Matemaattisen funktion derivaatan löytämistä kutsutaan differentiaatioksi. Matemaattisen funktion derivaatan löytäminen on yleinen ongelma korkeammassa matematiikassa. Voit puhua eri tavoin: löytää derivaatan, laskea derivaatan, erottaa funktion, ottaa derivaatan, mutta kaikki nämä ovat samoja käsitteitä. On tietysti monimutkaisia ​​tehtäviä, joissa derivaatan löytäminen on vain yksi ongelman komponenteista. Verkkopalvelussamme sinulla on mahdollisuus laskea johdannainen verkossa sekä alkeis- että monimutkaisista funktioista, joilla ei ole analyyttistä ratkaisua. Palvelumme online-johdannainen löytyy melkein mistä tahansa matemaattisesta funktiosta, jopa monimutkaisimmista, joita muut palvelut eivät pystyisi ratkaisemaan puolestasi. Ja saatu vastaus on aina 100% oikea eikä virheitä. Voit nähdä, kuinka johdannaisen löytäminen verkkosivustoltamme suoritetaan osoitteessa konkreettisia esimerkkejä. Esimerkkejä on "Ratkaisu"-painikkeen oikealla puolella. Valitse mikä tahansa toiminto esimerkkiluettelosta, se korvataan automaattisesti toimintokentässä ja napsauta sitten "Ratkaisu"-painiketta. Näet vaiheittaisen ratkaisun, johdannaisesi löytyy samalla tavalla. Johdannaisen ratkaisemisen edut verkossa. Vaikka tiedät kuinka löytää johdannaisia, tämä prosessi voi viedä paljon aikaa ja vaivaa. Palvelusivusto on suunniteltu säästämään ikäviltä ja pitkiltä laskelmilta, joissa voit lisäksi tehdä virheen. Online-johdannainen lasketaan yhdellä napsautuksella "Ratkaisu"-painiketta annetun funktion syöttämisen jälkeen. Sivusto sopii myös erinomaisesti niille, jotka haluavat testata kykyään löytää matemaattisen funktion derivaatta ja varmistaa oman ratkaisunsa oikeellisuus tai löytää siinä tehty virhe. Tätä varten sinun tarvitsee vain verrata vastaustasi verkkopalvelun laskelmien tulokseen. Jos et halua käyttää johdannaistaulukoita minkä löydön kanssa haluttu toiminto vie tarpeeksi aikaa, ja käytä sitten palveluamme johdannaistaulukoiden sijaan löytääksesi johdannainen. Sivustomme tärkeimmät edut muihin vastaaviin palveluihin verrattuna ovat, että laskenta on erittäin nopea (keskimäärin 5 sekuntia) ja sinun ei tarvitse maksaa siitä mitään - palvelu on täysin ilmainen. Sinun ei tarvitse rekisteröityä, syöttää sähköpostiosoitetta tai henkilötietojasi. Sinun tarvitsee vain syöttää annettu toiminto ja painaa "Ratkaisu"-painiketta. Mikä on johdannainen. Funktion derivaatta on matematiikan ja laskennan peruskäsite. Tämän prosessin kääntöpuoli on integrointi, eli funktion löytäminen tunnetun derivaatan avulla. Yksinkertaisesti sanottuna differentiaatio on toiminto funktiolle, ja derivaatta on jo sellaisen toiminnan tulos. Toiminnon derivaatan laskemiseksi tietyssä pisteessä x-argumentti korvataan numeerisella arvolla ja lauseke arvioidaan. Johdannainen on merkitty viivalla oikeassa yläkulmassa funktion yläpuolella. Myös aivohalvaus voi olla tietyn toiminnon nimitys. Löytääksesi alkeisfunktion derivaatan, sinun tulee tuntea derivaattataulukko tai pitää se aina käsillä, mikä ei välttämättä ole kovin kätevää, ja tietää myös differentiaatiosäännöt, joten suosittelemme käyttämään palveluamme, jossa derivaatta lasketaan. verkossa, sinun tarvitsee vain kirjoittaa toiminto tätä varten tarkoitettuun kenttään. Argumentin tulee olla x-muuttuja, koska sen perusteella tehdään ero. Jos sinun on laskettava toinen derivaatta, voit erottaa vastauksen. Kuinka johdannainen lasketaan verkossa. Alkeisfunktioiden derivaattataulukoita on luotu jo pitkään ja alkeisfunktioiden derivaattataulukoita on helppo löytää, joten elementaarisen (yksinkertaisen) matemaattisen funktion derivaatan laskeminen on melko yksinkertaista. Kuitenkin, kun on löydettävä monimutkaisen matemaattisen funktion derivaatta, tämä ei ole enää triviaali tehtävä, vaan se vaatii paljon vaivaa ja aikaa. Voit päästä eroon turhista ja pitkistä laskelmista, jos käytät meidän verkkopalvelu. Hänen ansiostaan ​​johdannainen lasketaan muutamassa sekunnissa.

Esitetään kosinijohdannaisen - cos(x) kaavan todistus ja derivointi. Esimerkkejä cos 2x, cos 3x, cos nx, kosinin neliön, kuution ja n:n potenssiin derivaattojen laskemisesta. N:nnen kertaluvun kosinin derivaatan kaava.

Derivaata x:n kosinin muuttujan x suhteen on yhtä suuri kuin miinus x:n sini:
(cos x)′ = - sin x.

Todiste

Kosinijohdannaisen kaavan johtamiseksi käytämme derivaatan määritelmää:
.

Muunnetaan tämä lauseke pelkistämään se tunnetuiksi matemaattisiksi laeiksi ja säännöiksi. Tätä varten meidän on tiedettävä neljä ominaisuutta.
1) Trigonometriset kaavat. Tarvitsemme seuraavan kaavan:
(1) ;
2) Sinifunktion jatkuvuusominaisuus:
(2) ;
3) Ensimmäisen merkittävän rajan merkitys:
(3) ;
4) Kahden funktion tulon rajaominaisuus:
Jos ja sitten
(4) .

Käytämme näitä lakeja rajoissamme. Ensin muutetaan algebrallinen lauseke
.
Tätä varten käytämme kaavaa
(1) ;
Meidän tapauksessamme
; . Sitten
;
;
;
.

Tehdään vaihto. klo , . Käytämme jatkuvuusominaisuutta (2):
.

Teemme saman vaihdon ja käytämme ensimmäistä ihana raja (3):
.

Koska yllä lasketut rajat ovat olemassa, käytämme ominaisuutta (4):

.

Siten olemme saaneet kosinin derivaatan kaavan.

Esimerkkejä

Harkitse yksinkertaisia ​​esimerkkejä kosinin sisältävien funktioiden derivaatan löytäminen. Etsitään seuraavien funktioiden johdannaiset:
y = cos2x; y = cos 3x; y = cos nx; y= cos 2 x; y= cos 3 x ja y= cos n x.

Esimerkki 1

Etsi johdannaisia cos 2x, cos 3x Ja cos nx.

Ratkaisu

Alkuperäisillä funktioilla on samanlainen muoto. Siksi löydämme funktion derivaatan y = cos nx. Sitten johdannaisena cos nx, korvaa n = 2 ja n = 3. Ja siten saamme kaavat johdannaisille cos 2x Ja cos 3x .

Joten löydämme funktion derivaatan
y = cos nx .
Esitetään tämä muuttujan x funktio kompleksifunktiona, joka koostuu kahdesta funktiosta:
1)
2)
Tällöin alkuperäinen funktio on monimutkainen (yhdistetty) funktio, joka koostuu funktioista ja :
.

Etsitään funktion derivaatta muuttujan x suhteen:
.
Etsitään funktion derivaatta muuttujan suhteen:
.
Haemme.
.
Korvaava:
(P1) .

Nyt kaavassa (P1) korvataan ja:
;
.

Vastaus

;
;
.

Esimerkki 2

Etsi derivaatat kosinin neliöstä, kosinin kuutiosta ja kosinin potenssiin n:
y= cos 2 x; y= cos 3 x; y= cos n x.

Ratkaisu

Tässä esimerkissä funktiot näyttävät myös samanlaisilta. Siksi löydämme yleisimmän funktion derivaatan - kosinin n:n potenssiin:
y= cos n x.
Sitten korvataan n = 2 ja n = 3 . Ja siten saamme kaavat kosinin neliön ja kosinikuution johdannaisille.

Joten meidän on löydettävä funktion derivaatta
.
Kirjoitetaan se uudelleen ymmärrettävämpään muotoon:
.
Esitetään tämä funktio monimutkaisena funktiona, joka koostuu kahdesta funktiosta:
1) Muuttuvista riippuvat funktiot: ;
2) Muuttuvista riippuvat toiminnot: .
Tällöin alkuperäinen funktio on monimutkainen funktio, joka koostuu kahdesta funktiosta ja:
.

Löydämme funktion derivaatan muuttujan x suhteen:
.
Löydämme funktion derivaatan muuttujan suhteen:
.
Sovellamme monimutkaisen funktion differentiaatiosääntöä.
.
Korvaava:
(P2) .

Korvataan nyt ja:
;
.

Vastaus

;
;
.

Korkeampien tilausten johdannaiset

Huomaa, että johdannainen cos x ensimmäisen kertaluvun voi ilmaista kosinina seuraavasti:
.

Etsitään toisen asteen derivaatta käyttämällä kompleksin funktion derivaatan kaavaa:

.
täällä .

Huomaa tämä erottelu cos x saa sen argumentin kasvamaan . Sitten n:nnen kertaluvun derivaatalla on muoto:
(5) .

Tämä kaava voidaan todistaa tiukemmin käyttämällä matemaattisen induktion menetelmää. Todistus sinin n:nnelle derivaatalle on annettu sivulla ”Sinin derivaatta”. Kosinin n:nnelle derivaatalle todiste on täsmälleen sama. On vain välttämätöntä korvata synti cosilla kaikissa kaavoissa.

Sovellus

Sivuston johdannaisen ratkaisu opiskelijoiden ja koululaisten käsittelemän materiaalin yhdistämiseksi. Funktion derivaatan laskeminen muutamassa sekunnissa ei ole vaikeaa, jos käytät online-ongelmanratkaisupalveluamme. Johtaa yksityiskohtainen analyysi perusteellinen tutkimus käytännön oppitunti joka kolmas opiskelija voi. Usein asianomaisen osaston osasto ottaa meihin yhteyttä matematiikan edistämiseksi koulutusinstituutiot maat. Kuinka tässä tapauksessa puhumattakaan derivaatan online-ratkaisusta suljetulle numeeristen sekvenssien avaruudelle. Monet varakkaat ihmiset saavat ilmaista hämmennyksensä. Mutta sillä välin matemaatikot eivät istu paikallaan ja työskentelevät kovasti. Tuloparametrien muutoksen lineaaristen ominaisuuksien mukaan derivaatasaskin hyväksyy pääasiassa kuutioiden laskevien paikkojen ylivoiman vuoksi. Tulos on väistämätön pintana. Alkutietona online-johdannainen eliminoi tarpeettomia toimia. Paitsi kuvitteelliset kotitehtävät. Sen lisäksi, että johdannaisten ratkaisu verkossa on välttämätöntä ja tärkeä näkökohta matematiikkaa opiskelevat opiskelijat eivät usein muista tehtäviä menneisyydessä. Opiskelija, laiska olento, ymmärtää tämän. Mutta opiskelijat ovat hauskoja ihmisiä! Joko tehdä se sääntöjen mukaan tai funktion derivaatta vinossa tasossa voi antaa kiihtyvyyden aineelliselle pisteelle. Ohjataan laskeutuvan spatiaalisen säteen vektori jonnekin. Halutussa vastauksessa derivaatan löytäminen näyttää olevan abstrakti teoreettinen suunta matemaattisen järjestelmän epävakauden vuoksi. Ajattele lukujen suhdetta käyttämättömien vaihtoehtojen sarjana. Viestintäkanavaa täydennettiin viidennellä rivillä laskevaa vektoria pitkin kuution suljetun haaroittumisen pisteestä. Kaarevien tilojen tasolla johdannaisen ratkaiseminen verkossa johtaa meidät johtopäätökseen, joka sai planeetan suurimmat mielet ajattelemaan viime vuosisadalla. Matematiikan alan tapahtumien aikana julkisuuteen nostettiin viisi olennaisesti tärkeää muuttujan valinnan aseman parantamiseen vaikuttavaa tekijää. Pistelaki siis sanoo, että online-johdannaista ei joka tapauksessa lasketa yksityiskohtaisesti, vain uskollisesti etenevä hetki voi olla poikkeus. Ennuste toi meidät uudelle kehityskierrokselle. Tarvitsemme tuloksen. Pinnan alta kuljetetun matemaattisen kaltevuuden linjalla moodiderivaataiden laskin on taivutusjoukon tuotteiden leikkauskohdan alueella. On vielä analysoitava funktion erilaistumista sen itsenäisessä pisteessä lähellä epsilonin naapurustoa. Tämän näkee kaikki käytännössä. Tämän seurauksena ohjelmoinnin seuraavassa vaiheessa on jotain päätettävää. Opiskelija tarvitsee verkkojohdannaisen kuten aina, riippumatta siitä, mitä imaginaariopintoja harjoitetaan. Osoittautuu, että derivaatan funktion online-ratkaisu kerrottuna vakiolla ei muuta materiaalipisteen yleistä liikesuuntaa, vaan kuvaa nopeuden kasvua suorassa. Tässä mielessä on hyödyllistä käyttää johdannaislaskuriamme ja laskea kaikki funktion arvot sen määritelmän koko joukossa. Painovoimakentän voimaaaltoja ei vain tarvitse tutkia. Online-johdannaisratkaisu ei missään tapauksessa näytä lähtevän säteen kallistusta, mutta vain harvoissa tapauksissa, kun se on todella tarpeen, yliopisto-opiskelijat voivat kuvitella tämän. Tutkimme rehtoria. Pienimmän roottorin arvo on ennustettavissa. Levitä tulokseen oikealle osoittavat viivat, jotka kuvaavat palloa, mutta online-laskin johdannaisia, tämä on perusta erityislujuuksille ja epälineaarisille riippuvuuksille. Matematiikan projektiraportti on valmis. Henkilökohtaiset ominaisuudet pienimpien lukujen ero ja funktion derivaatta y-akselia pitkin tuo saman funktion koveruuden korkeuteen. On suunta - on johtopäätös. Teoria on helpompi toteuttaa käytännössä. Opiskelijat tekevät ehdotuksen opintojen alkamisajankohdasta. Tarvitaan opettajan vastaus. Kuten edellisessäkin kohdassa, matemaattista järjestelmää ei säädetä derivaatan löytämistä auttavan toiminnon perusteella. Kuten alempi semi-lineaarinen versio, online-derivaata osoittaa yksityiskohtaisesti ratkaisun tunnistuksen rappeutunut ehdollinen laki. Esitä vain ajatus kaavojen laskemisesta. Funktion lineaarinen differentiointi hylkää ratkaisun totuuden yksinkertaisesti esittämällä merkityksettömiä positiivisia variaatioita. Vertailumerkkien tärkeyttä pidetään funktion jatkuvana katkeamisena akselin suuntaisesti. Tämä on opiskelijan mukaan tietoisimman johtopäätöksen merkitys, jossa online-johdannainen on jotain muuta kuin uskollinen esimerkki matemaattisesta analyysistä. Kaarevan ympyrän säde euklidisessa avaruudessa päinvastoin antoi derivaatan laskimelle luonnollisen esityksen ratkaisevien ongelmien vaihdosta stabiilisuuteen. paras tapa löytyi. Tehtävää oli helpompi tasoittaa. Johtakoon riippumattoman erosuhteen soveltuvuus derivaattojen ratkaisuun verkossa. Ratkaisu pyörii x-akselin ympäri ja kuvaa ympyrän muotoa. Ulospääsy on olemassa, ja se perustuu yliopisto-opiskelijoiden teoreettisesti tukemaan tutkimukseen, josta jokainen oppii, ja noillakin hetkillä funktiosta on johdannainen. Löysimme tavan edistyä ja opiskelijat vahvistivat sen. Meillä on varaa löytää derivaatta menemättä pidemmälle kuin luonnoton tapa muuttaa matemaattista järjestelmää. Vasen suhteellisuusmerkki kasvaa geometrisen sekvenssin as matemaattinen esitys johdannaisten online-laskin äärettömän y-akselin lineaaristen tekijöiden tuntemattoman tilanteen vuoksi. Matemaatikot kaikkialla maailmassa ovat osoittaneet tuotantoprosessin ainutlaatuisuuden. Ympyrän sisällä on pienin neliö teorian kuvauksen mukaan. Jälleen online-johdannainen tarkentaa arvauksemme siitä, mikä on saattanut vaikuttaa teoreettisesti jalostettuun mielipiteeseen. Siinä esitettiin erilaisia ​​mielipiteitä kuin analysoimassamme raportissa. Erillistä huomiota ei ehkä tapahdu tiedekuntamme opiskelijoille, mutta ei vain älykkäille ja edistyneille matemaatikoille, joille funktion eriyttäminen on vain tekosyy. Johdannan mekaaninen merkitys on hyvin yksinkertainen. Nostovoima lasketaan online-derivaattana alaspäin kaltevalle tasaiselle ajalle. Ehdottomasti johdannaisten laskin, tiukka prosessi rappeutumisen ongelman kuvaamiseksi keinotekoinen muunnos kuin amorfinen ruumis. Ensimmäinen derivaatta puhuu muutoksesta aineellisen pisteen liikkeessä. Kolmiulotteinen avaruus on ilmeisesti havaittu erityisesti koulutettujen tekniikoiden yhteydessä johdannaisten ratkaisemiseksi verkossa, itse asiassa se on jokaisessa kollokviossa matemaattisen tieteenalan aiheesta. Toinen derivaatta kuvaa materiaalipisteen nopeuden muutosta ja määrittää kiihtyvyyden. Meridiaanilähestymistapa, joka perustuu affiinimuunnoksen käyttöön, johtaa uusi taso funktion derivaatta pisteessä tämän funktion alueesta. Johdannaisten online-laskin ei voi olla ilman numeroita ja symbolista merkintää joissain tapauksissa oikealla suoritettavalla momentilla, paitsi tehtävän asioiden muunnettavissa oleva järjestely. Yllättäen aineellisessa pisteessä on toinen kiihtyvyys, tämä luonnehtii kiihtyvyyden muutosta. Lyhyen ajan kuluttua alamme tutkia johdannaisen ratkaisua verkossa, mutta heti kun tiedossa saavutetaan tietty virstanpylväs, opiskelijamme lopettaa tämän prosessin. Paras lääke verkostoituminen on elävää viestintää matemaattisesta aiheesta. On periaatteita, joita ei saa rikkoa missään olosuhteissa, olipa tehtävä kuinka vaikea tahansa. On hyödyllistä löytää johdannainen verkosta ajoissa ja ilman virheitä. Tämä johtaa matemaattisen lausekkeen uuteen asemaan. Järjestelmä on vakaa. fyysinen merkitys johdannainen ei ole yhtä suosittu kuin mekaaninen. On epätodennäköistä, että kukaan muistaa, kuinka online-derivaata päätteli tasossa yksityiskohtaisesti funktion linjojen ääriviivat x-akselin vieressä olevasta kolmiosta normaaliin. Ihminen ansaitsee suuren roolin viime vuosisadan tutkimuksessa. Suoritetaan kolmessa alkeisvaiheessa funktion differentiointi pisteissä, sekä määritelmäalueelta että äärettömässä. Tulee kirjallisesti vain opiskelualalla, mutta voi ottaa matematiikan ja lukuteorian päävektorin paikan, kun se tapahtuu, se linkittää online-johdannaislaskimen ongelmaan. Olisi syytä, mutta on syytä laatia yhtälö. On erittäin tärkeää pitää mielessä kaikki syöttöparametrit. Aina parasta ei oteta otsaan, sen takana on valtava määrä työtä parhaat mielet joka tiesi kuinka online-johdannainen lasketaan avaruudessa. Siitä lähtien kuperaa on pidetty jatkuvan funktion ominaisuutena. Silti on parempi asettaa ensin tehtäväksi ratkaista johdannaiset verkossa mahdollisimman lyhyessä ajassa. Siten ratkaisu on valmis. Täyttämättömien normien lisäksi tätä ei pidetä riittävänä. Aluksi melkein jokainen opiskelija ehdottaa yksinkertaista menetelmää siitä, kuinka funktion derivaatta saa aikaan kiistanalaisen kasvualgoritmin. Nousevan säteen suuntaan. Se on järkevää kuin yleinen kanta. Aiemmin ne merkitsivät tietyn matemaattisen toiminnon valmistumisen alkua, mutta tänään se on päinvastoin. Ehkäpä johdannaisen online-ratkaisu nostaa asian taas esille ja hyväksymme yhteisen mielipiteen sen säilyttämisestä opettajakokouksen keskustelussa. Toivomme ymmärrystä kokoukseen osallistuvilta kaikilta tahoilta. Looginen merkitys sisältyy johdannaisten laskimen kuvaukseen numeroiden resonanssissa ongelman ajatuksen esityssekvenssistä, johon maailman suuret tiedemiehet vastasivat viime vuosisadalla. Se auttaa poimimaan monimutkaisen muuttujan muunnetusta lausekkeesta ja löytämään johdannaisen verkossa suorittamaan samantyyppisen massiivisen toiminnon. Totuus on paljon parempi kuin arvailu. Trendin pienin arvo. Tulosta ei odoteta kauan, kun käytetään ainutlaatuista palvelua tarkimman sijainnin saamiseksi, josta on olemassa yksityiskohtaiset online-johdannaiset. Epäsuorasti, mutta täsmällisesti, kuten eräs viisas sanoi, online-johdannaislaskin luotiin monien liiton eri kaupungeista tulevien opiskelijoiden pyynnöstä. Jos ero on, niin miksi päättää kahdesti. Annettu vektori on samalla puolella kuin normaali. Viime vuosisadan puolivälissä funktion erilaistumista ei suinkaan käsitetty niin kuin nykyään. Käynnissä olevan kehityksen ansiosta verkkomatematiikka on ilmestynyt. Ajan myötä opiskelijat unohtavat antaa tunnustusta matemaattisille oppiaineille. Johdannaisen online-ratkaisu haastaa opinnäytetyömme, joka perustuu oikeutetusti teorian soveltamiseen käytännön tiedon tukemana. Menee esitystekijän nykyistä arvoa pidemmälle ja kirjoittaa kaavan funktiolle eksplisiittisessä muodossa. Sattuu niin, että sinun on löydettävä johdannainen verkosta juuri nyt ilman laskinta, mutta voit aina turvautua opiskelijan temppuun ja silti käyttää tällaista palvelua verkkosivustona. Näin opiskelija säästää paljon aikaa kopioimalla esimerkkejä muistivihkon luonnoksista lopulliseen muotoon. Jos ristiriitoja ei ole, käytä vaiheittaista ratkaisupalvelua tällaisissa monimutkaisissa esimerkeissä.

On täysin mahdotonta ratkaista matematiikan fyysisiä ongelmia tai esimerkkejä ilman tietoa derivaatista ja sen laskentamenetelmistä. Johdannainen on yksi tärkeimmistä käsitteistä matemaattinen analyysi. Päätimme omistaa tämän päivän artikkelin tälle perustavanlaatuiselle aiheelle. Mikä on johdannainen, mikä on sen fyysinen ja geometrinen merkitys miten lasketaan funktion derivaatta? Kaikki nämä kysymykset voidaan yhdistää yhdeksi: kuinka ymmärtää johdannainen?

Johdannan geometrinen ja fyysinen merkitys

Olkoon toiminto f(x) , annetaan tietyllä aikavälillä (a, b) . Pisteet x ja x0 kuuluvat tähän väliin. Kun x muuttuu, itse funktio muuttuu. Argumentin muutos - sen arvojen ero x-x0 . Tämä ero on kirjoitettu muodossa delta x ja sitä kutsutaan argumenttilisäykseksi. Funktion muutos tai lisäys on funktion arvojen välinen ero kahdessa pisteessä. Johdannainen määritelmä:

Funktion derivaatta pisteessä on raja funktion inkrementin tietyssä pisteessä suhteessa argumentin lisäykseen, kun jälkimmäinen pyrkii nollaan.

Muuten se voidaan kirjoittaa näin:

Mitä järkeä on löytää tällainen raja? Mutta kumpi:

funktion derivaatta pisteessä on yhtä suuri kuin OX-akselin välisen kulman tangentti ja funktion kaavion tangentti tietyssä pisteessä.

Johdannan fyysinen merkitys: reitin aikaderivaata on yhtä suuri kuin suoraviivaisen liikkeen nopeus.

Todellakin, kouluajoista lähtien kaikki tietävät, että nopeus on yksityinen tie. x=f(t) ja aikaa t . Keskinopeus tietyn ajanjakson aikana:

Selvittääksesi liikkeen nopeuden kerrallaan t0 sinun on laskettava raja:

Sääntö yksi: ota vakio pois

Vakio voidaan ottaa pois derivaatan etumerkistä. Lisäksi se on tehtävä. Kun ratkaiset matematiikan esimerkkejä, ota sääntönä - Jos voit yksinkertaistaa ilmaisua, muista yksinkertaistaa .

Esimerkki. Lasketaan derivaatta:

Sääntö kaksi: funktioiden summan derivaatta

Kahden funktion summan derivaatta on yhtä suuri kuin näiden funktioiden derivaattojen summa. Sama pätee funktioiden eron johdannaiseen.

Emme todista tätä lausetta, vaan harkitsemme käytännön esimerkkiä.

Etsi funktion derivaatta:

Kolmas sääntö: funktioiden tulon derivaatta

Kahden differentioituvan funktion tulon derivaatta lasketaan kaavalla:

Esimerkki: etsi funktion derivaatta:

Ratkaisu:

Tässä on tärkeää sanoa monimutkaisten funktioiden derivaattojen laskemisesta. Kompleksisen funktion derivaatta on yhtä suuri kuin tämän funktion derivaatan tulo väliargumentin suhteen väliargumentin derivaatalla riippumattoman muuttujan suhteen.

Yllä olevassa esimerkissä kohtaamme lausekkeen:

Tässä tapauksessa väliargumentti on 8x viidenteen potenssiin nähden. Tällaisen lausekkeen derivaatan laskemiseksi tarkastellaan ensin ulkoisen funktion derivaatta väliargumentin suhteen ja kerrotaan sitten itse väliargumentin derivaatalla riippumattoman muuttujan suhteen.

Neljäs sääntö: Kahden funktion osamäärän johdannainen

Kaava kahden funktion osamäärän derivaatan määrittämiseksi:

Yritimme puhua nukkejen johdannaisista tyhjästä. Tämä aihe ei ole niin yksinkertainen kuin miltä näyttää, joten varoita: esimerkeissä on usein sudenkuoppia, joten ole varovainen laskeessasi johdannaisia.

Jos sinulla on kysyttävää tästä ja muista aiheista, voit ottaa yhteyttä opiskelijapalveluun. Takana Lyhytaikainen autamme sinua ratkaisemaan vaikeimman testin ja selviytymään tehtävistä, vaikka et olisi koskaan aiemmin käsitellyt johdannaisten laskemista.

Jos noudatamme määritelmää, niin funktion derivaatta pisteessä on funktion Δ lisäyssuhteen raja. y argumentin Δ lisäykseen x:

Kaikki näyttää olevan selvää. Mutta yritä laskea tällä kaavalla esimerkiksi funktion derivaatta f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x synti x. Jos teet kaiken määritelmän mukaan, nukahdat vain muutaman sivun laskelmien jälkeen. Siksi on olemassa yksinkertaisempia ja tehokkaampia tapoja.

Aluksi huomautamme, että niin sanotut alkeisfunktiot voidaan erottaa funktioiden kokonaisuudesta. Nämä ovat suhteellisen yksinkertaisia ​​lausekkeita, joiden derivaatat on laskettu ja syötetty taulukkoon pitkään. Tällaiset funktiot ja niiden johdannaiset ovat riittävän helppoja muistaa.

Alkeisfunktioiden johdannaiset

Perustoiminnot ovat kaikki alla lueteltuja. Näiden funktioiden johdannaiset on tiedettävä ulkoa. Lisäksi niitä ei ole vaikea muistaa - siksi ne ovat alkeellisia.

Eli alkeisfunktioiden johdannaiset:

Nimi	Toiminto	Johdannainen
Vakio	f(x) = C, C ∈ R	0 (kyllä, kyllä, nolla!)
Aste rationaalisen eksponentin kanssa	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = synti x	cos x
Kosini	f(x) = cos x	- synti x(miinus sini)
Tangentti	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangentti	f(x) = ctg x	− 1/sin2 x
luonnollinen logaritmi	f(x) = loki x	1/x
Mielivaltainen logaritmi	f(x) = loki a x	1/(x ln a)
Eksponentti funktio	f(x) = e x	e x(mikään ei muuttunut)

Jos perusfunktio kerrotaan mielivaltaisella vakiolla, niin uuden funktion derivaatta on myös helppo laskea:

(C · f)’ = C · f ’.

Yleensä vakiot voidaan ottaa pois derivaatan etumerkistä. Esimerkiksi:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

On selvää, että perusfunktioita voidaan lisätä toisiinsa, kertoa, jakaa ja paljon muuta. Tällä tavalla ilmaantuu uusia toimintoja, jotka eivät enää ole kovin alkeellisia, mutta myös erottuvia tietyt säännöt. Näitä sääntöjä käsitellään alla.

Summan ja erotuksen johdannainen

Anna toiminnot f(x) Ja g(x), joiden johdannaiset tunnemme. Voit esimerkiksi ottaa edellä käsitellyt perusfunktiot. Sitten voit löytää näiden funktioiden summan ja erotuksen derivaatan:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Joten kahden funktion summan (eron) derivaatta on yhtä suuri kuin derivaattojen summa (ero). Termejä voi olla enemmän. Esimerkiksi, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Tarkkaan ottaen algebrassa ei ole käsitettä "vähennys". On olemassa "negatiivisen elementin" käsite. Siksi ero f − g voidaan kirjoittaa uudelleen summaksi f+ (-1) g, ja sitten jäljellä on vain yksi kaava - summan derivaatta.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Toiminto f(x) on kahden perusfunktion summa, joten:

f ’(x) = (x 2+ synti x)’ = (x 2)' + (synti x)’ = 2x+ cosx;

Väittelemme samalla tavalla funktion puolesta g(x). Vain kolme termiä on jo olemassa (algebran näkökulmasta):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Vastaus:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Tuotteen johdannainen

Matematiikka on loogista tiedettä, joten monet ihmiset uskovat, että jos summan derivaatta on yhtä suuri kuin johdannaisten summa, niin tuotteen derivaatta lakko"\u003e yhtä suuri kuin johdannaisten tulo. Mutta viikunat sinulle! Tuotteen johdannainen lasketaan täysin eri kaavalla. Nimittäin:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Kaava on yksinkertainen, mutta usein unohtuu. Eikä vain koululaisia, vaan myös opiskelijoita. Tuloksena on virheellisesti ratkaistuja ongelmia.

Tehtävä. Etsi funktioiden johdannaiset: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x– 7) · e x .

Toiminto f(x) on kahden perusfunktion tulos, joten kaikki on yksinkertaista:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-sin x) = x 2 (3cos x − x synti x)

Toiminto g(x) ensimmäinen kerroin on hieman monimutkaisempi, mutta yleinen kaavio ei muutu tästä. Ilmeisesti funktion ensimmäinen kerroin g(x) on polynomi, ja sen derivaatta on summan derivaatta. Meillä on:

g ’(x) = ((x 2 + 7x– 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x– 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Vastaus:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x synti x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Huomaa, että päällä viimeinen askel johdannainen on faktoroitu. Muodollisesti tämä ei ole välttämätöntä, mutta useimpia johdannaisia ​​ei lasketa yksinään, vaan funktion tutkimiseksi. Tämä tarkoittaa, että edelleen derivaatta rinnastetaan nollaan, sen merkit selvitetään ja niin edelleen. Tällaisessa tapauksessa on parempi, että lauseke on jaettu tekijöihin.

Jos toimintoja on kaksi f(x) Ja g(x), ja g(x) ≠ 0 meitä kiinnostavassa joukossa, voimme määritellä uuden funktion h(x) = f(x)/g(x). Tällaista funktiota varten löydät myös johdannaisen:

Ei heikko, eihän? Mistä miinus tuli? Miksi g 2? Ja näin! Tämä on yksi eniten monimutkaisia ​​kaavoja Ilman pulloa sitä ei voi selvittää. Siksi on parempi tutkia sitä erityisillä esimerkeillä.

Tehtävä. Etsi funktioiden johdannaiset:

Jokaisen murtoluvun osoittajassa ja nimittäjässä on alkeisfunktiot, joten tarvitsemme vain kaavan osamäärän derivaatalle:

Perinteisesti laskemme osoittajan tekijöihin - tämä yksinkertaistaa vastausta suuresti:

Monimutkainen funktio ei välttämättä ole puoli kilometriä pitkä kaava. Esimerkiksi funktio riittää f(x) = synti x ja vaihda muuttuja x, sano, päälle x 2+ln x. Se käy ilmi f(x) = synti ( x 2+ln x) on monimutkainen funktio. Hänellä on myös johdannainen, mutta sen löytäminen ei onnistu yllä käsiteltyjen sääntöjen mukaisesti.

Kuinka olla? Tällaisissa tapauksissa muuttujan korvaaminen ja kompleksisen funktion derivaatan kaava auttavat:

f ’(x) = f ’(t) · t', jos x korvataan t(x).

Pääsääntöisesti tilanne tämän kaavan ymmärtämisessä on vielä surullisempi kuin osamäärän derivaatan kanssa. Siksi on myös parempi selittää se konkreettisilla esimerkeillä, joilla Yksityiskohtainen kuvaus jokainen askel.

Tehtävä. Etsi funktioiden johdannaiset: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = synti ( x 2+ln x)

Huomaa, että jos funktiossa f(x) lausekkeen 2 sijaan x+3 tulee olemaan helppoa x, niin se toimii alkeistoiminto f(x) = e x. Siksi teemme korvauksen: olkoon 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Etsimme kompleksisen funktion johdannaista kaavalla:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Ja nyt - huomio! Käänteisen vaihdon suorittaminen: t = 2x+ 3. Saamme:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Katsotaan nyt toimintoa g(x). Ilmeisesti pitää vaihtaa. x 2+ln x = t. Meillä on:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (synti t)’ · t' = cos t · t ’

Käänteinen vaihto: t = x 2+ln x. Sitten:

g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Siinä kaikki! Kuten viimeisestä lausekkeesta voidaan nähdä, koko ongelma on rajoittunut summan derivaatan laskemiseen.

Vastaus:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2+ln x).

Hyvin usein tunneillani käytän sanan "johdannainen" sijaan sanaa "halvaus". Esimerkiksi summan veto on yhtä suuri kuin vetojen summa. Onko se selkeämpi? No se on hyvä.

Täten johdannaisen laskennassa päästään eroon juuri näistä vedoista edellä käsiteltyjen sääntöjen mukaisesti. Viimeisenä esimerkkinä palataan derivatiiviseen potenssiin rationaalisen eksponentin kanssa:

(x n)’ = n · x n − 1

Harva tietää sen roolissa n voi hyvinkin olla murtoluku. Esimerkiksi juuri on x 0,5 . Mutta entä jos juuren alla on jotain hankalaa? Jälleen tulee monimutkainen toiminto - he haluavat antaa tällaisia ​​rakenteita valvoa työtä ja kokeet.

Tehtävä. Etsi funktion derivaatta:

Ensin kirjoitetaan juuri uudelleen potenssiksi rationaalisen eksponentin kanssa:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Nyt teemme vaihdon: anna x 2 + 8x − 7 = t. Löydämme johdannaisen kaavasta:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)" t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Teemme käänteisen vaihdon: t = x 2 + 8x− 7. Meillä on:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Lopuksi takaisin juurille: