2017-2018 Matematiikan harjoittelutyö Luokka 11
Vaihtoehto 2 (perus)
Vastaus jokaiseen tehtävään on lopullinen desimaali, kokonaisluku tai numerosarja. Kirjoita työn tekstiin vastauskenttään tehtävien vastaukset ja siirrä ne sitten vastaavan tehtävän numeron oikealle puolelle vastauslomakkeeseen nro 1. Jos vastaus on numerosarja, kirjoita tämä sarja vastauslomakkeeseen nro 1ilman välilyöntejä, pilkkuja ja muita lisämerkkejä. Kirjoita jokainen numero, miinusmerkki ja pilkku erilliseen ruutuun. Mittayksiköitä ei vaadita.
1
Vastaus: _________________.
2 . Etsi lausekkeen arvo:
Vastaus: _________________.
3 . Koulussa tyttöjä on 51 prosenttia kaikista oppilaista. Kuinka monta tyttöä tässä koulussa on, jos tyttöjä on 8 enemmän kuin poikia?
Vastaus: _________________.
4 . Kolmen luvun harmoninen keskiarvoA , b JaKanssa, lasketaan kaavalla Etsi numeroiden harmoninen keskiarvo
Vastaus: _________________.
5. Laskea:
Vastaus: _________________.
6 . Instituutin miesten asuntolassa yhteen huoneeseen voi majoittua enintään kolme henkilöä. Mikä on pienin huonemäärä 79 ulkomaalaisen opiskelijan majoittumiseen?
Vastaus: _________________.
7 .Etsi yhtälön juuri
Vastaus: _________________.
8 . Huoneistossa on kaksi huonetta, keittiö, käytävä ja kylpyhuone (katso piirustus). Ensimmäinen huone on kooltaan 4 m x 4 m, toinen - 4 m x 3,5 m, keittiön mitat 4 m x 3,5 m, kylpyhuone - 1,5 m x 2 m. Etsi käytävän pinta-ala. Anna vastauksesi neliömetrinä.
Vastaus: _________________.
9 . Määritä vastaavuus määrien ja niiden mahdollisten arvojen välille: valitse jokaiselle ensimmäisen sarakkeen elementille vastaava elementti toisesta sarakkeesta.
ARVOT ARVOT
A) lipaston tilavuus 1) 0,75 l
B) Kaspianmeren vesimäärä 2) 78200 km 3
C) ryazhenka-pakkauksen tilavuus 3) 96 l
D) junavaunun tilavuus 4) 90 m 3
Merkitse taulukossa jokaisen arvoa vastaavan kirjaimen alla sen mahdollisen arvon numero.
Vastaus:
Vastaus: _________________.10 . Venäjän kielen olympialaisissa osallistujat istuvat kolmessa luokkahuoneessa. Kahdessa ensimmäisessä, 130 henkilöä, loput viedään toisessa rakennuksessa olevaan vara-auditorioon. Laskettaessa kävi ilmi, että osallistujia oli yhteensä 400. Laske todennäköisyys, että satunnaisesti valittu osallistuja kirjoitti olympian vapaaseen huoneeseen.
Vastaus: _________________.
11 . Kuvassa on kaavio ilmanpainearvoista tietyssä kaupungissa kolmen päivän ajalta. Viikonpäivät ja kellonaika näytetään vaakasuunnassa, ilmakehän painearvot elohopeamillimetreinä pystysuunnassa. Etsi ilmanpaineen arvo keskiviikkona kello 12. Anna vastauksesi elohopeamillimetreinä.
Vastaus: ____________.
Vastaus: _________________.
13. Säännöllinen kuusikulmainen pyramidi reunalla 1 liimattiin säännölliseen kuusikulmaiseen prismaan reunalla 1 siten, että pohjan pinnat osuivat kohdakkain. Kuinka monta pintaa tuloksena olevalla polyhedrillä on (näkymättömät reunat eivät näy kuvassa)?
Vastaus: _________________.
14. Kuvassa on funktion kaavio pisteitäA, B, C, DJaEasetettu akselilleX neljä väliä. Yhdistä kaavion avulla jokainen intervalli funktion ominaisuuden tai sen derivaatan kanssa.
FUNKTION TAI JOHDANNAISEN OMINAISUUDET
A) (A; B) 1) funktio vaihtaa merkin "-":sta "+"
B) (C; C) 2) derivaatta muuttaa etumerkin "-":sta "+":ksi
B) (C;D) 3) derivaatta muuttaa merkin "+":sta "-"
G) (D; E) 4) funktio on positiivinen ja kasvava
Merkitse kunkin kirjaimen alla olevaan taulukkoon vastaava numero.
15 . Ympyrällä, jossa on keskipisteNOIN pisteet on merkittyA JaSISÄÄN niin, että pienemmän kaaren pituusAB on 3. Etsi suuremman kaaren pituus.
Vastaus: _________________.
16 . Annettu kaksi laatikkoa, jotka ovat muodoltaan säännöllisen nelikulmaisen prisman muotoisia. Ensimmäinen laatikko on neljä ja puoli kertaa matalampi kuin toinen, ja toinen on kolme kertaa kapeampi kuin ensimmäinen. Kuinka monta kertaa suurempi on ensimmäisen laatikon tilavuus kuin toisen?
Vastaus: _________________.
17. Jokainen vasemman sarakkeen neljästä epäyhtälöstä vastaa yhtä oikean sarakkeen ratkaisua. Muodosta vastaavuus eriarvoisuuksien ja niiden ratkaisujen välille.
RATKAISUJEN ERÄTAVUUS
A)
B)
SISÄÄN)
G)
Kirjoita vastauksessa annettuun taulukkoon kunkin kirjaimen alle vastaava päätöksen numero.
Vastaus:
18 . Talviolympialaisissa Venäjän joukkue voitti enemmän mitaleja kuin Kanadan joukkue, Kanadan joukkue - enemmän kuin Saksan joukkue ja Norjan joukkue - vähemmän kuin Kanadan joukkue.Valitse väitteet, jotka ovat totta annetuissa olosuhteissa.
1) Nimetyistä joukkueista Kanadan joukkue sijoittui toiseksi mitalien lukumäärässä.
2) Nimettyjen joukkueiden joukossa on kolme, jotka voittivat yhtä paljon mitaleja.
3) Saksan joukkue voitti enemmän mitaleja kuin Venäjän joukkue.
4) Venäjän joukkue voitti enemmän mitaleja kuin kukin kolmesta muusta joukkueesta.
Anna vastauksessasi numerot. oikeita väitteitä nousevassa järjestyksessä.
Vastaus: _________________.
19 . chetykolminumeroinen lukuA koostuu numeroista 3; 4; 8; 9, aneljäkolminumeroinen lukuSISÄÄN - numeroista 6; 7; 8; 9. Tiedetään, ettäSISÄÄN = 2 A. Etsi numeroA. Ilmoita vastauksessasi jokin tällainen numero lukuun ottamatta numeroa 3489.
Vastaus: _________________.
20 . Suorakulmio on jaettu neljään pieneen suorakulmioon kahdella suoralla leikkauksella. Niistä kolmen ympärysmitat alkaen vasemmasta yläkulmasta myötäpäivään ovat 17, 15 ja 18. Etsi neljännen suorakulmion kehä.
1715
?
18
Kombinatoriset ongelmat
1 . Katya, Masha ja Ira leikkivät pallolla. Jokaisen tulee heittää pallo kerran jokaisen ystävän suuntaan. Kuinka monta kertaa jokaisen tytön pitäisi heittää palloa? Kuinka monta kertaa palloa heitetään? Määritä kuinka monta kertaa palloa heitetään, jos peliin osallistuu: neljä lasta; viisi lasta.
2 . Annettu kolme julkisivua ja kaksi samanmuotoista, mutta eri väreillä maalattua kattoa: julkisivut ovat keltaisia, sinisiä ja punaisia ja katot sinisiä ja punaisia. Mitä taloja voidaan rakentaa? Kuinka monta yhdistelmää on?
3 . Talossa on kolme identtistä julkisivua: sininen, keltainen ja punainen - ja kolme kattoa: sininen, keltainen ja punainen. Mitä taloja voidaan rakentaa? Kuinka monta yhdistelmää on?
4 . Lippujen kuviot voivat olla ympyrä, neliö, kolmio tai tähti, ja ne voidaan värittää vihreäksi tai punaiseksi. Kuinka monta eri lippua voi olla?
5. Koulun ruokalassa lounaaksi valmistettiin lihaa, lihapullia ja kalaa kakkosruokina. Jälkiruoaksi - jäätelöä, hedelmiä ja piirakkaa. Voit valita yhden pääruoan ja yhden jälkiruokaruoan. Kuinka monta erilaista lounasvaihtoehtoa on?
6. Koulun ruokalassa valmistettiin lounaaksi lihakeittoa ja kasviskeittoa, toiseksi lihaa, lihapullia ja kalaa, makeisiksi jäätelöä, hedelmiä ja piirakkaa. Kuinka monta eri vaihtoehtoa kolmen ruokalajin aterialle on?
7. Kuinka monella tavalla kolme oppilasta voi istua rivissä tuoleilla? Listaa kaikki mahdolliset tapaukset.
8 . Kuinka monella tavalla neljä (viisi) henkilöä voi rivissä?
9 . Eri puolilta kukkulalle nousee kolme polkua, jotka yhtyvät huipulle. Tee useita reittejä, joilla voit kulkea ylös ja alas mäkeä. Ratkaise sama ongelma, jos sinun on mentävä ylös ja alas eri polkuja.
10 . Kolme tietä johtaa Akulovosta Rybnitsaan ja neljä tietä Rybnitsasta Kitovoon. Kuinka monta tapaa on matkustaa Akulovosta Kitovoon Rybnitsan kautta?
11 . Tavua kutsutaan avoimeksi, jos se alkaa konsonantilla ja päättyy vokaaliin. Kuinka monta avointa kaksikirjaimista tavua voidaan kirjoittaa käyttämällä kirjaimia "a", "b", "c", "d", "e", "i", "o"? Kirjoita nämä tavut.
12. Kuinka monta erilaista pusero- ja hamepukua voit tehdä, jos sinulla on 4 puseroa ja 4 hametta?
13. Kun Petya menee kouluun, hän tapaa joskus yhden tai useamman ystävänsä: Vasjan, Lenjan, Toljan. Listaa kaikki mahdolliset tapaukset, joissa tämä voi olla.
14 . Kirjoita muistiin kaikki mahdolliset kaksinumeroiset luvut käyttämällä numeroita 7 ja 4.
15 . Misha suunnitteli ostavansa: lyijykynän, viivaimen, muistikirjan ja muistivihkon. Hän osti tänään vain kaksi eri tuotetta. Mitä Misha voisi ostaa olettaen, että kaupassa oli kaikki hänen tarvitsemansa koulutustarvikkeet?
16 . Neljä ihmistä kätteli. Kuinka monta kädenpuristusta oli?
17 . Kuinka monta kaksinumeroista lukua on ilman numeroa 0?
18 . Kirjoita muistiin kaikki mahdolliset kolminumeroiset luvut, jotka voidaan muodostaa luvuista 1 ja 2.
19 . Kirjoita muistiin kaikki mahdolliset parilliset kolminumeroiset luvut, jotka koostuvat luvuista 1 ja 2.
20 . Kirjoita muistiin kaikki mahdolliset kaksinumeroiset luvut, joissa käytetään numeroita 2, 8 ja 5.
21 . Kuinka monta erilaista kaksinumeroista lukua on, joiden kaikki numerot ovat parittomia?
22 . Mitä kolminumeroisia lukuja voidaan kirjoittaa numeroilla 3, 7 ja 1, jos numerossa ei saa olla samoja numeroita? Kuinka monta tällaista numeroa?
23 . Kuinka monta kolminumeroista lukua voidaan tehdä luvuista 1, 2, 4, 6, jos yhtäkään numeroa ei käytetä useammin kuin kerran? Kuinka monta näistä luvuista tulee olemaan parillisia? Kuinka monta outoa?
24 . Autossa on viisi istuinta. Kuinka monella tavalla viisi ihmistä voi päästä tähän autoon, jos vain kaksi heistä mahtuu kuljettajan paikalle?
25. Luokassa on 5 yhden hengen pöytää. Kuinka monella tavalla niille voidaan istua kaksi (kolme) vasta saapunutta koululaista?
26 . Muista I. Krylovin satu "Kvartetti":
Tuhma Apina, Aasi, Vuohi ja mailijalka Mishka alkoivat soittaa kvartettia. He lyövät jousia, repivät, mutta siinä ei ole järkeä. "Lopeta, veljet, lopeta! - huutaa Apina. - Odota! Miten musiikki sujuu? Sinä et istu niin." Kuinka monta eri tavoilla voivatko nämä muusikot yrittää istua alas? Voiko se parantaa heidän pelinsä laatua?
27 . Pojat ja tytöt istuvat rivissä peräkkäisissä paikoissa, pojat istuvat parittomilla paikoilla ja tytöt parillisilla paikoilla. Kuinka monella tavalla tämä voidaan tehdä, jos:
a) 3 poikaa ja 3 tyttöä istuu 6 paikassa;
b) 5 poikaa ja 5 tyttöä istuu 10 istuimella?
28 . Tyhjälle shakkilaudalle on asetettava kaksi tammi - musta ja valkoinen. Kuinka monta eri asemaa he voivat olla laudalla?
29. Olkoon auton numero koostuva kahdesta kirjaimesta, joita seuraa kaksi numeroa, esimerkiksi AB-53. Kuinka monta eri numeroa voidaan tehdä käyttämällä 5 kirjainta ja 6 numeroa?
30 . Ajoneuvon numero koostuu kolmesta kirjaimesta ja neljästä numerosta. Kuinka monta eri rekisterikilpiä on (kolme kirjainta on otettu 29 venäjän aakkosten kirjaimesta)?
31 . Oletetaan, että sinun piti mennä kirjastoon, säästöpankkiin, postiin ja antaa kengät korjattavaksi. Lyhimmän reitin valitsemiseksi on harkittava kaikkia mahdollisia vaihtoehtoja. Kuinka monta tapaa on olemassa, jos kirjasto, säästöpankki, posti ja kenkäkauppa ovat kaukana toisistaan?
32. Oletetaan, että sinun piti mennä kirjastoon, säästöpankkiin, postiin ja antaa kengät korjattavaksi. Lyhimmän reitin valitsemiseksi on harkittava kaikkia mahdollisia vaihtoehtoja. Kuinka monta järkevää polkua on, jos kirjasto ja posti ovat lähellä, mutta kaukana toisistaan kaukana olevista säästöpankista ja kenkäkaupasta?
33. Vaunussa olevien matkustajien keskuudessa käytiin vilkas keskustelu neljästä lehdestä. Kävi ilmi, että jokainen tilaa kaksi lehteä, ja kunkin kahden lehden mahdollisista yhdistelmistä tilaa yksi henkilö. Kuinka monta henkilöä oli tässä ryhmässä?
34 . On viisi noppaa, jotka eroavat toisistaan vain väriltään: 2 punaista, 1 valkoinen ja 2 mustaa. On olemassa kaksi laatikkoa A ja B, joissa A:ssa on 2 kuutiota ja B:ssä 3. Kuinka monella eri tavalla nämä kuutiot voidaan sijoittaa laatikoihin A ja B?
35. Voidakseen tuoda virkistäviä omenoita tsaari-isälle, Ivan Tsarevitšin on löydettävä ainoa oikea tie taikapuutarhaan. Tapasin Ivan Tsarevitšin vanhan korpin kolmen tien haarassa, ja tämän neuvon kuulin häneltä:
1) mene nyt oikeaa tietä;
2) älä valitse oikeaa polkua seuraavassa haarassa;
3) Kolmannessa haarassa älä käänny vasemmalle.
Ohi lentävä kyyhkynen kuiskasi Ivan Tsarevitšille, että vain yksi korpin neuvo oli oikea ja että polkuja täytyy ehdottomasti kulkea eri suuntiin. Sankarimme suoritti tehtävän ja päätyi maagiseen puutarhaan. Minkä reitin hän valitsi?
On huomattava, että kombinatoriikka on itsenäinen osa korkeampaa matematiikkaa (eikä osa terveria) ja tälle tieteenalalle on kirjoitettu painavia oppikirjoja, joiden sisältö ei toisinaan ole abstraktia algebraa helpompaa. Pieni osuus teoreettisesta tiedosta kuitenkin riittää meille, ja tässä artikkelissa yritän analysoida aiheen perusteita tyypillisillä kombinatorisilla ongelmilla saavutettavassa muodossa. Ja monet teistä auttavat minua ;-)
Mitä aiomme tehdä? SISÄÄN suppea merkitys kombinatoriikka on erilaisten yhdistelmien laskemista, jotka voidaan tehdä joukosta diskreetti esineitä. Esineillä tarkoitetaan kaikkia yksittäisiä esineitä tai eläviä olentoja - ihmisiä, eläimiä, sieniä, kasveja, hyönteisiä jne. Samaan aikaan kombinatoriikka ei välitä ollenkaan siitä, että setti koostuu mannasuurimosta, juotosraudasta ja suosammakosta. On erittäin tärkeää, että nämä esineet ovat luettavissa - niitä on kolme. (diskreetti) ja on tärkeää, että mikään niistä ei ole samanlainen.
Kun paljon on selvitetty, nyt yhdistelmistä. Yleisimmät yhdistelmätyypit ovat objektien permutaatiot, niiden valinta joukosta (yhdistelmä) ja jakautuminen (sijoittelu). Katsotaan kuinka tämä tapahtuu juuri nyt:
Permutaatiot, yhdistelmät ja sijoittelut ilman toistoa
Älä pelkää epäselviä termejä, varsinkin kun jotkut niistä eivät todellakaan ole kovin menestyviä. Aloitetaan otsikon hännästä - mitä tekee " ilman toistoa"? Tämä tarkoittaa, että tässä osiossa tarkastellaan joukkoja, jotka koostuvat eri esineitä. Esimerkiksi ... ei, en tarjoa puuroa juotosraudalla ja sammakolla, jotain maukkaampaa on parempi =) Kuvittele, että omena, päärynä ja banaani materialisoituivat edessäsi olevalle pöydälle (jos niitä on) mikä tahansa, tilanne voidaan simuloida todellisuudessa). Asetamme hedelmät vasemmalta oikealle seuraavassa järjestyksessä:
omena / päärynä / banaani
Kysymys yksi: Kuinka monella tavalla ne voidaan järjestää uudelleen?
Yksi yhdistelmä on jo kirjoitettu yllä ja muiden kanssa ei ole ongelmia:
omena / banaani / päärynä
päärynä / omena / banaani
päärynä / banaani / omena
banaani / omena / päärynä
banaani / päärynä / omena
Kaikki yhteensä: 6 yhdistelmää tai 6 permutaatioita.
No, ei ollut vaikeaa luetella kaikkia mahdollisia tapauksia tänne, mutta entä jos kohteita on enemmän? Jo neljällä eri hedelmällä yhdistelmien määrä kasvaa merkittävästi!
Avaa viitemateriaali (Käsikirja on helppo tulostaa) ja kappaleesta numero 2 etsi kaava permutaatioiden lukumäärälle.
Ei piinaa - 3 esinettä voidaan järjestää uudelleen eri tavoilla.
Kysymys kaksi: Kuinka monella tavalla voit valita a) yhden hedelmän, b) kaksi hedelmää, c) kolme hedelmää, d) vähintään yhden hedelmän?
Miksi valita? Joten he lisäsivät ruokahalua edellisessä kappaleessa - syödäkseen! =)
a) Yksi hedelmä voidaan valita ilmeisesti kolmella tavalla - ota joko omena, päärynä tai banaani. Muodollinen laskenta perustuu yhdistelmien lukumäärän kaava:
Tässä tapauksessa merkintä tulee ymmärtää seuraavasti: "Kuinka monella tavalla voit valita 1 hedelmän kolmesta?"
b) Listaamme kaikki mahdolliset kahden hedelmän yhdistelmät:
omena ja päärynä;
omena ja banaani;
päärynä ja banaani.
Yhdistelmien lukumäärä on helppo tarkistaa samalla kaavalla:
Merkintä ymmärretään samalla tavalla: "Kuinka monella tavalla voit valita 2 hedelmää kolmesta?".
c) Ja lopuksi, kolme hedelmää voidaan valita ainutlaatuisella tavalla:
Muuten, yhdistelmien lukumäärän kaava on järkevä myös tyhjälle näytteelle:
Tällä tavalla et voi valita yhtään hedelmää - itse asiassa, et ota mitään ja se on siinä.
d) Kuinka monella tavalla voit ottaa ainakin yksi hedelmää? "Vähintään yksi" ehto tarkoittaa, että olemme tyytyväisiä yhteen hedelmään (mihin tahansa) tai mihin tahansa kahteen hedelmään tai kaikkiin kolmeen hedelmään:
tapoja, joilla voit valita ainakin yhden hedelmän.
Lukijat, jotka ovat huolellisesti tutkineet johdantotunnin aiheesta todennäköisyysteoria keksi jo jotain. Mutta plusmerkin merkityksestä myöhemmin.
Vastatakseni seuraavaan kysymykseen tarvitsen kaksi vapaaehtoista ... ... No, koska kukaan ei halua, niin soitan hallitukseen =)
Kolmas kysymys: Kuinka monella tavalla yksi hedelmä voidaan jakaa Dashalle ja Natashalle?
Jotta voit jakaa kaksi hedelmää, sinun on ensin valittava ne. Edellisen kysymyksen kappaleen "olla" mukaan tämä voidaan tehdä eri tavoilla, kirjoitan ne uudelleen:
omena ja päärynä;
omena ja banaani;
päärynä ja banaani.
Mutta nyt yhdistelmiä on kaksi kertaa enemmän. Harkitse esimerkiksi ensimmäistä hedelmäparia:
voit hoitaa Dashaa omenalla ja Natashaa päärynällä;
tai päinvastoin - Dasha saa päärynän ja Natasha omenan.
Ja tällainen permutaatio on mahdollista jokaiselle hedelmäparille.
Harkitse samaa opiskelijaryhmää, joka meni tanssimaan. Kuinka monella tavalla poika ja tyttö voidaan yhdistää?
Voit valita 1 nuoren miehen;
tapoja, joilla voit valita 1 tytön.
Siis yksi nuori mies Ja yksi tyttö voidaan valita: 
tavoilla.
Kun jokaisesta joukosta valitaan 1 kohde, seuraava yhdistelmien laskentaperiaate on voimassa: " joka yhdestä joukosta oleva esine voi muodostaa parin jokaisen kanssa toisen joukon esine.
Eli Oleg voi kutsua minkä tahansa 13 tytöstä tanssimaan, Jevgenin - myös minkä tahansa kolmetoista tytöstä, ja muilla nuorilla on samanlainen valinta. Yhteensä: mahdolliset parit.
On huomattava, että sisään tämä esimerkki parinmuodostuksen "historialla" ei ole väliä; jos oma-aloitteisuus kuitenkin otetaan huomioon, yhdistelmien määrä on tuplattava, koska jokainen 13 tytöstä voi kutsua myös minkä tahansa pojan tanssimaan. Kaikki riippuu tietyn tehtävän olosuhteista!
Samanlainen periaate pätee esimerkiksi monimutkaisempiin yhdistelmiin: kuinka monella tavalla voidaan valita kaksi nuorta miestä Ja kaksi tyttöä osallistumaan KVN-skettiin?
liitto JA vihjaa yksiselitteisesti, että yhdistelmät on kerrottava:
Mahdolliset taiteilijaryhmät.
Toisin sanoen, jokainen poikien pari (45 ainutlaatuista paria) voi kilpailla minkä tahansa pari tyttöä (78 ainutlaatuista paria). Ja jos otamme huomioon roolien jakautumisen osallistujien välillä, yhdistelmiä tulee vielä enemmän. ... Haluan todella, mutta silti pidättäydyn jatkamasta, jotta en juurruttaisi sinuun vastenmielisyyttä opiskelijaelämää kohtaan =).
Kertolasääntö koskee useampia kertoimia:
Tehtävä 8
Kuinka monta kolminumeroista lukua on jaollinen 5:llä?
Ratkaisu: Selvyyden vuoksi merkitsemme tätä numeroa kolmella tähdellä: ***
SISÄÄN satojen paikka voit kirjoittaa minkä tahansa numeron (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 tai 9). Nolla ei ole hyvä, koska tässä tapauksessa numero lakkaa olemasta kolminumeroinen.
Mutta sisään kymmenien paikka("keskellä") voit valita minkä tahansa 10 numerosta: .
Ehdon mukaan luvun on oltava jaollinen 5:llä. Luku on jaollinen viidellä, jos se päättyy 5:een tai 0:aan. Näin ollen vähiten merkitsevässä numerossa tyydytään 2 numeroon.
Yhteensä on: kolminumeroiset luvut, jotka ovat jaollisia viidellä.
Samalla teos puretaan seuraavasti: ”9 tapaa, joilla voit valita numeron satojen paikka Ja 10 tapaa valita numero kymmenien paikka Ja 2 tietä sisään yksikön numero»
Tai vielä yksinkertaisempaa: jokainen 9 numerosta satojen paikka yhdistetty jokaisen kanssa 10 numerosta kymmenien paikka ja jokaisen kanssa kahdesta numerosta yksiköiden numero».
Vastaus: 180
Ja nyt…
Kyllä, melkein unohdin luvatun kommentin tehtävään nro 5, jossa Borya, Dima ja Volodya voidaan jakaa kullekin yksi kortti eri tavoin. Kertomalla tässä on sama merkitys: voit poimia pakasta 3 korttia JA jokaisessa näyte järjestää ne uudelleen.
Ja nyt itsenäisen ratkaisun ongelma ... nyt keksin jotain mielenkiintoisempaa, ... olkoon kyse samasta venäläisestä blackjackin versiosta:
Tehtävä 9
Kuinka monta kahden kortin voittoyhdistelmää on "piste"-pelissä?
Niille jotka eivät tiedä: voittoyhdistelmä 10 + ACE (11 pistettä) = 21 pistettä ja lasketaan voittoyhdistelmä kahdesta ässästä.
(korttien järjestyksellä parissa ei ole väliä)
Nopea Ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.
Muuten, esimerkkiä ei tarvitse pitää primitiivisenä. Blackjack on melkein ainoa peli, jolle on olemassa matemaattisesti perusteltu algoritmi, jonka avulla voit voittaa kasinon. Halukkaat löytävät helposti paljon tietoa optimaalisesta strategiasta ja taktiikoista. Totta, tällaiset mestarit putoavat nopeasti kaikkien laitosten mustalle listalle =)
On aika koota materiaalia, joka on katettu parilla kiinteällä tehtävällä:
Tehtävä 10
Vasyalla on kotona 4 kissaa.
a) Kuinka monella tavalla kissat voidaan istuttaa huoneen kulmiin?
b) Kuinka monella tavalla kissojen voidaan sallia vaeltaa?
c) kuinka monella tavalla Vasya voi poimia kaksi kissaa (toinen vasemmalta, toinen oikealta)?
Me päätämme: Ensinnäkin on jälleen huomattava, että ongelma koskee eri esineitä (vaikka kissat olisivat identtisiä kaksosia). Tämä on erittäin tärkeä ehto!
a) Kissojen hiljaisuus. Tämä toteutus edellyttää kaikki kissat kerralla
+ niiden sijainti on tärkeä, joten tässä on permutaatioita:
tapoja, joilla voit istuttaa kissat huoneen kulmiin.
Toistan, että permutoitaessa vain eri objektien lukumäärällä ja niiden suhteellisella sijainnilla on merkitystä. Mielialasta riippuen Vasya voi istuttaa eläimet puoliympyrässä sohvalle, riviin ikkunalaudalle jne. - permutaatioita tulee kaikissa tapauksissa 24. Mukavuuden vuoksi halukkaat voivat kuvitella, että kissat ovat monivärisiä (esim. valkoinen, musta, punainen ja raidallinen) ja listata kaikki mahdolliset yhdistelmät.
b) Kuinka monella tavalla kissojen voidaan sallia vaeltaa?
Oletetaan, että kissat lähtevät kävelylle vain ovesta, kun taas kysymys viittaa välinpitämättömyyteen eläinten lukumäärästä - 1, 2, 3 tai kaikki 4 kissaa voivat mennä kävelylle.
Harkitsemme kaikkia mahdollisia yhdistelmiä:
Tapoja, joilla voit päästää yhden kissan kävelylle (mikä tahansa neljästä); 
tapoja, joilla voit päästää kaksi kissaa kävelylle (luettelo vaihtoehdot itse);
tapoja, joilla voit päästää kolme kissaa kävelylle (yksi neljästä istuu kotona);
miten voit vapauttaa kaikki kissat.
Luultavasti arvasit, että saadut arvot pitäisi laskea yhteen:
tapoja päästää kissoja kävelylle.
Harrastajille tarjoan monimutkaisen version ongelmasta - kun mikä tahansa kissa mistä tahansa näytteestä voi satunnaisesti mennä ulos sekä 10. kerroksen ovesta että ikkunasta. Yhdistelmiä tulee lisää!
c) Kuinka monella tavalla Vasya voi poimia kaksi kissaa?
Tilanne ei koske vain 2 eläimen valintaa, vaan myös niiden sijoittamista käsiin:
tapoja, joilla voit noutaa 2 kissaa.
Toinen ratkaisu: tavallaan voit valita kaksi kissaa Ja tapoja istuttaa joka pari kädessä: 
Vastaus: a) 24, b) 15, c) 12
No, omantuntoni tyhjentämiseksi, jotain tarkempaa yhdistelmien kertomisesta... Anna Vasyalle 5 ylimääräistä kissaa =) Kuinka monella tavalla voit päästää 2 kissaa kävelylle Ja 1 kissa?
Eli kanssa jokainen pari kissaa voidaan vapauttaa joka kissa.
Toinen nappiharmonika itsenäiseen ratkaisuun:
Tehtävä 11
3 matkustajaa nousi 12-kerroksisen talon hissiin. Jokainen, muista riippumatta, voi poistua mistä tahansa (2. kerroksesta alkaen) samalla todennäköisyydellä. Kuinka monella tavalla:
1) Matkustajat voivat jäädä pois samassa kerroksessa (poistumisjärjestyksellä ei ole väliä);
2) kaksi henkilöä voi nousta toisessa kerroksessa ja kolmas toisessa;
3) ihmiset voivat jäädä pois eri kerroksista;
4) Voivatko matkustajat poistua hissistä?
Ja täällä he usein kysyvät uudelleen, selvensin: jos 2 tai 3 ihmistä menee ulos samassa kerroksessa, poistumisjärjestyksellä ei ole väliä. Ajattele, käytä kaavoja ja sääntöjä yhteen- ja kertolaskuyhdistelmille. Vaikeuksien sattuessa matkustajien on hyödyllistä ilmoittaa nimet ja syyt, millä yhdistelmillä he voivat nousta hissistä. Ei tarvitse olla järkyttynyt, jos jokin ei onnistu, esimerkiksi kohta numero 2 on melko salakavala.
Täydellinen ratkaisu yksityiskohtaisilla kommenteilla opetusohjelman lopussa.
Viimeinen kappale on omistettu yhdistelmille, joita esiintyy myös melko usein - subjektiivisen arvioni mukaan noin 20-30 prosentissa kombinatorisista ongelmista:
Permutaatiot, yhdistelmät ja sijoittelut toistoilla
Luettelotyyppiset yhdistelmät on kuvattu kappaleessa 5 viitemateriaali Kombinatoriikan peruskaavat Jotkut niistä eivät kuitenkaan välttämättä ole kovin selkeitä ensimmäisessä käsittelyssä. Tässä tapauksessa on suositeltavaa tutustua ensin käytännön esimerkkejä, ja vasta sitten ymmärrä yleinen muotoilu. Mennä:
Permutaatiot toistoilla
Permutaatioissa, joissa on toistoja, kuten "tavallisissa" permutaatioissa, koko esinesarja kerralla, mutta on yksi mutta: tässä joukossa yksi tai useampi elementti (objekti) toistetaan. Täytä seuraava standardi:
Tehtävä 12
Kuinka monta eri kirjainyhdistelmää saadaan järjestämällä kortit uudelleen seuraavilla kirjaimilla: K, O, L, O, K, O, L, L, H, I, K?
Ratkaisu: siinä tapauksessa, että kaikki kirjaimet olivat erilaisia, tulisi käyttää triviaalia kaavaa, mutta on kuitenkin melko selvää, että ehdotetulle korttisarjalle jotkut manipulaatiot toimivat "tyhjinä", joten esimerkiksi jos vaihdat mitä tahansa kahta kortit kirjaimilla "K missä tahansa sanassa, se on sama sana. Lisäksi fyysisesti kortit voivat olla hyvin erilaisia: yksi voi olla pyöreä, jossa on painettu kirjain “K”, toinen neliö, jossa on piirretty kirjain “K”. Mutta ongelman merkityksen mukaan jopa sellaiset kortit pitää samana, koska ehto kysyy kirjainyhdistelmiä.
Kaikki on erittäin yksinkertaista - yhteensä: 11 korttia, mukaan lukien kirje:
K - toistetaan 3 kertaa;
O - toistetaan 3 kertaa;
L - toistetaan 2 kertaa;
b - toistetaan 1 kerran;
H - toistetaan 1 kerran;
Ja - toistuu 1 kerran.
Tarkista: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, jonka halusimme tarkistaa.
Kaavan mukaan permutaatioiden määrä toistoilla:
erilaisia kirjainyhdistelmiä voidaan saada. Yli puoli miljoonaa!
Suuren tekijäarvon nopeaan laskemiseen on kätevää käyttää tavallista Excel-toimintoa: pisteytetään missä tahansa solussa =FAKTA(11) ja napsauta Tulla sisään.
Käytännössä on melko hyväksyttävää olla kirjoittamatta yleistä kaavaa ja lisäksi jättää pois yksikkötekijät: 
Mutta alustavat kommentit toistuvista kirjeistä ovat tarpeen!
Vastaus: 554400
Toinen tyypillinen esimerkki permutaatioista toistoilla on shakkinappuloiden järjestysongelma, joka löytyy varastosta valmiita ratkaisuja vastaavassa pdf:ssä. Ja itsenäistä ratkaisua varten keksin vähemmän mallitehtävän:
Tehtävä 13
Aleksei harrastaa urheilua ja 4 päivää viikossa - yleisurheilua, 2 päivää - voimaharjoituksia ja 1 päivä lepoa. Kuinka monella tavalla hän voi ajoittaa viikoittaiset tunninsa?
Kaava ei toimi tässä, koska se ottaa huomioon päällekkäiset permutaatiot (esim. kun keskiviikon voimaharjoitukset vaihtuvat torstaina voimaharjoitteluun). Ja jälleen - itse asiassa samat 2 voimaharjoittelua voivat olla hyvin erilaisia toisistaan, mutta tehtävän yhteydessä (aikataulun kannalta) niitä pidetään samoilla elementeillä.
Kaksirivinen ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.
Yhdistelmät toistoilla
Ominaisuus Tämäntyyppinen yhdistelmä on, että näyte otetaan useista ryhmistä, joista jokainen koostuu samoista objekteista.
Kaikki työskentelivät tänään kovasti, joten on aika virkistäytyä:
Tehtävä 14
Opiskelijakahvilassa myydään taikina-makkaroita, juustokakkuja ja munkkeja. Kuinka monella tavalla viisi kakkua voi ostaa?
Ratkaisu: kiinnitä välittömästi huomiota tyypilliseen kriteeriin yhdistelmille, joissa on toistoja - tilanteen mukaan, ei esinejoukko sellaisenaan, vaan erilaisia esineitä; oletetaan, että myynnissä on vähintään viisi hot dogia, 5 juustokakkua ja 5 munkkia. Jokaisen ryhmän piirakat ovat tietysti erilaisia - koska täysin identtisiä munkkeja voi simuloida vain tietokoneella =) Piirakojen fyysiset ominaisuudet eivät kuitenkaan ole ongelman kannalta oleellisia, ja hot dogit / juustokakut / munkit heidän ryhmissään pidetään samoina.
Mitä näytteessä voi olla? Ensinnäkin on huomattava, että näytteessä on varmasti identtisiä piirakoita (koska valitsemme 5 kappaletta ja 3 tyyppiä tarjotaan valita). Vaihtoehtoja jokaiseen makuun: 5 hot dogia, 5 juustokakkua, 5 munkkia, 3 hot dogia + 2 juustokakkua, 1 hot dog + 2 + juustokakkua + 2 munkkia jne.
Kuten "tavallisissa" yhdistelmissä, piirakoiden valintajärjestyksellä ja sijoittamisella näytteeseen ei ole väliä - he valitsivat vain 5 kappaletta ja siinä se.
Käytämme kaavaa 
toistojen yhdistelmien määrä: 
tapa ostaa 5 piirakkaa.
Hyvää ruokahalua!
Vastaus: 21
Mitä johtopäätöksiä voidaan tehdä monista kombinatorisista ongelmista?
Joskus vaikeinta on ymmärtää tilanne.
Samanlainen esimerkki tee-se-itse-ratkaisusta:
Tehtävä 15
Lompakossa riittää suuri määrä 1, 2, 5 ja 10 ruplan kolikot. Kuinka monella tavalla lompakosta voi ottaa kolme kolikkoa?
Itsehillintää varten vastaa parille yksinkertaisia kysymyksiä:
1) Voivatko kaikki näytteen kolikot olla erilaisia?
2) Nimeä "halvin" ja "kallein" kolikoiden yhdistelmä.
Ratkaisu ja vastaukset oppitunnin lopussa.
Minulta henkilökohtainen kokemus, voin sanoa, että yhdistelmät toistoilla ovat käytännössä harvinaisin vieras, mitä ei voida sanoa seuraavan tyyppisistä yhdistelmistä:
Sijoitukset toistoilla
Elementeistä koostuvasta joukosta valitaan elementit, ja elementtien järjestys kussakin otoksessa on tärkeä. Ja kaikki olisi hyvin, mutta melko odottamaton vitsi on, että voimme valita minkä tahansa esineen alkuperäisestä sarjasta niin monta kertaa kuin haluamme. Kuvaannollisesti sanoen "joukko ei vähene".
Milloin se tapahtuu? Tyypillinen esimerkki on yhdistelmälukko, jossa on useita levyjä, mutta tekniikan kehityksen vuoksi on tärkeämpää tarkastella sen digitaalista jälkeläistä:
Tehtävä 16
Kuinka monta 4-numeroista PIN-koodia on?
Ratkaisu: itse asiassa ongelman ratkaisemiseksi riittää, että tiedät kombinatoriikan säännöt: voit valita pin-koodin ensimmäisen numeron eri tavoilla Ja tapoja - PIN-koodin toinen numero Ja niin monella tapaa - kolmasosa Ja yhtä monta - neljäs. Siten yhdistelmien kertolaskusäännön mukaan nelinumeroinen pin-koodi voidaan muodostaa: tavoilla.
Ja nyt kaavan kanssa. Ehdon mukaan meille tarjotaan joukko numeroita, joista numerot valitaan ja sijoitetaan tietyssä järjestyksessä, kun taas näytteen numerot voidaan toistaa (eli mitä tahansa alkuperäisen joukon numeroa voidaan käyttää mielivaltaisen määrän kertoja). Toistojen sijoittelujen lukumäärän kaavan mukaan: 
Vastaus: 10000
Mitä tästä tulee mieleen ... ... jos pankkiautomaatti "syö" kortin kolmannen epäonnistuneen PIN-koodin syöttämisyrityksen jälkeen, mahdollisuudet poimia se satunnaisesti ovat hyvin harhaanjohtavia.
Ja kuka sanoi, että kombinatoriikassa ei ole käytännön järkeä? Kognitiivinen tehtävä kaikille sivuston lukijoille:
Ongelma 17
Mukaan valtion standardi, auton rekisterikilpi koostuu 3 numerosta ja 3 kirjaimesta. Tässä tapauksessa numero, jossa on kolme nollaa, ei ole sallittu, ja kirjaimet valitaan joukosta A, B, E, K, M, H, O, R, C, T, U, X (käytetään vain niitä kyrillisiä kirjaimia, joiden oikeinkirjoitus vastaa latinalaisia kirjaimia).
Kuinka monta erilaista rekisterikilpiä voidaan muodostaa alueelle?
Ei muuten niin ja paljon. SISÄÄN suurilla alueilla tämä numero ei riitä, ja siksi heille on useita koodeja merkinnälle RUS.
Ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa. Älä unohda käyttää kombinatoriikan sääntöjä ;-) …Halusin kerskua yksinoikeudella, mutta osoittautui, ettei se ole poissulkevaa =) Katsoin Wikipediaa - siellä on kuitenkin laskelmia, ilman kommentteja. Vaikka koulutustarkoituksiin, luultavasti harvat ihmiset ratkaisivat sen.
Jännittävä oppituntimme on päättynyt, ja lopuksi haluan sanoa, että et hukannut aikaasi - siitä syystä, että kombinatoriikkakaavat löytävät toisen tärkeän käytännön sovelluksen: ne löytyvät erilaisista tehtävistä todennäköisyysteoria,
ja sisään klassista todennäköisyyden määritelmää koskevia tehtäviä- varsinkin usein
Kiitos kaikille aktiivisesta osallistumisesta ja nähdään pian!
Ratkaisut ja vastaukset:
Tehtävä 2: Ratkaisu: etsi 4 kortin kaikkien mahdollisten permutaatioiden lukumäärä:
Kun kortti, jossa on nolla, on 1. sijalla, numerosta tulee kolminumeroinen, joten nämä yhdistelmät tulee jättää pois. Olkoon nolla 1. paikalla, niin loput 3 vähiten merkitsevistä numeroista voidaan järjestää uudelleen tavalla.
Huomautus
: koska kortteja on vähän, kaikki sellaiset vaihtoehdot on helppo luetella tähän:
0579
0597
0759
0795
0957
0975
Siten ehdotetusta sarjasta voit tehdä:
24 - 6 = 18 nelinumeroista numeroa
Vastaus
: 18
Tehtävä 4: Ratkaisu: 3 korttia voidaan valita 36 eri tavalla.
Vastaus
: 7140
Tehtävä 6: Ratkaisu: 
tavoilla.
Toinen ratkaisu
: tapoja, joilla voit valita kaksi henkilöä ryhmästä ja ja
2) "halvin" setti sisältää 3 ruplan kolikoita, ja "kallein" - 3 kymmenen ruplaa.
Tehtävä 17: Ratkaisu: 
tapoja, joilla voit tehdä rekisterikilven digitaalisen yhdistelmän, kun taas yksi niistä (000) tulisi sulkea pois:.
tapoja, joilla voit tehdä kirjainyhdistelmän auton numerosta.
Yhdistelmien kertolaskusäännön mukaan kaikki voidaan muodostaa:
auton numerot
(jokainen yhdistetty digitaalinen yhdistelmä jokaisen kanssa kirjainyhdistelmä).
Vastaus
: 1726272
Tarjoan "Habrahabrin" lukijoille käännöksen julkaisusta "100 Prisoners Escape Puzzle", jonka löysin DataGeneticsin verkkosivuilta. Lähetä kaikki tämän artikkelin virheet yksityisviesteinä.
Ongelman tilanteen mukaan vankilassa on 100 vankia, joista jokaisella on henkilökohtainen numero 1 - 100. Vanginvartija päättää antaa vangeille mahdollisuuden vapautua ja tarjoutuu läpäisemään keksimänsä kokeen. Jos kaikki vangit onnistuvat, he ovat vapaita, jos ainakin yksi epäonnistuu, he kaikki kuolevat.
Tehtävä
Vanginvartija menee salaiseen huoneeseen ja valmistelee 100 kannellista laatikkoa. Jokaiseen laatikkoon hän merkitsee numerot 1 - 100. Sitten hän tuo 100 paperitaulua vankien lukumäärän mukaan ja numeroi nämä tabletit 1 - 100. Sen jälkeen hän sekoittaa 100 tablettia ja asettaa yhden tabletin jokaiseen laatikkoon. kannen sulkeminen. Vangit eivät näe, kuinka vanginvartija suorittaa kaikki nämä toimet.Kilpailu alkaa, vanginvartija vie jokaisen vangin yksitellen huoneeseen, jossa on laatikot ja kertoo vangeille, että heidän on löydettävä laatikko, jossa on lautanen vangin numerolla. Vangit yrittävät löytää levyn numeroineen avaamalla laatikoita. Jokainen saa avata enintään 50 laatikkoa; jos jokainen vanki löytää numeronsa, vangit vapautetaan, jos vähintään yksi heistä ei löydä numeroaan 50 yrityksellä, kaikki vangit kuolevat.
Jotta vangit voidaan vapauttaa, KAIKKIEN vankien on läpäistävä koe.
Mikä on siis mahdollisuus, että vangit saavat armahduksen?
- Kun vanki on avannut laatikon ja tarkastanut levyn, se asetetaan takaisin laatikkoon ja kansi suljetaan uudelleen;
- Levyjen paikkoja ei voi muuttaa;
- Vangit eivät voi jättää toisilleen johtolankoja tai olla vuorovaikutuksessa keskenään millään tavalla oikeudenkäynnin alettua;
- Vangit saavat keskustella strategiasta ennen oikeudenkäynnin alkamista.
Mikä on optimaalinen strategia vangeille?
Lisäkysymys:
Jos vankien ystävä (ei kokeeseen osallistuja) pääsee salaiseen huoneeseen ennen kokeen alkua, tutki kaikki tabletit kaikissa laatikoissa ja (valinnainen, mutta ei pakollinen) vaihda kaksi tablettia kahdesta laatikosta (sis. tässä tapauksessa toverilla ei ole mahdollisuutta ilmoittaa vangeille tekojensa tuloksista), niin mitä strategiaa hänen tulisi käyttää lisätäkseen vankien mahdollisuuksia paeta?
Ratkaisu epätodennäköinen?
Ensi silmäyksellä tämä tehtävä näyttää melkein toivottomalta. Näyttää siltä, että jokaisen vangin mahdollisuus löytää tablettinsa on mikroskooppisen pieni. Lisäksi vangit eivät voi vaihtaa tietoja keskenään oikeudenkäynnin aikana.Yhden vangin todennäköisyys on 50:50. Laatikoita on yhteensä 100 ja hän voi avata jopa 50 laatikkoa etsiessään merkkiään. Jos hän avaa laatikot satunnaisesti ja avaa puolet kaikista laatikoista, hän löytää tablettinsa laatikoiden avoimesta puoliskosta tai hänen tablettinsa jää suljettuihin 50 laatikkoon. Hänen onnistumismahdollisuutensa on ½.
Otetaan kaksi vankia. Jos molemmat valitsevat laatikot satunnaisesti, todennäköisyys kummallekin on ½ ja kahdelle ½x½=¼.
(kahdelle vangille menestys on yksi tapaus neljästä).
Kolmen vangin kertoimet ovat ½ × ½ × ½ = ⅛.
100 vangin kertoimet ovat: ½ × ½ × … ½ × ½ (kerrotaan 100 kertaa).
Tämä vastaa Pr ≈ 0,0000000000000000000000000000008
Joten se on hyvin pieni mahdollisuus. Tässä skenaariossa kaikki vangit ovat todennäköisesti kuolleita.
Uskomaton vastaus
Jos jokainen vanki avaa laatikot satunnaisesti, he eivät todennäköisesti läpäise koetta. On olemassa strategia, jossa vangit voivat odottaa menestyvänsä yli 30 % ajasta. Tämä on hämmästyttävän uskomaton tulos (jos et ole ennen kuullut tästä matemaattisesta ongelmasta).Yli 30 % kaikille 100 vangille! Kyllä, tämä on jopa enemmän kuin kahden vangin mahdollisuus, jos he avaavat laatikot satunnaisesti. Mutta miten tämä on mahdollista?
On selvää, että yksi kutakin vankia kohden, todennäköisyys ei voi olla suurempi kuin 50% (eihän vankien välistä kommunikointia ole mahdollista). Mutta älä unohda, että tiedot tallennetaan laatikoiden sisällä olevien levyjen sijaintiin. Kukaan ei sekoita tabletteja yksittäisten vankien huonekäyntien välillä, joten voimme käyttää näitä tietoja.
Ratkaisu
Ensin kerron ratkaisun, sitten selitän, miksi se toimii.Strategia on erittäin helppo. Ensimmäinen vangeista avaa laatikon, jossa on numero, joka on kirjoitettu hänen vaatteisiinsa. Esimerkiksi vanki numero 78 avaa laatikon numerolla 78. Jos hän löytää numeronsa laatikon sisällä olevasta kilvestä, se on hienoa! Jos ei, hän katsoo "omassa"-laatikossaan olevan levyn numeroa ja avaa sitten seuraavan laatikon, jossa on tämä numero. Avattuaan toisen laatikon hän katsoo tämän laatikon sisällä olevan tabletin numeroa ja avaa kolmannen tällä numerolla varustetun laatikon. Sitten yksinkertaisesti siirrämme tämän strategian jäljellä oleviin laatikoihin. Selvyyden vuoksi katso kuvaa:
Lopulta vanki joko löytää numeronsa tai saavuttaa 50 laatikon rajan. Ensi silmäyksellä tämä näyttää turhalta verrattuna laatikon valitsemiseen satunnaisesti (ja yhdelle yksittäiselle vangille se tekee), mutta koska kaikki 100 vankia käyttävät samaa laatikkosarjaa, se on järkevää.
Tämän matemaattisen ongelman kauneus ei ole vain tuloksen tunteminen, vaan myös ymmärtäminen Miksi tämä strategia toimii.
Joten miksi strategia toimii?
Jokainen laatikko sisältää yhden lautasen - ja tämä levy on ainutlaatuinen. Tämä tarkoittaa, että levy on laatikossa, jossa on sama numero, tai se osoittaa eri laatikkoon. Koska kaikki lautaset ovat ainutlaatuisia, kutakin laatikkoa kohti on vain yksi levy, joka osoittaa siihen (ja vain yksi tapa päästä kyseiseen laatikkoon).
Jos ajattelet sitä, laatikot muodostavat suljetun pyöreän ketjun. Yksi laatikko voi olla osa vain yhtä ketjua, koska laatikon sisällä on vain yksi osoitin seuraavaan ja vastaavasti edellisessä laatikossa on vain yksi osoitin tähän laatikkoon (ohjelmoijat voivat nähdä analogian linkitettyjen luetteloiden kanssa).
Jos laatikko ei osoita itseään (laatikon numero on sama kuin siinä oleva kilpi), se on ketjussa. Jotkut ketjut voivat koostua kahdesta laatikosta, jotkut ovat pidempiä.
Koska kaikki vangit alkavat laatikosta, jossa on sama numero vaatteissaan, he asetetaan määritelmän mukaan ketjuun, joka sisältää heidän nimikilvensä (tähän laatikkoon viittaa vain yksi nimikilpi).
Tutkimalla tämän ketjun laatikoita ympyrässä, he taatusti löytävät lopulta lautasensa.
Ainoa kysymys on, löytävätkö he tablettinsa 50 liikkeellä.
Ketjun pituus
Jotta kaikki vangit läpäisivät kokeen, ketjun enimmäispituuden on oltava alle 50 laatikkoa. Jos ketju on pidempi kuin 50 laatikkoa, vangit, joilla on numerot näistä ketjuista, epäonnistuvat kokeessa - ja kaikki vangit ovat kuolleita.Jos pisimmän ketjun enimmäispituus on alle 50 laatikkoa, kaikki vangit läpäisevät kokeen!
Mieti sitä hetki. Osoittautuu, että missä tahansa levyasetelmassa voi olla vain yksi yli 50 laatikkoa pidempi ketju (meillä on vain 100 laatikkoa, joten jos yksi ketju on pidempi kuin 50, niin loput ovat yhteensä lyhyempiä kuin 50).
Pitkän ketjun käsikertoimet
Kun olet vakuuttunut siitä, että ketjun maksimipituuden on oltava pienempi tai yhtä suuri kuin 50 onnistuakseen ja missä tahansa sarjassa voi olla vain yksi pitkä ketju, voimme laskea haasteen läpäisemisen todennäköisyyden:Lisää matematiikkaa
Mitä tarvitsemme pitkän ketjun todennäköisyyden selvittämiseksi?Jos ketjun pituus on l, todennäköisyys, että laatikot ovat tämän ketjun ulkopuolella, on:
Tässä numerokokoelmassa on (l-1)! tapoja järjestää kyltit.
Loput kyltit löytyvät (100-l)! tavoilla (älä unohda, että ketjun pituus ei ylitä 50).
Tämän perusteella permutaatioiden määrä, jotka sisältävät merkkijonon, jonka tarkka pituus on l, on: (>50)
Osoittautuu, että on 100(!) tapaa järjestää levyt siten, että l:n pituisen ketjun olemassaolon todennäköisyys on 1/l. Muuten, tämä tulos ei riipu laatikoiden määrästä.
Kuten jo tiedämme, voi olla vain yksi tapaus, jossa on ketju, jonka pituus on > 50, joten onnistumisen todennäköisyys lasketaan tällä kaavalla:
Tulos
31,18% - todennäköisyys, että pisimmän ketjun koko on alle 50 ja jokainen vanki löytää tablettinsa, kun otetaan huomioon 50 yrityksen raja.Todennäköisyys, että kaikki vangit löytävät levynsä ja läpäisevät testin, on 31,18 %
Alla on kaavio, joka näyttää todennäköisyydet (y-akselilla) kaikille l-pituisille ketjuille (x-akselilla). Punainen tarkoittaa kaikkia "virheitä" (tässä käyrä on vain 1/l käyrä). Vihreä väri tarkoittaa "menestystä" (laskenta on hieman monimutkaisempaa tässä kaavion osassa, koska on useita tapoja määrittää enimmäispituus<50). Общая вероятность складывается из зеленых столбцов в 31.18% шанс на спасение.
Harmoninen numero (tämä artikkelin osa on nörteille)
Matematiikassa n:s harmoninen luku on luonnollisen sarjan ensimmäisen n peräkkäisen luvun käänteislukujen summa.
Lasketaan raja, jos meillä on 100a laatikon sijasta mielivaltaisen suuri määrä laatikoita (oletetaan, että meillä on yhteensä 2n laatikkoa).
Euler-Mascheronin vakio on vakio, joka määritellään harmonisen sarjan osasumman ja luvun luonnollisen logaritmin välisen eron rajaksi.
Vankien määrän kasvaessa, jos valvoja sallii vankien avata puolet kaikista laatikoista, pelastumisen mahdollisuus on yleensä 30,685 %.
(Jos teit päätöksen, jossa vangit arvaavat satunnaisesti laatikot, niin vankien määrän kasvaessa todennäköisyys pelastua on nolla!)
Lisäkysymys
Muistaako kukaan muu lisäkysymystä? Mitä avulias toverimme voi tehdä parantaakseen selviytymismahdollisuuksiamme?Nyt tiedämme jo ratkaisun, joten strategia tässä on yksinkertainen: hänen on tutkittava kaikki merkit ja löydettävä pisin laatikkoketju. Jos pisin ketju on alle 50, hänen ei tarvitse vaihtaa tabletteja ollenkaan tai muuttaa niitä niin, että pisin ketju ei tule 50:tä pitemmäksi. Jos hän kuitenkin löytää ketjun, joka on pidempi kuin 50 laatikkoa, hänen tarvitsee vain vaihtaa kahden laatikon sisältö ketjusta katkaistakseen ketjun kahdeksi lyhyemmäksi ketjuksi.
Tämän strategian seurauksena ei tule pitkiä ketjuja ja kaikki vangit löytävät merkkinsä ja pelastuksensa. Joten vaihtamalla kaksi merkkiä, vähennämme pelastuksen todennäköisyyden 100 prosenttiin!
