Laitteet:

• tietokone,
• multimediaprojektori,
• näyttö,
• Liite 1(diaesitys PowerPointissa) "Menetelmiä eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi"
• Liite 2(Ratkaisu yhtälölle, kuten "Kolme erilaista asteen kantaa" Wordissa)
• Liite 3(Word-moniste käytännön työhön).
• Liite 4(Word-moniste läksyjä varten).

Tuntien aikana

1. Organisaatiovaihe

• viesti oppitunnin aiheesta (kirjoitettu taululle),
• yleistävän oppitunnin tarve luokilla 10-11:

Vaihe, jossa opiskelijat valmistautuvat tiedon aktiiviseen assimilaatioon

Toisto

Määritelmä.

Eksponenttiyhtälö on yhtälö, jonka eksponentti sisältää muuttujan (opiskelija vastaa).

Opettajan huomautus. Eksponentiaaliyhtälöt kuuluvat transsendenttisten yhtälöiden luokkaan. Tämä vaikeasti lausuttava nimi viittaa siihen, että tällaisia ​​yhtälöitä ei yleisesti ottaen voida ratkaista kaavojen muodossa.

Ne voidaan ratkaista vain suunnilleen numeerisilla menetelmillä tietokoneissa. Mutta entä koekysymykset? Koko temppu on siinä, että tutkija muodostaa ongelman siten, että se vain hyväksyy analyyttisen ratkaisun. Toisin sanoen voit (ja pitäisi!) tehdä sellaisia ​​identtisiä muunnoksia, jotka pelkistävät annetun eksponentiaaliyhtälön yksinkertaisimpaan eksponentiaaliyhtälöön. Tämä on yksinkertaisin yhtälö ja sitä kutsutaan: yksinkertaisin eksponentiaalinen yhtälö. Se on ratkaistu logaritmi.

Tilanne eksponentiaaliyhtälön ratkaisulla muistuttaa matkaa sokkelon läpi, jonka ongelman laatija on erityisesti keksinyt. Näistä hyvin yleisistä näkökohdista seuraa melko konkreettisia suosituksia.

Jotta eksponentiaaliyhtälöt voidaan ratkaista onnistuneesti, sinun on:

1. Sen lisäksi, että tiedät aktiivisesti kaikki eksponentiaaliset identiteetit, vaan myös etsit muuttujan arvojoukkoja, joille nämä identiteetit määritellään, jotta näitä identiteettejä käytettäessä ei hankita tarpeettomia juuria, ja varsinkin, ei menetä yhtälön ratkaisuja.

2. Tunne aktiivisesti kaikki eksponentiaaliset identiteetit.

3. Selvästi, yksityiskohtaisesti ja virheettömästi, suorita yhtälöiden matemaattiset muunnokset (siirrä termit yhtälön yhdestä osasta toiseen, unohtamatta vaihtaa etumerkkiä, pienentää murto-osaa yhteiseksi nimittäjäksi jne.). Tätä kutsutaan matemaattiseksi kulttuuriksi. Samanaikaisesti itse laskelmat tulisi tehdä automaattisesti käsin, ja pään tulisi ajatella ratkaisun yleistä ohjauslankaa. Muutokset on tehtävä mahdollisimman huolellisesti ja yksityiskohtaisesti. Vain tämä takaa oikean ja virheettömän ratkaisun. Ja muista: pieni aritmeettinen virhe voi yksinkertaisesti luoda transsendenttisen yhtälön, jota ei periaatteessa voida ratkaista analyyttisesti. Kävi ilmi, että eksyit tiesi ja törmäsit labyrintin seinään.

4. Tunne ongelmien ratkaisumenetelmät (eli tiedä kaikki polut ratkaisun labyrintin läpi). Oikean suuntauksen saamiseksi kussakin vaiheessa sinun on (tietoisesti tai intuitiivisesti!):

• määritellä yhtälön tyyppi;
• muista vastaava tyyppi ratkaisumenetelmä tehtäviä.

Tutkittavan materiaalin yleistämisen ja systematisoinnin vaihe.

Opettaja suorittaa yhdessä opiskelijoiden kanssa tietokoneen avulla yleiskatsauksen kaikentyyppisistä eksponentiaaliyhtälöistä ja niiden ratkaisumenetelmistä sekä laatii yleiskaavion. (Käyttäen opetusohjelmaa tietokoneohjelma L.Ya. Borevsky "Matematiikan kurssi - 2000", PowerPoint-esityksen kirjoittaja - T.N. Kuptsov.)

Riisi. yksi. Kuvassa on yleinen kaavio kaikentyyppisistä eksponentiaalisista yhtälöistä.

Kuten tästä kaaviosta voidaan nähdä, strategia eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi on pelkistää tämä eksponentiaaliyhtälö yhtälöön, ensinnäkin, samoilla perusteilla , ja sitten - ja samoilla eksponenteilla.

Saatuaan yhtälön, jolla on samat kantat ja eksponentit, korvaat tämän asteen uudella muuttujalla ja saat yksinkertaisen algebrallisen yhtälön (yleensä rationaalisen tai toisen muuttujan murto-osa) suhteessa tähän uuteen muuttujaan.

Ratkaisemalla tämän yhtälön ja tekemällä käänteisen substituution saat joukon yksinkertaisia ​​eksponentiaaliyhtälöitä, jotka ratkaistaan yleisnäkymä käyttämällä logaritmeja.

Erottuvat yhtälöt, joissa esiintyy vain (yksityisten) voimien tuotteita. Eksponentiaalisten identiteettien avulla on mahdollista saattaa nämä yhtälöt välittömästi yhteen kantaan, erityisesti yksinkertaisimpaan eksponentiaaliyhtälöön.

Mieti, kuinka eksponentiaalinen yhtälö kolmella eri perusteilla astetta.

(Jos opettajalla on L. Ya. Borevskyn opetustietokoneohjelma "Matematiikan kurssi - 2000", niin luonnollisesti työskentelemme levyn kanssa, jos ei, voit tulostaa tämän tyyppisen yhtälön jokaiselle työpöydälle alla esitetyllä tavalla. .)

Riisi. 2. Yhtälön ratkaisusuunnitelma.

Riisi. 3. Yhtälön ratkaiseminen alkaa

Riisi. neljä. Yhtälön ratkaisun loppu.

Tekee käytännön töitä

Määritä yhtälön tyyppi ja ratkaise se.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Yhteenveto oppitunnista

Oppitunnin arvosteleminen.

oppitunnin loppu

Opettajan puolesta

Käytännön töiden vastauskaavio.

Harjoittele: valitse yhtälöluettelosta määritetyn tyyppiset yhtälöt (laita vastauksen numero taulukkoon):

1. Kolme erilaista pohjaa
2. Kaksi erilaista kantaa - eri eksponentit
3. Tehtyjen perusteet - yhden luvun potenssit
4. Samat perusteet, eri eksponentit
5. Samat eksponenttikannat - samat eksponentit
6. Voimien tuote
7. Kaksi eri asteikkoa - samat indikaattorit
8. Alkueläimet eksponentiaaliyhtälöt

1. (voimien tuote)

2. (samat kantakohdat - eri eksponentit)

Esimerkkejä:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Kuinka ratkaista eksponentiaaliyhtälöt

Kun ratkaisemme mitä tahansa eksponentiaaliyhtälöä, pyrimme saattamaan sen muotoon \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \) ja siirrymme sitten indikaattoreiden tasa-arvoon, eli:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Esimerkiksi:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Tärkeä! Saman logiikan perusteella tällaiselle siirtymiselle seuraa kaksi vaatimusta:
- numero sisään vasemman ja oikean tulee olla samat;
- asteiden vasemmalle ja oikealle on oltava "puhdasta", eli kerto- ja jakolaskuja ei saa olla yhtään.

Esimerkiksi:

Yhtälön saattamiseksi muotoon \(a^(f(x))=a^(g(x))\) ja niitä käytetään.

Esimerkki . Ratkaise eksponentiaaliyhtälö \(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Ratkaisu:

\(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Tiedämme, että \(27 = 3^3\). Tätä silmällä pitäen muunnamme yhtälön.
\(\sqrt(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Juuren \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) ominaisuudella saadaan, että \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Lisäksi käyttämällä asteominaisuutta \((a^b)^c=a^(bc)\, saamme \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( 3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Tiedämme myös, että \(a^b a^c=a^(b+c)\). Kun tätä käytetään vasemmalle puolelle, saadaan: \(3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Muista nyt, että: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Tätä kaavaa voidaan käyttää myös kääntöpuoli: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Sitten \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\)		Kun ominaisuus \((a^b)^c=a^(bc)\) käytetään oikealle puolelle, saadaan: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		Ja nyt meillä on emäkset yhtä suuret, eikä ole häiritseviä kertoimia jne. Joten voimme tehdä muutoksen.
		Esimerkki . Ratkaise eksponentiaaliyhtälö \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) Ratkaisu: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Jälleen käytämme asteominaisuutta \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) vastakkaiseen suuntaan. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Muista nyt, että \(4=2^2\). \((2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0\) Muunnamme asteen ominaisuuksien avulla: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2 (2^x)^2-5 2^x+2=0\) Katsomme yhtälöä huolellisesti ja huomaamme, että korvaus \(t=2^x\) ehdottaa itseään tässä. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Löysimme kuitenkin arvot \(t\), ja tarvitsemme \(x\). Palaamme X:ään tekemällä käänteinen vaihto. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Muunnamme toisen yhtälön ominaisuuden avulla negatiivinen aste… \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...ja ratkaise vastaukseen asti. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Vastaus : \(-1; 1\). Kysymys on edelleen - kuinka ymmärtää, milloin mitä menetelmää sovelletaan? Se tulee kokemuksen myötä. Sillä välin et ole ratkaissut sitä, käytä yleistä suositusta monimutkaisten ongelmien ratkaisemiseen - "jos et tiedä mitä tehdä - tee mitä voit." Eli etsi kuinka voit muuttaa yhtälön periaatteessa ja yritä tehdä se - entä jos se tulee ulos? Tärkeintä on tehdä vain matemaattisesti perusteltuja muunnoksia. eksponentiaaliyhtälöt ilman ratkaisuja Katsotaanpa vielä kahta tilannetta, jotka usein hämmentävät opiskelijoita: - potenssin positiivinen luku on nolla, esimerkiksi \(2^x=0\); - potenssiin positiivinen luku on yhtä suuri kuin negatiivinen luku, esimerkiksi \(2^x=-4\). Yritetään ratkaista se raa'alla voimalla. Jos x on positiivinen luku, niin x:n kasvaessa koko potenssi \(2^x\) vain kasvaa: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Myös mennyt. On negatiivisia x-merkkejä. Kun muistamme ominaisuuden \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\, tarkistamme: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Huolimatta siitä, että luku pienenee joka askeleella, se ei koskaan saavuta nollaa. Joten negatiivinen aste ei myöskään pelastanut meitä. Tulemme loogiseen johtopäätökseen: Positiivinen luku mihin tahansa potenssiin jää positiiviseksi luvuksi. Siten molemmilla yllä olevilla yhtälöillä ei ole ratkaisuja. eksponentiaaliyhtälöt eri kantajilla Käytännössä joskus on eksponentiaaliyhtälöitä, joilla on eri kanta, jotka eivät ole pelkistettävissä toisiinsa, ja samaan aikaan samoilla eksponenteilla. Ne näyttävät tältä: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), missä \(a\) ja \(b\) ovat positiivisia lukuja. Esimerkiksi: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Tällaiset yhtälöt voidaan helposti ratkaista jakamalla millä tahansa yhtälön osalla (yleensä jakamalla oikealla puolella, eli \ (b ^ (f (x)) \). Voit jakaa tällä tavalla, koska a positiivinen luku on positiivinen missä tahansa määrin (eli emme jaa nollalla.) Saamme: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Esimerkki . Ratkaise eksponentiaaliyhtälö \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Ratkaisu: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Tässä emme voi muuttaa viidestä kolmea tai päinvastoin (mukaan vähintään, ilman käyttöä). Joten emme voi tulla muotoon \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Samalla indikaattorit ovat samat. Jaetaan yhtälö oikealla puolella, eli \(3^(x+7)\) (voimme tehdä tämän, koska tiedämme, että kolmo ei ole nolla missään asteessa). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Muista nyt ominaisuus \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) ja käytä sitä vasemmalta päinvastaiseen suuntaan. Oikealla yksinkertaisesti pienennämme murto-osaa. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Se ei näyttänyt paranevan. Mutta muista asteen toinen ominaisuus: \(a^0=1\), toisin sanoen: "mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri kuin \(1\)". Päinvastoin on myös totta: "yksikkö voidaan esittää mikä tahansa luku, joka on korotettu nollan potenssiin." Käytämme tätä tekemällä oikeanpuoleisesta alustasta sama kuin vasemmanpuoleisen. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Pääsemme eroon perustuksista. Kirjoitamme vastauksen. Vastaus : \(-7\). Joskus eksponentien "samallisuus" ei ole ilmeinen, mutta asteen ominaisuuksien taitava käyttö ratkaisee tämän ongelman. Esimerkki . Ratkaise eksponentiaaliyhtälö \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Ratkaisu: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Yhtälö näyttää melko surulliselta... Sen lisäksi, että emäksiä ei voida pelkistää samaan määrään (seitsemän ei ole yhtä suuri kuin \(\frac(1)(3)\)), niin myös indikaattorit ovat erilaisia... Käytetään kuitenkin vasemman asteen kakkosen eksponenttia. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Pidä mielessä ominaisuus \((a^b)^c=a^(b c)\) , muunnos vasemmalla: \(7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Nyt, muistaen negatiivisen tehon ominaisuuden \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\, muunnamme oikealla: \((\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Halleluja! Pisteet ovat samat! Toimimalla meille jo tutun kaavan mukaan, päätämme ennen vastausta. Vastaus : \(2\).

Eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisu. Esimerkkejä.

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaali erityisosastossa 555.
Niille, jotka vahvasti "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Mitä eksponentiaalinen yhtälö? Tämä on yhtälö, jossa tuntemattomat (x) ja niitä sisältävät lausekkeet ovat sisällä indikaattoreita joitain asteita. Ja vain siellä! On tärkeää.

Siellähän sinä olet esimerkkejä eksponentiaalisista yhtälöistä:

3 x 2 x = 8 x + 3

Merkintä! Asteiden perusteissa (alla) - vain numeroita. AT indikaattoreita asteet (yllä) - laaja valikoima lausekkeita x:llä. Jos yhtälössä x ilmestyy yhtäkkiä muualle kuin indikaattoriin, esimerkiksi:

tämä on sekatyyppinen yhtälö. Tällaisilla yhtälöillä ei ole selkeitä ratkaisusääntöjä. Emme ota niitä toistaiseksi huomioon. Tässä käsitellään eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisu puhtaimmassa muodossaan.

Itse asiassa edes puhtaat eksponentiaaliyhtälöt eivät aina ole selkeästi ratkaistu. Mutta on olemassa tietyntyyppisiä eksponentiaaliyhtälöitä, jotka voidaan ja pitäisi ratkaista. Nämä ovat tyyppejä, joita tarkastelemme.

Yksinkertaisimpien eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisu.

Aloitetaan jostain hyvin perustavasta. Esimerkiksi:

Jopa ilman teoriaa, yksinkertaisella valinnalla on selvää, että x = 2. Ei muuta, eikö!? Mikään muu x-arvo ei rullaa. Ja nyt katsotaan tämän hankalan eksponentiaaliyhtälön ratkaisua:

Mitä me olemme tehneet? Itse asiassa, heitimme juuri pois samat pohjat (kolminkertaiset). Täysin ulos heitetty. Ja mikä miellyttää, osu merkiksi!

Todellakin, jos eksponentiaalisessa yhtälössä vasemmalla ja oikealla ovat sama numerot missä tahansa asteessa, nämä luvut voidaan poistaa ja ne ovat yhtä suuret eksponentit. Matematiikka sallii. On vielä ratkaistava paljon yksinkertaisempi yhtälö. Se on hyvä, eikö?)

Muistetaan kuitenkin ironisesti: voit irrottaa alustat vain, kun vasemmalla ja oikealla olevat kantanumerot ovat loistavasti erillään! Ilman naapureita ja kertoimia. Sanotaan yhtälöissä:

2 x +2 x + 1 = 2 3 tai

Tuplauksia ei voi poistaa!

No, olemme hallitseneet tärkeimmän. Kuinka siirtyä pahasta eksponentiaalisia lausekkeita yksinkertaisempiin yhtälöihin.

"Tässä ovat ne ajat!" - sinä sanot. "Kuka antaa noin alkeellisen kontrollin ja kokeiden!?"

Pakko suostua. Kukaan ei. Mutta nyt tiedät mihin mennä, kun ratkaiset hämmentäviä esimerkkejä. On tarpeen tuoda se mieleen, kun sama perusnumero on vasemmalla - oikealla. Sitten kaikki on helpompaa. Itse asiassa tämä on matematiikan klassikko. Otamme alkuperäisen esimerkin ja muunnamme sen halutuksi meille mieleen. Matematiikan sääntöjen mukaan tietysti.

Harkitse esimerkkejä, jotka vaativat lisäponnistusta, jotta ne saadaan yksinkertaisimmiksi. Soitetaan heille yksinkertaiset eksponentiaaliyhtälöt.

Yksinkertaisten eksponenttiyhtälöiden ratkaisu. Esimerkkejä.

Eksponentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa pääsäännöt ovat tekoja, joilla on valtuuksia. Ilman tietoa näistä toimista mikään ei toimi.

Tutkintotoimiin on lisättävä henkilökohtainen havainto ja kekseliäisyys. Me tarvitsemme samat numerot- perusteita? Joten etsimme niitä esimerkistä eksplisiittisessä tai salatussa muodossa.

Katsotaan kuinka tämä käytännössä tehdään?

Otetaanpa esimerkki:

2 2x - 8 x+1 = 0

Ensisilmäyksellä perusteilla. He... He ovat erilaisia! Kaksi ja kahdeksan. Mutta on liian aikaista lannistua. On aika muistaa se

Kaksi ja kahdeksan ovat asteittain sukulaisia.) On täysin mahdollista kirjoittaa:

8 x+1 = (2 3) x+1

Jos muistamme kaavan toimista, joilla on voimia:

(a n) m = a nm,

toimii yleensä hyvin:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)

Alkuperäinen esimerkki näyttää tältä:

2 2x - 2 3 (x+1) = 0

Siirrämme 2 3 (x+1) oikealle (kukaan ei peruuttanut matematiikan perustoimintoja!), saamme:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Siinä on käytännössä kaikki. Pohjien poistaminen:

Ratkaisemme tämän hirviön ja saamme

Tämä on oikea vastaus.

Tässä esimerkissä kahden voiman tunteminen auttoi meitä. Me tunnistettu kahdeksassa, salattu kakkonen. Tämä tekniikka (yhteisten emästen koodaus eri numeroilla) on erittäin suosittu temppu eksponentiaalisissa yhtälöissä! Kyllä, jopa logaritmeilla. On kyettävä tunnistamaan muiden lukujen potenssit numeroista. Tämä on erittäin tärkeää eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa.

Tosiasia on, että minkä tahansa luvun nostaminen mihin tahansa tehoon ei ole ongelma. Kerro, vaikka paperille, ja siinä kaikki. Esimerkiksi jokainen voi nostaa 3 viidenteen potenssiin. 243 selviää, jos tiedät kertotaulukon.) Mutta eksponentiaalisissa yhtälöissä paljon useammin ei tarvitse nostaa potenssiin, vaan päinvastoin ... mikä määrä missä määrin piiloutuu numeron 243 tai vaikkapa 343 taakse... Mikään laskin ei auta sinua tässä.

Sinun täytyy tietää joidenkin lukujen tehot silmämääräisesti, kyllä... Harjoitellaanko?

Selvitä, mitkä potenssit ja mitkä luvut ovat numeroita:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Vastaukset (tietysti sotkussa!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Jos katsot tarkasti, voit nähdä kummallisen tosiasian. Vastauksia on enemmän kuin kysymyksiä! No, se tapahtuu... Esimerkiksi 2 6 , 4 3 , 8 2 on kaikki 64.

Oletetaan, että olet huomioinut lukuihin tutustumista koskevat tiedot.) Muistutan, että eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen sovelletaan koko matemaattinen tietokanta. Mukaan lukien alemmista keskiluokista. Et mennyt suoraan lukioon, ethän?

Esimerkiksi eksponentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa yhteisen tekijän jättäminen suluista usein auttaa (hei arvosanalle 7!). Katsotaanpa esimerkkiä:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Ja jälleen ensimmäinen katse - tontilla! Tutkintojen perusteet ovat erilaisia ​​... Kolme ja yhdeksän. Ja haluamme niiden olevan samanlaisia. No, tässä tapauksessa halu on melko mahdollista!) Koska:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Samojen sääntöjen mukaan toimille, joilla on aste:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Hienoa, voit kirjoittaa:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Annoimme esimerkin samoista syistä. Eli mitä seuraavaksi!? Kolmea ei voi heittää ulos ... Umpikuja?

Ei lainkaan. Muista yleismaailmallisin ja voimakkain päätössääntö kaikki matemaattiset tehtävät:

Jos et tiedä mitä tehdä, tee mitä voit!

Katsot, kaikki muodostuu).

Mitä tässä eksponentiaalisessa yhtälössä on voi tehdä? Kyllä, vasen puoli pyytää suoraan sulkeita! Yhteinen kerroin 3 2x viittaa selvästi tähän. Kokeillaan ja sitten nähdään:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Esimerkki paranee koko ajan!

Muistamme, että emästen eliminoimiseksi tarvitsemme puhtaan asteen ilman kertoimia. Numero 70 häiritsee meitä. Joten jaamme yhtälön molemmat puolet luvulla 70, saamme:

Ap-pa! Kaikki on ollut hyvin!

Tämä on lopullinen vastaus.

Sattuu kuitenkin niin, että samoilla perusteilla ulosrullaus saadaan, mutta niiden selvitystilaan ei. Tämä tapahtuu toisen tyyppisissä eksponentiaalisissa yhtälöissä. Otetaan tämä tyyppi.

Muuttujan muutos eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa. Esimerkkejä.

Ratkaistaan ​​yhtälö:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Ensin - kuten tavallista. Jatketaan tukikohtaan. Kakkoselle.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Saamme yhtälön:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Ja tässä me roikkumme. Edelliset temput eivät toimi, vaikka kuinka käännät sen. Meidän on hankittava toisen tehokkaan ja monipuolisen tavan arsenaalista. Sitä kutsutaan muuttuva korvaus.

Menetelmän ydin on yllättävän yksinkertainen. Yhden monimutkaisen kuvakkeen (tapauksessamme 2 x) sijasta kirjoitamme toisen, yksinkertaisemman (esimerkiksi t). Tällainen näennäisesti merkityksetön korvaaminen johtaa uskomattomiin tuloksiin!) Kaikki vain tulee selväksi ja ymmärrettäväksi!

Joten anna

Sitten 2 2x \u003d 2 x 2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Korvaamme yhtälössämme kaikki potenssit x:illä t:llä:

No, valkenee?) Etkö ole vielä unohtanut toisen asteen yhtälöitä? Ratkaisemme diskriminantin kautta, saamme:

Tässä tärkeintä ei ole lopettaa, koska se tapahtuu ... Tämä ei ole vielä vastaus, tarvitsemme x:n, ei t:n. Palataan X:ihin, ts. vaihdon tekeminen. Ensin t1:lle:

Tuo on,

Yksi juuri löytyi. Etsimme toista, t 2:sta:

Hmm... Vasen 2 x Oikea 1... Koukku? Kyllä, ei ollenkaan! Riittää, kun muistaa (astetta sisältävistä toimista, kyllä...), että yhtenäisyys on minkä tahansa numero nollaan. Minkä tahansa. Mitä tahansa tarvitset, me laitamme sen. Tarvitsemme kaksi. Keinot:

Nyt siinä kaikki. Sain 2 juurta:

Tämä on vastaus.

klo ratkaisemaan eksponentiaaliyhtälöitä lopussa saadaan joskus hankala ilmaisu. Tyyppi:

Seitsemästä kakkonen yksinkertaiseen tutkintoon ei toimi. He eivät ole sukulaisia... Kuinka voin olla täällä? Joku voi olla hämmentynyt ... Mutta henkilö, joka luki tällä sivustolla aiheen "Mikä on logaritmi?" , hymyile vain säästeliäästi ja kirjoita lujalla kädellä täysin oikea vastaus:

Tällaista vastausta ei voi olla kokeen tehtävissä "B". Tarvitaan tietty numero. Mutta tehtävissä "C" - helposti.

Tämä oppitunti tarjoaa esimerkkejä yleisimpien eksponentiaalisten yhtälöiden ratkaisemisesta. Korostetaan tärkeintä.

Käytännön vinkkejä:

1. Ensinnäkin tarkastelemme perusteita astetta. Katsotaan, eivätkö ne onnistu sama. Yritetään tehdä tämä aktiivisesti käyttämällä tekoja, joilla on valtuuksia.Älä unohda, että myös numerot ilman x:ää voidaan muuttaa potenssiksi!

2. Pyrimme saamaan eksponentiaaliyhtälön muotoon, kun vasen ja oikea ovat sama numeroita missä tahansa määrin. Käytämme tekoja, joilla on valtuuksia ja faktorointi. Mitä voidaan laskea numeroina - me laskemme.

3. Jos toinen neuvo ei toiminut, yritämme soveltaa muuttujan substituutiota. Tuloksena voi olla yhtälö, joka on helposti ratkaistava. Useimmiten - neliö. Tai murtoluku, joka myös pienenee neliöön.

4. Jotta voisit ratkaista eksponentiaaliyhtälöitä onnistuneesti, sinun on tiedettävä joidenkin lukujen asteet "näön perusteella".

Kuten tavallista, oppitunnin lopussa sinua pyydetään ratkaisemaan vähän.) Itse. Yksinkertaisesta monimutkaiseen.

Ratkaise eksponentiaaliyhtälöt:

Vaikeampaa:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Etsi juurten tuote:

2 3-x + 2 x = 9

Tapahtui?

No sitten vaikein esimerkki(päätetty kuitenkin mielessä...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Mikä on mielenkiintoisempaa? Sitten tässä on sinulle huono esimerkki. Melko vetää lisääntyneestä vaikeudesta. Vihjaan, että tässä esimerkissä kekseliäisyys ja yleisin sääntö kaikkien matemaattisten tehtävien ratkaisemiseksi säästää.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Esimerkki on yksinkertaisempi, rentoutumista varten):

9 2 x - 4 3 x = 0

Ja jälkiruoaksi. Etsi yhtälön juurien summa:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Kyllä kyllä! Tämä on sekatyyppinen yhtälö! Mitä emme huomioineet tällä oppitunnilla. Ja mitä pitää ottaa huomioon, ne on ratkaistava!) Tämä oppitunti riittää ratkaisemaan yhtälön. No, kekseliäisyyttä tarvitaan ... Ja kyllä, seitsemäs luokka auttaa sinua (tämä on vihje!).

Vastaukset (sekaisin, puolipisteillä erotettuna):

yksi; 2; 3; neljä; ei ole ratkaisuja; 2; -2; -5; neljä; 0.

Onko kaikki onnistunut? Erinomainen.

On ongelma? Ei ongelmaa! Erikoisosiossa 555 kaikki nämä eksponentiaaliyhtälöt ratkaistaan yksityiskohtaiset selitykset. Mitä, miksi ja miksi. Ja tietysti on lisäarvokasta tietoa kaikenlaisten eksponentiaalisten yhtälöiden kanssa työskentelystä. Ei vain näillä.)

Viimeinen hauska kysymys pohdittavaksi. Tällä oppitunnilla työskentelimme eksponentiaaliyhtälöiden kanssa. Miksi en puhunut täällä sanaakaan ODZ:stä? Yhtälöissä tämä on muuten erittäin tärkeä asia...

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Tässä artikkelissa tutustut kaikkiin tyyppeihin eksponentiaaliyhtälöt ja algoritmit niiden ratkaisemiseen, oppia tunnistamaan minkä tyyppinen eksponentiaalinen yhtälö, joka sinun on ratkaistava, ja käytä asianmukaista menetelmää sen ratkaisemiseksi. Yksityiskohtainen esimerkkiratkaisu eksponentiaaliyhtälöt kunkin tyypin voit nähdä vastaavissa VIDEO-OHJEET.

Eksponenttiyhtälö on yhtälö, jonka eksponenttiin sisältyy tuntematon.

Ennen kuin aloitat eksponentiaaliyhtälön ratkaisemisen, on hyödyllistä tehdä muutama alustava toimenpide , mikä voi helpottaa huomattavasti sen ratkaisua. Nämä ovat toimet:

1. Kerroin kaikki potenssien kantaluvut alkutekijöiksi.

2. Esitä juuret asteena.

3. Desimaalit edustaa tavallisen muodossa.

4. sekalaisia ​​numeroita kirjoittaa virheellisinä murtolukuina.

Ymmärrät näiden toimien edut yhtälöiden ratkaisuprosessissa.

Harkitse päätyyppejä eksponentiaaliyhtälöt ja niiden ratkaisun algoritmit.

1. Tyyppiyhtälö

Tämä yhtälö vastaa yhtälöä

Katso tämä VIDEO ratkaistaksesi yhtälön tämän tyyppistä.

2. Tyyppiyhtälö

Tämän tyyppisissä yhtälöissä:

b) eksponentin tuntemattoman kertoimet ovat yhtä suuret.

Tämän yhtälön ratkaisemiseksi sinun on suljettava kerroin pienimpään asteeseen.

Esimerkki tämän tyyppisen yhtälön ratkaisemisesta:

katso VIDEO.

3. Tyyppiyhtälö

Tämäntyyppiset yhtälöt eroavat siinä

a) kaikilla asteilla on sama kanta

b) eksponentin tuntemattoman kertoimet ovat erilaisia.

Tämän tyyppiset yhtälöt ratkaistaan ​​muuttujien muutoksilla. Ennen korvauksen käyttöönottoa on toivottavaa päästä eroon eksponentin ilmaisista ehdoista. (, , jne)

Katso VIDEOsta tämän tyyppisen yhtälön ratkaisu:

4. Homogeeniset yhtälöt ystävällinen

Homogeenisten yhtälöiden erityispiirteet:

a) kaikilla monomieilla on sama aste,

b) vapaa termi on nolla,

c) yhtälö sisältää potenssit kahdella eri kantalla.

Homogeeniset yhtälöt ratkaistaan ​​samanlaisella algoritmilla.

Tämän tyyppisen yhtälön ratkaisemiseksi jaa yhtälön molemmat puolet arvolla (voidaan jakaa arvolla tai arvolla )

Huomio! Kun jaat yhtälön oikean ja vasemman puolen lausekkeella, joka sisältää tuntemattoman, voit menettää juuret. Siksi on tarpeen tarkistaa, ovatko lausekkeen juuret, joilla jaamme molemmat yhtälön osat, alkuperäisen yhtälön juuria.

Meidän tapauksessamme, koska lauseke ei ole yhtä suuri kuin nolla millekään tuntemattoman arvolle, voimme jakaa sillä ilman pelkoa. Jaamme yhtälön vasemman puolen tällä lausekkeella termillä. Saamme:

Pienennä toisen ja kolmannen murtoluvun osoittajaa ja nimittäjää:

Esittelemme korvaavan:

Ja title="(!LANG:t>0">при всех допустимых значениях неизвестного.!}

Saada toisen asteen yhtälö:

Ratkaise toisen asteen yhtälö, etsi arvot, jotka täyttävät ehdon title="(!LANG:t>0">, а затем вернемся к исходному неизвестному.!}

Katso VIDEOsta yksityiskohtainen ratkaisu homogeeninen yhtälö:

5. Tyyppiyhtälö

Tätä yhtälöä ratkaiseessa lähdetään siitä, että title="(!LANG:f(x)>0">!}

Alkuperäinen tasa-arvo pätee kahdessa tapauksessa:

1. Jos , koska 1 on yhtä suuri kuin 1 mihin tahansa potenssiin,

2. Kahdella ehdolla:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matriisi(2)(1)((f(x)>0) (g(x)=h(x)) (x-8y+9z=0))) ( )">!}

Katso VIDEO nähdäksesi yhtälön yksityiskohtainen ratkaisu

Sivustomme youtube-kanavalle, jotta olet tietoinen kaikista uusista videotunneista.

Aluksi muistetaan asteiden peruskaavat ja niiden ominaisuudet.

Numeron tulo a tapahtuu itsestään n kertaa, voimme kirjoittaa tämän lausekkeen muodossa a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Teho- tai eksponentiaaliyhtälöt- nämä ovat yhtälöitä, joissa muuttujat ovat potenssiina (tai eksponenteina) ja kanta on luku.

Esimerkkejä eksponentiaalisista yhtälöistä:

AT tämä esimerkki numero 6 on kanta, se on aina alareunassa ja muuttuja x aste tai mitta.

Annetaan lisää esimerkkejä eksponentiaalisista yhtälöistä.
2 x *5=10
16x-4x-6 = 0

Katsotaanpa nyt kuinka eksponentiaaliyhtälöt ratkaistaan?

Otetaan yksinkertainen yhtälö:

2 x = 2 3

Tällainen esimerkki voidaan ratkaista jopa mielessä. Voidaan nähdä, että x=3. Loppujen lopuksi, jotta vasen ja oikea puoli olisivat yhtä suuret, sinun on asetettava numero 3 x:n sijaan.
Katsotaan nyt, miten tämä päätös pitäisi tehdä:

2 x = 2 3
x = 3

Tämän yhtälön ratkaisemiseksi poistimme samoilla perusteilla(eli kakkosia) ja kirjoitti muistiin, mitä oli jäljellä, nämä ovat asteita. Saimme vastauksen, jota etsimme.

Tehdään nyt yhteenveto ratkaisustamme.

Algoritmi eksponentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi:
1. Tarkasta sama ovatko yhtälön perusteet oikealla ja vasemmalla. Jos perusteet eivät ole samat, etsimme vaihtoehtoja tämän esimerkin ratkaisemiseksi.
2. Kun pohjat ovat samat, rinnastaa aste ja ratkaise tuloksena oleva uusi yhtälö.

Ratkaistaan ​​nyt joitain esimerkkejä:

Aloitetaan yksinkertaisesta.

Vasemmalla ja oikealla puolella olevat kantat ovat yhtä suuria kuin luku 2, mikä tarkoittaa, että voimme hylätä kannan ja rinnastaa niiden asteet.

x+2=4 Yksinkertaisin yhtälö on selvinnyt.
x = 4 - 2
x=2
Vastaus: x = 2

Seuraavassa esimerkissä voit nähdä, että kannat ovat erilaisia, nämä ovat 3 ja 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Aluksi siirrämme yhdeksän oikealle puolelle, saamme:

Nyt sinun on tehtävä samat pohjat. Tiedämme, että 9 = 3 2 . Käytetään tehokaavaa (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Saamme 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 nyt on selvää, että vasemmalla ja oikealla puolella olevat kantat ovat samat ja yhtä suuret kuin kolme, mikä tarkoittaa, että voimme hylätä ne ja rinnastaa asteet.

3x=2x+16 sai yksinkertaisimman yhtälön
3x-2x=16
x = 16
Vastaus: x = 16.

Katsotaanpa seuraavaa esimerkkiä:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Ensinnäkin tarkastelemme pohjaa, pohjat ovat erilaisia ​​kaksi ja neljä. Ja meidän on oltava samanlaisia. Muunnamme nelinkertaisen kaavan (a n) m = a nm mukaan.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Ja käytämme myös yhtä kaavaa a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Lisää yhtälöön:

2 2 x 2 4 - 10 2 2 x = 24

Annoimme esimerkin samoista syistä. Mutta muut numerot 10 ja 24 häiritsevät meitä. Mitä niille tehdä? Jos katsot tarkasti, voit nähdä, että vasemmalla puolella toistamme 2 2x, tässä on vastaus - voimme laittaa 2 2x suluista:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Lasketaan suluissa oleva lauseke:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Jaamme koko yhtälön kuudella:

Kuvittele 4 = 2 2:

2 2x \u003d 2 2 kantaa ovat samat, hylkää ne ja vertaa asteet.
2x \u003d 2 osoittautui yksinkertaisimmaksi yhtälöksi. Jaamme sen kahdella, saamme
x = 1
Vastaus: x = 1.

Ratkaistaan ​​yhtälö:

9 x - 12*3 x +27 = 0

Muunnetaan:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Saamme yhtälön:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Kantamme ovat samat, yhtä kuin kolme. Tässä esimerkissä on selvää, että ensimmäisellä kolmiolla on aste kaksi kertaa (2x) kuin toisella (vain x). Tässä tapauksessa voit päättää korvausmenetelmä. Pienimmän asteen omaava numero korvataan seuraavalla:

Sitten 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Korvaamme kaikki asteet x:illä yhtälössä t:llä:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Saamme toisen asteen yhtälön. Ratkaisemme diskriminantin kautta, saamme:
D = 144-108 = 36
t1 = 9
t2 = 3

Takaisin muuttujaan x.

Otamme t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Tuo on,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Yksi juuri löytyi. Etsimme toista, t 2:sta:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Vastaus: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Sivuston osiossa AUTTA PÄÄTTÄMÄÄN voit kysyä kiinnostavia kysymyksiä, vastaamme sinulle varmasti.

Liity ryhmään