Tässä artikkelissa opit löytämään viivoilla rajatun kuvan alueen integraalilaskelmien avulla. Ensimmäisen kerran törmätään tällaisen ongelman muotoiluun lukiossa, kun tiettyjen integraalien opiskelu on juuri valmistunut ja on aika aloittaa käytännössä saadun tiedon geometrinen tulkinta.

Joten mitä tarvitaan, jotta voidaan ratkaista onnistuneesti kuvion alueen löytäminen integraalien avulla:

• Kyky piirtää piirustuksia oikein;
• Kyky ratkaista määrätty integraali käyttämällä tunnettua Newton-Leibnizin kaavaa;
• Kyky "nähdä" kannattavampi ratkaisu - ts. ymmärtääksesi, kuinka tässä tai tuossa tapauksessa integrointi on helpompaa suorittaa? x-akselia (OX) vai y-akselia (OY) pitkin?
• No, missä ilman oikeita laskelmia?) Tämä sisältää ymmärryksen siitä, kuinka toisentyyppiset integraalit ratkaistaan ​​ja oikeat numeeriset laskelmat.

Algoritmi viivojen rajoittaman kuvion alueen laskenta-ongelman ratkaisemiseksi:

1. Rakennamme piirustuksen. On suositeltavaa tehdä tämä paperille häkissä suuressa mittakaavassa. Allekirjoitamme kynällä kunkin kaavion yläpuolelle tämän funktion nimen. Kaavioiden allekirjoitus tehdään vain lisälaskelmien helpottamiseksi. Saatuaan halutun kuvan kaavion useimmissa tapauksissa on heti selvää, mitä integrointirajoja käytetään. Siten ratkaisemme ongelman graafisesti. Kuitenkin tapahtuu, että rajojen arvot ovat murto-osia tai irrationaalisia. Siksi voit tehdä lisälaskelmia, siirry vaiheeseen kaksi.

2. Jos integrointirajoja ei ole nimenomaisesti asetettu, etsimme graafien leikkauspisteet toistensa kanssa ja katsomme, onko graafinen ratkaisu analyyttisen kanssa.

3. Seuraavaksi sinun on analysoitava piirustus. Riippuen siitä, miten funktiokaaviot sijaitsevat, niitä on erilaisia ​​lähestymistapoja löytääksesi hahmon alueen. Harkitse erilaisia ​​esimerkkejä löytääksesi kuvion alueen integraaleja käyttämällä.

3.1. Klassisin ja yksinkertaisin versio ongelmasta on, kun sinun on löydettävä kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala. Mikä on kaareva trapetsi? Tämä on litteä kuva, jota rajoittaa x-akseli (y=0), suoraan x = a, x = b ja mikä tahansa käyrä, joka on jatkuva välissä alkaen a ennen b. Samanaikaisesti tämä luku ei ole negatiivinen ja ei sijaitse x-akselin alapuolella. Tässä tapauksessa kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin Newton-Leibnizin kaavalla laskettu kiinteä integraali:

Esimerkki 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Mitkä viivat määrittelevät hahmon? Meillä on paraabeli y = x2 - 3x + 3, joka sijaitsee akselin yläpuolella VAI NIIN, se ei ole negatiivinen, koska kaikki tämän paraabelin pisteet ovat positiivisia. Seuraavaksi annettu suorat viivat x = 1 Ja x = 3 jotka kulkevat yhdensuuntaisesti akselin kanssa OU, ovat vasemmalla ja oikealla olevan kuvan rajaavat viivat. Hyvin y = 0, hän on x-akseli, joka rajoittaa kuvaa alhaalta. Tuloksena oleva kuva on varjostettu, kuten näkyy vasemmalla olevassa kuvassa. Tässä tapauksessa voit aloittaa ongelman ratkaisemisen välittömästi. Edessämme on yksinkertainen esimerkki kaarevasta puolisuunnikasta, jonka sitten ratkaisemme Newton-Leibnizin kaavalla.

3.2. Edellisessä kappaleessa 3.1 analysoitiin tapaus, jossa kaareva puolisuunnikkaan sijoittuu x-akselin yläpuolelle. Tarkastellaan nyt tilannetta, jossa tehtävän ehdot ovat samat, paitsi että funktio on x-akselin alla. Newton-Leibnizin standardikaavaan lisätään miinus. Kuinka ratkaista tällainen ongelma, harkitsemme edelleen.

Esimerkki 2 . Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

SISÄÄN tämä esimerkki meillä on paraabeli y=x2+6x+2, joka on peräisin akselin alta VAI NIIN, suoraan x = -4, x = -1, y = 0. Tässä y = 0 rajoittaa haluttua lukua ylhäältä. Suoraan x = -4 Ja x = -1 nämä ovat rajat, joiden sisällä määrällinen integraali lasketaan. Kuvion alueen löytämisongelman ratkaisuperiaate on lähes täysin sama kuin esimerkin numero 1. Ainoa ero on, että annettu funktio ei ole positiivinen, ja on myös jatkuva välillä [-4; -1] . Mitä positiivinen ei tarkoita? Kuten kuvasta voidaan nähdä, annetussa x:ssä olevalla kuviolla on yksinomaan "negatiiviset" koordinaatit, mikä meidän on nähtävä ja muistettava ongelmaa ratkaistaessa. Etsimme kuvion aluetta Newton-Leibnizin kaavalla, vain miinusmerkillä alussa.

Artikkeli ei ole valmis.

Tehtävä numero 3. Piirrä piirustus ja laske viivojen rajoittaman kuvan pinta-ala

Integraalin soveltaminen sovellettavien ongelmien ratkaisemiseen

Pinta-alan laskenta

Jatkuvan ei-negatiivisen funktion f(x) määrällinen integraali on numeerisesti yhtä suuri kuin käyrän y \u003d f (x), O x -akselin ja suorien x \u003d a ja x \u003d b rajoittaman kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala. Vastaavasti pinta-alakaava kirjoitetaan seuraavasti:

Harkitse joitain esimerkkejä tasokuvioiden pinta-alojen laskemisesta.

Tehtävä numero 1. Laske linjojen y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2 rajoittama alue.

Ratkaisu. Rakennetaan kuvio, jonka pinta-ala meidän on laskettava.

y \u003d x 2 + 1 on paraabeli, jonka haarat on suunnattu ylöspäin ja paraabelia on siirretty ylöspäin yhden yksikön verran suhteessa O y-akseliin (kuva 1).

Kuva 1. Kuvaaja funktiosta y = x 2 + 1

Tehtävä numero 2. Laske alue, jota rajoittavat viivat y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 välillä 0 - 1.

Ratkaisu. Tämän funktion kuvaaja on haaran paraabeli, joka on suunnattu ylöspäin, ja paraabelia on siirretty yksikön verran alaspäin suhteessa O y-akseliin (kuva 2).

Kuva 2. Kuvaaja funktiosta y \u003d x 2 - 1

Tehtävä numero 3. Piirrä piirustus ja laske viivojen rajoittaman kuvan pinta-ala

y = 8 + 2x - x 2 ja y = 2x - 4.

Ratkaisu. Ensimmäinen näistä kahdesta suorasta on paraabeli, jonka haarat osoittavat alaspäin, koska kerroin kohdassa x 2 on negatiivinen, ja toinen viiva on suora, joka ylittää molemmat koordinaattiakselit.

Paraabelin muodostamiseksi etsitään sen kärjen koordinaatit: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – vertex abskissa; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 on sen ordinaatti, N(1;9) on sen kärki.

Nyt löydämme paraabelin ja suoran leikkauspisteet ratkaisemalla yhtälöjärjestelmän:

Yhtälön oikeat puolet, joiden vasemmat sivut ovat yhtä suuret.

Saamme 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 tai x 2 - 12 \u003d 0, mistä .

Pisteet ovat siis paraabelin ja suoran leikkauspisteitä (kuva 1).

Kuva 3 Kuvaajat funktioista y = 8 + 2x – x 2 ja y = 2x – 4

Muodostetaan suora y = 2x - 4. Se kulkee koordinaattiakseleiden pisteiden (0;-4), (2; 0) kautta.

Paraabelin rakentamiseksi voit saada myös sen leikkauspisteet 0x-akselin kanssa, eli yhtälön 8 + 2x - x 2 = 0 tai x 2 - 2x - 8 = 0 juuret. Vieta-lauseen mukaan se on sen juuret on helppo löytää: x 1 = 2, x 2 = 4.

Kuva 3 esittää kuvion (parabolinen segmentti M 1 N M 2), jota rajoittavat nämä viivat.

Toinen osa ongelmasta on löytää tämän kuvan alue. Sen pinta-ala voidaan löytää käyttämällä määrättyä integraalia kaavan avulla .

Sovellettu tämä ehto, saamme integraalin:

2 Kierroskappaleen tilavuuden laskeminen

Käyrän y \u003d f (x) kiertämisestä O x -akselin ympäri saatu kappaleen tilavuus lasketaan kaavalla:

Kierrettäessä O y -akselin ympäri kaava näyttää tältä:

Tehtävä numero 4. Määritä kappaleen tilavuus, joka saadaan pyörimällä kaarevaa puolisuunnikasta, jota rajoittavat suorat viivat x \u003d 0 x \u003d 3 ja käyrä y \u003d O x -akselin ympäri.

Ratkaisu. Rakennetaan piirustus (kuva 4).

Kuva 4. Kuvaaja funktiosta y =

Haluttu tilavuus on yhtä suuri kuin

Tehtävä numero 5. Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan pyörimällä kaarevaa puolisuunnikasta, jota rajoittavat käyrä y = x 2 ja suorat y = 0 ja y = 4 akselin O y ympäri.

Ratkaisu. Meillä on:

Tarkasta kysymykset

Tehtävä 1(käyräviivaisen puolisuunnikkaan alueen laskemisesta).

Karteesisessa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä xOy annetaan kuva (katso kuva), jota rajoittavat x-akseli, suorat viivat x \u003d a, x \u003d b (kaareva puolisuunnikas. On laskettava pinta-ala u200b\u200bkäyrä trapetsi.
Ratkaisu. Geometria antaa meille reseptejä monikulmioiden ja joidenkin ympyrän osien (sektorin, segmentin) pinta-alojen laskemiseen. Geometristen näkökohtien avulla voimme löytää vain likimääräisen vaaditun alueen arvon seuraavasti.

Jaetaan segmentti [a; b] (kaareva puolisuunnikkaan kanta) n:llä yhtä suuret osat; tämä osio on toteutettavissa pisteiden x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 avulla . Piirretään näiden pisteiden läpi y-akselin suuntaiset viivat. Sitten annettu kaareva puolisuunnikas jaetaan n osaan, n kapeaan sarakkeeseen. Koko puolisuunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin sarakkeiden pinta-alojen summa.

Tarkastellaan erikseen k:nnettä saraketta, ts. kaareva puolisuunnikas, jonka kanta on segmentti. Korvataan se suorakulmiolla, jolla on sama kanta ja korkeus f(x k) (katso kuva). Suorakulmion pinta-ala on \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), missä \(\Delta x_k \) on janan pituus; on luonnollista pitää koottu tuotetta k:nnen sarakkeen pinta-alan likimääräisenä arvona.

Jos nyt tehdään samoin kaikilla muilla sarakkeilla, niin saadaan seuraava tulos: tietyn kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala S on suunnilleen yhtä suuri kuin n suorakulmiosta koostuvan porrastetun kuvion pinta-ala S n (katso kuva):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \pisteet + f(x_k)\Delta x_k + \pisteet + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Tässä merkinnän yhtenäisyyden vuoksi katsomme, että a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Delta x_0 \) - segmentin pituus, \(\Delta x_1 \) - segmentin pituus jne; kun taas, kuten yllä sovimme, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Joten \(S \noin S_n \), ja tämä likimääräinen yhtälö on sitä tarkempi, mitä suurempi n.
Määritelmän mukaan oletetaan, että kaarevan puolisuunnikkaan haluttu alue on yhtä suuri kuin sekvenssin raja (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Tehtävä 2(pisteen siirtämisestä)
Materiaalipiste liikkuu suorassa linjassa. Nopeuden riippuvuus ajasta ilmaistaan ​​kaavalla v = v(t). Etsi pisteen siirtymä aikavälillä [a; b].
Ratkaisu. Jos liike olisi tasaista, ongelma ratkeaisi hyvin yksinkertaisesti: s = vt, ts. s = v(b-a). Epätasaista liikettä varten on käytettävä samoja ideoita, joihin edellisen tehtävän ratkaisu perustui.
1) Jaa aikaväli [a; b] n yhtä suureen osaan.
2) Tarkastellaan aikaväliä ja oletetaan, että tämän ajanjakson aikana nopeus oli vakio, kuten hetkellä t k . Joten oletetaan, että v = v(t k).
3) Etsi pisteen siirtymän likimääräinen arvo aikavälillä , tämä likimääräinen arvo merkitään s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Laske siirtymän s likimääräinen arvo:
\(s \noin S_n \) missä
\(S_n = s_0 + \pisteet + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \pisteet + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Vaadittu siirtymä on yhtä suuri kuin sekvenssin raja (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Tehdään yhteenveto. Erilaisten tehtävien ratkaisut pelkistettiin samaan matemaattiseen malliin. Monet ongelmat eri tieteen ja teknologian aloilta johtavat samaan malliin ratkaisuprosessissa. Siis tämä matemaattinen malli pitää erityisesti tutkia.

Määrätyn integraalin käsite

Tehdään matemaattinen kuvaus mallista, joka rakennettiin kolmeen tarkasteltuun tehtävään funktiolle y = f(x), joka on jatkuva (mutta ei välttämättä ei-negatiivinen, kuten tarkasteluissa tehtävissä oletettiin) segmentillä [ a; b]:
1) jakaa segmentti [a; b] n yhtä suureen osaan;
2) summa $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \pisteet + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) laske $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

Tiedän matemaattinen analyysi on todistettu, että tämä raja on olemassa jatkuvan (tai paloittain jatkuvan) funktion tapauksessa. Häntä kutsutaan funktion y = f(x) määrätty integraali janan [a; b] ja ne merkitään näin:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Lukuja a ja b kutsutaan integroinnin rajoituksiksi (alempi ja ylempi).

Palataanpa edellä käsiteltyihin tehtäviin. Tehtävässä 1 annettu alueen määritelmä voidaan nyt kirjoittaa uudelleen seuraavasti:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
tässä S on yllä olevassa kuvassa esitetyn kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala. Tämä on mitä kiinteän integraalin geometrinen merkitys.

Tehtävässä 2 annettu pisteen siirtymän s määritelmä, joka liikkuu suorassa linjassa nopeudella v = v(t) aikavälillä t = a - t = b, joka on annettu tehtävässä 2, voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

Newton - Leibnizin kaava

Aluksi vastataan kysymykseen: mikä on määrätyn integraalin ja antiderivaalin välinen suhde?

Vastaus löytyy tehtävästä 2. Toisaalta suoraa pitkin nopeudella v = v(t) liikkuvan pisteen siirtymä s aikavälillä t = a - t = b ja lasketaan kaava
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Toisaalta liikkuvan pisteen koordinaatti on nopeuden antiderivaata - merkitään se s(t); näin ollen siirtymä s ilmaistaan ​​kaavalla s = s(b) - s(a). Tuloksena saamme:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
missä s(t) on v(t):n antijohdannainen.

Seuraava lause todistettiin matemaattisen analyysin aikana.
Lause. Jos funktio y = f(x) on jatkuva janalla [a; b], sitten kaava
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
jossa F(x) on f(x:n) antiderivaata.

Tätä kaavaa kutsutaan yleensä Newton-Leibnizin kaava englantilaisen fyysikon Isaac Newtonin (1643-1727) ja saksalaisen filosofin Gottfried Leibnizin (1646-1716) kunniaksi, jotka saivat sen toisistaan ​​riippumatta ja lähes samanaikaisesti.

Käytännössä F(b) - F(a) kirjoittamisen sijaan he käyttävät merkintää \(\left. F(x)\right|_a^b \) (se on joskus ns. kaksoiskorvaus) ja kirjoita vastaavasti Newton-Leibnizin kaava uudelleen tähän muotoon:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \vasen. F(x)\oikea|_a^b \)

Kun lasketaan määrätty integraali, etsi ensin antiderivaatti ja suorita sitten kaksoissubstituutio.

Newton-Leibnizin kaavan perusteella voidaan saada kaksi kiinteän integraalin ominaisuutta.

Kiinteistö 1. Toimintojen summan integraali on yhtä suuri kuin integraalien summa:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Kiinteistö 2. Vakiotekijä voidaan ottaa pois integraalimerkistä:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Tasokuvioiden pinta-alojen laskeminen kiinteällä integraalilla

Integraalin avulla voit laskea kaarevien puolisuunnikkaan pinta-alan lisäksi myös monimutkaisempia tasokuvioita, kuten kuvassa näkyvä. Kuvaa P rajoittavat suorat x = a, x = b ja jatkuvien funktioiden y = f(x), y = g(x) kuvaajat ja janalla [a; b] epäyhtälö \(g(x) \leq f(x) \) pätee. Laskeaksemme tällaisen kuvion alueen S, toimimme seuraavasti:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Joten kuvion alue S, jota rajoittavat suorat x = a, x = b ja funktioiden y = f(x), y = g(x) kuvaajat, jatkuva janalla ja sellainen, että millä tahansa x:llä segmentti [a; b] epäyhtälö \(g(x) \leq f(x) \) täyttyy, lasketaan kaavalla
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Joidenkin funktioiden epämääräisten integraalien (antiderivaatojen) taulukko

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \teksti(arctg) x +C $$ $$ \int \teksti(ch) x dx = \teksti(sh) x +C $$ $$ \int \teksti(sh) x dx = \teksti(ch) )x+C $$

Varma integraali. Kuinka laskea kuvion pinta-ala

Siirrymme nyt integraalilaskennan sovellusten tarkasteluun. Tällä oppitunnilla analysoimme tyypillistä ja yleisintä tehtävää. Kuinka käyttää määrättyä integraalia tasokuvan alueen laskemiseen. Lopuksi, ne, jotka etsivät merkitystä korkeammasta matematiikasta - löytäkööt sen. Ei sitä koskaan tiedä. Tosielämässä sinun on arvioitava kesämökki perustoiminnoilla ja löydettävä sen pinta-ala tietyn integraalin avulla.

Materiaalin hallitsemiseksi onnistuneesti sinun on:

1) Ymmärrä epämääräinen integraali ainakin keskitasolla. Näin ollen nukkejen tulisi ensin lukea oppitunti Ei.

2) Osaat soveltaa Newton-Leibnizin kaavaa ja laskea kiinteän integraalin. Voit luoda lämpimiä ystävällisiä suhteita tietyillä sivulla olevilla integraaleilla Varma integraali. Ratkaisuesimerkkejä.

Itse asiassa, jotta voit löytää kuvion alueen, sinun ei tarvitse niin paljon tietoa epämääräisestä ja määrätystä integraalista. Tehtävä "laske pinta-ala määrätyn integraalin avulla" sisältää aina piirustuksen rakentamisen, joten tietosi ja piirustustaitosi ovat paljon tärkeämpi asia. Tässä suhteessa on hyödyllistä siveltää päänäytön grafiikkaa perustoiminnot, ja ainakin pystyä rakentamaan suora, paraabeli ja hyperbeli. Tämä voidaan tehdä (monet tarvitsevat) avulla metodologinen materiaali ja artikkeleita graafien geometrisista muunnoksista.

Itse asiassa kaikki ovat tunteneet alueen löytämisen ongelman tietyllä integraalilla koulusta lähtien, ja menemme hieman edellä koulun opetussuunnitelma. Tätä artikkelia ei ehkä ole ollenkaan, mutta tosiasia on, että ongelma esiintyy 99 tapauksessa 100:sta, kun opiskelijaa kiusaa vihattu torni innokkaasti hallitsemaan korkeamman matematiikan kurssia.

Tämän työpajan materiaalit esitetään yksinkertaisesti, yksityiskohtaisesti ja mahdollisimman vähän teoriaa käyttäen.

Aloitetaan kaarevalla trapetsilla.

Kaareva puolisuunnikas kutsutaan litteäksi kuvioksi, jota rajoittavat akseli , suorat viivat ja funktion kuvaaja, joka on jatkuva janalla, joka ei muuta etumerkkiä tällä välillä. Olkoon tämä kuva paikannettava ei vähempää abskissa:

Sitten kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin tietty integraali. Kaikilla määrätyillä integraaleilla (olemassa olevalla) on erittäin hyvä geometrinen merkitys. Oppitunnilla Varma integraali. Ratkaisuesimerkkejä Sanoin, että määrätty integraali on luku. Ja nyt on aika todeta toinen hyödyllinen tosiasia. Geometrian kannalta varma integraali on ALUE.

Tuo on, määrätty integraali (jos se on olemassa) vastaa geometrisesti jonkin kuvion aluetta. Tarkastellaan esimerkiksi tarkkaa integraalia . Integrandi määrittää käyrän tasolle, joka sijaitsee akselin yläpuolella (haluavat voivat täydentää piirustuksen), ja itse määrätty integraali on numeerisesti yhtä suuri kuin vastaavan kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala.

Esimerkki 1

Tämä on tyypillinen tehtävälausunto. Ensin ja ratkaiseva kohta ratkaisut - piirtäminen. Lisäksi piirustus on rakennettava OIKEIN.

Kun rakennat suunnitelmaa, suosittelen seuraavaa järjestystä: ensiksi on parempi rakentaa kaikki rivit (jos sellaisia ​​on) ja vain Sitten- paraabelit, hyperbelit, muiden funktioiden kuvaajat. Funktiokaavioita on kannattavampaa rakentaa kohta kohdalta, pistemäisen rakentamisen tekniikka löytyy kohdasta viitemateriaali Alkeisfunktioiden kuvaajat ja ominaisuudet. Sieltä löydät myös materiaalia, joka on erittäin hyödyllistä oppitunnillemme - kuinka nopeasti rakentaa paraabeli.

Tässä ongelmassa ratkaisu saattaa näyttää tältä.
Tehdään piirustus (huomaa, että yhtälö määrittää akselin):

En hauta kaarevaa puolisuunnikasta, on selvää, mistä alueesta tässä puhutaan. Ratkaisu jatkuu näin:

Segmentillä sijaitsee funktion kuvaaja akselin yli, Siksi:

Vastaus:

Kenellä on vaikeuksia laskea kiinteää integraalia ja soveltaa Newton-Leibnizin kaavaa , katso luento Varma integraali. Ratkaisuesimerkkejä.

Kun tehtävä on suoritettu, on aina hyödyllistä katsoa piirrosta ja selvittää, onko vastaus todellinen. Tässä tapauksessa "silmällä" laskemme solujen lukumäärän piirustuksessa - no, noin 9 kirjoitetaan, se näyttää olevan totta. On aivan selvää, että jos meillä olisi vaikkapa vastaus: 20 neliöyksikköä, niin ilmeisesti jossain on tehty virhe - 20 solua ei ilmeisesti mahdu kyseiseen kuvaan, korkeintaan tusina. Jos vastaus osoittautui kielteiseksi, myös tehtävä ratkaistiin väärin.

Esimerkki 2

Laske viivojen , , ja akselin rajoittaman kuvion pinta-ala

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Mitä tehdä, jos kaareva puolisuunnikas sijaitsee akselin alla?

Esimerkki 3

Laske viivojen ja koordinaattiakseleiden rajoittaman kuvan pinta-ala.

Ratkaisu: Tehdään piirustus:

Jos kaareva puolisuunnikas sijaitsee akselin alla(tai mukaan vähintään, ei korkeampi annettu akseli), sen pinta-ala voidaan löytää kaavalla:
Tässä tapauksessa:

Huomio! Älä sekoita kahta tehtävätyyppiä:

1) Jos sinua pyydetään ratkaisemaan vain tietty integraali ilman mitään geometrinen tunne, niin se voi olla negatiivinen.

2) Jos sinua pyydetään löytämään hahmon pinta-ala määrätyn integraalin avulla, pinta-ala on aina positiivinen! Siksi miinus näkyy juuri tarkasteltavassa kaavassa.

Käytännössä kuva sijoittuu useimmiten sekä ylempään että alempaan puolitasoon, ja siksi yksinkertaisimmista koulutehtävistä siirrytään merkityksellisempiin esimerkkeihin.

Esimerkki 4

Etsi tasaisen kuvion pinta-ala, jota rajoittavat viivat , .

Ratkaisu: Ensin sinun on suoritettava piirustus. Yleisesti ottaen piirustusta rakennettaessa aluetehtävässä meitä kiinnostavat eniten viivojen leikkauspisteet. Etsitään paraabelin ja suoran leikkauspisteet. Tämä voidaan tehdä kahdella tavalla. Ensimmäinen tapa on analyyttinen. Ratkaisemme yhtälön:

Siksi integraation alaraja , integraation yläraja .
On parasta olla käyttämättä tätä menetelmää, jos mahdollista..

On paljon kannattavampaa ja nopeampaa rakentaa linjat piste kerrallaan, kun integraation rajat selvitetään ikään kuin "itse". Eri kaavioiden pistekohtaista rakennustekniikkaa käsitellään yksityiskohtaisesti ohjeessa Alkeisfunktioiden kuvaajat ja ominaisuudet. Silti analyyttistä menetelmää rajojen löytämiseksi on joskus vielä käytettävä, jos esimerkiksi graafi on riittävän suuri tai kierteitetty rakenne ei paljastanut integroinnin rajoja (ne voivat olla murto-osia tai irrationaalisia). Ja harkitsemme myös tällaista esimerkkiä.

Palaamme tehtäväämme: on järkevämpää rakentaa ensin suora ja vasta sitten paraabeli. Tehdään piirustus:

Toistan, että pistemäisellä rakentamisella integroinnin rajat selviää useimmiten "automaattisesti".

Ja nyt työkaava: Jos välissä on jatkuva toiminto suurempi tai yhtä suuri jokin jatkuva funktio, sitten näiden funktioiden ja suorien kaavioiden rajaama kuvion alue, löytyy kaavasta:

Täällä ei enää tarvitse ajatella, missä kuva sijaitsee - akselin yläpuolella tai akselin alapuolella, ja karkeasti sanottuna sillä on väliä mikä kaavio on YLÄLLÄ(suhteessa toiseen kuvaajaan), ja kumpi on ALLA.

Tarkasteltavassa esimerkissä on ilmeistä, että segmentillä paraabeli sijaitsee suoran yläpuolella, ja siksi siitä on vähennettävä

Ratkaisun valmistuminen voi näyttää tältä:

Haluttua hahmoa rajoittaa ylhäältä paraabeli ja alhaalta suora viiva.
Segmentillä vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

Itse asiassa koulukaava kaarevan puolisuunnikkaan pinta-alalle alemmassa puolitasossa (katso yksinkertainen esimerkki nro 3) on kaavan erikoistapaus . Koska akseli on annettu yhtälöllä , ja funktion kuvaaja sijaitsee ei korkeampi kirveet siis

Ja nyt pari esimerkkiä itsenäisestä ratkaisusta

Esimerkki 5

Esimerkki 6

Etsi viivojen ympäröimä kuvion alue, .

Kun pinta-alan laskemiseen liittyviä ongelmia ratkaistaan ​​tietyn integraalin avulla, joskus tapahtuu hauska tapaus. Piirustus tehtiin oikein, laskelmat olivat oikein, mutta huolimattomuuden vuoksi ... löysi väärän hahmon alueen, näin tottelevainen palvelijasi sotki useita kertoja. Tässä todellinen tapaus elämästä:

Esimerkki 7

Laske viivojen , , , , rajoittaman kuvion pinta-ala.

Ratkaisu: Tehdään ensin piirustus:

…Eh, piirustus oli paskaa, mutta kaikki näyttää olevan luettavissa.

Figuuri, jonka alueen meidän on löydettävä, on varjostettu sinisellä.(tarkastele tilannetta huolellisesti - kuinka luku on rajoitettu!). Mutta käytännössä välinpitämättömyyden vuoksi tapahtuu usein "häiriötä", jossa sinun on löydettävä varjostettu hahmon alue. vihreässä!

Tämä esimerkki on hyödyllinen myös siinä mielessä, että siinä lasketaan kuvan pinta-ala käyttämällä kahta tarkkaa integraalia. Todella:

1) Akselin yläpuolella olevalla segmentillä on suora kaavio;

2) Akselin yläpuolella olevalla segmentillä on hyperbolagraafi.

On aivan selvää, että alueet voidaan (ja pitäisi) lisätä, joten:

Vastaus:

Jatketaan vielä yhteen merkitykselliseen tehtävään.

Esimerkki 8

Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala,
Esitetään yhtälöt "koulu"-muodossa ja piirretään kohta kohdalta:

Piirustuksesta voidaan nähdä, että ylärajamme on "hyvä": .
Mutta mikä on alaraja? On selvää, että tämä ei ole kokonaisluku, mutta mikä? Voi olla ? Mutta missä on takuu siitä, että piirustus on tehty täydellisellä tarkkuudella, voi hyvinkin käydä niin. Tai juuri. Entä jos emme saa kaaviota ollenkaan oikein?

Tällaisissa tapauksissa täytyy käyttää lisäaikaa ja tarkentaa integroinnin rajoja analyyttisesti.

Etsitään suoran ja paraabelin leikkauspisteet.
Tätä varten ratkaisemme yhtälön:


,

Todella, .

Jatkoratkaisu on triviaali, tärkeintä ei ole hämmentyä vaihdoissa ja merkeissä, laskelmat eivät ole helpoimpia.

Segmentillä , vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

No, oppitunnin päätteeksi harkitsemme kahta tehtävää vaikeammaksi.

Esimerkki 9

Laske viivojen , , rajoittaman kuvion pinta-ala

Ratkaisu: Piirrä tämä kuvio piirustukseen.

Hitto, unohdin allekirjoittaa aikataulun ja tehdä kuvan uudelleen, anteeksi, ei hotz. Ei piirustus, lyhyesti sanottuna, tänään on se päivä =)

Pistemäistä rakentamista varten sinun on tiedettävä ulkomuoto sinusoidit (ja yleensä on hyödyllistä tietää kaikkien perusfunktioiden kuvaajat), sekä joitain siniarvoja, ne löytyvät trigonometrinen taulukko. Joissakin tapauksissa (kuten tässä tapauksessa) on sallittua rakentaa kaavio, jossa graafit ja integrointirajat on näytettävä periaatteessa oikein.

Tässä ei ole ongelmia integrointirajojen kanssa, ne seuraavat suoraan ehdosta: - "x" muuttuu nollasta "pi:ksi". Teemme lisäpäätöksen:

Jaksolla funktion kuvaaja sijaitsee akselin yläpuolella, joten:

Itse asiassa, jotta voit löytää kuvion alueen, sinun ei tarvitse niin paljon tietoa epämääräisestä ja määrätystä integraalista. Tehtävä "laske pinta-ala määrätyn integraalin avulla" sisältää aina piirustuksen rakentamisen, joten tietosi ja piirustustaitosi ovat paljon tärkeämpi asia. Tältä osin on hyödyllistä päivittää tärkeimpien perusfunktioiden kaavioiden muisti ja pystyä vähintään rakentamaan suora ja hyperboli.

Kaareva puolisuunnikas on litteä kuvio, jota rajoittavat akseli, suorat viivat ja jatkuvan funktion kaavio janalla, joka ei muuta etumerkkiä tällä välillä. Olkoon tämä kuva paikannettava ei vähempää abskissa:

Sitten kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin tietty integraali. Kaikilla määrätyillä integraaleilla (olemassa olevalla) on erittäin hyvä geometrinen merkitys.

Geometrian suhteen varma integraali on AREA.

Tuo on, määrätty integraali (jos se on olemassa) vastaa geometrisesti jonkin kuvion aluetta. Tarkastellaan esimerkiksi tarkkaa integraalia . Integrandi määrittää käyrän tasolle, joka sijaitsee akselin yläpuolella (haluavat voivat täydentää piirustuksen), ja itse määrätty integraali on numeerisesti yhtä suuri kuin vastaavan kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala.

Esimerkki 1

Tämä on tyypillinen tehtävälausunto. Päätöksen ensimmäinen ja tärkein hetki on piirustuksen rakentaminen. Lisäksi piirustus on rakennettava OIKEIN.

Kun rakennat suunnitelmaa, suosittelen seuraavaa järjestystä: ensiksi on parempi rakentaa kaikki rivit (jos sellaisia ​​on) ja vain Sitten- paraabelit, hyperbelit, muiden funktioiden kuvaajat. Funktiokaavioita on kannattavampaa rakentaa kohtisuoraan.

Tässä ongelmassa ratkaisu saattaa näyttää tältä.
Tehdään piirustus (huomaa, että yhtälö määrittää akselin):

Segmentillä sijaitsee funktion kuvaaja akselin yli, Siksi:

Vastaus:

Kun tehtävä on suoritettu, on aina hyödyllistä katsoa piirrosta ja selvittää, onko vastaus todellinen. Tässä tapauksessa "silmällä" laskemme piirustuksen solujen lukumäärän - no, noin 9 kirjoitetaan, se näyttää olevan totta. On aivan selvää, että jos meillä olisi vaikkapa vastaus: 20 neliöyksikköä, niin ilmeisesti jossain tehtiin virhe - 20 solua ei selvästikään mahdu kyseiseen kuvaan, korkeintaan tusina. Jos vastaus osoittautui kielteiseksi, myös tehtävä ratkaistiin väärin.

Esimerkki 3

Laske viivojen ja koordinaattiakseleiden rajoittaman kuvan pinta-ala.

Ratkaisu: Tehdään piirustus:

Jos kaareva puolisuunnikas sijaitsee akselin alla(tai ainakin ei korkeampi annettu akseli), sen pinta-ala voidaan löytää kaavalla:

Tässä tapauksessa:

Huomio! Älä sekoita kahta tehtävätyyppiä:

1) Jos sinua pyydetään ratkaisemaan vain tietty integraali ilman geometristä merkitystä, se voi olla negatiivinen.

2) Jos sinua pyydetään löytämään hahmon pinta-ala määrätyn integraalin avulla, pinta-ala on aina positiivinen! Siksi miinus näkyy juuri tarkasteltavassa kaavassa.

Käytännössä kuva sijoittuu useimmiten sekä ylempään että alempaan puolitasoon, ja siksi yksinkertaisimmista koulutehtävistä siirrytään merkityksellisempiin esimerkkeihin.

Esimerkki 4

Etsi tasaisen kuvion pinta-ala, jota rajoittavat viivat , .

Ratkaisu: Ensin sinun on suoritettava piirustus. Yleisesti ottaen piirustusta rakennettaessa aluetehtävässä meitä kiinnostavat eniten viivojen leikkauspisteet. Etsitään paraabelin ja suoran leikkauspisteet. Tämä voidaan tehdä kahdella tavalla. Ensimmäinen tapa on analyyttinen. Ratkaisemme yhtälön:

Siksi integraation alaraja , integraation yläraja .

On parasta olla käyttämättä tätä menetelmää, jos mahdollista..

On paljon kannattavampaa ja nopeampaa rakentaa linjat piste kerrallaan, kun integraation rajat selvitetään ikään kuin "itse". Silti analyyttistä menetelmää rajojen löytämiseksi on joskus vielä käytettävä, jos esimerkiksi graafi on riittävän suuri tai kierteitetty rakenne ei paljastanut integroinnin rajoja (ne voivat olla murto-osia tai irrationaalisia). Ja harkitsemme myös tällaista esimerkkiä.

Palaamme tehtäväämme: on järkevämpää rakentaa ensin suora ja vasta sitten paraabeli. Tehdään piirustus:

Ja nyt työkaava: Jos välissä on jatkuva toiminto suurempi tai yhtä suuri jokin jatkuva funktio, sitten näiden funktioiden ja suorien kaavioiden rajaama kuvion alue, löytyy kaavasta:

Täällä ei enää tarvitse ajatella, missä kuva sijaitsee - akselin yläpuolella tai akselin alapuolella, ja karkeasti sanottuna sillä on väliä mikä kaavio on YLÄLLÄ(suhteessa toiseen kuvaajaan), ja kumpi on ALLA.

Tarkasteltavassa esimerkissä on ilmeistä, että segmentillä paraabeli sijaitsee suoran yläpuolella, ja siksi siitä on vähennettävä

Ratkaisun valmistuminen voi näyttää tältä:

Haluttua hahmoa rajoittaa ylhäältä paraabeli ja alhaalta suora viiva.
Segmentillä vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

Esimerkki 4

Laske viivojen , , , , rajoittaman kuvion pinta-ala.

Ratkaisu: Tehdään ensin piirustus:

Figuuri, jonka alueen meidän on löydettävä, on varjostettu sinisellä.(tarkastele tilannetta huolellisesti - kuinka luku on rajoitettu!). Mutta käytännössä välinpitämättömyyden vuoksi tapahtuu usein "häiriötä", että sinun on löydettävä vihreällä varjostettu hahmon alue!

Tämä esimerkki on hyödyllinen myös siinä mielessä, että siinä lasketaan kuvan pinta-ala käyttämällä kahta tarkkaa integraalia.

Todella:

1) Akselin yläpuolella olevalla segmentillä on suora kaavio;

2) Akselin yläpuolella olevalla segmentillä on hyperbolagraafi.

On aivan selvää, että alueet voidaan (ja pitäisi) lisätä, joten: