7. luokan matematiikan kurssilla he tapaavat ensin yhtälöt kahdella muuttujalla, mutta niitä tutkitaan vain yhtälöjärjestelmien yhteydessä, joissa on kaksi tuntematonta. Tästä syystä joukko ongelmia putoaa näkyvistä, joissa yhtälön kertoimille asetetaan tiettyjä ehtoja, jotka rajoittavat niitä. Lisäksi ongelmien ratkaisumenetelmät, kuten "Ratkaise yhtälö luonnollisina tai kokonaislukuina", jätetään myös huomiotta, vaikka KÄYTÄ materiaaleja ja pääsykokeissa tällaisia ​​ongelmia kohdataan yhä useammin.

Mitä yhtälöä kutsutaan yhtälöksi, jossa on kaksi muuttujaa?

Joten esimerkiksi yhtälöt 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 tai xy = 12 ovat kaksimuuttujayhtälöitä.

Tarkastellaan yhtälöä 2x - y = 1. Se muuttuu todelliseksi yhtälöksi kohdissa x = 2 ja y = 3, joten tämä muuttujaarvopari on ratkaisu tarkasteltavaan yhtälöön.

Siten minkä tahansa yhtälön ratkaisu kahdella muuttujalla on joukko järjestettyjä pareja (x; y), muuttujien arvot, jotka tämä yhtälö muuttaa todelliseksi numeeriseksi yhtälöksi.

Yhtälö, jossa on kaksi tuntematonta, voi:

A) on yksi ratkaisu. Esimerkiksi yhtälöllä x 2 + 5y 2 = 0 on ainoa päätös (0; 0);

b) on useita ratkaisuja. Esimerkiksi (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 sisältää 4 ratkaisua: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; -2);

V) ei ole ratkaisuja. Esimerkiksi yhtälöllä x 2 + y 2 + 1 = 0 ei ole ratkaisuja;

G) ratkaisuja on äärettömän monta. Esimerkiksi x + y = 3. Tämän yhtälön ratkaisut ovat lukuja, joiden summa on 3. Tämän yhtälön ratkaisujen joukko voidaan kirjoittaa muodossa (k; 3 - k), missä k on mikä tahansa reaaliluku.

Tärkeimmät menetelmät kahdella muuttujalla olevien yhtälöiden ratkaisemiseksi ovat faktorilausekkeisiin perustuvat menetelmät, joissa korostetaan koko neliö, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ominaisuuksia, rajoitettuja lausekkeita ja arviointimenetelmiä. Yhtälö muunnetaan pääsääntöisesti muotoon, josta voidaan saada järjestelmä tuntemattomien löytämiseksi.

Faktorisointi

Esimerkki 1

Ratkaise yhtälö: xy - 2 = 2x - y.

Ratkaisu.

Ryhmittelemme ehdot factoringia varten:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Ota yhteinen kerroin kustakin suluista:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. Meillä on:

y = 2, x on mikä tahansa reaaliluku tai x = -1, y on mikä tahansa reaaliluku.

Täten, vastaus on kaikki muodon (x; 2), x € R ja (-1; y), y € R parit.

Ei-negatiivisten lukujen nollan yhtäläisyys

Esimerkki 2

Ratkaise yhtälö: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Ratkaisu.

Ryhmittely:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Nyt jokainen sulku voidaan tiivistää neliöerokaavalla.

(3x - 2) 2 + (2v - 3) 2 = 0.

Kahden ei-negatiivisen lausekkeen summa on nolla vain, jos 3x - 2 = 0 ja 2y - 3 = 0.

Joten x = 2/3 ja y = 3/2.

Vastaus: (2/3; 3/2).

Arviointimenetelmä

Esimerkki 3

Ratkaise yhtälö: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Ratkaisu.

Valitse jokaisesta hakasulkeesta täysi neliö:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Arvio suluissa olevien ilmaisujen merkitys.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 ja (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, silloin yhtälön vasen puoli on aina vähintään 2. Tasa-arvo on mahdollinen, jos:

(x + 1) 2 + 1 = 1 ja (y - 2) 2 + 2 = 2, joten x = -1, y = 2.

Vastaus: (-1; 2).

Tutustutaan toiseen menetelmään yhtälöiden ratkaisemiseksi kahdella toisen asteen muuttujalla. Tämä menetelmä on, että yhtälöä pidetään neliö jonkin muuttujan suhteen.

Esimerkki 4

Ratkaise yhtälö: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

Ratkaisu.

Ratkaistaan ​​yhtälö neliöllisenä x:n suhteen. Etsitään diskriminantti:

D = 36-4(y-4√y + 13) = -4y + 16√y-16 = -4(√y-2)2. Yhtälöllä on ratkaisu vain kun D = 0, eli jos y = 4. Korvaamme y:n arvon alkuperäiseen yhtälöön ja huomaamme, että x = 3.

Vastaus: (3; 4).

Usein yhtälöissä kaksi tuntematonta osoittavat muuttujien rajoituksia.

Esimerkki 5

Ratkaise yhtälö kokonaislukuina: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Ratkaisu.

Kirjoitetaan yhtälö uudelleen muotoon x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Tuloksena olevan yhtälön oikea puoli, kun se jaetaan 5:llä, antaa jäännöksen 2:sta. Siksi x 2 ei ole jaollinen viidellä. Mutta luvun, joka ei ole jaollinen 5:llä, neliö antaa jäännöksen luvusta 1 tai 4, joten ratkaisuja ei ole.

Vastaus: ei juuria.

Esimerkki 6

Ratkaise yhtälö: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Ratkaisu.

Valitsemme täydet ruudut kustakin suluista:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Yhtälön vasen puoli on aina suurempi tai yhtä suuri kuin 3. Tasa-arvo on mahdollinen, jos |x| – 2 = 0 ja y + 3 = 0. Siten x = ± 2, y = -3.

Vastaus: (2; -3) ja (-2; -3).

Esimerkki 7

Jokaiselle negatiivisten kokonaislukujen (x; y) parille, joka täyttää yhtälön
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, laske summa (x + y). Vastaa pienimpään summaan.

Ratkaisu.

Valitse täydet neliöt:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Koska x ja y ovat kokonaislukuja, myös niiden neliöt ovat kokonaislukuja. Kahden kokonaisluvun neliöiden summa, joka on yhtä suuri kuin 37, saadaan, jos lasketaan yhteen 1 + 36. Siksi:

(x - y) 2 = 36 ja (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 ja (y + 2) 2 = 36.

Ratkaisemalla nämä järjestelmät ja ottaen huomioon, että x ja y ovat negatiivisia, löydämme ratkaisut: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Vastaus: -17.

Älä vaivu epätoivoon, jos sinulla on vaikeuksia ratkaista yhtälöitä kahdella tuntemattomalla. Pienellä harjoituksella pystyt hallitsemaan minkä tahansa yhtälön.

Onko sinulla kysymyksiä? Etkö tiedä kuinka ratkaista yhtälöitä kahdella muuttujalla?
Saadaksesi tutorin apua - rekisteröidy.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Yhtälö on yhtälö, joka sisältää kirjaimen, jonka arvo on löydettävä.

Yhtälöissä tuntematon merkitään yleensä pienellä latinalaiskirjaimella. Yleisimmin käytetyt kirjaimet ovat "x" [x] ja "y" [y].

• Yhtälön juuri- tämä on kirjaimen arvo, jolla yhtälöstä saadaan oikea numeerinen yhtälö.
• ratkaise yhtälö- tarkoittaa kaikkien sen juurten löytämistä tai sen varmistamista, ettei juuria ole.

Kun yhtälö on ratkaistu, kirjoitamme aina sekin vastauksen jälkeen.

Tietoa vanhemmille

Hyvät vanhemmat, huomioi tämä ala-aste ja 5. luokalla lapset EIVÄT tiedä aihetta "Negatiiviset luvut".

Siksi heidän on ratkaistava yhtälöt käyttämällä vain yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskuominaisuuksia. Alla on esitetty luokan 5 yhtälöiden ratkaisumenetelmät.

Älä yritä selittää yhtälöiden ratkaisua siirtämällä numeroita ja kirjaimia yhtälön yhdestä osasta toiseen etumerkin muutoksella.

Voit päivittää tietosi yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskujen käsitteistä oppitunnilla "Aritmeettiset lait".

Yhtälöiden ratkaiseminen yhteen- ja vähennyslaskulle

Kuinka löytää tuntematon
termi

Kuinka löytää tuntematon
minuendi

Kuinka löytää tuntematon
alaosa

Löytääksesi tuntemattoman termin, vähennä tunnettu termi summasta.

Tuntemattoman minuendin löytämiseksi sinun on lisättävä eroon aliosa.

Tuntemattoman aliosan löytämiseksi on vähennettävä ero minuutteesta.

x + 9 = 15
x = 15 − 9
x=6
Tutkimus

x − 14 = 2
x = 14 + 2
x = 16
Tutkimus

16 − 2 = 14
14 = 14

5 − x = 3
x = 5–3
x=2
Tutkimus

Kerto- ja jakoyhtälöiden ratkaiseminen

Kuinka löytää tuntematon
tekijä

Kuinka löytää tuntematon
osinkoa

Kuinka löytää tuntematon
jakaja

Tuntemattoman tekijän löytämiseksi tuote on jaettava tunnetulla tekijällä.

Tuntemattoman osingon löytämiseksi sinun on kerrottava osamäärä jakajalla.

Löytääksesi tuntemattoman jakajan jakamalla osinko osamäärällä.

v 4 = 12
y = 12:4
y = 3
Tutkimus

y:7=2
y = 27
y = 14
Tutkimus

8:y=4
y = 8:4
y = 2
Tutkimus

Yhtälö on yhtälö, joka sisältää kirjaimen, jonka merkki on löydettävä. Ratkaisu yhtälöön on kirjainarvojen joukko, joka muuttaa yhtälön todelliseksi yhtälöksi:

Muista se ratkaistaksesi yhtälö on tarpeen siirtää termit tuntemattomilla yhtälön yhteen osaan ja numeeriset termit toiseen, tuoda samanlaiset ja saada seuraava yhtäläisyys:

Viimeisestä yhtälöstä määritetään tuntematon säännöllä: "yksi tekijöistä on yhtä suuri kuin osamäärä jaettuna toisella tekijällä."

Koska rationaaliluvuilla a ja b voivat olla samat ja erilaisia ​​merkkejä, silloin tuntemattoman etumerkki määräytyy rationaalilukujen jakosäännöillä.

Menettely lineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi

Lineaarista yhtälöä on yksinkertaistettava avaamalla sulut ja suorittamalla toisen vaiheen toiminnot (kerto- ja jakolasku).

Siirrä tuntemattomat yhtäläisyysmerkin toiselle puolelle ja luvut yhtäläisyysmerkin toiselle puolelle, jolloin saadaan identtisiksi annettu yhtäläisyys,

Tuo samankaltainen yhtäläisyysmerkin vasemmalle ja oikealle puolelle, jolloin saadaan muodon yhtäläisyys kirves = b.

Laske yhtälön juuri (etsi tuntematon X tasa-arvosta x = b : a),

Testaa korvaamalla tuntematon annettuun yhtälöön.

Jos saamme identiteetin numeerisessa yhtälössä, yhtälö on ratkaistu oikein.

Yhtälöiden ratkaisemisen erikoistapaukset

1. Jos yhtälö saadaan tulolla, joka on yhtä suuri kuin 0, niin sen ratkaisemiseksi käytämme kertolaskuominaisuutta: "tulo on yhtä suuri kuin nolla, jos jompikumpi tekijöistä tai molemmat tekijät ovat nolla."

27 (x - 3) = 0
27 ei ole yhtä kuin 0, joten x - 3 = 0

Toisessa esimerkissä on kaksi ratkaisua yhtälöön, koska
Tämä on toisen asteen yhtälö:

Jos yhtälön kertoimet ovat tavallisia murtolukuja, ensimmäinen asia on päästä eroon nimittäjistä. Tätä varten:

Etsi yhteinen nimittäjä;

Määritä lisätekijät yhtälön kullekin termille;

Kerro murto- ja kokonaislukujen osoittajat lisäkertoimilla ja kirjoita kaikki yhtälön ehdot ilman nimittäjiä (yhteinen nimittäjä voidaan hylätä);

Siirrä termit tuntemattomilla yhtälön yhteen osaan ja numeeriset termit toiseen yhtälön merkistä, jolloin saadaan ekvivalentti yhtäläisyys;

Tuo samat termit;

Yhtälöiden perusominaisuudet

Missä tahansa yhtälön osassa voit tuoda samankaltaisia ​​termejä tai avata hakasulkeen.

Mikä tahansa yhtälön termi voidaan siirtää yhtälön osasta toiseen muuttamalla sen etumerkki päinvastaiseksi.

Yhtälön molemmat puolet voidaan kertoa (jakaa) samalla luvulla paitsi 0.

Yllä olevassa esimerkissä sen kaikkia ominaisuuksia käytettiin yhtälön ratkaisemiseen.

Sääntö yksinkertaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaali erityisosastossa 555.
Niille, jotka ovat vahvoja "ei kovin. »
Ja niille, jotka "erittäin tasaisia. "")

Lineaariset yhtälöt.

Lineaariset yhtälöt eivät ole koulumatematiikan vaikein aihe. Mutta siellä on joitain temppuja, jotka voivat hämmentää jopa koulutetun opiskelijan. Selvitetäänkö se?)

Lineaarinen yhtälö määritellään yleensä yhtälöksi, jonka muoto on:

Ei mitään monimutkaista, eikö? Varsinkin jos et huomaa sanoja: "missä a ja b ovat mitä tahansa lukuja". Ja jos huomaat, mutta ajattelet sitä huolimattomasti?) Loppujen lopuksi, jos a=0, b = 0(kaikki numerot ovat mahdollisia?), niin saadaan hauska lauseke:

Mutta ei siinä vielä kaikki! Jos sanotaan, a=0, A b = 5, siitä tulee jotain aivan absurdia:

Mikä rasittaa ja heikentää luottamusta matematiikkaan, kyllä.) Varsinkin kokeissa. Mutta näistä outoista ilmauksista sinun on löydettävä myös X! Jota ei ole ollenkaan olemassa. Ja yllättävää kyllä, tämä X on erittäin helppo löytää. Opimme kuinka se tehdään. Tällä oppitunnilla.

Kuinka tunnistaa lineaarinen yhtälö ulkonäöltään? Riippuu mitä ulkomuoto.) Temppu on siinä, että lineaarisia yhtälöitä ei kutsuta vain muodon yhtälöiksi kirves + b = 0 , mutta myös kaikki yhtälöt, jotka on pelkistetty tähän muotoon muunnoksilla ja yksinkertaistuksilla. Ja kuka tietää, vähennetäänkö sitä vai ei?)

Lineaarinen yhtälö voidaan joissain tapauksissa tunnistaa selvästi. Sanotaan, että jos meillä on yhtälö, jossa on vain tuntemattomia ensimmäisessä asteessa, kyllä ​​numerot. Ja yhtälö ei murtoluvut jaettuna tuntematon , on tärkeää! Ja jakamalla määrä, tai murtoluku - siinä se! Esimerkiksi:

Tämä on lineaarinen yhtälö. Tässä on murtolukuja, mutta neliössä, kuutiossa jne. ei ole x:iä, eikä nimittäjissä ole x:iä, ts. Ei jako x:llä. Ja tässä on yhtälö



ei voida kutsua lineaariksi. Tässä x:t ovat kaikki ensimmäisessä asteessa, mutta siellä on jakaminen lausekkeella x:llä. Yksinkertaistusten ja muunnosten jälkeen voit saada lineaarisen yhtälön ja toisen asteen ja mitä tahansa haluat.

Osoittautuu, että on mahdotonta löytää lineaarista yhtälöä jossain monimutkaisessa esimerkissä, ennen kuin melkein ratkaiset sen. Se on järkyttävää. Mutta tehtävissä he eivät yleensä kysy yhtälön muotoa, eikö niin? Tehtävissä yhtälöt ovat järjestyksessä päättää. Tämä tekee minut onnelliseksi.)

Lineaaristen yhtälöiden ratkaisu. Esimerkkejä.

Lineaaristen yhtälöiden koko ratkaisu koostuu identtisistä yhtälöiden muunnoksista. Muuten, nämä muunnokset (jopa kaksi!) ovat ratkaisujen taustalla kaikki matematiikan yhtälöt. Toisin sanoen päätös minkä tahansa Yhtälö alkaa samoilla muunnoksilla. Lineaaristen yhtälöiden tapauksessa se (ratkaisu) näiden muunnosten kohdalla päättyy täysimittaiseen vastaukseen. On järkevää seurata linkkiä, eikö?) Lisäksi on myös esimerkkejä lineaaristen yhtälöiden ratkaisemisesta.

Aloitetaan yksinkertaisimmalla esimerkillä. Ilman mitään sudenkuoppia. Oletetaan, että meidän on ratkaistava seuraava yhtälö.

Tämä on lineaarinen yhtälö. X:t ovat kaikki ensimmäisellä potenssilla, X:llä ei ole jakoa. Mutta itse asiassa emme välitä, mikä yhtälö on. Meidän on ratkaistava se. Kaava tässä on yksinkertainen. Kerää kaikki x:t yhtälön vasemmalla puolella, kaikki ilman x:iä (lukuja) oikealta.

Tätä varten sinun on siirrettävä — 4x vasemmalle puolelle, tietysti merkin vaihdolla, mutta — 3 - oikealle. Tämä on muuten ensimmäinen identtinen yhtälöiden muunnos. Yllättynyt? Joten he eivät seuranneet linkkiä, mutta turhaan.) Saamme:

Annamme samanlaisia, harkitsemme:

Mitä tarvitsemme ollaksemme täysin onnellisia? Kyllä, niin että vasemmalla on puhdas X! Viisi on tiellä. Päästä eroon viidestä toinen identtinen yhtälöiden muunnos. Nimittäin jaamme molemmat yhtälön osat 5:llä. Saamme valmiin vastauksen:

Alkuperäinen esimerkki tietysti. Tämä on lämmittelyä varten.) Ei ole kovin selvää, miksi muistin tässä identtiset muunnokset? OK. Tartumme härkää sarvista.) Päätetään jotain vaikuttavampaa.

Tässä on esimerkiksi tämä yhtälö:



Mistä aloitamme? Kun x - vasemmalle, ilman x - oikealle? Voisi olla niin. Pienet askeleet pitkällä tiellä. Ja voit heti, universaalilla ja tehokkaalla tavalla. Ellei tietenkään arsenaalissasi ole identtisiä yhtälöiden muunnoksia.

Esitän sinulle keskeisen kysymyksen: Mistä et pidä eniten tässä yhtälössä?

95 ihmistä 100:sta vastaa: murto-osia ! Vastaus on oikea. Joten päästään niistä eroon. Aloitamme siis heti toinen identtinen muunnos. Mitä tarvitaan kertomaan vasemmalla oleva murto-osa, jotta nimittäjä pienenee kokonaan? Aivan oikein, 3. Ja oikealla? Mutta matematiikan avulla voimme kertoa molemmat puolet sama numero. Miten pääsemme ulos? Kerrotaan molemmat puolet 12:lla! Nuo. yhteiseksi nimittäjäksi. Sitten kolme pienenee ja neljä. Älä unohda, että sinun on kerrottava jokainen osa täysin. Ensimmäinen vaihe näyttää tältä:





Huomautus! Osoittaja (x+2) Otin suluissa! Tämä johtuu siitä, että murtolukuja kerrottaessa osoittaja kerrotaan kokonaisuudella, kokonaan! Ja nyt voit pienentää murtolukuja ja vähentää:

Loput sulkeet avataan:

Ei esimerkki, mutta silkkaa iloa!) Nyt muistamme loitsun alemmilla luokilla: x:llä - vasemmalle, ilman x:tä - oikealle! Ja käytä tätä muutosta:

Ja jaamme molemmat osat 25:llä, ts. käytä toista muutosta uudelleen:



Siinä kaikki. Vastaus: X=0,16

Huomaa: saadaksemme alkuperäisen hämmentävän yhtälön miellyttävään muotoon käytimme kahta (vain kahta!) identtisiä muunnoksia- käännös vasen-oikea etumerkin muutoksella ja yhtälön kerto-jakalla samalla luvulla. Tämä on universaali tapa! Työskentelemme tällä tavalla minkä tahansa yhtälöt! Ehdottomasti mikä tahansa. Siksi toistan näitä identtisiä muunnoksia koko ajan.)

Kuten näet, lineaaristen yhtälöiden ratkaisemisen periaate on yksinkertainen. Otamme yhtälön ja yksinkertaistamme sitä identtisten muunnosten avulla, kunnes saamme vastauksen. Tärkeimmät ongelmat ovat laskelmissa, eivät ratkaisun periaatteessa.

Mutta. Alkeisimpien lineaaristen yhtälöiden ratkaisuprosessissa on sellaisia ​​yllätyksiä, että ne voivat ajaa vahvaan umpikujaan.) Onneksi tällaisia ​​yllätyksiä voi olla vain kaksi. Kutsutaanpa niitä erikoistapauksiksi.

Erikoistapaukset lineaariyhtälöiden ratkaisemisessa.

Yllätys ensin.

Oletetaan, että törmäät perusyhtälöön, kuten:

Hieman tylsistyneenä siirrymme X:llä vasemmalle, ilman X - oikealle. Merkin vaihdolla kaikki on chinaaria. Saamme:

Harkitsemme ja. Oho. Saamme:

Tämä tasa-arvo ei sinänsä ole moitittavaa. Nolla on todella nolla. Mutta X on poissa! Ja meidän on kirjoitettava vastaukseen, mikä x on yhtä suuri. Muuten ratkaisua ei lasketa, kyllä.) Umpikuja?

Rauhoittaa! Tällaisissa epäilyttävissä tapauksissa yleisimmät säännöt pelastavat. Kuinka ratkaista yhtälöt? Mitä yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa? Tämä tarkoittaa, Etsi kaikki x:n arvot, jotka alkuperäiseen yhtälöön korvattuna antavat meille oikean yhtälön.

Mutta meillä on oikea tasa-arvo jo tapahtui! 0=0, missä oikein?! On vielä selvitettävä, millä x:llä tämä saadaan. Millä x:n arvoilla voidaan korvata alkuperäinen yhtälö, jos nämä x:t vieläkin kutistuu nollaan?Älä viitsi?)

Joo. X:t voidaan korvata minkä tahansa! Mitä haluat. Vähintään 5, vähintään 0,05, vähintään -220. Ne kutistuvat silti. Jos et usko minua, voit tarkistaa sen.) Korvaa mitkä tahansa x-arvot alkuperäinen yhtälö ja laske. Koko ajan saadaan puhdas totuus: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 ja niin edelleen.

Tässä on vastauksesi: x on mikä tahansa luku.

Vastaus voidaan kirjoittaa erilaisilla matemaattisilla symboleilla, olemus ei muutu. Tämä on täysin oikea ja täydellinen vastaus.

Yllätys kakkosena.

Otetaan sama alkeislineaarinen yhtälö ja muutetaan vain yksi luku siinä. Tästä päätämme:

Samojen identtisten muutosten jälkeen saamme jotain kiehtovaa:

Kuten tämä. Ratkaisi lineaarisen yhtälön, sai kummallisen yhtälön. Matemaattisesti sanottuna meillä on väärä tasa-arvo. Ja puhuminen selkeää kieltä, Tämä ei ole totta. Rave. Mutta tästä huolimatta tämä hölynpöly on varsin hyvä syy yhtälön oikeaan ratkaisuun.)

Jälleen ajattelemme alkaen yleiset säännöt. Mitä x, kun se korvataan alkuperäiseen yhtälöön, antaa meille oikea tasa-arvo? Kyllä, ei yhtään! Sellaisia ​​x:iä ei ole olemassa. Mitä tahansa korvaatkin, kaikki vähenee, hölynpölyä jää.)

Tässä on vastauksesi: ei ole ratkaisuja.

Tämä on myös täysin pätevä vastaus. Matematiikassa tällaisia ​​vastauksia esiintyy usein.

Kuten tämä. Nyt toivon, että X:iden menetys minkä tahansa (ei vain lineaarisen) yhtälön ratkaisemisessa ei häiritse sinua ollenkaan. Asia on tuttu.)

Nyt kun olemme käsitelleet kaikki sudenkuopat lineaariset yhtälöt, on järkevää ratkaista ne.

Ovatko he kokeessa? – Kuulen käytännön ihmisten kysymyksen. Vastaan. Puhtaimmassa muodossaan ei. Liian alkeellista. Mutta GIA:ssa tai kun ratkaiset ongelmia kokeessa, törmäät niihin varmasti! Joten vaihdamme hiiren kahvaan ja päätämme.









Vastaukset annetaan häiriötilanteessa: 2,5; ei ratkaisuja; 51; 17.

Tapahtui?! Onnittelut! Sinulla on hyvät mahdollisuudet kokeisiin.)

Eivätkö vastaukset täsmää? M-kyllä. Tämä ei ole miellyttävää. Tämä ei ole aihe, jota ilman et voi tulla toimeen. Suosittelen, että käyt osiossa 555. Se on hyvin yksityiskohtainen, Mitä tehdä ja Miten tee tämä, jotta et hämmentyisi päätöksessä. Näiden yhtälöiden esimerkissä.

A kuinka ratkaista yhtälöitä mutkikkaampi - tämä on seuraavassa aiheessa.

Jos pidät tästä sivustosta.

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Täällä voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opi mielenkiinnolla!

Ja täällä voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen luokka 7

varten lineaaristen yhtälöiden ratkaisuja käytä kahta perussääntöä (ominaisuutta).

Kiinteistö nro 1
tai
siirtosääntö

Siirtyessään yhtälön osasta toiseen yhtälön termi muuttaa etumerkkinsä päinvastaiseksi.

Katsotaanpa siirtosääntöä esimerkin avulla. Oletetaan, että meidän on ratkaistava lineaarinen yhtälö.



Muista, että kaikilla yhtälöillä on vasen puoli ja oikea puoli.



Siirretään numeroa "3" yhtälön vasemmalta puolelta oikealle.

Koska numerossa "3" oli "+"-merkki yhtälön vasemmalla puolella, se tarkoittaa, että "3" siirretään yhtälön oikealle puolelle "-"-merkillä.



Tuloksena olevaa numeerista arvoa " x \u003d 2 " kutsutaan yhtälön juureksi.

Älä unohda kirjoittaa vastausta ylös minkä tahansa yhtälön ratkaisemisen jälkeen.

Tarkastellaan toista yhtälöä.

Siirtosäännön mukaan siirrämme "4x" yhtälön vasemmalta puolelta oikealle vaihtaen etumerkin päinvastaiseksi.

Vaikka "4x" edessä ei ole merkkiä, ymmärrämme, että "4x" edessä on "+".

Nyt annamme samanlaiset ja ratkaisemme yhtälön loppuun.

Kiinteistö nro 2
tai
jako sääntö

Missä tahansa yhtälössä voit jakaa vasemman ja oikean puolen samalla numerolla.

Mutta tuntemattomalla ei voi jakaa!

Katsotaanpa esimerkkiä jakosäännön käyttämisestä lineaaristen yhtälöiden ratkaisemisessa.

Lukua "4", joka on "x", kutsutaan tuntemattoman numeeriseksi kertoimeksi.



Numeerisen kertoimen ja tuntemattoman välissä on aina kertolasku.

Yhtälön ratkaisemiseksi on varmistettava, että kohdassa "x" on kerroin "1".

Esitetään itseltämme kysymys: "Mihin sinun täytyy jakaa" 4 "
saada "1"?. Vastaus on ilmeinen, sinun on jaettava "4".

Käytä jakosääntöä ja jaa yhtälön vasen ja oikea puoli luvulla 4. Älä unohda, että sinun on jaettava sekä vasen että oikea osa.



Käytämme murto-osien pelkistystä ja ratkaisemme lineaarisen yhtälön loppuun.



Kuinka ratkaista yhtälö, jos "x" on negatiivinen

Usein yhtälöissä on tilanne, jossa kohdassa "x" on negatiivinen kerroin. Kuten alla olevassa yhtälössä.

Sellaisen yhtälön ratkaisemiseksi kysymme jälleen itseltämme kysymyksen: "Millä sinun täytyy jakaa "-2" saadaksesi "1"?". Jaa "-2":lla.

Yksinkertaisten lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen

Tässä videossa analysoimme koko sarjan lineaarisia yhtälöitä, jotka ratkaistaan ​​samalla algoritmilla - siksi niitä kutsutaan yksinkertaisimmiksi.

Aluksi määritellään: mikä on lineaarinen yhtälö ja mitä niistä pitäisi kutsua yksinkertaisimmaksi?

Lineaarinen yhtälö on sellainen, jossa on vain yksi muuttuja ja vain ensimmäisessä asteessa.

Yksinkertaisin yhtälö tarkoittaa rakennetta:

Kaikki muut lineaariset yhtälöt pelkistetään yksinkertaisimpiin käyttämällä algoritmia:

2. Avoimet sulut, jos sellaisia ​​on;
3. Siirrä muuttujan sisältävät termit yhtäläisyysmerkin toiselle puolelle ja termit ilman muuttujaa toiselle puolelle;
4. Tuo samat termit yhtäläisyysmerkin vasemmalle ja oikealle puolelle;
5. Jaa saatu yhtälö muuttujan $x$ kertoimella.

Tämä algoritmi ei tietenkään aina auta. Tosiasia on, että joskus kaikkien näiden koneistusten jälkeen muuttujan $x$ kerroin osoittautuu nollaksi. Tässä tapauksessa kaksi vaihtoehtoa on mahdollista:

6. Yhtälöllä ei ole lainkaan ratkaisuja. Esimerkiksi kun saat jotain $0\cdot x=8$, ts. vasemmalla on nolla ja oikealla on nollasta poikkeava luku. Alla olevassa videossa tarkastellaan useita syitä, miksi tämä tilanne on mahdollinen.
7. Ratkaisu on kaikki numerot. Ainoa tapaus, jolloin tämä on mahdollista, on kun yhtälö pelkistetään konstruktioon $0\cdot x=0$. On aivan loogista, että riippumatta siitä, mitä $x$ korvaamme, siitä huolimatta tulee esiin "nolla on yhtä kuin nolla", ts. oikea numeerinen yhtäläisyys.

Ja nyt katsotaan kuinka se kaikki toimii todellisten ongelmien esimerkissä.

Esimerkkejä yhtälöiden ratkaisemisesta

Nykyään käsittelemme lineaarisia yhtälöitä, ja vain yksinkertaisimpia. Yleensä lineaarinen yhtälö tarkoittaa mitä tahansa yhtälöä, joka sisältää täsmälleen yhden muuttujan, ja se menee vain ensimmäiseen asteeseen.

Tällaiset rakenteet ratkaistaan ​​suunnilleen samalla tavalla:

1. Ensinnäkin sinun on avattava mahdolliset sulut (kuten viimeisessä esimerkissämme);
2. Tuo sitten samanlainen
3. Lopuksi eristetään muuttuja, ts. kaikki muuttujaan liittyvä - sen sisältämät termit - siirtyy toiselle puolelle ja kaikki, mikä jää ilman sitä, siirtyy toiselle puolelle.

Sitten sinun on pääsääntöisesti tuotava samanlainen tuloksena olevan tasa-arvon kummallekin puolelle, ja sen jälkeen jää vain jakaa kertoimella kohdassa "x", ja saamme lopullisen vastauksen.

Teoriassa tämä näyttää mukavalta ja yksinkertaiselta, mutta käytännössä jopa kokeneet lukiolaiset voivat tehdä loukkaavia virheitä melko yksinkertaisissa lineaarisissa yhtälöissä. Yleensä virheitä tehdään joko sulkuja avattaessa tai "plussia" ja "miinuksia" laskettaessa.

Lisäksi käy niin, että lineaarisella yhtälöllä ei ole ratkaisuja ollenkaan tai niin, että ratkaisu on koko lukuviiva, ts. mikä tahansa numero. Analysoimme näitä hienouksia tämän päivän oppitunnilla. Mutta aloitamme, kuten jo ymmärsit, yksinkertaisimmista tehtävistä.

Kaavio yksinkertaisten lineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi

Aluksi haluan kirjoittaa vielä kerran koko kaavion yksinkertaisimpien lineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi:

4. Laajenna mahdolliset sulkeet.
5. Eristä muuttujat, ts. kaikki, mikä sisältää "x":n, siirretään toiselle puolelle ja ilman x:tä - toiselle.
6. Esittelemme samanlaisia ​​termejä.
7. Jaamme kaiken kertoimella "x".

Tämä järjestelmä ei tietenkään aina toimi, sillä on tiettyjä hienouksia ja temppuja, ja nyt opimme tuntemaan ne.

Tosiesimerkkien ratkaiseminen yksinkertaisista lineaarisista yhtälöistä

Ensimmäisessä vaiheessa meidän on avattava kiinnikkeet. Mutta ne eivät ole tässä esimerkissä, joten ohitamme tämän vaiheen. Toisessa vaiheessa meidän on eristettävä muuttujat. Huomaa: puhumme vain yksittäisistä ehdoista. Kirjoitetaan:

Annamme samanlaiset ehdot vasemmalla ja oikealla, mutta tämä on jo tehty täällä. Siksi siirrymme neljänteen vaiheeseen: jaa kertoimella:

Tässä saimme vastauksen.

Tässä tehtävässä voimme tarkkailla sulkuja, joten laajennetaan niitä:

Sekä vasemmalla että oikealla näemme suunnilleen saman konstruktion, mutta toimitaan algoritmin mukaan, ts. Sequester muuttujat:

Millä juurilla tämä toimii? Vastaus: mihin tahansa. Siksi voimme kirjoittaa, että $x$ on mikä tahansa luku.

Kolmas lineaarinen yhtälö on jo mielenkiintoisempi:

\[\vasen(6-x \oikea)+\vasen(12+x \oikea)-\vasen(3-2x \oikea)=15\]

Tässä on useita suluita, mutta niitä ei kerrota millään, niiden edessä on vain erilaisia ​​merkkejä. Puretaan ne:

Suoritamme jo tuntemamme toisen vaiheen:

Me toteutamme viimeinen askel- jaa kaikki kertoimella "x":

Muistettavaa, kun ratkaiset lineaarisia yhtälöitä

Jos jätämme huomiotta liian yksinkertaiset tehtävät, haluaisin sanoa seuraavaa:

8. Kuten edellä sanoin, jokaisella lineaarisella yhtälöllä ei ole ratkaisua - joskus juuria ei yksinkertaisesti ole;
9. Vaikka juuret olisivat, nolla voi päästä niiden joukkoon - siinä ei ole mitään vikaa.

Nolla on sama luku kuin muut, sinun ei pitäisi jotenkin syrjiä sitä tai olettaa, että jos sait nollan, olet tehnyt jotain väärin.

Toinen ominaisuus liittyy sulkeiden laajentamiseen. Huomaa: kun niiden edessä on "miinus", poistamme sen, mutta suluissa muutamme merkit vastapäätä. Ja sitten voimme avata sen standardialgoritmien mukaan: saamme sen, mitä näimme yllä olevissa laskelmissa.

Tämän yksinkertaisen tosiasian ymmärtäminen auttaa sinua välttämään typeriä ja loukkaavia virheitä lukiossa, kun tällaisia ​​toimia pidetään itsestäänselvyytenä.

Monimutkaisten lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen

Jatketaan lisää monimutkaisia ​​yhtälöitä. Nyt rakenteet monimutkaistuvat ja eri muunnoksia suoritettaessa tulee näkyviin neliöfunktio. Sinun ei kuitenkaan pitäisi pelätä tätä, koska jos ratkaisemme kirjoittajan tarkoituksen mukaan lineaarisen yhtälön, niin muunnosprosessissa kaikki monomit, jotka sisältävät toisen asteen funktion, pelkistyvät välttämättä.

On selvää, että ensimmäinen askel on avata sulut. Tehdään tämä erittäin huolellisesti:

Otetaan nyt yksityisyys:

Ilmeisesti tällä yhtälöllä ei ole ratkaisuja, joten vastauksessa kirjoitamme seuraavasti:

Suoritamme samat vaiheet. Ensimmäinen askel:

Siirretään kaikki muuttujan kanssa vasemmalle ja ilman sitä - oikealle:

Ilmeisesti tällä lineaarisella yhtälöllä ei ole ratkaisua, joten kirjoitamme sen näin:

tai ei juuria.

Ratkaisun vivahteet

Molemmat yhtälöt ovat täysin ratkaistu. Näiden kahden lausekkeen esimerkissä varmistimme jälleen kerran, että jopa yksinkertaisimmissa lineaarisissa yhtälöissä kaikki ei voi olla niin yksinkertaista: niitä voi olla joko yksi tai ei yhtään tai äärettömän monta. Meidän tapauksessamme tarkastelimme kahta yhtälöä, molemmissa ei yksinkertaisesti ole juuria.

Mutta haluaisin kiinnittää huomiosi toiseen tosiasiaan: kuinka työskennellä suluilla ja kuinka laajentaa niitä, jos niiden edessä on miinusmerkki. Harkitse tätä ilmaisua:

Ennen avaamista sinun on kerrottava kaikki "x":llä. Huomaa: kerro jokainen yksittäinen termi. Sisällä on kaksi termiä - vastaavasti kaksi termiä ja kerrotaan.

Ja vasta kun nämä näennäisesti alkeelliset, mutta erittäin tärkeät ja vaaralliset muutokset on saatu päätökseen, voidaan sulku avata siltä kannalta, että sen jälkeen on miinusmerkki. Kyllä, kyllä: vasta nyt, kun muunnokset on tehty, muistamme, että suluissa on miinusmerkki, mikä tarkoittaa, että kaikki alla oleva vain muuttaa merkkejä. Samaan aikaan itse kiinnikkeet katoavat ja mikä tärkeintä, myös etuosan "miinus" katoaa.

Teemme saman toisen yhtälön kanssa:

Ei ole sattumaa, että kiinnitän huomiota näihin pieniin, näennäisesti merkityksettömiin faktoihin. Koska yhtälöiden ratkaiseminen on aina alkeismuunnosten sarja, jossa kyvyttömyys tehdä selkeästi ja pätevästi yksinkertaisia ​​​​toimintoja johtaa siihen, että lukiolaiset tulevat luokseni ja oppivat ratkaisemaan tällaisia ​​​​yksinkertaisia ​​​​yhtälöitä uudelleen.

Tietysti tulee päivä, jolloin hioat nämä taidot automatismiin. Sinun ei enää tarvitse tehdä niin monia muunnoksia joka kerta, kirjoitat kaiken yhdelle riville. Mutta kun olet vain oppimassa, sinun on kirjoitettava jokainen toiminto erikseen.

Vielä monimutkaisempien lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen

Sitä, mitä aiomme ratkaista nyt, voidaan tuskin kutsua yksinkertaisimmaksi tehtäväksi, mutta merkitys pysyy samana.

\[\vasen(7x+1 \oikea)\vasen(3x-1 \oikea)-21=3\]

Kerrotaan kaikki ensimmäisen osan elementit:

Tehdään retriitti:

Tehdään viimeinen vaihe:

Tässä on lopullinen vastauksemme. Ja huolimatta siitä, että ratkaisuprosessissa meillä oli neliöfunktion kertoimia, ne kuitenkin kumosivat toisensa, mikä tekee yhtälöstä täsmälleen lineaarisen, ei neliön.

\[\vasen(1-4x \oikea)\vasen(1-3x \oikea)=6x\vasen(2x-1 \oikea)\]

Tehdään ensimmäinen vaihe huolellisesti: kerrotaan jokainen ensimmäisen sulussa oleva elementti jokaisella toisen elementillä. Yhteensä neljä uutta termiä tulisi saada muunnosten jälkeen:

Ja nyt suorita kertolasku huolellisesti jokaisessa termissä:

Siirretään termit "x":n kanssa vasemmalle ja ilman - oikealle:

Tässä on samanlaisia ​​termejä:

Olemme saaneet lopullisen vastauksen.

Tärkein huomautus näistä kahdesta yhtälöstä on seuraava: heti kun alamme kertoa hakasulkeet, joissa on sitä suurempi termi, niin tämä tehdään seuraava sääntö: otamme ensimmäisen termin ensimmäisestä ja kerromme jokaisella elementillä toisesta; sitten otetaan toinen elementti ensimmäisestä ja kerrotaan samalla tavalla jokaisella toisesta elementistä. Tuloksena saamme neljä termiä.

Algebrallisella summalla

Viimeisellä esimerkillä haluaisin muistuttaa oppilaita, mikä on algebrallinen summa. Klassisessa matematiikassa $1-7$ tarkoitamme yksinkertaista konstruktiota: vähennämme seitsemän yhdestä. Algebrassa tarkoitamme tällä seuraavaa: numeroon "yksi" lisäämme toisen luvun, nimittäin "miinus seitsemän". Tämä algebrallinen summa eroaa tavallisesta aritmeettisesta summasta.

Heti kun suoritat kaikkia muunnoksia, jokaista yhteenlaskua ja kertolaskua, alat nähdä edellä kuvatun kaltaisia ​​rakenteita, sinulla ei yksinkertaisesti ole ongelmia algebrassa työskennellessäsi polynomien ja yhtälöiden kanssa.

Lopuksi katsotaan vielä muutama esimerkki, jotka ovat vieläkin monimutkaisempia kuin juuri tarkastelimme, ja niiden ratkaisemiseksi meidän on laajennettava hieman standardialgoritmiamme.

Yhtälöiden ratkaiseminen murtoluvulla

Tällaisten tehtävien ratkaisemiseksi algoritmiimme on lisättävä vielä yksi vaihe. Mutta ensin muistutan algoritmimme:

10. Erilliset muuttujat.

Valitettavasti tämä upea algoritmi kaikesta tehokkuudestaan ​​huolimatta ei ole täysin sopiva, kun meillä on edessämme murto-osia. Ja mitä näemme alla, molemmissa yhtälöissä on murto-osa vasemmalla ja oikealla.

Kuinka toimia tässä tapauksessa? Kyllä, se on hyvin yksinkertaista! Tätä varten sinun on lisättävä algoritmiin vielä yksi vaihe, joka voidaan suorittaa sekä ennen ensimmäistä toimintoa että sen jälkeen, nimittäin päästä eroon murtoluvuista. Algoritmi tulee siis olemaan seuraava:

11. Päästä eroon murtoluvuista.
12. Avaa kiinnikkeet.
13. Tuo samanlainen.
14. Jaa kertoimella.

Mitä tarkoittaa "päästä eroon murtoluvuista"? Ja miksi tämä on mahdollista tehdä sekä ensimmäisen vakiovaiheen jälkeen että ennen sitä? Itse asiassa meidän tapauksessamme kaikki murtoluvut ovat numeerisia nimittäjän suhteen, ts. kaikkialla nimittäjä on vain numero. Siksi, jos kerromme yhtälön molemmat osat tällä luvulla, pääsemme eroon murtoluvuista.

Päätetään eroon tämän yhtälön murtoluvuista:

Huomaa: kaikki kerrotaan "neljällä" kerran, ts. se, että sinulla on kaksi hakasulkua, ei tarkoita, että sinun täytyy kertoa niistä jokainen "neljällä". Kirjoitetaan:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(-1 \right)\cdot 4\]

Suoritamme muuttujan eristämisen:

Suoritamme vastaavien ehtojen vähentämisen:

\[-4x=-1\left| :\vasen(-4 \oikea) \oikea.\]

Olemme saaneet lopullisen ratkaisun, siirrymme toiseen yhtälöön.

Täällä teemme kaikki samat toiminnot:

Se on itse asiassa kaikki, mitä halusin kertoa tänään.

Avainkohdat

Tärkeimmät havainnot ovat seuraavat:

8. Tunne lineaaristen yhtälöiden ratkaisualgoritmi.
9. Kyky avata kiinnikkeitä.
10. Älä huoli, jos sinulla on toisen asteen funktioita jossain, todennäköisimmin lisämuunnosprosessissa niitä pienennetään.
11. Lineaaristen yhtälöiden juuret, jopa yksinkertaisimmat, ovat kolmenlaisia: yksi juuri, koko lukuviiva on juuri, juuria ei ole ollenkaan.

Toivon, että tämä oppitunti auttaa sinua hallitsemaan yksinkertaisen, mutta erittäin tärkeän aiheen kaiken matematiikan ymmärtämiseksi paremmin. Jos jokin on epäselvää, mene sivustolle ja ratkaise siellä esitetyt esimerkit. Pysy kuulolla, sinua odottaa paljon muuta mielenkiintoista!

12. Irrationaalinen yhtälö: oppiminen ratkaisemaan juurieristysmenetelmällä
13. Kuinka ratkaista bikvadraattinen yhtälö
14. Testi oppitunnille "Monimutkaiset lausekkeet murtoluvuilla" (helppo)
15. Kokeilukoe 2012 alkaen 7. joulukuuta. Vaihtoehto 1 (ei logaritmeja)
16. Video-opastus tehtävistä C2: etäisyys pisteestä tasoon
17. Matematiikan tutor: minne viedä opiskelijat?

Katsoaksesi videon, kirjoita sähköpostiosoitteesi ja napsauta "Aloita harjoitus" -painiketta

• Ohjaaja 12 vuoden kokemuksella
• Videotallennus jokaisesta istunnosta
• Kurssien kertakustannukset - 3000 ruplaa 60 minuutilta

Yhtälön juuri

Mitä tahansa yhtälöä ratkaistaessa pyrimme löytämään muuttujalle (yleensä x) sellaisen arvon, jossa yhtälön vasen puoli on yhtä suuri kuin oikea. Tätä arvoa kutsutaan (ei pidä sekoittaa - nämä ovat eri käsitteitä!)



Täten,

Yhtälön juuri on olemassa sellainen luku, kun se korvataan yhtälössä \(x\) sijaan, saadaan sama yhtäläisyysmerkin oikealle ja vasemmalle puolelle. Ja löytää kaikki tällaiset numerot (tai osoittaa, että niitä ei ole olemassa) ja se tarkoittaa ratkaise yhtälö.

Ratkaisemalla esimerkiksi yhtälön \(2x+1=x+4\), löydämme vastauksen: \(x=3\). Ja jos korvaamme tämän luvun x:n sijaan, saamme samat arvot vasemmalla ja oikealla:

\(2x+1=x+4\)
\(2\cdot3+1=3+4\)
\(7=7\)

Eikä mikään muu luku, paitsi kolmois, anna meille tällaista tasa-arvoa. Näin ollen luku \(3\) on yhtälön ainoa juuri.

Jälleen kerran: juuri EI ole X! x on muuttuja, A juuri on numero, joka muuttaa yhtälön todelliseksi yhtälöksi (edellä olevassa esimerkissä - kolmoisosa). Ja kun ratkaisemme yhtälöitä, etsimme tätä tuntematonta numeroa (tai numeroita).

Kuinka ratkaista yhtälöt?

Etsi yhtälön juuret käyttämällä . Tämän tarkoitus on hanki muunnosten jälkeen yksinkertaisempi yhtälö, jolla on samat juuret(eli vastaa alkuperäistä).

\(2-2x=23-5x\)
\(-2x+5x=23-2\)
\(3x=21\)
\(x=7\)

Vastaus : \(7\)

Huomaa, että jokaisella askeleella yhtälö yksinkertaistuu: jos alkuperäisessä yhtälössä on vaikea ymmärtää, että luku \(7\) on juuri, niin \(3x=21\) (ja vielä enemmän \(x=7\)) se on ilmeistä. Mutta samaan aikaan seitsemän on juuri minkä tahansa muunnosprosessissa saadun yhtälön juuri, eikä niissä ole muita juuria.

Muuten, huomaa, että \(x=7\) on myös yhtälö. Se on vain, että juuri on ilmeinen siinä, joten useimmat opiskelijat eivät edes ymmärrä tätä merkintää yhtälönä, koska uskovat, että tämä on oletettavasti vastaus, joka kirjoitetaan tällä tavalla. Ei-ei-ei, \(x=7\) - tämä on myös varsin täysi yhtälö, vain hyvin yksinkertainen. Ja vastaus (eli juuri) on yksinkertaisesti numero \(7\).

ODZ - vaarallinen ansa

Joissakin yhtälötyypeissä (, irrationaalinen, sekä tangentilla tai kotangentilla) itse yhtälön ratkaisemisen lisäksi on myös otettava huomioon ().

Esimerkki : Etsi yhtälön juuret \(\sqrt(4x+5)=x\)
Ratkaisu :

\(\sqrt(4x+5)=x\)		Tehdään oikea ja vasen puoli neliöiksi
		Siirrä \(x^2\) vasemmalle muuttamalla sen edessä olevaa merkkiä
		Kerro yhtälö \(-1\)

Lineaariset yhtälöt. Ratkaisu, esimerkkejä.

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaali erityisosastossa 555.
Niille, jotka vahvasti "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Lineaariset yhtälöt.

Lineaariset yhtälöt eivät ole koulumatematiikan vaikein aihe. Mutta siellä on joitain temppuja, jotka voivat hämmentää jopa koulutetun opiskelijan. Selvitetäänkö se?)

Lineaarinen yhtälö määritellään yleensä yhtälöksi, jonka muoto on:

kirves + b = 0 Missä a ja b- mitkä tahansa numerot.

2x + 7 = 0. Tässä a=2, b = 7

0,1x - 2,3 = 0 Tässä a = 0,1, b = -2,3

12x + 1/2 = 0 Tässä a=12, b = 1/2

Ei mitään monimutkaista, eikö? Varsinkin jos et huomaa sanoja: "missä a ja b ovat mitä tahansa lukuja"... Ja jos huomaat, mutta ajattelet sitä huolimattomasti?) Loppujen lopuksi, jos a=0, b = 0(kaikki numerot ovat mahdollisia?), niin saadaan hauska lauseke:

Mutta ei siinä vielä kaikki! Jos sanotaan, a=0, A b = 5, siitä tulee jotain aivan absurdia:

Mikä rasittaa ja heikentää luottamusta matematiikkaan, kyllä ​​...) Varsinkin kokeissa. Mutta näistä outoista ilmauksista sinun on löydettävä myös X! Jota ei ole ollenkaan olemassa. Ja yllättävää kyllä, tämä X on erittäin helppo löytää. Opimme kuinka se tehdään. Tällä oppitunnilla.

Kuinka tunnistaa lineaarinen yhtälö ulkonäöltään? Se riippuu ulkonäöstä.) Temppu on siinä, että lineaarisia yhtälöitä ei kutsuta vain muodon yhtälöiksi kirves + b = 0 , mutta myös kaikki yhtälöt, jotka on pelkistetty tähän muotoon muunnoksilla ja yksinkertaistuksilla. Ja kuka tietää, vähennetäänkö sitä vai ei?)

Lineaarinen yhtälö voidaan joissain tapauksissa tunnistaa selvästi. Sanotaan, että jos meillä on yhtälö, jossa on vain tuntemattomia ensimmäisessä asteessa, kyllä ​​numerot. Ja yhtälö ei murtoluvut jaettuna tuntematon , on tärkeää! Ja jakamalla määrä, tai murtoluku - siinä se! Esimerkiksi:

Tämä on lineaarinen yhtälö. Tässä on murtolukuja, mutta neliössä, kuutiossa jne. ei ole x:iä, eikä nimittäjissä ole x:iä, ts. Ei jako x:llä. Ja tässä on yhtälö



ei voida kutsua lineaariksi. Tässä x:t ovat kaikki ensimmäisessä asteessa, mutta siellä on jakaminen lausekkeella x:llä. Yksinkertaistusten ja muunnosten jälkeen voit saada lineaarisen yhtälön ja toisen asteen ja mitä tahansa haluat.

Osoittautuu, että on mahdotonta löytää lineaarista yhtälöä jossain monimutkaisessa esimerkissä, ennen kuin melkein ratkaiset sen. Se on järkyttävää. Mutta tehtävissä he eivät yleensä kysy yhtälön muotoa, eikö niin? Tehtävissä yhtälöt ovat järjestyksessä päättää. Tämä tekee minut onnelliseksi.)

Lineaaristen yhtälöiden ratkaisu. Esimerkkejä.

Lineaaristen yhtälöiden koko ratkaisu koostuu identtisistä yhtälöiden muunnoksista. Muuten, nämä muunnokset (jopa kaksi!) ovat ratkaisujen taustalla kaikki matematiikan yhtälöt. Toisin sanoen päätös minkä tahansa Yhtälö alkaa samoilla muunnoksilla. Lineaaristen yhtälöiden tapauksessa se (ratkaisu) näiden muunnosten kohdalla päättyy täysimittaiseen vastaukseen. On järkevää seurata linkkiä, eikö?) Lisäksi on myös esimerkkejä lineaaristen yhtälöiden ratkaisemisesta.

Aloitetaan yksinkertaisimmalla esimerkillä. Ilman mitään sudenkuoppia. Oletetaan, että meidän on ratkaistava seuraava yhtälö.

x - 3 = 2 - 4x

Tämä on lineaarinen yhtälö. X:t ovat kaikki ensimmäisellä potenssilla, X:llä ei ole jakoa. Mutta itse asiassa emme välitä, mikä yhtälö on. Meidän on ratkaistava se. Kaava tässä on yksinkertainen. Kerää kaikki, jossa on x:t yhtälön vasemmalla puolella, kaikki ilman x:iä (numeroita) oikealta.

Tätä varten sinun on siirrettävä - 4x vasemmalle puolelle, tietysti merkin vaihdolla, mutta - 3 - oikealle. Tämä on muuten ensimmäinen identtinen yhtälöiden muunnos. Yllättynyt? Joten he eivät seuranneet linkkiä, mutta turhaan ...) Saamme:

x + 4x = 2 + 3

Annamme samanlaisia, harkitsemme:

Mitä tarvitsemme ollaksemme täysin onnellisia? Kyllä, niin että vasemmalla on puhdas X! Viisi on tiellä. Päästä eroon viidestä toinen identtinen yhtälöiden muunnos. Nimittäin jaamme molemmat yhtälön osat 5:llä. Saamme valmiin vastauksen:

Alkuperäinen esimerkki tietysti. Tämä on lämmittelyä varten.) Ei ole kovin selvää, miksi muistin tässä identtiset muunnokset? OK. Tartumme härkää sarvista.) Päätetään jotain vaikuttavampaa.

Tässä on esimerkiksi tämä yhtälö:



Mistä aloitamme? X:llä - vasemmalla, ilman X:llä - oikealla? Voisi olla niin. Pienet askeleet pitkällä tiellä. Ja voit heti, universaalilla ja tehokkaalla tavalla. Ellei tietenkään arsenaalissasi ole identtisiä yhtälöiden muunnoksia.

Esitän sinulle keskeisen kysymyksen: Mistä et pidä eniten tässä yhtälössä?

95 ihmistä 100:sta vastaa: murto-osia ! Vastaus on oikea. Joten päästään niistä eroon. Aloitamme siis heti toinen identtinen muunnos. Mitä tarvitaan kertomaan vasemmalla oleva murto-osa, jotta nimittäjä pienenee kokonaan? Aivan oikein, 3. Ja oikealla? Mutta matematiikan avulla voimme kertoa molemmat puolet sama numero. Miten pääsemme ulos? Kerrotaan molemmat puolet 12:lla! Nuo. yhteiseksi nimittäjäksi. Sitten kolme pienenee ja neljä. Älä unohda, että sinun on kerrottava jokainen osa täysin. Ensimmäinen vaihe näyttää tältä:



Hakasulkeiden laajentaminen:



Huomautus! Osoittaja (x+2) Otin suluissa! Tämä johtuu siitä, että murtolukuja kerrottaessa osoittaja kerrotaan kokonaisuudella, kokonaan! Ja nyt voit pienentää murtolukuja ja vähentää:

Loput sulkeet avataan:

Ei esimerkki, vaan puhdas ilo!) Nyt muistamme loitsun alemmista luokista: x:llä - vasemmalle, ilman x:tä - oikealle! Ja käytä tätä muutosta:

Tässä muutamia kuten:

Ja jaamme molemmat osat 25:llä, ts. käytä toista muutosta uudelleen:



Siinä kaikki. Vastaus: X=0,16

Huomaa: saadaksemme alkuperäisen hämmentävän yhtälön miellyttävään muotoon käytimme kahta (vain kahta!) identtisiä muunnoksia- käännös vasen-oikea etumerkin muutoksella ja yhtälön kerto-jakalla samalla luvulla. Tämä on universaali tapa! Työskentelemme tällä tavalla minkä tahansa yhtälöt! Ehdottomasti mikä tahansa. Siksi toistan näitä identtisiä muunnoksia koko ajan.)

Kuten näet, lineaaristen yhtälöiden ratkaisemisen periaate on yksinkertainen. Otamme yhtälön ja yksinkertaistamme sitä identtisten muunnosten avulla, kunnes saamme vastauksen. Tärkeimmät ongelmat ovat laskelmissa, eivät ratkaisun periaatteessa.

Mutta... Alkeisimpien lineaaristen yhtälöiden ratkaisuprosessissa on sellaisia ​​yllätyksiä, että ne voivat ajaa vahvaan umpikujaan...) Onneksi tällaisia ​​yllätyksiä voi olla vain kaksi. Kutsutaanpa niitä erikoistapauksiksi.

Erikoistapaukset lineaariyhtälöiden ratkaisemisessa.

Yllätys ensin.

Oletetaan, että törmäät perusyhtälöön, kuten:

2x+3=5x+5 - 3x -2

Hieman tylsistyneenä siirrymme X:llä vasemmalle, ilman X:llä - oikealle ... Etumerkin vaihdolla kaikki on leuka-chinaaria ... Saamme:

2x-5x+3x=5-2-3

Me uskomme, ja ... voi! Saamme:

Tämä tasa-arvo ei sinänsä ole moitittavaa. Nolla on todella nolla. Mutta X on poissa! Ja meidän on kirjoitettava vastaukseen, mikä x on yhtä suuri. Muuten ratkaisua ei lasketa, kyllä...) Umpikuja?

Rauhoittaa! Tällaisissa epäilyttävissä tapauksissa yleisimmät säännöt pelastavat. Kuinka ratkaista yhtälöt? Mitä yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa? Tämä tarkoittaa, Etsi kaikki x:n arvot, jotka alkuperäiseen yhtälöön korvattuna antavat meille oikean yhtälön.

Mutta meillä on oikea tasa-arvo jo tapahtui! 0=0, missä oikein?! On vielä selvitettävä, millä x:llä tämä saadaan. Millä x:n arvoilla voidaan korvata alkuperäinen yhtälö, jos nämä x:t vieläkin kutistuu nollaan?Älä viitsi?)

Joo!!! X:t voidaan korvata minkä tahansa! Mitä haluat. Vähintään 5, vähintään 0,05, vähintään -220. Ne kutistuvat silti. Jos et usko minua, voit tarkistaa sen.) Korvaa mitkä tahansa x-arvot alkuperäinen yhtälö ja laske. Koko ajan saadaan puhdas totuus: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 ja niin edelleen.

Tässä on vastauksesi: x on mikä tahansa luku.

Vastaus voidaan kirjoittaa erilaisilla matemaattisilla symboleilla, olemus ei muutu. Tämä on täysin oikea ja täydellinen vastaus.

Yllätys kakkosena.

Otetaan sama alkeislineaarinen yhtälö ja muutetaan vain yksi luku siinä. Tästä päätämme:

2x+1=5x+5 - 3x -2

Samojen identtisten muutosten jälkeen saamme jotain kiehtovaa:

Kuten tämä. Ratkaisi lineaarisen yhtälön, sai kummallisen yhtälön. Matemaattisesti sanottuna meillä on väärä tasa-arvo. Ja yksinkertaisesti sanottuna tämä ei ole totta. Rave. Mutta tästä huolimatta tämä hölynpöly on varsin hyvä syy yhtälön oikeaan ratkaisuun.)

Ajattelemme jälleen yleisten sääntöjen pohjalta. Mitä x, kun se korvataan alkuperäiseen yhtälöön, antaa meille oikea tasa-arvo? Kyllä, ei yhtään! Sellaisia ​​x:iä ei ole olemassa. Mitä tahansa korvaatkin, kaikki vähenee, hölynpölyä jää.)

Tässä on vastauksesi: ei ole ratkaisuja.

Tämä on myös täysin pätevä vastaus. Matematiikassa tällaisia ​​vastauksia esiintyy usein.

Kuten tämä. Nyt toivon, että X:iden menetys minkä tahansa (ei vain lineaarisen) yhtälön ratkaisemisessa ei häiritse sinua ollenkaan. Asia on tuttu.)

Nyt kun olemme käsitelleet kaikki lineaaristen yhtälöiden sudenkuopat, on järkevää ratkaista ne.

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Neliöyhtälöitä tutkitaan luokalla 8, joten tässä ei ole mitään monimutkaista. Kyky ratkaista ne on välttämätöntä.

Neliöyhtälö on yhtälö, jonka muoto on ax 2 + bx + c = 0, jossa kertoimet a , b ja c ovat mielivaltaisia ​​lukuja ja a ≠ 0.

Ennen kuin tutkimme tiettyjä ratkaisumenetelmiä, huomaamme, että kaikki toisen asteen yhtälöt voidaan jakaa kolmeen luokkaan:

1. ei ole juuria;
2. Niillä on täsmälleen yksi juuri;
3. Niillä on kaksi eri juurta.

Tämä on tärkeä ero toisen asteen ja lineaaristen yhtälöiden välillä, joissa juuri on aina olemassa ja on ainutlaatuinen. Kuinka määrittää kuinka monta juurta yhtälöllä on? Tässä on hieno asia - syrjivä.

Syrjivä

Olkoon toisen asteen yhtälö ax 2 + bx + c = 0. Tällöin diskriminantti on yksinkertaisesti luku D = b 2 − 4ac .

Tämä kaava on tiedettävä ulkoa. Mistä se tulee, ei ole nyt merkitystä. Toinen asia on tärkeä: erottimen merkillä voit määrittää, kuinka monta juurta toisen asteen yhtälöllä on. Nimittäin:

1. Jos D< 0, корней нет;
2. Jos D = 0, on juuri yksi juuri;
3. Jos D > 0, on kaksi juuria.

Huomaa: diskriminantti osoittaa juurien määrän, ei ollenkaan niiden merkkejä, kuten jostain syystä monet ajattelevat. Katso esimerkkejä ja ymmärrät kaiken itse:

Tehtävä. Kuinka monta juurta toisen asteen yhtälöillä on:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x2 − 6x + 9 = 0.

Kirjoitamme ensimmäisen yhtälön kertoimet ja löydämme diskriminantin:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Diskriminantti on siis positiivinen, joten yhtälöllä on kaksi eri juuria. Analysoimme toista yhtälöä samalla tavalla:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminantti on negatiivinen, ei ole juuria. Jäljelle jää viimeinen yhtälö:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminantti on yhtä suuri kuin nolla - juuri on yksi.

Huomaa, että jokaiselle yhtälölle on kirjoitettu kertoimet. Kyllä, se on pitkä, kyllä, se on tylsää - mutta et sekoita kertoimia etkä tee typeriä virheitä. Valitse itse: nopeus vai laatu.

Muuten, jos "täytät kätesi", sinun ei enää hetken kuluttua tarvitse kirjoittaa kaikkia kertoimia. Suoritat tällaiset toiminnot päässäsi. Useimmat ihmiset alkavat tehdä tätä jossain 50-70 ratkaistun yhtälön jälkeen - yleensä ei niin paljon.

Toisen yhtälön juuret

Siirrytään nyt ratkaisuun. Jos diskriminantti D > 0, juuret löytyvät kaavoilla:

Peruskaava toisen asteen yhtälön juurille

Kun D = 0, voit käyttää mitä tahansa näistä kaavoista - saat saman numeron, joka on vastaus. Lopuksi, jos D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Ensimmäinen yhtälö:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ yhtälöllä on kaksi juuria. Etsitään ne:

Toinen yhtälö:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ yhtälöllä on jälleen kaksi juuria. Etsitään ne

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(tasaa)\]

Lopuksi kolmas yhtälö:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ yhtälöllä on yksi juuri. Mitä tahansa kaavaa voidaan käyttää. Esimerkiksi ensimmäinen:

Kuten esimerkeistä näet, kaikki on hyvin yksinkertaista. Jos tunnet kaavat ja osaat laskea, ei ole ongelmia. Useimmiten virheitä tapahtuu, kun negatiiviset kertoimet korvataan kaavaan. Tässä taas yllä kuvattu tekniikka auttaa: katso kaavaa kirjaimellisesti, maalaa jokainen vaihe - ja päästä eroon virheistä hyvin pian.

Epätäydelliset toisen asteen yhtälöt

Tapahtuu, että toisen asteen yhtälö on jonkin verran erilainen kuin määritelmässä annettu. Esimerkiksi:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

On helppo nähdä, että yksi termeistä puuttuu näistä yhtälöistä. Tällaiset toisen asteen yhtälöt ovat jopa helpompia ratkaista kuin tavalliset: niiden ei tarvitse edes laskea diskriminanttia. Esittelemme siis uuden konseptin:

Yhtälöä ax 2 + bx + c = 0 kutsutaan epätäydelliseksi toisen asteen yhtälöksi, jos b = 0 tai c = 0, ts. muuttujan x eli vapaan alkion kerroin on nolla.

Tietysti erittäin vaikea tapaus on mahdollinen, kun molemmat kertoimet ovat nolla: b \u003d c \u003d 0. Tässä tapauksessa yhtälö on muotoa ax 2 \u003d 0. On selvää, että tällaisella yhtälöllä on yksi juuri: x \u003d 0.

Mietitään muita tapauksia. Olkoon b \u003d 0, niin saamme epätäydellisen toisen asteen yhtälön muodossa ax 2 + c \u003d 0. Muunnetaan sitä hieman:

Koska aritmeettinen neliöjuuri on olemassa vain ei-negatiivisesta luvusta, viimeisellä yhtälöllä on järkeä vain, kun (−c / a ) ≥ 0. Johtopäätös:

1. Jos epätäydellinen toisen asteen yhtälö muotoa ax 2 + c = 0 tyydyttää epäyhtälön (−c / a ) ≥ 0, on kaksi juuria. Kaava on annettu yllä;
2. Jos (-c / a )< 0, корней нет.

Kuten näette, erotinta ei vaadittu - epätäydellinen toisen asteen yhtälöt ei ollenkaan monimutkaisia ​​laskelmia. Itse asiassa ei tarvitse edes muistaa epäyhtälöä (−c / a ) ≥ 0. Riittää, kun ilmaistaan ​​x 2:n arvo ja katsotaan mitä on yhtäläisyysmerkin toisella puolella. Jos on positiivinen luku, on kaksi juuria. Jos negatiivinen, juuria ei ole ollenkaan.

Käsitellään nyt yhtälöitä, jotka ovat muotoa ax 2 + bx = 0, joissa vapaa alkio on yhtä suuri kuin nolla. Täällä kaikki on yksinkertaista: aina on kaksi juurta. Riittää, että polynomi kerrotaan kertoimella:

Yhteisen tekijän poistaminen suluista

Tulo on nolla, kun vähintään yksi tekijöistä on nolla. Täältä juuret tulevat. Lopuksi analysoimme useita näistä yhtälöistä:

Tehtävä. Ratkaise toisen asteen yhtälöt:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Ei ole juuria, koska neliö ei voi olla yhtä suuri kuin negatiivinen luku.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Asiaan liittyvä sisältö:

1. "Menen asumaan Sweateriin" Anna Nikolskaya
2. Dieselgate venäjäksi: miksi venäläiset karttavat dieselautoja
3. Dieselpolttoaineen lämmityskattilat
4. Dieselkattiloiden käyttö lämmitykseen