Tämä artikkeli on omistettu yksityiskohtaiselle tutkimukselle trigonometriset kaavat heittää. Dan täydellinen lista pelkistyskaavat, esimerkkejä niiden käytöstä esitetään, todiste kaavojen oikeellisuudesta on annettu. Artikkelissa on myös muistosääntö, jonka avulla voit johtaa pelkistyskaavoja muistamatta jokaista kaavaa.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Kaavojen valuminen. Lista
Pelkistyskaavojen avulla voit pienentää mielivaltaisen kokoisten kulmien trigonometriset perusfunktiot kulmien funktioiksi, jotka ovat alueella 0 - 90 astetta (0 - π 2 radiaania). Työskentely kulmilla 0-90 astetta on paljon kätevämpää kuin mielivaltaisen suurilla arvoilla, joten pelkistyskaavoja käytetään laajalti trigonometriaongelmien ratkaisemisessa.
Ennen kuin kirjoitamme itse kaavat, selvennämme muutamia ymmärtämisen kannalta tärkeitä kohtia.
- Trigonometristen funktioiden argumentit pelkistyskaavoissa ovat kulmia, jotka ovat muotoa ± α + 2 π · z , π 2 ± α + 2 π · z , 3 π 2 ± α + 2 π · z . Tässä z on mikä tahansa kokonaisluku ja α on mielivaltainen kiertokulma.
- Ei ole välttämätöntä opetella kaikkia pelkistyskaavoja, joiden määrä on melko vaikuttava. On olemassa muistisääntö, jonka avulla halutun kaavan johtaminen on helppoa. Muistisääntöä käsitellään myöhemmin.
Siirrytään nyt suoraan pelkistyskaavoihin.
Valukaavojen avulla voit siirtyä mielivaltaisten ja mielivaltaisen suurten kulmien työskentelystä 0–90 asteen kulmien työskentelyyn. Kirjoitetaan kaikki kaavat taulukon muotoon.
Valokaavat
sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + = - 2 π z cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z =, cos π z . π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = -s sin π + α + 2 π z π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z , = α sin α + 2 π z + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 π 2 - α = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α
Tässä tapauksessa kaavat kirjoitetaan radiaaneina. Voit kuitenkin kirjoittaa ne myös asteen avulla. Riittää, kun radiaanit muunnetaan asteina korvaamalla π 180 astetta.
Esimerkkejä valukaavojen käytöstä
Näytämme kuinka pelkistyskaavoja käytetään ja miten niitä käytetään käytännön esimerkkien ratkaisemisessa.
Trigonometrisen funktion merkin alla oleva kulma voidaan esittää ei yhdellä, vaan monella tavalla. Esimerkiksi trigonometrisen funktion argumentti voidaan esittää ± α + 2 π z , π 2 ± α + 2 π z , π ± α + 2 π z , 3 π 2 ± α + 2 π z . Osoitetaan tämä.
Otetaan kulma α = 16 π 3 . Tämä kulma voidaan kirjoittaa näin:
α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π
Kulman esityksestä riippuen käytetään vastaavaa vähennyskaavaa.
Otetaan sama kulma α = 16 π 3 ja lasketaan sen tangentti
Esimerkki 1: Casting-kaavojen käyttäminen
α \u003d 16 π 3, t g α \u003d?
Esitetään kulma α = 16 π 3 muodossa α = π + π 3 + 2 π 2
Tämä kulman esitys vastaa vähennyskaavaa
t g (π + α + 2 π z) = t g α
t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π 2 = t g π 3
Taulukon avulla osoitamme tangentin arvon
Nyt käytetään toista kulman α = 16 π 3 esitystapaa.
Esimerkki 2: Casting-kaavojen käyttäminen
α \u003d 16 π 3, t g α \u003d? α \u003d - 2 π 3 + 2 π 3 t g 16 π 3 \u003d t g - 2 π 3 + 2 π 3 \u003d - t g 2 π 3 \u003d - (- 3 d) \u003d
Lopuksi kirjoitamme kulman kolmannelle esitykselle
Esimerkki 3: Casting-kaavojen käyttäminen
α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π 3 π = c 6 g 3 π
Otetaan nyt esimerkki monimutkaisempien pelkistyskaavojen käytöstä
Esimerkki 4: Casting-kaavojen käyttäminen
Esitetään sin 197 ° terävän kulman sinin ja kosinin suhteen.
Jotta pelkistyskaavoja voidaan soveltaa, on tarpeen esittää kulma α = 197 ° jollakin muodoista
± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z. Ongelman tilanteen mukaan kulman tulee olla terävä. Näin ollen meillä on kaksi tapaa edustaa sitä:
197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73°
Saamme
sin 197° = sin(180° + 17°) sin 197° = sin(270° - 73°)
Katsotaan nyt sinien pelkistyskaavoja ja valitaan sopivat.
sin (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = sin (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - sin 17 ° sin 197 ° = sin(270° - 73° + 360° z) = - cos 73°
Mnemoninen sääntö
Valukaavoja on monia, ja onneksi niitä ei tarvitse opetella ulkoa. On olemassa malleja, joiden avulla voit johtaa pienennyskaavoja eri kulmille ja trigonometrisille funktioille. Näitä malleja kutsutaan muistosäännöiksi. Mnemoniikka on muistamisen taidetta. Muistosääntö koostuu kolmesta osasta tai sisältää kolme vaihetta.
Mnemoninen sääntö
1. Alkuperäisen funktion argumentti esitetään yhdessä muodoista
± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz
Kulman α on oltava välillä 0 - 90 astetta.
2. Määritetään alkuperäisen trigonometrisen funktion etumerkki. Kaavan oikealle puolelle kirjoitetulla funktiolla on sama merkki.
3. Kulmilla ± α + 2 πz ja π ± α + 2 πz alkuperäisen funktion nimi pysyy muuttumattomana ja kulmilla π 2 ± α + 2 πz ja 3 π 2 ± α + 2 πz, vastaavasti, se muuttuu. "yhteistyöhön". Sini kosiniksi. Tangentti kotangentille.
Jotta voit käyttää muistosääntöä pelkistyskaavoissa, sinun on kyettävä määrittämään trigonometristen funktioiden merkit yksikköympyrän neljänneksillä. Katsotaanpa esimerkkejä muistosäännön soveltamisesta.
Esimerkki 1: Muistosäännön käyttäminen
Kirjataan muistiin pelkistyskaavat cos π 2 - α + 2 πz ja t g π - α + 2 πz . α - ensimmäisen neljänneksen kulma.
1. Koska ehdon mukaan α on ensimmäisen neljänneksen logaritmi, ohitamme säännön ensimmäisen kappaleen.
2. Määritetään funktioiden cos π 2 - α + 2 πz ja t g π - α + 2 πz etumerkit. Kulma π 2 - α + 2 πz on myös ensimmäisen neljänneksen kulma ja kulma π - α + 2 πz on toisella neljänneksellä. Ensimmäisellä neljänneksellä kosinifunktio on positiivinen ja toisen neljänneksen tangentissa on miinusmerkki. Kirjataan ylös, miltä halutut kaavat näyttävät tässä vaiheessa.
cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = -
3. Kolmannen pisteen mukaan kulman π 2 - α + 2 π funktion nimi muuttuu Konfutseksi ja kulmalla π - α + 2 πz pysyy samana. Kirjoitetaan:
cos π 2 - α + 2 πz = + sin α t g π - α + 2 πz = - t g α
Katsotaan nyt yllä olevia kaavoja ja varmistetaan, että muistosääntö toimii.
Tarkastellaan esimerkkiä, jossa on tietty kulma α = 777°. Tuomme sini alfan terävän kulman trigonometriseen funktioon.
Esimerkki 2: Muistosäännön käyttäminen
1. Esitetään kulma α = 777 ° vaaditussa muodossa
777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2
2. Alkukulma - ensimmäisen neljänneksen kulma. Kulman sinillä on siis positiivinen etumerkki. Tämän seurauksena meillä on:
3. sin 777° = sin(57° + 360° 2) = sin 57° sin 777° = sin(90° - 33° + 360° 2) = cos 33°
Katsotaanpa nyt esimerkkiä, joka osoittaa, kuinka tärkeää on määrittää oikein trigonometrisen funktion etumerkki ja esittää kulma oikein muistosääntöä käytettäessä. Toistetaan se uudestaan.
Tärkeä!
Kulman α on oltava terävä!
Lasketaan kulman tangentti 5 π 3 . Tärkeimpien trigonometristen funktioiden arvotaulukosta voit ottaa välittömästi arvon t g 5 π 3 = - 3, mutta käytämme muistosääntöä.
Esimerkki 3: Muistosäännön käyttäminen
Esitämme kulman α = 5 π 3 vaaditussa muodossa ja käytämme sääntöä
t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3
Jos edustamme kulmaa alfaa muodossa 5 π 3 = π + 2 π 3, niin muistosäännön soveltamisen tulos on virheellinen.
t g 5 π 3 \u003d t g π + 2 π 3 \u003d - t g 2 π 3 \u003d - (- 3) \u003d 3
Väärä tulos johtuu siitä, että kulma 2 π 3 ei ole terävä.
Pelkistyskaavojen todistus perustuu trigonometristen funktioiden jaksollisuuden ja symmetrian ominaisuuksiin sekä ominaisuuksiin siirtyä kulmien π 2 ja 3 π 2 mukaan. Kaikkien pelkistyskaavojen pätevyyden todistaminen voidaan suorittaa ottamatta huomioon termiä 2 πz, koska se merkitsee kulman muutosta kokonaislukumäärällä täydet kierrokset ja heijastaa vain jaksollisuuden ominaisuutta.
Ensimmäiset 16 kaavaa seuraavat suoraan trigonometristen perusfunktioiden ominaisuuksista: sini, kosini, tangentti ja kotangentti.
Esitämme todisteet sinien ja kosinien pelkistyskaavoista
sin π 2 + α = cos α ja cos π 2 + α = - sin α
Tarkastellaan yksikköympyrää, jonka alkupiste kulman α läpi kääntymisen jälkeen on siirtynyt pisteeseen A 1 x , y ja kulman π 2 + α - kautta käännettyään pisteeseen A 2 . Molemmista pisteistä piirretään kohtisuorat x-akseliin nähden.
Kaksi suorakulmainen kolmio O A 1 H 1 ja O A 2 H 2 ovat yhtä suuret hypotenuusan ja sen viereisten kulmien suhteen. Ympyrän pisteiden sijainnista ja kolmioiden yhtäläisyydestä voidaan päätellä, että pisteen A 2 koordinaatit ovat A 2 - y, x. Käyttämällä sinin ja kosinin määritelmiä kirjoitamme:
sin α \u003d y, cos α \u003d x, sin π 2 + α \u003d x, cos π 2 + α \u003d y
sin π 2 + α \u003d cos α, cos π 2 + α \u003d - sin α
Ottaen huomioon trigonometrian perusidentiteetit ja juuri todistetun, voimme kirjoittaa
t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - α α = cos tgα
Todistaaksesi pelkistyskaavat argumentilla π 2 - α, se on esitettävä muodossa π 2 + (- α) . Esimerkiksi:
cos π 2 - α \u003d cos π 2 + (- α) \u003d - sin (- α) \u003d sin α
Todistuksessa käytetään trigonometristen funktioiden ominaisuuksia, joiden argumentit ovat vastakkaisia etumerkillä.
Kaikki muut pelkistyskaavat voidaan todistaa yllä kirjoitettujen perusteella.
Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter
Valukaavojen käytölle on kaksi sääntöä.
1. Jos kulma voidaan esittää muodossa (π/2 ±a) tai (3*π/2 ±a), niin funktion nimi muuttuu sin to cos, cos to sin, tg to ctg, ctg to tg. Jos kulma voidaan esittää muodossa (π ±a) tai (2*π ±a), niin funktion nimi pysyy ennallaan.
Katso alla olevaa kuvaa, se näyttää kaavamaisesti, milloin merkkiä tulisi muuttaa ja milloin ei.
2. Sääntö "sellaisena kuin olit, sellaisena pysyt."
Vähennetyn toiminnon merkki pysyy samana. Jos alkuperäisessä funktiossa oli plusmerkki, niin pienennetyssä funktiossa on myös plusmerkki. Jos alkuperäisessä funktiossa oli miinusmerkki, niin pienennetyssä funktiossa on myös miinusmerkki.
Alla oleva kuva esittää tärkeimpien trigonometristen funktioiden merkit vuosineljänneksestä riippuen.
Laske synti (150˚)
Käytetään pelkistyskaavoja:
Sin(150˚) on toisella neljänneksellä, voimme nähdä kuvasta, että synnin merkki tällä neljänneksellä on +. Tämä tarkoittaa, että yllä olevalla funktiolla on myös plusmerkki. Olemme soveltaneet toista sääntöä.
Nyt 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ on π/2. Eli kyseessä on tapaus π / 2 + 60, joten ensimmäisen säännön mukaan muutamme funktion sin arvosta cos. Tuloksena saamme Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.
Haluttaessa kaikki pelkistyskaavat voidaan koota yhteen taulukkoon. Mutta on silti helpompi muistaa nämä kaksi sääntöä ja käyttää niitä.
Tarvitsetko apua opinnoissasi?
Edellinen aihe:
Trigonometria, pelkistyskaavat.
Casting-kaavoja ei tarvitse opettaa, ne on ymmärrettävä. Ymmärrä niiden tulostuksen algoritmi. Se on hyvin helppoa!
Otetaan yksikköympyrä ja asetetaan sen päälle kaikki astemitat (0°; 90°; 180°; 270°; 360°).
Analysoidaan sin(a)- ja cos(a)-funktioita kullakin neljänneksellä.
Muista, että tarkastelemme sin (a) -funktiota Y-akselilla ja cos (a) -funktiota X-akselilla.
Ensimmäisellä neljänneksellä voidaan nähdä, että toiminto sin(a)>0
Ja toimivuus cos(a)>0
Ensimmäistä neljännestä voidaan kuvata termeillä asteen mitta, kuten (90-α) tai (360+α).
Toisella vuosineljänneksellä voidaan nähdä, että toiminto sin(a)>0, koska y-akseli on positiivinen kyseisellä neljänneksellä.
Toiminto cos(a), koska x-akseli on negatiivinen kyseisellä neljänneksellä.
Toista neljännestä voidaan kuvata astemitan avulla (90+α) tai (180-α).
Kolmannella vuosineljänneksellä voidaan nähdä, että toiminnot synti (a) Kolmannen neljänneksen voidaan kuvata asteina (180+α) tai (270-α).
Neljännellä vuosineljänneksellä voidaan nähdä, että toiminto sin(a), koska y-akseli on negatiivinen kyseisellä neljänneksellä.
Toiminto cos(a)>0, koska x-akseli on positiivinen kyseisellä neljänneksellä.
Neljäs vuosineljännes voidaan kuvata asteina (270+α) tai (360-α).
Katsotaan nyt itse pelkistyskaavoja.
Muistetaan yksinkertainen algoritmi:
1. vuosineljännes.(Katso aina millä alueella olet).
2. Merkki.(Katso neljänneksen osalta positiiviset tai negatiiviset kosini- tai sinifunktiot).
3. Jos sinulla on (90° tai π/2) ja (270° tai 3π/2) suluissa, toiminto muuttuu.
Ja niin alamme purkaa tätä algoritmia neljänneksissä.
Selvitä, mikä lauseke cos(90-α) on yhtä suuri
Puhutaanpa algoritmista:
1. Neljännes yksi.
Tahtoa cos(90-α) = sin(α)
Selvitä, mitä lauseke sin (90-α) on yhtä suuri
Puhutaanpa algoritmista:
1. Neljännes yksi.
Tahtoa sin(90-α) = cos(α)
Selvitä, mikä lauseke cos(360+α) on yhtä suuri
Puhutaanpa algoritmista:
1. Neljännes yksi.
2. Ensimmäisellä neljänneksellä kosinifunktion etumerkki on positiivinen.
Tahtoa cos(360+α) = cos(α)
Selvitä, mikä lauseke sin (360 + α) on yhtä suuri
Puhutaanpa algoritmista:
1. Neljännes yksi.
2. Ensimmäisellä neljänneksellä sinifunktion etumerkki on positiivinen.
3. Suluissa ei ole (90° tai π/2) ja (270° tai 3π/2), jolloin toiminto ei muutu.
Tahtoa sin(360+α) = sin(α)
Selvitä, mikä lauseke cos(90+α) on yhtä suuri
Puhutaanpa algoritmista:
1. Neljännes kaksi.
3. Suluissa on (90 ° tai π / 2), jolloin funktio muuttuu kosinista siniksi.
Tahtoa cos(90+α) = -sin(α)
Selvitä, mikä lauseke sin (90 + α) on yhtä suuri
Puhutaanpa algoritmista:
1. Neljännes kaksi.
3. Suluissa on (90 ° tai π / 2), jolloin funktio muuttuu sinistä kosiniksi.
Tahtoa sin(90+α) = cos(α)
Selvitä, mikä lauseke cos(180-α) on yhtä suuri
Puhutaanpa algoritmista:
1. Neljännes kaksi.
2. Toisella neljänneksellä kosinifunktion etumerkki on negatiivinen.
3. Suluissa ei ole (90° tai π/2) ja (270° tai 3π/2), jolloin toiminto ei muutu.
Tahtoa cos(180-α) = cos(α)
Selvitä, mitä lauseke sin (180-α) on yhtä suuri
Puhutaanpa algoritmista:
1. Neljännes kaksi.
2. Toisella neljänneksellä sinifunktion etumerkki on positiivinen.
3. Suluissa ei ole (90° tai π/2) ja (270° tai 3π/2), jolloin toiminto ei muutu.
Tahtoa sin(180-α) = sin(α)
Puhun kolmannesta ja neljännestä neljänneksestä samalla tavalla, teemme taulukon:
Tilaa YOUTUBE-kanavalle ja katso video, valmistaudu kanssamme matematiikan ja geometrian kokeisiin.
Vähennyskaavat ovat suhteita, joiden avulla voit siirtyä sinistä, kosinista, tangentista ja kotangentista kulmilla `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` kulman `\alpha` samoihin funktioihin, joka on yksikköympyrän ensimmäisessä neljänneksessä. Näin ollen pelkistyskaavat "johtavat" meidät työskentelemään kulmien kanssa välillä 0 - 90 astetta, mikä on erittäin kätevää.
Yhteensä on 32 pelkistyskaavaa. Ne ovat epäilemättä hyödyllisiä kokeessa, tenteissä, testeissä. Mutta varoitamme heti, että niitä ei tarvitse opetella ulkoa! Sinun täytyy viettää vähän aikaa ja ymmärtää niiden sovelluksen algoritmi, niin sinun ei ole vaikeaa johtaa tarvittavaa tasa-arvoa oikeaan aikaan.
Ensin kirjoitetaan kaikki vähennyskaavat:
Kulma (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) tai (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Kulma (`\pi \pm \alpha`) tai (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Kulma (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) tai (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Kulma (`2\pi \pm \alpha`) tai (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Voit usein löytää pelkistyskaavoja taulukon muodossa, jossa kulmat on kirjoitettu radiaaneina:
Käyttääksesi sitä, sinun on valittava rivi, jossa on tarvitsemamme funktio, ja sarake, jossa on haluttu argumentti. Jos esimerkiksi haluat selvittää taulukon avulla, mikä ` sin(\pi + \alpha)` on, riittää, että etsit vastauksen rivin ` sin \beta` ja sarakkeen ` \pi + \ leikkauspisteestä. alfa`. Saamme ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.
Ja toinen, samanlainen taulukko, jossa kulmat on kirjoitettu asteina:
Kaavojen muistosääntö tai niiden muistaminen
Kuten jo mainitsimme, kaikkia yllä olevia suhteita ei tarvitse muistaa. Jos katsoit niitä tarkasti, olet todennäköisesti huomannut joitakin kuvioita. Niiden avulla voimme muotoilla muistosäännön (mnemoninen - muistaa), jolla saat helposti minkä tahansa pelkistyskaavan.
Huomaamme heti, että tämän säännön soveltamiseksi täytyy pystyä hyvin määrittämään (tai muistamaan) trigonometristen funktioiden merkit yksikköympyrän eri neljänneksissä. 
Itse siirre sisältää 3 vaihetta:
- Funktioargumentin on oltava muodossa \frac (\pi)2 \pm \alpha, \pi \pm \alpha, \frac (3\pi)2 \pm \alpha, 2\pi \ pm \alpha, jossa \alfa on aina terävä kulma (0 - 90 astetta).
- Argumenteille \frac (\pi)2 \pm \alpha, \frac (3\pi)2 \pm \alpha trigonometrinen funktio muunnetusta lausekkeesta muuttuu kofunktioksi, eli päinvastoin (sini kosiniksi, tangentti kotangentiksi ja päinvastoin). Argumenttien \pi \pm \alpha, 2\pi \pm \alpha funktio ei muutu.
- Alkuperäisen funktion etumerkki määritetään. Tuloksena olevalla funktiolla oikealla on sama merkki.
Jos haluat nähdä, kuinka tätä sääntöä voidaan soveltaa käytännössä, muutetaan muutama lauseke:
1. "cos(\pi + \alpha)".
Toimintoa ei käännetä. Kulma ` \pi + \alpha` on kolmannessa kvadrantissa, tämän neljänneksen kosinissa on "-"-merkki, joten muunnetussa funktiossa on myös "-"-merkki.
Vastaus: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`
2. "sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)".
Muistosäännön mukaan funktio käännetään. Kulma `\frac (3\pi)2 - \alpha` on kolmannessa neljänneksessä, tässä sinissä on "-"-merkki, joten tulos on myös "-"-merkillä.
Vastaus: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`
3. "cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)".
`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\alpha))". Esitetään 3\pi muodossa 2\pi+\pi. "2\pi" on funktion jakso.
Tärkeää: Funktioiden cos \alpha ja sin \alpha jakso on 2\pi tai 360^\circ. Niiden arvot eivät muutu, jos argumenttia kasvatetaan tai vähennetään näillä arvoilla.
Tämän perusteella lausekkeemme voidaan kirjoittaa seuraavasti: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Sovellettaessa muistosääntöä kahdesti saadaan: `cos (\pi+(\frac(\) pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.
Vastaus: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha.
hevosen sääntö
Yllä olevan muistosäännön toista kohtaa kutsutaan myös pelkistyskaavojen hevossäännöksi. Ihmettelen miksi hevoset?
Meillä on siis funktioita, joiden argumentit ovat \frac (\pi)2 \pm \alpha, \pi \pm \alpha, \frac (3\pi)2 \pm \alpha, 2\pi \ pm \alpha, pisteet \frac (\pi)2, \pi, \frac (3\pi)2, 2\pi ovat avainpisteitä, jotka sijaitsevat koordinaattiakseleilla. "\pi" ja "2\pi" ovat vaakasuuntaisella x-akselilla ja "\frac (\pi)2" ja "\frac (3\pi)2" ovat pystysuoralla y-akselilla.
Esitämme itseltämme kysymyksen: "Muuttuuko toiminto yhteistoiminnaksi?". Vastataksesi tähän kysymykseen, sinun on siirrettävä päätäsi akselia pitkin, jolla avainpiste sijaitsee.
Toisin sanoen argumenteille, joiden avainpisteet sijaitsevat vaaka-akselilla, vastaamme "ei" pudistamalla päätämme sivuille. Ja kulmiin, joiden avainpisteet sijaitsevat pystyakselilla, vastaamme "kyllä" nyökkäämällä päätämme ylhäältä alas, kuten hevonen 🙂
Suosittelemme katsomaan opetusvideota, jossa kirjoittaja selittää yksityiskohtaisesti, kuinka pelkistyskaavat muistaa muistamatta niitä ulkoa.
Käytännön esimerkkejä valukaavojen käytöstä
Pelkistyskaavojen käyttö alkaa 9. ja 10. luokalla. Tenttiin lähetetään paljon tehtäviä niiden käyttöön. Tässä on joitain tehtäviä, joissa sinun on käytettävä näitä kaavoja:
- tehtävät suorakulmaisen kolmion ratkaisemiseksi;
- numero- ja aakkosmuunnokset trigonometriset lausekkeet, niiden arvojen laskeminen;
- stereometrisiä ongelmia.
Esimerkki 1. Laske a) "sin 600^\circ", b) "tg 480^\circ", c) "cos 330^\circ", d) "sin 240^\circ".
Ratkaisu: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;
b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3';
c) "cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2";
d) "sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2".
Esimerkki 2. Kun olet ilmaissut kosinin sinin kautta pelkistyskaavojen avulla, vertaa lukuja: 1) "sin \frac (9\pi)8" ja "cos \frac (9\pi)8"; 2) "sin \frac (\pi)8" ja "cos \frac (3\pi)10".
Ratkaisu: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8
`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8
`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8
`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8.
2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5
`sin \frac (\pi)8 `sin \frac (\pi)8 Todistamme ensin kaksi kaavaa argumentin `\frac (\pi)2 + \alpha` sinille ja kosinille: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` ja ` cos( \frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`. Loput ovat peräisin niistä. Ota yksikköympyrä ja piste A koordinaattein (1,0). Anna päälle kytkemisen jälkeen Tangentin ja kotangentin määritelmästä saadaan ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\pi) )2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` ja ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\frac) (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, mikä todistaa vähennyksen kaavat kulman \frac (\pi)2 + \alpha tangentille ja kotangentille. Todistaaksesi kaavat argumentilla \frac (\pi)2 - \alpha, riittää, että se esitetään muodossa \frac (\pi)2 + (-\alpha) ja seurataan samaa polkua kuin edellä. Esimerkiksi "cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)". Kulmat \pi + \alpha ja \pi - \alpha voidaan esittää muotoina \frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha) ja \frac (\pi ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` vastaavasti. Ja "\frac (3\pi)2 + \alpha" ja "\frac (3\pi)2 - \alpha" muodossa "\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)" ja "\pi" +(\frac (\pi)2-\alpha)`. Ne kuuluvat matematiikan "trigonometria"-osioon. Niiden ydin on tuoda kulmien trigonometriset funktiot "yksinkertaisempaan" muotoon. Heidän tietämyksensä tärkeydestä voidaan kirjoittaa paljon. Näitä kaavoja on 32! Älä huoli, sinun ei tarvitse opetella niitä, kuten monia muita kaavoja matematiikan aikana. Sinun ei tarvitse täyttää päätäsi turhalla tiedolla, sinun on opittava ulkoa "avaimet" tai lait, eikä halutun kaavan muistaminen tai johtaminen ole ongelma. Muuten, kun kirjoitan artikkeleissa "... sinun täytyy oppia !!!" - Tämä tarkoittaa, että se on todella välttämätöntä oppia. Jos et tunne pelkistyskaavoja, niiden johtamisen yksinkertaisuus yllättää sinut iloisesti - on olemassa "laki", jolla tämä on helppo tehdä. Ja kirjoitat minkä tahansa 32 kaavasta 5 sekunnissa. Listaan vain osan matematiikan tentissä olevista tehtävistä, joissa ilman näiden kaavojen tuntemusta on suuri todennäköisyys epäonnistua ratkaisussa. Esimerkiksi: - ongelmia suorakulmaisen kolmion ratkaisemiseksi, jossa puhumme ulkoisesta kulmasta, ja ongelmia sisäkulmille, jotkut näistä kaavoista ovat myös välttämättömiä. - tehtävät trigonometristen lausekkeiden arvojen laskemiseksi; numeeristen trigonometristen lausekkeiden muunnokset; kirjaimellisten trigonometristen lausekkeiden muunnoksia. - tangentin tehtävät ja tangentin geometrinen merkitys, tangentin pelkistyskaava vaaditaan sekä muita tehtäviä. - stereometriset ongelmat, ratkaisun aikana on usein tarpeen määrittää kulman sini tai kosini, joka on alueella 90 - 180 astetta. Ja nämä ovat vain niitä kohtia, jotka liittyvät kokeeseen. Ja itse algebran aikana on monia ongelmia, joiden ratkaiseminen on yksinkertaisesti mahdotonta ilman pelkistyskaavojen tietämystä. Mihin se sitten johtaa ja miten määrätyt kaavat yksinkertaistavat ongelmien ratkaisua meille? Sinun on esimerkiksi määritettävä minkä tahansa kulman sini, kosini, tangentti tai kotangentti välillä 0–450 astetta: alfa-kulma vaihtelee 0 - 90 astetta * * *
Joten on välttämätöntä ymmärtää "laki", joka toimii täällä: 1. Määritä funktion etumerkki vastaavassa neljänneksessä. Muistutan heitä: 2. Muista seuraava: toiminto muuttuu yhteistoiminnaksi
toiminto ei muutu yhteistoiminnaksi
Mitä käsite tarkoittaa - funktio muuttuu yhteistoiminnaksi?
Vastaus: sini muuttuu kosiniksi tai päinvastoin, tangentti kotangentiksi tai päinvastoin.
Siinä kaikki! Nyt esitetyn lain mukaan kirjoitamme useita vähennyskaavoja itsenäisesti: Tämä kulma on kolmannella neljänneksellä, kolmannen neljänneksen kosini on negatiivinen. Emme muuta yhteistoiminnan funktiota, koska meillä on 180 astetta, mikä tarkoittaa: Kulma on ensimmäisellä neljänneksellä, sini ensimmäisellä neljänneksellä on positiivinen. Emme muuta toimintoa yhteistoiminnaksi, koska meillä on 360 astetta, mikä tarkoittaa: Tässä on toinen lisävahvistus siitä, että vierekkäisten kulmien sinit ovat yhtä suuret: Kulma on toisella neljänneksellä, sini toisella neljänneksellä on positiivinen. Emme muuta funktiota yhteisfunktioksi, koska meillä on 180 astetta, mikä tarkoittaa: Jatkossa jaksollisuuden, tasaisuuden (outdity) ominaisuuden avulla voit helposti määrittää minkä tahansa kulman arvon: 1050 0 , -750 0 , 2370 0 ja muut. Tästä tulee jatkossa artikkeli, älä missaa sitä! Kun käytän pelkistyskaavoja ongelmien ratkaisemisessa, viittaan ehdottomasti tähän artikkeliin, jotta voit aina päivittää yllä esitetyn teorian muistissasi. Siinä kaikki. Toivottavasti materiaalista oli sinulle hyötyä. Hanki artikkelimateriaali PDF-muodossa Ystävällisin terveisin Alexander.
P.S: Olisin kiitollinen, jos kertoisit sivustosta sosiaalisessa mediassa.
kulman `\alpha` se siirtyy pisteeseen `A_1(x, y)` ja kulman `\frac (\pi)2 + \alpha` läpi käännettyään pisteeseen `A_2(-y,x)` . Pudottamalla kohtisuorat näistä pisteistä linjalle OX, näemme, että kolmiot `OA_1H_1` ja `OA_2H_2` ovat yhtä suuret, koska niiden hypotenuusat ja vierekkäiset kulmat ovat yhtä suuret. Sitten voidaan sinin ja kosinin määritelmien perusteella kirjoittaa "sin \alpha=y", "cos \alpha=x", "sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x", "cos". (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. Kuinka voidaan kirjoittaa, että ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` ja ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, mikä todistaa vähennyksen kaavat kulman `\frac (\pi)2 + \alpha` sinille ja kosinille.
