Etsi rajatun hahmon pinta-ala verkosta. Varma integraali

Tässä artikkelissa opit löytämään viivoilla rajatun kuvan alueen integraalilaskelmien avulla. Ensimmäistä kertaa tällaisen ongelman muotoiluun törmäämme lukiossa, kun tiettyjen integraalien opiskelu on juuri valmistunut ja on aika aloittaa käytännössä saadun tiedon geometrinen tulkinta.

Joten mitä tarvitaan, jotta voidaan ratkaista onnistuneesti kuvion alueen löytäminen integraalien avulla:

Kyky piirtää piirustuksia oikein;
Kyky ratkaista määrätty integraali käyttämällä hyvin tunnettua Newton-Leibnizin kaavaa;
Kyky "nähdä" kannattavampi ratkaisu - ts. ymmärtääksesi, kuinka tässä tai tuossa tapauksessa integrointi on helpompaa suorittaa? x-akselia (OX) vai y-akselia (OY) pitkin?
No, missä ilman oikeita laskelmia?) Tämä sisältää ymmärryksen siitä, kuinka toisen tyyppiset integraalit ratkaistaan ja oikeat numeeriset laskelmat.

Algoritmi viivojen rajoittaman kuvion alueen laskenta-ongelman ratkaisemiseksi:

1. Rakennamme piirustuksen. On suositeltavaa tehdä tämä paperille häkissä suuressa mittakaavassa. Allekirjoitamme kynällä kunkin kaavion yläpuolelle tämän funktion nimen. Kaavioiden allekirjoitus tehdään vain lisälaskelmien helpottamiseksi. Saatuaan halutun kuvan kaavion useimmissa tapauksissa on heti selvää, mitä integrointirajoja käytetään. Siten ratkaisemme ongelman graafisesti. Kuitenkin tapahtuu, että rajojen arvot ovat murto-osia tai irrationaalisia. Siksi voit tehdä lisälaskelmia, siirry vaiheeseen kaksi.

2. Jos integrointirajoja ei ole nimenomaisesti asetettu, etsimme graafien leikkauspisteet toistensa kanssa ja katsomme, onko graafinen ratkaisu analyyttisen kanssa.

3. Seuraavaksi sinun on analysoitava piirustus. Riippuen siitä, miten funktiokaaviot sijaitsevat, niitä on erilaisia lähestymistapoja löytääksesi hahmon alueen. Harkitse erilaisia esimerkkejä löytääksesi kuvion alueen integraaleja käyttämällä.

3.1. Klassisin ja yksinkertaisin versio ongelmasta on, kun sinun on löydettävä kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala. Mikä on kaareva trapetsi? Tämä on litteä kuva, jota rajoittaa x-akseli (y=0), suoraan x = a, x = b ja mikä tahansa käyrä, joka on jatkuva välissä alkaen a ennen b. Samanaikaisesti tämä luku ei ole negatiivinen ja ei sijaitse x-akselin alapuolella. Tässä tapauksessa kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin Newton-Leibnizin kaavalla laskettu kiinteä integraali:

Esimerkki 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Mitkä viivat määrittelevät hahmon? Meillä on paraabeli y = x2 - 3x + 3, joka sijaitsee akselin yläpuolella VAI NIIN, se ei ole negatiivinen, koska kaikki tämän paraabelin pisteet ovat positiivisia. Seuraavaksi annettu suorat viivat x = 1 ja x = 3 jotka kulkevat yhdensuuntaisesti akselin kanssa OU, ovat vasemmalla ja oikealla olevan kuvan rajaavat viivat. Hyvin y = 0, hän on x-akseli, joka rajoittaa kuvaa alhaalta. Tuloksena oleva kuva on varjostettu, kuten näkyy vasemmalla olevassa kuvassa. Tässä tapauksessa voit aloittaa ongelman ratkaisemisen välittömästi. Edessämme on yksinkertainen esimerkki kaarevasta puolisuunnikasta, jonka sitten ratkaisemme Newton-Leibnizin kaavalla.

3.2. Edellisessä kappaleessa 3.1 analysoitiin tapaus, jossa kaareva puolisuunnikkaan sijoittuu x-akselin yläpuolelle. Tarkastellaan nyt tilannetta, jossa tehtävän ehdot ovat samat, paitsi että funktio on x-akselin alla. Newton-Leibnizin standardikaavaan lisätään miinus. Kuinka ratkaista tällainen ongelma, harkitsemme edelleen.

Esimerkki 2 . Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

AT tämä esimerkki meillä on paraabeli y=x2+6x+2, joka on peräisin akselin alta VAI NIIN, suoraan x = -4, x = -1, y = 0. Tässä y = 0 rajoittaa haluttua lukua ylhäältä. Suoraan x = -4 ja x = -1 nämä ovat rajat, joiden sisällä määrällinen integraali lasketaan. Kuvion alueen löytämisongelman ratkaisuperiaate on lähes täysin sama kuin esimerkin numero 1. Ainoa ero on, että annettu funktio ei ole positiivinen, ja on myös jatkuva välillä [-4; -1] . Mitä positiivinen ei tarkoita? Kuten kuvasta voidaan nähdä, annetussa x:ssä olevalla kuviolla on yksinomaan "negatiiviset" koordinaatit, mikä meidän on nähtävä ja muistettava ongelmaa ratkaistaessa. Etsimme kuvion aluetta Newton-Leibnizin kaavalla, vain miinusmerkillä alussa.

Artikkeli ei ole valmis.

Ratkaisu.

Päätöksen ensimmäinen ja tärkein hetki on piirustuksen rakentaminen.

Tehdään piirustus:

Yhtälö y = 0 asettaa x-akselin;

- x=-2 ja x=1 - suora, yhdensuuntainen akselin kanssa OU;

- y \u003d x 2 +2 - paraabeli, jonka haarat ovat ylöspäin ja jonka kärki on pisteessä (0;2).

Kommentti. Paraabelin rakentamiseksi riittää, kun etsitään sen koordinaattiakselien leikkauspisteet, ts. laittaa x=0 etsi leikkauspiste akselin kanssa OU ja päättää sopivasta toisen asteen yhtälö, etsi leikkauspiste akselin kanssa vai niin .

Paraabelin kärkipiste löytyy kaavojen avulla:

Voit piirtää viivoja ja piste pisteeltä.

Välillä [-2;1] funktion kuvaaja y = x 2 +2 sijaitsee akselin yli Härkä , siksi:

Vastaus: S \u003d 9 neliöyksikköä

Kun tehtävä on suoritettu, on aina hyödyllistä katsoa piirrosta ja selvittää, onko vastaus todellinen. Tässä tapauksessa "silmällä" laskemme piirustuksen solujen lukumäärän - no, noin 9 kirjoitetaan, se näyttää olevan totta. On aivan selvää, että jos meillä olisi vaikkapa vastaus: 20 neliöyksikköä, niin ilmeisesti jossain tehtiin virhe - 20 solua ei selvästikään mahdu kyseiseen kuvaan, korkeintaan tusina. Jos vastaus osoittautui kielteiseksi, myös tehtävä ratkaistiin väärin.

Mitä tehdä, jos kaareva puolisuunnikas sijaitsee akselin alla Vai niin?

b) Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala y=-e x , x=1 ja koordinaattiakselit.

Ratkaisu.

Tehdään piirustus.

Jos kaareva puolisuunnikas kokonaan akselin alle vai niin , niin sen pinta-ala voidaan löytää kaavalla:

Vastaus: S=(e-1) neliöyksikkö" 1,72 neliöyksikköä

Huomio! Älä sekoita kahta tehtävätyyppiä:

1) Jos sinua pyydetään ratkaisemaan vain tietty integraali ilman mitään geometrinen tunne, niin se voi olla negatiivinen.

2) Jos sinua pyydetään löytämään hahmon pinta-ala määrätyn integraalin avulla, pinta-ala on aina positiivinen! Siksi miinus näkyy juuri tarkasteltavassa kaavassa.

Käytännössä hahmo sijaitsee useimmiten sekä ylä- että alapuoliskolla.

Kanssa) Etsi viivojen rajaama tasokuvan pinta-ala y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Ratkaisu.

Ensin sinun on tehtävä piirustus. Yleisesti ottaen piirustusta rakennettaessa aluetehtävässä meitä kiinnostavat eniten viivojen leikkauspisteet. Etsi paraabelin leikkauspisteet ja suora Tämä voidaan tehdä kahdella tavalla. Ensimmäinen tapa on analyyttinen.

Ratkaisemme yhtälön:

Integraation alaraja siis a = 0 , integroinnin yläraja b = 3 .

Rakennamme annetut suorat: 1. Paraabeli - kärkipiste pisteessä (1;1); akselin leikkaus Vai niin - pisteet (0;0) ja (0;2). 2. Suora - 2. ja 4. koordinaattikulman puolittaja. Ja nyt Huomio! Jos välissä [ a;b] jokin jatkuva toiminto f(x) suurempi tai yhtä suuri kuin jokin jatkuva funktio g(x), niin vastaavan kuvan pinta-ala löytyy kaavasta: .

Ja sillä ei ole väliä, missä kuva sijaitsee - akselin yläpuolella vai akselin alapuolella, vaan on tärkeää, kumpi kaavio on KORKEAMALLA (suhteessa toiseen kaavioon) ja kumpi on ALALLA. Tarkasteltavassa esimerkissä on ilmeistä, että segmentillä paraabeli sijaitsee suoran yläpuolella, ja siksi siitä on vähennettävä

On mahdollista rakentaa viivoja piste pisteeltä, kun taas integroinnin rajat selvitetään ikään kuin "itsensä". Silti analyyttistä menetelmää rajojen löytämiseksi on joskus vielä käytettävä, jos esimerkiksi graafi on riittävän suuri tai kierteitetty rakenne ei paljastanut integroinnin rajoja (ne voivat olla murto-osia tai irrationaalisia).

Haluttua hahmoa rajoittaa ylhäältä paraabeli ja alhaalta suora viiva.

Segmentillä , vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus: S \u003d 4,5 neliöyksikköä

Joten mitä tarvitaan, jotta voidaan ratkaista onnistuneesti kuvion alueen löytäminen integraalien avulla:

Kyky piirtää piirustuksia oikein;
Kyky ratkaista määrätty integraali käyttämällä hyvin tunnettua Newton-Leibnizin kaavaa;
Kyky "nähdä" kannattavampi ratkaisu - ts. ymmärtääksesi, kuinka tässä tai tuossa tapauksessa integrointi on helpompaa suorittaa? x-akselia (OX) vai y-akselia (OY) pitkin?
No, missä ilman oikeita laskelmia?) Tämä sisältää ymmärryksen siitä, kuinka toisen tyyppiset integraalit ratkaistaan ja oikeat numeeriset laskelmat.

Algoritmi viivojen rajoittaman kuvion alueen laskenta-ongelman ratkaisemiseksi:

2. Jos integrointirajoja ei ole nimenomaisesti asetettu, etsitään graafien leikkauspisteet toistensa kanssa ja katsotaan sopiiko graafinen ratkaisumme analyyttiseen ratkaisuun.

3. Seuraavaksi sinun on analysoitava piirustus. Riippuen siitä, kuinka funktioiden kaaviot sijaitsevat, on olemassa erilaisia lähestymistapoja kuvion alueen löytämiseen. Harkitse erilaisia esimerkkejä kuvion alueen löytämisestä integraaleja käyttämällä.

Esimerkki 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Esimerkki 2 . Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

Tässä esimerkissä meillä on paraabeli y=x2+6x+2, joka on peräisin akselin alta VAI NIIN, suoraan x = -4, x = -1, y = 0. Tässä y = 0 rajoittaa haluttua lukua ylhäältä. Suoraan x = -4 ja x = -1 nämä ovat rajat, joiden sisällä määrällinen integraali lasketaan. Kuvion alueen löytämisongelman ratkaisuperiaate on lähes täysin sama kuin esimerkin numero 1. Ainoa ero on, että annettu funktio ei ole positiivinen, ja on myös jatkuva välillä [-4; -1] . Mitä positiivinen ei tarkoita? Kuten kuvasta voidaan nähdä, annetussa x:ssä olevalla kuviolla on yksinomaan "negatiiviset" koordinaatit, mikä meidän on nähtävä ja muistettava ongelmaa ratkaistaessa. Etsimme kuvion aluetta Newton-Leibnizin kaavalla, vain miinusmerkillä alussa.

Artikkeli ei ole valmis.

Edellisessä osassa, joka oli omistettu määrätyn integraalin geometrisen merkityksen analysointiin, saimme useita kaavoja kaarevan puolisuunnikkaan alueen laskemiseksi:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x jatkuvalle ja ei-negatiiviselle funktiolle y = f (x) janalla [ a ; b],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x jatkuvalle ja ei-positiiviselle funktiolle y = f (x) janalla [ a ; b].

Nämä kaavat soveltuvat suhteellisen yksinkertaisten ongelmien ratkaisemiseen. Itse asiassa joudumme usein työskentelemään monimutkaisempien muotojen kanssa. Tältä osin omistamme tämän osan algoritmien analysointiin kuvioiden pinta-alan laskemiseksi, joita funktiot rajoittavat eksplisiittisessä muodossa, ts. kuten y = f(x) tai x = g(y) .

Lause

Olkoon funktiot y = f 1 (x) ja y = f 2 (x) määriteltyjä ja jatkuvia janalla [ a ; b ] ja f 1 (x) ≤ f 2 (x) mille tahansa arvolle x alkaen [ a ; b]. Sitten viivojen x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) ja y \u003d f 2 (x) rajoittaman kuvion G pinta-alan laskentakaava näyttää tältä S ( G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Samanlaista kaavaa voidaan soveltaa viivojen y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) ja x \u003d g 2 (y) rajoittaman kuvan alueella: S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Todiste

Analysoimme kolme tapausta, joissa kaava on voimassa.

Ensimmäisessä tapauksessa, kun otetaan huomioon alueen additiivisuus, alkuperäisen kuvan G ja kaarevan puolisuunnikkaan G 1 pinta-alojen summa on yhtä suuri kuin kuvan G 2 pinta-ala. Se tarkoittaa sitä

Siksi S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x .

Voimme suorittaa viimeisen siirtymän käyttämällä määrätyn integraalin kolmatta ominaisuutta.

Toisessa tapauksessa yhtälö on tosi: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Graafinen kuva näyttää tältä:

Jos molemmat funktiot ovat ei-positiivisia, saadaan: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x . Graafinen kuva näyttää tältä:

Siirrytään tarkastelemaan yleistä tapausta, jossa y = f 1 (x) ja y = f 2 (x) leikkaavat akselin O x .

Merkitsemme leikkauspisteitä muodossa x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . Nämä pisteet rikkovat janan [ a ; b ] n osaan x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , missä α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Näin ollen

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Voimme tehdä viimeisen siirtymän käyttämällä määrätyn integraalin viidettä ominaisuutta.

Havainnollistetaan yleinen tapaus kaaviossa.

Kaavaa S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x voidaan pitää todistettuna.

Ja nyt siirrytään esimerkkien analyysiin sellaisten lukujen pinta-alan laskemisesta, joita rajoittavat rivit y \u003d f (x) ja x \u003d g (y) .

Kun otetaan huomioon mitä tahansa esimerkkiä, aloitamme graafin rakentamisesta. Kuvan avulla voimme esittää monimutkaisia muotoja enemmän yhdistelminä yksinkertaisia hahmoja. Jos kaavioiden ja muotojen piirtäminen niille on sinulle vaikeaa, voit tutkia osion perusfunktioista, funktioiden kaavioiden geometrisestä muunnoksesta sekä piirtämisestä funktion tutkimuksen aikana.

Esimerkki 1

On tarpeen määrittää kuvion pinta-ala, jota rajoittavat paraabeli y \u003d - x 2 + 6 x - 5 ja suorat viivat y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d 1, x \u003d 4.

Ratkaisu

Piirretään kaavion suorat suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä.

Välillä [ 1 ; 4] paraabelin y = - x 2 + 6 x - 5 kuvaaja sijaitsee suoran y = - 1 3 x - 1 2 yläpuolella. Tässä suhteessa vastauksen saamiseksi käytämme aiemmin saatua kaavaa sekä menetelmää määrätyn integraalin laskemiseksi käyttämällä Newton-Leibnizin kaavaa:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 p x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Vastaus: S (G) = 13

Katsotaanpa monimutkaisempaa esimerkkiä.

Esimerkki 2

On tarpeen laskea kuvion pinta-ala, jota rajoittavat suorat y = x + 2, y = x, x = 7.

Ratkaisu

Tässä tapauksessa meillä on vain yksi x-akselin suuntainen suora. Tämä on x = 7. Tämä edellyttää, että löydämme itse toisen integraatiorajan.

Rakennetaan graafi ja laitetaan siihen tehtävän ehdossa annetut suorat.

Kun kaavio on silmiemme edessä, voimme helposti määrittää, että integroinnin alaraja on kaavion leikkauspisteen abskissa suoran y \u003d x ja puoliparaabelin y \u003d x + 2 kanssa. Abskissan löytämiseksi käytämme yhtälöitä:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O D G

Osoittautuu, että leikkauspisteen abskissa on x = 2.

Kiinnitämme huomiosi siihen, että piirustuksen yleisessä esimerkissä suorat y = x + 2 , y = x leikkaavat pisteessä (2 ; 2) , joten tällaiset yksityiskohtaiset laskelmat voivat tuntua tarpeettomilta. Toimme tänne yksityiskohtainen ratkaisu vain siksi, että monimutkaisemmissa tapauksissa ratkaisu ei ehkä ole niin ilmeinen. Tämä tarkoittaa, että on parempi laskea viivojen leikkauspisteen koordinaatit aina analyyttisesti.

Aikavälillä [ 2 ; 7] funktion y = x kuvaaja sijaitsee funktion y = x + 2 graafin yläpuolella. Käytä kaavaa alueen laskemiseen:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Vastaus: S (G) = 59 6

Esimerkki 3

On tarpeen laskea kuvion pinta-ala, jota rajoittavat funktioiden y \u003d 1 x ja y \u003d - x 2 + 4 x - 2 kuvaajat.

Ratkaisu

Piirretään kaavioon viivoja.

Määritellään integraation rajat. Tätä varten määritämme suorien leikkauspisteiden koordinaatit vertaamalla lausekkeet 1 x ja - x 2 + 4 x - 2 . Edellyttäen, että x ei ole nolla, yhtälö 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 vastaa kolmannen asteen yhtälöä - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 kokonaislukukertoimilla . Voit päivittää tällaisten yhtälöiden ratkaisun algoritmin muistin katsomalla kappaletta "Kuutioyhtälöiden ratkaisu".

Tämän yhtälön juuri on x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Jakamalla lauseke - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 binomiaalilla x - 1, saadaan: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x -1) = 0

Löydämme loput juuret yhtälöstä x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Olemme löytäneet välin x ∈ 1; 3 + 13 2 , jossa G on sinisen viivan yläpuolella ja punaisen viivan alapuolella. Tämä auttaa meitä määrittämään kuvan alueen:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Vastaus: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Esimerkki 4

On tarpeen laskea kuvion pinta-ala, jota rajoittavat käyrät y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 ja x-akseli.

Ratkaisu

Laitetaan kaikki viivat kaavioon. Voimme saada funktion y = - log 2 x + 1 graafin kaaviosta y = log 2 x, jos asetamme sen symmetrisesti x-akselin ympäri ja siirrämme sitä yhden yksikön ylöspäin. X-akselin yhtälö y \u003d 0.

Merkitään viivojen leikkauspisteet.

Kuten kuvasta voidaan nähdä, funktioiden y \u003d x 3 ja y \u003d 0 kaaviot leikkaavat pisteessä (0; 0) . Tämä johtuu siitä, että x \u003d 0 on yhtälön x 3 \u003d 0 ainoa todellinen juuri.

x = 2 on yhtälön - log 2 x + 1 = 0 ainoa juuri, joten funktioiden y = - log 2 x + 1 ja y = 0 kuvaajat leikkaavat pisteessä (2 ; 0) .

x = 1 on yhtälön x 3 = - log 2 x + 1 ainoa juuri. Tässä suhteessa funktioiden y \u003d x 3 ja y \u003d - log 2 x + 1 kaaviot leikkaavat pisteessä (1; 1) . Viimeinen lause ei ehkä ole ilmeinen, mutta yhtälöllä x 3 \u003d - log 2 x + 1 ei voi olla useampaa kuin yksi juuri, koska funktio y \u003d x 3 kasvaa tiukasti ja funktio y \u003d - log 2 x +1 on jyrkästi laskussa.

Seuraava vaihe sisältää useita vaihtoehtoja.

Vaihtoehto numero 1

Voimme esittää kuvion G kahden abskissa-akselin yläpuolella olevan kaarevan puolisuunnikkaan summana, joista ensimmäinen sijaitsee keskiviivan alapuolella janalla x ∈ 0; 1 , ja toinen on punaisen viivan alapuolella janalla x ∈ 1 ; 2. Tämä tarkoittaa, että pinta-ala on yhtä suuri kuin S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Vaihtoehto numero 2

Kuvio G voidaan esittää kahden kuvion erotuksena, joista ensimmäinen sijaitsee x-akselin yläpuolella ja sinisen viivan alapuolella janalla x ∈ 0; 2 , ja toinen on punaisten ja sinisten viivojen välissä janalla x ∈ 1 ; 2. Tämän avulla voimme löytää alueen seuraavasti:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Tässä tapauksessa alueen löytämiseksi sinun on käytettävä kaavaa muodossa S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Itse asiassa muotoa rajoittavat viivat voidaan esittää y-argumentin funktioina.

Ratkaistaan yhtälöt y = x 3 ja - log 2 x + 1 x:n suhteen:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Saamme tarvittavan alueen:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Vastaus: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Esimerkki 5

On tarpeen laskea kuvion pinta-ala, jota rajoittavat viivat y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4.

Ratkaisu

Piirrä kaavioon viiva punaisella viivalla, joka saadaan funktiolla y = x . Piirrä viiva y = - 1 2 x + 4 sinisellä ja viiva y = 2 3 x - 3 mustalla.

Huomaa leikkauspisteet.

Etsi funktioiden y = x ja y = - 1 2 x + 4 kuvaajien leikkauspisteet:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i on yhtälön ratkaisu x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 on yhtälön ratkaisu ⇒ (4 ; 2) leikkauspiste i y = x ja y = - 1 2 x + 4

Etsi funktioiden y = x ja y = 2 3 x - 3 kuvaajien leikkauspiste:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Tarkista: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 on yhtälön ⇒ (9; 3) ratkaisu pisteen ja leikkauspisteen y = x ja y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 ei ole yhtälön ratkaisu

Etsi suorien y = - 1 2 x + 4 ja y = 2 3 x - 3 leikkauspiste:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) leikkauspiste y = - 1 2 x + 4 ja y = 2 3 x - 3

Menetelmä numero 1

Esitämme halutun kuvion pinta-alan yksittäisten kuvioiden pinta-alojen summana.

Sitten kuvion pinta-ala on:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Menetelmä numero 2

Alkuperäisen kuvion pinta-ala voidaan esittää kahden muun hahmon summana.

Sitten ratkaisemme x:n viivayhtälön ja vasta sen jälkeen käytämme kaavaa kuvan pinta-alan laskemiseksi.

y = x ⇒ x = y 2 punainen viiva y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 musta viiva y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i

Alue on siis:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 v + 9 2 - - 2 v + 8 pv y + ∫ 2 3 3 2 v + 9 2 - y 2 pv y = = ∫ 1 2 7 2 v - 7 2 pv 2 + ∫ 3 3 2 v + 9 2 - y 2 pv = = 7 4 v 2 - 7 4 v 1 2 + - y 3 3 + 3 v 2 4 + 9 2 v 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Kuten näet, arvot täsmäävät.

Vastaus: S (G) = 11 3

Tulokset

Löytääksemme kuvion alueen, jonka rajat ovat tietyt viivat, meidän on piirrettävä viivoja tasolle, löydettävä niiden leikkauspisteet ja käytettävä kaavaa alueen löytämiseksi. Tässä osiossa olemme käyneet läpi yleisimmät tehtävien vaihtoehdot.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Siirrymme nyt integraalilaskennan sovellusten tarkasteluun. Tällä oppitunnilla analysoimme tyypillistä ja yleisintä tehtävää. litteän hahmon pinta-alan laskeminen määrätyn integraalin avulla. Lopuksi, kaikki ne, jotka etsivät merkitystä korkeammasta matematiikasta - löytäkööt sen. Ei sitä koskaan tiedä. Tosielämässä sinun on arvioitava kesämökki perustoiminnoilla ja löydettävä sen pinta-ala tietyn integraalin avulla.

Materiaalin hallitsemiseksi onnistuneesti sinun on:

1) Ymmärrä epämääräinen integraali ainakin keskitasolla. Näin ollen nukkejen tulisi ensin lukea oppitunti Ei.

2) Osaat soveltaa Newton-Leibnizin kaavaa ja laskea kiinteän integraalin. Voit luoda lämpimiä ystävällisiä suhteita tietyillä sivulla olevilla integraaleilla Varma integraali. Ratkaisuesimerkkejä. Tehtävä "laske pinta-ala määrätyn integraalin avulla" sisältää aina piirustuksen rakentamisen Siksi tietosi ja piirustustaitosi ovat myös kiireellisiä. Vähintään pitää pystyä rakentamaan suora, paraabeli ja hyperbeli.

Aloitetaan kaarevalla trapetsilla. Kaareva puolisuunnikas on litteä kuvio, jota rajoittaa jonkin funktion kuvaaja y = f(x), akseli HÄRKÄ ja linjat x = a; x = b.

Kaareva puolisuunnikkaan pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin tietty integraali

Kaikilla määrätyillä integraaleilla (olemassa olevalla) on erittäin hyvä geometrinen merkitys. Oppitunnilla Varma integraali. Ratkaisuesimerkkejä sanoimme, että määrätty integraali on luku. Ja nyt on aika todeta toinen hyödyllinen tosiasia. Geometrian kannalta varma integraali on ALUE. Tuo on, määrätty integraali (jos se on olemassa) vastaa geometrisesti jonkin kuvion aluetta. Harkitse tarkkaa integraalia

Integrand

määrittää tasolle käyrän (se voidaan piirtää haluttaessa), ja itse määrätty integraali on numeerisesti yhtä suuri kuin vastaavan kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala.

Esimerkki 1

, , , .

Tämä on tyypillinen tehtävälausunto. Tärkein hetki ratkaisut - piirustus. Lisäksi piirustus on rakennettava OIKEIN.

Kun rakennat suunnitelmaa, suosittelen seuraavaa järjestystä: ensimmäinen on parempi rakentaa kaikki rivit (jos sellaisia on) ja vain jälkeen- paraabelit, hyperbelit, muiden funktioiden kuvaajat. Pistemäisen rakentamisen tekniikka löytyy kohdasta viitemateriaali Kaaviot ja ominaisuudet perustoiminnot . Sieltä löydät myös materiaalia, joka on erittäin hyödyllistä oppitunnillemme - kuinka nopeasti rakentaa paraabeli.

Tässä ongelmassa ratkaisu saattaa näyttää tältä.

Tehdään piirustus (huomaa, että yhtälö y= 0 määrittää akselin HÄRKÄ):

Emme kuori kaarevaa puolisuunnikasta, on selvää, mistä alueesta tässä puhutaan. Ratkaisu jatkuu näin:

Aikavälillä [-2; 1] funktiokaavio y = x 2 + 2 sijaitsee akselin yliHÄRKÄ, siksi:

Vastaus: .

Kenellä on vaikeuksia laskea kiinteää integraalia ja soveltaa Newton-Leibnizin kaavaa

viitata luentoon Varma integraali. Ratkaisuesimerkkejä. Kun tehtävä on suoritettu, on aina hyödyllistä katsoa piirrosta ja selvittää, onko vastaus todellinen. Tässä tapauksessa "silmällä" laskemme solujen lukumäärän piirustuksessa - no, noin 9 kirjoitetaan, se näyttää olevan totta. On aivan selvää, että jos meillä olisi vaikka vastaus: 20 neliöyksikköä, niin ilmeisesti jossain on tehty virhe - 20 solua ei ilmeisesti mahdu kyseiseen kuvaan, korkeintaan tusina. Jos vastaus osoittautui kielteiseksi, myös tehtävä ratkaistiin väärin.

Esimerkki 2

Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala xy = 4, x = 2, x= 4 ja akseli HÄRKÄ.

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Mitä tehdä, jos kaareva puolisuunnikas sijaitsee akselin allaHÄRKÄ?

Esimerkki 3

Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala y = e-x, x= 1 ja koordinaattiakselit.

Ratkaisu: Tehdään piirustus:

Jos kaareva puolisuunnikas kokonaan akselin alle HÄRKÄ , niin sen pinta-ala löytyy kaavasta:

Tässä tapauksessa:

Huomio! Kahden tyyppisiä tehtäviä ei pidä sekoittaa:

1) Jos sinua pyydetään ratkaisemaan vain tietty integraali ilman geometristä merkitystä, se voi olla negatiivinen.

2) Jos sinua pyydetään löytämään hahmon pinta-ala määrätyn integraalin avulla, pinta-ala on aina positiivinen! Siksi miinus näkyy juuri tarkasteltavassa kaavassa.

Käytännössä kuva sijoittuu useimmiten sekä ylempään että alempaan puolitasoon, ja siksi yksinkertaisimmista koulutehtävistä siirrytään merkityksellisempiin esimerkkeihin.

Esimerkki 4

Etsi viivojen rajaama tasokuvan pinta-ala y = 2x – x 2 , y = -x.

Ratkaisu: Ensin sinun on tehtävä piirustus. Piirustusta rakennettaessa aluetehtävässä meitä kiinnostavat eniten viivojen leikkauspisteet. Etsi paraabelin leikkauspisteet y = 2x – x 2 ja suora y = -x. Tämä voidaan tehdä kahdella tavalla. Ensimmäinen tapa on analyyttinen. Ratkaisemme yhtälön:

Integraation alaraja siis a= 0, integroinnin yläraja b= 3. Usein on kannattavampaa ja nopeampaa rakentaa viivoja piste kerrallaan, kun integroinnin rajat selvitetään ikään kuin "itse". Silti analyyttistä menetelmää rajojen löytämiseksi on joskus vielä käytettävä, jos esimerkiksi graafi on riittävän suuri tai kierteitetty rakenne ei paljastanut integroinnin rajoja (ne voivat olla murto-osia tai irrationaalisia). Palaamme tehtäväämme: on järkevämpää rakentaa ensin suora ja vasta sitten paraabeli. Tehdään piirustus:

Toistamme, että pistemäisessä rakentamisessa integroinnin rajat selvitetään useimmiten "automaattisesti".

Ja nyt työkaava:

Jos välissä [ a; b] jokin jatkuva toiminto f(x) suurempi tai yhtä suuri jokin jatkuva toiminto g(x), niin vastaavan kuvan pinta-ala löytyy kaavasta:

Täällä ei enää tarvitse ajatella, missä kuva sijaitsee - akselin yläpuolella tai akselin alapuolella, vaan sillä on väliä mikä kaavio on YLÄLLÄ(suhteessa toiseen kuvaajaan), ja kumpi on ALLA.

Tarkasteltavassa esimerkissä on selvää, että segmentillä paraabeli sijaitsee suoran yläpuolella, ja siksi 2. x – x 2 on vähennettävä - x.

Ratkaisun valmistuminen voi näyttää tältä:

Haluttua lukua rajoittaa paraabeli y = 2x – x 2 yläosa ja suora y = -x alhaalta.

Jaksolla 2 x – x 2 ≥ -x. Vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus: .

Itse asiassa koulukaava kaarevan puolisuunnikkaan pinta-alalle alemmassa puolitasossa (katso esimerkki nro 3) on kaavan erikoistapaus

Koska akseli HÄRKÄ annetaan yhtälöllä y= 0 ja funktion kuvaaja g(x) sijaitsee akselin alapuolella HÄRKÄ, sitten

Ja nyt pari esimerkkiä itsenäisestä ratkaisusta

Esimerkki 5

Esimerkki 6

Etsi viivojen rajaama kuvion alue

Kun pinta-alan laskemiseen liittyviä ongelmia ratkaistaan tietyn integraalin avulla, joskus tapahtuu hauska tapaus. Piirustus tehtiin oikein, laskelmat olivat oikein, mutta huolimattomuuden vuoksi ... löysi väärän hahmon alueen.

Esimerkki 7

Piirretään ensin:

Figuuri, jonka alueen meidän on löydettävä, on varjostettu sinisellä.(tarkastele tilannetta huolellisesti - kuinka luku on rajoitettu!). Mutta käytännössä he päättävät huolimattomuuden vuoksi usein, että heidän on löydettävä varjostettu hahmon alue. vihreässä!

Tämä esimerkki on hyödyllinen myös siinä mielessä, että siinä lasketaan kuvan pinta-ala käyttämällä kahta tarkkaa integraalia. Todella:

1) Jaksolla [-1; 1] akselin yläpuolella HÄRKÄ kaavio on suora y = x+1;

2) Akselin yläpuolella olevalla segmentillä HÄRKÄ hyperbelin kuvaaja sijaitsee y = (2/x).

On aivan selvää, että alueet voidaan (ja pitäisi) lisätä, joten:

Vastaus:

Esimerkki 8

Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala

Esitetään yhtälöt "koulu"-muodossa

ja tee viivapiirros:

Piirustuksesta voidaan nähdä, että ylärajamme on "hyvä": b = 1.

Mutta mikä on alaraja? On selvää, että tämä ei ole kokonaisluku, mutta mikä?

Voi olla, a=(-1/3)? Mutta missä on takuu siitä, että piirustus on tehty täydellisellä tarkkuudella, voi hyvinkin käydä niin a=(-1/4). Entä jos emme saa kaaviota ollenkaan oikein?

Tällaisissa tapauksissa täytyy käyttää lisäaikaa ja tarkentaa integroinnin rajoja analyyttisesti.

Etsi kaavioiden leikkauspisteet

Tätä varten ratkaisemme yhtälön:

Näin ollen a=(-1/3).

Jatkoratkaisu on triviaali. Tärkeintä ei ole hämmentyä vaihdoissa ja merkeissä. Tässä olevat laskelmat eivät ole helpoimpia. Segmentillä

, ,

vastaavan kaavan mukaan:

Oppitunnin lopuksi harkitsemme kahta vaikeampaa tehtävää.

Esimerkki 9

Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala

Ratkaisu: Piirrä tämä kuvio piirustukseen.

Pistekohtaista piirtämistä varten sinun on tiedettävä ulkomuoto sinusoidit. Yleensä on hyödyllistä tietää kaikkien perusfunktioiden kaaviot sekä jotkut sinin arvot. Ne löytyvät arvotaulukosta trigonometriset funktiot . Joissain tapauksissa (esimerkiksi tässä tapauksessa) on sallittua rakentaa kaavio, jossa graafit ja integrointirajat tulee esittää periaatteessa oikein.

Tässä ei ole ongelmia integrointirajojen kanssa, ne johtuvat suoraan ehdosta:

- "x" muuttuu nollasta "pi:ksi". Teemme lisäpäätöksen:

Segmentillä funktion kuvaaja y= synti 3 x sijaitsee akselin yläpuolella HÄRKÄ, siksi:

(1) Voit nähdä, kuinka sinit ja kosinit integroidaan parittomiin potenssiin oppitunnilla Trigonometristen funktioiden integraalit. Puristamme yhden sinin pois.

(2) Käytämme trigonometristä perusidentiteettiä muodossa

(3) Muutetaan muuttuja t= cos x, sitten: sijaitsee akselin yläpuolella, joten:

merkintä: huomioi kuinka kuution tangentin integraali otetaan, tässä käytetään trigonometrisen perusidentiteetin seurausta

Tulokset

Asiaan liittyvä sisältö: