Trigonometriset funktiot ovat alkeisfunktioita, joiden argumentti on kulma. Käyttämällä trigonometriset funktiot kuvaa suoran kolmion sivujen ja terävien kulmien välistä suhdetta. Trigonometristen funktioiden käyttöalueet ovat erittäin monipuoliset. Joten esimerkiksi mikä tahansa jaksollinen prosessi voidaan esittää trigonometristen funktioiden summana (Fourier-sarja). Nämä funktiot tulevat usein esiin, kun ratkaistaan ​​differentiaali- ja funktionaalisia yhtälöitä.

Trigonometriset funktiot sisältävät seuraavat 6 funktiota: sinus, kosini, tangentti, kotangentti, sekantti Ja kosekantti. Jokaiselle näistä funktioista on käänteinen trigonometrinen funktio.

Trigonometristen funktioiden geometrinen määritelmä esitellään kätevästi käyttämällä yksikköympyrä. Alla olevassa kuvassa on ympyrä, jolla on säde r= 1. Ympyrään on merkitty piste M(x,y). Kulma sädevektorin välillä OM ja positiivisen akselin suunta Härkä on yhtä suuri α .

sinus kulma α y pisteitä M(x,y) säteeseen r: synti α = y/r. Koska r= 1, niin sini on yhtä suuri kuin pisteen ordinaatta M(x,y).

kosini kulma α x pisteitä M(x,y) säteeseen r: cos α = x/r = x

tangentti kulma α kutsutaan ordinaatin suhteeksi y pisteitä M(x,y) sen abskissalle x:rusketus α = y/x, x ≠ 0

Kotangentti kulma α kutsutaan abskissasuhteeksi x pisteitä M(x,y) sen ordinaattoihin y: kissa α = x/y, y ≠ 0

Sekantti kulma α on sädesuhde r abskissalle x pisteitä M(x,y):sek α = r/x = 1/x, x ≠ 0

Kosekantti kulma α on sädesuhde r ordinaatille y pisteitä M(x,y): cosec α = r/y = 1/y, y ≠ 0

Yhdessä projektioympyrässä x, y pisteitä M(x,y) ja säde r muodostavat suorakulmaisen kolmion, jossa x, y ovat jalat ja r− hypotenuusa. Siksi yllä olevat trigonometristen funktioiden määritelmät suorakulmaiseen kolmioon sovellettuina muotoillaan seuraavasti: sinus kulma α on vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan. kosini kulma α on viereisen jalan suhde hypotenuusaan. tangentti kulma α kutsutaan vastakkaiseksi jalkaksi viereiselle. Kotangentti kulma α kutsutaan viereistä jalkaa vastakkaiseksi.

sinifunktiokaavio y= synti x, verkkotunnus: x ∈ ℜ , alue: −1 ≤ sin x ≤ 1

Kosinifunktion kuvaaja y= cos x, verkkotunnus: x ∈ ℜ , alue: −1 ≤ cos x ≤ 1

tangenttifunktiokaavio y= ttg x, verkkotunnus: x ∈ ℜ , x ≠ (2k + 1)π /2, alue: −∞< tg x < ∞

Kotangenttifunktion kuvaaja y=ctg x, verkkotunnus: x ∈ ℜ , x ≠ kπ, alue: −∞< ctg x < ∞

Kulmat mitataan asteina tai radiaaneina. On tärkeää ymmärtää näiden mittayksiköiden välinen suhde. Tämän suhteen ymmärtäminen antaa sinun käyttää kulmia ja siirtyä asteista radiaaneihin ja päinvastoin. Tässä artikkelissa johdamme kaavan asteiden muuntamiseksi radiaaneiksi ja radiaanien asteiksi sekä analysoimme muutamia käytännön esimerkkejä.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Asteiden ja radiaanien välinen suhde

Jotta voit määrittää asteiden ja radiaanien välisen suhteen, sinun on tiedettävä kulman aste ja radiaanimitta. Otetaan esimerkiksi keskikulma, joka perustuu säde r:n ympyrän halkaisijaan. Tämän kulman radiaanimitan laskemiseksi sinun on jaettava kaaren pituus ympyrän säteen pituudella. Tarkasteltu kulma vastaa kaaren pituutta, joka on yhtä suuri kuin puolet ympyrän pituudesta π · r . Jaa kaaren pituus säteellä ja saa kulman radiaanimitta: π · r r = π rad.

Kyseessä oleva kulma on siis π radiaania. Toisaalta se on suora kulma, joka on 180°. Näin ollen 180° = π rad.

Asteiden suhde radiaaneihin

Radiaanien ja asteiden välinen suhde ilmaistaan ​​kaavalla

π radiaanit = 180°

Kaavat radiaanien muuntamiseen asteina ja päinvastoin

Yllä saadusta kaavasta voidaan johtaa muita kaavoja kulmien muuntamiseksi radiaaneista asteina ja asteista radiaaneiksi.

Ilmaise yksi radiaani asteina. Tätä varten jaamme säteen vasemman ja oikean osan pi:llä.

1 rad \u003d 180 π ° - kulman astemitta 1 radiaanissa on 180 π.

Voit myös ilmaista yhden asteen radiaaneina.

1 ° = π 180 r a d

Voit tehdä likimääräisiä laskelmia kulma-arvoista radiaaneina ja päinvastoin. Tätä varten otamme luvun π arvot kymmeneen tuhannesosaan asti ja korvaamme ne tuloksena olevilla kaavoilla.

1 r a d \u003d 180 π ° \u003d 180 3, 1416 ° \u003d 57, 2956 °

Yhdessä radiaanissa on siis noin 57 astetta.

1 ° = π 180 rad = 3,1416 180 rad = 0,0175 rad

Yksi aste sisältää 0,0175 radiaania.

Kaava radiaanien muuntamiseksi asteina

x ra d = x 180 π °

Jos haluat muuntaa kulman radiaaneista asteina, kerro kulma radiaaneina 180:lla ja jaa pi:llä.

Esimerkkejä asteiden muuntamisesta radiaaneiksi ja radiaanien muuntamisesta asteiksi

Harkitse esimerkkiä.

Esimerkki 1: Muuntaminen radiaaneista asteiksi

Olkoon α = 3 , 2 rad. Sinun on tiedettävä tämän kulman astemitta.

Olkoon yksikköympyrä, jonka keskipiste on pisteessä O. Piirretään sille pystytangentti pisteeseen P. Oletetaan, että tämä tangentti on numeerinen akseli, jonka alku on pisteessä P ja positiivinen suunta on ylöspäin. Otetaan ympyrän säde numeerisen akselin pituusyksiköksi. Merkitään nyt reaaliakselille useita pisteitä ±1, ±pi/2, ±3, ±pi. Tässä pi ≈3,1415 on irrationaalinen luku.

Mitä radiaanimitta tarkoittaa

Kierretään nyt lukuviiva henkisesti ympyrän ympärille. Sitten pisteet, joiden koordinaatit ovat 1, pi/2, -1, -2 ja muut, menevät vastaavasti ympyrän pisteisiin M1, M2, M3, M4. Tässä tapauksessa kaaren PM1 pituus on 1, PM2:n pituus = pi/2 jne.

Olemme yhdistäneet jokaisen suoran pisteen johonkin ympyrän pisteeseen.

Tässä tapauksessa he sanovat, että kulmat mitataan radiaanimittauksella ja kulmaa POM1 pidetään 1 radiaanin (1 rad) kulmana.

Tarkastellaan ympyrää, jonka säde on R ja merkitään siihen kaari RM, jonka pituus on yhtä suuri kuin R. Merkitään myös kulma ROM.

Keskikulmaa, joka perustuu kaareen, jonka pituus on yhtä suuri kuin säde, kutsutaan yhden radiaanin (1 rad) kulmaksi.

Laske kulman astemitta 1 radiaanissa.

Puoliympyrän kaaren pituus on yhtä suuri kuin pi*R. Tämän kaaren keskikulma on 180 astetta. Siksi kaari, joka on yhtä pitkä kuin R:n pituus, pienentää kulman pi kertaa 180 astetta. Tuo on,

1 radiaani = (180/pi) astetta.

Tiedetään, että pi≈3,14, sitten 1 rad ≈ 57,3 astetta.

Jos tiedetään, että kulma sisältää x radiaania, sen astemitan laskemiseen käytetään seuraavaa kaavaa:

X radiaanit = ((180*x)/pi) astetta.

Taulukko radiaanimitoissa ilmaistuista peruskulmista

Kulmien radiaanimittaa määritettäessä nimi "rad" jätetään yleensä pois.

Kun tiedät kulman (a) radiaanimitan, voit laskea tämän kulman muodostaman kaaren pituuden (l) seuraavalla kaavalla: l=a*R.

Katsotaanpa kuvaa. Vektori \(AB \) "kääntyi" suhteessa pisteeseen \(A \) tietyllä määrällä. Joten tämän kierron mitta suhteessa alkuasentoon on kulma \(\alpha \).

Mitä muuta sinun on tiedettävä kulman käsitteestä? No, kulmayksiköt tietysti!

Kulma, sekä geometriassa että trigonometriassa, voidaan mitata asteina ja radiaaneina.

Kulma \(1()^\circ \) (yksi aste) on ympyrän keskikulma, joka perustuu ympyräkaareen, joka on yhtä suuri kuin ympyrän \(\dfrac(1)(360) \) osa.

Joten koko ympyrä koostuu \(360 \) ympyränkaarien "kappaleista" tai ympyrän kuvaama kulma on \(360()^\circ \) .

Toisin sanoen yllä oleva kuva esittää kulmaa \(\beta \) yhtä kuin \(50()^\circ \) , eli tämä kulma perustuu ympyränkaareen, jonka koko on \(\dfrac(50)(360) ) \) ympärysmitta.

Kulma \(1 \) radiaaneissa on ympyrän keskikulma, joka perustuu ympyräkaareen, jonka pituus on yhtä suuri kuin ympyrän säde.

Joten kuvassa on kulma \(\gamma \) yhtä suuri kuin \(1 \) radiaani, eli tämä kulma perustuu ympyräkaareen, jonka pituus on yhtä suuri kuin ympyrän säde (pituus \ (AB \) on yhtä suuri kuin pituus \(BB" \) tai säde \(r \) on yhtä suuri kuin kaaren pituus \(l \) ) Näin ollen kaaren pituus lasketaan kaavalla:

\(l=\theta \cdot r \) , jossa \(\theta \) on keskikulma radiaaneina.

No, tietäen tämän, voitko vastata kuinka monta radiaania sisältää ympyrän kuvaaman kulman? Kyllä, tätä varten sinun on muistettava ympyrän kehän kaava. Tässä hän on:

\(L=2\pi \cdot r\)

No, nyt korreloidaan nämä kaksi kaavaa ja saadaan, että ympyrän kuvaama kulma on \(2\pi \) . Eli korreloimalla arvoa asteina ja radiaaneina saadaan, että \(2\pi =360()^\circ \) . Vastaavasti \(\pi =180()^\circ \) . Kuten näette, toisin kuin "asteet", sana "radiaani" jätetään pois, koska mittayksikkö on yleensä selvä asiayhteydestä.

Tässä artikkelissa luomme suhteen kulman mittausyksiköiden - asteiden ja radiaanien - välille. Tämä yhteys antaa meille lopulta mahdollisuuden suorittaa muuntaa asteet radiaaneiksi ja päinvastoin. Jotta nämä prosessit eivät aiheuta vaikeuksia, hankimme kaavan asteiden muuntamiseksi radiaaneiksi ja kaavan radiaaneista asteiksi muuntamiseen, minkä jälkeen analysoimme yksityiskohtaisesti esimerkkien ratkaisuja.

Sivulla navigointi.

Asteiden ja radiaanien välinen suhde

Asteiden ja radiaanien välinen yhteys muodostetaan, jos kulman aste- ja radiaanimitta tiedetään (kulman aste ja radiaanimitta löytyy osiosta).

Ota keskikulma ympyrän halkaisijan perusteella, jonka säde on r. Voimme laskea tämän kulman mitat radiaaneina: tätä varten meidän on jaettava kaaren pituus ympyrän säteen pituudella. Tämä kulma vastaa kaaren pituutta, joka on puolet ympärysmitta, tuo on, . Jakamalla tämä pituus säteen r pituudella, saadaan ottamamme kulman radiaanimitta. Joten meidän kulmamme on rad. Toisaalta tämä kulma laajenee, se on 180 astetta. Siksi pi radiaani on 180 astetta.

Joten se ilmaistaan ​​kaavalla π radiaanit = 180 astetta, tuo on, .

Kaavat asteiden muuntamiseksi radiaaneiksi ja radiaanien asteiksi

Edellisessä kappaleessa saamamme muodon yhtäläisyydestä on helppo johtaa kaavat radiaanien muuntamiseksi asteiksi ja asteiden radiaaneiksi.

Jakamalla yhtälön molemmat puolet pi:llä, saadaan kaava, joka ilmaisee yhden radiaanin asteina: . Tämä kaava tarkoittaa, että yhden radiaanin kulman astemitta on 180/π. Jos vaihdamme tasa-arvon vasemman ja oikean osan, jaamme sitten molemmat osat 180:lla, niin saamme muodon kaavan . Se ilmaisee yhtä astetta radiaaneina.

Uteliaisuutemme tyydyttämiseksi laskemme yhden radiaanin kulman likimääräisen arvon asteina ja yhden asteen kulman arvon radiaaneina. Tätä varten ota luvun pi arvo kymmeneen tuhannesosaan ja korvaa se kaavoilla Ja ja tee laskelmat. Meillä on Ja . Joten yksi radiaani on noin 57 astetta ja yksi aste on 0,0175 radiaania.

Lopuksi saaduista suhteista Ja siirrytään kaavoihin radiaanien muuntamiseksi asteiksi ja päinvastoin, ja tarkastellaan myös esimerkkejä näiden kaavojen soveltamisesta.

Kaava radiaanien muuntamiseksi asteina näyttää: . Näin ollen, jos kulman arvo radiaaneina tiedetään, niin kertomalla se 180:lla ja jakamalla pi:llä, saadaan tämän kulman arvo asteina.

Esimerkki.

Annettu kulma 3,2 radiaania. Mikä on tämän kulman mitta asteina?

Ratkaisu.

Käytämme kaavaa radiaaneista asteiksi muuntamiseen, meillä on

Vastaus:

.

Kaava asteiden muuntamiseksi radiaaneiksi on muotoa . Toisin sanoen, jos kulman arvo asteina tunnetaan, kerrotaan se pi:llä ja jaetaan luvulla 180, saadaan tämän kulman arvo radiaaneina. Tarkastellaan esimerkkiratkaisua.