Maailma, alkaen pienimmistä näkymättömistä hiukkasista ja päättyen rajattoman avaruuden kaukaisiin galakseihin, on täynnä monia ratkaisemattomia mysteereitä. Kuitenkin joidenkin niistä on jo nostettu mysteerin verho useiden tiedemiesten uteliaan mielen ansiosta.

Yksi tällainen esimerkki on kultainen leikkaus ja Fibonacci-luvut jotka muodostavat sen perustan. Tämä kuvio on esitetty matemaattisessa muodossa, ja se löytyy usein ihmistä ympäröivästä luonnosta, mikä taas sulkee pois mahdollisuuden, että se olisi syntynyt sattuman seurauksena.

Fibonacci-luvut ja niiden järjestys

Fibonaccin numerosarja kutsutaan numerosarjaksi, joista jokainen on kahden edellisen summa:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 …

Tämän sekvenssin ominaisuus on numeeriset arvot, jotka saadaan jakamalla tämän sarjan numerot toisillaan.

Fibonacci-lukusarjalla on omat mielenkiintoiset kuvionsa:

• Fibonacci-sarjassa jokainen luku jaettuna seuraavalla osoittaa kohti suuntautuvaa arvoa 0,618 . Mitä kauempana numerot ovat sarjan alusta, sitä tarkempi suhde on. Esimerkiksi rivin alussa otetut numerot 5 Ja 8 tulee näyttämään 0,625 (5/8=0,625 ). Jos otamme numerot 144 Ja 233 , ne näyttävät suhteen 0.618 .
• Jos taas Fibonacci-lukusarjassa jaamme luvun edellisellä, niin jaon tuloksella on taipumus 1,618 . Esimerkiksi käytettiin samoja numeroita kuin edellä mainittiin: 8/5=1,6 Ja 233/144=1,618 .
• Numero jaettuna seuraavalla sen jälkeen näyttää arvon lähestyvän 0,382 . Ja mitä kauempana sarjan alusta numerot otetaan, sitä tarkempi on suhteen arvo: 5/13=0,385 Ja 144/377=0,382 . Numeroiden jakaminen käänteisessä järjestyksessä antaa tuloksen 2,618 : 13/5=2,6 Ja 377/144=2,618 .

Yllä olevia laskentamenetelmiä käyttämällä ja lukujen välisiä eroja suurentamalla voit näyttää seuraavat arvosarjat: 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236, jota käytetään laajasti Fibonacci-työkaluissa valuuttamarkkinoilla.

Kultainen suhde tai jumalallinen osuus

"Kultainen leikkaus" ja Fibonacci-luvut edustavat erittäin selvästi segmentin analogiaa. Jos segmentti AB jaetaan pisteellä C sellaisessa suhteessa, että ehto täyttyy:

AC / BC \u003d BC / AB, niin se on "kultainen leikkaus"

LUE MYÖS SEURAAVAT ARTIKKELI:

Yllättäen juuri tämä suhde voidaan jäljittää Fibonacci-lukusarjassa. Ottaen muutaman numeron sarjasta, voit tarkistaa laskelmalla, että näin on. Esimerkiksi tällainen Fibonaccin numerosarja ... 55, 89, 144 ... Olkoon luku 144 koko segmentti AB, joka mainittiin edellä. Koska 144 on kahden edellisen luvun summa, niin 55+89=AC+BC=144.

Segmenttien jakaminen näyttää seuraavat tulokset:

AC/BC=55/89=0,618

BC/AB = 89/144 = 0,618

Jos otamme segmentin AB kokonaisuutena tai yksikkönä, AC \u003d 55 on 0,382 tästä kokonaisuudesta ja BC \u003d 89 on yhtä suuri kuin 0,618.

Mistä Fibonacci-luvut löytyvät?

Kreikkalaiset ja egyptiläiset tunsivat Fibonaccin säännöllisen numerosarjan kauan ennen Leonardo Fibonaccin itseään. Tämä numerosarja sai tällaisen nimen sen jälkeen, kun kuuluisa matemaatikko varmisti tämän matemaattisen ilmiön laajan leviämisen tieteellisissä riveissä.

On tärkeää huomata, että kultaiset Fibonacci-luvut eivät ole vain tiedettä, vaan matemaattinen esitys ympäröivästä maailmasta. Joukko luonnolliset ilmiöt, kasvi- ja eläinmaailman edustajilla on "kultainen leikkaus" suhteissaan. Nämä ovat kuoren kierrekiharoita ja auringonkukansiementen, kaktusten, ananaksien järjestely.

Kierre, jonka oksien mittasuhteet ovat "kultaisen leikkauksen" lakien alaisia, on hurrikaanin muodostumisen, hämähäkin verkon kutomisen, monien galaksien muodon, DNA-molekyylien kudosten ja monia muita ilmiöitä.

Liskon hännän pituus sen vartaloon on 62:38. Sikuriverso vapauttaa lehden ennen kuin se irtoaa. Kun ensimmäinen arkki on irrotettu, tapahtuu toinen ulostyöntö ennen toisen arkin vapauttamista, joka on yhtä suuri kuin 0,62 ensimmäisen irrotuksen ehdollisesti hyväksytystä voimayksiköstä. Kolmas poikkeava arvo on 0,38 ja neljäs 0,24.

Myös kauppiaalle hyvin tärkeä sillä on tosiasia, että valuuttamarkkinoiden hintaliikkeet ovat usein kultaisten Fibonacci-lukujen kaavoja. Tämän sekvenssin perusteella on luotu joukko työkaluja, joita elinkeinonharjoittaja voi käyttää arsenaalissaan.

Kauppiaiden usein käyttämä instrumentti "" voi näyttää tarkasti hintaliikkeen tavoitteet sekä sen korjauksen tasot.

VALTION OPETUSLAITOS

"KRIVLYANSKAYA LUETTA"

ZHABINKO PIIRI

FIBONACCI-NUMEROT JA KULLAINEN SUHDE

Tutkimus

Työ valmistui:

10 luokan oppilas

Puutarhuri Valeria Alekseevna

Valvoja:

Lavrenyuk Larisa Nikolaevna,

tietojenkäsittelytieteen opettaja ja

matematiikka 1 karsinnassa

Fibonaccin numerot ja luonto

ominaispiirre kasvien rakenne ja niiden kehitys on helicity. Jopa Goethe, joka ei ollut vain suuri runoilija, vaan myös luonnontieteilijä, piti helicity-yhteyttä ominaispiirteet kaikista organismeista, elämän sisimmän olemuksen ilmentymä. Kasvien jänteet kiertyvät spiraalimaisesti, kudos kasvaa spiraalimaisesti puiden rungoissa, siemenet auringonkukassa asettuvat spiraaliin, spiraaliliikkeitä (nutaatioita) havaitaan juurien ja versojen kasvun aikana.

Ensi silmäyksellä saattaa vaikuttaa siltä, ​​että lehtien ja kukkien määrä voi vaihdella hyvin laajalla alueella ja saada mitä tahansa arvoa. Mutta tällainen johtopäätös osoittautuu kestämättömäksi. Tutkimukset ovat osoittaneet, että samannimien elinten määrä kasveissa ei ole mielivaltainen, on arvoja, joita löytyy usein, ja arvoja, jotka ovat erittäin harvinaisia.

Villieläimissä viisikulmaiseen symmetriaan perustuvat muodot ovat yleisiä - meritähti, merisiilejä, kukat.

Kuva 13. Leinikki

Kamomillalla on 55 tai 89 terälehteä.

Kuva 14. Kamomilla

Feverfewillä on 34 terälehteä.

Valokuva 15. Pyretrum

Katsotaan käpyä. Sen pinnalla olevat asteikot on järjestetty tiukasti säännöllisellä tavalla - kahta spiraalia pitkin, jotka leikkaavat suunnilleen suorassa kulmassa. Tällaisten spiraalien määrä käpyissä on 8 ja 13 tai 13 ja 21.

Kuva 16. Kartio

Auringonkukkakoreissa siemenet on myös järjestetty kahteen spiraaliin, niiden lukumäärä on yleensä 34/55, 55/89.

Kuva 17. Auringonkukka

Katsotaanpa kuoria. Jos laskemme satunnaisesti otetun ensimmäisen kuoren "jäykistysripojen" lukumäärän - se osoittautui 21:ksi. Otetaan toinen, kolmas, viides, kymmenes kuori - kaikkien pinnalla on 21 kylkiluuta. Voidaan nähdä, että nilviäiset eivät olleet vain hyviä insinöörejä, he "tuntivat" Fibonacci-luvut.

Kuva 18. Kuori

Tässä taas näemme säännöllisen Fibonacci-lukujen yhdistelmän vierekkäin: 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89. Niiden suhde rajassa pyrkii kultaiseen leikkaukseen, joka ilmaistaan ​​numerolla 0,61803 ...

Fibonaccin numerot ja eläimet

Meritähtien säteiden lukumäärä vastaa Fibonaccin lukusarjaa tai hyvin lähellä niitä ja on yhtä suuri kuin 5,8, 13.21.34.55.

Kuva 19. Meritähti

Nykyaikaiset niveljalkaiset ovat hyvin erilaisia. Hummereilla on myös viisi paria jalkoja, viisi höyhentä hännässä, vatsa on jaettu viiteen segmenttiin ja jokainen jalka koostuu viidestä osasta.

Valokuva 20. piikkinen hummeri

Joillakin hyönteisillä vatsa koostuu kahdeksasta segmentistä, raajoja on kolme paria, jotka koostuvat kahdeksasta osasta, ja suun aukosta nousee kahdeksan erilaista antennimaista elintä. Tunnetulla hyttysellämme on kolme paria jalkoja, vatsa on jaettu kahdeksaan segmenttiin ja päässä on viisi antennia. Hyttysen toukka on jaettu 12 segmenttiin.

Valokuva 21. Hyttynen

Kaalikärpäsessä vatsa on jaettu viiteen osaan, jalkoja on kolme paria ja toukka kahdeksaan osaan. Kumpikin kahdesta siivestä on jaettu kahdeksaan osaan ohuilla suonilla.

Monien hyönteisten toukat on jaettu 13 segmenttiin, esimerkiksi ihonsyöjässä, jauhosyöjässä, mauritanialaisessa boogerissa. Useimmissa tuhokuoriaisissa toukka on jaettu 13 segmenttiin. Kovakuoriaisten jalkojen rakenne on hyvin tyypillinen. Jokainen jalka koostuu kolmesta osasta, kuten korkeammissa eläimissä - olkapäästä, kyynärvarresta ja tassusta. Kovakuoriaisten ohuet, harjakkaat tassut on jaettu viiteen osaan.

Harjatut, läpinäkyvät, painottomat sudenkorennon siivet ovat luonnon "insinööritaidon" mestariteos. Mitkä mittasuhteet ovat tämän pienen lentävän lihasauton suunnittelun taustalla? Siipien kärkivälin suhde kehon pituuteen on monissa sudenkorennoista 4/3. Sudenkorennon runko on jaettu kahteen pääosaan: massiivinen runko ja pitkä ohut häntä. Keho on jaettu kolmeen osaan: pää, rintakehä, vatsa. Vatsa on jaettu viiteen segmenttiin, ja häntä koostuu kahdeksasta osasta. Täällä on edelleen tarpeen lisätä kolme paria jalkoja jakamalla ne kolmeen osaan.

Valokuva 22. Sudenkorento

Tässä kokonaisuuden osiin jakamisessa on helppo nähdä Fibonacci-lukusarjan laajeneminen. Sudenkorennon hännän pituus, runko ja kokonaispituus liittyvät toisiinsa kultaisella leikkauksella: hännän ja rungon pituuksien suhde on yhtä suuri kuin kokonaispituuden suhde hännän pituuteen.

Ei ole yllättävää, että sudenkorento näyttää niin täydelliseltä, koska se on luotu kultaisen leikkauksen lakien mukaan.

Kilpikonnan näkeminen halkeilevan takyrin taustalla on hämmästyttävä ilmiö. Kilven keskellä on suuri soikea kenttä, jossa on suuret yhteensulautuneet sarveislevyt, ja reunoilla on pienempien levyjen reuna.

Valokuva 23. Kilpikonna

Ota mikä tahansa kilpikonna - lähellämme olevasta suokilpikonnasta jättimäiseen mereen, keittokilpikonna - ja näet, että kuoren kuvio on samanlainen: soikealla kentällä on 13 sulatettua sarvilevyä - 5 levyä keskellä ja 8 - reunoja pitkin ja reunareunalla noin 21 levyä (chilen kilpikonnalla on tasan 21 levyä kuoren reunalla). Kilpikonnalla on 5 sormea ​​tassuissaan ja selkäranka koostuu 34 nikamasta. On helppo nähdä, että kaikki nämä suuret vastaavat Fibonaccin lukuja. Näin ollen kilpikonnan kehitys, sen ruumiin muodostuminen, kokonaisuuden jakaminen osiin tapahtui Fibonacci-lukusarjan lain mukaan.

Nisäkkäät ovat planeetan korkein eläinlaji. Kylkiluiden lukumäärä monissa eläinlajeissa on yhtä suuri tai lähellä kolmetoista. Täysin erilaisissa nisäkkäissä - valaassa, kamelissa, hirvessä, kiertueessa - kylkiluiden lukumäärä on 13 ± 1. Selkänikamien lukumäärä vaihtelee suuresti, erityisesti johtuen pyrstöistä, jotka voivat olla eripituisia jopa samalla eläimellä lajit. Mutta monissa niistä nikamien lukumäärä on yhtä suuri tai lähellä 34 ja 55. Joten 34 nikamaa jättiläishirvessä, 55 valaassa.

Kotieläinten raajojen luuranko koostuu kolmesta identtisestä luusta: olkaluu (lantio), kyynärvarren luu (sääriluu) ja tassun luu (jalka). Jalka puolestaan ​​koostuu kolmesta luulenkistä.

Monilla kotieläimillä hampaiden määrä on taipuvainen Fibonaccin lukuihin: kanilla on 14 paria, koiralla, sikalla, hevosella 21 ± 1 paria hampaita. Villieläimillä hampaiden lukumäärä vaihtelee laajemmin: yhdellä pussilla saalistavalla eläimellä se on 54, hyeenalla - 34, yhdellä delfiinilajilla se on 233. Kotieläinten luuston luiden kokonaismäärä (mukaan lukien hampaat) yhdessä ryhmässä on lähellä 230 ja toisessa - 300. On huomattava, että pienet kuuloluun luut ja ei-pysyvät luut eivät sisälly luuston luiden lukumäärään. Kun ne otetaan huomioon, luuston luiden kokonaismäärä monilla eläimillä tulee lähelle 233:aa, kun taas toisissa se ylittää 300:n. Kuten näette, kehon jakautumiselle, johon liittyy luuston kehittyminen, on ominaista erillinen muutos eläinten eri elinten luiden lukumäärässä, ja nämä luvut vastaavat Fibonaccin lukuja tai ovat hyvin lähellä niitä muodostaen sarjan 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 Kokojen suhde useimmissa kananmunat vastaa 4:3 (noin 3/2), kurpitsansiemenet - 3:2, vesimelonin siemenet - 3/2. Käpyjen pituuden ja halkaisijan suhteeksi todettiin 2:1. Koivunlehtien koko on keskimäärin hyvin lähellä ja tammenterhot - 5:2.

Uskotaan, että jos kukkanurmikko on tarpeen jakaa kahteen osaan (ruoho ja kukat), näitä nauhoja ei pidä tehdä yhtä leveäksi, se on kauniimpaa, jos otat ne suhteessa 5: 8 tai 8:13, so. käytä kultasuhteeksi kutsuttua suhdetta.

Fibonacci numerot ja valokuvaus

Valokuvataiteeseen sovellettu kultainen leikkaussääntö jakaa kehyksen kahdella vaaka- ja kahdella pystysuoralla viivalla 9 epätasaiseksi suorakulmioksi. Helpottaakseen tasapainoisten kuvien ottamista, valokuvaajat ovat yksinkertaistaneet tehtävää hieman ja alkaneet jakaa kehyksen 9 yhtä suureen suorakulmioon Fibonacci-lukujen mukaan. Niinpä kultaisen leikkauksen sääntö muutettiin kolmannesten säännöksi, joka viittaa yhteen sommittelun periaatteesta.

Valokuva 24. Kehys ja kultainen suhde

Nykyaikaisissa etsimeissä digikameroita tarkennuspisteet sijaitsevat paikoissa 2/8 tai kuvitteellisilla viivoilla, jotka jakavat kehyksen kultaisen leikkauksen säännön mukaisesti.

Kuva 25. Digikamera ja tarkennuspisteet

Kuva 26.

Kuva 27. Valokuvaus ja tarkennuspisteet

Kolmannesten sääntö koskee kaikkia juonikoostumukset: Kuvaat maisemaa tai muotokuvaa, asetelmaa tai reportaasi. Niin kauan kuin harmonian tunteesi ei ole tullut hankituksi ja tiedostamattomaksi, yksinkertaisen kolmanneksen säännön noudattaminen antaa sinun ottaa kuvia, jotka ovat ilmeikkäitä, harmonisia, tasapainoisia.

Kuva 28. Valokuvaus ja taivaan ja maan suhde 1:2.

Menestynein esimerkki demonstraatiosta on maisema. Koostumusperiaate on, että taivaan ja maan (tai vedenpinnan) suhteen tulee olla 1:2. Kolmasosa kehyksestä tulee ottaa taivaan alle ja kaksi kolmasosaa maan alle tai päinvastoin.

Kuva 29. Kuva spiraalimaisesta kukasta

Fibonacci ja avaruus

Veden ja maan suhde maapallolla on 62 % ja 38 %.

Maan ja Kuun mitat ovat kultaisessa suhteessa.

Kuva 30. Maan ja Kuun mitat

Kuvassa näkyy Maan ja Kuun suhteellinen koko mittakaavassa.

Piirretään maapallon säde. Piirretään jana Maan keskipisteestä Kuun keskipisteeseen, jonka pituus on yhtä suuri). Piirretään viiva, joka yhdistää nämä kaksi viivaa kolmion muodostamiseksi. Saamme kultaisen kolmion.

Saturnus näyttää kultaisen leikkauksen useissa ulottuvuuksissaan

Kuva 31. Saturnus ja sen renkaat

Saturnuksen halkaisija on hyvin lähellä kultaista suhdetta renkaiden halkaisijan kanssa, kuten vihreät viivat osoittavat.Säde sisäänrenkaiden sisäpuoli on suhteessa hyvin lähellä renkaiden ulkohalkaisijaa, kuten sininen viiva osoittaa.

Myös planeettojen etäisyys Auringosta noudattaa kultaista leikkausta.

Kuva 32. Planeettojen etäisyys Auringosta

kultainen leikkaus kotona

Kultaista leikkausta käytetään myös lisäämään tyyliä ja vetovoimaa jokapäiväisten kuluttajatuotteiden markkinointiin ja muotoiluun. Esimerkkejä on monia, mutta havainnollistamme vain muutamia.

Kuva 33. TunnusToyota

Kuva 34. Kultainen leikkaus ja vaatteet

Kuva 34. Kultainen suhde ja autosuunnittelu

Kuva 35. TunnusOmena

Kuva 36. TunnusGoogle

Käytännön tutkimus

Nyt hyödynnetään saatua tietoa käytännössä. Otetaan ensin mittaukset 8. luokan oppilaiden kesken.

Kokeessa oli mukana 7 8. luokan oppilasta, 5 tyttöä ja 2 poikaa. Korkeus ja etäisyys navasta lattiaan mitattiin. Tulokset näkyvät taulukoissa. Eräs ihanteellisen fysiologinen opiskelija, jonka pituuden suhde etäisyyteen navan ja lattian välillä on 1,6185. Toinen opiskelija on hyvin lähellä kultaista leikkausta, . Mittausten tuloksena 29 %:lla osallistujista on ihanteelliset parametrit. Nämä prosenttitulokset ovat myös lähellä kultaista suhdetta 68 % ja 32 %. Ensimmäisen kohteen kohdalla näemme, että 3 suhdetta viidestä on lähellä kultaista leikkausta, prosentteina se on 60 % - 40 %. Ja toiselle - 4/5, eli 80-20%.

Jos katsot televisiokuvaa tarkasti, sen mitat ovat 16-9 tai 16-10, mikä on myös lähellä kultaista suhdetta.

Mittausten ja rakenteiden suorittaminen CorelDRAW X4 ja käyttämällä uutiskanava Russia 24:n kehystä löydät seuraavat:

a) kehyksen pituuden ja leveyden suhde on 1,7.

b) kuvassa oleva henkilö sijaitsee tarkalleen tarkennuspisteissä, jotka sijaitsevat 3/8 etäisyydellä.

Seuraavaksi käännytään Izvestia-sanomalehden viralliseen mikroblogiin, toisin sanoen Twitter-sivulle. Näytön näytössä, jonka sivut ovat 4:3, näemme, että sivun "otsikko" on 3/8 sivun koko korkeudesta.

Tarkasteltaessa tarkasti armeijan korkkeja, voit löytää seuraavat:

a) Venäjän federaation puolustusministerin yläraja liittyy asiaan määrätyt osat 21,73 - 15,52, mikä vastaa 1,4:ää.

b) Valko-Venäjän tasavallan rajavartijan korkin mitat ovat ilmoitettujen osien mitat 44.42-21.33, mikä on yhtä suuri kuin 2.1.

c) Neuvostoliiton aikojen korkissa on ilmoitettujen osien mitat 49,67 - 31,04, mikä on yhtä suuri kuin 1,6.

Tässä mallissa mekon pituus on 113,13 mm.

Jos "viimeistelet" mekon "ihanteelliseen" pituuteen, saamme tämän kuvan.

Kaikissa mittauksissa on jokin virhe, koska ne on otettu valokuvasta, mikä ei estä näkemästä trendiä - kaikki mikä on ihanteellinen, sisältää kultaisen leikkauksen tavalla tai toisella.

Johtopäätös

Villieläinten maailma näkyy meille aivan eri tavalla - liikkuvana, vaihtelevana ja yllättävän monipuolisena. Elämä näyttää meille fantastisen monimuotoisuuden ja luovien yhdistelmien omaperäisyyden karnevaalin! Elottoman luonnon maailma on ennen kaikkea symmetrian maailma, joka antaa vakautta ja kauneutta hänen luomuksilleen. Luonnon maailma on ennen kaikkea harmonian maailma, jossa toimii "kultaisen leikkauksen laki".

“Kultainen suhde” näyttää olevan se totuuden hetki, jota ilman mikään olemassa oleva ei yleensä ole mahdollista. Mitä tahansa otammekin osaksi tutkimusta, "kultainen leikkaus" on kaikkialla; vaikka sitä ei havaittaisi näkyvästi, se tapahtuu välttämättä energia-, molekyyli- tai solutasolla.

Todellakin, luonto osoittautuu yksitoikkoiseksi (ja siksi yhtenäiseksi!) peruslakiensa ilmentymisessä. Hänen löytämänsä "menestyneimmät" ratkaisut pätevät mitä erilaisimpiin esineisiin, mitä erilaisimpiin organisaatiomuotoihin. Organisaation jatkuvuus ja diskreetti tulee aineen kaksoisyhteisyydestä - sen korpuskulaarisesta ja aaltoluonteesta, tunkeutuu kemiaan, jossa se antaa kokonaislukustoikiometrian lait, kemialliset yhdisteet vakio ja muuttuva koostumus. Kasvitieteessä jatkuvuus ja diskreettisyys ilmenevät erityisesti fyllotaksisissa, diskreetisyyskvanteissa, kasvukvanteissa, diskreettisyyden yhtenäisyydessä ja tila-aika-organisaation jatkuvuudessa. Ja nyt kasvien elinten numeerisissa suhteissa näkyy A. Gurskyn esittelemä "monisuhteiden periaate" - kemian peruslain täydellinen toisto.

Tietenkin väite, että kaikki nämä ilmiöt rakentuvat Fibonacci-sekvenssille, kuulostaa liian äänekkäältä, mutta suunta on selvä. Ja lisäksi hän itse on kaukana täydellisestä, kuten kaikki muukin tässä maailmassa.

Spekuloidaan, että Fibonacci-sarja on luonnon yritys sopeutua perustavanlaatuisempaan ja täydellisempään kultaisen leikkauksen logaritmiseen sekvenssiin, joka on käytännössä sama, vain alkaa tyhjästä ja ei mene minnekään. Luonto sitä vastoin tarvitsee ehdottomasti jonkinlaisen kokonaisen alun, josta voi irrottaa, se ei voi luoda mitään tyhjästä. Fibonacci-sekvenssin ensimmäisten jäsenten suhteet ovat kaukana kultaleikkauksesta. Mutta mitä pidemmälle kuljemme sitä pitkin, sitä enemmän nämä poikkeamat tasoittuvat. Minkä tahansa sarjan määrittämiseksi riittää, että tunnet sen kolme jäsentä, jotka kulkevat peräkkäin. Mutta ei kultaiselle sekvenssille, sille riittää kaksi, se on geometrinen ja aritmeettinen progressio samanaikaisesti. Saatat ajatella, että se on kaikkien muiden sekvenssien perusta.

Jokainen kultaisen logaritmisen sekvenssin jäsen on kultaisen suhteen aste (). Osa rivistä näyttää suunnilleen tältä:... ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ... Jos pyöristetään kultaisen suhteen arvo kolmen desimaalin tarkkuudella, saadaan=1,618 , niin rivi näyttää tältä:... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Jokainen seuraava termi voidaan saada paitsi kertomalla edellinen termillä1,618 , mutta myös lisäämällä kaksi edellistä. Näin ollen eksponentiaalinen kasvu saavutetaan yksinkertaisesti lisäämällä kaksi vierekkäistä elementtiä. Tämä on sarja ilman alkua ja loppua, ja juuri tämän kaltainen Fibonacci-sekvenssi yrittää olla. Koska alku on hyvin määritelty, se pyrkii ihanteelliseen saavuttamatta sitä koskaan. Se on elämää.

Ja kuitenkin kaiken nähdyn ja luetun yhteydessä herää aivan luonnollisia kysymyksiä:
Mistä nämä luvut ovat peräisin? Kuka on tämä maailmankaikkeuden arkkitehti, joka yritti tehdä siitä täydellisen? Oliko se koskaan niin kuin hän halusi sen olevan? Ja jos on, miksi se epäonnistui? Mutaatiot? Vapaa valinta? Mitä seuraavaksi? Kiertyykö vai eikö kela?

Kun löydät vastauksen yhteen kysymykseen, saat seuraavan. Jos ratkaiset sen, saat kaksi uutta. Käsittele niitä, kolme lisää ilmestyy. Kun olet ratkaissut ne, saat viisi ratkaisematonta. Sitten kahdeksan, sitten kolmetoista, 21, 34, 55...

Luettelo käytetyistä lähteistä

Vasyutinskiy, N. Kultainen osuus / Vasyutinskiy N, Moskova, Nuori vartija, 1990, - 238 s. - (Eureka).

Vorobjov, N.N. Fibonaccin numerot,

Käyttötila: . Käyttöönottopäivä: 17.11.2015.

Käyttötila: . Käyttöpäivä: 16.11.2015.

Käyttötila: . Pääsypäivämäärä: 13.11.2015.

Kultainen leikkaus ja Fibonaccin järjestysnumerot. 14. kesäkuuta, 2011

Jokin aika sitten lupasin kommentoida Tolkatšovin lausuntoa, jonka mukaan Pietari rakennettiin kultaisen leikkauksen periaatteen mukaan ja Moskova - symmetriaperiaatteen mukaan ja että tästä syystä näiden kahden kaupungin käsityserot ovat ovat niin konkreettisia, ja siksi St. ”, Ja moskovilainen "sairaa päänsä" tullessaan Pietariin. Kestää jonkin aikaa sopeutua kaupunkiin (kuten lentäessään osavaltioihin - sinun on sopeuduttava ajan myötä).

Tosiasia on, että silmämme näyttää - tunnetaan tilaa tiettyjen silmäliikkeiden - sakkadien - avulla (käännöksessä - purjeen taputus). Silmä tekee "popsahduksen" ja lähettää aivoille signaalin "tarttuminen pintaan on tapahtunut". Kaikki on hyvin. Tämä on tietoa." Ja elämän aikana silmä tottuu näiden sakkadien tiettyyn rytmiin. Ja kun tämä rytmi muuttuu rajusti (kaupunkimaisemasta metsään, kultaleikkauksesta symmetriaan), uudelleenkonfigurointi vaatii aivotyötä.

Nyt yksityiskohdat:
ZS:n määritelmä on segmentin jakaminen kahteen osaan sellaisessa suhteessa, että suurempi osa liittyy pienempään, koska niiden summa (koko segmentti) on suurempi.

Eli jos otamme koko segmentin c 1:ksi, niin segmentti a on 0,618, segmentti b - 0,382. Joten jos otamme rakennuksen, esimerkiksi GS-periaatteen mukaan rakennettu temppeli, niin sen korkeudella, esimerkiksi 10 metriä, rummun ja kupolin korkeus on 3,82 cm ja pohjan korkeus. rakennuksesta tulee 6,18 cm. (On selvää, että selvyyden vuoksi ottamani numerot ovat yhtä suuret)

Ja mikä on GL- ja Fibonacci-lukujen välinen suhde?

Fibonaccin järjestysnumerot ovat:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

Numeroiden malli on, että jokainen seuraava luku on yhtä suuri kuin kahden edellisen luvun summa.
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
5 + 8 = 13;
8 + 13 = 21 jne.

ja vierekkäisten lukujen suhde lähestyy suhdetta 3S.
Joten 21:34 = 0,617 ja 34:55 = 0,618.

Eli ZS:n ytimessä ovat Fibonacci-sekvenssin numerot.
Tämä video osoittaa jälleen selvästi tämän yhteyden AP:n ja Fibonacci-lukujen välillä

Missä muualla AP-periaate ja Fibonaccin järjestysnumerot kohtaavat?

Kasvien lehdet kuvataan Fibonacci-sekvenssillä. auringonkukansiemenet, männynkävyt, terälehdet, ananassolut on myös järjestetty Fibonacci-sekvenssin mukaan.

linnun muna

Ihmisen sormien sormien pituudet ovat suunnilleen samat kuin Fibonacci-luvut. Kultainen leikkaus näkyy kasvojen mittasuhteissa.

Emil Rozenov opiskeli ZS:ää barokin ja klassismin aikakauden musiikissa käyttäen esimerkkinä Bachin, Mozartin ja Beethovenin teoksia.

Tiedetään, että Sergei Eisenstein rakensi keinotekoisesti elokuvan "Battleship Potemkin" lakia säätävän kokouksen sääntöjen mukaisesti. Hän jakoi nauhan viiteen osaan. SISÄÄN kolme ensimmäistä toiminta tapahtuu laivalla. Kahdessa viimeisessä - Odessassa, missä kapina on kehittymässä. Tämä siirtyminen kaupunkiin tapahtuu täsmälleen kultaisen leikkauksen kohdalla. Kyllä, ja jokaisessa osassa on käännekohta, joka tapahtuu kultaisen leikkauksen lain mukaan. Kehyksessä, kohtauksessa, jaksossa on tietty harppaus teeman kehityksessä: juoni, tunnelma. Eisenstein uskoi, että koska tällainen siirtymä on lähellä kultaleikkauspistettä, se nähdään luonnollisimpana ja luonnollisimpana.

Monet koriste-elementit sekä fontit luodaan GS:n avulla. Esimerkiksi A. Dürerin fontti (kirjain "A" kuvassa)

Uskotaan, että termin "kultainen suhde" otti käyttöön Leonardo Da Vinci, joka sanoi: "Älköön kukaan, joka ei ole matemaatikko uskalla lukea teoksiani" ja osoitti ihmiskehon mittasuhteet kuuluisassa piirustuksessaan "Vitruvian Man". ". "Jos sidomme ihmishahmon – maailmankaikkeuden täydellisimmän luomuksen – vyöllä ja sitten mittaamme etäisyyden vyystä jalkoihin, niin tämä arvo viittaa etäisyyteen samasta vyöstä pään yläosaan, ihmisen koko pituudelta vyön ja jalkojen pituuteen."

Kuuluisa muotokuva Mona Lisasta tai Giocondasta (1503) luotiin kultaisten kolmioiden periaatteella.

Tarkkaan ottaen tähti itse tai pentacle on AP:n rakenne.

Sarja Fibonacci-lukuja on visuaalisesti mallinnettu (materialisoitu) spiraalin muodossa

Ja luonnossa 3S-spiraali näyttää tältä:

Samaan aikaan spiraalia havaitaan kaikkialla(luonnossa eikä vain):
- Useimmissa kasveissa siemenet on järjestetty spiraaliin
- Hämähäkki kutoo verkkoa kierteessä
- Hurrikaani kiertelee
- Pelästynyt porolauma hajoaa kierteessä.
- DNA-molekyyli on kierretty kaksoiskierteeksi. DNA-molekyyli koostuu kahdesta pystysuoraan kietoutuneesta heliksistä, jotka ovat 34 ongströmiä pitkät ja 21 angströmiä leveät. Numerot 21 ja 34 seuraavat toisiaan Fibonacci-sarjassa.
- Alkio kehittyy spiraalin muodossa
- Spiraali "simpukka sisäkorvassa"
- Vesi valuu viemäriin spiraalimaisesti
- Spiraalidynamiikka näyttää ihmisen persoonallisuuden ja hänen arvojensa kehittymisen spiraalina.
- Ja tietysti itse Galaxy on spiraalin muotoinen

Siten voidaan väittää, että luonto itsessään on rakennettu kultaisen leikkauksen periaatteelle, minkä vuoksi ihmissilmä havaitsee tämän osuuden harmonisemmin. Se ei vaadi syntyvän maailmankuvan "korjaamista" tai täydentämistä.

Nyt arkkitehtuurin kultaisesta leikkauksesta

Cheopsin pyramidi edustaa GS:n mittasuhteita. (Pidän valokuvasta - jossa Sfinksi on täynnä hiekkaa).

Le Corbusierin mukaan Abydoksen farao Seti I:n temppelin kohokuviossa ja farao Ramsesta kuvaavassa reliefissä hahmojen mittasuhteet vastaavat kultaista leikkausta. Muinaisen kreikkalaisen Parthenon-temppelin julkisivussa on myös kultaiset mittasuhteet.

Notredam de Parisin katedraali Pariisissa, Ranskassa.

Yksi AP:n periaatteen mukaan tehdyistä merkittävistä rakennuksista on Smolnyin katedraali Pietarissa. Kaksi polkua johtaa katedraaliin reunoja pitkin, ja jos lähestyt katedraalia niitä pitkin, se näyttää nousevan ilmaan.

Moskovassa on myös ZS:llä valmistettuja rakennuksia. Esimerkiksi Pyhän Vasilin katedraali

Kuitenkin symmetriaperiaatteita käyttävät rakennukset hallitsevat.
Esimerkiksi Kreml ja Spasskaja-torni.

Kremlin muurien korkeus ei myöskään heijasta missään AP-periaatetta esimerkiksi tornien korkeuden suhteen. Tai ota hotelli Venäjä tai hotelli Cosmos.

Samaan aikaan AP-periaatteella rakennetut rakennukset edustavat Pietarissa suuremman prosenttiosuuden, kun taas nämä ovat katurakennuksia. Liteiny Avenue.

Siten kultainen suhde käyttää suhdetta 1,68 ja symmetria on 50/50.
Eli symmetriset rakennukset on rakennettu puolien tasa-arvoperiaatteella.

Toinen tärkeä GS:n ominaisuus on sen dynaamisuus ja halu avautua Fibonaccin numerosarjan vuoksi. Symmetria päinvastoin edustaa vakautta, vakautta ja liikkumattomuutta.

Lisäksi lisä-ZS tuo Peterin suunnitelmaan runsaasti vesitiloja, jotka valuvat kaupungin yli ja sanelevat kaupungin alistumisen mutkilleen. Ja Peterin suunnitelma itsessään muistuttaa spiraalia tai alkiota samanaikaisesti.

Paavi kuitenkin esitti toisenlaisen version siitä, miksi moskovilaiset ja pietarilaiset kärsivät "päänsärkyä" pääkaupungeissa vieraillessaan. Paavi liittää tämän kaupunkien energioihin:
Pietari - hänellä on maskuliininen sukupuoli ja vastaavasti maskuliiniset energiat,
No, Moskova on vastaavasti feminiininen ja siinä on feminiinisiä energioita.

Joten pääkaupunkien asukkaiden, jotka ovat virittäytyneet tiettyyn feminiinisyyden ja maskuliinisuuden tasapainoon kehossaan, on vaikea rakentaa uudelleen naapurikaupungissa vieraillessaan ja jollain voi olla vaikeuksia havaita yksi tai toinen energia, ja siksi naapurikaupunki ei ehkä ole ollenkaan rakastunut!

Tämän version tueksi se sanoo myös, että kaikki Venäjän keisarinnat Pietarissa he hallitsivat, kun taas Moskova näki vain miespuolisia tsaareja!

Käytetyt resurssit.

Fibonacci-luvut ovat numeerisen sekvenssin elementtejä.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, jossa jokainen seuraava luku on yhtä suuri kuin kahden edellisen luvun summa. Nimi on nimetty keskiaikaisen matemaatikon Leonardo Pisalaisen (tai Fibonaccin) mukaan, joka asui ja työskenteli kauppiaana ja matemaatikkona Italiassa Pisan kaupungissa. Hän on yksi aikansa tunnetuimmista eurooppalaisista tiedemiehistä. Hänen joukossaan suurimmat saavutukset- arabialaisten numeroiden käyttöönotto roomalaisten numeroiden tilalle. Fn=Fn-1+Fn-2

Matemaattinen sarja asymptoottisesti (eli lähestyy yhä hitaammin) pyrkii vakiosuhteeseen. Tämä asenne on kuitenkin irrationaalinen; sen jälkeen on loputon, arvaamaton desimaaliarvojen sarja. Sitä ei voi koskaan ilmaista tarkasti. Jos jokainen sarjaan kuuluva luku jaetaan edellisellä arvolla (esimerkiksi 13-^8 tai 21-FROM), toiminnan tulos ilmaistaan ​​suhteessa, joka vaihtelee irrationaalisen luvun 1,61803398875 ympärillä, hieman enemmän tai hieman vähemmän kuin sarjan naapurisuhteet. Suhde ei koskaan, loputtomiin, ole tarkka viimeiseen numeroon (edes aikamme tehokkaimmilla tietokoneilla). Käytämme lyhyyden vuoksi Fibonacci-suhteena lukua 1,618 ja pyydämme lukijoita olemaan unohtamatta tätä virhettä.

Fibonacci-luvuilla on merkitys ja analyysin aikana Euklidesin algoritmi kahden luvun suurimman yhteisen jakajan määrittämiseksi. Fibonaccin luvut tulevat Pascalin kolmion diagonaalikaavasta (binomiaaliset kertoimet).

Fibonacci-luvut on yhdistetty kultaiseen suhteeseen.

Kultainen leikkaus tunnettiin jo vuonna muinainen Egypti ja Babylon, Intia ja Kiina. Mikä on "kultainen leikkaus"? Vastaus on edelleen tuntematon. Fibonaccin luvut ovat todella tärkeitä aikamme käytännön teorialle. Merkityksen nousu tapahtui 1900-luvulla ja jatkuu tähän päivään asti. Fibonacci-lukujen käyttö taloustieteessä ja tietojenkäsittelytieteessä houkutteli joukoittain ihmisiä opiskelemaan.

Tutkimukseni metodologia koostui erikoiskirjallisuuden tutkimisesta ja saadun tiedon yhteenvedosta sekä oman tutkimukseni tekemisestä ja lukujen ominaisuuksien ja niiden käyttöalueen tunnistamisesta.

Aikana tieteellinen tutkimus määritteli Fibonacci-lukujen käsitteen, niiden ominaisuudet. Löysin myös mielenkiintoisia kuvioita villieläimistä, suoraan auringonkukansiementen rakenteesta.

Auringonkukassa siemenet asettuvat spiraaliin, ja toiseen suuntaan kulkevien spiraalien määrä on erilainen - ne ovat peräkkäisiä Fibonacci-lukuja.

Tässä auringonkukassa on 34 ja 55.

Sama havaitaan ananaksen hedelmissä, joissa on 8 ja 14 spiraalia. ainutlaatuinen omaisuus Fibonacci-luvut liittyvät maissin lehtiin.

Muodon a/b jakeet, jotka vastaavat kasvin varren jalkojen lehtien kierteistä järjestelyä, ovat usein peräkkäisten Fibonacci-lukujen suhteita. Pähkinällä tämä suhde on 2/3, tammen 3/5, poppelin 5/8, pajun 8/13 jne.

Kun otetaan huomioon lehtien sijoittelu kasvien varressa, voit nähdä, että kunkin lehtiparin (A ja C) välissä kolmas sijaitsee kultaisen leikkauksen (B) paikalla.

Toinen Fibonacci-luvun mielenkiintoinen ominaisuus on, että minkä tahansa muun kuin yhden Fibonacci-luvun tulo ja osamäärä ei ole koskaan Fibonacci-luku.

Tutkimuksen tuloksena päädyin seuraaviin johtopäätöksiin: Fibonacci-luvut ovat ainutlaatuisia aritmeettinen progressio, joka ilmestyi 1200-luvulla jKr. Tämä eteneminen ei menetä merkitystään, mikä vahvistettiin tutkimukseni aikana. Fibonacci-luku löytyy myös ohjelmoinnista ja talousennusteista, maalauksesta, arkkitehtuurista ja musiikista. Kuvia sellaisista kuuluisia taiteilijoita kuinka Leonardo da Vinci, Michelangelo, Raphael ja Botticelli piilottavat kultaisen leikkauksen taikuuden. Jopa I. I. Shishkin käytti kultaista leikkausta maalauksessaan "Pine Grove".

Vaikea uskoa, mutta kultainen leikkaus löytyy myös musiikkiteoksia sellaiset suuret säveltäjät kuin Mozart, Beethoven, Chopin jne.

Fibonacci-lukuja löytyy myös arkkitehtuurista. Kultaista leikkausta käytettiin esimerkiksi Parthenonin ja Notre Damen katedraalin rakentamisessa.

Olen huomannut, että Fibonacci-numeroita käytetään myös alueellamme. Esimerkiksi talojen levynauhat, päädyt.

• Käännös

Johdanto

Fibonacci-lukujen ohjelmoijien pitäisi olla jo kyllästyneitä. Esimerkkejä niiden laskemisesta käytetään kaikkialla. Kaikki siitä, mitä nämä numerot tarjoavat yksinkertaisin esimerkki rekursio. Ja myös he ovat hyvä esimerkki dynaaminen ohjelmointi. Mutta onko niitä tarpeen laskea tällä tavalla todellinen projekti? Ei tarvetta. Rekursio tai dynaaminen ohjelmointi eivät ole ihanteellisia vaihtoehtoja. Eikä suljettu kaava liukulukuja käyttäen. Nyt kerron sinulle oikean tavan. Mutta ensin käydään läpi kaikki tunnetut ratkaisut.

Koodi on Python 3:lle, vaikka sen pitäisi toimia myös Python 2:lle.

Aluksi haluan muistuttaa teitä määritelmästä:

F n \u003d F n-1 + F n-2

Ja F 1 \u003d F 2 \u003d 1.

suljettu kaava

Jätetään yksityiskohdat väliin, mutta halukkaat voivat tutustua kaavan johtamiseen. Ajatuksena on olettaa, että on olemassa jokin x, jolle F n = x n , ja löytää sitten x.

Mikä tekee

Vähennämme x n-2

Ratkaisemme toisen asteen yhtälön:

Mistä "kultainen leikkaus" ϕ=(1+√5)/2 kasvaa. Korvaamalla alkuperäiset arvot ja tekemällä lisää laskelmia, saamme:

Mitä käytämme laskettaessa F n .

Alkaen __tulevaisuus__ tuontijaosta tuonti matemaattinen def fib(n): SQRT5 = math.sqrt(5) PHI = (SQRT5 + 1) / 2 paluu int(PHI ** n / SQRT5 + 0,5)

Hyvä:
Nopea ja helppo pienille n
Huono:
Liukulukuoperaatiot vaaditaan. Suurempi n vaatii enemmän tarkkuutta.
Paha:
Kompleksilukujen käyttäminen F n:n laskemiseen on kaunista matemaattisesta näkökulmasta, mutta rumaa tietokoneelta katsottuna.

rekursio

Ilmeisin ratkaisu, jonka olet nähnyt jo monta kertaa - todennäköisesti esimerkkinä siitä, mitä rekursio on. Toistan sen uudelleen täydellisyyden vuoksi. Pythonissa se voidaan kirjoittaa yhdelle riville:

fib = lambda n: fib(n - 1) + fib(n - 2), jos n > 2 muu 1

Hyvä:
Hyvin yksinkertainen toteutus, joka toistaa matemaattisen määritelmän
Huono:
Eksponentiaalinen suoritusaika. Suurille n hyvin hitaasti
Paha:
Pinon ylivuoto

ulkoa ottaminen

Rekursiivisella ratkaisulla on suuri ongelma: päällekkäiset laskelmat. Kun fib(n):tä kutsutaan, fib(n-1) ja fib(n-2) lasketaan. Mutta kun fib(n-1) lasketaan, se laskee itsenäisesti fib(n-2):n uudelleen - eli fib(n-2) lasketaan kahdesti. Jos jatkamme päättelyä, nähdään, että fib(n-3) lasketaan kolme kertaa ja niin edelleen. Liian monta risteystä.

Siksi sinun on vain muistettava tulokset, jotta et laske niitä uudelleen. Tämä ratkaisu kuluttaa aikaa ja muistia lineaarisesti. Käytän ratkaisussa sanakirjaa, mutta myös yksinkertaista taulukkoa voisi käyttää.

M = (0: 0, 1: 1) def fib(n): jos n M:ssä: paluu M[n] M[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2) paluu M[n]

(Pythonissa tämä voidaan tehdä myös sisustajalla functools.lru_cache.)

Hyvä:
Muuta vain rekursio muistaakseni ratkaisuksi. Muuttaa eksponentiaalisen suoritusajan lineaariseksi suoritusajaksi, mikä kuluttaa enemmän muistia.
Huono:
Hukkaa paljon muistia
Paha:
Mahdollinen pinon ylivuoto, kuten rekursio

Dynaaminen ohjelmointi

Kun olet ratkaissut ulkoa, käy selväksi, että emme tarvitse kaikkia aikaisempia tuloksia, vaan vain kaksi viimeistä. Lisäksi sen sijaan, että aloittaisit fib(n):stä ja jatkaisit taaksepäin, voit aloittaa fib(0):sta ja mennä eteenpäin. Seuraavalla koodilla on lineaarinen suoritusaika ja kiinteä muistin käyttö. Käytännössä ratkaisun nopeus on vieläkin nopeampi, koska ei ole rekursiivisia funktiokutsuja ja niihin liittyviä töitä. Ja koodi näyttää yksinkertaisemmalta.

Tämä ratkaisu mainitaan usein esimerkkinä dynaamisesta ohjelmoinnista.

Oletus fib(n): a = 0 b = 1 arvolle __ alueella (n): a, b = b, a + b palauttaa a

Hyvä:
Nopea pienille n, yksinkertainen koodi
Huono:
Edelleen lineaarinen käyttöaika
Paha:
Kyllä, ei mitään erikoista.

Matriisialgebra

Ja lopuksi vähiten katettu, mutta oikein ratkaisu, joka käyttää älykkäästi sekä aikaa että muistia. Se voidaan myös laajentaa mihin tahansa homogeeniseen lineaariseen sekvenssiin. Ideana on käyttää matriiseja. Sen näkeminen riittää

Ja yleistys tästä on

Aiemmin saamamme kaksi x:n arvoa, joista toinen oli kultainen suhde, ovat matriisin ominaisarvoja. Siksi toinen tapa johtaa suljettu kaava on käyttää matriisiyhtälöä ja lineaarista algebraa.

Joten miksi tämä lause on hyödyllinen? Se, että eksponentiointi voidaan tehdä logaritmisessa ajassa. Tämä tehdään neliöimällä. Lopputulos on se

Kun ensimmäistä lauseketta käytetään parilliselle A:lle, toista parittomille. Jää vain järjestää matriisien kertolasku, ja kaikki on valmis. Siitä selviää seuraava koodi. Järjestin pow:n rekursiivisen toteutuksen, koska se on helpompi ymmärtää. Katso iteratiivinen versio tästä.

Def pow(x, n, I, mult): """ Palauttaa x:n n:n potenssiin. Oletetaan, että I on identiteettimatriisi, joka kertoo multilla ja n on positiivinen kokonaisluku """, jos n == 0: palauttaa I elif n == 1: palauttaa x else: y = pow(x, n // 2, I, mult) y = mult(y, y) jos n % 2: y = mult(x, y) palauttaa y def identiteettimatriisi (n): """Palauttaa n x n -identiteettimatriisin""" r = lista(väli(n)) palauttaa [ j:lle r:ssä] def matriisi_kerroin(A, B): BT = lista(zip(*B) ) return [ riville A A:ssa] def fib(n): F = pow([, ], n, identiteettimatriisi(2), matriisi_kerroin) return F

Hyvä:
Kiinteä muistin koko, logaritminen aika
Huono:
Koodi on monimutkaisempi
Paha:
Sinun on työskenneltävä matriisien kanssa, vaikka ne eivät ole niin huonoja

Suorituskyvyn vertailu

On syytä verrata vain dynaamisen ohjelmoinnin varianttia ja matriisia. Jos vertaamme niitä luvun n merkkien lukumäärällä, niin käy ilmi matriisiratkaisu lineaarisesti, kun taas dynaaminen ohjelmointiratkaisu on eksponentiaalinen. Käytännön esimerkki– laskeva fib(10 ** 6), luku, jossa on yli kaksisataatuhatta merkkiä.

N = 10**6
Laske fib_matriisi: fib(n):ssä on yhteensä 208988 numeroa, laskenta kesti 0,24993 sekuntia.
Laske fib_dynamic: fib(n):ssä on yhteensä 208988 numeroa, laskenta kesti 11,83377 sekuntia.

Teoreettisia huomioita

Ei liity suoraan yllä olevaan koodiin, mutta tämä huomautus kiinnostaa edelleen. Harkitse seuraavaa kaaviota:

Lasketaan n pituisten polkujen määrä A:sta B:hen. Esimerkiksi arvolla n = 1 meillä on yksi polku, 1. Kun n = 2, meillä on jälleen yksi polku, 01. Kun n = 3, meillä on kaksi polkua , 001 ja 101 Voidaan osoittaa yksinkertaisesti, että n pituisten polkujen lukumäärä A:sta B:hen on täsmälleen F n . Kun graafin viereisyysmatriisi on kirjoitettu, saadaan sama matriisi, joka on kuvattu edellä. Tämä tiedossa oleva tulos graafiteoriasta, että tietylle viereisyysmatriisille A esiintymät A n:ssä ovat n pituisten polkujen lukumäärä graafissa (yksi Good Will Hunting -elokuvassa mainituista ongelmista).

Miksi reunoissa on tällaisia ​​merkintöjä? Osoittautuu, että kun tarkastellaan ääretöntä symbolien sarjaa äärettömässä molempiin suuntiin graafin polkujen sarjassa, saadaan jotain nimeltä "äärellisen tyypin alisiirrot", joka on eräänlainen symbolisen dynamiikan järjestelmä. Tarkemmin sanottuna tämä äärellisen tyypin alisiirto tunnetaan "kultaisena suhteen siirtona", ja se annetaan joukolla "kiellettyjä sanoja" (11). Toisin sanoen saamme binäärisekvenssejä, jotka ovat äärettömiä molempiin suuntiin, eikä niiden paria ole vierekkäin. Tämän topologinen entropia dynaaminen järjestelmä on yhtä suuri kuin kultainen suhde ϕ. On mielenkiintoista, kuinka tämä luku esiintyy ajoittain matematiikan eri alueilla.

Tunnisteet: Lisää tunnisteita