Edellyttää trigonometrian peruskaavojen tuntemista - sinin ja kosinin neliöiden summaa, tangentin ilmaisua sinin ja kosinin kautta ja muita. Niille, jotka ovat unohtaneet tai eivät tiedä niitä, suosittelemme lukemaan artikkelin "".
Pääasia siis trigonometriset kaavat tiedämme, että on aika panna ne käytäntöön. Ratkaisu trigonometriset yhtälöt Oikealla lähestymistavalla se on aika jännittävää toimintaa, kuten esimerkiksi Rubikin kuution ratkaiseminen.

Itse nimen perusteella on selvää, että trigonometrinen yhtälö on yhtälö, jossa tuntematon on trigonometrisen funktion merkin alla.
On olemassa niin sanottuja yksinkertaisia ​​trigonometrisiä yhtälöitä. Tältä ne näyttävät: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Harkitse, kuinka ratkaista tällaiset trigonometriset yhtälöt, selvyyden vuoksi käytämme jo tuttua trigonometristä ympyrää.

sinx = a

cos x = a

rusketus x = a

pinnasänky x = a

Mikä tahansa trigonometrinen yhtälö ratkaistaan ​​kahdessa vaiheessa: saamme yhtälön yksinkertaisimpaan muotoon ja ratkaisemme sen sitten yksinkertaisimpana trigonometrisenä yhtälönä.
On 7 päämenetelmää, joilla trigonometriset yhtälöt ratkaistaan.

1. Muuttujan substituutio ja korvausmenetelmä

Ratkaise yhtälö 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

Pelkistyskaavojen avulla saamme:

2cos 2 (x + /6) – 3cos (x + /6) +1 = 0

Korvataan cos(x + /6) y:llä yksinkertaisuuden vuoksi ja saadaan tavallinen toisen asteen yhtälö:

2v 2 – 3v + 1 + 0

Joiden juuret y 1 = 1, y 2 = 1/2

Nyt mennään taaksepäin

Korvaamme y:n löydetyt arvot ja saamme kaksi vastausta:

2. Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen tekijöiden jakamisen avulla

Miten ratkaistaan ​​yhtälö sin x + cos x = 1?

Siirretään kaikki vasemmalle niin, että 0 jää oikealle:

sin x + cos x - 1 = 0

Käytämme yllä olevia identiteettejä yhtälön yksinkertaistamiseksi:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Tehdään faktorointi:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Saamme kaksi yhtälöä

3. Pelkistys homogeeniseksi yhtälöksi

Yhtälö on homogeeninen sinin ja kosinin suhteen, jos kaikki sen sinin ja kosinin termit ovat saman kulman asteisia. Homogeenisen yhtälön ratkaisemiseksi toimi seuraavasti:

a) siirtää kaikki jäsenensä vasemmalle puolelle;

b) laita kaikki yleiset tekijät pois suluista;

c) samastaa kaikki tekijät ja sulut nollaan;

d) suluissa saadaan pienemmän asteen homogeeninen yhtälö, joka puolestaan ​​jaetaan sinillä tai kosinilla korkeampaan asteeseen;

e) ratkaise tuloksena oleva yhtälö tg:lle.

Ratkaise yhtälö 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Käytetään kaavaa sin 2 x + cos 2 x = 1 ja päästään eroon oikeasta avoimesta kahdesta:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Jaa cosx:lla:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Korvaamme tg x:n y:llä ja saamme toisen asteen yhtälön:

y 2 + 4y +3 = 0 jonka juuret ovat y 1 =1, y 2 = 3

Täältä löydämme kaksi ratkaisua alkuperäiseen yhtälöön:

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. Yhtälöiden ratkaiseminen puolikulmaan siirtymisen kautta

Ratkaise yhtälö 3sin x - 5cos x = 7

Siirrytään kohtaan x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Kaiken siirtäminen vasemmalle:

2sin 2 (x/2) - 6sin (x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Jaa cos:lla (x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Apukulman esittely

Otetaan pohdittavaksi yhtälö muotoa: a sin x + b cos x \u003d c,

missä a, b, c ovat mielivaltaisia ​​kertoimia ja x on tuntematon.

Jaa yhtälön molemmat puolet:



Nyt yhtälön kertoimilla on trigonometristen kaavojen mukaan sinin ja cosin ominaisuudet, nimittäin: niiden moduuli ei ole suurempi kuin 1 ja neliöiden summa = 1. Merkitään ne vastaavasti cos ja sin, missä on so - kutsutaan apukulmaksi. Sitten yhtälö saa muodon:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

tai sin(x + ) = C

Ratkaisu tähän yksinkertaiseen trigonometriseen yhtälöön on

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, missä



On huomattava, että nimitykset cos ja sin ovat keskenään vaihdettavissa.

Ratkaise yhtälö sin 3x - cos 3x = 1

Tässä yhtälössä kertoimet ovat:

a \u003d, b \u003d -1, joten jaamme molemmat osat \u003d 2:lla

Yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt ratkaistaan ​​yleensä kaavoilla. Haluan muistuttaa, että seuraavia trigonometrisiä yhtälöitä kutsutaan yksinkertaisimmiksi:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x on löydettävä kulma,
a on mikä tahansa luku.

Ja tässä ovat kaavat, joilla voit heti kirjoittaa näiden yksinkertaisimpien yhtälöiden ratkaisut muistiin.

Sinulle:

Kosinille:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Tangentille:

x = arctg a + π n, n ∈ Z

Kotangentille:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

Itse asiassa tämä on yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisen teoreettinen osa. Ja koko!) Ei mitään. Kuitenkin tämän aiheen virheiden määrä vain pyörii. Varsinkin, jos esimerkki hieman poikkeaa mallista. Miksi?

Kyllä, koska monet ihmiset kirjoittavat näitä kirjeitä, ymmärtämättä niiden merkitystä ollenkaan! Peloissaan hän kirjoittaa muistiin, tapahtuipa jotain kuinka tahansa...) Tämä on selvitettävä. Trigonometria ihmisille tai ihmiset trigonometrialle!?)

Otetaanpa selvää?

Yksi kulma on yhtä suuri kuin arccos a, toinen: -arccos a.

Ja niin se tulee aina toimimaan. Mille tahansa a.

Jos et usko minua, vie hiiri kuvan päälle tai kosketa kuvaa tabletissa.) Vaihdoin numeroa a joillekin negatiivisille. Joka tapauksessa, meillä on yksi kulma arccos a, toinen: -arccos a.

Siksi vastaus voidaan aina kirjoittaa kahdeksi juurisarjaksi:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Yhdistämme nämä kaksi sarjaa yhdeksi:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Ja kaikki asiat. Olemme saaneet yleisen kaavan yksinkertaisimman trigonometrisen yhtälön ratkaisemiseksi kosinilla.

Jos ymmärrät, että tämä ei ole jonkinlaista supertieteellistä viisautta, vaan vain lyhennetty tietue kahdesta vastaussarjasta, sinä ja tehtävät "C" ovat olkapäällä. Epäyhtälöillä, juurien valinnalla tietystä intervallista ... Siellä vastaus plus/miinus ei rullaa. Ja jos käsittelet vastausta asiallisesti ja jaat sen kahdeksi erilliseksi vastaukseksi, kaikki on ratkaistu.) Itse asiassa ymmärrämme tämän. Mitä, miten ja missä.

Yksinkertaisimmassa trigonometrisessa yhtälössä

sinx = a

saada myös kaksi sarjaa juuria. On aina. Ja nämä kaksi sarjaa voidaan myös äänittää yksi linja. Vain tämä rivi on älykkäämpi:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Mutta olemus pysyy samana. Matemaatikot yksinkertaisesti rakensivat kaavan tehdäkseen yhden sijasta kahden juurisarjan tietueen. Ja siinä se!

Tarkastetaanko matemaatikot? Eikä se riitä...)

Edellisellä oppitunnilla analysoitiin yksityiskohtaisesti trigonometrisen yhtälön ratkaisu (ilman kaavoja) sinillä:

Vastaus osoittautui kahdeksi juurisarjaksi:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Jos ratkaisemme saman yhtälön kaavalla, saamme vastauksen:

x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

Itse asiassa tämä on puolivalmis vastaus.) Opiskelijan on tiedettävä se arcsin 0,5 = π /6. Täydellinen vastaus olisi:

x = (-1) n π /6+ πn, n ∈ Z

Tässä syntyy kiinnostusta Kysy. Vastaa kautta x 1; x 2 (tämä on oikea vastaus!) ja yksinäisten kautta X (ja tämä on oikea vastaus!) - sama asia vai ei? Otetaan nyt selvää.)

Korvaa vastauksena x 1 arvot n =0; yksi; 2; jne., katsomme, saamme sarjan juuria:

x 1 \u003d π / 6; 13π/6; 25π/6 ja niin edelleen.

Samalla korvauksella vastauksena x 2 , saamme:

x 2 \u003d 5π / 6; 17π/6; 29π/6 ja niin edelleen.

Ja nyt korvaamme arvot n (0; 1; 2; 3; 4...) yksinäisten yleiseen kaavaan X . Eli nostetaan miinus yksi nollatehoon, sitten ensimmäiseen, toiseen ja niin edelleen. Ja tietysti korvaamme 0:n toiseen termiin; yksi; 2 3; 4 jne. Ja me ajattelemme. Saamme sarjan:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 ja niin edelleen.

Siinä on kaikki, mitä näet.) Yleinen kaava antaa meille täsmälleen samat tulokset jotka ovat kaksi vastausta erikseen. Kaikki kerralla, järjestyksessä. Matemaatikko ei pettänyt.)

Kaavat trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi tangentin ja kotangentin kanssa voidaan myös tarkistaa. Mutta ei.) Ne ovat niin vaatimattomia.

Maalasin kaiken tämän korvaamisen ja todentamisen tarkoituksella. Tässä on tärkeää ymmärtää yksi yksinkertainen asia: perustrigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen on kaavoja, vain, lyhyt sisäänkäynti vastauksia. Tämän lyhyyden vuoksi minun piti lisätä plus/miinus kosiniratkaisuun ja (-1) n siniratkaisuun.

Nämä lisäykset eivät millään tavalla häiritse tehtäviä, joissa sinun tarvitsee vain kirjoittaa vastaus alkeisyhtälöön. Mutta jos sinun on ratkaistava epätasa-arvo tai sitten sinun on tehtävä jotain vastauksella: valitse juuret väliltä, ​​tarkista ODZ jne., nämä lisäykset voivat helposti häiritä ihmistä.

Ja mitä tehdä? Kyllä, joko maalaa vastaus kahdessa sarjassa tai ratkaise yhtälö / epäyhtälö trigonometrisessa ympyrässä. Sitten nämä lisäkkeet katoavat ja elämästä tulee helpompaa.)

Voit tiivistää.

Yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi on olemassa valmiita vastauskaavoja. Neljä kappaletta. Ne sopivat yhtälön ratkaisun kirjoittamiseen välittömästi. Esimerkiksi sinun on ratkaistava yhtälöt:

sinx = 0,3

Helposti: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Ei ongelmaa: x = ± kaaret 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Helposti: x = arctg 1,2 + πn, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Yksi jäljellä: x= arcctg3,7 + πn, n ∈ Z

cos x = 1,8

Jos sinä loistat tiedosta, kirjoitat vastauksen välittömästi:

x= ± kaaret 1,8 + 2π n, n ∈ Z

silloin sinä loistat jo, tämä ... tuo ... lätäköstä.) Oikea vastaus on: ei ole ratkaisuja. Etkö ymmärrä miksi? Lue mikä on arkosiini. Lisäksi, jos alkuperäisen yhtälön oikealla puolella on taulukkoarvot sinistä, kosinista, tangentista, kotangentista, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 jne. - vastaus holvien läpi jää kesken. Kaaret on muutettava radiaaneiksi.

Ja jos olet jo törmännyt epätasa-arvoon, esim

niin vastaus on:

x πn, n ∈ Z

on harvinainen hölynpöly, kyllä ​​...) Tässä on tarpeen päättää trigonometrisesta ympyrästä. Mitä teemme vastaavassa aiheessa.

Niille, jotka lukevat sankarillisesti näitä rivejä. En voi muuta kuin arvostaa titaanisia ponnistelujasi. sinulle bonus.)

Bonus:

Kun kirjoitat kaavoja ahdistuneessa taistelutilanteessa, paatuneetkin nörtit usein hämmentyvät missä pn, Ja missä 2πn. Tässä on sinulle yksinkertainen temppu. Sisään kaikki kaavat pn. Paitsi ainoa kaava, jossa on kaarikosinin. Se seisoo siellä 2πn. Kaksi pien. Avainsana - kaksi. Samassa kaavassa ovat kaksi merkki alussa. Plussaa ja miinusta. Sinne tänne - kaksi.

Jos siis kirjoitit kaksi merkki kaarikosinin edessä, on helpompi muistaa mitä lopussa tapahtuu kaksi pien. Ja päinvastoin tapahtuu. Ohita miesmerkki ± , mene loppuun, kirjoita oikein kaksi pientä, kyllä, ja ota kiinni. Jotain edellä kaksi merkki! Henkilö palaa alkuun, mutta hän korjaa virheen! Kuten tämä.)

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Oppitunti ja esitys aiheesta: "Yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisu"

Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommentteja, palautetta, ehdotuksia! Kaikki materiaalit tarkistetaan virustorjuntaohjelmalla.

Ohjekirjat ja simulaattorit verkkokaupassa "Integral" luokalle 10 alkaen 1C
Ratkaisemme geometrian tehtäviä. Interaktiivisia tehtäviä avaruudessa rakentamiseen
Ohjelmistoympäristö "1C: Mathematical constructor 6.1"

Mitä opiskelemme:
1. Mitä ovat trigonometriset yhtälöt?

3. Kaksi päämenetelmää trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi.
4. Homogeeniset trigonometriset yhtälöt.
5. Esimerkkejä.

Mitä ovat trigonometriset yhtälöt?

Kaverit, olemme jo tutkineet arkosiinia, arkosiinia, arctangenttia ja arkotangenttia. Katsotaanpa nyt trigonometrisiä yhtälöitä yleisesti.

Trigonometriset yhtälöt - yhtälöt, joissa muuttuja on trigonometrisen funktion merkin alla.

Toistamme yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisumuodon:

1) Jos |а|≤ 1, niin yhtälöllä cos(x) = a on ratkaisu:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Jos |а|≤ 1, niin yhtälöllä sin(x) = a on ratkaisu:

3) Jos |a| > 1, niin yhtälöllä sin(x) = a ja cos(x) = a ei ole ratkaisuja 4) Yhtälöllä tg(x)=a on ratkaisu: x=arctg(a)+ πk

5) Yhtälöllä ctg(x)=a on ratkaisu: x=arcctg(a)+ πk

Kaikissa kaavoissa k on kokonaisluku

Yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt ovat muotoa: Т(kx+m)=a, T- mikä tahansa trigonometrinen funktio.

Esimerkki.

Ratkaise yhtälöt: a) sin(3x)= √3/2

Ratkaisu:

A) Merkitään 3x=t, niin kirjoitetaan yhtälömme muotoon:

Tämän yhtälön ratkaisu on: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Arvotaulukosta saamme: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Palataan muuttujaamme: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Sitten x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Vastaus: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, missä n on kokonaisluku. (-1)^n - miinus yksi n:n potenssiin.

Lisää esimerkkejä trigonometrisista yhtälöistä.

Ratkaise yhtälöt: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Ratkaisu:

A) Tällä kertaa mennään suoraan yhtälön juurien laskemiseen:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Sitten x/5= πk => x=5πk

Vastaus: x=5πk, missä k on kokonaisluku.

B) Kirjoitetaan muodossa: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Tiedämme, että arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Vastaus: x=2π/9 + πk/3, missä k on kokonaisluku.

Ratkaise yhtälöt: cos(4x)= √2/2. Ja etsi segmentin kaikki juuret.

Ratkaisu:

Päätämme sisään yleisnäkymä yhtälömme: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x = ± π/4 + 2πk;

X = ± π/16+ πk/2;

Katsotaan nyt, mitkä juuret osuvat segmentillemme. Jos k Kun k=0, x= π/16, olemme annetussa segmentissä .
Kun k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, he osuvat uudelleen.
Jos k=2, x= π/16+ π=17π/16, mutta tässä emme osuneet, mikä tarkoittaa, että emme osu myöskään suurella k:llä.

Vastaus: x= π/16, x= 9π/16

Kaksi pääasiallista ratkaisutapaa.

Olemme tarkastelleet yksinkertaisimpia trigonometrisiä yhtälöitä, mutta on myös monimutkaisempia. Niiden ratkaisemiseksi käytetään uuden muuttujan käyttöönoton menetelmää ja tekijöiden jakamista. Katsotaanpa esimerkkejä.

Ratkaistaan ​​yhtälö:

Ratkaisu:
Yhtälömme ratkaisemiseksi käytämme menetelmää ottaa käyttöön uusi muuttuja, jota merkitään: t=tg(x).

Korvauksen tuloksena saamme: t 2 + 2t -1 = 0

Etsi toisen asteen yhtälön juuret: t=-1 ja t=1/3

Sitten tg(x)=-1 ja tg(x)=1/3, saatiin yksinkertaisin trigonometrinen yhtälö, etsitään sen juuret.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Vastaus: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Esimerkki yhtälön ratkaisemisesta

Ratkaise yhtälöt: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Ratkaisu:

Käytetään identiteettiä: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Yhtälöstämme tulee: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Otetaan käyttöön korvaus t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Neliöyhtälömme ratkaisut ovat juuret: t=2 ja t=-1/2

Sitten cos(x)=2 ja cos(x)=-1/2.

Koska kosini ei voi ottaa yhtä suurempia arvoja, jolloin cos(x)=2:lla ei ole juuria.

Jos cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Vastaus: x= ±2π/3 + 2πk

Homogeeniset trigonometriset yhtälöt.

Määritelmä: Yhtälöä, jonka muoto on a sin(x)+b cos(x), kutsutaan ensimmäisen asteen homogeenisiksi trigonometrisiksi yhtälöiksi.

Muodon yhtälöt

toisen asteen homogeeniset trigonometriset yhtälöt.

Ensimmäisen asteen homogeenisen trigonometrisen yhtälön ratkaisemiseksi jaamme sen cos(x:lla): On mahdotonta jakaa kosinilla, jos se on nolla, varmistamme, että näin ei ole:
Olkoon cos(x)=0, sitten asin(x)+0=0 => sin(x)=0, mutta sini ja kosini eivät ole yhtä aikaa nolla, saimme ristiriidan, joten voimme turvallisesti jakaa nollalla.

Ratkaise yhtälö:
Esimerkki: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Ratkaisu:

Ota pois yhteinen tekijä: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Sitten meidän on ratkaistava kaksi yhtälöä:

cos(x)=0 ja cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0, kun x= π/2 + πk;

Tarkastellaan yhtälöä cos(x)+sin(x)=0 Jaa yhtälömme cos(x):lla:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Vastaus: x= π/2 + πk ja x= -π/4+πk

Kuinka ratkaista toisen asteen homogeeniset trigonometriset yhtälöt?
Kaverit, noudata näitä sääntöjä aina!

1. Katso mikä kerroin a on yhtä suuri, jos a \u003d 0, yhtälömme on muotoa cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), jonka ratkaisun esimerkki on edellisessä liukumäki

2. Jos a≠0, sinun on jaettava yhtälön molemmat osat kosinin neliöllä, saamme:

Teemme muuttujan t=tg(x) muutoksen, jolloin saadaan yhtälö:

Ratkaise esimerkki #:3

Ratkaise yhtälö:
Ratkaisu:

Jaa yhtälön molemmat puolet kosinin neliöllä:

Muutetaan muuttuja t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Etsi toisen asteen yhtälön juuret: t=-3 ja t=1

Sitten: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Vastaus: x=-arctg(3) + πk ja x= π/4+ πk

Ratkaise esimerkki #:4

Ratkaise yhtälö:

Ratkaisu:
Muutetaan ilmaisumme:

Voimme ratkaista seuraavat yhtälöt: x= - π/4 + 2πk ja x=5π/4 + 2πk

Vastaus: x= - π/4 + 2πk ja x=5π/4 + 2πk

Ratkaise esimerkki #:5

Ratkaise yhtälö:

Ratkaisu:
Muutetaan ilmaisumme:

Otamme käyttöön korvaavan tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Neliöyhtälömme ratkaisu on juuret: t=-2 ja t=1/2

Sitten saadaan: tg(2x)=-2 ja tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Vastaus: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ja x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun.

1) Ratkaise yhtälö

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Ratkaise yhtälöt: sin(3x)= √3/2. Ja etsi kaikki juuret segmentistä [π/2; π].

3) Ratkaise yhtälö: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Ratkaise yhtälö: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Ratkaise yhtälö: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Ratkaise yhtälö: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Kun ratkaiset monia matemaattisia ongelmia Varsinkin ennen luokkaa 10 tapahtuvien toimenpiteiden järjestys, joka johtaa tavoitteeseen, on selkeästi määritelty. Tällaisia ​​tehtäviä ovat esimerkiksi lineaariset ja toisen asteen yhtälöt, lineaariset ja toisen asteen epäyhtälöt, murto-yhtälöt ja yhtälöt, jotka pelkistyvät neliöllisiksi. Jokaisen mainitun tehtävän onnistuneen ratkaisun periaate on seuraava: on tarpeen selvittää, mihin tyyppiin ratkaistava ongelma kuuluu, muistaa tarvittava toimintosarja, joka johtaa haluttuun tulokseen, ts. vastaa ja noudata näitä ohjeita.

Ilmeisesti onnistuminen tai epäonnistuminen tietyn ongelman ratkaisemisessa riippuu pääasiassa siitä, kuinka oikein ratkaistavan yhtälön tyyppi määritetään, kuinka oikein sen ratkaisun kaikkien vaiheiden järjestys toistetaan. Tietenkin tässä tapauksessa tarvitaan taidot suorittaa identtisiä muunnoksia ja laskelmia.

Erilainen tilanne syntyy trigonometriset yhtälöt. Ei ole vaikeaa todeta, että yhtälö on trigonometrinen. Vaikeuksia syntyy määritettäessä toimintosarjaa, joka johtaisi oikeaan vastaukseen.

Tekijä: ulkomuoto yhtälöiden tyyppiä on joskus vaikea määrittää. Ja tietämättä yhtälön tyyppiä on melkein mahdotonta valita oikea useista kymmenistä trigonometrisista kaavoista.

Trigonometrisen yhtälön ratkaisemiseksi meidän on yritettävä:

1. tuo kaikki yhtälöön sisältyvät funktiot "samoihin kulmiin";
2. tuo yhtälö "samoihin funktioihin";
3. kerroin yhtälön vasen puoli jne.

Harkitse perusmenetelmiä trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen.

I. Pelkistys yksinkertaisimpiin trigonometrisiin yhtälöihin

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. ilmaista trigonometrinen funktio tunnettujen komponenttien kautta.

Vaihe 2 Etsi funktion argumentti kaavojen avulla:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Vaihe 3 Etsi tuntematon muuttuja.

Esimerkki.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Ratkaisu.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, nЄZ;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, nЄZ;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Vastaus: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Muuttuva korvaus

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Tuo yhtälö algebralliseen muotoon yhden trigonometrisen funktion suhteen.

Vaihe 2 Merkitse tuloksena oleva funktio muuttujalla t (tarvittaessa aseta rajoituksia t:lle).

Vaihe 3 Kirjoita muistiin ja ratkaise tuloksena oleva algebrallinen yhtälö.

Vaihe 4 Tee käänteinen vaihto.

Vaihe 5 Ratkaise yksinkertaisin trigonometrinen yhtälö.

Esimerkki.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Ratkaisu.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Olkoon sin (x/2) = t, missä |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5 t + 3 = 0;

t = 1 tai e = -3/2 ei täytä ehtoa |t| ≤ 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, nЄZ;

x = π + 4πn, n Є Z.

Vastaus: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Yhtälön järjestyksen vähentämismenetelmä

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Korvaa tämä yhtälö lineaarisella käyttämällä tehonvähennyskaavoja:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

rusketus 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Vaihe 2 Ratkaise saatu yhtälö menetelmillä I ja II.

Esimerkki.

cos2x + cos2x = 5/4.

Ratkaisu.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n ЄZ;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Vastaus: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogeeniset yhtälöt

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Tuo tämä yhtälö muotoon

a) a sin x + b cos x = 0 (ensimmäisen asteen homogeeninen yhtälö)

tai näkymään

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (toisen asteen homogeeninen yhtälö).

Vaihe 2 Jaa yhtälön molemmat puolet arvolla

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

ja hanki tg x:n yhtälö:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Vaihe 3 Ratkaise yhtälö tunnetuilla menetelmillä.

Esimerkki.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Ratkaisu.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Olkoon sitten tg x = t

t2 + 3t-4 = 0;

t = 1 tai t = -4, joten

tg x = 1 tai tg x = -4.

Ensimmäisestä yhtälöstä x = π/4 + πn, n Є Z; toisesta yhtälöstä x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Vastaus: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Menetelmä yhtälön muuntamiseksi trigonometristen kaavojen avulla

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Käytä kaikenlaisia ​​trigonometrisiä kaavoja, tuo tämä yhtälö yhtälöön, joka voidaan ratkaista menetelmillä I, II, III, IV.

Vaihe 2 Ratkaise tuloksena oleva yhtälö tunnetuilla menetelmillä.

Esimerkki.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Ratkaisu.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 tai 2cos x + 1 = 0;

Ensimmäisestä yhtälöstä 2x = π/2 + πn, n Є Z; toisesta yhtälöstä cos x = -1/2.

Meillä on x = π/4 + πn/2, n Є Z; toisesta yhtälöstä x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Tuloksena x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Vastaus: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Kyky ja taidot ratkaista trigonometrisiä yhtälöitä ovat erittäin hyviä On tärkeää, että niiden kehittäminen vaatii huomattavia ponnistuksia sekä opiskelijalta että opettajalta.

Trigonometristen yhtälöiden ratkaisuun liittyy monia stereometrian, fysiikan jne. ongelmia.Tällaisten ongelmien ratkaisuprosessi sisältää ikään kuin monia tietoja ja taitoja, joita hankitaan tutkimalla trigonometrian elementtejä.

Trigonometriset yhtälöt ovat tärkeässä asemassa matematiikan ja yleensä persoonallisuuden kehittämisen opetusprosessissa.

Onko sinulla kysymyksiä? Etkö tiedä kuinka ratkaista trigonometriset yhtälöt?
Avun saaminen tutorilta -.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!

blog.site, kopioimalla materiaali kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.