Tässä artikkelissa analysoimme kaikentyyppisiä ongelmia löytääksemme

Muistetaan johdannaisen geometrinen merkitys: jos tangentti piirretään funktion kuvaajaan pisteessä, niin tangentin kaltevuus (sama kuin tangentin ja akselin positiivisen suunnan välisen kulman tangentti) on yhtä suuri kuin funktion derivaatta kohdassa pointti.

Ota mielivaltainen piste tangentista koordinaatteineen:

Ja harkita suorakulmainen kolmio :

Tässä kolmiossa

Täältä

Tämä on funktion kuvaajaan piirretyn tangentin yhtälö pisteessä.

Tangentin yhtälön kirjoittamiseksi meidän tarvitsee vain tietää funktion yhtälö ja piste, johon tangentti piirretään. Sitten voimme löytää ja .

Tangenttiyhtälöiden ongelmia on kolme päätyyppiä.

1. Yhteyspiste

2. Annettu tangentin jyrkkyyskerroin eli funktion derivaatan arvo pisteessä.

3. Annettu sen pisteen koordinaatit, jonka kautta tangentti piirretään, mutta joka ei ole tangenttipiste.

Katsotaanpa jokaisen tyyppistä ongelmaa.

yksi . Kirjoita tangentin yhtälö funktion kuvaajaan pisteessä .

.

b) Etsi derivaatan arvo pisteestä . Ensin löydämme funktion derivaatan

Korvaa löydetyt arvot tangenttiyhtälöön:

Avataan yhtälön oikealla puolella olevat sulut. Saamme:

Vastaus: .

2. Etsi niiden pisteiden abskissat, joissa funktiot tangentit kuvaajaa yhdensuuntainen x-akselin kanssa.

Jos tangentti on yhdensuuntainen x-akselin kanssa, niin tangentin ja akselin positiivisen suunnan välinen kulma on nolla, joten tangentin kulmakertoimen tangentti on nolla. Siis funktion derivaatan arvo kosketuspisteissä on nolla.

a) Etsi funktion derivaatta .

b) Yhdistä derivaatta nollaan ja etsi arvot, joissa tangentti on yhdensuuntainen akselin kanssa:

Yhdistämme jokaisen tekijän nollaan, saamme:

Vastaus: 0;3;5

3. Kirjoita funktion kuvaajaan tangenttien yhtälöt , rinnakkain suoraan .

Tangentti on yhdensuuntainen suoran kanssa. Tämän suoran kaltevuus on -1. Koska tangentti on yhdensuuntainen tämän suoran kanssa, tangentin kaltevuus on myös -1. Tuo on tiedämme tangentin kaltevuuden, ja näin johdannaisen arvo kosketuspisteessä.

Tämä on toisen tyyppinen ongelma tangenttiyhtälön löytämiseksi.

Joten meille annetaan funktio ja derivaatan arvo kosketuspisteessä.

a) Etsi pisteet, joissa funktion derivaatta on yhtä suuri kuin -1.

Etsitään ensin derivaatan yhtälö.

Yhdistätään derivaatta numeroon -1.

Etsi funktion arvo pisteestä .

(ehdon mukaan)

.

b) Etsi funktion kuvaajan tangentin yhtälö pisteessä .

Etsi funktion arvo pisteestä .

(ehdon mukaan).

Korvaa nämä arvot tangenttiyhtälöön:

.

Vastaus:

neljä . Kirjoita yhtälö käyrän tangentille , kulkee pisteen läpi

Tarkista ensin, ettei piste ole kosketuspiste. Jos piste on tangenttipiste, niin se kuuluu funktion kuvaajaan ja sen koordinaattien on täytettävä funktion yhtälö. Korvaa pisteen koordinaatit funktion yhtälössä.

Title="(!LANG:1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} ei ole kontaktipiste.

Tämä on viimeinen ongelmatyyppi tangenttiyhtälön löytämiseksi. Ensimmäinen asia meidän on löydettävä kosketuspisteen abskissa.

Etsitään arvo.

Olkoon kosketuspiste. Piste kuuluu funktion kuvaajan tangenttiin. Jos korvaamme tämän pisteen koordinaatit tangenttiyhtälöön, saadaan oikea yhtälö:

.

Funktion arvo pisteessä on .

Etsi funktion derivaatan arvo pisteestä .

Etsitään ensin funktion derivaatta. Se .

Derivaata pisteessä on .

Korvataan lausekkeet tangentin yhtälöön ja siihen. Saamme yhtälön:

Ratkaistaan ​​tämä yhtälö.

Pienennä murtoluvun osoittajaa ja nimittäjää kahdella:

Tuomme yhtälön oikean puolen yhteiseen nimittäjään. Saamme:

Yksinkertaista murtoluvun osoittaja ja kerro molemmat osat - tämä lauseke on ehdottomasti suurempi kuin nolla.

Saamme yhtälön

Ratkaistaan ​​se. Tätä varten neliöimme molemmat osat ja siirrymme järjestelmään.

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matriisi(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

Ratkaistaan ​​ensimmäinen yhtälö.

Me päätämme toisen asteen yhtälö, saamme

Toinen juuri ei täytä ehtoa title="(!LANG:8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Kirjoitetaan käyrän tangentin yhtälö pisteeseen . Tätä varten korvaamme yhtälön arvon Olemme jo äänittäneet sen.

Vastaus:
.

Olkoon annettu funktio f, jolla on jossain pisteessä x 0 äärellinen derivaatta f (x 0). Sitten pisteen (x 0; f (x 0)) kautta kulkevaa suoraa, jonka kulmakerroin on f '(x 0), kutsutaan tangentiksi.

Mutta mitä tapahtuu, jos derivaatta pisteessä x 0 ei ole olemassa? Vaihtoehtoja on kaksi:

1. Myöskään kaavion tangenttia ei ole olemassa. Klassinen esimerkki on funktio y = |x | pisteessä (0; 0).
2. Tangentti muuttuu pystysuoraksi. Tämä pätee esimerkiksi funktiolle y = arcsin x pisteessä (1; π /2).

Tangenttiyhtälö

Mikä tahansa ei-pystysuora viiva saadaan yhtälöllä muotoa y = kx + b, missä k on kaltevuus. Tangentti ei ole poikkeus, ja sen yhtälön muodostamiseksi jossain kohdassa x 0 riittää, että tietää funktion ja derivaatan arvo tässä pisteessä.

Joten annetaan funktio y \u003d f (x), jolla on derivaatta y \u003d f '(x) segmentissä. Sitten mihin tahansa pisteeseen x 0 ∈ (a; b) voidaan piirtää tangentti tämän funktion kuvaajalle, joka saadaan yhtälöstä:

y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

Tässä f ’(x 0) on derivaatan arvo pisteessä x 0 ja f (x 0) on itse funktion arvo.

Tehtävä. Annettu funktio y = x 3 . Kirjoita yhtälö tämän funktion kaavion tangentille pisteessä x 0 = 2.

Tangenttiyhtälö: y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0). Piste x 0 = 2 on meille annettu, mutta arvot f (x 0) ja f '(x 0) on laskettava.

Ensin selvitetään funktion arvo. Täällä kaikki on helppoa: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Etsitään nyt derivaatta: f '(x) \u003d (x 3) ' \u003d 3x 2;
Korvaa derivaatassa x 0 = 2: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
Joten saamme: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
Tämä on tangenttiyhtälö.

Tehtävä. Laadi funktion f (x) \u003d 2sin x + 5 kaavion tangentin yhtälö pisteessä x 0 \u003d π / 2.

Tällä kertaa emme kuvaa yksityiskohtaisesti jokaista toimintaa - osoitamme vain tärkeimmät vaiheet. Meillä on:

f (x 0) \u003d f (π / 2) \u003d 2sin (π / 2) + 5 \u003d 2 + 5 \u003d 7;
f '(x) \u003d (2sin x + 5) ' \u003d 2cos x;
f '(x 0) \u003d f '(π / 2) \u003d 2cos (π / 2) \u003d 0;

Tangenttiyhtälö:

y = 0 (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

Jälkimmäisessä tapauksessa viiva osoittautui vaakasuoraksi, koska sen kaltevuus k = 0. Siinä ei ole mitään vikaa - törmäsimme juuri ääripisteeseen.

Tangentti on suora viiva, joka kulkee käyrän pisteen läpi ja osuu sen kanssa tässä pisteessä ensimmäiseen kertaluokkaan asti (kuva 1).

Muu määritelmä: tämä on sekantin raja-asema kohdassa Δ x→0.

Selitys: Ota viiva, joka leikkaa käyrän kahdessa pisteessä: MUTTA ja b(katso kuva). Tämä on sekantti. Kierrämme sitä myötäpäivään, kunnes sillä on vain yksi yhteinen piste käyrän kanssa. Joten saamme tangentin.

Tangentin tiukka määritelmä:

Funktiokaavion tangentti f, erottuva jossain kohdassa xnoin, on pisteen ( xnoin; f(xnoin)) ja kaltevuus f′( xnoin).

Rinne on suoraviivainen y=kx +b. Kerroin k ja on kaltevuustekijä tämä suora viiva.

Kulmakerroin on yhtä suuri kuin tämän suoran x-akselin kanssa muodostaman terävän kulman tangentti:

k = tgα

Tässä kulma α on suoran välinen kulma y=kx +b ja x-akselin positiivinen (eli vastapäivään) suunta. Sitä kutsutaan kallistuskulma suora(Kuvat 1 ja 2).

Jos kaltevuuskulma on suora y=kx +b akuutti, niin kulmakerroin on positiivinen luku. Kaavio kasvaa (kuva 1).

Jos kaltevuuskulma on suora y=kx +b tylppä, niin kulmakerroin on negatiivinen luku. Kaavio pienenee (kuva 2).

Jos suora on yhdensuuntainen x-akselin kanssa, suoran kaltevuus on nolla. Tässä tapauksessa myös suoran kaltevuus on nolla (koska nollan tangentti on nolla). Suora yhtälö näyttää tältä y = b (kuva 3).

Jos suoran kaltevuuskulma on 90º (π/2), eli se on kohtisuorassa x-akselia vastaan, niin suora saadaan yhtälöstä x=c, missä c- joku reaaliluku (kuva 4).

Funktion kaavion tangentin yhtälöy = f(x) pisteessä xnoin:

Esimerkki : Etsitään funktion kaavion tangentin yhtälö f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 kohdassa, jossa on abskissa 2.

Ratkaisu .

Noudatamme algoritmia.

1) Kosketuspiste xnoin on 2. Laske f(xnoin):

f(xnoin) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Etsi f′( x). Tätä varten käytämme edellisessä osiossa esitettyjä erotuskaavoja. Näiden kaavojen mukaan X 2 = 2X, a X 3 = 3X 2. Keinot:

f′( x) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Nyt käyttämällä tuloksena saatua arvoa f′( x), laske f′( xnoin):

f′( xnoin) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Meillä on siis kaikki tarvittavat tiedot: xnoin = 2, f(xnoin) = 1, f ′( xnoin) = 4. Korvaamme nämä luvut tangenttiyhtälöön ja löydämme lopullisen ratkaisun:

y= f(xnoin) + f′( xnoin) (x – x o) \u003d 1 + 4 ∙ (x - 2) \u003d 1 + 4x - 8 \u003d -7 + 4x \u003d 4x - 7.

Vastaus: y \u003d 4x - 7.

Koulutuksen nykyisessä kehitysvaiheessa yksi sen päätehtävistä on luovasti ajattelevan persoonallisuuden muodostaminen. Opiskelijoiden luovuuden kykyä voidaan kehittää vain, jos he ovat systemaattisesti mukana tutkimustoiminnan perusteissa. Perusta opiskelijoille luovien voimiensa, kykyjensä ja kykyjensä käyttöön muodostuu täysimittaiset tiedot ja taidot. Tässä suhteessa järjestelmän muodostamisen ongelma perustieto ja taidot jokaiseen aiheeseen koulun kurssi matematiikalla on suuri merkitys. Samaan aikaan täysimittaisten taitojen ei tulisi olla yksittäisten tehtävien, vaan niiden huolellisesti harkitun järjestelmän didaktinen tavoite. Hyvin laajassa mielessä Järjestelmä ymmärretään joukkona toisiinsa liittyviä vuorovaikutteisia elementtejä, joilla on eheys ja vakaa rakenne.

Harkitse menetelmää, jolla opiskelijoille opetetaan funktiokaavion tangentin yhtälön laatiminen. Pohjimmiltaan kaikki tehtävät tangenttiyhtälön löytämiseksi rajoittuvat tarpeeseen valita viivojen joukosta (rivi, perhe) ne, jotka täyttävät tietyn vaatimuksen - ne ovat tangentteja tietyn funktion kuvaajalle. Tässä tapauksessa rivijoukko, josta valinta suoritetaan, voidaan määrittää kahdella tavalla:

a) xOy-tasolla oleva piste (keskiviivakynä);
b) kulmakerroin (rinnakkaisjoukko).

Tässä suhteessa tutkiessamme aihetta "Funktion kaavion tangentti" järjestelmän elementtien eristämiseksi tunnistimme kahden tyyppisiä tehtäviä:

1) tehtävät sen kulkevan pisteen antamalla tangentilla;
2) tehtävät sen kulmakertoimen antamalla tangentilla.

Tangentin ongelmien ratkaisemisen oppiminen suoritettiin käyttämällä A.G.:n ehdottamaa algoritmia. Mordkovich. Hänen perustavanlaatuinen ero jo tunnetusta piilee siinä, että tangentin pisteen abskissaa merkitään kirjaimella a (x0:n sijaan), jonka yhteydessä tangentin yhtälö saa muodon

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(vertaa y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). Tämä metodologinen tekniikka mielestämme antaa opiskelijoille mahdollisuuden nopeasti ja helposti ymmärtää, missä nykyisen pisteen koordinaatit on kirjoitettu yleisessä tangenttiyhtälössä ja missä ovat kosketuspisteet.

Algoritmi funktion y = f(x) kuvaajan tangentin yhtälön laatimiseksi

1. Merkitse a-kirjaimella kosketuspisteen abskissa.
2. Etsi f(a).
3. Etsi f "(x) ja f "(a).
4. Korvaa löydetyt luvut a, f (a), f "(a) tangentin y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a) yleiseen yhtälöön.

Tämä algoritmi voidaan koota opiskelijoiden itsenäisen operaatiovalinnan ja niiden suoritusjärjestyksen perusteella.

Käytäntö on osoittanut, että jokaisen avaintehtävän johdonmukainen ratkaisu algoritmia käyttämällä mahdollistaa kyvyn kirjoittaa tangentin yhtälö funktion kuvaajaan vaiheittain, ja algoritmin vaiheet toimivat vahvuuksina toimille. . Tämä lähestymistapa vastaa P.Yan kehittämää teoriaa henkisten toimien asteittaisesta muodostumisesta. Galperin ja N.F. Talyzina.

Ensimmäisen tyyppisissä tehtävissä tunnistettiin kaksi keskeistä tehtävää:

• tangentti kulkee käyrällä olevan pisteen läpi (tehtävä 1);
• tangentti kulkee pisteen läpi, joka ei ole käyrällä (tehtävä 2).

Tehtävä 1. Yhdistä funktion kaavion tangentti pisteessä M(3; – 2).

Ratkaisu. Piste M(3; – 2) on kosketuspiste, koska

1. a = 3 - kosketuspisteen abskissa.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f "(3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 on tangenttiyhtälö.

Tehtävä 2. Kirjoita pisteen M(- 3; 6) kautta kulkevan funktion y = - x 2 - 4x + 2 kuvaajaan kaikkien tangenttien yhtälöt.

Ratkaisu. Piste M(– 3; 6) ei ole tangenttipiste, koska f(– 3) 6 (kuva 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f "(a) \u003d - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - tangenttiyhtälö.

Tangentti kulkee pisteen M(– 3; 6) läpi, joten sen koordinaatit täyttävät tangenttiyhtälön.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2) (– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Jos a = – 4, niin tangenttiyhtälö on y = 4x + 18.

Jos a \u003d - 2, niin tangenttiyhtälön muoto on y \u003d 6.

Toisessa tyypissä tärkeimmät tehtävät ovat seuraavat:

• tangentti on yhdensuuntainen jonkin suoran kanssa (tehtävä 3);
• tangentti kulkee jossain kulmassa annettuun suoraan nähden (tehtävä 4).

Tehtävä 3. Kirjoita kaikkien tangenttien yhtälöt funktion y \u003d x 3 - 3x 2 + 3 kuvaajaan, joka on yhdensuuntainen suoran y \u003d 9x + 1 kanssa.

1. a - kosketuspisteen abskissa.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f "(a) \u003d 3a 2 - 6a.

Mutta toisaalta f "(a) \u003d 9 (rinnakkaisehto). Meidän on siis ratkaistava yhtälö 3a 2 - 6a \u003d 9. Sen juuret a \u003d - 1, a \u003d 3 (kuva . 3).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 on tangenttiyhtälö;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f"(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x – 24 on tangenttiyhtälö.

Tehtävä 4. Kirjoita funktion y = 0,5x 2 - 3x + 1 kuvaajaan tangentin yhtälö, joka kulkee 45° kulmassa suoraa y = 0 (kuva 4).

Ratkaisu. Ehdosta f "(a) \u003d tg 45 ° löydämme a: a - 3 \u003d 1 ^ a \u003d 4.

1. a = 4 - kosketuspisteen abskissa.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - tangentin yhtälö.

On helppo osoittaa, että minkä tahansa muun ongelman ratkaisu pelkistyy yhden tai useamman avainongelman ratkaisuksi. Tarkastellaan seuraavia kahta ongelmaa esimerkkinä.

1. Kirjoita paraabelin tangenttien yhtälöt y = 2x 2 - 5x - 2, jos tangentit leikkaavat suorassa kulmassa ja yksi niistä koskettaa paraabelia pisteessä, jossa on abskissa 3 (kuva 5).

Ratkaisu. Koska kosketuspisteen abskissa on annettu, ratkaisun ensimmäinen osa pelkistetään avainongelmaksi 1.

1. a = 3 - toisen sivun kosketuspisteen abskissa oikea kulma.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f "(3) \u003d 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - ensimmäisen tangentin yhtälö.

Olkoon a ensimmäisen tangentin kaltevuus. Koska tangentit ovat kohtisuorassa, on toisen tangentin kaltevuuskulma. Ensimmäisen tangentin yhtälöstä y = 7x – 20 saadaan tg a = 7. Etsi

Tämä tarkoittaa, että toisen tangentin kaltevuus on .

Jatkoratkaisu rajoittuu avaintehtävään 3.

Olkoon B(c; f(c)) sitten toisen suoran tangenttipiste

1. - toisen kosketuskohdan abskissa.
2.
3.
4.
on toisen tangentin yhtälö.

Merkintä. Tangentin kulmakerroin löytyy helpommin, jos opiskelija tietää kohtisuorien viivojen kertoimien suhteen k 1 k 2 = - 1.

2. Kirjoita funktiokaavioiden kaikkien yhteisten tangenttien yhtälöt

Ratkaisu. Ongelma rajoittuu yhteisten tangenttipisteiden abskissien löytämiseen, eli avaintehtävän 1 ratkaisemiseen. yleisnäkymä, laatimalla yhtälöjärjestelmän ja sen myöhemmän ratkaisun (kuva 6).

1. Olkoon a funktion y = x 2 + x + 1 kuvaajassa olevan kosketuspisteen abskissa.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y \u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Olkoon c funktion kuvaajassa olevan tangentin pisteen abskissa
2.
3. f "(c) = c.
4.

Koska tangentit ovat yleisiä, niin

Joten y = x + 1 ja y = - 3x - 3 ovat yhteisiä tangentteja.

Käsiteltyjen tehtävien päätavoitteena on valmistaa opiskelijat itse tunnistamaan avaintehtävän tyyppi, kun ratkaistaan ​​monimutkaisempia tehtäviä, jotka edellyttävät tiettyjä tutkimustaitoja (kyky analysoida, vertailla, yleistää, esittää hypoteesia jne.). Tällaisia ​​tehtäviä ovat kaikki tehtävät, joissa avaintehtävä sisältyy osana. Tarkastellaanpa esimerkkinä ongelmaa (käänteinen tehtävälle 1) löytää funktio sen tangenttien perheestä.

3. Millä b ja c suorat y \u003d x ja y \u003d - 2x tangentit funktion y \u003d x 2 + bx + c kuvaajalle?

Olkoon t suoran y = x ja paraabelin y = x 2 + bx + c kosketuspisteen abskissa; p on suoran y = - 2x kosketuspisteen abskissa paraabelin y = x 2 + bx + c kanssa. Tällöin tangenttiyhtälö y = x saa muodon y = (2t + b)x + c - t 2 ja tangenttiyhtälö y = - 2x muotoon y = (2p + b)x + c - p 2 .

Laadi ja ratkaise yhtälöjärjestelmä

Vastaus:

Ensimmäinen taso

Funktion kaavion tangentin yhtälö. Kattava opas (2019)

Tiedätkö jo mikä johdannainen on? Jos ei, lue ketju ensin. Joten sanot tietäväsi johdannaisen. Nyt tarkistetaan. Etsi funktion lisäys, kun argumentin inkrementti on yhtä suuri. Onnistuitko? Sen pitäisi toimia. Etsi nyt funktion derivaatta pisteestä. Vastaus:. Tapahtui? Jos jokin näistä esimerkeistä on vaikea, suosittelen, että palaat aiheeseen ja opit sitä uudelleen. Tiedän, että aihe on erittäin laaja, mutta muuten on turha jatkaa. Tarkastellaan jonkin funktion kaaviota:

Valitaan tietty piste kaavion viivalta. Olkoon sen abskissa, niin ordinaatta on yhtä suuri. Sitten valitsemme pisteen lähellä pistettä abskissalla; sen ordinaatti on:

Piirretään viiva näiden pisteiden läpi. Sitä kutsutaan sekantiksi (kuten geometriassa). Merkitään suoran kaltevuuskulmaa akseliin nähden as. Kuten trigonometriassa, tämä kulma mitataan x-akselin positiivisesta suunnasta vastapäivään. Mitä arvoja kulmalla voi olla? Riippumatta siitä, kuinka kallistat tätä suoraa viivaa, yksi puolikas pysyy silti pystyssä. Siksi suurin mahdollinen kulma on , ja pienin mahdollinen on . Tarkoittaa,. Kulma ei sisälly, koska viivan sijainti tässä tapauksessa täsmälleen sama, ja on loogisempaa valita pienempi kulma. Ota kuvasta piste niin, että suora on samansuuntainen abskissa-akselin kanssa, ja - ordinaato:

Kuvasta voidaan nähdä, että a. Sitten lisäysten suhde:

(koska se on suorakaiteen muotoinen).

Vähennetään nyt. Sitten kohta lähestyy kohtaa. Kun siitä tulee äärettömän pieni, suhteesta tulee yhtä suuri kuin funktion derivaatta pisteessä. Mitä sekantille tulee tässä tapauksessa? Piste on äärettömän lähellä pistettä, joten niitä voidaan pitää samana pisteenä. Mutta suora viiva, jolla on vain yksi yhteinen piste käyrän kanssa, ei ole muuta kuin tangentti(tässä tapauksessa tämä ehto täyttyy vain pienellä alueella - lähellä pistettä, mutta tämä riittää). He sanovat, että tässä tapauksessa sekantti on käytössä raja-asento.

Kutsutaan sekantin kaltevuuskulmaa akseliin nähden. Sitten käy ilmi, että johdannainen

tuo on derivaatta on yhtä suuri kuin funktion kaavion tangentin kulmakertoimen tangentti tietyssä pisteessä.

Koska tangentti on suora, muistetaan nyt suoran yhtälö:

Mitä varten suhde on? Suoran viivan kaltevuudelle. Sitä kutsutaan näin: kaltevuus. Mitä se tarkoittaa? Ja se, että se on yhtä suuri kuin suoran ja akselin välisen kulman tangentti! Eli näin tapahtuu:

Mutta saimme tämän säännön ottamalla huomioon kasvavan funktion. Mitä tapahtuu, jos funktio pienenee? Katsotaan:
Nyt kulmat ovat tylsiä. Ja funktion lisäys on negatiivinen. Mieti uudelleen: . Toisaalta, . Saamme:, eli kaiken, kuten viime kerralla. Ohjataan piste uudelleen pisteeseen, jolloin sekantti ottaa raja-asennon, eli se muuttuu pisteen funktion kaavion tangentiksi. Joten muotoillaan lopullinen sääntö:
Funktion derivaatta tietyssä pisteessä on yhtä suuri kuin funktion kaavion tangentin kulmakertoimen tangentti tässä pisteessä tai (joka on sama) tämän tangentin kaltevuus:

Sitä se on johdannaisen geometrinen merkitys. Okei, kaikki tämä on mielenkiintoista, mutta miksi tarvitsemme sitä? Tässä esimerkki:
Kuvassa on funktion kuvaaja ja sen tangentti pisteessä, jossa on abskissa. Etsi funktion derivaatan arvo pisteessä.
Ratkaisu.
Kuten äskettäin havaitsimme, derivaatan arvo kosketuspisteessä on yhtä suuri kuin tangentin kaltevuus, joka puolestaan ​​on yhtä suuri kuin tämän tangentin kaltevuuskulman tangentti x-akseliin nähden: . Joten derivaatan arvon löytämiseksi meidän on löydettävä tangentin kulmakertoimen tangentti. Kuvaan olemme merkinneet kaksi tangentin päällä olevaa pistettä, joiden koordinaatit ovat meille tiedossa. Täydennetään siis näiden pisteiden läpi kulkeva suorakulmainen kolmio ja etsitään tangentin kaltevuuskulman tangentti!

Tangentin kaltevuuskulma akseliin nähden on. Etsitään tämän kulman tangentti: . Siten funktion derivaatta pisteessä on yhtä suuri kuin.
Vastaus:. Kokeile nyt itse:

Vastaukset:

Tietäen johdannaisen geometrinen merkitys, voidaan hyvin yksinkertaisesti selittää sääntö, jonka mukaan derivaatta paikallisen maksimin tai minimin pisteessä on nolla. Itse asiassa kaavion tangentti näissä pisteissä on "vaakasuora", eli yhdensuuntainen x-akselin kanssa:

Mikä on yhdensuuntaisten viivojen välinen kulma? Tietysti nolla! Ja nollan tangentti on myös nolla. Joten derivaatta on nolla:

Lue lisää aiheesta "Funktioiden monotonisuus. ääripisteet.

Keskitytään nyt mielivaltaisiin tangentteihin. Oletetaan, että meillä on jokin funktio, esimerkiksi . Olemme piirtäneet sen kaavion ja haluamme piirtää sille tangentin jossain vaiheessa. Esimerkiksi jossain pisteessä. Otetaan viiva, kiinnitetään se kaavioon ja piirretään:

Mitä tiedämme tästä linjasta? Mikä on tärkeintä tietää suorasta koordinaattitasolla? Koska suora on lineaarisen funktion kuva, olisi erittäin kätevää tietää sen yhtälö. Eli yhtälön kertoimet

Mutta me tiedämme jo! Tämä on tangentin kaltevuus, joka on yhtä suuri kuin funktion derivaatta kyseisessä pisteessä:

Esimerkissämme se on seuraava:

Nyt se on vielä löydettävä. Tämä on yksinkertaisempaa kuin yksinkertainen: loppujen lopuksi - arvo. Graafisesti tämä on suoran ja y-akselin leikkauspisteen koordinaatti (loppujen lopuksi kaikissa akselin pisteissä):

Piirretään (niin että - suorakaiteen muotoinen). Sitten (samaan kulmaan tangentin ja x-akselin välillä). Mitä ovat ja mitkä ovat samanarvoisia? Kuva osoittaa selvästi, että a. Sitten saamme:

Yhdistämme kaikki saadut kaavat suoran yhtälöön:

Päätä nyt itse:

1. löytö tangenttiyhtälö funktioon jossakin kohdassa.
2. Paraabelin tangentti leikkaa akselin kulmassa. Etsi tämän tangentin yhtälö.
3. Suora on yhdensuuntainen funktion kuvaajan tangentin kanssa. Etsi kosketuspisteen abskissa.
4. Suora on yhdensuuntainen funktion kuvaajan tangentin kanssa. Etsi kosketuspisteen abskissa.

Ratkaisut ja vastaukset:

KAAVION TANGENTIN FUNKTION YHTÄLÖ. LYHYT KUVAUS JA PERUSKAAVA

Funktion derivaatta tietyssä pisteessä on yhtä suuri kuin funktion kaavion tangentin kulmakertoimen tangentti tässä pisteessä tai tämän tangentin kulmakerroin:

Funktion kaavion tangentin yhtälö pisteessä:

Toimialgoritmi tangenttiyhtälön löytämiseksi:

No, aihe on ohi. Jos luet näitä rivejä, olet erittäin siisti.

Koska vain 5% ihmisistä pystyy hallitsemaan jotain itse. Ja jos olet lukenut loppuun, olet 5 %:ssa!

Nyt se tärkein asia.

Olet keksinyt teorian tästä aiheesta. Ja toistan, se on... se on vain super! Olet jo parempi kuin suurin osa ikäisistäsi.

Ongelmana on, että tämä ei ehkä riitä...

Minkä vuoksi?

Menestystä varten kokeen läpäiseminen, pääsystä instituuttiin budjetilla ja, TÄRKEIMMÄN, elinikäiseksi.

En vakuuta sinua mistään, sanon vain yhden asian ...

Hyvän koulutuksen saaneet ansaitsevat paljon enemmän kuin ne, jotka eivät ole saaneet sitä. Tämä on tilastoa.

Mutta tämä ei ole pääasia.

Pääasia, että he ovat ONNELISEMME (sellaisia ​​tutkimuksia on). Ehkä siksi, että heille avautuu paljon enemmän mahdollisuuksia ja elämästä tulee valoisampaa? En tiedä...

Mutta ajattele itse...

Mitä tarvitaan, jotta voit olla varmasti parempi kuin muut kokeessa ja lopulta... onnellisempi?

TÄYTÄ KÄSI RATKAISEMME ONGELMIA TÄSTÄ AIHESTA.

Kokeessa sinulta ei kysytä teoriaa.

Tarvitset ratkaista ongelmat ajoissa.

Ja jos et ole ratkaissut niitä (PALJON!), teet varmasti tyhmän virheen jossain tai et yksinkertaisesti tee sitä ajoissa.

Se on kuin urheilussa - sinun täytyy toistaa monta kertaa voittaaksesi varmasti.

Löydä kokoelma mistä tahansa välttämättä ratkaisuilla yksityiskohtainen analyysi ja päätä, päätä, päätä!

Voit käyttää tehtäviämme (ei välttämätöntä) ja suosittelemme niitä ehdottomasti.

Jotta saat apua tehtäviemme avulla, sinun on autettava pidentämään parhaillaan lukemasi YouClever-oppikirjan käyttöikää.

Miten? Vaihtoehtoja on kaksi:

1. Avaa pääsy kaikkiin tämän artikkelin piilotettuihin tehtäviin - 299 hieroa.
2. Avaa pääsy kaikkiin piilotettuihin tehtäviin kaikissa opetusohjelman 99 artikkelissa - 999 hieroa.

Kyllä, meillä on 99 tällaista artikkelia oppikirjassa ja pääsy kaikkiin tehtäviin ja kaikkiin niissä oleviin piiloteksteihin voidaan avata välittömästi.

Toisessa tapauksessa me annamme sinulle simulaattori "6000 tehtävää ratkaisuineen ja vastauksineen, kullekin aiheelle, kaikille monimutkaisuustasoille." Se riittää varmasti käsiisi ongelmien ratkaisemiseen mistä tahansa aiheesta.

Itse asiassa tämä on paljon enemmän kuin pelkkä simulaattori - koko koulutusohjelma. Tarvittaessa voit käyttää sitä myös ILMAISEKSI.

Pääsy kaikkiin teksteihin ja ohjelmiin tarjotaan sivuston koko elinkaaren ajan.

Tiivistettynä...

Jos et pidä tehtävistämme, etsi muita. Älä vain lopeta teoriaan.

"Ymmärretty" ja "tiedän kuinka ratkaista" ovat täysin erilaisia ​​taitoja. Tarvitset molemmat.

Etsi ongelmia ja ratkaise!