Sivustomme youtube-kanavalle, jotta olet tietoinen kaikista uusista videotunneista.

Muistetaan ensin asteiden peruskaavat ja niiden ominaisuudet.

Numeron tulo a tapahtuu itsestään n kertaa, voimme kirjoittaa tämän lausekkeen muodossa a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Teho- tai eksponentiaaliyhtälöt- nämä ovat yhtälöitä, joissa muuttujat ovat potenssiina (tai eksponenteina) ja kanta on luku.

Esimerkkejä eksponentiaaliyhtälöt:

AT tämä esimerkki numero 6 on kanta, se on aina alareunassa ja muuttuja x aste tai mitta.

Annetaan lisää esimerkkejä eksponentiaalisista yhtälöistä.
2 x *5=10
16x-4x-6 = 0

Katsotaanpa nyt kuinka eksponentiaaliyhtälöt ratkaistaan?

Otetaan yksinkertainen yhtälö:

2 x = 2 3

Tällainen esimerkki voidaan ratkaista jopa mielessä. Voidaan nähdä, että x=3. Loppujen lopuksi, jotta vasen ja oikea puoli olisivat yhtä suuret, sinun on asetettava numero 3 x:n sijaan.
Katsotaan nyt, miten tämä päätös pitäisi tehdä:

2 x = 2 3
x = 3

Tämän yhtälön ratkaisemiseksi poistimme samoilla perusteilla(eli kakkosia) ja kirjoitti muistiin, mitä oli jäljellä, nämä ovat asteita. Saimme vastauksen, jota etsimme.

Tehdään nyt yhteenveto ratkaisustamme.

Algoritmi eksponentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi:
1. Tarkasta sama ovatko yhtälön perusteet oikealla ja vasemmalla. Jos perusteet eivät ole samat, etsimme vaihtoehtoja tämän esimerkin ratkaisemiseksi.
2. Kun pohjat ovat samat, rinnastaa aste ja ratkaise tuloksena oleva uusi yhtälö.

Ratkaistaan ​​nyt joitain esimerkkejä:

Aloitetaan yksinkertaisesta.

Vasemmalla ja oikealla puolella olevat kantat ovat yhtä suuria kuin luku 2, mikä tarkoittaa, että voimme hylätä kannan ja rinnastaa niiden asteet.

x+2=4 Yksinkertaisin yhtälö on selvinnyt.
x = 4 - 2
x=2
Vastaus: x = 2

Seuraavassa esimerkissä voit nähdä, että kannat ovat erilaisia, nämä ovat 3 ja 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Aluksi siirrämme yhdeksän oikealle puolelle, saamme:

Nyt sinun on tehtävä samat pohjat. Tiedämme, että 9 = 3 2 . Käytetään tehokaavaa (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Saamme 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 nyt on selvää, että vasemmalla ja oikealla puolella olevat kantat ovat samat ja yhtä suuret kuin kolme, mikä tarkoittaa, että voimme hylätä ne ja rinnastaa asteet.

3x=2x+16 sai yksinkertaisimman yhtälön
3x-2x=16
x = 16
Vastaus: x = 16.

Katsotaanpa seuraavaa esimerkkiä:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Ensinnäkin tarkastelemme pohjaa, pohjat ovat erilaisia ​​kaksi ja neljä. Ja meidän on oltava samanlaisia. Muunnamme nelinkertaisen kaavan (a n) m = a nm mukaan.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Ja käytämme myös yhtä kaavaa a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Lisää yhtälöön:

2 2 x 2 4 - 10 2 2 x = 24

Annoimme esimerkin samoista syistä. Mutta muut numerot 10 ja 24 häiritsevät meitä. Mitä niille tehdä? Jos katsot tarkasti, voit nähdä, että vasemmalla puolella toistamme 2 2x, tässä on vastaus - voimme laittaa 2 2x suluista:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Lasketaan suluissa oleva lauseke:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Jaamme koko yhtälön kuudella:

Kuvittele 4 = 2 2:

2 2x \u003d 2 2 kantaa ovat samat, hylkää ne ja vertaa asteet.
2x \u003d 2 osoittautui yksinkertaisimmaksi yhtälöksi. Jaamme sen kahdella, saamme
x = 1
Vastaus: x = 1.

Ratkaistaan ​​yhtälö:

9 x - 12*3 x +27 = 0

Muunnetaan:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Saamme yhtälön:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Kantamme ovat samat, yhtä kuin kolme. Tässä esimerkissä on selvää, että ensimmäisellä kolmiolla on aste kaksi kertaa (2x) kuin toisella (vain x). Tässä tapauksessa voit päättää korvausmenetelmä. Pienimmän asteen omaava numero korvataan seuraavalla:

Sitten 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Korvaamme kaikki asteet x:illä yhtälössä t:llä:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Saamme toisen asteen yhtälön. Ratkaisemme diskriminantin kautta, saamme:
D = 144-108 = 36
t1 = 9
t2 = 3

Takaisin muuttujaan x.

Otamme t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Tuo on,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Yksi juuri löytyi. Etsimme toista, t 2:sta:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Vastaus: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Sivuston osiossa AUTTA PÄÄTTÄMÄÄN voit kysyä kiinnostavia kysymyksiä, vastaamme sinulle varmasti.

Liity ryhmään

Luento: "Menetelmiä eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi."

1 . eksponentiaaliyhtälöt.

Yhtälöitä, joiden eksponentti sisältää tuntemattomia, kutsutaan eksponenttiyhtälöiksi. Yksinkertaisin niistä on yhtälö ax = b, jossa a > 0 ja a ≠ 1.

1) b:lle< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 eksponentti funktio, ei ole ratkaisua.

2) Kun b > 0, yhtälöllä on yksi juuri, kun käytetään funktion monotonisuutta ja juurilausetta. Sen löytämiseksi b on esitettävä muodossa b = aс, ax = bс ó x = c tai x = logab.

Eksponentiaaliyhtälöt johtavat algebrallisten muunnosten kautta standardiyhtälöihin, jotka ratkaistaan ​​seuraavilla menetelmillä:

1) pelkistysmenetelmä yhteen emäkseen;

2) arviointimenetelmä;

3) graafinen menetelmä;

4) uusien muuttujien käyttöönoton menetelmä;

5) faktorointimenetelmä;

6) eksponentiaalinen - tehoyhtälöt;

7) eksponentiaalinen parametrin kanssa.

2 . Yhden perusteen vähentämismenetelmä.

Menetelmä perustuu seuraavaan asteiden ominaisuuteen: jos kaksi astetta ovat yhtä suuret ja niiden kantakannat ovat yhtä suuret, niin niiden eksponentit ovat yhtä suuret, eli yhtälö tulee yrittää pelkistää muotoon

Esimerkkejä. Ratkaise yhtälö:

1 . 3x = 81;

Esitetään yhtälön oikea puoli muodossa 81 = 34 ja kirjoitetaan yhtälö, joka vastaa alkuperäistä 3 x = 34; x = 4. Vastaus: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> ja siirry yhtälöön eksponenteille 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Vastaus: 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Huomaa, että luvut 0,2, 0,04, √5 ja 25 ovat 5:n potenssit. Hyödynnetään tämä ja muunnetaan alkuperäinen yhtälö seuraavasti:

, mistä 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, josta löydämme ratkaisun x = -1. Vastaus: -1.

5. 3x = 5. Logaritmin määritelmän mukaan x = log35. Vastaus: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Kirjoitetaan yhtälö uudelleen muotoon 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, eli.png" width="181" height="49 src="> Tästä syystä x - 4 =0, x = 4. Vastaus: neljä.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Tehtyjen ominaisuuksien avulla yhtälö kirjoitetaan muotoon e. x+1 = 2, x =1. Vastaus: 1.

Tehtäväpankki nro 1.

Ratkaise yhtälö:

Testi numero 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) ei juuria
	1) 7;1 2) ei juuria 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Testi #2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) ei juuria 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Arviointimenetelmä.

Juuren lause: jos funktio f (x) kasvaa (vähenee) välissä I, luku a on mikä tahansa arvo, jonka f ottaa tällä välillä, niin yhtälöllä f (x) = a on yksi juuri välissä I.

Kun yhtälöitä ratkaistaan ​​estimointimenetelmällä, käytetään tätä lausetta ja funktion monotonisuusominaisuuksia.

Esimerkkejä. Ratkaise yhtälöt: 1. 4x = 5 - x.

Ratkaisu. Kirjoitetaan yhtälö uudelleen muotoon 4x + x = 5.

1. jos x \u003d 1, niin 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 on tosi, niin 1 on yhtälön juuri.

Funktio f(x) = 4x kasvaa R:llä ja g(x) = x kasvaa R => h(x)= f(x)+g(x) kasvaa R:llä kasvavien funktioiden summana, joten x = 1 on yhtälön 4x = 5 – x ainoa juuri. Vastaus: 1.

2.

Ratkaisu. Kirjoitamme yhtälön uudelleen muotoon .

1. jos x = -1, niin , 3 = 3-tosi, joten x = -1 on yhtälön juuri.

2. todistaa, että se on ainutlaatuinen.

3. Funktio f(x) = - pienenee R:llä ja g(x) = - x - pienenee R => h(x) = f(x) + g(x) - pienenee R:llä summana funktioiden vähenemisestä. Joten juurilauseen mukaan x = -1 on yhtälön ainoa juuri. Vastaus: -1.

Tehtäväpankki nro 2. ratkaise yhtälö

a) 4x + 1 = 6 - x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Menetelmä uusien muuttujien käyttöön ottamiseksi.

Menetelmä on kuvattu kohdassa 2.1. Uuden muuttujan käyttöönotto (substituutio) suoritetaan yleensä yhtälön ehtojen muunnosten (yksinkertaistamisen) jälkeen. Harkitse esimerkkejä.

Esimerkkejä. R syö yhtälö: 1. .

Kirjoitetaan yhtälö uudelleen eri tavalla: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Ratkaisu. Kirjoitetaan yhtälö eri tavalla:

Merkitse https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - ei sovellu.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> on irrationaalinen yhtälö. Huomaa, että

Yhtälön ratkaisu on x = 2,5 ≤ 4, joten 2,5 on yhtälön juuri. Vastaus: 2.5.

Ratkaisu. Kirjoitetaan yhtälö uudelleen muotoon ja jaetaan molemmat puolet luvulla 56x+6 ≠ 0. Saamme yhtälön

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, joten..png" width="118" height="56">

Neliöyhtälön juuret - t1 = 1 ja t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Ratkaisu . Kirjoitamme yhtälön uudelleen muotoon

ja huomaa, että se on toisen asteen homogeeninen yhtälö.

Jaa yhtälö 42x, saamme

Korvaa https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Vastaus: 0; 0.5.

Tehtäväpankki #3. ratkaise yhtälö

b)

G)

Testi #3 vastausvaihtoehdoilla. Minimitaso.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) -log52 4) 2
А2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) ei juuria 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) ei juuria 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Testi #4 vastausvaihtoehdoilla. Yleinen taso.

A1	1) 2; 1 2) ½; 0 3) 2; 0 4) 0
А2 2x – (0.5)2x – (0.5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) ei juuria

5. Faktorisointimenetelmä.

1. Ratkaise yhtälö: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69"> , mistä

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Ratkaisu. Otetaan 6x yhtälön vasemmalta puolelta ja 2x oikealta puolelta. Saamme yhtälön 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Koska 2x >0 kaikille x:lle, voimme jakaa tämän yhtälön molemmat puolet 2x:llä ilman pelkoa ratkaisujen menettämisestä. Saamme 3x = 1ó x = 0.

3.

Ratkaisu. Ratkaisemme yhtälön tekijälaskulla.

Valitsemme binomiaalin neliön

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 on yhtälön juuri.

Yhtälö x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x = 1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Testi #6 Yleinen taso.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1; 3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3; 4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Eksponentiaalinen - tehoyhtälöt.

Eksponentiaaliyhtälöiden vieressä on ns. eksponentti-tehoyhtälöt, eli yhtälöt muotoa (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Jos tiedetään, että f(x)>0 ja f(x) ≠ 1, niin yhtälö, kuten eksponentiaalinenkin, ratkaistaan ​​laskemalla eksponentit g(x) = f(x).

Jos ehto ei sulje pois mahdollisuutta f(x)=0 ja f(x)=1, niin nämä tapaukset on otettava huomioon eksponentiaalista tehoyhtälöä ratkaistaessa.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Ratkaisu. x2 +2x-8 - on järkevää mille tahansa x:lle, koska polynomi, joten yhtälö vastaa joukkoa

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Eksponentiaaliyhtälöt ja parametrit.

1. Mille parametrin p arvoille yhtälö 4 (5 – 3) 2 +4p2-3p = 0 (1) on ainoa päätös?

Ratkaisu. Esitetään muutos 2x = t, t > 0, jolloin yhtälö (1) saa muotoa t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Yhtälön (2) diskriminantti on D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Yhtälöllä (1) on ainutlaatuinen ratkaisu, jos yhtälöllä (2) on yksi positiivinen juuri. Tämä on mahdollista seuraavissa tapauksissa.

1. Jos D = 0, eli p = 1, yhtälö (2) saa muotoa t2 – 2t + 1 = 0, joten t = 1, joten yhtälöllä (1) on ainutlaatuinen ratkaisu x = 0.

2. Jos p1, niin 9(p – 1)2 > 0, niin yhtälöllä (2) on kaksi eri juuria t1 = p, t2 = 4p – 3. Järjestelmäjoukko täyttää tehtävän ehdon

Korvaamalla t1 ja t2 järjestelmiin, meillä on

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Ratkaisu. Päästää silloin yhtälö (3) saa muotoa t2 – 6t – a = 0. (4)

Etsitään ne parametrin a arvot, joille vähintään yksi yhtälön (4) juuri täyttää ehdon t > 0.

Esitetään funktio f(t) = t2 – 6t – a. Seuraavat tapaukset ovat mahdollisia.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Tapaus 2. Yhtälöllä (4) on ainutlaatuinen positiivinen ratkaisu jos

D = 0, jos a = – 9, yhtälö (4) saa muotoa (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Tapaus 3. Yhtälöllä (4) on kaksi juuria, mutta toinen niistä ei täytä epäyhtälöä t > 0. Tämä on mahdollista, jos

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

Siten a 0:lla yhtälöllä (4) on yksi positiivinen juuri . Sitten yhtälöllä (3) on ainutlaatuinen ratkaisu

a< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

jos< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
jos a = – 9, niin x = – 1;

jos a  0, niin

Verrataan yhtälöiden (1) ja (3) ratkaisumenetelmiä. Huomaa, että yhtälöä (1) ratkaistaessa pelkistettiin toisen asteen yhtälöksi, jonka diskriminantti on täysi neliö; näin ollen yhtälön (2) juuret laskettiin välittömästi toisen asteen yhtälön juurien kaavalla ja sitten tehtiin johtopäätökset näistä juurista. Yhtälö (3) pelkistettiin toisen asteen yhtälöksi (4), jonka diskriminantti ei ole täydellinen neliö, joten yhtälöä (3) ratkaistaessa on suositeltavaa käyttää lauseita neliötrinomin juurien sijainnista ja graafinen malli. Huomaa, että yhtälö (4) voidaan ratkaista käyttämällä Vieta-lausetta.

Ratkaistaan ​​monimutkaisempia yhtälöitä.

Tehtävä 3. Ratkaise yhtälö

Ratkaisu. ODZ: x1, x2.

Otetaan käyttöön korvaava. Olkoon 2x = t, t > 0, niin yhtälö tulee muunnosten seurauksena muotoon t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Etsitään a:n arvot, joille on vähintään yksi juuri yhtälö (*) täyttää ehdon t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Vastaus: jos a > - 13, a  11, a  5, niin jos a - 13,

a = 11, a = 5, silloin ei ole juuria.

Bibliografia.

1. Guzeev koulutusteknologian perusteet.

2. Guzeev-tekniikka: vastaanotosta filosofiaan.

M. "Rehtori" nro 4, 1996

3. Guzeev ja koulutuksen organisatoriset muodot.

4. Guzeev ja integraalisen koulutusteknologian käytäntö.

M." julkinen koulutus", 2001

5. Guzeev oppitunnin muodoista - seminaari.

Matematiikka koulussa nro 2, 1987, s. 9 - 11.

6. Selevko koulutusteknologiat.

M. "Kansan koulutus", 1998

7. Epishevan koululaiset oppivat matematiikkaa.

M. "Enlightenment", 1990

8. Ivanov valmistaa oppitunteja - työpajoja.

Matematiikka koulussa nro 6, 1990, s. 37-40.

9. Smirnovin matematiikan opetusmalli.

Matematiikka koulussa nro 1, 1997, s. 32-36.

10. Tarasenko käytännön työn organisointitavat.

Matematiikka koulussa nro 1, 1993, s. 27-28.

11. Tietoja yhdestä yksittäisen työn tyypeistä.

Matematiikka koulussa nro 2, 1994, s. 63 - 64.

12. Khazankin Luovat taidot koulu lapset.

Matematiikka koulussa nro 2, 1989, s. kymmenen.

13. Scanavi. Kustantaja, 1997

14. et al. Algebra ja analyysin alku. Didaktiset materiaalit

15. Krivonogovin tehtävät matematiikassa.

M. "Syyskuun ensimmäinen", 2002

16. Tšerkasov. Käsikirja lukiolaisille ja

yliopistoihin tuloa. "AS T - lehdistökoulu", 2002

17. Zhevnyak yliopistoihin hakijoille.

Minsk ja RF "Review", 1996

18. Kirjallinen D. Valmistautuminen matematiikan tenttiin. M. Rolf, 1999

19. ym. Yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemisen oppiminen.

M. "Äly - keskus", 2003

20. ja muut. Koulutus - harjoittelumateriaalit valmistautua E G E -tapahtumaan.

M. "Äly - keskus", 2003 ja 2004

21 ja muut CMM:n muunnelmat. Venäjän federaation puolustusministeriön testauskeskus, 2002, 2003

22. Goldbergin yhtälöt. "Kvantti" nro 3, 1971

23. Volovich M. Kuinka menestyksekkäästi opettaa matematiikkaa.

Matematiikka, 1997 nro 3.

24 Okunev oppitunnille, lapset! M. Enlightenment, 1988

25. Yakimanskaya - suuntautunut koulutus koulussa.

26. Liimets työskentelee tunnilla. M. Knowledge, 1975

Tämä oppitunti on tarkoitettu niille, jotka vasta alkavat oppia eksponentiaaliyhtälöitä. Kuten aina, aloitetaan määritelmästä ja yksinkertaisista esimerkeistä.

Jos luet tätä oppituntia, epäilen, että sinulla on jo ainakin minimaalinen käsitys yksinkertaisimmista yhtälöistä - lineaarinen ja neliö: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ jne. Tällaisten rakenteiden ratkaiseminen on ehdottoman välttämätöntä, jotta ei "roikkuisi" aiheessa, josta nyt keskustellaan.

Eli eksponentiaaliyhtälöt. Annan sinulle pari esimerkkiä:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Jotkut niistä saattavat tuntua sinulle monimutkaisempia, jotkut päinvastoin ovat liian yksinkertaisia. Mutta niitä kaikkia yhdistää yksi tärkeä ominaisuus: ne sisältävät eksponentiaalisen funktion $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Esittelemme siis määritelmän:

Eksponentiaalinen yhtälö on mikä tahansa yhtälö, joka sisältää eksponentiaalisen funktion, ts. lauseke muodossa $((a)^(x))$. Määritetyn funktion lisäksi tällaiset yhtälöt voivat sisältää mitä tahansa muita algebrallisia konstruktioita - polynomeja, juuria, trigonometriaa, logaritmeja jne.

Hyvä on. Ymmärsi määritelmän. Nyt kysymys kuuluu: kuinka ratkaista kaikki tämä paska? Vastaus on yhtä aikaa yksinkertainen ja monimutkainen.

Aloitetaan hyvillä uutisilla: monien opiskelijoiden kokemukseni perusteella voin sanoa, että suurimmalle osalle heistä eksponentiaaliyhtälöt ovat paljon helpompia kuin samat logaritmit ja vielä varsinkin trigonometria.

Mutta on myös huonoja uutisia: toisinaan kaikenlaisten oppikirjojen ja kokeiden tehtävien kokoajia vierailee "inspiraatio", ja heidän huumetulehdukselliset aivonsa alkavat tuottaa niin raakoja yhtälöitä, että niiden ratkaiseminen ei ole ongelmallista vain opiskelijoille - jopa monet opettajat juuttuvat tällaisiin ongelmiin.

Älkäämme kuitenkaan puhuko surullisista asioista. Ja palataanpa niihin kolmeen yhtälöön, jotka annettiin aivan tarinan alussa. Yritetään ratkaista jokainen niistä.

Ensimmäinen yhtälö: $((2)^(x))=4$. No, mihin potenssiin lukua 2 pitää nostaa, jotta saadaan numero 4? Ehkä toinen? Loppujen lopuksi $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — ja olemme saaneet oikean numeerisen yhtälön, ts. todellakin $x=2$. No, kiitos, cap, mutta tämä yhtälö oli niin yksinkertainen, että jopa kissani pystyi ratkaisemaan sen. :)

Katsotaanpa seuraavaa yhtälöä:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Mutta tässä se on vähän vaikeampaa. Monet opiskelijat tietävät, että $((5)^(2))=25$ on kertotaulukko. Jotkut epäilevät myös, että $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ on pohjimmiltaan määritelmä negatiivisia voimia(analogisesti kaavan $((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))$) kanssa.

Lopuksi vain harvat arvaavat, että nämä tosiasiat voidaan yhdistää ja tulos on seuraava:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Näin ollen alkuperäinen yhtälömme kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Ja nyt tämä on jo täysin ratkaistu! Yhtälön vasemmalla puolella on eksponentiaalinen funktio, yhtälön oikealla puolella on eksponenttifunktio, ei ole muuta kuin ne missään muualla. Siksi on mahdollista "hylätä" perusteet ja tyhmästi rinnastaa indikaattorit:

Saimme yksinkertaisimman lineaarisen yhtälön, jonka kuka tahansa opiskelija voi ratkaista vain parilla rivillä. Okei, neljällä rivillä:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(tasaa)\]

Jos et ymmärtänyt mitä tapahtui viimeisellä neljällä rivillä, muista palata aiheeseen " lineaariset yhtälöt' ja toista se. Koska ilman tämän aiheen selkeää omaksumista, on liian aikaista ottaa eksponentiaaliyhtälöitä.

\[((9)^(x))=-3\]

No, miten päätät? Ensimmäinen ajatus: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, joten alkuperäinen yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen näin:

\[((\left(((3)^(2)) \oikea))^(x))=-3\]

Sitten muistetaan, että kun aste nostetaan tehoon, indikaattorit kerrotaan:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Nuoli oikealle ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Ja tällaisesta päätöksestä saamme rehellisesti ansaitun kakkosen. Sillä me lähetimme Pokémonin tyynesti miinusmerkin kolmen eteen juuri tämän kolmen voimalla. Etkä voi tehdä sitä. Ja siksi. Tutustu kolmikon eri tehoihin:

\[\begin(matriisi) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matriisi)\]

Kun kirjoitin tätä tablettia, en perverssi niin pian kuin tein: otin huomioon positiiviset asteet ja negatiiviset ja jopa murto-osat ... no, missä on ainakin yksi negatiivinen luku? Hän ei ole! Eikä se voi olla, koska eksponentiaalinen funktio $y=((a)^(x))$ ensinnäkin ottaa aina vain positiivisia arvoja (riippumatta siitä kuinka paljon kerrot yhden tai jaat kahdella, se on silti positiivinen luku), ja toiseksi, tällaisen funktion kanta, luku $a$, on määritelmän mukaan positiivinen luku!

No, kuinka sitten ratkaistaan ​​yhtälö $((9)^(x))=-3$? Ei, juuria ei ole. Ja tässä mielessä eksponentiaaliset yhtälöt ovat hyvin samankaltaisia ​​kuin toisen asteen yhtälöt - ei myöskään välttämättä ole juuria. Mutta jos neliöyhtälöissä juurien lukumäärä määräytyy diskriminantin avulla (diskriminantti on positiivinen - 2 juuria, negatiivinen - ei juuria), niin eksponentiaalisissa yhtälöissä kaikki riippuu siitä, mikä on yhtäläisyysmerkin oikealla puolella.

Näin ollen muotoillaan keskeinen johtopäätös: yksinkertaisimmalla eksponentiaalisella yhtälöllä muotoa $((a)^(x))=b$ on juuri silloin ja vain jos $b>0$. Kun tiedät tämän yksinkertaisen tosiasian, voit helposti määrittää, onko sinulle ehdotetulla yhtälöllä juuret vai ei. Nuo. kannattaako se ollenkaan ratkaista vai kirjoittaa heti ylös, että juuria ei ole.

Tämä tieto auttaa meitä monta kertaa, kun joudumme ratkaisemaan monimutkaisempia ongelmia. Sillä välin tarpeeksi sanoituksia - on aika tutkia perusalgoritmia eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi.

Kuinka ratkaista eksponentiaaliyhtälöt

Joten muotoillaan ongelma. On tarpeen ratkaista eksponentiaaliyhtälö:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Aiemmin käyttämämme "naiivin" algoritmin mukaan luku $b$ on esitettävä luvun $a$ potenssina:

Lisäksi, jos muuttujan $x$ sijaan on jokin lauseke, saadaan uusi yhtälö, joka voidaan jo ratkaista. Esimerkiksi:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(tasaa)\]

Ja kummallista kyllä, tämä järjestelmä toimii noin 90 prosentissa tapauksista. Entä sitten loput 10%? Loput 10 % ovat hieman "skitsofreenisiä" eksponenttiyhtälöitä muodossa:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Mihin tehoon sinun täytyy nostaa 2 saadaksesi 3? Ensimmäisessä? Mutta ei: $((2)^(1))=2$ ei riitä. Toisessa? Ei kumpikaan: $((2)^(2))=4$ on liikaa. Mitä sitten?

Asiantuntevat opiskelijat ovat luultavasti jo arvaanneet: sellaisissa tapauksissa, kun on mahdotonta ratkaista "kauniisti", tapaukseen liittyy "raskas tykistö" - logaritmit. Muistutan teitä siitä, että logaritmeilla mikä tahansa positiivinen luku voidaan esittää minkä tahansa muun positiivisen luvun potenssina (paitsi yhtä):

Muistatko tämän kaavan? Kun kerron opiskelijoilleni logaritmeista, varoitan teitä aina: tämä kaava (se on myös logaritmisen perusidentiteetti tai halutessasi logaritmin määritelmä) kummittelee teitä hyvin pitkään ja "tulee esiin" suurimmassa osassa. odottamattomia paikkoja. No, hän nousi pintaan. Katsotaanpa yhtälöämme ja tätä kaavaa:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(tasaa) \]

Jos oletetaan, että $a=3$ on alkuperäinen lukumme oikealla ja $b=2$ on juuri sen eksponentiaalisen funktion kanta, johon haluamme pienentää oikean puolen, saamme seuraavan:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\end(tasaa)\]

Saimme hieman oudon vastauksen: $x=((\log )_(2))3$. Jossain toisessa tehtävässä tällaisella vastauksella monet epäilevät ja alkaisivat tarkistaa ratkaisuaan: entä jos jossain olisi virhe? Kiirehdin miellyttämään teitä: tässä ei ole virhettä, ja eksponentiaaliyhtälöiden juurissa olevat logaritmit ovat melko tyypillinen tilanne. Joten tottuu siihen. :)

Nyt ratkaisemme analogisesti loput kaksi yhtälöä:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Oikeanuoli ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(tasaa)\]

Siinä kaikki! Muuten, viimeinen vastaus voidaan kirjoittaa eri tavalla:

Me otimme kertojan logaritmin argumenttiin. Mutta kukaan ei estä meitä lisäämästä tätä tekijää perustaan:

Tässä tapauksessa kaikki kolme vaihtoehtoa ovat oikeita - se on vain erilaisia ​​muotoja saman numeron tietueita. Kumpi valitaan ja kirjoittaa tähän päätökseen, on sinun.

Siten olemme oppineet ratkaisemaan kaikki eksponentiaaliyhtälöt muodossa $((a)^(x))=b$, joissa luvut $a$ ja $b$ ovat ehdottomasti positiivisia. Maailmamme karu todellisuus on kuitenkin se, että niin yksinkertaiset tehtävät kohtaavat hyvin, hyvin harvoin. Useammin kohtaat jotain tällaista:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(tasaa)\]

No, miten päätät? Voiko tätä ylipäätään ratkaista? Ja jos on, niin miten?

Ei paniikkia. Kaikki nämä yhtälöt pienentyvät nopeasti ja helposti yksinkertaisia ​​kaavoja joita olemme jo harkinneet. Sinun tarvitsee vain muistaa pari temppua algebran kurssista. Ja tietenkään täällä ei ole sääntöjä tutkintojen kanssa työskentelemiselle. Puhun nyt tästä kaikesta. :)

Eksponentiaaliyhtälöiden muunnos

Ensimmäinen asia, joka on muistettava, on, että mikä tahansa eksponentiaalinen yhtälö, olipa se kuinka monimutkainen tahansa, on tavalla tai toisella pelkistettävä yksinkertaisimpiin yhtälöihin - juuri niihin, joita olemme jo tarkastelleet ja jotka osaamme ratkaista. Toisin sanoen minkä tahansa eksponentiaalisen yhtälön ratkaisukaavio näyttää tältä:

1. Kirjoita alkuperäinen yhtälö. Esimerkki: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Tee tyhmää paskaa. Tai jopa jotain paskaa nimeltä "muunna yhtälö";
3. Hanki tulosteessa yksinkertaisimmat lausekkeet kuten $((4)^(x))=4$ tai jotain muuta vastaavaa. Lisäksi yksi alkuyhtälö voi antaa useita tällaisia ​​lausekkeita kerralla.

Ensimmäisestä kohdasta kaikki on selvää - jopa kissani osaa kirjoittaa yhtälön lehdelle. Myös kolmannen kohdan kohdalla se näyttää olevan enemmän tai vähemmän selvää - olemme jo ratkaisseet koko joukon tällaisia ​​yhtälöitä edellä.

Mutta entä toinen kohta? Mitkä ovat muunnokset? Mitä muuntaa mihin? Ja miten?

No, selvitetään se. Ensinnäkin haluan korostaa seuraavaa. Kaikki eksponentiaaliyhtälöt on jaettu kahteen tyyppiin:

1. Yhtälö koostuu eksponentiaalisista funktioista, joilla on sama kanta. Esimerkki: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Kaava sisältää eksponentiaalisia funktioita, joilla on eri kanta. Esimerkkejä: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ ja $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09 $.

Aloitetaan ensimmäisen tyypin yhtälöistä - ne ovat helpoimpia ratkaista. Ja heidän ratkaisussaan meitä auttaa sellainen tekniikka kuin vakaiden lausekkeiden valinta.

Korostaa vakaa ilme

Katsotaanpa tätä yhtälöä uudelleen:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Mitä me näemme? Neljä on korotettu eri asteisiin. Mutta kaikki nämä tutkinnot yksinkertaisia ​​summia muuttuja $x$ muiden numeroiden kanssa. Siksi on tarpeen muistaa tutkintojen kanssa työskentelyn säännöt:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\end(tasaa)\]

Yksinkertaisesti sanottuna eksponentien lisäys voidaan muuntaa potenssien tuloksi ja vähennys muutetaan helposti jakolaskuksi. Yritetään soveltaa näitä kaavoja yhtälömme potenssiin:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(tasaa)\]

Kirjoitamme alkuperäisen yhtälön uudelleen ottaen tämän tosiasian huomioon ja keräämme sitten kaikki ehdot vasemmalla:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -yksitoista; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(tasaa)\]

Ensimmäiset neljä termiä sisältävät elementin $((4)^(x))$ — otetaan se pois suluista:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(tasaa)\]

Jäljelle jää jakaa yhtälön molemmat osat murtoluvulla $-\frac(11)(4)$, ts. oleellisesti kerrotaan käänteisellä murtoluvulla - $-\frac(4)(11)$. Saamme:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \oikea); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(tasaa)\]

Siinä kaikki! Pelkisimme alkuperäisen yhtälön yksinkertaisimmaksi ja saimme lopullisen vastauksen.

Samaan aikaan ratkaisuprosessissa löysimme (ja jopa poistimme suluista) yhteisen tekijän $((4)^(x))$ - tämä on vakaa lauseke. Se voidaan määrittää uudeksi muuttujaksi tai voit yksinkertaisesti ilmaista sen tarkasti ja saada vastauksen. Joka tapauksessa, keskeinen periaate ratkaisut ovat seuraavat:

Etsi alkuperäisestä yhtälöstä stabiili lauseke, joka sisältää muuttujan, joka on helppo erottaa kaikista eksponentiaalisista funktioista.

Hyvä uutinen on, että melkein jokainen eksponentiaalinen yhtälö sallii tällaisen vakaan lausekkeen.

Mutta on myös huonoja uutisia: tällaiset ilmaisut voivat olla hyvin hankalia, ja niiden erottaminen voi olla melko vaikeaa. Katsotaanpa siis toista ongelmaa:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Ehkä jollain on nyt kysymys: "Pasha, oletko kivitetty? Tässä on erilaisia ​​emäksiä - 5 ja 0,2. Mutta yritetään muuntaa teho kantaluvulla 0.2. Esimerkiksi päästään eroon desimaaliluvusta ja tuodaan se tavalliseen:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \oikea))^(-\vasen(x+1 \oikea)))=((\vasen(\frac(1)(5) \oikea))^(-\vasen(x+1 \oikea)) )\]

Kuten näet, numero 5 ilmestyi edelleen, vaikkakin nimittäjässä. Samalla indikaattori kirjoitettiin negatiiviseksi. Ja nyt muistamme yhden niistä olennaiset säännöt työskennellä tutkintojen kanssa:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Tässä tietysti vähän huijasin. Koska täydellisen ymmärtämisen vuoksi kaava negatiivisista indikaattoreista eroon oli kirjoitettava seuraavasti:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ oikea))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Toisaalta mikään ei estänyt meitä työskentelemästä vain yhden murto-osan kanssa:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ oikea))^(-\vasen(x+1 \oikea)))=((5)^(\vasen(-1 \oikea)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Mutta tässä tapauksessa sinun on voitava nostaa tutkinto toiseen asteeseen (muistutan teitä: tässä tapauksessa indikaattorit lasketaan yhteen). Mutta minun ei tarvinnut "kääntää" murtolukuja - ehkä jollekin se on helpompaa. :)

Joka tapauksessa alkuperäinen eksponentiaaliyhtälö kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(tasaa)\]

Joten käy ilmi, että alkuperäinen yhtälö on jopa helpompi ratkaista kuin aiemmin harkittu: tässä sinun ei tarvitse edes valita vakaata lauseketta - kaikki on pelkistetty itsestään. On vain muistettava, että $1=((5)^(0))$, mistä saamme:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(tasaa)\]

Siinä koko ratkaisu! Saimme lopullisen vastauksen: $x=-2$. Samalla haluaisin huomauttaa yhden tempun, joka yksinkertaisti suuresti kaikkia laskelmia meille:

Eksponentiaalisissa yhtälöissä muista päästä eroon desimaalilukuja, muuntaa ne normaaleiksi. Näin voit nähdä samat asteiden kantakohdat ja yksinkertaistaa ratkaisua huomattavasti.

Jatketaan lisää monimutkaisia ​​yhtälöitä, jossa on erilaisia ​​emäksiä, joita ei yleensä pelkistetä toisiinsa asteiden avulla.

Eksponenttiominaisuuden käyttäminen

Haluan muistuttaa, että meillä on kaksi erityisen ankaraa yhtälöä:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(tasaa)\]

Suurin vaikeus tässä on se, että ei ole selvää, mihin ja mihin perustaan ​​johtaa. Missä aseta ilmaisuja? Missä ovat yhteiset perusteet? Tätä ei ole olemassa.

Mutta yritetään mennä toisin päin. Jos valmiita identtisiä pohjaa ei ole, voit yrittää löytää ne ottamalla huomioon käytettävissä olevat pohjat.

Aloitetaan ensimmäisestä yhtälöstä:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\end(tasaa)\]

Mutta loppujen lopuksi voit tehdä päinvastoin - muodostaa numeron 21 numeroista 7 ja 3. Tämä on erityisen helppoa tehdä vasemmalla, koska molempien asteiden indikaattorit ovat samat:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6) ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(tasaa)\]

Siinä kaikki! Otit eksponentin pois tuotteesta ja sai heti kauniin yhtälön, joka voidaan ratkaista parilla rivillä.

Käsitellään nyt toista yhtälöä. Tässä kaikki on paljon monimutkaisempaa:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Tässä tapauksessa fraktiot osoittautuivat redusoitumattomiksi, mutta jos jotain voitaisiin vähentää, muista pienentää sitä. Tämä johtaa usein mielenkiintoisiin perusteisiin, joiden kanssa voit jo työskennellä.

Valitettavasti emme ole keksineet mitään. Mutta näemme, että tuotteen vasemmalla puolella olevat eksponentit ovat vastakkaisia:

Muistutan sinua: päästäksesi eroon eksponentin miinusmerkistä, sinun tarvitsee vain "kääntää" murtoluku. Joten kirjoitetaan alkuperäinen yhtälö uudelleen:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(tasaa)\]

Toisella rivillä hakasuluimme tuotteen loppusumman säännön $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right) mukaisesti ))^ (x))$, ja jälkimmäisessä he yksinkertaisesti kertoivat luvun 100 murtoluvulla.

Huomaa nyt, että numerot vasemmalla (alustalla) ja oikealla ovat jokseenkin samanlaisia. Miten? Kyllä, ilmeisesti: ne ovat saman luvun voimat! Meillä on:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \oikea))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10)) \oikea))^(2)). \\\end(tasaa)\]

Siten yhtälömme kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \oikea))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \oikea))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \oikea))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \oikea))^(3\vasen(x-1 \oikea)))=((\vasen(\frac(10)(3) \oikea))^(3x-3))\]

Samanaikaisesti oikealla voi saada myös tutkinnon samalla pohjalla, johon riittää pelkkä murto-osan "kääntäminen":

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Lopuksi yhtälömme saa muodon:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(tasaa)\]

Siinä koko ratkaisu. Sen pääidea tiivistyy siihen, että eri syistäkin yritämme koukulla tai huijauksella pelkistää nämä syyt yhdeksi. Tässä meitä auttavat yhtälöiden alkeismuunnokset ja potenssien käytön säännöt.

Mutta mitä sääntöjä ja milloin käyttää? Kuinka ymmärtää, että yhdessä yhtälössä sinun on jaettava molemmat puolet jollakin ja toisessa - jaettava eksponentiaalisen funktion perusta tekijöiksi?

Vastaus tähän kysymykseen tulee kokemuksen myötä. Kokeile ensin kättäsi yksinkertaiset yhtälöt, ja monimutkaise sitten tehtäviä vähitellen - ja pian taitosi riittävät ratkaisemaan minkä tahansa eksponentiaaliyhtälön samasta KÄYTTÖÄRJESTYKSestä tai minkä tahansa itsenäisen / testityön perusteella.

Ja auttaakseni sinua tässä vaikeassa tehtävässä, ehdotan, että lataat sivustoltani yhtälöjoukon itsenäistä ratkaisua varten. Kaikissa yhtälöissä on vastaukset, joten voit aina tarkistaa itsesi.

Eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisu. Esimerkkejä.

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaali erityisosastossa 555.
Niille, jotka vahvasti "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Mitä eksponentiaalinen yhtälö? Tämä on yhtälö, jossa tuntemattomat (x) ja niitä sisältävät lausekkeet ovat sisällä indikaattoreita joitain asteita. Ja vain siellä! On tärkeää.

Siellähän sinä olet esimerkkejä eksponentiaalisista yhtälöistä:

3 x 2 x = 8 x + 3

Merkintä! Asteiden perusteissa (alla) - vain numeroita. AT indikaattoreita asteet (yllä) - laaja valikoima lausekkeita x:llä. Jos yhtälössä x ilmestyy yhtäkkiä muualle kuin indikaattoriin, esimerkiksi:

tämä on sekatyyppinen yhtälö. Tällaisilla yhtälöillä ei ole selkeitä ratkaisusääntöjä. Emme ota niitä toistaiseksi huomioon. Tässä käsitellään eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisu puhtaimmassa muodossaan.

Itse asiassa edes puhtaat eksponentiaaliyhtälöt eivät aina ole selkeästi ratkaistu. Mutta on olemassa tietyntyyppisiä eksponentiaaliyhtälöitä, jotka voidaan ja pitäisi ratkaista. Nämä ovat tyyppejä, joita tarkastelemme.

Yksinkertaisimpien eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisu.

Aloitetaan jostain hyvin perustavasta. Esimerkiksi:

Jopa ilman teoriaa, yksinkertaisella valinnalla on selvää, että x = 2. Ei muuta, eikö!? Mikään muu x-arvo ei rullaa. Ja nyt katsotaan tämän hankalan eksponentiaaliyhtälön ratkaisua:

Mitä me olemme tehneet? Itse asiassa, heitimme juuri pois samat pohjat (kolminkertaiset). Täysin ulos heitetty. Ja mikä miellyttää, osu merkiksi!

Todellakin, jos eksponentiaalisessa yhtälössä vasemmalla ja oikealla ovat sama numerot missä tahansa asteessa, nämä luvut voidaan poistaa ja ne ovat yhtä suuret eksponentit. Matematiikka sallii. On vielä ratkaistava paljon yksinkertaisempi yhtälö. Se on hyvä, eikö?)

Muistetaan kuitenkin ironisesti: voit irrottaa alustat vain, kun vasemmalla ja oikealla olevat kantanumerot ovat loistavasti erillään! Ilman naapureita ja kertoimia. Sanotaan yhtälöissä:

2 x +2 x + 1 = 2 3 tai

Tuplauksia ei voi poistaa!

No, olemme hallitseneet tärkeimmän. Kuinka siirtyä pahasta eksponentiaalisia lausekkeita yksinkertaisempiin yhtälöihin.

"Tässä ovat ne ajat!" - sinä sanot. "Kuka antaa noin alkeellisen kontrollin ja kokeiden!?"

Pakko suostua. Kukaan ei. Mutta nyt tiedät mihin mennä, kun ratkaiset hämmentäviä esimerkkejä. On tarpeen tuoda se mieleen, kun sama perusnumero on vasemmalla - oikealla. Sitten kaikki on helpompaa. Itse asiassa tämä on matematiikan klassikko. Otamme alkuperäisen esimerkin ja muunnamme sen halutuksi meille mieleen. Matematiikan sääntöjen mukaan tietysti.

Harkitse esimerkkejä, jotka vaativat lisäponnistusta, jotta ne saadaan yksinkertaisimmiksi. Soitetaan heille yksinkertaiset eksponentiaaliyhtälöt.

Yksinkertaisten eksponenttiyhtälöiden ratkaisu. Esimerkkejä.

Eksponentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa pääsäännöt ovat tekoja, joilla on valtuuksia. Ilman tietoa näistä toimista mikään ei toimi.

Tutkintotoimiin on lisättävä henkilökohtainen havainto ja kekseliäisyys. Me tarvitsemme samat numerot- perusteita? Joten etsimme niitä esimerkistä eksplisiittisessä tai salatussa muodossa.

Katsotaan kuinka tämä käytännössä tehdään?

Otetaanpa esimerkki:

2 2x - 8 x+1 = 0

Ensisilmäyksellä perusteita. He... He ovat erilaisia! Kaksi ja kahdeksan. Mutta on liian aikaista lannistua. On aika muistaa se

Kaksi ja kahdeksan ovat asteittain sukulaisia.) On täysin mahdollista kirjoittaa:

8 x+1 = (2 3) x+1

Jos muistamme kaavan toimista, joilla on voimia:

(a n) m = a nm,

toimii yleensä hyvin:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)

Alkuperäinen esimerkki näyttää tältä:

2 2x - 2 3 (x+1) = 0

Siirrämme 2 3 (x+1) oikealle (kukaan ei peruuttanut matematiikan perustoimintoja!), saamme:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Siinä on käytännössä kaikki. Pohjien poistaminen:

Ratkaisemme tämän hirviön ja saamme

Tämä on oikea vastaus.

Tässä esimerkissä kahden voiman tunteminen auttoi meitä. Me tunnistettu kahdeksassa, salattu kakkonen. Tämä tekniikka (yhteisten emästen koodaus eri numeroilla) on erittäin suosittu temppu eksponentiaalisissa yhtälöissä! Kyllä, jopa logaritmeilla. On kyettävä tunnistamaan muiden lukujen potenssit numeroista. Tämä on erittäin tärkeää eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa.

Tosiasia on, että minkä tahansa luvun nostaminen mihin tahansa tehoon ei ole ongelma. Kerro, vaikka paperille, ja siinä kaikki. Esimerkiksi jokainen voi nostaa 3 viidenteen potenssiin. 243 selviää, jos tiedät kertotaulukon.) Mutta eksponentiaalisissa yhtälöissä paljon useammin ei tarvitse nostaa potenssiin, vaan päinvastoin ... mikä määrä missä määrin piiloutuu numeron 243 tai vaikkapa 343 taakse... Mikään laskin ei auta sinua tässä.

Sinun täytyy tietää joidenkin lukujen tehot silmämääräisesti, kyllä... Harjoitellaanko?

Selvitä, mitkä potenssit ja mitkä luvut ovat numeroita:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Vastaukset (tietysti sotkussa!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Jos katsot tarkasti, voit nähdä kummallisen tosiasian. Vastauksia on enemmän kuin kysymyksiä! No, se tapahtuu... Esimerkiksi 2 6 , 4 3 , 8 2 on kaikki 64.

Oletetaan, että olet huomioinut lukuihin tutustumista koskevat tiedot.) Muistutan, että eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen sovelletaan koko matemaattinen tietokanta. Mukaan lukien alemmista keskiluokista. Et mennyt suoraan lukioon, ethän?

Esimerkiksi eksponentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa yhteisen tekijän jättäminen suluista usein auttaa (hei arvosanalle 7!). Katsotaanpa esimerkkiä:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Ja jälleen ensimmäinen katse - tontilla! Tutkintojen perusteet ovat erilaisia ​​... Kolme ja yhdeksän. Ja haluamme niiden olevan samanlaisia. No, tässä tapauksessa halu on melko mahdollista!) Koska:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Samojen sääntöjen mukaan toimille, joilla on aste:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Hienoa, voit kirjoittaa:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Annoimme esimerkin samoista syistä. Eli mitä seuraavaksi!? Kolmea ei voi heittää ulos ... Umpikuja?

Ei lainkaan. Muista yleismaailmallisin ja voimakkain päätössääntö kaikki matemaattiset tehtävät:

Jos et tiedä mitä tehdä, tee mitä voit!

Katsot, kaikki muodostuu).

Mitä tässä eksponentiaalisessa yhtälössä on voi tehdä? Kyllä, vasen puoli pyytää suoraan sulkeita! Yhteinen kerroin 3 2x viittaa selvästi tähän. Kokeillaan ja sitten nähdään:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Esimerkki paranee koko ajan!

Muistamme, että emästen eliminoimiseksi tarvitsemme puhtaan asteen ilman kertoimia. Numero 70 häiritsee meitä. Joten jaamme yhtälön molemmat puolet luvulla 70, saamme:

Ap-pa! Kaikki on ollut hyvin!

Tämä on lopullinen vastaus.

Sattuu kuitenkin niin, että samoilla perusteilla ulosrullaus saadaan, mutta niiden selvitystilaan ei. Tämä tapahtuu toisen tyyppisissä eksponentiaalisissa yhtälöissä. Otetaan tämä tyyppi.

Muuttujan muutos eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa. Esimerkkejä.

Ratkaistaan ​​yhtälö:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Ensin - kuten tavallista. Jatketaan tukikohtaan. Kakkoselle.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Saamme yhtälön:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Ja tässä me roikkumme. Edelliset temput eivät toimi, vaikka kuinka käännät sen. Meidän on hankittava toisen tehokkaan ja monipuolisen tavan arsenaalista. Sitä kutsutaan muuttuva korvaus.

Menetelmän ydin on yllättävän yksinkertainen. Yhden monimutkaisen kuvakkeen (tapauksessamme 2 x) sijasta kirjoitamme toisen, yksinkertaisemman (esimerkiksi t). Tällainen näennäisesti merkityksetön korvaaminen johtaa uskomattomiin tuloksiin!) Kaikki vain tulee selväksi ja ymmärrettäväksi!

Joten anna

Sitten 2 2x \u003d 2 x 2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Korvaamme yhtälössämme kaikki potenssit x:illä t:llä:

No, valkeneeko?) Toisen asteen yhtälöt etkö ole vielä unohtanut? Ratkaisemme diskriminantin kautta, saamme:

Tässä tärkeintä ei ole lopettaa, koska se tapahtuu ... Tämä ei ole vielä vastaus, tarvitsemme x:n, ei t:n. Palataan X:ihin, ts. vaihdon tekeminen. Ensin t1:lle:

Tuo on,

Yksi juuri löytyi. Etsimme toista, t 2:sta:

Hmm... Vasen 2 x Oikea 1... Koukku? Kyllä, ei ollenkaan! Riittää, kun muistaa (astetta sisältävistä toimista, kyllä...), että yhtenäisyys on minkä tahansa numero nollaan. Minkä tahansa. Mitä tahansa tarvitset, me laitamme sen. Tarvitsemme kaksi. Keinot:

Nyt siinä kaikki. Sain 2 juurta:

Tämä on vastaus.

klo ratkaisemaan eksponentiaaliyhtälöitä lopussa saadaan joskus hankala ilmaisu. Tyyppi:

Seitsemästä kakkonen yksinkertaiseen tutkintoon ei toimi. He eivät ole sukulaisia... Kuinka voin olla täällä? Joku voi olla hämmentynyt ... Mutta henkilö, joka luki tällä sivustolla aiheen "Mikä on logaritmi?" , hymyile vain säästeliäästi ja kirjoita lujalla kädellä täysin oikea vastaus:

Tällaista vastausta ei voi olla kokeen tehtävissä "B". Tarvitaan tietty numero. Mutta tehtävissä "C" - helposti.

Tämä oppitunti tarjoaa esimerkkejä yleisimpien eksponentiaalisten yhtälöiden ratkaisemisesta. Korostetaan tärkeintä.

Käytännön vinkkejä:

1. Ensinnäkin tarkastelemme perusteita astetta. Katsotaan, eivätkö ne onnistu sama. Yritetään tehdä tämä aktiivisesti käyttämällä tekoja, joilla on valtuuksia.Älä unohda, että myös numerot ilman x:ää voidaan muuttaa potenssiksi!

2. Pyrimme saamaan eksponentiaaliyhtälön muotoon, kun vasen ja oikea ovat sama numeroita missä tahansa määrin. Käytämme tekoja, joilla on valtuuksia ja faktorointi. Mitä voidaan laskea numeroina - me laskemme.

3. Jos toinen neuvo ei toiminut, yritämme soveltaa muuttujan substituutiota. Tuloksena voi olla yhtälö, joka on helposti ratkaistava. Useimmiten - neliö. Tai murtoluku, joka myös pienenee neliöön.

4. Jotta voisit ratkaista eksponentiaaliyhtälöitä onnistuneesti, sinun on tiedettävä joidenkin lukujen asteet "näön perusteella".

Kuten tavallista, oppitunnin lopussa sinua pyydetään ratkaisemaan vähän.) Itse. Yksinkertaisesta monimutkaiseen.

Ratkaise eksponentiaaliyhtälöt:

Vaikeampaa:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Etsi juurten tuote:

2 3-x + 2 x = 9

Tapahtui?

No sitten vaikein esimerkki(päätetty kuitenkin mielessä...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Mikä on mielenkiintoisempaa? Sitten tässä on sinulle huono esimerkki. Melko vetää lisääntyneestä vaikeudesta. Vihjaan, että tässä esimerkissä kekseliäisyys ja yleisin sääntö kaikkien matemaattisten tehtävien ratkaisemiseksi säästää.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Esimerkki on yksinkertaisempi, rentoutumista varten):

9 2 x - 4 3 x = 0

Ja jälkiruoaksi. Etsi yhtälön juurien summa:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Kyllä kyllä! Tämä on sekatyyppinen yhtälö! Mitä emme huomioineet tällä oppitunnilla. Ja mitä pitää ottaa huomioon, ne on ratkaistava!) Tämä oppitunti riittää ratkaisemaan yhtälön. No, kekseliäisyyttä tarvitaan ... Ja kyllä, seitsemäs luokka auttaa sinua (tämä on vihje!).

Vastaukset (sekaisin, puolipisteillä erotettuna):

yksi; 2; 3; neljä; ei ole ratkaisuja; 2; -2; -5; neljä; 0.

Onko kaikki onnistunut? Erinomainen.

On ongelma? Ei ongelmaa! Erikoisosiossa 555 kaikki nämä eksponentiaaliyhtälöt ratkaistaan yksityiskohtaiset selitykset. Mitä, miksi ja miksi. Ja tietysti on lisäarvokasta tietoa kaikenlaisten eksponentiaalisten yhtälöiden kanssa työskentelystä. Ei vain näillä.)

Viimeinen hauska kysymys pohdittavaksi. Tällä oppitunnilla työskentelimme eksponentiaaliyhtälöiden kanssa. Miksi en puhunut täällä sanaakaan ODZ:stä? Yhtälöissä tämä on muuten erittäin tärkeä asia...

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Lopputestauksen valmisteluvaiheessa lukiolaisten on parannettava tietojaan aiheesta "Eksponentiaaliyhtälöt". Viime vuosien kokemus osoittaa, että tällaiset tehtävät aiheuttavat koululaisille tiettyjä vaikeuksia. Siksi lukion opiskelijoiden on heidän valmistautumistasostaan ​​riippumatta hallittava huolellisesti teoria, opittava ulkoa kaavat ja ymmärrettävä tällaisten yhtälöiden ratkaisemisen periaate. Oppittuaan selviytymään tämän tyyppisistä tehtävistä, valmistuneet voivat luottaa korkeisiin pisteisiin läpäiseessään matematiikan kokeen.

Valmistaudu tenttitestiin yhdessä Shkolkovon kanssa!

Toistaessaan käsiteltyä materiaalia monet opiskelijat kohtaavat ongelman löytää yhtälöiden ratkaisemiseen tarvittavat kaavat. Kouluoppikirja ei ole aina käsillä, ja aiheeseen liittyvien tarvittavien tietojen valinta Internetissä kestää kauan.

Shkolkovon koulutusportaali kutsuu opiskelijoita käyttämään tietopohjaamme. Toteutamme täysin uusi menetelmä valmistautuminen viimeiseen kokeeseen. Sivustollamme opiskelemalla pystyt tunnistamaan tiedon puutteita ja kiinnittämään huomiota juuri niihin tehtäviin, jotka aiheuttavat eniten vaikeuksia.

"Shkolkovon" opettajat keräsivät, systemaattistivat ja esittelivät kaiken, mitä menestymiseen tarvitaan kokeen läpäiseminen materiaalia yksinkertaisimmassa ja helposti saatavilla olevassa muodossa.

Tärkeimmät määritelmät ja kaavat on esitetty "Teoreettinen viite" -osiossa.

Materiaalin paremman omaksumisen vuoksi suosittelemme, että harjoittelet tehtäviä. Tutustu huolellisesti tällä sivulla esitettyihin eksponentiaaliyhtälöihin ja ratkaisuihin, jotta ymmärrät laskenta-algoritmin. Jatka sen jälkeen "Katalogit"-osiossa olevia tehtäviä. Voit aloittaa helpoimmista tehtävistä tai siirtyä suoraan ratkaisemaan monimutkaisia ​​eksponentiaaliyhtälöitä, joissa on useita tuntemattomia tai . Verkkosivustomme harjoitustietokanta täydentyy ja päivitetään jatkuvasti.

Ne esimerkit indikaattoreineen, jotka aiheuttivat sinulle vaikeuksia, voidaan lisätä "Suosikkeihin". Voit löytää ne nopeasti ja keskustella ratkaisusta opettajan kanssa.

Läpäiseksesi kokeen onnistuneesti opiskele Shkolkovo-portaalissa joka päivä!