Katso myös Lineaarisen ohjelmointitehtävän ratkaiseminen graafisesti, Lineaarisen ohjelmoinnin tehtävien kanoninen muoto

Tällaisen ongelman rajoitusjärjestelmä koostuu kahden muuttujan epäyhtälöistä:
ja tavoitefunktiolla on muoto F = C 1 x + C 2 y, joka on maksimoitava.

Vastataan kysymykseen: mitkä numeroparit ( x; y) ovatko eriarvoisuusjärjestelmän ratkaisuja, eli täyttävätkö ne kaikki eriarvoisuudet samanaikaisesti? Toisin sanoen, mitä järjestelmän graafinen ratkaiseminen tarkoittaa?
Ensin sinun on ymmärrettävä, mikä on yhden ratkaisu lineaarinen epätasa-arvo kahden tuntemattoman kanssa.
Lineaarisen epäyhtälön ratkaiseminen kahdella tuntemattomalla tarkoittaa, että määritetään kaikki tuntemattomien arvoparit, joille epäyhtälö täyttyy.
Esimerkiksi epätasa-arvo 3 x – 5y≥ 42 tyydyttää parit ( x , y): (100, 2); (3, –10) jne. Ongelmana on löytää kaikki tällaiset parit.
Harkitse kahta epätasa-arvoa: kirves + kirjoittaja≤ c, kirves + kirjoittaja≥ c. Suoraan kirves + kirjoittaja = c jakaa tason kahteen puolitasoon niin, että yhden niistä pisteiden koordinaatit täyttävät epäyhtälön kirves + kirjoittaja >c, ja toinen epätasa-arvo kirves + +kirjoittaja <c.
Todellakin, ota piste koordinaatilla x = x 0; sitten piste, joka sijaitsee suoralla ja jolla on abskissa x 0 , on ordinatta

Antaa varmuuden vuoksi a<0, b>0, c>0. Kaikki kohdat abskissalla x 0 edellä P(esim. piste M), omistaa yM>y 0 ja kaikki pisteen alapuolella olevat pisteet P, abskissalla x 0, on yN<y 0 . Koska x 0 on mielivaltainen piste, silloin viivan toisella puolella on aina pisteitä, joille kirves+ kirjoittaja > c, jotka muodostavat puolitason, ja toisaalta pisteet, joille kirves + kirjoittaja< c.

Kuva 1

Epäyhtälömerkki puolitasossa riippuu luvuista a, b , c.
Tämä tarkoittaa seuraavaa menetelmää kahden muuttujan lineaaristen epäyhtälöiden järjestelmien graafiseen ratkaisuun. Järjestelmän ratkaisemiseksi tarvitset:

1. Kirjoita kullekin epäyhtälölle annettua epäyhtälöä vastaava yhtälö.
2. Muodosta viivoja, jotka ovat yhtälöiden antamien funktioiden kuvaajia.
3. Määritä jokaiselle suoralle puolitaso, joka saadaan epäyhtälöstä. Tätä varten ota mielivaltainen piste, joka ei ole suoralla, korvaa sen koordinaatit epäyhtälöksi. jos epäyhtälö on tosi, niin valitun pisteen sisältävä puolitaso on ratkaisu alkuperäiseen epäyhtälöön. Jos epäyhtälö on epätosi, niin suoran toisella puolella oleva puolitaso on joukko tämän epäyhtälön ratkaisuja.
4. Epäyhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi on tarpeen löytää kaikkien puolitasojen leikkausalue, jotka ovat ratkaisu jokaiseen järjestelmän epäyhtälöön.

Tämä alue voi osoittautua tyhjäksi, silloin epätasa-arvojärjestelmällä ei ole ratkaisuja, se on epäjohdonmukainen. Muuten järjestelmän sanotaan olevan yhteensopiva.
Ratkaisut voivat olla äärellinen luku ja ääretön joukko. Alue voi olla suljettu monikulmio tai se voi olla rajoittamaton.

Katsotaanpa kolme asiaankuuluvaa esimerkkiä.

Esimerkki 1. Ratkaise järjestelmä graafisesti:
x + y- 1 ≤ 0;
–2x- 2y + 5 ≤ 0.

• tarkastele epäyhtälöitä vastaavat yhtälöt x+y–1=0 ja –2x–2y+5=0;
• muodostetaan näiden yhtälöiden antamat suorat.

Kuva 2

Määritellään epäyhtälöiden antamat puolitasot. Ota mielivaltainen piste, anna (0; 0). Harkitse x+ y- 1 0, korvaamme pisteen (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. siis puolitasossa, jossa piste (0; 0) sijaitsee, x + y – 1 ≤ 0, so. suoran alapuolella oleva puolitaso on ratkaisu ensimmäiseen epäyhtälöön. Kun tämä piste (0; 0) korvataan toisella, saadaan: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, ts. puolitasossa, jossa piste (0; 0) sijaitsee, -2 x – 2y+ 5≥ 0, ja meiltä kysyttiin missä -2 x – 2y+ 5 ≤ 0, siis toisessa puolitasossa - suoran yläpuolella.
Etsi näiden kahden puolitason leikkauspiste. Suorat ovat yhdensuuntaisia, joten tasot eivät leikkaa missään, mikä tarkoittaa, että näiden epäyhtälöiden järjestelmällä ei ole ratkaisuja, se on epäjohdonmukainen.

Esimerkki 2. Etsi graafisesti ratkaisuja epäyhtälöjärjestelmälle:

Kuva 3
1. Kirjoita muistiin epäyhtälöitä vastaavat yhtälöt ja rakenna suoria.
x + 2y– 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Valittuaan pisteen (0; 0) määritämme puolitasojen epäyhtälöiden merkit:
0 + 2 ∙ 0 - 2 ≤ 0, ts. x + 2y– 2 ≤ 0 suoran alapuolella olevassa puolitasossa;
0 – 0 – 1 ≤ 0, ts. y –x– 1 ≤ 0 suoran alapuolella olevassa puolitasossa;
0 + 2 =2 ≥ 0, so. y+ 2 ≥ 0 viivan yläpuolella olevassa puolitasossa.
3. Näiden kolmen puolitason leikkauspiste on alue, joka on kolmio. Alueen kärkipisteiden löytäminen vastaavien suorien leikkauspisteiksi ei ole vaikeaa


Täten, A(–3; –2), SISÄÄN(0; 1), KANSSA(6; –2).

Tarkastellaanpa vielä yhtä esimerkkiä, jossa järjestelmän ratkaisun tuloksena olevaa aluetta ei ole rajoitettu.

L.A. Kustova

matematiikan opettaja

Voronezh, MBOU Lyseum nro 5

Projekti

"Graafisen menetelmän edut yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemiseksi".

Luokka:

7-11

Tuote:

Matematiikka

Tutkimuksen tavoite:

Selvittäägraafisen menetelmän edut yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemiseen.

Hypoteesi:

Jotkut yhtälöt ja epäyhtälöt ovat helpompia ja esteettisemmin ratkaistavissa graafisesti.

Tutkimusvaiheet:

Vertaa analyyttistä ja graafista ratkaisuayhtälöt ja epäyhtälöt.

Tutustu tapauksiin, joissa graafisella menetelmällä on etuja.

Harkitse yhtälöiden ratkaisemista moduulilla ja parametrilla.

Tutkimustulokset:

1. Matematiikan kauneus on filosofinen ongelma.

2. Joitakin yhtälöitä ja epäyhtälöitä ratkaistaessa graafinen ratkaisutapakäytännöllisin ja houkuttelevin.

3. Voit soveltaa matematiikan houkuttelevuutta koulussa graafisella ratkaisumenetelmälläyhtälöt ja epäyhtälöt.

"Muinaisista ajoista peräisin olevat matemaattiset tieteet herättivät erityistä huomiota,

nyt he ovat saaneet entistä enemmän kiinnostusta vaikutuksestaan ​​taiteeseen ja teollisuuteen.

Pafnuty Lvovich Chebyshev.

Alkaen luokasta 7 otetaan huomioon eri tavoilla yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaiseminen, mukaan lukien grafiikka. Joka ajattelee, että matematiikka on kuiva tiede, luulen, että he muuttavat mielensä nähdessään kuinka kauniisti tietyt tyypit voidaan ratkaistayhtälöt ja epäyhtälöt. Tässä muutamia esimerkkejä:

1).Ratkaise yhtälö: = .

Voit ratkaista analyyttisesti, eli nostaa yhtälön molemmat puolet kolmanteen potenssiin ja niin edelleen.

Graafinen menetelmä on kätevä tälle yhtälölle, jos sinun on vain ilmoitettava ratkaisujen lukumäärä.

Samanlaisia ​​tehtäviä löytyy usein ratkaistaessa luokan 9 OGE:n "geometria" -lohkoa.

2).Ratkaise yhtälö parametrilla:

││ x│- 4│= a

Ei eniten monimutkainen esimerkki, mutta jos ratkaiset sen analyyttisesti, joudut laajentamaan moduulisulut kahdesti ja harkitse jokaisessa tapauksessa parametrin mahdollisia arvoja. Graafisesti kaikki on hyvin yksinkertaista. Piirrämme funktioiden kuvaajia ja näemme, että:

Lähteet:

tietokoneohjelma edistynyt grafiikka .

Yhtälöiden graafinen ratkaisu

Kunnon päivä, 2009

Johdanto

Tarve ratkaista toisen asteen yhtälöitä muinaisina aikoina johtui tarpeesta ratkaista sotilasluonteisten maa-alueiden ja maanrakennustöiden löytämiseen liittyviä ongelmia sekä itse tähtitieteen ja matematiikan kehitystä. Babylonialaiset osasivat ratkaista toisen asteen yhtälöitä noin 2000 eaa. Babylonilaisissa teksteissä esitetty sääntö näiden yhtälöiden ratkaisemiseksi on olennaisesti sama kuin nykyajan sääntö, mutta ei tiedetä, kuinka babylonialaiset päätyivät tähän sääntöön.

Kaavat toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi Euroopassa esitettiin ensimmäisen kerran Abacus-kirjassa, jonka italialainen matemaatikko Leonardo Fibonacci kirjoitti vuonna 1202. Hänen kirjansa edisti algebrallisen tiedon leviämistä ei vain Italiassa, vaan myös Saksassa, Ranskassa ja muissa Euroopan maissa.

Mutta yleissääntö M. Stiefel muotoili Euroopassa vasta vuonna 1544 toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisen kaikilla mahdollisilla kertoimien b ja c yhdistelmillä.

Vuonna 1591 François Viet esitteli kaavoja toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi.

Joitakin toisenlaisia ​​yhtälöitä voitiin ratkaista muinaisessa Babylonissa.

Diophantus Aleksandrialainen Ja Euclid, Al-Khwarizmi Ja Omar Khayyam ratkaisi yhtälöitä geometrisesti ja graafisesti.

7. luokalla opiskelimme toimintoja y \u003d C, y=kx, y =kx+ m, y =x 2,y = -x 2, 8 luokalla - y = √x, y =|x|, y=kirves2 + bx+ c, y =k/ x. 9. luokan algebraoppikirjassa näin funktioita, joita en vielä tuntenut: y=x 3, y=x 4,y=x 2n, y=x- 2n, y= 3√x, (x– a) 2 + (y -b) 2 = r 2 ja muut. Näiden funktioiden kuvaajien muodostamiseen on olemassa säännöt. Mietin, onko muita toimintoja, jotka noudattavat näitä sääntöjä.

Työni on tutkia funktiokaavioita ja ratkaista yhtälöitä graafisesti.

1. Mitkä ovat toiminnot

Funktion kuvaaja on joukko koordinaattitason kaikkia pisteitä, joiden abskissat ovat yhtä suuria kuin argumenttien arvot ja ordinaatit ovat yhtä suuria kuin funktion vastaavat arvot.

Lineaarinen funktio saadaan yhtälöstä y=kx+ b, Missä k Ja b- joitain numeroita. Tämän funktion kaavio on suora.

Käänteinen suhteellinen funktio y=k/ x, jossa k ¹ 0. Tämän funktion kuvaajaa kutsutaan hyperboliksi.

Toiminto (x– a) 2 + (y -b) 2 = r2 , Missä A, b Ja r- joitain numeroita. Tämän funktion kuvaaja on ympyrä, jonka säde on r ja jonka keskipiste on piste A ( A, b).

neliöfunktio y= kirves2 + bx+ c Missä A,b, Kanssa- joitakin numeroita ja A¹ 0. Tämän funktion kuvaaja on paraabeli.

Yhtälö klo2 (a– x) = x2 (a+ x) . Tämän yhtälön kuvaaja on käyrä, jota kutsutaan strophoidiksi.

/>Yhtälö (x2 + y2 ) 2 = a(x2 – y2 ) . Tämän yhtälön kuvaajaa kutsutaan Bernoullin lemniskaatiksi.

Yhtälö. Tämän yhtälön kuvaajaa kutsutaan astroidiksi.

Käyrä (x2 y2 – 2 x)2 =4 a2 (x2 +y2 ) . Tätä käyrää kutsutaan kardioidiksi.

Toiminnot: y=x 3 - kuutioinen paraabeli, y=x 4, y = 1/x 2.

2. Yhtälön käsite, sen graafinen ratkaisu

Yhtälö on lauseke, joka sisältää muuttujan.

ratkaise yhtälö- tämä tarkoittaa kaikkien sen juurten löytämistä tai sen todistamista, että niitä ei ole olemassa.

Yhtälön juuri on luku, joka yhtälöön korvattuna tuottaa oikean numeerisen yhtälön.

Yhtälöiden ratkaiseminen graafisesti avulla voit löytää juurien tarkan tai likimääräisen arvon, voit löytää yhtälön juurien lukumäärän.

Kaavioiden piirtämisessä ja yhtälöiden ratkaisemisessa käytetään funktion ominaisuuksia, joten menetelmää kutsutaan usein funktionaaliseksi graafiseksi.

Yhtälön ratkaisemiseksi "jaamme" sen kahteen osaan, esittelemme kaksi funktiota, rakennamme niiden kaaviot, etsimme kaavioiden leikkauspisteiden koordinaatit. Näiden pisteiden abskissat ovat yhtälön juuret.

3. Algoritmi funktion kuvaajan muodostamiseksi

Funktion kaavion tunteminen y=f(x) , voit piirtää funktioita y=f(x+ m) ,y=f(x)+ l Ja y=f(x+ m)+ l. Kaikki nämä kaaviot saadaan funktion kaaviosta y=f(x) käyttämällä rinnakkaiskäännösmuunnosta: on │ m│ skaalausyksiköt oikealle tai vasemmalle x-akselia pitkin ja edelleen │ l│ skaalausyksiköt ylös tai alas akselia pitkin y.

4. Graafinen ratkaisu toisen asteen yhtälö

Tarkastellaan toisen asteen yhtälön graafista ratkaisua neliöfunktion esimerkin avulla. Neliöfunktion kuvaaja on paraabeli.

Mitä muinaiset kreikkalaiset tiesivät parabolista?

Nykyaikainen matemaattinen symboliikka syntyi 1500-luvulla.

Muinaisilla kreikkalaisilla matemaatikoilla ei ollut koordinaattimenetelmää eikä funktion käsitettä. He kuitenkin tutkivat paraabelin ominaisuuksia yksityiskohtaisesti. Muinaisten matemaatikoiden kekseliäisyys on yksinkertaisesti hämmästyttävää, koska he pystyivät käyttämään vain piirustuksia ja sanallisia kuvauksia riippuvuuksista.

Täysin tutkittu paraabeli, hyperbola ja ellipsi Apollonius Pergalainen, joka asui 3. vuosisadalla eKr. Hän antoi myös nimet näille käyrälle ja osoitti, mitkä ehdot tietyllä käyrällä olevat pisteet täyttävät (eihän siellä ollut kaavoja!).

Paraabelin rakentamiseen on algoritmi:

Etsi paraabelin A (x0; y0) kärjen koordinaatit: X=- b/2 a;

y0=aho2+in0+s;

Etsi paraabelin symmetria-akseli (suora x=x0);

SIVUNVAIHTO--

Arvotaulukon laatiminen rakennuksen ohjauspisteille;

Rakennamme saadut pisteet ja rakennamme niille symmetrisiä pisteitä symmetria-akselin suhteen.

1. Muodostetaan paraabeli algoritmin mukaan y= x2 – 2 x– 3 . Akselin ja leikkauspisteiden abskissit x ja ovat toisen asteen yhtälön juuret x2 – 2 x– 3 = 0.

On viisi tapaa ratkaista tämä yhtälö graafisesti.

2. Jaetaan yhtälö kahteen funktioon: y= x2 Ja y= 2 x+ 3

3. Jaetaan yhtälö kahteen funktioon: y= x2 –3 Ja y=2 x. Yhtälön juuret ovat paraabelin ja suoran leikkauspisteiden abskissat.

4. Muunna yhtälö x2 – 2 x– 3 = 0 valitsemalla funktion koko neliö: y= (x–1) 2 Ja y=4. Yhtälön juuret ovat paraabelin ja suoran leikkauspisteiden abskissat.

5. Jaamme termit termeiltä yhtälön molemmat osat x2 – 2 x– 3 = 0 päällä x, saamme x– 2 – 3/ x= 0 Jaetaan tämä yhtälö kahteen funktioon: y= x– 2, y= 3/ x. Yhtälön juuret ovat suoran ja hyperbelin leikkauspisteiden abskissat.

5. Graafinen asteyhtälöiden ratkaisun

Esimerkki 1 ratkaise yhtälö x5 = 3 – 2 x.

y= x5 , y= 3 – 2 x.

Vastaus: x = 1.

Esimerkki 2 ratkaise yhtälö 3 √ x= 10 – x.

Tämän yhtälön juuret ovat kahden funktion kaavioiden leikkauspisteen abskissa: y= 3 √ x, y= 10 – x.

Vastaus: x=8.

Johtopäätös

Kun otetaan huomioon funktiokaaviot: y=kirves2 + bx+ c, y =k/ x, y = √x, y =|x|, y=x 3, y=x 4,y= 3√x, Huomasin, että kaikki nämä graafit on rakennettu akseleihin nähden rinnakkaiskäännöksen säännön mukaan x Ja y.

Käyttämällä esimerkkiä toisen asteen yhtälön ratkaisusta voidaan päätellä, että graafinen menetelmä soveltuu myös n-asteisiin yhtälöihin.

Graafiset menetelmät yhtälöiden ratkaisut ovat kauniita ja ymmärrettäviä, mutta ne eivät anna 100-prosenttista takuuta minkään yhtälön ratkaisusta. Kuvaajien leikkauspisteiden abskissat voivat olla likimääräisiä.

9. luokalla ja vanhemmilla luokilla tulen vielä tutustumaan muihin toimintoihin. Olen kiinnostunut tietämään, noudattavatko nämä funktiot rinnakkaiskäännöksen sääntöjä piirtäessään graafiaan.

Päällä ensi vuonna Haluaisin myös pohtia yhtälö- ja epäyhtälöjärjestelmien graafisen ratkaisun kysymyksiä.

Kirjallisuus

1. Algebra. 7. luokka. Osa 1. Oppikirja oppilaitoksille / A.G. Mordkovich. Moskova: Mnemosyne, 2007.

2. Algebra. 8. luokka. Osa 1. Oppikirja oppilaitoksille / A.G. Mordkovich. Moskova: Mnemosyne, 2007.

3. Algebra. Luokka 9 Osa 1. Oppikirja oppilaitoksille / A.G. Mordkovich. Moskova: Mnemosyne, 2007.

4. Glazer G.I. Matematiikan historia koulussa. VII-VIII luokat. – M.: Enlightenment, 1982.

5. Journal Mathematics №5 2009; nro 8 2007; Nro 23 2008.

6. Yhtälöiden graafinen ratkaisu Internet-sivustot: Tol WIKI; stimul.biz/en; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3–6.htm.

Oppitunnin aikana voit opiskella itsenäisesti aihetta "Yhtälöiden graafinen ratkaisu, epäyhtälöt". Opettaja oppitunnilla analysoi graafisia menetelmiä yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemiseksi. Se opettaa sinulle kuinka rakentaa kaavioita, analysoida niitä ja saada ratkaisuja yhtälöihin ja epäyhtälöihin. Oppitunnilla keskustellaan myös konkreettisia esimerkkejä tässä aiheessa.

Aihe: Numeeriset funktiot

Oppitunti: Yhtälöiden graafinen ratkaisu, epäyhtälöt

1. Oppitunnin aihe, johdanto

Olemme katsoneet kaavioita perustoiminnot, mukaan lukien grafiikka tehotoiminnot erilaisilla indikaattoreilla. Pohdimme myös funktiokaavioiden siirtämistä ja muuntamista koskevia sääntöjä. Kaikkia näitä taitoja tulee soveltaa tarvittaessa. graafinenratkaisu yhtälöt tai grafiikka ratkaisuepätasa-arvoa.

2. Yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaiseminen graafisesti

Esimerkki 1. Ratkaise yhtälö graafisesti:

Rakennetaan funktioiden kuvaajia (kuva 1).

Funktion kuvaaja on pisteiden läpi kulkeva paraabeli

Funktion kuvaaja on suora, rakennamme sen taulukon mukaan.

Kuvaajat leikkaavat pisteessä Muita leikkauspisteitä ei ole, koska funktio on monotonisesti kasvava, funktio monotonisesti pienenevä, ja siksi niiden leikkauspiste on ainutlaatuinen.

Esimerkki 2. Ratkaise epäyhtälö

a. Jotta epäyhtälö pysyisi voimassa, funktion kaavion tulee sijaita suoran yläpuolella (kuva 1). Tämä tehdään kun

b. Tässä tapauksessa päinvastoin, paraabelin tulisi olla viivan alla. Tämä tehdään kun

Esimerkki 3. Ratkaise epäyhtälö

Rakennetaan funktioiden kuvaajia (Kuva 2).

Etsi yhtälön juuri Kun ratkaisuja ei ole. Asialle on yksi ratkaisu.

Jotta epäyhtälö pysyisi voimassa, hyperbelin on sijaittava viivan yläpuolella .

Esimerkki 4. Ratkaise graafisesti epäyhtälö:

Verkkotunnus:

Rakennetaan funktioiden kuvaajia varten (kuva 3).

a. Funktion kaavion tulee sijaita kaavion alla; tämä tehdään kun

b. Funktion kaavio sijaitsee graafin yläpuolella osoitteessa Mutta koska meillä on ei-tiukka etumerkki ehdossa, on tärkeää, ettei eristettyä juuria menetä

3. Johtopäätös

Olemme tarkastelleet graafista menetelmää yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemiseksi; tarkasteltiin konkreettisia esimerkkejä, joiden ratkaisussa käytimme sellaisia ​​funktioiden ominaisuuksia kuin monotonisuus ja tasaisuus.

1. Mordkovich A. G. et al. Algebra 9. luokka: Proc. Yleissivistävää koulutusta varten Toimielimet - 4. painos. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 s.: ill.

2. Mordkovich A. G. et al. Algebra 9. luokka: Tehtäväkirja oppilaitosten opiskelijoille / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4. painos. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: ill.

3. Yu. N. Makarychev, Algebra. 9. luokka: oppikirja. yleissivistävän koulutuksen opiskelijoille. laitokset / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7. painos, Rev. ja ylimääräisiä - M .: Mnemosyne, 2008.

4. Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin ja Yu. V. Sidorov, Algebra. Luokka 9 16. painos - M., 2011. - 287 s.

5. Mordkovich A. G. Algebra. Luokka 9 Klo 14 Osa 1. Oppikirja oppilaitosten opiskelijoille / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12. painos, poistettu. — M.: 2010. — 224 s.: ill.

6. Algebra. Luokka 9 Klo 2. Osa 2. Tehtäväkirja oppilaitosten opiskelijoille / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina ym.; Ed. A. G. Mordkovich. - 12. painos, Rev. — M.: 2010.-223 s.: ill.

1. Yliopistoosio. ru matematiikassa.

2. Internet-projekti "Tasks".

3. Koulutusportaali"RATKAISIN KÄYTÖN".

1. Mordkovich A. G. ym. Algebra 9. luokka: Tehtäväkirja oppilaitosten opiskelijoille / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4. painos. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 s.: ill. nro 355, 356, 364.

Lineaarisen tai neliöllisen epäyhtälön kuvaaja rakennetaan samalla tavalla kuin minkä tahansa funktion (yhtälön) kuvaaja. Erona on, että epäyhtälö merkitsee useita ratkaisuja, joten epäyhtälökaavio ei ole vain piste numeroviivalla tai suora koordinaattitasolla. Matemaattisten operaatioiden ja epäyhtälömerkin avulla voit määrittää epäyhtälön ratkaisujoukon.

Askeleet

Lineaarisen epäyhtälön graafinen esitys lukujonolla

1. Ratkaise epätasa-arvo. Voit tehdä tämän eristämällä muuttujan käyttämällä samoja algebrallisia temppuja, joita käytät minkä tahansa yhtälön ratkaisemiseen. Muista, että kun kerrot tai jaat epäyhtälöä negatiivisella luvulla (tai termillä), käännä epäyhtälön etumerkki.

   • Esimerkiksi, kun otetaan huomioon eriarvoisuus 3v + 9 > 12 (\displaystyle 3v+9>12). Eristääksesi muuttujan, vähennä 9 epäyhtälön molemmilta puolilta ja jaa sitten molemmat puolet kolmella:
     3v + 9 > 12 (\displaystyle 3v+9>12)
     3 v + 9 - 9 > 12 - 9 (\näyttötyyli 3v+9-9>12-9)
     3 v > 3 (\displaystyle 3v>3)
     3 v 3 > 3 3 (\displaystyle (\frac (3v)(3))>(\frac (3)(3)))
     y > 1 (\displaystyle y>1)
   • Epäyhtälöllä saa olla vain yksi muuttuja. Jos epäyhtälössä on kaksi muuttujaa, on parempi piirtää kuvaaja koordinaattitasolle.

2. Piirrä numeroviiva. Merkitse numeroriville löydetty arvo (muuttuja voi olla pienempi, suurempi tai yhtä suuri kuin tämä arvo). Piirrä sopivan pituinen numeroviiva (pitkä tai lyhyt).

   • Jos esimerkiksi lasket sen y > 1 (\displaystyle y>1), merkitse numeroriville arvo 1.

3. Piirrä ympyrä edustamaan löydettyä arvoa. Jos muuttuja on pienempi kuin ( < {\displaystyle <} ) tai enemmän ( > (\displaystyle >)) tästä arvosta, ympyrää ei täytetä, koska ratkaisujoukko ei sisällä tätä arvoa. Jos muuttuja on pienempi tai yhtä suuri kuin ( ≤ (\displaystyle \leq )) tai suurempi tai yhtä suuri kuin ( ≥ (\displaystyle\geq)) tähän arvoon, ympyrä täyttyy, koska ratkaisujoukko sisältää tämän arvon.

   • y > 1 (\displaystyle y>1), piirrä numeroviivalle avoin ympyrä pisteeseen 1, koska 1 ei ole ratkaisujoukossa.

4. Varjosta lukuviivalla alue, joka määrittää ratkaisujoukon. Jos muuttuja on suurempi kuin löydetty arvo, varjostele sen oikealla puolella oleva alue, koska ratkaisujoukko sisältää kaikki arvot, jotka ovat suurempia kuin löydetty arvo. Jos muuttuja on pienempi kuin löydetty arvo, varjostele sen vasemmalla puolella oleva alue, koska ratkaisujoukko sisältää kaikki arvot, jotka ovat pienempiä kuin löydetty arvo.

   • Esimerkiksi, kun otetaan huomioon eriarvoisuus y > 1 (\displaystyle y>1), varjostaa numeroviivalla arvon 1 oikealla puolella oleva alue, koska ratkaisujoukko sisältää kaikki arvot, jotka ovat suurempia kuin 1.

   Lineaarisen epäyhtälön graafinen esitys koordinaattitasolla

   1. Ratkaise epäyhtälö (etsi arvo y (\displaystyle y)). Lineaarisen yhtälön saamiseksi eristä vasemmalla oleva muuttuja tunnetuilla algebrallisilla menetelmillä. Muuttujan tulee pysyä oikealla puolella x (\displaystyle x) ja mahdollisesti jatkuvaa.

      • Esimerkiksi, kun otetaan huomioon eriarvoisuus 3v + 9 > 9x (\displaystyle 3v+9>9x). Muuttujan eristäminen y (\displaystyle y), vähennä 9 epäyhtälön molemmilta puolilta ja jaa sitten molemmat puolet kolmella:
        3v + 9 > 9x (\displaystyle 3v+9>9x)
        3 v + 9 - 9 > 9 x - 9 (\näyttötyyli 3v+9-9>9x-9)
        3 v > 9 x − 9 (\displaystyle 3v> 9x-9)
        3 y 3 > 9 x − 9 3 (\displaystyle (\frac (3v)(3))>(\frac (9x-9)(3)))
        y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)

   2. Piirrä koordinaattitasolla lineaarinen yhtälö. piirrä kaavio samalla tavalla kuin minkä tahansa lineaarisen yhtälön. Piirrä leikkauspiste Y-akselin kanssa ja piirrä sitten muut pisteet kaltevuuden avulla.

      • y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) piirrä yhtälö y = 3 x − 3 (\displaystyle y=3x-3). Leikkauspisteellä Y-akselin kanssa on koordinaatit ja kaltevuus on 3 (tai 3 1 (\displaystyle (\frac (3)(1)))). Piirrä siis ensin piste koordinaatteineen (0, − 3) (\displaystyle (0,-3)); y-akselin leikkauspisteen yläpuolella olevalla pisteellä on koordinaatit (1 , 0) (\displaystyle (1,0)); y-akselin leikkauspisteen alapuolella olevalla pisteellä on koordinaatit (− 1 , − 6) (\displaystyle (-1, -6))

   3. Piirrä suora viiva. Jos eriarvoisuus on tiukka (sisältää merkin < {\displaystyle <} tai > (\displaystyle >)), piirrä katkoviiva, koska ratkaisujoukko ei sisällä viivalla olevia arvoja. Jos eriarvoisuus ei ole tiukka (sisältää merkin ≤ (\displaystyle \leq ) tai ≥ (\displaystyle\geq)), vedä yhtenäinen viiva, koska ratkaisujoukko sisältää arvoja, jotka ovat viivalla.

      • Esimerkiksi epätasa-arvon tapauksessa y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) piirrä katkoviiva, koska ratkaisujoukko ei sisällä viivalla olevia arvoja.

   4. Varjostaa vastaava alue. Jos epätasa-arvolla on muoto y > m x + b (\näyttötyyli y>mx+b), täytä rivin yläpuolella oleva alue. Jos epätasa-arvolla on muoto y< m x + b {\displaystyle y, täytä rivin alla oleva alue.

      • Esimerkiksi epätasa-arvon tapauksessa y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) varjostaa viivan yläpuolella olevaa aluetta.

   Toisen epäyhtälön graafinen esitys koordinaattitasolla

   1. Määritä, että tämä epäyhtälö on neliö. Neliöerolla on muoto a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c). Joskus epäyhtälö ei sisällä ensimmäisen asteen muuttujaa ( x (\displaystyle x)) ja/tai vapaa termi (vakio), mutta sen tulee sisältää toisen asteen muuttuja ( x 2 (\displaystyle x^(2))). Muuttujat x (\displaystyle x) Ja y (\displaystyle y) on eristettävä epätasa-arvon eri puolilta.

      • Sinun on esimerkiksi piirrettävä epätasa-arvo y< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.

   2. Piirrä kuvaaja koordinaattitasolle. Voit tehdä tämän muuntamalla epäyhtälön yhtälöksi ja rakentamalla kaavion, kuten rakennat kaavion mistä tahansa toisen asteen yhtälöstä. Muista, että toisen asteen yhtälön kuvaaja on paraabeli.

      • Esimerkiksi epätasa-arvon tapauksessa y< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y piirrä toisen asteen yhtälö y = x 2 − 10 x + 16 (\displaystyle y=x^(2)-10x+16). Paraabelin huippu on pisteessä (5 , − 9) (\displaystyle (5,-9)), ja paraabeli leikkaa x-akselin pisteissä (2, 0) (\displaystyle (2,0)) Ja (8 , 0) (\displaystyle (8,0)).