate fi asociat cu un anumit număr natural și cu unul unic. Și nu vom atribui acest număr niciunui alt număr din acest set.

Numărul cu număr se numește al-lea membru al secvenței.

De obicei, numim întreaga secvență printr-o literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe este aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru: .

Este foarte convenabil dacă al treilea termen al secvenței poate fi specificat printr-o formulă. De exemplu, formula

stabilește secvența:

Și formula este următoarea succesiune:

De exemplu, o progresie aritmetică este o succesiune (primul termen aici este egal, iar diferența este). Sau (, diferență).

al n-lea termen formulă

Numim o formulă recurentă în care, pentru a afla al treilea termen, trebuie să-i cunoști pe anterior sau mai multe anterioare:

Pentru a găsi, de exemplu, cel de-al treilea termen al progresiei folosind această formulă, va trebui să-i calculăm pe cei nouă anteriori. De exemplu, lasa-l. Apoi:

Ei bine, este clar acum care este formula?

În fiecare linie adăugăm, înmulțită cu un număr. Care? Foarte simplu: acesta este numărul membrului curent minus:

Mult mai convenabil acum, nu? Verificăm:

Decide pentru tine:

Într-o progresie aritmetică, găsiți formula pentru al n-lea termen și găsiți al sutelea termen.

Soluţie:

Primul termen este egal. Care este diferența? Iată ce:

(De aceea se numește diferență deoarece este egală cu diferența de termeni succesivi ai progresiei).

Deci, formula:

Atunci al sutelea termen este egal cu:

Care este suma tuturor numerelor naturale de la până la?

Potrivit legendei, marele matematician Carl Gauss, pe când era un băiețel de 9 ani, a calculat această sumă în câteva minute. A observat că suma primului și ultimului număr este egală, suma celui de-al doilea și penultimul este aceeași, suma celui de-al treilea și al 3-lea de la sfârșit este aceeași și așa mai departe. Câte astfel de perechi există în total? Așa este, exact jumătate din numărul tuturor numerelor, adică. Asa de,

Formula generală pentru suma primilor termeni ai oricărei progresii aritmetice va fi:

Exemplu:
Aflați suma tuturor multiplilor de două cifre.

Soluţie:

Primul astfel de număr este acesta. Fiecare număr următor se obține prin adăugarea la numărul anterior. Astfel, numerele care ne interesează formează o progresie aritmetică cu primul termen și diferența.

Formula celui de-al treilea termen pentru această progresie:

Câți termeni există în progresie dacă toți trebuie să fie din două cifre?

Foarte usor: .

Ultimul termen al progresiei va fi egal. Apoi suma:

Răspuns: .

Acum decideți singuri:

1. În fiecare zi, sportivul aleargă mai mulți metri decât în ​​ziua precedentă. Câți kilometri în total va alerga într-o săptămână dacă a alergat km m în prima zi?
2. Un biciclist parcurge mai mulți kilometri în fiecare zi decât în ​​ziua precedentă. În prima zi a parcurs km. De câte zile trebuie să călătorească pentru a parcurge un kilometru? Câți kilometri va parcurge în ultima zi a călătoriei?
3. Prețul unui frigider într-un magazin scade cu aceeași sumă în fiecare an. Determinați cât de mult a scăzut prețul unui frigider în fiecare an dacă, scos la vânzare pentru ruble, șase ani mai târziu a fost vândut pentru ruble.

Raspunsuri:

1. Cel mai important lucru aici este să recunoașteți progresia aritmetică și să determinați parametrii acesteia. În acest caz, (săptămâni = zile). Trebuie să determinați suma primilor termeni ai acestei progresii:
   .
   Răspuns:
2. Aici este dat: , trebuie găsit.
   Evident, trebuie să utilizați aceeași formulă de sumă ca în problema anterioară:
   .
   Înlocuiți valorile:

   În mod evident, rădăcina nu se potrivește, așa că răspunsul este.
   Să calculăm traseul parcurs în ultima zi folosind formula celui de-al treilea termen:
   (km).
   Răspuns:

3. Dat: . Găsi: .
   Mai simplu nu poate fi:
   (freca).
   Răspuns:

PROGRESIA ARITMETICĂ. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Aceasta este o secvență de numere în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală.

Progresia aritmetică poate fi crescătoare () și descrescătoare ().

De exemplu:

Formula pentru găsirea celui de-al n-lea termen al unei progresii aritmetice

se scrie prin formula, unde este numărul de numere în progresie.

Proprietatea membrilor unei progresii aritmetice

Vă permite să găsiți cu ușurință un termen al unei progresii dacă termenii învecinați sunt cunoscuți - unde este numărul de numere din progresie.

Suma termenilor unei progresii aritmetice

Există două moduri de a găsi suma:

Unde este numărul de valori.

Unde este numărul de valori.

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, înseamnă că ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci ești în acest 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ați înțeles teoria pe această temă. Și, repet, asta... asta este pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru succes promovarea examenului de stat unificat, pentru admiterea la facultate cu buget redus și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că mai multe oportunități se deschid în fața lor și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examenul de stat unificat și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

CĂGAȚI-VĂ MÂNĂ REZOLVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

Nu ți se va cere teorie în timpul examenului.

Vei avea nevoie rezolva problemele in timp.

Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), cu siguranță veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.

Este ca în sport - trebuie să o repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți colecția oriunde doriți, neapărat cu soluții, analiză detaliată si decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (opțional) și noi, bineînțeles, le recomandăm.

Pentru a folosi mai bine sarcinile noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol - 299 rub.
2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole ale manualului - 999 rub.

Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

În al doilea caz vă vom oferi simulator „6000 de probleme cu soluții și răspunsuri, pentru fiecare subiect, la toate nivelurile de complexitate.” Cu siguranță va fi suficient pentru a pune mâna pe rezolvarea problemelor pe orice subiect.

De fapt, acesta este mult mai mult decât un simplu simulator - un întreg program de antrenament. Dacă este necesar, îl puteți folosi și GRATUIT.

Accesul la toate textele și programele este asigurat pe toată perioada de existență a site-ului.

În concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.

„Înțeles” și „Pot rezolva” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați-le!

Înainte să începem să decidem probleme de progresie aritmetică, să luăm în considerare ce este o secvență de numere, deoarece o progresie aritmetică este un caz special al unei secvențe de numere.

O secvență de numere este un set de numere, fiecare element având propriul său element număr de serie . Elementele acestei mulțimi sunt numite membri ai secvenței. Numărul de serie al unui element de secvență este indicat printr-un index:

Primul element al secvenței;

Al cincilea element al secvenței;

- elementul „n-lea” al secvenței, adică elementul „stă la coadă” la numărul n.

Există o relație între valoarea unui element de secvență și numărul său de secvență. Prin urmare, putem considera o secvență ca o funcție al cărei argument este numărul ordinal al elementului secvenței. Cu alte cuvinte, putem spune asta secvența este o funcție a argumentului natural:

Secvența poate fi setată în trei moduri:

1 . Secvența poate fi specificată folosind un tabel.În acest caz, pur și simplu setăm valoarea fiecărui membru al secvenței.

De exemplu, Cineva a decis să se ocupe de gestionarea personală a timpului și, pentru început, să numere cât timp petrece pe VKontakte în timpul săptămânii. Înregistrând timpul în tabel, el va primi o secvență formată din șapte elemente:

Prima linie a tabelului indică numărul zilei săptămânii, a doua - timpul în minute. Vedem că, adică luni, Cineva a petrecut 125 de minute pe VKontakte, adică joi - 248 de minute și, adică, vineri doar 15.

2 . Secvența poate fi specificată folosind formula a n-a termen.

În acest caz, dependența valorii unui element de secvență de numărul său este exprimată direct sub forma unei formule.

De exemplu, dacă , atunci

Pentru a găsi valoarea unui element de secvență cu un număr dat, înlocuim numărul elementului în formula celui de-al n-lea termen.

Facem același lucru dacă trebuie să găsim valoarea unei funcții dacă valoarea argumentului este cunoscută. Inlocuim valoarea argumentului in ecuatia functiei:

Dacă, de exemplu, , Acea

Permiteți-mi să observ încă o dată că într-o secvență, spre deosebire de o funcție numerică arbitrară, argumentul poate fi doar un număr natural.

3 . Secvența poate fi specificată folosind o formulă care exprimă dependența valorii numărului membru al secvenței n de valorile membrilor anteriori. În acest caz, nu este suficient să cunoaștem doar numărul membrului secvenței pentru a-i găsi valoarea. Trebuie să specificăm primul membru sau primii câțiva membri ai secvenței.

De exemplu, luați în considerare succesiunea ,

Putem găsi valorile membrilor secvenței in secvență, începând cu a treia:

Adică, de fiecare dată, pentru a găsi valoarea celui de-al n-lea termen al șirului, revenim la cei doi anteriori. Această metodă de specificare a unei secvențe este numită recurent, din cuvântul latin recurro- întoarce-te.

Acum putem defini o progresie aritmetică. O progresie aritmetică este un caz special simplu al unei secvențe de numere.

Progresie aritmetică este o succesiune numerică, fiecare membru al căruia, începând cu al doilea, este egal cu precedentul adăugat la același număr.

Numărul este sunat diferența de progresie aritmetică. Diferența unei progresii aritmetice poate fi pozitivă, negativă sau egală cu zero.

Dacă title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} crescând.

De exemplu, 2; 5; 8; unsprezece;...

Dacă , atunci fiecare termen al unei progresii aritmetice este mai mic decât cel precedent, iar progresia este in scadere.

De exemplu, 2; -1; -4; -7;...

Dacă , atunci toți termenii progresiei sunt egali cu același număr, iar progresia este staționar.

De exemplu, 2;2;2;2;...

Principala proprietate a unei progresii aritmetice:

Să ne uităm la desen.

Noi vedem asta

, și în același timp

Adăugând aceste două egalități, obținem:

.

Să împărțim ambele părți ale egalității la 2:

Deci, fiecare membru al progresiei aritmetice, începând de la al doilea, este egal cu media aritmetică a celor două învecinate:

Mai mult, din moment ce

, și în același timp

, Acea

, prin urmare

Fiecare termen al unei progresii aritmetice, începând cu title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Formula termenului al treilea.

Vedem că termenii progresiei aritmetice satisfac următoarele relații:

și, în sfârșit

Avem formula celui de-al n-lea termen.

IMPORTANT! Orice membru al unei progresii aritmetice poate fi exprimat prin și. Cunoscând primul termen și diferența unei progresii aritmetice, puteți găsi oricare dintre termenii săi.

Suma a n termeni ai unei progresii aritmetice.

Într-o progresie aritmetică arbitrară, sumele termenilor echidistanți de cei extremi sunt egale între ele:

Considerăm o progresie aritmetică cu n termeni. Fie suma n termeni ai acestei progresii să fie egală cu .

Să aranjam mai întâi termenii progresiei în ordine crescătoare a numerelor și apoi în ordine descrescătoare:

Să adăugăm în perechi:

Suma din fiecare paranteză este , numărul de perechi este n.

Primim:

Asa de, suma n termeni ai unei progresii aritmetice poate fi găsită folosind formulele:

Sa luam in considerare rezolvarea problemelor de progresie aritmetică.

1 . Secvența este dată de formula celui de-al n-lea termen: . Demonstrați că această succesiune este o progresie aritmetică.

Să demonstrăm că diferența dintre doi termeni adiacenți ai șirului este egală cu același număr.

Am constatat că diferența dintre doi membri adiacenți ai secvenței nu depinde de numărul lor și este o constantă. Prin urmare, prin definiție, această secvență este o progresie aritmetică.

2 . Având în vedere o progresie aritmetică -31; -27;...

a) Găsiți 31 de termeni ai progresiei.

b) Stabiliți dacă numărul 41 este inclus în această progresie.

A) Noi vedem asta ;

Să scriem formula pentru al n-lea termen pentru progresia noastră.

În general

În cazul nostru , De aceea

Probleme privind progresia aritmetică existau deja în cele mai vechi timpuri. Au apărut și au cerut o soluție pentru că aveau o nevoie practică.

Deci, într-unul din papirusuri Egiptul antic„, care are un conținut matematic – papirusul Rhind (sec. XIX î.Hr.) – conține următoarea sarcină: împărți zece măsuri de pâine între zece persoane, cu condiția ca diferența dintre fiecare dintre ele să fie de o opteme din măsură”.

Și în lucrările de matematică ale grecilor antici există teoreme elegante legate de progresia aritmetică. Astfel, Hypsicles din Alexandria (secolul al II-lea, care a compus multe probleme interesante și a adăugat cartea a XIV-a la Elementele lui Euclid), a formulat ideea: „Într-o progresie aritmetică având un număr par de termeni, suma termenilor din a doua jumătate. mai mult decât suma membri ai 1 pe pătratul a 1/2 din numărul membrilor.”

Secvența este notată cu un. Numerele unei secvențe se numesc membrii ei și sunt de obicei desemnate prin litere cu indici care indică numărul de serie al acestui membru (a1, a2, a3 ... citiți: „a 1st”, „a 2nd”, „a 3rd” și așa mai departe ).

Secvența poate fi infinită sau finită.

Ce este o progresie aritmetică? Prin ea înțelegem pe cel obținut prin adăugarea termenului anterior (n) cu același număr d, care este diferența de progresie.

Dacă d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, atunci această progresie este considerată în creștere.

O progresie aritmetică se numește finită dacă sunt luați în considerare doar primii săi termeni. La foarte cantitati mari membri este deja o progresie nesfârșită.

Orice progresie aritmetică este definită de următoarea formulă:

an =kn+b, în ​​timp ce b și k sunt niște numere.

Afirmația opusă este absolut adevărată: dacă o secvență este dată de o formulă similară, atunci este exact o progresie aritmetică care are proprietățile:

1. Fiecare termen al progresiei este media aritmetică a termenului anterior și a celui următor.
2. Revers: dacă, începând cu al 2-lea, fiecare termen este media aritmetică a termenului anterior și a celui următor, i.e. dacă condiția este îndeplinită, atunci această secvență este o progresie aritmetică. Această egalitate este, de asemenea, un semn al progresiei, motiv pentru care este de obicei numită o proprietate caracteristică a progresiei.
   În același mod, teorema care reflectă această proprietate este adevărată: o secvență este o progresie aritmetică numai dacă această egalitate este adevărată pentru oricare dintre termenii șirului, începând cu al 2-lea.

Proprietatea caracteristică pentru oricare patru numere ale unei progresii aritmetice poate fi exprimată prin formula an + am = ak + al, dacă n + m = k + l (m, n, k sunt numere de progresie).

Într-o progresie aritmetică, orice termen necesar (al N-lea) poate fi găsit folosind următoarea formulă:

De exemplu: primul termen (a1) dintr-o progresie aritmetică este dat și egal cu trei, iar diferența (d) este egală cu patru. Trebuie să găsiți al patruzeci și cincilea termen al acestei progresii. a45 = 1+4(45-1)=177

Formula an = ak + d(n - k) ne permite să determinăm al n-lea termen o progresie aritmetică prin oricare dintre cei ce-lea termeni ai săi, cu condiția să fie cunoscută.

Suma termenilor unei progresii aritmetice (adică primii n termeni ai unei progresii finite) se calculează după cum urmează:

Sn = (a1+an) n/2.

Dacă primul termen este de asemenea cunoscut, atunci o altă formulă este convenabilă pentru calcul:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Suma unei progresii aritmetice care conține n termeni se calculează după cum urmează:

Alegerea formulelor pentru calcule depinde de condițiile problemelor și de datele inițiale.

Serii naturale ale oricăror numere, cum ar fi 1,2,3,...,n,...- cel mai simplu exemplu progresie aritmetică.

Pe lângă progresia aritmetică, există și o progresie geometrică, care are proprietăți și caracteristici proprii.