\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Selitetään se helpommin. Esimerkiksi \(\log_(2)(8)\) on yhtä suuri kuin potenssi \(2\) on nostettava, jotta saadaan \(8\). Tästä on selvää, että \(\log_(2)(8)=3\).

Esimerkkejä:		\(\log_(5)(25)=2\)		koska \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		koska \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		koska \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argumentti ja logaritmin kanta

Jokaisella logaritmilla on seuraava "anatomia":

Logaritmin argumentti kirjoitetaan yleensä sen tasolla ja kanta kirjoitetaan alaindeksillä lähempänä logaritmin etumerkkiä. Ja tämä merkintä luetaan näin: "kahdeskymmenesviiden logaritmi viiden kantaan."

Miten logaritmi lasketaan?

Logaritmin laskemiseksi sinun on vastattava kysymykseen: missä määrin kantaa tulisi nostaa argumentin saamiseksi?

Esimerkiksi, laske logaritmi: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\) sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Mihin potenssiin \(4\) on nostettava, jotta saadaan \(16\)? Ilmeisesti toinen. Siksi:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Mihin tehoon \(\sqrt(5)\) on nostettava, jotta saadaan \(1\)? Ja mikä aste tekee mistä tahansa numerosta yksikön? Nolla tietysti!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Mihin tehoon \(\sqrt(7)\) on nostettava, jotta saadaan \(\sqrt(7)\)? Ensimmäisessä - mikä tahansa numero ensimmäisessä asteessa on yhtä suuri kuin itsensä.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Mihin tehoon \(3\) on nostettava, jotta saadaan \(\sqrt(3)\)? Tiedämme, että se on murtoluku, ja siksi neliöjuuri on \(\frac(1)(2)\) potenssi.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Esimerkki : Laske logaritmi \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Ratkaisu :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Meidän on löydettävä logaritmin arvo, merkitään se x:llä. Käytetään nyt logaritmin määritelmää: \(\log_(a)(c)=b\) \(\nuoli vasen oikealle\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Mitkä linkit \(4\sqrt(2)\) ja \(8\)? Kaksi, koska molemmat numerot voidaan esittää kahdella: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Vasemmalla käytämme asteominaisuuksia: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) ja \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Perusteet ovat yhtä suuret, siirrymme indikaattoreiden tasa-arvoon
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Kerro yhtälön molemmat puolet \(\frac(2)(5)\)
		Tuloksena oleva juuri on logaritmin arvo

Vastaus : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Miksi logaritmi keksittiin?

Tämän ymmärtämiseksi ratkaistaan ​​yhtälö: \(3^(x)=9\). Yhdistä vain \(x\), jotta tasa-arvo toimii. Tietenkin \(x=2\).

Ratkaise nyt yhtälö: \(3^(x)=8\. Mikä on x yhtä suuri? Siitä on kysymys.

Nerokkain sanoo: "X on hieman vähemmän kuin kaksi." Miten tämä luku oikein kirjoitetaan? Vastatakseen tähän kysymykseen he keksivät logaritmin. Hänen ansiostaan ​​vastaus tähän voidaan kirjoittaa muodossa \(x=\log_(3)(8)\).

Haluan korostaa, että \(\log_(3)(8)\), samoin kuin mikä tahansa logaritmi on vain luku. Kyllä, se näyttää epätavalliselta, mutta se on lyhyt. Koska jos halusimme kirjoittaa sen muotoon desimaaliluku, se näyttäisi tältä: \(1.892789260714.....\)

Esimerkki : Ratkaise yhtälö \(4^(5x-4)=10\)

Ratkaisu :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) ja \(10\) ei voi pelkistää samaan kantaan. Joten tässä et voi tehdä ilman logaritmia. Käytetään logaritmin määritelmää: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Käännä yhtälö niin, että x on vasemmalla
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Ennen meitä. Siirrä \(4\) oikealle. Älä pelkää logaritmia, vaan käsittele sitä tavallisena numerona.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Jaa yhtälö 5:llä
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Tässä on juuremme. Kyllä, se näyttää epätavalliselta, mutta vastausta ei valita.

Vastaus : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Desimaali- ja luonnonlogaritmit

Kuten logaritmin määritelmässä todetaan, sen kanta voi olla mikä tahansa positiivinen luku paitsi yksi \((a>0, a\neq1)\). Ja kaikkien mahdollisten perusteiden joukossa on kaksi, jotka esiintyvät niin usein, että logaritmille keksittiin erityinen lyhyt merkintätapa niiden kanssa:

Luonnollinen logaritmi: logaritmi, jonka kanta on Eulerin luku \(e\) (suunnilleen \(2,7182818…\)), ja logaritmi kirjoitetaan muodossa \(\ln(a)\).

Tuo on, \(\ln(a)\) on sama kuin \(\log_(e)(a)\)

Desimaalilogaritmi: Logaritmi, jonka kantaluku on 10, kirjoitetaan \(\lg(a)\).

Tuo on, \(\lg(a)\) on sama kuin \(\log_(10)(a)\), jossa \(a\) on jokin luku.

Peruslogaritminen identiteetti

Logaritmeilla on monia ominaisuuksia. Yksi niistä on nimeltään "Peruslogaritminen identiteetti" ja näyttää tältä:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Tämä ominaisuus seuraa suoraan määritelmästä. Katsotaan kuinka tämä kaava syntyi.

Muistetaan lyhyt huomautus logaritmien määritelmät:

jos \(a^(b)=c\), niin \(\log_(a)(c)=b\)

Eli \(b\) on sama kuin \(\log_(a)(c)\). Sitten voimme kirjoittaa \(\log_(a)(c)\) \(b\) sijasta kaavaan \(a^(b)=c\) . Kävi ilmi, että \(a^(\log_(a)(c))=c\) - tärkein logaritminen identiteetti.

Löydät loput logaritmien ominaisuudet. Niiden avulla voit yksinkertaistaa ja laskea lausekkeiden arvot logaritmeilla, joita on vaikea laskea suoraan.

Esimerkki : Etsi lausekkeen arvo \(36^(\log_(6)(5))\)

Ratkaisu :

Vastaus : \(25\)

Kuinka kirjoittaa luku logaritmina?

Kuten edellä mainittiin, mikä tahansa logaritmi on vain numero. Päinvastoin on myös totta: mikä tahansa luku voidaan kirjoittaa logaritmiksi. Tiedämme esimerkiksi, että \(\log_(2)(4)\) on yhtä kuin kaksi. Sitten voit kirjoittaa \(\log_(2)(4)\) kahden sijaan.

Mutta \(\log_(3)(9)\) on myös yhtä suuri kuin \(2\), joten voit kirjoittaa myös \(2=\log_(3)(9)\) . Vastaavasti \(\log_(5)(25)\) ja \(\log_(9)(81)\) jne. Eli se käy ilmi

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Siten, jos tarvitsemme, voimme kirjoittaa nämä kaksi logaritmina millä tahansa kantalla missä tahansa (jopa yhtälössä, jopa lausekkeessa, jopa epäyhtälössä) - kirjoitamme vain neliön kantaluvun argumentiksi.

Se on sama kolminkertaisen kanssa - se voidaan kirjoittaa muodossa \(\log_(2)(8)\), tai \(\log_(3)(27)\) tai \(\log_(4)( 64) \) ... Kirjoita tähän kuution kanta argumentiksi:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Ja neljällä:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Ja miinuksella yksi:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1) (7)\)\(...\)

Ja yhdellä kolmanneksella:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Mikä tahansa luku \(a\) voidaan esittää logaritmina, jonka kanta on \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Esimerkki : Etsi lausekkeen arvo \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Ratkaisu :

Vastaus : \(1\)

Jatkamme logaritmien tutkimista. Tässä artikkelissa puhumme logaritmien laskeminen, tätä prosessia kutsutaan logaritmi. Ensin käsitellään logaritmien laskentaa määritelmän mukaan. Mieti seuraavaksi, kuinka logaritmien arvot löydetään niiden ominaisuuksien avulla. Sen jälkeen keskitymme logaritmien laskemiseen muiden logaritmien alun perin annettujen arvojen kautta. Lopuksi opitaan käyttämään logaritmitaulukoita. Koko teoria sisältää esimerkkejä yksityiskohtaisine ratkaisuineen.

Sivulla navigointi.

Logaritmien laskeminen määritelmän mukaan

Yksinkertaisimmissa tapauksissa on mahdollista suorittaa nopeasti ja helposti logaritmin löytäminen määritelmän mukaan. Katsotaanpa tarkemmin, kuinka tämä prosessi tapahtuu.

Sen olemus on esittää lukua b muodossa a c, jolloin logaritmin määritelmän mukaan luku c on logaritmin arvo. Eli määritelmän mukaan logaritmin löytäminen vastaa seuraavaa yhtälöketjua: log a b=log a a c =c .

Joten logaritmin laskenta perustuu määritelmän mukaan sellaisen luvun c löytämiseen, että a c \u003d b, ja itse luku c on logaritmin haluttu arvo.

Ottaen huomioon edellisten kappaleiden tiedot, kun logaritmin merkin alla oleva luku annetaan logaritmin pohjan tietyllä asteella, voit heti osoittaa, mikä logaritmi on yhtä suuri - se on yhtä suuri kuin eksponentti. Näytämme esimerkkejä.

Esimerkki.

Etsi log 2 2 −3 ja laske myös e:n luonnollinen logaritmi 5.3 .

Ratkaisu.

Logaritmin määritelmä antaa meille mahdollisuuden sanoa heti, että log 2 2 −3 = −3 . Todellakin, logaritmin etumerkin alla oleva luku on yhtä suuri kuin kanta 2 potenssiin −3.

Samalla tavalla löydämme toisen logaritmin: lne 5.3 =5.3.

Vastaus:

log 2 2 −3 = −3 ja lne 5,3 =5,3 .

Jos logaritmin merkin alla olevaa lukua b ei anneta logaritmin kannan potenssina, sinun on harkittava huolellisesti, onko mahdollista saada luku b esitys muodossa a c . Usein tämä esitys on melko ilmeinen, varsinkin kun logaritmin merkin alla oleva luku on yhtä suuri kuin kanta luvun 1, 2 tai 3 potenssiin ...

Esimerkki.

Laske logaritmit log 5 25 , ja .

Ratkaisu.

On helppo nähdä, että 25=5 2 , jolloin voit laskea ensimmäisen logaritmin: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Siirrymme toisen logaritmin laskemiseen. Luku voidaan esittää 7:n potenssina: (katso tarvittaessa). Näin ollen .

Kirjoitetaan kolmas logaritmi uudelleen seuraavaan muotoon. Nyt voit nähdä sen , mistä päättelemme sen . Siksi logaritmin määritelmän mukaan .

Lyhyesti, ratkaisu voitaisiin kirjoittaa seuraavasti:

Vastaus:

log 5 25=2 , ja .

Kun logaritmin etumerkin alla on riittävän suuri arvo luonnollinen luku, silloin ei ole haittaa hajottaa se alkutekijöiksi. Usein on hyödyllistä esittää tällainen luku logaritmin kantapään potenssina ja siksi laskea tämä logaritmi määritelmän mukaan.

Esimerkki.

Etsi logaritmin arvo.

Ratkaisu.

Joidenkin logaritmien ominaisuuksien avulla voit määrittää logaritmien arvon välittömästi. Näitä ominaisuuksia ovat ykkösen logaritmin ominaisuus ja kantaa vastaavan luvun logaritmin ominaisuus: log 1 1=log a a 0 =0 ja log a a=log a a 1 =1 . Eli kun luku 1 tai luku a on logaritmin merkin alla, yhtä suuri kuin logaritmin kanta, niin näissä tapauksissa logaritmit ovat vastaavasti 0 ja 1.

Esimerkki.

Mitkä ovat logaritmit ja lg10?

Ratkaisu.

Koska , se seuraa logaritmin määritelmästä .

Toisessa esimerkissä logaritmin etumerkin alla oleva luku 10 on sama kuin sen kanta, joten kymmenen desimaalilogaritmi on yhtä suuri kuin yksi, eli lg10=lg10 1 =1 .

Vastaus:

Ja lg10=1.

Huomaa, että logaritmien laskeminen määritelmän mukaan (jota käsittelimme edellisessä kappaleessa) edellyttää yhtälön log a a p =p käyttöä, joka on yksi logaritmien ominaisuuksista.

Käytännössä, kun logaritmin etumerkin alla oleva luku ja logaritmin kanta esitetään helposti jonkin luvun potenssina, on erittäin kätevää käyttää kaavaa , joka vastaa yhtä logaritmien ominaisuuksista. Harkitse esimerkkiä logaritmin löytämisestä, joka kuvaa tämän kaavan käyttöä.

Esimerkki.

Laske logaritmi .

Ratkaisu.

Vastaus:

.

Laskennassa käytetään myös logaritmien ominaisuuksia, joita ei ole mainittu yllä, mutta puhumme tästä seuraavissa kappaleissa.

Logaritmien etsiminen muiden tunnettujen logaritmien perusteella

Tämän kappaleen tiedot jatkavat aihetta logaritmien ominaisuuksien käytöstä laskennassa. Mutta tässä suurin ero on se, että logaritmien ominaisuuksia käytetään ilmaisemaan alkuperäinen logaritmi toisella logaritmilla, jonka arvo tunnetaan. Otetaan esimerkki selvyyden vuoksi. Oletetaan, että tiedämme, että log 2 3≈1.584963 , niin voimme löytää esimerkiksi log 2 6 tekemällä pienen muunnoksen logaritmin ominaisuuksilla: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Yllä olevassa esimerkissä meille riitti käyttää tuotteen logaritmin ominaisuutta. Kuitenkin paljon useammin joudut käyttämään laajempaa logaritmien ominaisuuksien arsenaalia laskeaksesi alkuperäisen logaritmin annetuilla.

Esimerkki.

Laske logaritmi luvusta 27 kantaan 60, jos tiedetään, että log 60 2=a ja log 60 5=b .

Ratkaisu.

Joten meidän on löydettävä loki 60 27 . On helppo nähdä, että 27=3 3 , ja alkuperäinen logaritmi voidaan astelogaritmin ominaisuuden vuoksi kirjoittaa uudelleen muotoon 3·log 60 3 .

Katsotaan nyt kuinka log 60 3 voidaan ilmaista tunnetuilla logaritmeilla. Kantalukua vastaavan luvun logaritmin ominaisuus mahdollistaa yhtälön logarin kirjoittamisen 60 60=1 . Toisaalta log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Tällä tavalla, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Näin ollen log 60 3=1-2 log 60 2-log 60 5=1-2 a-b.

Lopuksi lasketaan alkuperäinen logaritmi: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Vastaus:

log 60 27=3 (1−2 a−b) = 3−6 a−3 b.

Erikseen on syytä mainita kaavan merkitys siirtymiselle muodon logaritmin uuteen kantaan . Sen avulla voit siirtyä logaritmeista millä tahansa kantalla logaritmeihin, joilla on tietty kanta, joiden arvot ovat tiedossa tai ne on mahdollista löytää. Yleensä alkuperäisestä logaritmista siirtymäkaavan mukaan ne siirtyvät logaritmeihin jossakin kannassa 2, e tai 10, koska näille kamille on logaritmitaulukot, joiden avulla ne voidaan laskea tietyllä tarkkuudella. Seuraavassa osiossa näytämme, kuinka tämä tehdään.

Logaritmitaulukot, niiden käyttö

Logaritmien arvojen likimääräiseen laskemiseen voidaan käyttää logaritmitaulukot. Yleisimmin käytettyjä ovat 2-kannan logaritmitaulukko, luonnollinen logaritmitaulukko ja desimaalilogaritmitaulukko. Desimaalilukujärjestelmässä työskennellessä on kätevää käyttää logaritmien taulukkoa kymmenen perustana. Sen avulla opimme löytämään logaritmien arvot.

Esitetyn taulukon avulla voidaan löytää kymmenen tuhannesosan tarkkuudella lukujen desimaalilogaritmien arvot välillä 1.000 - 9.999 (kolmen desimaalin tarkkuudella). Siinä analysoidaan periaate logaritmin arvon löytämisestä desimaalilogaritmien taulukon avulla konkreettinen esimerkki- niin paljon selkeämpi. Etsitään lg1,256.

Desimaalilogaritmien taulukon vasemmasta sarakkeesta löydämme luvun 1,256 kaksi ensimmäistä numeroa, eli löydämme 1,2 (tämä luku on ympyröity sinisellä selvyyden vuoksi). Numeron 1.256 kolmas numero (numero 5) löytyy ensimmäiseltä tai viimeiseltä riviltä kaksoisrivin vasemmalla puolella (tämä numero on ympyröity punaisella). Alkuperäisen luvun 1.256 neljäs numero (numero 6) löytyy ensimmäiseltä tai viimeiseltä riviltä kaksoisrivin oikealla puolella (tämä numero on ympyröity vihreällä). Nyt löydämme numerot logaritmitaulukon soluista merkityn rivin ja merkittyjen sarakkeiden leikkauspisteestä (nämä numerot on korostettu oranssi). Merkittyjen lukujen summa antaa desimaalilogaritmin halutun arvon neljänteen desimaaliin asti, eli log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Onko yllä olevan taulukon avulla mahdollista löytää desimaalilogaritmien arvot numeroille, joissa on enemmän kuin kolme numeroa desimaalipilkun jälkeen ja jotka ylittävät myös rajat 1 - 9,999? Kyllä sinä voit. Näytämme esimerkin avulla, miten tämä tehdään.

Lasketaan lg102.76332 . Ensin sinun täytyy kirjoittaa numero vakiomuodossa: 102.76332=1.0276332 10 2 . Sen jälkeen mantissa tulee pyöristää ylöspäin kolmanteen desimaaliin 1,0276332 10 2 ≈ 1,028 10 2, kun taas alkuperäinen desimaalilogaritmi on suunnilleen yhtä suuri kuin tuloksena olevan luvun logaritmi, eli otamme lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Käytä nyt logaritmin ominaisuuksia: lg1,028 10 2 = lg1,028+lg10 2 = lg1,028+2. Lopuksi löydetään logaritmin lg1.028 arvo desimaalilogaritmien taulukon mukaan lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Tämän seurauksena koko logaritmin laskentaprosessi näyttää tältä: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1,028+lg10 2 = lg1,028+2≈0,012+2=2,012.

Lopuksi on syytä huomata, että desimaalilogaritmien taulukon avulla voit laskea minkä tahansa logaritmin likimääräisen arvon. Tätä varten riittää, että käytät siirtymäkaavaa siirtyäksesi desimaalilogaritmiin, löytääksesi niiden arvot taulukosta ja suorittaaksesi loput laskelmat.

Lasketaan esimerkiksi log 2 3 . Logaritmin uuteen kantaan siirtymisen kaavan mukaan meillä on . Desimaalilogaritmien taulukosta löytyy lg3≈0,4771 ja lg2≈0,3010. Tällä tavalla, .

Bibliografia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ja muut Algebra ja analyysin alku: Oppikirja yleisten oppilaitosten luokille 10-11.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematiikka (käsikirja teknisiin kouluihin hakijoille).

log a r b r =log a b tai kirjaudu a b= log a r b r

Logaritmin arvo ei muutu, jos logaritmin kanta ja logaritmin etumerkin alla oleva luku nostetaan samaan potenssiin.

Vain positiiviset luvut voivat olla logaritmin etumerkin alla, eikä logaritmin kanta ole yhtä suuri kuin yksi.

Esimerkkejä.

1) Vertaa log 3 9 ja log 9 81.

log 3 9=2, koska 3 2 =9;

log 9 81 = 2, koska 9 2 = 81.

Joten log 3 9 = log 9 81.

Huomaa, että toisen logaritmin kanta on yhtä suuri kuin ensimmäisen logaritmin kannan neliö: 9=3 2 ja toisen logaritmin etumerkin alla oleva luku on yhtä suuri kuin ensimmäisen logaritmin kannan neliö logaritmi: 81=9 2 . Osoittautuu, että sekä ensimmäisen logaritmin log 3 9 luku että kanta nostettiin toiseen potenssiin, eikä logaritmin arvo muuttunut tästä:

Lisäksi juuren purkamisen jälkeen n aste joukosta a on luvun rakentaminen a jossain määrin ( 1/n), niin log 3 9 voidaan saada log 9 81:stä ottamalla luvun neliöjuuri ja logaritmin kanta:

2) Tarkista yhtäläisyys: log 4 25=log 0,5 0,2.

Harkitse ensimmäistä logaritmia. Ota pohjan neliöjuuri 4 ja joukosta 25 ; saamme: log 4 25 = log 2 5.

Harkitse toista logaritmia. Logaritmin kanta: 0,5= 1/2. Tämän logaritmin etumerkin alla oleva luku: 0,2= 1/5. Nostetaan jokainen näistä luvuista miinus ensimmäiseen potenssiin:

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

Joten log 0,5 0,2 = log 2 5. Johtopäätös: tämä tasa-arvo on totta.

Ratkaise yhtälö:

log 4 x 4 + log 16 81 = log 2 (5x+2). Tuomme logaritmit vasemmalta kantaan 2 .

log 2 x 2 + log 2 3 = log 2 (5x+2). Otimme luvun neliöjuuren ja ensimmäisen logaritmin kannasta. Otimme luvun neljännen juuren ja toisen logaritmin kannan.

log 2 (3x 2) = log 2 (5x+2). Muunna logaritmien summa tulon logaritmiksi.

3x2=5x+2. Vastaanotettu tehostamisen jälkeen.

3x2-5x-2=0. Me päätämme toisen asteen yhtälö täydellisen toisen asteen yhtälön yleisellä kaavalla:

a = 3, b = -5, c = -2.

D=b2-4ac=(-5)2-4-3∙(-2)=25+24=49=72>0; 2 todellista juuria.

Tutkimus.

x=2.

log 4 2 4 + log 16 81 = log 2 (5∙2+2);

log 2 2 2 + log 2 3 = log 2 12;

log 2 (4∙3) = log 2 12;

log 2 12 = log 2 12;

log a n b=(1/ n)∙ kirjaudu a b

Luvun logaritmi b syystä a n yhtä suuri kuin murto-osan tulo 1/ n luvun logaritmiin b syystä a.

Löytö:1) 21 log 8 3 + 40 log 25 2; 2) 30 log 32 3∙log 125 2 jos se tiedetään log 2 3=b,log 5 2=c.

Ratkaisu.

Ratkaise yhtälöt:

1) log 2 x+log 4 x+log 16 x=5,25.

Ratkaisu.

Tuomme nämä logaritmit kantaan 2. Käytä kaavaa: log a n b=(1/ n)∙ kirjaudu a b

log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5,25;

log2x+0.5log2x+0.25log2x=5.25. Tässä on samanlaisia ​​termejä:

(1+0,5+0,25) log 2 x = 5,25;

1,75 log 2 x=5,25 |:1,75

loki 2x=3. Logaritmin määritelmän mukaan:

2) 0,5log 4 (x-2) + log 16 (x-3) = 0,25.

Ratkaisu. Ota kantaluvun 16 logaritmi kantaan 4.

0,5 log 4 (x-2) + 0,5 log 4 (x-3) = 0,25 |: 0,5

log4(x-2)+log4(x-3)=0,5. Muunna logaritmien summa tulon logaritmiksi.

log 4 ((x-2)(x-3)) = 0,5;

log 4 (x2-2x-3x+6) = 0,5;

log 4 (x 2 - 5x+6) = 0,5. Logaritmin määritelmän mukaan:

x 2 -5x+4=0. Vietan lauseen mukaan:

x 1 = 1; x2=4. X:n ensimmäinen arvo ei toimi, koska x \u003d 1:lle tämän yhtälön logaritmeja ei ole olemassa, koska vain positiiviset luvut voivat olla logaritmin etumerkin alla.

Tarkastetaan tämä yhtälö x=4:lle.

Tutkimus.

0,5log 4 (4-2) + log 16 (4-3) = 0,25

0,5log 4 2+log 16 1 = 0,25

0,5∙0,5+0=0,25

log a b=log c b/log c a

Luvun logaritmi b syystä a on yhtä suuri kuin luvun logaritmi b uudella pohjalla Kanssa jaettuna vanhan kantaluvun logaritmilla a uudella pohjalla Kanssa.

Esimerkkejä:

1) log 2 3 = log3/log2;

2) log 8 7=ln7/ln8.

Laskea:

1) loki 5 7 jos se tiedetään lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.

c b / Hirsi c a.

log 5 7 = log7/log5≈0,8451:0,6990≈1,2090.

Vastaus: loki 5 7≈1,209 0≈1,209 .

2) loki 5 7 jos se tiedetään ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.

Ratkaisu. Käytä kaavaa: log a b = log c b / Hirsi c a.

log 5 7=ln7/ln5≈1,9459:1,6094≈1,2091.

Vastaus: loki 5 7≈1,209 1≈1,209 .

Etsi x:

1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.

Käytämme kaavaa: loki c b / Hirsi c a = kirjaudu a b . Saamme:

log 3 x=log 3 4+log 3 6+log 3 8;

log 3 x = log 3 (4∙6∙8);

log 3 x = log 3 192;

x = 192 .

2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10.

Käytämme kaavaa: loki c b / Hirsi c a = log a b . Saamme:

log 7 x=lg143-lg11-lg13;

log 7 x=lg143- (lg11+lg13);

log 7 x=log143-log(11∙13);

log 7 x=lg143-lg143;

x=1.

Sivu 1/1 1

Kuten tiedät, kun lausekkeita kerrotaan potenssien kanssa, niiden eksponentit laskevat aina yhteen (a b * a c = a b + c). Tämän matemaattisen lain johti Arkhimedes, ja myöhemmin, 800-luvulla, matemaatikko Virasen loi taulukon kokonaislukuindikaattoreista. Juuri he palvelivat logaritmien edelleen löytämistä. Esimerkkejä tämän funktion käytöstä löytyy melkein kaikkialta, missä vaaditaan yksinkertaista monimutkainen kertolasku yksinkertaiseen yhteenlaskuun. Jos käytät 10 minuuttia tämän artikkelin lukemiseen, selitämme sinulle, mitä logaritmit ovat ja miten niitä käytetään. Yksinkertainen ja helppokäyttöinen kieli.

Määritelmä matematiikassa

Logaritmi on seuraavan muodon lauseke: log a b=c, eli minkä tahansa ei-negatiivisen luvun (eli minkä tahansa positiivisen) logaritmi "b" kantansa "a" mukaan katsotaan "c":n potenssiksi. ", johon on tarpeen nostaa kantaa "a", jotta lopulta saadaan arvo "b". Analysoidaan logaritmia esimerkein, oletetaan, että on lauseke log 2 8. Miten löytää vastaus? Se on hyvin yksinkertaista, sinun täytyy löytää sellainen tutkinto, että 2:sta vaadittuun tutkintoon saat 8. Kun olet tehnyt joitain laskelmia mielessäsi, saamme luvun 3! Ja aivan oikein, koska 2 potenssilla 3 antaa vastauksessa luvun 8.

Logaritmien lajikkeet

Monille oppilaille ja opiskelijoille tämä aihe näyttää monimutkaiselta ja käsittämättömältä, mutta itse asiassa logaritmit eivät ole niin pelottavia, tärkeintä on ymmärtää niiden yleinen merkitys ja muistaa niiden ominaisuudet ja jotkut säännöt. On olemassa kolmenlaisia ​​logaritmisia lausekkeita:

1. Luonnollinen logaritmi ln a, jossa kanta on Eulerin luku (e = 2,7).
2. Desimaali a, jossa kantaluku on 10.
3. Minkä tahansa luvun b logaritmi kantaan a>1.

Jokainen niistä ratkaistaan ​​tavallisella tavalla, mukaan lukien yksinkertaistaminen, pelkistys ja myöhempi pelkistys yhdeksi logaritmiksi logaritmisilla teoreemoilla. Oikeiden logaritmien arvojen saamiseksi tulee muistaa niiden ominaisuudet ja toimintojen järjestys päätöksissä.

Säännöt ja joitain rajoituksia

Matematiikassa on useita sääntöjä-rajoituksia, jotka hyväksytään aksioomina, eli niistä ei keskustella ja ne ovat totta. Esimerkiksi lukuja on mahdotonta jakaa nollalla, ja on myös mahdotonta erottaa parillisen asteen juuria negatiivisista luvuista. Logaritmeilla on myös omat sääntönsä, joita noudattamalla opit helposti toimimaan myös pitkien ja tilavien logaritmien lausekkeiden kanssa:

• kanta "a" on aina suurempi kuin nolla, eikä samalla oltava yhtä suuri kuin 1, muuten lauseke menettää merkityksensä, koska "1" ja "0" missä tahansa määrin ovat aina yhtä suuria kuin niiden arvot;
• jos a > 0, niin a b > 0, käy ilmi, että "c":n on oltava suurempi kuin nolla.

Kuinka ratkaista logaritmit?

Esimerkiksi tehtävänä annettiin löytää vastaus yhtälöön 10 x \u003d 100. Se on erittäin helppoa, sinun on valittava tällainen teho, nostamalla numeroa kymmenen, johon saamme 100. Tämä on tietysti 10 2 \u003d 100.

Esitetään nyt tämä lauseke logaritmisena. Saamme log 10 100 = 2. Logaritmeja ratkottaessa kaikki toiminnot käytännöllisesti katsoen konvergoivat sen selvittämiseen, missä määrin logaritmin kanta on syötettävä tietyn luvun saamiseksi.

Jotta voit määrittää tuntemattoman asteen arvon tarkasti, sinun on opittava työskentelemään astetaulukon kanssa. Se näyttää tältä:

Kuten näet, jotkin eksponentit voidaan arvata intuitiivisesti, jos sinulla on tekninen ajattelutapa ja tietoa kertotaulukosta. Suuremmat arvot vaativat kuitenkin tehotaulukon. Sitä voivat käyttää myös ne, jotka eivät ymmärrä yhtään mitään monimutkaisista matemaattisista aiheista. Vasemmassa sarakkeessa on numeroita (kanta a), ylimmällä numerorivillä on potenssin c arvo, johon luku a korotetaan. Solujen leikkauskohdassa määritetään numeroiden arvot, jotka ovat vastaus (a c =b). Otetaan esimerkiksi aivan ensimmäinen solu numerolla 10 ja neliötetään se, saamme arvon 100, joka on merkitty kahden solumme leikkauspisteeseen. Kaikki on niin yksinkertaista ja helppoa, että jopa todellisin humanisti ymmärtää!

Yhtälöt ja epäyhtälöt

Osoittautuu, että tietyissä olosuhteissa eksponentti on logaritmi. Siksi mitkä tahansa matemaattiset numeeriset lausekkeet voidaan kirjoittaa logaritmisiksi yhtälöiksi. Esimerkiksi 3 4 =81 voidaan kirjoittaa logaritmina 81 kantaan 3, joka on neljä (log 3 81 = 4). varten negatiivisia voimia säännöt ovat samat: 2 -5 \u003d 1/32 kirjoitamme logaritmin muodossa, saamme log 2 (1/32) \u003d -5. Yksi kiehtovimmista matematiikan osista on "logaritmien" aihe. Käsittelemme yhtälöiden esimerkkejä ja ratkaisuja hieman alempana heti niiden ominaisuuksien tutkimisen jälkeen. Katsotaanpa nyt, miltä epäyhtälöt näyttävät ja miten ne voidaan erottaa yhtälöistä.

Esitetään seuraavan muotoinen lauseke: log 2 (x-1) > 3 - se on logaritminen epäyhtälö, koska tuntematon arvo "x" on logaritmin etumerkin alla. Ja myös lausekkeessa verrataan kahta suuruutta: halutun luvun logaritmi kakkoskahdessa on suurempi kuin luku kolme.

Tärkein ero logaritmien yhtälöiden ja epäyhtälöiden välillä on se, että yhtälöt, joissa on logaritmi (esim. logaritmi 2 x = √9) sisältävät yhden tai useamman tietyn numeerisen arvon vastauksessa, kun taas epäyhtälöä ratkaistaessa molemmat hyväksyttävät arvot ja pisteet, jotka rikkovat tämän toiminnon. Tämän seurauksena vastaus ei ole yksinkertainen joukko yksittäisiä lukuja, kuten yhtälön vastauksessa, vaan jatkuva numerosarja tai joukko.

Peruslauseita logaritmeista

Ratkaistaessa primitiivisiä tehtäviä logaritmin arvojen löytämiseksi, sen ominaisuuksia ei ehkä tunneta. Logaritmisista yhtälöistä tai epäyhtälöistä tulee kuitenkin ennen kaikkea ymmärtää ja soveltaa käytännössä kaikki logaritmien perusominaisuudet. Tutustumme yhtälöesimerkkeihin myöhemmin, analysoidaan ensin jokaista ominaisuutta yksityiskohtaisemmin.

1. Perusidentiteetti näyttää tältä: a logaB =B. Sitä sovelletaan vain, jos a on suurempi kuin 0, ei yhtä kuin yksi ja B on suurempi kuin nolla.
2. Tuloksen logaritmi voidaan esittää seuraavalla kaavalla: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Tässä tapauksessa edellytyksenä on: d, s 1 ja s 2 > 0; a≠1. Voit todistaa tämän logaritmien kaavan esimerkeillä ja ratkaisulla. Olkoon log a s 1 = f 1 ja log a s 2 = f 2, sitten a f1 = s 1, a f2 = s 2. Saadaan, että s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (asteominaisuudet ), ja edelleen määritelmän mukaan: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, mikä oli todistettava.
3. Osamäärän logaritmi näyttää tältä: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Kaavan muodossa oleva lause saa seuraavan muodon: log a q b n = n/q log a b.

Tätä kaavaa kutsutaan "logaritmin asteen ominaisuudeksi". Se muistuttaa tavallisten asteiden ominaisuuksia, eikä se ole yllättävää, koska kaikki matematiikka perustuu säännöllisiin postulaatteihin. Katsotaanpa todistetta.

Kirjataan a b \u003d t, niin käy ilmi a t \u003d b. Jos nostat molemmat osat potenssiin m: a tn = b n ;

mutta koska a tn = (a q) nt/q = b n , joten log a q b n = (n*t)/t, niin log a q b n = n/q log a b. Lause on todistettu.

Esimerkkejä ongelmista ja eriarvoisuudesta

Yleisimmät logaritmiongelmien tyypit ovat esimerkkejä yhtälöistä ja epäyhtälöistä. Ne löytyvät lähes kaikista ongelmakirjoista, ja ne sisältyvät myös matematiikan kokeiden pakolliseen osaan. Yliopistoon pääsyä tai läpäisyä varten pääsykokeet matematiikassa sinun on tiedettävä, kuinka ratkaista tällaiset ongelmat oikein.

Valitettavasti logaritmin tuntemattoman arvon ratkaisemiseksi ja määrittämiseksi ei ole olemassa yhtä suunnitelmaa tai suunnitelmaa, mutta jokaista matemaattista epäyhtälöä tai logaritmista yhtälöä voidaan soveltaa tietyt säännöt. Ensinnäkin sinun tulee selvittää, voidaanko lauseke yksinkertaistaa tai pelkistää yleisnäkymä. Yksinkertaista pitkä logaritmiset lausekkeet Voit, jos käytät niiden ominaisuuksia oikein. Tutustutaan heihin pian.

Päätettäessä logaritmiset yhtälöt, on tarpeen määrittää, millainen logaritmi meillä on edessämme: lausekkeen esimerkki voi sisältää luonnollisen logaritmin tai desimaalilogaritmin.

Tässä on esimerkkejä ln100, ln1026. Heidän ratkaisunsa tiivistyy siihen tosiasiaan, että sinun on määritettävä, missä määrin kanta 10 on yhtä suuri kuin 100 ja 1026. Luonnollisten logaritmien ratkaisuissa on käytettävä logaritmisia identiteettejä tai niiden ominaisuuksia. Katsotaanpa esimerkkejä erityyppisten logaritmien ongelmien ratkaisemisesta.

Logaritmikaavojen käyttäminen: Esimerkkejä ja ratkaisuja

Katsotaanpa siis esimerkkejä logaritmien päälauseiden käytöstä.

1. Tuloksen logaritmin ominaisuutta voidaan käyttää tehtävissä, joissa on tarpeen laajentaa hyvin tärkeä luvut b yksinkertaisempiin tekijöihin. Esimerkiksi log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Vastaus on 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kuten näette, logaritmin asteen neljättä ominaisuutta käyttämällä onnistuimme ratkaisemaan ensi silmäyksellä monimutkaisen ja ratkaisemattoman lausekkeen. On tarpeen vain kertoa kanta ja ottaa sitten eksponenttiarvot pois logaritmin etumerkistä.

Tehtävät kokeesta

Logaritmeja löytyy usein pääsykokeista, erityisesti paljon logaritmisongelmia Unified State Examissa (valtiokoe kaikille valmistuneille). Yleensä nämä tehtävät eivät ole vain osassa A (kokeen helpoin testiosa), vaan myös osassa C (vaikeimmat ja laajimmat tehtävät). Tentti edellyttää tarkkaa ja täydellistä tietoa aiheesta "Luonnolliset logaritmit".

Esimerkit ja ongelmanratkaisut on otettu virallisilta KÄYTÄ vaihtoehtoja. Katsotaan kuinka tällaiset tehtävät ratkaistaan.

Annettu log 2 (2x-1) = 4. Ratkaisu:
kirjoitetaan lauseke uudelleen yksinkertaistaen sitä hieman log 2 (2x-1) = 2 2 , logaritmin määritelmällä saadaan, että 2x-1 = 2 4 , siis 2x = 17; x = 8,5.

• Kaikki logaritmit on parasta pelkistää samaan kantaan, jotta ratkaisu ei ole hankala ja hämmentävä.
• Kaikki logaritmin etumerkin alla olevat lausekkeet on merkitty positiivisiksi, joten kun otetaan pois lausekkeen eksponentti, joka on logaritmin etumerkin alla ja sen kantana, logaritmin alle jäävän lausekkeen tulee olla positiivinen.

Yksityisyytesi on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Lue tietosuojakäytäntömme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Seuraavassa on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisiä henkilötietoja voimme kerätä ja kuinka voimme käyttää näitä tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, osoitteesi Sähköposti jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ja ilmoittaa sinulle ainutlaatuisia tarjouksia, kampanjat ja muut tapahtumat ja tulevat tapahtumat.
• Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi lähettääksemme sinulle tärkeitä ilmoituksia ja viestintää.
• Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan kannustimeen, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen paljastaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Ilmoita henkilötietosi siinä tapauksessa, että se on tarpeen - lain, oikeusjärjestyksen, oikeuskäsittelyn mukaisesti ja/tai Venäjän federaation alueella olevien julkisten pyyntöjen tai valtion elinten pyyntöjen perusteella. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muiden yleisen edun vuoksi.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot asianomaiselle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suojaaminen

Suojelemme varotoimia – mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset – henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi säilyttäminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, tiedotamme tietosuoja- ja turvallisuuskäytännöistä työntekijöillemme ja valvomme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.