Opetusvideo "Yksinkertaistaminen trigonometriset lausekkeet» on suunniteltu kehittämään opiskelijoiden taitoja trigonometristen tehtävien ratkaisemisessa trigonometristen perusidentiteettien avulla. Videotunnilla tarkastellaan trigonometristen identiteettien tyyppejä, esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta niiden avulla. Visuaalisia apuvälineitä käyttämällä opettajan on helpompi saavuttaa oppitunnin tavoitteet. Materiaalin elävä esitys edistää ulkoa oppimista tärkeitä kohtia. Animaatiotehosteiden ja ääninäyttelijän käyttö mahdollistaa opettajan korvaamisen kokonaan materiaalin selittämisvaiheessa. Siten käyttämällä tätä visuaalista apuvälinettä matematiikan tunneilla opettaja voi lisätä opetuksen tehokkuutta.

Videotunnin alussa sen aihe ilmoitetaan. Sitten muistutetaan aiemmin tutkitut trigonometriset identiteetit. Näytöllä näkyy yhtälöt sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, missä t≠π/2+πk kϵZ:lle, ctg t=cos t/sin t, totta kun t≠πk, missä kϵZ, tan t · ctg t=1, kun t≠πk/2, missä kϵZ, kutsutaan trigonometrisiksi perusidentiteeteiksi. On huomattava, että näitä identiteettejä käytetään usein ratkaistaessa ongelmia, joissa on tarpeen osoittaa tasa-arvo tai yksinkertaistaa ilmaisua.

Lisäksi tarkastellaan esimerkkejä näiden identiteettien soveltamisesta ongelmien ratkaisemiseen. Ensinnäkin ehdotetaan, että pohditaan lausekkeiden yksinkertaistamisongelmien ratkaisemista. Esimerkissä 1 on tarpeen yksinkertaistaa lauseketta cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Esimerkin ratkaisemiseksi suluissa on ensin yhteinen kerroin cos 2 t. Tällaisen suluissa olevan muunnoksen tuloksena saadaan lauseke 1-cos 2 t, jonka arvo trigonometrian perusidentiteetistä on yhtä suuri kuin sin 2 t. Lausekkeen muuntamisen jälkeen on selvää, että yksi yhteinen tekijä sin 2 t voidaan ottaa pois suluista, jonka jälkeen lauseke saa muotoa sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t). Samasta perusidentiteetistä päätämme suluissa olevan lausekkeen arvon, joka on yhtä suuri kuin 1. Yksinkertaistamisen tuloksena saadaan cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

Esimerkissä 2 lauseke kustannus/(1- sint)+ kustannus/(1+ sint) on myös yksinkertaistettava. Koska lausekekustannus on molempien murtolukujen osoittajissa, se voidaan sulkea yhteisenä tekijänä. Sitten suluissa olevat murtoluvut vähennetään yhteiseksi nimittäjäksi kertomalla (1- sint)(1+ sint). Samankaltaisten termien vähentämisen jälkeen 2 jää osoittajaan ja 1 - sin 2 t nimittäjään. Näytön oikealla puolella haetaan perustrigonometristä identiteettiä sin 2 t+cos 2 t=1. Sen avulla löydämme osion cos 2 t nimittäjä. Murtoluvun pienentämisen jälkeen saamme yksinkertaistetun muodon lausekkeesta kustannus / (1- sint) + kustannus / (1 + sint) \u003d 2 / kustannus.

Seuraavaksi tarkastellaan esimerkkejä identiteetin todistamisesta, joissa hyödynnetään hankittua tietoa trigonometrian perusidentiteeteistä. Esimerkissä 3 on tarpeen todistaa identtisyys (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Näytön oikealla puolella näkyy kolme todistusta varten tarvittavaa identiteettiä - tg t ctg t=1, ctg t=cos t/sin t ja tg t=sin t/cost t rajoituksin. Identiteetin todistamiseksi sulut avataan ensin, minkä jälkeen muodostetaan tulo, joka heijastaa trigonometrisen pääidentiteetin ilmaisua tg t·ctg t=1. Sitten kotangentin määritelmän identiteetin mukaan ctg 2 t muunnetaan. Muutosten tuloksena saadaan lauseke 1-cos 2 t. Perusidentiteetin avulla löydämme lausekkeen arvon. Siten on todistettu, että (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

Esimerkissä 4 sinun on löydettävä lausekkeen tg 2 t+ctg 2 t arvo, jos tg t+ctg t=6. Lausekkeen arvioimiseksi yhtälön oikea ja vasen puoli (tg t+ctg t) 2 =6 2 neliötetään ensin. Lyhennetty kertolasku näkyy näytön oikealla puolella. Kun sulut avataan lausekkeen vasemmalla puolella, muodostuu summa tg 2 t+2 tg t ctg t+ctg 2 t, jonka muuntamiseen voidaan soveltaa yhtä trigonometrisista identiteeteistä tg t ctg t=1, jonka muoto näkyy näytön oikealla puolella. Muunnoksen jälkeen saadaan yhtälö tg 2 t+ctg 2 t=34. Tasa-arvon vasen puoli osuu yhteen tehtävän ehdon kanssa, joten vastaus on 34. Tehtävä on ratkaistu.

Videotuntia "Trigonometristen lausekkeiden yksinkertaistaminen" suositellaan käytettäväksi perinteisessä koulumatematiikan tunnissa. Materiaalista on hyötyä myös etäopiskelua suorittavalle opettajalle. Muodostaakseen trigonometristen ongelmien ratkaisutaidon.

TEKSTIN TULKINTA:

"Trigonometristen lausekkeiden yksinkertaistaminen".

Tasa-arvo

1)sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinineliö te plus kosinin neliö te on yhtä)

2) tgt =, kun t ≠ + πk, kϵZ (te:n tangentti on yhtä suuri kuin te:n sinin suhde te:n kosiniin, kun te ei ole yhtä kuin pi kahdella plus pi ka, ka kuuluu zet:hen)

3) ctgt = , kun t ≠ πk, kϵZ (te:n kotangentti on yhtä suuri kuin te:n kosinin suhde te:n siniin, kun te ei ole yhtä suuri kuin ka:n huippu, joka kuuluu z:hen).

4)tgt ∙ ctgt = 1 kun t ≠ , kϵZ

kutsutaan trigonometrisiksi perusidentiteeteiksi.

Usein niitä käytetään trigonometristen lausekkeiden yksinkertaistamiseen ja todistamiseen.

Harkitse esimerkkejä näiden kaavojen käytöstä, kun yksinkertaistat trigonometrisiä lausekkeita.

ESIMERKKI 1. Yksinkertaista lauseke: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (lauseke te:n neljännen asteen kosinin neliö miinus kosini plus te:n neljännen asteen sini).

Ratkaisu. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1 = sin 2 t

(otamme pois yhteistekijän kosinin neliö te, suluissa saadaan erotus ykseyden ja kosinin te neliön välillä, joka on yhtä suuri kuin sinin te neliö ensimmäisellä identiteetillä. Saamme neljännen sinin summan kosinin neliön te ja sinineliön te tulon aste te. Hakasulkujen ulkopuolelta otetaan pois yhteiskerroin sinineliö te, suluissa saadaan kosinin ja sinin neliöiden summa, joka perustrigonometrisen mukaan identiteetti, on yhtä suuri kuin 1. Tuloksena saadaan sini te).

ESIMERKKI 2. Yksinkertaista lauseke: + .

(lauseke on kahden murtoluvun summa ensimmäisen kosinin te osoittajassa nimittäjässä yksi miinus sini te, toisen kosinin te osoittajassa toisen nimittäjässä plus sini te).

(Otamme yhteistekijän kosini te pois suluista ja suluissa tuomme sen yhteiseen nimittäjään, joka on yhden miinus sini te:n tulo plus sini te:llä.

Osoittimessa saamme: yksi plus sini te plus yksi miinus sini te, annamme samanlaisia, osoittaja on kaksi samankaltaisten tuomisen jälkeen.

Nimittäjässä voit soveltaa lyhennettyä kertolaskukaavaa (neliöiden erotus) ja saada erotuksen sini te:n yksikön ja neliön välillä, joka trigonometrisen perusidentiteetin mukaan

on yhtä suuri kuin kosinin te neliö. Kun vähennetään kosini te:llä, saadaan lopullinen vastaus: kaksi jaettuna kosinilla te).

Harkitse esimerkkejä näiden kaavojen käytöstä trigonometristen lausekkeiden todistuksessa.

ESIMERKKI 3. Todista identiteetti (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d sin 2 t (te:n tangentin neliöiden ja te:n sinin ja kotangentin neliön tulo te on yhtä suuri kuin te:n sinin neliö).

Todiste.

Muunnetaan tasa-arvon vasen puoli:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ = 1 - 2 t = sin 2 t

(Avataan sulut, aiemmin saadusta suhteesta tiedetään, että te:n tangentin neliöiden tulo te:n kotangentilla on yksi. Muista, että te:n kotangentti on yhtä kuin kosinin suhde te:n te siniin, mikä tarkoittaa, että kotangentin neliö on te:n kosinin neliön suhde te:n sinin neliöön.

Kun on vähennetty te:n sinineliöllä, saadaan yksikön ja te:n neliön kosinin ero, joka on yhtä suuri kuin te:n neliön sini). Q.E.D.

ESIMERKKI 4. Etsi lausekkeen tg 2 t + ctg 2 t arvo, jos tgt + ctgt = 6.

(te:n tangentin ja te:n kotangentin neliöiden summa, jos tangentin ja kotangentin summa on kuusi).

Ratkaisu. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Neliötetään molemmat alkuperäisen yhtälön osat:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (te:n tangentin ja te:n kotangentin summan neliö on kuusineliö). Muista lyhennetty kertolasku: Kahden suuren summan neliö on yhtä suuri kuin ensimmäisen neliö plus kaksi kertaa ensimmäisen ja toisen ja toisen neliö. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Saamme tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 .

Koska te:n tangentin ja te:n kotangentin tulo on yksi, niin tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (te:n tangentin ja te:n ja kahden kotangentin neliöiden summa on kolmekymmentäkuusi),

Sinun pyynnöstäsi.

6. Yksinkertaista lauseke:

Koska kulmien yhteisfunktiot, jotka täydentävät toisiaan 90° asti, ovat yhtä suuret, sitten korvaamme murtoluvun osoittajassa sin50°:lla cos40° ja käytämme osoittajaan kaksoisargumentin sinikaavaa. Saamme osoittajaan 5sin80°. Korvataan sin80° cos10°:lla, mikä mahdollistaa murto-osan pienentämisen.

Käytetyt kaavat: 1) sina = cos(90°-a); 2) sin2α=2sinαcosα.

7. AT aritmeettinen progressio, jonka ero on 12 ja kahdeksas termi on 54, etsi negatiivisten termien lukumäärä.

Ratkaisusuunnitelma. Tehdään kaava tämän etenemisen yhteiselle termille ja selvitetään, millä arvoilla n negatiivista termiä saadaan. Tätä varten meidän on löydettävä etenemisen ensimmäinen termi.

Meillä on d = 12, a 8 = 54. Kaavan a n \u003d a 1 + (n-1) ∙ d mukaan kirjoitamme:

a 8 =a 1 +7d. Korvaa käytettävissä olevat tiedot. 54 = a 1 +7∙12;

a 1 \u003d -30. Korvaa tämä arvo kaavaan a n =a 1 +(n-1)∙d

a n = -30+(n-1)∙12 tai a n = -30+12n-12. Yksinkertaistaa: a n \u003d 12n-42.

Etsimme negatiivisten termien määrää, joten meidän on ratkaistava epätasa-arvo:

a n<0, т.е. неравенство: 12n-42<0;

12n<42 ⇒ n<3,5. Из чего заключаем, что в данной прогрессии всего три отрицательных члена, т.е. n = 3.

8. Etsi seuraavan funktion alueet: y=x-|x|.

Laajennamme modulaarisia kiinnikkeitä. Jos x≥0, niin y=x-x ⇒ y=0. Kaavio toimii x-akselina origon oikealla puolella. Jos x<0, то у=х+х ⇒ у=2х. Графиком будет та часть прямой у=2х, которая лежит ниже оси Ох. Таким образом, график данной функции y=x-|x| есть объединение полупрямых. Областью значений служат все неположительные числа, т.е. E(y)=(-∞; 0].

9. Etsi oikeanpuoleisen pyöreän kartion sivupinta-ala, jos sen generatriisi on 18 cm ja pohjapinta-ala 36 cm 2.

Kartio, jossa on aksiaalinen leikkaus MAB, on annettu. Luodaan BM=18, S main. =36π. Kartion sivupinnan pinta-ala lasketaan kaavalla: S-puoli. \u003d πRl, jossa l on generatriisi ja on yhtä kuin 18 cm ehdon mukaan, R on kannan säde, löydämme kaavasta: S cr. = πR2. Meillä on S kr. = S pää. = 36π. Siten πR 2 =36π ⇒ R = 6.

Sitten S-puolella. =π∙6∙18 ⇒ S-puoli. \u003d 108π cm 2.

12. Ratkaisemme logaritmisen yhtälön. Murtoluku on yhtä suuri kuin 1, jos sen osoittaja on yhtä suuri kuin nimittäjä, ts.

lg(x 2 +5x+4) = 2lgx, kun lgx ≠ 0. Käytämme yhtälön oikealle puolelle logaritmin etumerkin alla olevan luvun asteen ominaisuutta: lg (x 2 +5x+4) = lgx 2, Nämä desimaalilogaritmit ovat yhtä suuret, joten luvun etumerkkien alla olevat luvut logaritmit ovat myös yhtä suuret, joten:

x2 +5x+4=x2, joten 5x=-4; saamme x=-0,8. Tätä arvoa ei kuitenkaan voida ottaa, koska vain positiiviset luvut voivat olla logaritmin etumerkin alla, joten tällä yhtälöllä ei ole ratkaisuja. Merkintä. ODZ:tä ei tarvitse löytää ratkaisun alusta (varaa aikaa!), On parempi tehdä tarkistus (kuten nyt) lopussa.

13. Laske lausekkeen (x o - y o) arvo, missä (x o; y o) on yhtälöjärjestelmän ratkaisu:

14. Ratkaise yhtälö:

Jos jaat sillä 2 ja murtoluvun osoittaja ja nimittäjä, saat selville kaksoiskulman tangentin kaavan. Saat yksinkertaisen yhtälön: tg4x=1.

15. Etsi funktion derivaatta: f(x)=(6x 2 -4x) 5 .

Meille on annettu monimutkainen toiminto. Määrittelemme sen yhdellä sanalla - se on tutkinto. Siksi kompleksisen funktion differentiaatiosäännön mukaan löydämme asteen derivaatan ja kerromme sen tämän asteen perustan derivaatalla kaavan mukaan:

(u n)' = n ∙ u n-1 ∙ u'.

f ‘(x)= 5(6x2 -4x) 4 ∙ (6x 2 -4x)' = 5 (6x 2 -4x) 4 ∙ (12x-4)=5(6x2-4x)4 ∙ 4(3x-1)=20(3x-1)(6x2-4x) 4 .

16. On löydettävä f ‘(1), jos funktio

17. Tasasivuisessa kolmiossa kaikkien puolittajien summa on 33√3 cm. Etsi kolmion pinta-ala.

Tasasivuisen kolmion puolittaja on sekä mediaani että korkeus. Siten tämän kolmion korkeuden BD pituus on

Etsitään suorakaiteen Δ ABD sivu AB. Koska sin60° = BD : AB, sitten AB = BD : sin60°.

18. Ympyrä on piirretty tasasivuiseen kolmioon, jonka korkeus on 12 cm. Etsi ympyrän pinta-ala.

Ympyrä (O; OD) on merkitty tasasivuiseen Δ ABC. Korkeus BD on myös puolittaja ja mediaani, ja ympyrän keskipiste, piste O, on BD:llä.

O - korkeuksien, puolittajien ja mediaanien leikkauspiste jakaa mediaanin BD suhteessa 2:1 ylhäältä laskettuna. Siksi OD=(1/3)BD=12:3=4. Ympyrän säde R=OD=4 cm Ympyrän pinta-ala S=πR 2 =π∙4 2 ⇒ S=16π cm 2.

19. Säännöllisen nelikulmaisen pyramidin sivureunat ovat 9 cm ja pohjan sivu 8 cm. Laske pyramidin korkeus.

Säännöllisen nelikulmaisen pyramidin kanta on neliö ABCD, MO-korkeuden kanta on neliön keskipiste.

20. Yksinkertaistaa:

Osoittajassa erotuksen neliö on kaventunut.

Kerroimme nimittäjän summad-ryhmittelymenetelmällä.

21. Laskea:

Jotta aritmeettinen neliöjuuri voidaan erottaa, juurilausekkeen on oltava täysi neliö. Esitämme juurimerkin alla olevaa lauseketta kahden lausekkeen erotuksen neliönä kaavan mukaan:

a2-2ab+b2=(a-b)2, olettaen, että a2+b2=10.

22. Ratkaise epäyhtälö:

Edustamme epätasa-arvon vasenta puolta tuotteena. Kahden kulman sinien summa on kaksi kertaa näiden kulmien puolisumman sinin ja näiden kulmien puolikkaan eron kosinin tulo:

Saamme:

Ratkaistaan ​​tämä epäyhtälö graafisesti. Valitsemme ne kaavion y=kustannuspisteet, jotka ovat suoran yläpuolella ja määritämme näiden pisteiden abskissat (näkyy varjostuksella).

23. Etsi kaikki funktion antiderivataatit: h(x)=cos 2 x.

Muunnamme tämän funktion alentamalla sen astetta kaavalla:

1+cos2α=2cos2α. Saamme funktion:

24. Etsi vektorin koordinaatit

25. Lisää aritmeettisia merkkejä tähtien sijaan, jotta saadaan oikea yhtäläisyys: (3 * 3) * (4 * 4) \u003d 31 - 6.

Väitetään: numero 25 pitäisi saada (31 - 6 \u003d 25). Kuinka saada tämä luku kahdesta "kolmiosta" ja kahdesta "neljästä" toimintamerkkien avulla?

Tietysti se on: 3 ∙ 3 + 4 ∙ 4 \u003d 9 + 16 \u003d 25. Vastaus E).

Oppitunti 1

Aihe: Arvosana 11 (kokeeseen valmistautuminen)

Trigonometristen lausekkeiden yksinkertaistaminen.

Yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisu. (2 tuntia)

Tavoitteet:

• Systematoida, yleistää, laajentaa opiskelijoiden tietoja ja taitoja, jotka liittyvät trigonometriakaavojen käyttöön ja yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisuun.

Varusteet tunnille:

Oppitunnin rakenne:

1. Orgmoment
2. Testaus kannettavissa tietokoneissa. Keskustelu tuloksista.
3. Trigonometristen lausekkeiden yksinkertaistaminen
4. Yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisu
5. Itsenäinen työ.
6. Yhteenveto oppitunnista. Kotitehtävän selitys.

1. Järjestäytymishetki. (2 minuuttia.)

Opettaja tervehtii yleisöä, ilmoittaa oppitunnin aiheen, muistuttaa, että tehtävänä oli aiemmin toistaa trigonometriakaavat ja asettaa opiskelijat testaukseen.

2. Testaus. (15min + 3min keskustelu)

Tavoitteena on testata trigonometristen kaavojen tuntemusta ja kykyä soveltaa niitä. Jokaisella opiskelijalla on pöydällä kannettava tietokone, jossa on testivaihtoehto.

Vaihtoehtoja voi olla useita, annan esimerkin yhdestä:

I vaihtoehto.

Yksinkertaista ilmaisuja:

a) trigonometriset perusidentiteetit

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) summauskaavat

3. sin5x - sin3x;

c) tuotteen muuntaminen summaksi

6. 2sin8y cos3y;

d) kaksoiskulmakaavat

7.2sin5x cos5x;

e) puolikulmakaavat

f) kolmoiskulmakaavat

g) universaali korvaaminen

h) tutkinnon alentaminen

16. cos 2 (3x/7);

Oppilaat, jotka käyttävät kannettavaa tietokonetta jokaisen kaavan edessä, näkevät vastauksensa.

Työ tarkistetaan välittömästi tietokoneella. Tulokset näkyvät suurella näytöllä kaikkien nähtäville.

Myös työn päätyttyä oikeat vastaukset näkyvät opiskelijoiden kannettavissa tietokoneissa. Jokainen oppilas näkee, missä virhe on tehty ja mitä kaavoja hänen on toistettava.

3. Trigonometristen lausekkeiden yksinkertaistaminen. (25 min.)

Tavoitteena on toistaa, työstää ja vahvistaa trigonometrian peruskaavojen soveltamista. Tehtävän B7 ratkaiseminen tentistä.

Tässä vaiheessa on suositeltavaa jakaa luokka vahvojen (työskentely itsenäisesti ja myöhemmän varmennus) ja heikkojen oppilaiden ryhmiin, jotka työskentelevät opettajan kanssa.

Tehtävä vahvoille opiskelijoille (valmistettu etukäteen painettuna). Pääpaino on pienennys- ja kaksoiskulmakaavoissa USE 2011:n mukaisesti.

Yksinkertaista ilmaisuja (vahville oppijoille):

Samanaikaisesti opettaja työskentelee heikkojen opiskelijoiden kanssa, keskustelee ja ratkaisee tehtäviä ruudulla oppilaiden sanelussa.

Laskea:

5) sin(270º - α) + cos (270º + α)

6)

Yksinkertaistaa:

Oli vuoro keskustella vahvan ryhmän työn tuloksista.

Vastaukset ilmestyvät näytölle, ja myös videokameran avulla näytetään 5 eri opiskelijan työtä (yksi tehtävä kullekin).

Heikko ryhmä näkee ehdon ja ratkaisutavan. Siellä on keskustelua ja analyysiä. Teknisiä keinoja käyttämällä tämä tapahtuu nopeasti.

4. Yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisu. (30 minuuttia.)

Tavoitteena on toistaa, systematisoida ja yleistää yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisut kirjaamalla niiden juuret muistiin. Ongelman B3 ratkaisu.

Mikä tahansa trigonometrinen yhtälö, riippumatta siitä, kuinka sen ratkaisemme, johtaa yksinkertaisimpaan.

Tehtävää suorittaessaan opiskelijan tulee kiinnittää huomiota yksittäistapausten ja yleisen muodon yhtälöiden juurien kirjoittamiseen ja juurien valintaan viimeisessä yhtälössä.

Ratkaise yhtälöt:

Kirjoita muistiin vastauksen pienin positiivinen juuri.

5. Itsenäinen työskentely (10 min.)

Tavoitteena on testata hankittuja taitoja, tunnistaa ongelmat, virheet ja keinot niiden poistamiseksi.

Tarjolla on monipuolista työtä opiskelijan valinnan mukaan.

Vaihtoehto "3"

1) Etsi lausekkeen arvo

2) Yksinkertaista lauseke 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Ratkaise yhtälö

Vaihtoehto "4"

1) Etsi lausekkeen arvo

2) Ratkaise yhtälö Kirjoita muistiin vastauksesi pienin positiivinen juuri.

Vaihtoehto "5"

1) Etsi tgα if

2) Etsi yhtälön juuri Kirjoita muistiin vastauksesi pienin positiivinen juuri.

6. Oppitunnin yhteenveto (5 min.)

Opettaja tiivistää sen, että oppitunnilla toistettiin ja vahvistettiin trigonometrisiä kaavoja, yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisua.

Kotitehtävät annetaan (valmistellaan painettuna etukäteen) paikan päällä seuraavalla oppitunnilla.

Ratkaise yhtälöt:

9)

10) Anna vastauksesi pienimpänä positiivisena juurena.

Oppitunti 2

Aihe: Arvosana 11 (kokeeseen valmistautuminen)

Trigonometristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät. Juuren valinta. (2 tuntia)

Tavoitteet:

• Yleistää ja systematisoida tietoa erilaisten trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisesta.
• Edistää opiskelijoiden matemaattisen ajattelun kehittymistä, kykyä havainnoida, vertailla, yleistää, luokitella.
• Kannustaa opiskelijoita voittamaan henkisen toiminnan prosessissa olevat vaikeudet, hallitsemaan itseään ja tarkastelemaan toimintaansa.

Varusteet tunnille: KRMu, kannettavat tietokoneet jokaiselle opiskelijalle.

Oppitunnin rakenne:

1. Orgmoment
2. Keskustelu d / s ja samot. viimeisen oppitunnin työ
3. Trigonometristen yhtälöiden ratkaisumenetelmien toisto.
4. Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen
5. Juurien valinta trigonometrisissa yhtälöissä.
6. Itsenäinen työ.
7. Yhteenveto oppitunnista. Kotitehtävät.

1. Järjestämishetki (2 min.)

Opettaja tervehtii yleisöä, ilmoittaa oppitunnin aiheen ja työsuunnitelman.

2. a) Kotitehtävien analyysi (5 min.)

Tavoitteena on tarkistaa suorituskyky. Yksi videokameran avulla tehty teos näkyy näytöllä, loput kerätään valikoivasti opettajan tarkastettavaksi.

b) Itsenäisen työn analyysi (3 min.)

Tavoitteena on selvittää virheet, osoittaa tapoja voittaa ne.

Näytöllä ovat vastaukset ja ratkaisut, opiskelijat ovat ennakkoon julkaisseet työnsä. Analyysi etenee nopeasti.

3. Trigonometristen yhtälöiden ratkaisumenetelmien toisto (5 min.)

Tavoitteena on palauttaa mieleen menetelmiä trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi.

Kysy oppilailta, mitä trigonometristen yhtälöiden ratkaisumenetelmiä he tietävät. Korosta, että on olemassa niin sanottuja (usein käytettyjä) perusmenetelmiä:

• muuttuva korvaus,
• faktorointi,
• homogeeniset yhtälöt,

ja käytössä on menetelmiä:

• kaavojen mukaan, joilla summa muunnetaan tuloksi ja tulo summaksi,
• pelkistyskaavojen mukaan,
• universaali trigonometrinen substituutio
• apukulman käyttöönotto,
• kertominen jollakin trigonometrisellä funktiolla.

On myös muistettava, että yksi yhtälö voidaan ratkaista eri tavoin.

4. Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen (30 min.)

Tavoitteena on yleistää ja lujittaa tietoa ja taitoja tästä aiheesta, valmistautua C1-ratkaisuun USE:sta.

Pidän tarkoituksenmukaisena ratkaista kunkin menetelmän yhtälöt yhdessä opiskelijoiden kanssa.

Opiskelija sanelee ratkaisun, opettaja kirjoittaa muistiin tabletille, koko prosessi näkyy näytöllä. Näin voit nopeasti ja tehokkaasti palauttaa aiemmin peitetyn materiaalin muistiisi.

Ratkaise yhtälöt:

1) muuttujan muutos 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) kerroin 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homogeeniset yhtälöt sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) muunnetaan summa tuloksi cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) muunnetaan tulo summaksi 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) sin2x asteen alentaminen - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) universaali trigonometrinen substituutio sinx + 5cosx + 5 = 0.

Tätä yhtälöä ratkaistaessa on huomattava, että tämän menetelmän käyttö johtaa määritelmäalueen kaventumiseen, koska sini ja kosini korvataan tg(x/2). Siksi ennen vastauksen kirjoittamista on tarkistettava, ovatko joukon π + 2πn, n Z numerot tämän yhtälön hevosia.

8) apukulman käyttöönotto √3sinx + cosx - √2 = 0

9) kertominen jollakin trigonometrisellä funktiolla cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Trigonometristen yhtälöiden juurien valinta (20 min.)

Koska kovan kilpailun olosuhteissa yliopistoihin tullessa yhden tentin ensimmäisen osan ratkaisu ei riitä, useimpien opiskelijoiden tulee kiinnittää huomiota toisen osan (C1, C2, C3) tehtäviin.

Siksi tämän oppitunnin vaiheen tarkoituksena on palauttaa mieleen aiemmin opiskeltu materiaali, valmistautua vuoden 2011 USE:n tehtävän C1 ratkaisemiseen.

On olemassa trigonometrisiä yhtälöitä, joissa sinun on valittava juuret, kun kirjoitat vastausta. Tämä johtuu joistakin rajoituksista, esimerkiksi: murto-osan nimittäjä ei ole nolla, parillisen asteen juuren alla oleva lauseke on ei-negatiivinen, logaritmin merkin alla oleva lauseke on positiivinen jne.

Tällaisia ​​yhtälöitä pidetään monimutkaisempina yhtälöinä ja USE-versiossa ne ovat toisessa osassa, nimittäin C1.

Ratkaise yhtälö:

Murtoluku on nolla, jos silloin yksikköympyrän avulla valitsemme juuret (katso kuva 1)

Kuva 1.

saamme x = π + 2πn, n Z

Vastaus: π + 2πn, n Z

Ruudulla juurien valinta näkyy ympyrässä värikuvassa.

Tulo on yhtä suuri kuin nolla, kun ainakin yksi tekijöistä on yhtä suuri kuin nolla, ja kaari ei samalla menetä merkitystään. Sitten

Valitse juuret yksikköympyrän avulla (katso kuva 2)