Rajateoria on yksi osioista matemaattinen analyysi. Kysymys rajojen ratkaisemisesta on varsin laaja, koska rajojen ratkaisemiseen on olemassa kymmeniä menetelmiä monenlaisia. On olemassa kymmeniä vivahteita ja temppuja, joiden avulla voit ratkaista yhden tai toisen rajan. Siitä huolimatta yritämme edelleen ymmärtää tärkeimmät käytännössä kohdattavat rajatyypit.

Aloitetaan rajan käsitteestä. Mutta ensin lyhyt historiallinen tausta. Olipa kerran ranskalainen Augustin Louis Cauchy 1800-luvulla, joka loi perustan matemaattiselle analyysille ja antoi tiukat määritelmät, erityisesti rajan määritelmän. On sanottava, että tämä sama Cauchy näki, haaveilee ja tulee uneksimaan kaikkien fyysisten ja matemaattisten tiedekuntien opiskelijoiden painajaisissa, koska hän osoitti valtavan määrän matemaattisen analyysin lauseita, ja yksi lause on inhottavampi kuin toinen. Tältä osin emme harkitse rajan tiukkaa määritelmää, vaan yritämme tehdä kaksi asiaa:

1. Ymmärrä, mikä raja on.
2. Opi ratkaisemaan tärkeimmät rajatyypit.

Pahoittelen joitakin epätieteellisiä selityksiä, on tärkeää, että materiaali on ymmärrettävää teekannullekin, mikä itse asiassa on projektin tehtävä.

Joten mikä on raja?

Ja heti esimerkki siitä, miksi pitää isoäitiäsi räjäyttää...

Mikä tahansa raja koostuu kolmesta osasta:

1) Tunnettu raja-kuvake.
2) merkinnät raja-kuvakkeen alla, tässä tapauksessa . Merkintä kuuluu "x pyrkii yhtenäisyyteen". Useimmiten - täsmälleen, vaikka "x":n sijasta käytännössä on muita muuttujia. Käytännön tehtävissä yksikön sijasta voi olla mikä tahansa luku, samoin kuin ääretön ().
3) Toiminnot rajamerkin alla, tässä tapauksessa .

Itse levy kuuluu näin: "funktion raja, kun x pyrkii yhtenäisyyteen."

Analysoidaan seuraavaa tärkeää kysymystä - mitä lauseke "x etsii yhtenäisyyteen? Ja mikä on "pyrkiminen"?
Rajan käsite on niin sanotusti käsite, dynaaminen. Muodostetaan jono: ensin , sitten , , …, , ….
Eli ilmaisu "x etsii yhteen" tulee ymmärtää seuraavasti - "x" ottaa johdonmukaisesti arvot jotka ovat äärettömän lähellä yhtenäisyyttä ja käytännössä yhtenevät sen kanssa.

Miten yllä oleva esimerkki ratkaistaan? Yllä olevan perusteella sinun tarvitsee vain korvata yksikkö rajamerkin alla olevassa funktiossa:

Ensimmäinen sääntö on siis: Kun sinulle annetaan jokin raja, yritä ensin liittää numero funktioon.

Olemme tarkistaneet yksinkertaisin raja, mutta näitä löytyy myös käytännössä, eikä niin harvinaista!

Infinity esimerkki:

Ymmärtää mitä se on? Tämä on tilanne, kun se kasvaa loputtomasti, toisin sanoen: ensin, sitten, sitten, sitten ja niin edelleen loputtomiin.

Ja mitä toiminnolle tapahtuu tällä hetkellä?
, , , …

Joten: jos , niin funktiolla on taipumus miinus äärettömään:

Karkeasti ottaen ensimmäisen sääntömme mukaan korvaamme funktioon äärettömän "x":n sijaan ja saamme vastauksen .

Toinen esimerkki äärettömyydestä:

Alamme jälleen kasvaa äärettömyyteen ja tarkastelemme funktion käyttäytymistä:

Johtopäätös: , funktio kasvaa loputtomasti:

Ja toinen esimerkkisarja:

Yritä itse analysoida mielessäsi seuraavat asiat ja muistaa yksinkertaisimmat rajatyypit:

, , , , , , , , ,
Jos jossain on epäilyksiä, voit ottaa laskimen ja harjoitella vähän.
Siinä tapauksessa yritä rakentaa sekvenssi , , . Jos sitten , , .

Huomaa: tarkalleen ottaen tämä lähestymistapa useiden lukujen sekvenssien rakentamiseen on virheellinen, mutta se sopii varsin yksinkertaisimpien esimerkkien ymmärtämiseen.

Kiinnitä huomiota myös seuraavaan asiaan. Vaikka raja on annettu suurella numerolla ylhäällä tai ainakin miljoonalla: , niin silti , koska ennemmin tai myöhemmin "x" saa niin jättimäiset arvot, että miljoona heihin verrattuna on todellinen mikrobi.

Mitä yllä olevasta tulee muistaa ja ymmärtää?

1) Kun jokin raja on annettu, yritämme ensin yksinkertaisesti korvata funktion numeron.

2) Sinun on ymmärrettävä ja ratkaistava välittömästi yksinkertaisimmat rajat, kuten , , jne.

Nyt tarkastellaan rajojen ryhmää, kun , ja funktio on murtoluku, jonka osoittajassa ja nimittäjässä ovat polynomit

Esimerkki:

Laske raja

Sääntömme mukaan yritämme korvata äärettömän funktiolla. Mitä saamme huipulla? ääretön. Ja mitä tapahtuu alla? Myös äärettömyys. Näin ollen meillä on muodon niin kutsuttu epämääräisyys. Voisi luulla, että , ja vastaus on valmis, mutta yleisessä tapauksessa näin ei ole ollenkaan, vaan täytyy soveltaa jotain ratkaisua, jota nyt tarkastellaan.

Kuinka ratkaista tämän tyyppiset rajat?

Ensin katsomme osoittajaa ja löydämme suurimman tehon:

Osoittimen suurin teho on kaksi.

Nyt katsomme nimittäjä ja löydämme myös korkeimman asteen:

Nimittäjän suurin potenssi on kaksi.

Valitsemme sitten osoittajan ja nimittäjän suurimman potenssin: in tämä esimerkki ne ovat samat ja ovat yhtä kuin kaksi.

Ratkaisumenetelmä on siis seuraava: epävarmuuden paljastamiseksi on välttämätöntä jakaa osoittaja ja nimittäjä korkeimmalla tasolla.

Tässä se on, vastaus, eikä ollenkaan äärettömyys.

Mikä on olennaista päätöksenteossa?

Ensin ilmoitamme epävarmuuden, jos sellaista on.

Toiseksi on toivottavaa keskeyttää ratkaisu väliselityksiä varten. Käytän yleensä merkkiä, sillä ei ole matemaattista merkitystä, vaan se tarkoittaa, että ratkaisu keskeytetään väliselvitystä varten.

Kolmanneksi rajassa on toivottavaa merkitä, mitä ja minne se suuntaa. Kun työ on tehty käsin, on helpompi tehdä se näin:

Muistiinpanoihin on parempi käyttää yksinkertaista kynää.

Tälle ei tietenkään voi mitään, mutta sitten ehkä opettaja huomaa ratkaisun puutteet tai alkaa kysyä lisäkysymyksiä tehtävästä. Ja tarvitsetko sitä?

Esimerkki 2

Löydä raja
Taas osoittajasta ja nimittäjästä löydämme korkeimmassa asteessa:

Enimmäisaste osoittajassa: 3
Nimittäjän enimmäisaste: 4
Valita suurin arvo, tässä tapauksessa neljä.
Algoritmimme mukaan epävarmuuden paljastamiseksi jaamme osoittajan ja nimittäjän luvulla .
Täysi muotoilu työt voivat näyttää tältä:

Jaa osoittaja ja nimittäjä luvulla

Esimerkki 3

Löydä raja
"x":n maksimiaste osoittajassa: 2
"x":n maksimiteho nimittäjässä: 1 (voidaan kirjoittaa muodossa)
Epävarmuuden paljastamiseksi on välttämätöntä jakaa osoittaja ja nimittäjä luvulla. Puhdas ratkaisu voi näyttää tältä:

Jaa osoittaja ja nimittäjä luvulla

Tietue ei tarkoita nollalla jakamista (nollalla ei voi jakaa), vaan jakoa äärettömän pienellä luvulla.

Näin ollen, kun paljastamme muodon määrittämättömyyden, voimme saada äärellinen luku, nolla tai ääretön.

Tyyppiepävarmuuden rajat ja menetelmä niiden ratkaisemiseksi

Seuraava rajojen ryhmä on jossain määrin samanlainen kuin juuri tarkastellut rajat: osoittajassa ja nimittäjässä on polynomeja, mutta "x" ei enää pyri äärettömyyteen, vaan lopullinen numero.

Esimerkki 4

Ratkaise raja
Ensin yritetään korvata -1 murtoluvulla:

Tässä tapauksessa saadaan ns. epävarmuus.

Yleissääntö : jos osoittajassa ja nimittäjässä on polynomeja ja muodossa on epävarmuus, niin sen paljastamiseksi kerroin osoittaja ja nimittäjä.

Tätä varten on usein tarpeen päättää toisen asteen yhtälö ja/tai käytä lyhennettyjä kertolaskukaavoja. Jos nämä asiat unohtuvat, käy sivulla Matemaattiset kaavat ja taulukot ja tarkistaa metodologinen materiaali Kuumat kaavat koulun kurssi matematiikka. Muuten, se on parasta tulostaa, sitä tarvitaan hyvin usein, ja paperilla oleva tieto imeytyy paremmin.

Ratkaisemme siis rajamme

Osoittajan ja nimittäjän faktorointi

Jotta voit kertoa osoittajan, sinun on ratkaistava toisen asteen yhtälö:

Ensin löydämme syrjinnän:

Ja sen neliöjuuri: .

Jos diskriminantti on suuri, esimerkiksi 361, käytämme laskinta, neliöjuurifunktio on yksinkertaisimmalla laskimella.

! Jos juuria ei eroteta kokonaan (saadaan murtoluku pilkulla), on erittäin todennäköistä, että erottaja on laskettu väärin tai tehtävässä on kirjoitusvirhe.

Seuraavaksi löydämme juuret:

Täten:

Kaikki. Osoittaja on tekijä.

Nimittäjä. Nimittäjä on jo yksinkertaisin tekijä, eikä sitä voi mitenkään yksinkertaistaa.

Ilmeisesti se voidaan lyhentää seuraavasti:

Nyt korvataan -1 lausekkeessa, joka jää rajamerkin alle:

Luonnollisesti sisään valvoa työtä, testissä, tentissä, päätöstä ei koskaan maalata niin yksityiskohtaisesti. Lopullisessa versiossa suunnittelun pitäisi näyttää suunnilleen tältä:

Lasketaan osoittaja kertoimella.

Esimerkki 5

Laske raja

Ensinnäkin "puhdas" ratkaisu

Otetaan kertoimella osoittaja ja nimittäjä.

Osoittaja:
Nimittäjä:



,

Mikä tässä esimerkissä on tärkeää?
Ensin sinun on ymmärrettävä hyvin, kuinka osoittaja paljastetaan, ensin suluissa 2 ja sitten käytettiin neliöiden erotuskaavaa. Tämä on kaava, joka sinun täytyy tietää ja nähdä.

Niille, jotka haluavat oppia löytämään rajoitukset tässä artikkelissa, puhumme siitä. Emme syvenny teoriaan, se annetaan yleensä opettajien luennoilla. Joten "tylsää teoriaa" tulisi hahmotella muistikirjoissasi. Jos ei, voit lukea kirjastosta otettuja oppikirjoja oppilaitos tai muita verkkoresursseja.

Niinpä rajan käsite on varsin tärkeä korkeamman matematiikan kurssin tutkimisessa, varsinkin kun törmäät integraalilaskeluun ja ymmärrät rajan ja integraalin välisen suhteen. Nykyisessä materiaalissa tarkastellaan yksinkertaisia ​​esimerkkejä, sekä tapoja ratkaista ne.

Ratkaisuesimerkkejä

Esimerkki 1

Laske a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Ratkaisu

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Meille lähetetään usein näitä rajoja ja pyydetään apua niiden ratkaisemiseen. Päätimme korostaa niitä erillisenä esimerkkinä ja selittää, että nämä rajat on yksinkertaisesti muistettava, yleensä. Jos et pysty ratkaisemaan ongelmaasi, lähetä se meille. Me tarjoamme yksityiskohtainen ratkaisu. Pystyt perehtymään laskennan etenemiseen ja keräämään tietoa. Tämä auttaa sinua saamaan hyvityksen opettajalta ajoissa!

Vastaus

$$ \teksti(a)) \lim \limits_(x \to \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac (1 )(x) = 0 $$

Mitä tehdä lomakkeen epävarmuudella: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Esimerkki 3

Ratkaise $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Ratkaisu

Kuten aina, aloitamme korvaamalla arvon $ x $ rajamerkin alla olevaan lausekkeeseen. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Mitä seuraavaksi? Mikä pitäisi olla tuloksena? Koska tämä on epävarmuus, tämä ei ole vielä vastaus ja jatkamme laskemista. Koska meillä on osoittajissa polynomi, jaamme sen tekijöiksi tutulla kaavalla $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Muistatko? Loistava! Käytä nyt sitä laulun kanssa :) Saamme, että osoittaja $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Jatkamme ratkaisemista yllä olevan muutoksen perusteella: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Vastaus

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Otetaan kahden viimeisen esimerkin raja äärettömyyteen ja otetaan huomioon epävarmuus: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Esimerkki 5

Laske $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Ratkaisu

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Mitä tehdä? Kuinka olla? Älä panikoi, sillä mahdoton on mahdollista. Sekä osoittajassa että nimittäjässä X on poistettava sulut ja pienennettävä sitä. Yritä sen jälkeen laskea raja. Yritetään... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Käyttämällä esimerkin 2 määritelmää ja korvaamalla infinity x:llä, saamme: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Vastaus

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algoritmi rajojen laskemiseen

Tehdään siis lyhyesti yhteenveto analysoiduista esimerkeistä ja laaditaan algoritmi rajojen ratkaisemiseksi:

1. Korvaa rajamerkkiä seuraavan lausekkeen piste x. Jos saadaan tietty luku tai ääretön, niin raja on täysin ratkaistu. Muuten meillä on epävarmuus: "nolla jaettuna nollalla" tai "äärettömyydellä jaettuna äärettömyydellä" ja siirrytään ohjeen seuraaviin kappaleisiin.
2. Epävarmuuden "nolla jaa nolla" poistamiseksi sinun on kerrottava osoittaja ja nimittäjä. Vähennä vastaavia. Korvaa lausekkeen piste x rajamerkin alle.
3. Jos epävarmuus on "ääretön jaettuna äärettömyydellä", otetaan pois suurimman asteen osoittajassa ja nimittäjässä x. Lyhennämme x:iä. Korvaamme x-arvot rajan alta jäljellä olevaan lausekkeeseen.

Tässä artikkelissa tutustuit Calculus-kurssilla usein käytettyihin rajojen ratkaisemisen perusteisiin. Nämä eivät tietenkään ole kaikentyyppisiä tutkijoiden tarjoamia ongelmia, vaan vain yksinkertaisimmat rajat. Puhumme muun tyyppisistä tehtävistä tulevissa artikkeleissa, mutta ensin sinun on opittava tämä oppitunti, jotta voit jatkaa. Keskustelemme siitä, mitä tehdä, jos on juuria, asteita, tutkimme äärettömän pieniä ekvivalenttifunktioita, upeita rajoja, L'Hopitalin sääntöä.

Jos et pysty selvittämään rajoja itse, älä panikoi. Autamme aina mielellämme!

Toiminto y=f (x) kutsutaan lakia (sääntöä), jonka mukaan joukon X jokainen alkio x liittyy yhteen ja vain yhteen joukon Y alkioon y .

Elementti x ∈ X nimeltään funktion argumentti tai itsenäinen muuttuja.
y-elementti ∈ Y nimeltään funktion arvo tai riippuva muuttuja.

Joukkoa X kutsutaan toiminnon laajuus.
Elementtien joukko y ∈ Y, joilla on esikuvat joukossa X , kutsutaan alue tai joukko funktioarvoja.

Varsinaista funktiota kutsutaan rajoitettu ylhäältä (alhaalta), jos on sellainen luku M, että seuraava epäyhtälö pätee kaikkiin:
.
Numerofunktiota kutsutaan rajoitettu, jos on olemassa luku M, joka kaikille :
.

yläkasvot tai tarkka yläraja todellista funktiota kutsutaan pienimmäksi luvuista, joka rajoittaa sen arvojen aluetta ylhäältä. Tämä on siis luku s, jolle kaikille ja mille tahansa :lle on sellainen argumentti, jonka funktion arvo on suurempi kuin s′ : .
Funktion yläraja voidaan merkitä seuraavasti:
.

Vastaavasti alaosa tai tarkka alaraja todellista funktiota kutsutaan suurimmaksi luvuista, joka rajoittaa sen arvojen vaihteluväliä alhaalta. Tämä on siis luku i, jolle kaikille ja mille tahansa , on sellainen argumentti , jonka funktion arvo on pienempi kuin i′ : .
Funktion alaraja voidaan merkitä seuraavasti:
.

Funktion rajan määrittäminen

Funktion Cauchyn rajan määritelmä

Äärilliset funktiorajat päätepisteissä

Olkoon funktio määritelty jossain päätepisteen ympäristössä, paitsi ehkä itse pisteelle. kohdassa , jos jollekin on olemassa sellainen , riippuen siitä , että kaikille x , joille epäyhtälö
.
Toiminnon raja on merkitty seuraavasti:
.
Tai klo.

Olemassaolon ja universaalisuuden loogisia symboleja käyttämällä funktion rajan määritelmä voidaan kirjoittaa seuraavasti:
.

Yksipuoliset rajat.
Vasen raja pisteessä (vasemman puolen raja):
.
Oikea raja pisteessä (oikea raja):
.
Vasemmalla ja oikealla olevat rajat on usein merkitty seuraavasti:
; .

Funktion äärelliset rajat äärettömän pisteissä

Rajat äärettömän kaukana olevissa pisteissä määritellään samalla tavalla.
.
.
.
Niitä kutsutaan usein nimellä:
; ; .

Pistealueen käsitteen käyttäminen

Jos otamme käyttöön pisteen pisteytetyn ympäristön käsitteen, voimme antaa yhtenäisen määritelmän funktion äärelliselle rajalle äärellisissä ja äärettömissä pisteissä:
.
Tässä päätepisteitä varten
; ;
.
Kaikki äärettömän pisteiden lähialueet puhkaistaan:
; ; .

Äärettömät toimintorajat

Määritelmä
Olkoon funktio määritelty jossain pisteen pisteytetyssä ympäristössä (ääreisessä tai äärettömässä). Toiminnan raja f (x) kuten x → x 0 on yhtä kuin ääretön, jos mikä tahansa mielivaltaisen suuri luku M > 0 , on olemassa luku δ M > 0 , riippuen M , että kaikille x:lle, jotka kuuluvat pisteen δ M - lähialueeseen : , seuraava epäyhtälö pätee:
.
Ääretön raja määritellään seuraavasti:
.
Tai klo.

Olemassaolon ja universaalisuuden loogisia symboleja käyttämällä funktion äärettömän rajan määritelmä voidaan kirjoittaa seuraavasti:
.

On myös mahdollista ottaa käyttöön tiettyjen merkkien äärettömien rajojen määritelmiä, jotka ovat yhtä suuria ja:
.
.

Universaali määritelmä funktion rajalle

Pisteen lähialueen käsitettä käyttämällä voidaan antaa funktion äärelliselle ja äärettömälle rajalle universaali määritelmä, joka soveltuu sekä äärellisiin (kaksipuolisiin ja yksipuolisiin) että äärettömän etäisiin pisteisiin:
.

Funktion rajan määrittely Heinen mukaan

Olkoon funktio määritelty jollain joukolla X : .
Lukua a kutsutaan funktion rajaksi kohdassa:
,
jos jollekin sekvenssille, joka konvergoi x:ään 0 :
,
jonka alkiot kuuluvat joukkoon X : ,
.

Kirjoitamme tämän määritelmän käyttämällä olemassaolon ja universaalisuuden loogisia symboleja:
.

Jos otamme joukoksi X pisteen x vasemman puolen 0 , niin saamme vasemman rajan määritelmän. Jos se on oikeakätinen, saamme oikean rajan määritelmän. Jos otamme joukoksi X äärettömän pisteen naapuruston, saamme funktion rajan määritelmän äärettömässä.

Lause
Cauchyn ja Heinen määritelmät funktion rajalle ovat samanarvoisia.
Todiste

Funktion rajan ominaisuudet ja lauseet

Lisäksi oletetaan, että tarkasteltavat funktiot on määritelty pisteen vastaavassa ympäristössä, joka on äärellinen luku tai jokin symboleista: . Se voi olla myös yksipuolinen rajapiste, eli sen muoto voi olla tai . Naapurusto on kaksipuolinen kaksipuolinen raja ja yksipuolinen yksipuolinen.

Perusominaisuudet

Jos funktion f arvot ovat (x) muuttaa (tai tehdä määrittelemättömäksi) äärellisessä määrässä pisteitä x 1 , x 2 , x 3 , ... x n, niin tämä muutos ei vaikuta funktion rajan olemassaoloon ja arvoon mielivaltaisessa pisteessä x 0 .

Jos on äärellinen raja, niin pisteen x naapurusto on sellainen 0 , jossa funktio f (x) rajoitettu:
.

Olkoon funktiolla piste x 0 muu loppuraja kuin nolla:
.
Sitten mille tahansa luvulle c väliltä , on olemassa sellainen pisteen x pisteytetty ympäristö 0 mitä varten,
, Jos ;
, Jos.

Jos jossain pisteen naapurustossa , on vakio, sitten .

Jos pisteen x jollakin lävistetyllä alueella on äärelliset rajat ja ja 0
,
Tuo .

Jos , ja jossain pisteen naapurustossa
,
Tuo .
Varsinkin jos jossain pisteen alueella
,
sitten jos , sitten ja ;
jos , sitten ja .

Jos jollakin pisteen x puhkaisualueella 0 :
,
ja on olemassa äärelliset (tai tietyn merkin äärettömät) yhtä suuret rajat:
, Tuo
.

Todisteet tärkeimmistä ominaisuuksista on annettu sivulla
"Toiminnon rajojen perusominaisuudet".

Funktion rajan aritmeettiset ominaisuudet

Olkoon funktiot ja määritelty jossain pisteen pisteytetyssä ympäristössä. Ja olkoon rajalliset rajat:
Ja .
Ja olkoon C vakio, eli annettu luku. Sitten
;
;
;
, Jos.

Jos sitten .

Aritmeettisten ominaisuuksien todistukset on annettu sivulla
"Funktion rajojen aritmeettiset ominaisuudet".

Cauchy-kriteeri funktion rajan olemassaololle

Lause
Jotta funktio, joka on määritelty äärellisen tai äärettömässä pisteessä x 0 , jolla oli tässä vaiheessa äärellinen raja, on välttämätöntä ja riittävää, että mille tahansa ε:lle > 0 pisteen x alueella oli sellainen reikäinen alue 0 , että mille tahansa pisteelle ja tästä naapurustosta seuraava epätasa-arvo pätee:
.

Monimutkainen toimintoraja

Monimutkainen funktiorajalause
Olkoon funktiolla raja ja yhdistä pisteen pisteytetty ympäristö pisteen pisteytettyyn ympäristöön. Määrittele funktio tälle naapurustolle ja määritä sille raja.
Tässä - viimeiset tai äärettömän kaukana olevat kohdat: . Asuinalueet ja niitä vastaavat rajat voivat olla joko kaksipuolisia tai yksipuolisia.
Sitten kompleksifunktiolla on raja ja se on yhtä suuri:
.

Kompleksifunktion raja-lausetta sovelletaan, kun funktiota ei ole määritelty pisteessä tai sillä on muu arvo kuin raja-arvo. Tämän lauseen soveltamiseksi pisteen, jossa funktion arvojoukko ei sisällä pistettä, täytyy olla lävistetty ympäristö:
.

Jos funktio on jatkuva pisteessä , niin rajamerkkiä voidaan soveltaa jatkuvan funktion argumenttiin:
.
Seuraavassa on tätä tapausta vastaava lause.

Lause funktion jatkuvan funktion rajasta
Olkoon funktiolle g raja (t) kuten t → t 0 , ja se on yhtä suuri kuin x 0 :
.
Tässä kohta t 0 voi olla äärellinen tai ääretön: .
Ja anna funktion f (x) jatkuva x:ssä 0 .
Sitten on yhdistelmäfunktion f raja (g(t)), ja se on yhtä suuri kuin f (x0):
.

Teoreemojen todistukset on annettu sivulla
"Monimutkaisen toiminnon raja ja jatkuvuus".

Äärettömän pienet ja äärettömän suuret funktiot

Äärimmäisen pienet toiminnot

Määritelmä
Funktiota kutsutaan infinitesimaaliksi jos
.

Summa, ero ja tuote rajallisesta määrästä äärettömän pieniä toimintoja varten on äärettömän pieni funktio .

Rajatun funktion tulo Joillakin pisteen naapurustossa äärettömään pieneen for on äärettömän pieni funktio for .

Jotta funktiolla olisi äärellinen raja, se on välttämätöntä ja riittävää
,
missä on infinitesimal funktio .

"Äärettömän pienten funktioiden ominaisuudet".

Äärimmäisen suuret toiminnot

Määritelmä
Funktiota kutsutaan äärettömäksi suureksi if
.

Summa tai erotus rajoitettu toiminto, jollain pisteen puhkaisualueella ja äärettömän suuri funktio for on äärettömän suuri funktio .

Jos funktio on äärettömän suuri pisteessä , ja funktio on rajoitettu jollain pisteen lävistetyllä alueella, niin
.

Jos funktio pisteen jollakin pisteytetyllä alueella täyttää epäyhtälön:
,
ja funktio on äärettömän pieni seuraaville:
, ja (jossain pisteen puhkaisemassa ympäristössä), sitten
.

Todisteet ominaisuuksista on esitetty kohdassa
"Äärettömän suurten funktioiden ominaisuudet".

Äärettömän suurten ja äärettömän pienten funktioiden välinen suhde

Äärettömän suurten ja äärettömän pienten funktioiden välinen yhteys seuraa kahdesta edellisestä ominaisuudesta.

Jos funktio on äärettömän suuri kohdassa , niin funktio on äärettömän pieni kohdassa .

Jos funktio on äärettömän pieni , ja , niin funktio on äärettömän suuri .

Äärettömän pienen ja äärettömän suuren funktion välinen suhde voidaan ilmaista symbolisesti:
, .

Jos äärettömällä pienellä funktiolla on määrätty etumerkki kohdassa , eli se on positiivinen (tai negatiivinen) jossain pisteen pisteytetyssä ympäristössä, tämä tosiasia voidaan ilmaista seuraavasti:
.
Vastaavasti, jos äärettömän suurella funktiolla on tietty merkki kohdassa , he kirjoittavat:
.

Sitten äärettömän pienten ja äärettömän suurten funktioiden symbolista yhteyttä voidaan täydentää seuraavilla suhteilla:
, ,
, .

Sivulta löytyy lisää äärettömyyden symboleihin liittyviä kaavoja
"Pisteet äärettömyydessä ja niiden ominaisuudet".

Monotonisten toimintojen rajat

Määritelmä
Jollekin reaalilukujoukolle X määritettyä funktiota kutsutaan tiukasti kasvaa, jos kaikille sellaisille, että seuraava epäyhtälö pätee:
.
Vastaavasti varten tiukasti laskeva funktio, seuraava epäyhtälö pätee:
.
varten ei-vähenevä:
.
varten ei-nouseva:
.

Tämä tarkoittaa, että tiukasti kasvava funktio on myös ei-pienenevä. Tiukasti laskeva funktio on myös ei-kasvava.

Funktiota kutsutaan yksitoikkoinen onko se ei-laskeva tai ei-nouseva.

Lause
Älä anna funktion pienentyä välillä , jossa .
Jos sitä ylhäältä rajoittaa luku M:, on olemassa äärellinen raja. Jos ei ole rajoitettu edellä, niin .
Jos sitä rajoittaa alhaalta luku m: , niin siinä on äärellinen raja . Jos ei ole rajoitettu alle, niin .

Jos pisteet a ja b ovat äärettömässä, niin lausekkeissa rajamerkit tarkoittavat sitä, että .
Tämä lause voidaan muotoilla kompaktimmin.

Älä anna funktion pienentyä välillä , jossa . Sitten pisteissä a ja b on yksipuoliset rajat:
;
.

Samanlainen lause ei-kasvavalle funktiolle.

Älä anna funktion kasvaa välissä , jossa . Sitten on yksipuolisia rajoituksia:
;
.

Lauseen todistus on kerrottu sivulla
"Monotonisten toimintojen rajat".

Viitteet:
L.D. Kudrjavtsev. Matemaattisen analyysin kurssi. Osa 1. Moskova, 2003.
CM. Nikolsky. Matemaattisen analyysin kurssi. Osa 1. Moskova, 1983.

Rajojen teoria- yksi matemaattisen analyysin osista, jonka voi hallita, toiset tuskin laskevat rajoja. Kysymys rajojen löytämisestä on melko yleinen, koska temppuja on kymmeniä rajaratkaisuja erilaisia ​​tyyppejä. Samat rajat löytyvät sekä L'Hopitalin säännöllä että ilman sitä. Sattuu niin, että aikataulu äärettömän pienten toimintojen sarjassa antaa sinun saada nopeasti halutun tuloksen. On olemassa joukko temppuja ja temppuja, joiden avulla voit löytää minkä tahansa monimutkaisuuden funktion rajan. Tässä artikkelissa yritämme ymmärtää tärkeimmät rajoitukset, joita käytännössä kohdataan. Emme anna tässä teoriaa ja rajan määritelmää, Internetissä on monia resursseja, joissa tätä pureskellaan. Tehdään siis käytännön laskelmia, tässä aloitat "En tiedä! En tiedä miten! Meitä ei opetettu!"

Raja-arvojen laskeminen korvausmenetelmällä

Esimerkki 1 Etsi funktion raja
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Ratkaisu: Teoriassa tällaiset esimerkit lasketaan tavallisella substituutiolla

Raja on 18.11.
Tällaisissa rajoissa ei ole mitään monimutkaista ja viisasta - he korvasivat arvon, laskivat, kirjoittivat rajan vastauksena. Tällaisten rajojen perusteella kaikille kuitenkin opetetaan, että funktioon on ensin korvattava arvo. Lisäksi rajat monimutkaistavat, tuovat käsitteen äärettömyydestä, epävarmuudesta ja vastaavista.

Raja epävarmuudella, jonka tyyppi on ääretön jaettuna äärettömyydellä. Epävarmuuden paljastamismenetelmät

Esimerkki 2 Etsi funktion raja
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=ääretön).
Ratkaisu: Muotopolynomin jaettuna polynomilla raja on annettu ja muuttuja pyrkii äärettömään

Yksinkertainen korvaaminen arvolla, jolle muuttujan tulisi löytää rajat, ei auta, saamme epävarmuuden muodossa ääretön jaettuna äärettömyydellä.
Rajan potin teoria Rajan laskenta-algoritmi on löytää "x":n suurin aste osoittajasta tai nimittäjästä. Seuraavaksi osoittaja ja nimittäjä yksinkertaistetaan siihen ja löydetään funktion raja

Koska arvo pyrkii nollaan, kun muuttuja menee äärettömyyteen, ne jätetään huomiotta tai kirjoitetaan lopulliseen lausekkeeseen nollina

Välittömästi käytännössä voit tehdä kaksi johtopäätöstä, jotka ovat vihje laskelmissa. Jos muuttuja pyrkii äärettömään ja osoittajan aste on suurempi kuin nimittäjän aste, niin raja on yhtä suuri kuin ääretön. Muussa tapauksessa, jos nimittäjässä oleva polynomi on suurempaa kuin osoittajassa, raja on nolla.
Rajakaava voidaan kirjoittaa muodossa

Jos meillä on tavallisen tukin muotoinen funktio ilman murtolukuja, niin sen raja on ääretön

Seuraavan tyyppiset rajat koskevat lähellä nollaa olevien funktioiden käyttäytymistä.

Esimerkki 3 Etsi funktion raja
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Ratkaisu: Tässä ei tarvitse ottaa pois polynomin johtavaa kertojaa. Juuri päinvastoin, on tarpeen löytää osoittajan ja nimittäjän pienin potenssi ja laskea raja

x^2 arvo; x yleensä nollaan, kun muuttuja pyrkii nollaan Siksi ne jätetään huomiotta, joten saamme

että raja on 2,5.

Nyt tiedät kuinka löytää funktion raja eräänlainen polynomi jaettuna polynomilla, jos muuttuja pyrkii äärettömyyteen tai 0:aan. Mutta tämä on vain pieni ja helppo osa esimerkeistä. Seuraavasta materiaalista opit kuinka paljastaa funktion rajojen epävarmuustekijät.

Raja epävarmuudella 0/0 ja sen laskentamenetelmät

Heti kaikki muistavat säännön, jonka mukaan nollalla ei saa jakaa. Kuitenkin rajojen teoria tarkoittaa tässä yhteydessä äärettömän pieniä funktioita.
Katsotaanpa muutamia esimerkkejä havainnollistamaan.

Esimerkki 4 Etsi funktion raja
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Ratkaisu: Kun nimittäjään korvataan muuttujan x = -1 arvo, saadaan nolla, osoittajassa sama. Meillä on siis muodon epävarmuus 0/0.
Tällaista epävarmuutta on helppo käsitellä: sinun on kerrottava polynomi tai pikemminkin valittava tekijä, joka muuttaa funktion nollaksi.

Hajottamisen jälkeen funktion raja voidaan kirjoittaa muodossa

Tämä on koko funktion rajan laskemisen tekniikka. Teemme samoin, jos polynomilla jaetun polynomin muodolla on raja.

Esimerkki 5 Etsi funktion raja
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Ratkaisu: Suora korvaus näkyy
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
mitä meillä on tyypin epävarmuus 0/0.
Jaa polynomit kertoimella, joka tuo singulaarisuuden


On opettajia, jotka opettavat, että 2. kertaluvun polynomit, eli "neliöyhtälöiden" tyyppi, tulisi ratkaista diskriminantilla. Mutta todellinen käytäntö osoittaa, että se on pidempi ja monimutkaisempi, joten eroon ominaisuuksista määritetyn algoritmin rajoissa. Näin ollen kirjoitamme funktion yksinkertaisten tekijöiden muodossa ja laskemme rajan

Kuten näette, tällaisten rajojen laskemisessa ei ole mitään monimutkaista. Osaat jakaa polynomit rajojen tutkimisen aikana sen mukaan vähintään ohjelman mukaan on jo läpäistävä.
Tehtävien joukossa tyypin epävarmuus 0/0 on niitä, joissa on tarpeen soveltaa lyhennettyjen kertolaskujen kaavoja. Mutta jos et tiedä niitä, jakamalla polynomin monomilla, saat halutun kaavan.

Esimerkki 6 Etsi funktion raja
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Ratkaisu: Meillä on tyyppiä 0/0 oleva epävarmuus. Osoittimessa käytämme lyhennetyn kertolaskukaavaa

ja laske haluttu raja

Epävarmuuden ilmaisumenetelmä kertomalla konjugaatilla

Menetelmää sovelletaan rajoihin, joissa irrationaaliset funktiot synnyttävät epävarmuutta. Laskentapisteessä osoittaja tai nimittäjä muuttuu nollaan, eikä rajaa tiedetä.

Esimerkki 7 Etsi funktion raja
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Ratkaisu: Esitetään muuttuja rajakaavassa

Korvaamalla saamme tyypin 0/0 epävarmuuden.
Rajateorian mukaan menetelmä tämän singulaarisuuden ohittamiseksi koostuu irrationaalisen lausekkeen kertomisesta sen konjugaatilla. Jotta lauseke pysyy muuttumattomana, nimittäjä on jaettava samalla arvolla

Neliöiden erotussäännöllä yksinkertaistamme osoittajaa ja laskemme funktion rajan

Yksinkertaistamme termejä, jotka luovat rajan singulaarisuuden ja suoritamme korvauksen

Esimerkki 8 Etsi funktion raja
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Ratkaisu: Suora substituutio osoittaa, että rajan singulariteetti on muotoa 0/0.

Laajenna kertomalla ja jakamalla konjugaatilla osoittajaan

Kirjoita neliöiden ero

Yksinkertaistamme termejä, jotka tuovat esiin singulaarisuuden ja löydämme funktion rajan

Esimerkki 9 Etsi funktion raja
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Ratkaisu: Korvaa kakkosluku kaavassa

Saada epävarmuus 0/0.
Nimittäjä on kerrottava konjugaattilausekkeella ja osoittajassa ratkaistava toisen asteen yhtälö tai kerrottava kertoimella singulaarisuus huomioon ottaen. Koska tiedetään, että 2 on juuri, niin toinen juuri löydetään Vieta-lauseen avulla

Näin ollen kirjoitamme osoittajan muotoon

ja laita raja sisään

Kun olet pienentänyt neliöiden eroa, pääsemme eroon osoittajan ja nimittäjän ominaisuuksista

Yllä olevalla tavalla pääset eroon singulaarisuudesta monissa esimerkeissä ja sovellus tulee huomata kaikkialla, missä annettu juurien ero muuttuu nollaksi korvaamisen yhteydessä. Muut rajoitukset koskevat eksponentiaaliset funktiot, äärettömän pienet funktiot, logaritmit, singulaariset rajat ja muut tekniikat. Mutta voit lukea tästä alla olevista rajoituksia koskevista artikkeleista.

Aihe 4.6 Rajojen laskeminen

Toiminnon raja ei riipu siitä, onko se määritelty rajapisteessä vai ei. Mutta perusfunktioiden rajoja laskettaessa tämä seikka on olennainen.

1. Jos funktio on alkeisfunktio ja jos argumentin raja-arvo kuuluu sen määritelmäalueeseen, niin funktion raja-arvon laskenta pelkistetään argumentin raja-arvon yksinkertaiseen korvaamiseen, koska raja alkeistoiminto f(x) x pyrkiiA , joka sisältyy määritelmäalueeseen, on yhtä suuri kuin funktion yksityinen arvo kohdassa x= A, eli lim f(x)=f( a) .

2. Jos x menee äärettömään tai argumentti pyrkii numeroon, joka ei kuulu funktion alueeseen, niin kussakin tällaisessa tapauksessa funktion rajan löytäminen vaatii erityistä tutkimusta.

Seuraavat ovat yksinkertaisimmat raja-arvojen ominaisuuksiin perustuvat rajat, joita voidaan käyttää kaavoina:

Monimutkaisemmat tapaukset funktion rajan löytämiseksi:

jokainen harkitaan erikseen.

Tässä osiossa esitellään tärkeimmät tavat paljastaa epävarmuustekijät.

1. Tapaus, kun x pyrkiiA funktio f(x) edustaa kahden äärettömän pienen suuren suhdetta

a) Ensin on varmistettava, että funktion rajaa ei voida löytää suoralla substituutiolla, ja esitetyllä argumentin muutoksella se edustaa kahden äärettömän pienen suuren suhdetta. Muunnoksia tehdään murto-osuuden pienentämiseksi 0:aan pyrkivällä kertoimella. Funktion rajan määritelmän mukaan argumentti x pyrkii raja-arvoonsa, ei koskaan sen kanssa.

Yleensä, jos funktion rajaa haetaan x pyrkiiA , silloin on muistettava, että x ei ota arvoa A, eli x ei ole yhtä suuri kuin a.

b) Bezoutin lausetta sovelletaan. Jos etsit murto-osan rajaa, jonka osoittaja ja nimittäjä ovat polynomeja, jotka muuttuvat 0:ksi rajapisteessä x \u003d A, niin yllä olevan lauseen mukaan molemmat polynomit ovat jaollisia ilman jäännöstä x- A.

c) Irrationaalisuus osoittajassa tai nimittäjässä tuhotaan kertomalla osoittaja tai nimittäjä lausekkeella konjugaatti irrationaaliin, sitten yksinkertaistamisen jälkeen murto-osa pienennetään.

d) Käytetään ensimmäistä merkittävää rajaa (4.1).

e) Käytämme ääretöntä ekvivalenssilausetta ja seuraavaa b.m.:ta:

2. Tapaus, kun x pyrkiiA funktio f(x) edustaa kahden äärettömän suuren suuren suhdetta

a) Jaa murtoluvun osoittaja ja nimittäjä tuntemattoman suurimmalla potenssilla.

b) Yleensä voit käyttää sääntöä

3. Tapaus, kun x pyrkiiA funktio f(x) edustaa äärettömän pienen arvon ja äärettömän suuren tuloa

Murto-osa muunnetaan muotoon, jonka osoittaja ja nimittäjä pyrkivät samanaikaisesti nollaan tai äärettömyyteen, ts. tapaus 3 pienenee tapaukseksi 1 tai tapaukseksi 2.

4. Tapaus, kun x pyrkiiA funktio f(x) edustaa kahden positiivisen äärettömän suuren määrän erotusta

Tämä tapaus pelkistetään lajiin 1 tai 2 jollakin seuraavista tavoista:

a) murto-osien vähentäminen yhteiseksi nimittäjäksi;

b) funktion muuntaminen murto-osan muotoon;

c) irrationaalisuudesta eroon pääseminen.

5. Tapaus, kun x pyrkiiA funktio f(x) edustaa potenssia, jonka kanta on 1 ja jonka eksponentti pyrkii äärettömyyteen.

Funktio muunnetaan siten, että se käyttää toista merkittävää rajaa (4.2).

Esimerkki. löytö .

Koska x yleensä 3, silloin murtoluvun osoittaja pyrkii numeroon 3 2 +3 *3+4=22 ja nimittäjä numeroon 3+8=11. Siten,

Esimerkki

Tässä murto-osan osoittaja ja nimittäjä x pyrkii 2:een taipumus 0:aan (muodon epävarmuus), jaamme osoittajan ja nimittäjän tekijöiksi, saamme lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)

Esimerkki

Kerrotaan osoittaja ja nimittäjä lausekkeella, joka on konjugoitu osoittajaan, meillä on

Avaamalla hakasulkeet osoittajassa, saamme

Esimerkki

Taso 2 Esimerkki. Otetaan esimerkki funktion rajan käsitteen soveltamisesta taloudellisissa laskelmissa. Harkitse tavallista rahoitustapahtumaa: summan lainaamista S 0 sillä ehdolla, että tietyn ajan kuluttua T summa palautetaan S T. Määritellään arvo r suhteellinen kasvu kaava

r = (S T - S 0)/S 0 (1)

Suhteellinen kasvu voidaan ilmaista prosentteina kertomalla saatu arvo r 100 mennessä.

Kaavasta (1) on helppo määrittää arvo S T:

S T= S 0 (1 + r)

Useita kattavia pitkäaikaisia ​​lainoja selvitettäessä täysiä vuosia käytä korkokorkoa. Se koostuu siitä, että jos ensimmäisen vuoden määrä S 0 kasvaa (1 + r) kertaa, sitten toisena vuonna vuonna (1 + r) kertaa summa kasvaa S 1 = S 0 (1 + r), tuo on S 2 = S 0 (1 + r) 2. Samoin käy ilmi S 3 = S 0 (1 + r) 3. Yllä olevista esimerkeistä voit johtaa yleisen kaavan määrän kasvun laskemiseksi n vuodet laskettaessa korkojärjestelmän mukaan:

S n= S 0 (1 + r) n.

Rahoituslaskelmissa käytetään järjestelmiä, joissa korkokorko lasketaan useita kertoja vuodessa. Samalla siinä määrätään vuosikorko r Ja maksujen määrä vuodessa k. Pääsääntöisesti jaksotukset tehdään säännöllisin väliajoin, eli kunkin välin pituuden mukaan T k on osa vuotta. Sitten jonkin aikaa T vuotta (täällä T ei välttämättä kokonaisluku) S T lasketaan kaavalla

(2)

Missä - koko osa itse numeroa vastaava numero, jos esim. T? kokonaisluku.

Olkoon vuosikorko r ja tuotettu n kertyy vuosittain säännöllisin väliajoin. Sitten vuoden summa S 0 kasvaa kaavan määräämään arvoon

(3)

SISÄÄN teoreettinen analyysi ja käytännössä rahoitustoimintaa Käsite "jatkuvasti korkotuotto" tulee usein vastaan. Jatkuvasti kertyviin korkoihin siirtymiseksi kaavoissa (2) ja (3) on tarpeen kasvattaa lukuja loputtomasti, vastaavasti. k Ja n(eli tavoite k Ja näärettömään) ja laske mihin rajaan funktiot pyrkivät S T Ja S 1 . Sovelletaan tätä menettelyä kaavaan (3):

Huomaa, että raja suluissa on sama kuin toisessa ihana raja. Tästä seuraa, että vuosikorolla r jatkuvasti kertyneellä korolla, summa S 0 vuodeksi korotetaan arvoon S 1 * , joka määritetään kaavasta

S 1 * = S 0 er (4)

Anna nyt summa S 0 lainataan korolla n kerran vuodessa säännöllisin väliajoin. Merkitse r e vuosikorko, jolla vuoden lopussa määrä S 0 kasvatetaan arvoksi S 1 * kaavasta (4). Tässä tapauksessa sanomme sen r e- Tämä vuosikorko n kerran vuodessa, mikä vastaa vuosiprosenttia r jatkuvalla kerrytyksellä. Kaavasta (3) saamme

S* 1 \u003d S 0 (1 + r e / n) n

Viimeisen kaavan ja kaavan (4) oikeiden osien yhtälö, olettaen, että viimeinen T= 1, voimme johtaa suhteita suureiden välille r Ja r e:

Näitä kaavoja käytetään laajalti rahoituslaskelmissa.