Kun ratkaistaan ​​joitain geometrisia tehtäviä koordinaattimenetelmällä, on tarpeen löytää suorien leikkauspisteen koordinaatit. Useimmiten on etsittävä kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit tasossa, mutta joskus on tarpeen määrittää kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit avaruudessa. Tässä artikkelissa käsittelemme kahden suoran leikkauspisteen koordinaattien löytämistä.

Sivulla navigointi.

Kahden suoran leikkauspiste on määritelmä.

Määritetään ensin kahden suoran leikkauspiste.

Siten, jotta löydettäisiin yleisillä yhtälöillä tasolle määritellyn kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit, on ratkaistava järjestelmä, joka koostuu annettujen suorien yhtälöistä.

Tarkastellaan esimerkkiratkaisua.

Esimerkki.

Etsi kahden suorakulmaisessa koordinaatistossa määritetyn suoran leikkauspiste tasossa yhtälöillä x-9y+14=0 ja 5x-2y-16=0 .

Ratkaisu.

Saamme kaksi yleistä suorayhtälöä, muodostamme niistä järjestelmän: . Tuloksena olevan yhtälöjärjestelmän ratkaisut löytyvät helposti, jos sen ensimmäinen yhtälö ratkaistaan ​​muuttujan x suhteen ja tämä lauseke korvataan toisella yhtälöllä:

Yhtälöjärjestelmän löydetty ratkaisu antaa meille kahden suoran leikkauspisteen halutut koordinaatit.

Vastaus:

Mo (4, 2) x-9y+14=0 ja 5x-2y-16=0.

Joten kahden suoran leikkauspisteen koordinaattien löytäminen, jotka määritellään tasossa yleisillä yhtälöillä, pelkistetään kahden lineaarisen yhtälön järjestelmän ratkaisemiseksi kahdella tuntemattomalla muuttujalla. Mutta entä jos tason suorat eivät anneta yleisillä yhtälöillä, vaan eri tyyppisillä yhtälöillä (katso tason suoran yhtälön tyypit)? Näissä tapauksissa voit ensin viedä suorien yhtälöt yleiseen muotoon ja vasta sen jälkeen etsiä leikkauspisteen koordinaatit.

Esimerkki.

ja .

Ratkaisu.

Ennen kuin löydämme annettujen suorien leikkauspisteen koordinaatit, vähennämme niiden yhtälöt arvoon yleisnäkymä. Siirtyminen parametriyhtälöistä suoralle viivalle tämän suoran yleiseen yhtälöön on seuraava:

Nyt suoritamme tarvittavat toimet kanonisella yhtälöllä:

Siten suorien leikkauspisteen halutut koordinaatit ovat muotoisen yhtälöjärjestelmän ratkaisu . Käytämme sen ratkaisemiseen:

Vastaus:

M 0 (-5, 1)

On toinenkin tapa löytää kahden tason suoran leikkauspisteen koordinaatit. Sitä on kätevää käyttää, kun jokin rivistä on annettu muodon parametriyhtälöillä , ja toinen - erimuotoisen suoran yhtälö. Tässä tapauksessa toisessa yhtälössä voit korvata lausekkeet muuttujien x ja y sijasta ja , josta on mahdollista saada arvo, joka vastaa annettujen viivojen leikkauspistettä. Tässä tapauksessa viivojen leikkauspisteellä on koordinaatit .

Etsitään edellisen esimerkin viivojen leikkauspisteen koordinaatit tällä tavalla.

Esimerkki.

Määritä viivojen leikkauspisteen koordinaatit ja .

Ratkaisu.

Korvaa suoran lausekkeen yhtälössä:

Ratkaisemalla tuloksena olevan yhtälön saamme . Tämä arvo vastaa viivojen yhteistä pistettä ja . Laskemme leikkauspisteen koordinaatit korvaamalla suoran parametriyhtälöihin:
.

Vastaus:

M 0 (-5, 1).

Kuvan täydentämiseksi on keskusteltava vielä yhdestä asiasta.

Ennen kuin löytää tasossa kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit, on hyödyllistä varmistaa, että annetut suorat todella leikkaavat. Jos käy ilmi, että alkuperäiset suorat ovat samansuuntaisia ​​tai samansuuntaisia, ei voi olla kysymys tällaisten viivojen leikkauspisteen koordinaattien löytämisestä.

Voit tietysti tehdä ilman tällaista tarkistusta ja muodostaa välittömästi muodon yhtälöjärjestelmän ja ratkaise se. Jos yhtälöjärjestelmässä on ainoa päätös, niin se antaa sen pisteen koordinaatit, jossa alkuperäiset suorat leikkaavat. Jos yhtälöjärjestelmällä ei ole ratkaisuja, niin voidaan päätellä, että alkuperäiset suorat ovat yhdensuuntaisia ​​(koska ei ole olemassa sellaista reaalilukuparia x ja y, joka täyttäisi samanaikaisesti annettujen suorien molemmat yhtälöt). Yhtälöjärjestelmän äärettömän ratkaisujoukon läsnäolosta seuraa, että alkuperäisillä viivoilla on äärettömän monta yhteistä pistettä, eli ne ovat yhteneväisiä.

Katsotaanpa esimerkkejä, jotka sopivat näihin tilanteisiin.

Esimerkki.

Selvitä, leikkaavatko suorat ja, ja jos ne leikkaavat, niin etsi leikkauspisteen koordinaatit.

Ratkaisu.

Annetut suorayhtälöt vastaavat yhtälöitä ja . Ratkaistaan ​​näistä yhtälöistä koostuva järjestelmä .

On selvää, että järjestelmän yhtälöt ilmaistaan ​​lineaarisesti toistensa kautta (järjestelmän toinen yhtälö saadaan ensimmäisestä kertomalla sen molemmat osat neljällä), joten yhtälöjärjestelmällä on ääretön määrä ratkaisuja. Siten yhtälöt ja määrittelevät saman suoran, emmekä voi puhua näiden viivojen leikkauspisteen koordinaattien löytämisestä.

Vastaus:

Yhtälöt ja määrittävät saman suoran suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä Oxy, joten emme voi puhua leikkauspisteen koordinaattien löytämisestä.

Esimerkki.

Etsi viivojen leikkauspisteen koordinaatit ja , jos mahdollista.

Ratkaisu.

Ongelman tila myöntää, että viivat eivät välttämättä leikkaa. Tehdään näistä yhtälöistä järjestelmä. Soveltuu sen ratkaisuun, koska sen avulla voit todeta yhtälöjärjestelmän yhteensopivuuden tai epäjohdonmukaisuuden, ja jos se on yhteensopiva, löytää ratkaisu:

Järjestelmän viimeinen yhtälö Gaussin menetelmän suoran kulun jälkeen muuttui virheelliseksi yhtälöksi, joten yhtälöjärjestelmällä ei ole ratkaisuja. Tästä voidaan päätellä, että alkuperäiset suorat ovat yhdensuuntaisia, eikä näiden suorien leikkauspisteen koordinaattien löytämisestä voi puhua.

Toinen ratkaisu.

Selvitetään, leikkaavatko annetut suorat.

- normaali viivavektori , ja vektori on suoran normaalivektori . Tarkastetaan toteutus ja : tasa-arvo on totta, koska , siis annettujen linjojen normaalivektorit ovat kollineaarisia. Sitten nämä viivat ovat yhdensuuntaisia ​​tai yhtenevät. Näin ollen emme voi löytää alkuperäisten suorien leikkauspisteen koordinaatteja.

Vastaus:

Annettujen suorien leikkauspisteen koordinaatteja on mahdotonta löytää, koska nämä suorat ovat yhdensuuntaisia.

Esimerkki.

Etsi suorien 2x-1=0 leikkauspisteen koordinaatit ja jos ne leikkaavat.

Ratkaisu.

Laadimme yhtälöjärjestelmän, joka on annettujen suorien yleisiä yhtälöitä: . Tämän yhtälöjärjestelmän päämatriisin determinantti on eri kuin nolla , joten yhtälöjärjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka osoittaa annettujen suorien leikkauspisteen.

Löytääksemme viivojen leikkauspisteen koordinaatit, meidän on ratkaistava järjestelmä:

Tuloksena oleva ratkaisu antaa meille suorien leikkauspisteen koordinaatit, eli 2x-1 = 0 ja .

Vastaus:

Kahden suoran leikkauspisteen koordinaattien löytäminen avaruudesta.

Kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit kolmiulotteisessa avaruudessa löytyvät samalla tavalla.

Mietitään esimerkkejä.

Esimerkki.

Etsi avaruudessa yhtälöiden antaman kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit ja .

Ratkaisu.

Laadimme yhtälöjärjestelmän annettujen suorien yhtälöistä: . Tämän järjestelmän ratkaisu antaa meille halutut koordinaatit viivojen leikkauspisteelle avaruudessa. Etsitään kirjoitetun yhtälöjärjestelmän ratkaisu.

Järjestelmän päämatriisilla on muoto , ja laajennettu .

Määritellään A ja matriisin T arvo . Käytämme

1. Löytääksesi funktioiden kaavioiden leikkauspisteen koordinaatit, sinun on rinnastettava molemmat funktiot toisiinsa, siirrettävä kaikki $ x $ sisältävät termit vasemmalle ja loput oikealle puolelle ja löydettävä tuloksen juuret. yhtälö.
2. Toinen tapa on muodostaa yhtälöjärjestelmä ja ratkaista se korvaamalla funktio toisella
3. Kolmas menetelmä sisältää funktioiden graafisen rakentamisen ja leikkauspisteen visuaalisen määrittelyn.

Kahden lineaarisen funktion tapaus

Tarkastellaan kahta lineaarifunktiota $ f(x) = k_1 x+m_1 $ ja $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Näitä toimintoja kutsutaan suoriksi. Niiden rakentaminen on tarpeeksi helppoa, sinun tarvitsee vain ottaa mitkä tahansa kaksi arvoa $x_1$ ja $x_2$ ja löytää $f(x_1)$ ja $(x_2)$. Toista sitten sama funktiolla $ g(x) $. Etsi seuraavaksi visuaalisesti funktiokaavioiden leikkauspisteen koordinaatti.

Sinun pitäisi tietää, että lineaarisilla funktioilla on vain yksi leikkauspiste ja vain kun $ k_1 \neq k_2 $. Muuten tapauksessa $ k_1=k_2 $ funktiot ovat rinnakkain toistensa kanssa, koska $ k $ on kulmakerroin. Jos $ k_1 \neq k_2 $, mutta $ m_1=m_2 $, niin leikkauspiste on $ M(0;m) $. On toivottavaa muistaa tämä sääntö nopeutettua ongelmanratkaisua varten.

Esimerkki 1

Olkoon $ f(x) = 2x-5 $ ja $ g(x)=x+3 $. Etsi funktiokaavioiden leikkauspisteen koordinaatit.

Ratkaisu

Kuinka tehdä se? Koska esitetään kaksi lineaarista funktiota, tarkastelemme ensin molempien funktioiden $ k_1 = 2 $ ja $ k_2 = 1 $ kaltevuuden kerrointa. Huomaa, että $ k_1 \neq k_2 $, joten on yksi leikkauspiste. Etsitään se yhtälöllä $ f(x)=g(x) $: $$ 2x-5 = x+3 $$ Siirrämme termit $ x $:sta vasemmalle ja loput oikealle: $$ 2x - x = 3+5 $$ Saimme $ x=8 $ graafien leikkauspisteen abskissan, ja nyt etsitään ordinaatta. Tätä varten korvaamme $ x = 8 $ missä tahansa yhtälössä joko $ f(x) $ tai $ g(x) $:ssa: $$ f(8) = 2\cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11 $$ Joten $ M (8;11) $ - on kahden lineaarisen funktion kuvaajien leikkauspiste. Jos et pysty ratkaisemaan ongelmaasi, lähetä se meille. Me tarjoamme yksityiskohtainen ratkaisu. Pystyt perehtymään laskennan etenemiseen ja keräämään tietoa. Tämä auttaa sinua saamaan hyvityksen opettajalta ajoissa!

Vastaus

$$ M (8;11) $$

Kahden epälineaarisen funktion tapaus

Esimerkki 3

Etsi funktiokaavioiden leikkauspisteen koordinaatit: $ f(x)=x^2-2x+1 $ ja $ g(x)=x^2+1 $

Ratkaisu

Entä kaksi epälineaarista funktiota? Algoritmi on yksinkertainen: rinnastamme yhtälöt toisiinsa ja löydämme juuret: $$ x^2-2x+1=x^2+1 $$ Levitämme termit $ x $:lla ja ilman sitä yhtälön eri puolille: $$ x^2-2x-x^2=1-1 $$ Halutun pisteen abskissa löytyi, mutta se ei riitä. Ordinaatta $ y $ puuttuu edelleen. Korvaa $ x = 0 $ johonkin ongelmalausekkeen kahdesta yhtälöstä. Esimerkiksi: $$ f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1 $$ $ M (0;1) $ - funktiokaavioiden leikkauspiste

Vastaus

$$ M (0;1) $$

Geometrisen ongelman ratkaisemiseksi koordinaattimenetelmällä tarvitaan leikkauspiste, jonka koordinaatteja käytetään ratkaisussa. Syntyy tilanne, kun joudutaan etsimään kahden suoran leikkauspisteen koordinaatteja tasosta tai määrittämään samojen suorien koordinaatit avaruudesta. Tässä artikkelissa tarkastellaan tapauksia, joissa löydetään pisteiden koordinaatit, joissa annetut suorat leikkaavat.

Yandex.RTB R-A-339285-1

On tarpeen määrittää kahden suoran leikkauspisteet.

Viivojen suhteellista sijaintia tasossa käsittelevä leikkaus osoittaa, että ne voivat kohdata, olla yhdensuuntaisia, leikata yhdessä yhteisessä pisteessä tai leikata. Kahta avaruudessa olevaa suoraa kutsutaan leikkaaviksi, jos niillä on yksi yhteinen piste.

Viivojen leikkauspisteen määritelmä kuulostaa tältä:

Määritelmä 1

Pistettä, jossa kaksi suoraa leikkaavat, kutsutaan niiden leikkauspisteeksi. Toisin sanoen leikkaavien viivojen piste on leikkauspiste.

Harkitse alla olevaa kuvaa.

Ennen kuin löydät kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit, on tarpeen tarkastella alla olevaa esimerkkiä.

Jos tasossa on koordinaattijärjestelmä O x y, annetaan kaksi suoraa a ja b. Suora a vastaa yleistä yhtälöä muodossa A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, suoralle b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Silloin M 0 (x 0 , y 0) on jokin tason piste, on tarpeen määrittää, tuleeko piste M 0 näiden suorien leikkauspisteeksi.

Ongelman ratkaisemiseksi on välttämätöntä noudattaa määritelmää. Tällöin suorien tulee leikata pisteessä, jonka koordinaatit ovat annettujen yhtälöiden A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ja A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ratkaisu. Tämä tarkoittaa, että leikkauspisteen koordinaatit korvataan kaikissa annetuissa yhtälöissä. Jos ne antavat oikean identiteetin vaihtaessaan, niin M 0 (x 0 , y 0) katsotaan niiden leikkauspisteeksi.

Esimerkki 1

Annettu kaksi leikkaavaa suoraa 5 x - 2 y - 16 = 0 ja 2 x - 5 y - 19 = 0 . Onko piste M 0, jonka koordinaatit (2, - 3) on leikkauspiste?

Ratkaisu

Jotta viivojen leikkauspiste olisi todellinen, on välttämätöntä, että pisteen M 0 koordinaatit täyttävät suorien yhtälöt. Tämä varmistetaan korvaamalla ne. Me ymmärrämme sen

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Molemmat yhtälöt ovat tosi, mikä tarkoittaa, että M 0 (2, - 3) on annettujen suorien leikkauspiste.

Kuvaamme tämän ratkaisun alla olevan kuvan koordinaattiviivalla.

Vastaus:annettu piste koordinaateilla (2, - 3) on annettujen viivojen leikkauspiste.

Esimerkki 2

Leikkaavatko suorat 5 x + 3 y - 1 = 0 ja 7 x - 2 y + 11 = 0 pisteessä M 0 (2 , - 3) ?

Ratkaisu

Ongelman ratkaisemiseksi on välttämätöntä korvata pisteen koordinaatit kaikissa yhtälöissä. Me ymmärrämme sen

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Toinen yhtälö ei ole totta, mikä tarkoittaa, että annettu piste ei kuulu suoralle 7 x - 2 y + 11 = 0 . Näin ollen meillä on, että piste M 0 ei ole suorien leikkauspiste.

Piirustus osoittaa selvästi, että M 0 ei ole viivojen leikkauspiste. Niillä on yhteinen piste koordinaattien (-1, 2) kanssa.

Vastaus: piste koordinaattein (2, - 3) ei ole annettujen suorien leikkauspiste.

Siirrymme etsimään kahden suoran leikkauspisteiden koordinaatit tasossa annettujen yhtälöiden avulla.

Kaksi leikkaavaa suoraa a ja b annetaan yhtälöillä, jotka ovat muotoa A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ja A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0, jotka sijaitsevat O x y:ssä. Kun nimetään leikkauspiste M 0, saadaan, että koordinaattien hakua tulee jatkaa yhtälöiden A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ja A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 mukaisesti.

Määritelmästä käy ilmi, että M 0 on suorien yhteinen leikkauspiste. Tässä tapauksessa sen koordinaattien on täytettävä yhtälöt A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ja A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Toisin sanoen tämä on tuloksena olevan järjestelmän A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ratkaisu.

Tämä tarkoittaa, että leikkauspisteen koordinaattien löytämiseksi on tarpeen lisätä kaikki yhtälöt järjestelmään ja ratkaista se.

Esimerkki 3

Annettu tasossa kaksi suoraa x - 9 y + 14 = 0 ja 5 x - 2 y - 16 = 0. sinun täytyy löytää niiden risteys.

Ratkaisu

Tiedot yhtälön ehdosta on kerättävä järjestelmään, jonka jälkeen saamme x - 9 y + 14 \u003d 0 5 x - 2 y - 16 \u003d 0. Sen ratkaisemiseksi ensimmäinen yhtälö ratkaistaan ​​x:lle, lauseke korvataan toisella:

x - 9 v + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 v - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 v - 14 5 9 y - 14 - 2 v - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

Tuloksena olevat luvut ovat koordinaatteja, jotka piti löytää.

Vastaus: M 0 (4, 2) on suorien x - 9 y + 14 = 0 ja 5 x - 2 y - 16 = 0 leikkauspiste.

Koordinaattien etsiminen rajoittuu lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseen. Jos ehdon mukaan yhtälölle annetaan toinen muoto, niin se tulee pelkistää normaalimuotoon.

Esimerkki 4

Määritä suorien x - 5 = y - 4 - 3 ja x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R leikkauspisteiden koordinaatit .

Ratkaisu

Aluksi on tarpeen saattaa yhtälöt yleiseen muotoon. Sitten saadaan, että x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R muunnetaan näin:

x = 4 + 9 λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 (x - 4) = 9 (y - 2) ⇔ x - 9 v + 14 = 0

Sitten otetaan kanonisen muodon yhtälö x - 5 = y - 4 - 3 ja muunnetaan. Me ymmärrämme sen

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

Tästä syystä meillä on, että koordinaatit ovat leikkauspiste

x - 9 v + 14 = 0 3 x - 5 v + 20 = 0 ⇔ x - 9 v = - 14 3 x - 5 v = - 20

Etsitään koordinaatit Cramerin menetelmällä:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 (- 5) - (- 9) 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 (- 5) - (- 9) ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 (- 20) - (- 14) 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 212

Vastaus: M 0 (-5, 1).

On toinenkin tapa löytää tasossa olevien viivojen leikkauspisteen koordinaatit. Sitä voidaan soveltaa, kun yksi suorista on annettu parametrisillä yhtälöillä muotoa x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . Tällöin x = x 1 + a x λ ja y = y 1 + a y λ korvataan x, jolloin saadaan λ = λ 0, joka vastaa leikkauspistettä, jonka koordinaatit ovat x 1 + a x λ 0, y 1 + a y λ 0 .

Esimerkki 5

Määritä suoran x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R ja x - 5 = y - 4 - 3 leikkauspisteen koordinaatit .

Ratkaisu

On tarpeen suorittaa substituutio x - 5 \u003d y - 4 - 3 lausekkeella x \u003d 4 + 9 λ, y \u003d 2 + λ, niin saamme:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

Ratkaisemalla saadaan, että λ = - 1 . Tämä tarkoittaa, että suorien x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R ja x - 5 = y - 4 - 3 välillä on leikkauspiste . Koordinaattien laskemiseksi on välttämätöntä korvata lauseke λ = - 1 parametriseen yhtälöön. Sitten saadaan, että x = 4 + 9 (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1 .

Vastaus: M 0 (-5, 1).

Ymmärtääksesi aiheen täysin, sinun on tiedettävä joitain vivahteita.

Ensin sinun on ymmärrettävä linjojen sijainti. Kun ne leikkaavat, löydämme koordinaatit, muissa tapauksissa ratkaisua ei ole. Tämän tarkistuksen välttämiseksi voimme muodostaa järjestelmän muodossa A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 Jos ratkaisu on olemassa, päätellään, että suorat leikkaavat. Jos ratkaisua ei ole, ne ovat rinnakkaisia. Kun järjestelmässä on ääretön määrä ratkaisuja, niiden sanotaan olevan samoja.

Esimerkki 6

Annetut suorat x 3 + y - 4 = 1 ja y = 4 3 x - 4 . Selvitä, onko niillä yhteistä kohtaa.

Ratkaisu

Yksinkertaistamalla annetut yhtälöt saadaan 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 ja 4 3 x - y - 4 = 0 .

Yhtälöt on kerättävä järjestelmään myöhempää ratkaisua varten:

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

Tämä osoittaa, että yhtälöt ilmaistaan ​​toistensa kautta, jolloin saadaan ääretön määrä ratkaisuja. Sitten yhtälöt x 3 + y - 4 = 1 ja y = 4 3 x - 4 määrittävät saman suoran. Siksi risteyspisteitä ei ole.

Vastaus: annetut yhtälöt määrittelevät saman suoran.

Esimerkki 7

Selvitä leikkausviivojen 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 ja 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 pisteen koordinaatit.

Ratkaisu

Ehdolla on mahdollista, että viivat eivät leikkaa. Kirjoita yhtälöjärjestelmä ja ratkaise. Ratkaisua varten on käytettävä Gaussin menetelmää, koska sen avulla on mahdollista tarkistaa yhtälön yhteensopivuus. Saamme järjestelmän muodossa:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 v = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) (- (3 + 2)) = 1 + - 7 ( - (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Saimme väärän tasa-arvon, joten järjestelmällä ei ole ratkaisuja. Päättelemme, että suorat ovat yhdensuuntaisia. Risteyspisteitä ei ole.

Toinen ratkaisu.

Ensin sinun on määritettävä linjojen leikkauspisteen olemassaolo.

n 1 → = (2 , 2 - 3) on suoran 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 normaalivektori, jolloin vektori n 2 → = (2 (3 + 2) , -7 on normaalivektori suoralle 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

On tarpeen tarkistaa vektorien n 1 → = (2, 2 - 3) ja n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7) kollineaarisuus. Saamme yhtälön muodossa 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7 . Se on oikein, koska 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0 . Tästä seuraa, että vektorit ovat kollineaarisia. Tämä tarkoittaa, että suorat ovat yhdensuuntaisia ​​eikä niillä ole leikkauspisteitä.

Vastaus: ei ole leikkauspisteitä, suorat ovat yhdensuuntaisia.

Esimerkki 8

Etsi annettujen suorien 2 x - 1 = 0 ja y = 5 4 x - 2 leikkauskoordinaatit .

Ratkaisu

Ratkaisua varten muodostamme yhtälöjärjestelmän. Saamme

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Etsi päämatriisin determinantti. Tätä varten 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2 . Koska se ei ole nolla, järjestelmässä on 1 ratkaisu. Tästä seuraa, että viivat leikkaavat. Ratkaistaan ​​leikkauspisteiden koordinaattien etsimisjärjestelmä:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Saimme, että annettujen suorien leikkauspisteen koordinaatit ovat M 0 (1 2 , - 11 8) .

Vastaus: M 0 (1 2 , - 11 8) .

Kahden suoran leikkauspisteen koordinaattien löytäminen avaruudesta

Samalla tavalla löydetään avaruusviivojen leikkauspisteet.

Kun koordinaattitason O x y z suorat a ja b on annettu leikkaavien tasojen yhtälöillä, on olemassa suora a, joka voidaan määrittää käyttämällä annettua järjestelmää A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 \u003d 0 ja suora b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 \u003d 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 \u003d 0.

Kun piste M 0 on suorien leikkauspiste, niin sen koordinaattien tulee olla molempien yhtälöiden ratkaisuja. Saada lineaariset yhtälöt järjestelmässä:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

Tarkastellaan tällaisia ​​tehtäviä esimerkein.

Esimerkki 9

Etsi annettujen suorien leikkauspisteen koordinaatit x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 ja 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0

Ratkaisu

Muodostamme järjestelmän x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ja ratkaisemme sen. Koordinaattien löytämiseksi on ratkaistava matriisin kautta. Sitten saadaan päämatriisi muotoa   A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 ja laajennettu matriisi T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 . Määritämme matriisin järjestyksen Gaussin mukaan.

Me ymmärrämme sen

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Tästä seuraa, että lisätyn matriisin sijoitus on 3. Tällöin yhtälöjärjestelmä x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 saa aikaan vain yhden ratkaisun.

Kantamollilla on determinantti 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , silloin viimeinen yhtälö ei sovi. Saamme, että x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3. Järjestelmäratkaisu x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

Joten meillä on, että leikkauspisteellä x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 ja 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 on koordinaatit (1 , - 3 , 0) .

Vastaus: (1 , - 3 , 0) .

Järjestelmä, jonka muoto on A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 on vain yksi ratkaisu. Joten suorat a ja b leikkaavat.

Muissa tapauksissa yhtälöllä ei ole ratkaisua, eli ei myöskään ole yhteisiä pisteitä. Toisin sanoen on mahdotonta löytää pistettä koordinaatteilla, koska sitä ei ole olemassa.

Siksi järjestelmä, jonka muoto on A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 ratkaistaan ​​Gaussin menetelmällä. Sen yhteensopimattomuuden vuoksi viivat eivät leikkaa. Jos ratkaisuja on ääretön määrä, ne ovat samat.

Voit tehdä päätöksen laskemalla matriisin pää- ja laajennetun järjestyksen ja soveltaa sitten Kronecker-Capelli-lausetta. Ratkaisuja saadaan yksi, useita tai täydellinen puuttuminen.

Esimerkki 10

Suorat x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 ja x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 yhtälöt on annettu. Etsi leikkauspiste.

Ratkaisu

Perustetaan ensin yhtälöjärjestelmä. Saadaan, että x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 . Ratkaisemme sen Gaussin menetelmällä:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Ilmeisesti järjestelmässä ei ole ratkaisuja, mikä tarkoittaa, että suorat eivät leikkaa. Risteyspistettä ei ole.

Vastaus: ei risteyspistettä.

Jos suorat on annettu kononisilla tai parametriyhtälöillä, ne on saatettava leikkaavien tasojen yhtälöiden muotoon ja sitten löydettävä koordinaatit.

Esimerkki 11

Annettu kaksi suoraa x = - 3 - λ y = - 3 · λ z = - 2 + 3 · λ , λ ∈ R ja x 2 = y - 3 0 = z 5 kohdassa O x y z . Etsi leikkauspiste.

Ratkaisu

Asetamme suorat kahden leikkaavan tason yhtälöillä. Me ymmärrämme sen

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Löydämme koordinaatit 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 , tätä varten laskemme matriisin rivit. Matriisin järjestys on​​3 ja perusmolli on 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0, mikä tarkoittaa, että viimeinen yhtälö on jätettävä pois järjestelmästä. Me ymmärrämme sen

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Ratkaistaan ​​järjestelmä Cramerin menetelmällä. Saamme, että x = - 2 y = 3 z = - 5 . Tästä saadaan, että annettujen suorien leikkauspiste antaa pisteen, jonka koordinaatit (- 2 , 3 , - 5) .

Vastaus: (- 2 , 3 , - 5) .

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter