Aplikacija

Rješenje izvedenice na sajtu za objedinjavanje materijala koji obrađuju studenti i školarci. Izračunavanje derivacije funkcije u nekoliko sekundi nije teško ako koristite našu online uslugu rješavanja problema. Olovo detaljna analiza temeljno proučavanje praktična lekcija svaki treći učenik može. Često nam se obraća odeljenje resornog odeljenja za promociju matematike u obrazovne institucije zemlje. Kako, u ovom slučaju, da ne spominjemo rješenje derivacije na mreži za zatvoreni prostor numeričkih nizova. Mnogim bogatim pojedincima je dozvoljeno da izraze svoje čuđenje. Ali u međuvremenu, matematičari ne sjede mirno i naporno rade. Promjenu ulaznih parametara prema linearnim karakteristikama prihvatit će kalkulator derivata uglavnom zbog supreme silazne pozicije kocke. Rezultat je neizbježan kao površina. Kao početni podaci, online derivat eliminira potrebu za poduzimanjem nepotrebnih koraka. Osim fiktivnih domaćih zadataka. Pored činjenice da je rješenje izvedenica online neophodno i važan aspekt učeći matematiku, učenici se često ne sjećaju zadataka iz prošlosti. Učenik, kao lijeno stvorenje, to razumije. Ali studenti su smiješni ljudi! Ili to učinite prema pravilima, ili derivacija funkcije u nagnutoj ravni može dati ubrzanje materijalnoj tački. Usmjerimo negdje vektor silaznog prostornog snopa. U željenom odgovoru, pronalaženje derivacije izgleda kao apstraktan teorijski pravac zbog nestabilnosti matematičkog sistema. Zamislite omjer brojeva kao niz neiskorištenih opcija. Komunikacijski kanal je dopunjen petom linijom duž silaznog vektora od točke zatvorene bifurkacije kocke. Na ravni zakrivljenih prostora, rješavanje izvedenice na mreži dovodi nas do zaključka koji je natjerao najveće umove planete na razmišljanje u prošlom stoljeću. U toku dešavanja iz oblasti matematike u javnu raspravu izneto je pet suštinski važnih faktora koji doprinose poboljšanju pozicije izbora varijable. Dakle, zakon za bodove kaže da se online derivat ne obračunava detaljno u svakom slučaju, samo trenutak lojalnog napredovanja može biti izuzetak. Prognoza nas je dovela do novog kruga razvoja. Potreban nam je rezultat. U liniji matematičke kosine koja prolazi ispod površine, kalkulator derivacija načina nalazi se u području sjecišta proizvoda na skupu za savijanje. Ostaje da se analizira diferencijacija funkcije u njenoj nezavisnoj tački u blizini epsilon susjedstva. To svi mogu vidjeti u praksi. Kao rezultat toga, u sljedećoj fazi programiranja će se nešto odlučiti. Studentu je potreban online derivat kao i uvijek, bez obzira na imaginarne studije koje se praktikuju. Pokazalo se da online rješenje funkcije derivacije pomnoženo konstantom ne mijenja opći smjer kretanja materijalne točke, već karakterizira povećanje brzine u pravoj liniji. U tom smislu, bit će korisno primijeniti naš kalkulator izvedenica i izračunati sve vrijednosti funkcije na cijelom skupu njene definicije. Jednostavno nema potrebe za proučavanjem talasa sile gravitacionog polja. Ni u kom slučaju rješenje za online derivate neće pokazati nagib izlaznog snopa, ali samo u rijetkim slučajevima, kada je to zaista neophodno, studenti mogu to zamisliti. Istražujemo direktora. Vrijednost najmanjeg rotora je predvidljiva. Primijenite na rezultat desno okrenute linije koje opisuju loptu, ali online kalkulator derivata, ovo je osnova za brojke posebne jačine i nelinearne zavisnosti. Izveštaj matematičkog projekta je spreman. Lične karakteristike razlika najmanjih brojeva i derivacija funkcije duž y osi će dovesti konkavnost iste funkcije do visine. Postoji pravac - postoji zaključak. Teoriju je lakše primijeniti u praksi. Postoji prijedlog studenata o vremenu početka studija. Potreban mi je odgovor nastavnika. Opet, kao iu prethodnoj poziciji, matematički sistem nije reguliran na osnovu radnje koja će pomoći u pronalaženju izvoda.Kao niža polulinearna verzija, online izvod će detaljno naznačiti identifikaciju rješenja prema degenerisani uslovni zakon. Samo iznesite ideju o izračunavanju formula. Linearna diferencijacija funkcije odbacuje istinitost rješenja jednostavnim izlaganjem irelevantnih pozitivnih varijacija. Važnost znakova poređenja smatrat će se kontinuiranim prekidom funkcije duž ose. To je važnost najsvjesnijeg zaključka, prema studentu, u kojem je online derivat nešto drugo nego lojalni primjer matematičke analize. Radijus zakrivljene kružnice u euklidskom prostoru, naprotiv, dao je kalkulatoru derivata prirodan prikaz razmjene odlučujućih problema za stabilnost. najbolja metoda pronađeno. Bilo je lakše podići zadatak. Neka primjenljivost proporcije nezavisne razlike dovede do rješenja izvedenica na mreži. Rješenje se rotira oko x-ose, opisujući lik kruga. Izlaz postoji, a baziran je na istraživanju koje teoretski podržavaju studenti, iz kojeg svi uče, a čak i u tim trenucima postoji derivat funkcije. Našli smo način za napredak i učenici su to potvrdili. Možemo sebi priuštiti da pronađemo izvod bez prevazilaženja neprirodnog pristupa transformaciji matematičkog sistema. Lijevi znak proporcionalnosti raste sa geometrijskim nizom as matematičko predstavljanje online kalkulator izvoda zbog nepoznate okolnosti linearnih faktora na beskonačnoj y-osi. Matematičari širom svijeta dokazali su ekskluzivnost proizvodnog procesa. Unutar kruga se nalazi najmanji kvadrat prema opisu teorije. Opet, online derivat će elaborirati našu pretpostavku o tome šta je uopće moglo utjecati na teorijski rafinirano mišljenje. Bilo je mišljenja drugačije prirode od izvještaja koji smo analizirali. Odvojena pažnja se možda neće desiti studentima naših fakulteta, ali samo ne pametnim i naprednim matematičarima kod kojih je diferencijacija funkcije samo izgovor. Mehaničko značenje izvedenice je vrlo jednostavno. Sila dizanja se izračunava kao onlajn derivat za stabilne prostore koji se spuštaju nadole u vremenu. Definitivno kalkulator derivata rigorozni proces opisivanja problema degeneracije umjetna transformacija kao amorfno telo. Prva derivacija govori o promjeni kretanja materijalne tačke. Trodimenzionalni prostor se očito posmatra u kontekstu posebno obučenih tehnologija za rješavanje izvedenica online, zapravo ga ima na svakom kolokvijumu na temu matematičke discipline. Drugi izvod karakterizira promjenu brzine materijalne tačke i određuje ubrzanje. Meridijanski pristup zasnovan na upotrebi afine transformacije vodi do novi nivo derivacija funkcije u tački iz domena ove funkcije. Online kalkulator izvedenica ne može biti bez brojeva i simboličke notacije u nekim slučajevima do pravog izvršnog trenutka, osim transformabilnog rasporeda stvari zadatka. Iznenađujuće, postoji drugo ubrzanje materijalne tačke, što karakterizira promjenu ubrzanja. Za kratko vreme ćemo početi da proučavamo rešenje izvedenice online, ali čim se dostigne određena prekretnica u znanju, naš student će zaustaviti ovaj proces. Najbolji lijek networking je živa komunikacija na matematičku temu. Postoje principi koji se ne smiju kršiti ni pod kojim okolnostima, ma koliko težak zadatak bio. Korisno je pronaći derivat online na vrijeme i bez grešaka. Ovo će dovesti do nove pozicije matematičkog izraza. Sistem je stabilan. fizičko značenje derivat nije toliko popularan kao mehanički. Malo je vjerojatno da se itko sjeća kako je online izvedenica detaljno prikazala na ravni obris linija funkcije na normalu iz trokuta koji se nalazi uz x-os. Čovjek zaslužuje veliku ulogu u istraživanjima prošlog stoljeća. Izvršimo u tri elementarne etape diferencijaciju funkcije u tačkama, kako iz domena definicije tako i u beskonačnosti. Biće u pisanoj formi samo u oblasti studija, ali će možda zauzeti mesto glavnog vektora u matematici i teoriji brojeva, čim se desi povezaće onlajn kalkulator derivata sa problemom. Postojao bi razlog, ali će postojati razlog da se sastavi jednačina. Vrlo je važno imati na umu sve ulazne parametre. Najbolje se ne uzima uvijek u čelo, iza toga je kolosalna količina rada najbolji umovi ko je znao kako se online derivat izračunava u svemiru. Od tada se konveksnost smatra svojstvom kontinuirane funkcije. Ipak, bolje je prvo postaviti zadatak rješavanja izvedenica online u najkraćem mogućem roku. Tako će rješenje biti kompletno. Pored neispunjenih normi, to se ne smatra dovoljnim. U početku, gotovo svaki student predlaže iznošenje jednostavne metode o tome kako derivacija funkcije uzrokuje kontroverzan algoritam rasta. U pravcu uzlazne grede. Ima smisla kao opšti položaj. Ranije su označavali početak završetka određene matematičke radnje, a danas će biti obrnuto. Možda će rješenje izvedenice online ponovo pokrenuti pitanje i prihvatiti zajedničko mišljenje o njegovom očuvanju na raspravi na sastanku nastavnika. Nadamo se razumijevanju sa svih strana učesnika sastanka. Logički smisao sadržan je u opisu kalkulatora izvedenica u rezonanciji brojeva o redosledu izlaganja misli problema, na koji su u prošlom veku odgovorili veliki naučnici sveta. To će vam pomoći da izdvojite kompleksnu varijablu iz konvertovanog izraza i pronađete derivat na mreži za izvođenje masovne akcije istog tipa. Istina je mnogo bolja od nagađanja. Najmanja vrijednost u trendu. Rezultat neće dugo čekati kada koristite jedinstvenu uslugu za najprecizniju lokaciju, za koju postoji detaljan online derivat. Indirektno, ali do tačke, kako reče jedan mudar čovjek, na zahtjev mnogih studenata iz različitih gradova Sindikata kreiran je online kalkulator derivata. Ako postoji razlika, zašto onda odlučivati ​​dvaput. Dati vektor leži na istoj strani kao i normala. Sredinom prošlog stoljeća diferencijacija funkcije se nikako nije doživljavala kao danas. Zahvaljujući razvoju koji je u toku, pojavila se online matematika. Vremenom učenici zaborave da pridaju priznanje matematičkim disciplinama. Rješenje izvedenice online dovest će u pitanje našu tezu, s pravom zasnovanu na primjeni teorije, potkrijepljenoj praktičnim znanjem. Ići će dalje od postojeće vrijednosti faktora prezentacije i napisati formulu u eksplicitnom obliku za funkciju. Dešava se da morate odmah pronaći izvedenicu na mreži bez korištenja ikakvog kalkulatora, međutim, uvijek možete pribjeći triku učenika i dalje koristiti takvu uslugu kao web stranicu. Tako će učenik uštedjeti dosta vremena na kopiranju primjera iz nacrta sveske u konačni oblik. Ako nema kontradikcija, onda koristite uslugu rješenja korak po korak za tako složene primjere.

Izračun izvoda jedna od najvažnijih operacija u diferencijalni račun. Ispod je tabela za pronalaženje izvedenica jednostavne funkcije. Više komplikovana pravila diferencijaciju, pogledajte ostale lekcije:

• Tablica izvoda eksponencijalnih i logaritamskih funkcija

Koristite date formule kao referentne vrijednosti. Oni će pomoći u rješavanju diferencijalnih jednadžbi i problema. Na slici, u tabeli derivacija jednostavnih funkcija, nalazi se "cheat sheet" glavnih slučajeva pronalaženja izvoda u obliku koji je razumljiv za upotrebu, pored nje su objašnjenja za svaki slučaj.

Derivati ​​jednostavnih funkcija

1. Derivat broja je nula
s´ = 0
primjer:
5' = 0

Objašnjenje:
Izvod pokazuje brzinu kojom se mijenja vrijednost funkcije kada se promijeni argument. Pošto se broj ni na koji način ne menja ni pod kojim uslovima, brzina njegove promene je uvek nula.

2. Derivat varijable jednako jedan
x' = 1

Objašnjenje:
Sa svakim povećanjem argumenta (x) za jedan, vrijednost funkcije (rezultat proračuna) raste za isti iznos. Dakle, brzina promjene vrijednosti funkcije y = x je tačno jednaka brzini promjene vrijednosti argumenta.

3. Izvod varijable i faktora jednak je ovom faktoru
sx´ = s
primjer:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Objašnjenje:
U ovom slučaju, svaki put argument funkcije ( X) njegova vrijednost (y) raste With jednom. Dakle, stopa promjene vrijednosti funkcije u odnosu na brzinu promjene argumenta je tačno jednaka vrijednosti With.

Otkud to sledi
(cx + b)" = c
odnosno diferencijal linearne funkcije y=kx+b jednak je nagibu prave linije (k).

4. Modulo derivat varijable jednak je količniku ove varijable prema njenom modulu
|x|"= x / |x| pod uslovom da je x ≠ 0
Objašnjenje:
Budući da je derivacija varijable (vidi formulu 2) jednaka jedan, derivacija modula se razlikuje samo po tome što se vrijednost brzine promjene funkcije mijenja u suprotno pri prelasku početne točke (pokušajte nacrtati graf funkcije y = |x| i uvjerite se. Ovo je upravo vrijednost i vraća izraz x / |x| Kada je x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - jedan. To jest, u negativne vrijednosti varijable x sa svakim povećanjem promjene argumenta, vrijednost funkcije se smanjuje za potpuno istu vrijednost, a za pozitivne, naprotiv, raste, ali za potpuno istu vrijednost.

5. Izvod snage varijable jednak je proizvodu broja ovog stepena i varijable u stepenu, umanjenom za jedan
(x c)"= cx c-1, pod uslovom da su x c i cx c-1 definisani i c ≠ 0
primjer:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Da zapamtite formulu:
Uzmite eksponent varijable "dolje" kao množitelj, a zatim smanjite sam eksponent za jedan. Na primjer, za x 2 - dva je bila ispred x, a onda nam je smanjena snaga (2-1 = 1) samo dala 2x. Isto se dogodilo i za x 3 - snizimo trojku, smanjimo je za jedan, a umjesto kocke imamo kvadrat, odnosno 3x 2 . Malo "nenaučno", ali vrlo lako za pamćenje.

6.Derivat frakcije 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
primjer:
Pošto se razlomak može predstaviti kao povećanje do negativan stepen
(1/x)" = (x -1)" , tada možete primijeniti formulu iz pravila 5 tabele derivata
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Derivat frakcije sa promenljivom proizvoljnog stepena u nazivniku
(1/x c)" = - c / x c+1
primjer:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. korijen derivat(derivacija varijable ispod kvadratnog korijena)
(√x)" = 1 / (2√x) ili 1/2 x -1/2
primjer:
(√x)" = (x 1/2)" tako da možete primijeniti formulu iz pravila 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Derivat varijable pod korijenom proizvoljnog stepena
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)

Problem nalaženja derivacije date funkcije jedan je od glavnih u predmetu matematike u srednjoj školi i na visokoškolskim ustanovama. Nemoguće je u potpunosti istražiti funkciju, izgraditi njen graf bez uzimanja njene derivacije. Izvod funkcije se lako može pronaći ako poznajete osnovna pravila diferencijacije, kao i tablicu izvoda glavnih funkcija. Hajde da shvatimo kako pronaći derivaciju funkcije.

Derivat funkcije naziva se granica omjera prirasta funkcije i priraštaja argumenta kada inkrement argumenta teži nuli.

Prilično je teško razumjeti ovu definiciju, budući da se koncept granice ne proučava u potpunosti u školi. Ali da bismo pronašli izvode različitih funkcija, nije potrebno razumjeti definiciju, prepustimo to matematičarima i idemo direktno na pronalaženje izvoda.

Proces pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija. Kada diferenciramo funkciju, dobićemo novu funkciju.

Za njihovo označavanje koristit ćemo latinična slova f, g itd.

Postoji mnogo različitih notacija za derivate. Koristićemo udar. Na primjer, unos g" znači da ćemo pronaći derivaciju funkcije g.

Tabela derivata

Da bi se odgovorilo na pitanje kako pronaći izvod, potrebno je dati tabelu izvoda glavnih funkcija. Za izračunavanje derivata elementarne funkcije nije potrebno izvoditi složene proračune. Dovoljno je samo pogledati njegovu vrijednost u tabeli derivata.

1. (sinx)"=cosx
2. (cos x)"= -sin x
3. (xn)"=nxn-1
4. (pr.)"=pr
5. (lnx)"=1/x
6. (a x)"=a x ln a
7. (log a x)"=1/x ln a
8. (tg x)"=1/cos 2 x
9. (ctg x)"= - 1/sin 2 x
10. (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
11. (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
12. (arctg x)"= 1/(1+x 2)
13. (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

Primjer 1. Pronađite izvod funkcije y=500.

Vidimo da je to konstanta. Prema tabeli izvoda, poznato je da je izvod konstante jednak nuli (formula 1).

Primjer 2. Pronađite izvod funkcije y=x 100 .

to funkcija snage u kojoj je eksponent 100 i da biste pronašli njegovu derivaciju, trebate pomnožiti funkciju sa eksponentom i smanjiti je za 1 (formula 3).

(x 100)"=100 x 99

Primjer 3. Naći derivaciju funkcije y=5 x

Ovo je eksponencijalna funkcija, izračunavamo njen izvod pomoću formule 4.

Primjer 4. Naći izvod funkcije y= log 4 x

Izvod logaritma nalazimo koristeći formulu 7.

(log 4 x)"=1/x log 4

Pravila diferencijacije

Hajde sada da shvatimo kako pronaći derivaciju funkcije ako je nema u tabeli. Većina istraživanih funkcija nisu elementarne, već su kombinacije elementarnih funkcija pomoću najjednostavnijih operacija (sabiranje, oduzimanje, množenje, dijeljenje i množenje brojem). Da biste pronašli njihove derivate, morate znati pravila diferencijacije. Nadalje, slova f i g označavaju funkcije, a C je konstanta.

1. Konstantni koeficijent se može izvaditi iz predznaka izvoda

Primjer 5. Pronađite izvod funkcije y= 6*x 8

Izvadimo konstantni koeficijent 6 i razlikujemo samo x 4 . Ovo je funkcija stepena, čiju derivaciju nalazimo prema formuli 3 tabele derivacija.

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. Derivat zbira jednak je zbiru izvoda

(f + g)"=f" + g"

Primjer 6. Naći izvod funkcije y= x 100 + sin x

Funkcija je zbir dviju funkcija čije izvode možemo pronaći iz tabele. Pošto je (x 100)"=100 x 99 i (sin x)"=cos x. Derivat sume će biti jednak zbiru ovih izvoda:

(x 100 + sin x)"= 100 x 99 + cos x

3. Derivat razlike jednak je razlici izvoda

(f – g)"=f" – g"

Primjer 7. Naći izvod funkcije y= x 100 - cos x

Ova funkcija je razlika dvije funkcije čije izvode također možemo pronaći iz tabele. Tada je derivacija razlike jednaka razlici derivacija i ne zaboravite promijeniti predznak, jer (cos x) "= - sin x.

(x 100 - cos x) "= 100 x 99 + sin x

Primjer 8. Pronađite izvod funkcije y=e x +tg x– x 2 .

Ova funkcija ima i zbroj i razliku, nalazimo izvode svakog člana:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Tada je izvod originalne funkcije:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Derivat proizvoda

(f * g)"=f" * g + f * g"

Primjer 9. Naći izvod funkcije y= cos x *e x

Da biste to učinili, prvo pronađite izvod svakog faktora (cos x)"=–sin x i (e x)"=e x . Sada zamenimo sve u formulu proizvoda. Pomnožite derivaciju prve funkcije s drugom i dodajte proizvod prve funkcije s izvodom druge.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. Derivat količnika

(f / g) "= f" * g - f * g "/ g 2

Primjer 10. Naći izvod funkcije y= x 50 / sin x

Da biste pronašli izvod količnika, prvo pronađite izvod brojnika i nazivnika odvojeno: (x 50)"=50 x 49 i (sin x)"= cos x. Zamjenom u formuli za izvod količnika dobijamo:

(x 50 / sin x) "= 50x 49 * sin x - x 50 * cos x / sin 2 x

Derivat kompleksne funkcije

Kompleksna funkcija je funkcija predstavljena kompozicijom od nekoliko funkcija. Da biste pronašli derivaciju kompleksne funkcije, postoji i pravilo:

(u(v))"=u"(v)*v"

Pogledajmo kako pronaći derivaciju takve funkcije. Neka je y= u(v(x)) kompleksna funkcija. Funkcija u će se zvati eksterna, a v - unutrašnja.

Na primjer:

y=sin (x 3) je kompleksna funkcija.

Tada je y=sin(t) vanjska funkcija

t=x 3 - interni.

Pokušajmo izračunati derivaciju ove funkcije. Prema formuli, potrebno je pomnožiti izvode unutrašnje i vanjske funkcije.

(sin t)"=cos (t) - derivacija vanjske funkcije (gdje je t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - izvod unutrašnje funkcije

Tada je (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 izvod složene funkcije.

Apsolutno je nemoguće riješiti fizičke probleme ili primjere iz matematike bez znanja o derivatu i metodama za njegovo izračunavanje. Derivat je jedan od najvažnijih pojmova matematička analiza. Odlučili smo današnji članak posvetiti ovoj temeljnoj temi. Šta je derivat, šta je njegov fizički i geometrijsko značenje kako izračunati derivaciju funkcije? Sva ova pitanja mogu se spojiti u jedno: kako razumjeti derivat?

Geometrijsko i fizičko značenje izvedenice

Neka postoji funkcija f(x) , dato u nekom intervalu (a,b) . Točke x i x0 pripadaju ovom intervalu. Kada se x promijeni, mijenja se i sama funkcija. Promjena argumenta - razlika njegovih vrijednosti x-x0 . Ova razlika je zapisana kao delta x i naziva se povećanje argumenta. Promjena ili povećanje funkcije je razlika između vrijednosti funkcije u dvije točke. Definicija izvedenice:

Derivat funkcije u tački je granica omjera prirasta funkcije u datoj tački i priraštaja argumenta kada potonji teži nuli.

Inače se može napisati ovako:

Koja je svrha u pronalaženju takve granice? ali koji:

derivacija funkcije u tački jednaka je tangenti ugla između ose OX i tangente na graf funkcije u datoj tački.

Fizičko značenje izvedenice: vremenski izvod puta jednak je brzini pravolinijskog kretanja.

Zaista, još od školskih dana svi znaju da je brzina privatan put. x=f(t) i vrijeme t . Prosječna brzina u određenom vremenskom periodu:

Da biste saznali brzinu kretanja u jednom trenutku t0 morate izračunati granicu:

Prvo pravilo: izbacite konstantu

Konstanta se može izvaditi iz predznaka derivacije. Štaviše, to se mora uraditi. Prilikom rješavanja primjera iz matematike uzmite po pravilu - ako možete pojednostaviti izraz, budite sigurni da ste ga pojednostavili .

Primjer. Izračunajmo derivaciju:

Drugo pravilo: derivacija zbira funkcija

Derivat zbira dviju funkcija jednak je zbroju izvoda ovih funkcija. Isto vrijedi i za derivaciju razlike funkcija.

Nećemo dati dokaz ove teoreme, već ćemo razmotriti praktični primjer.

Pronađite derivaciju funkcije:

Treće pravilo: derivacija proizvoda funkcija

Derivat proizvoda dvije diferencijabilne funkcije izračunava se po formuli:

Primjer: pronađite derivaciju funkcije:

Rješenje:

Ovdje je važno reći o izračunavanju izvoda složenih funkcija. Derivat kompleksne funkcije jednak je proizvodu izvoda ove funkcije u odnosu na međuargument na derivaciju srednjeg argumenta u odnosu na nezavisnu varijablu.

U gornjem primjeru nailazimo na izraz:

U ovom slučaju, srednji argument je 8x na peti stepen. Da bismo izračunali derivaciju takvog izraza, prvo razmatramo derivaciju eksterne funkcije u odnosu na međuargument, a zatim množimo derivacijom samog međuargumena u odnosu na nezavisnu varijablu.

Četvrto pravilo: Derivat količnika dvije funkcije

Formula za određivanje derivacije kvocijenta dvije funkcije:

Pokušali smo da pričamo o derivatima za lutke od nule. Ova tema nije tako jednostavna kao što se čini, stoga budite upozoreni: u primjerima često postoje zamke, stoga budite oprezni pri izračunavanju izvedenica.

Za sva pitanja o ovoj i drugim temama možete se obratiti studentskoj službi. Per kratkoročno pomoći ćemo vam da riješite najteži test i da se nosite sa zadacima, čak i ako se nikada prije niste bavili izračunavanjem izvodnica.

Prikazan je dokaz i izvođenje formule za kosinusni izvod - cos(x). Primjeri izračunavanja derivata cos 2x, cos 3x, cos nx, kosinus na kvadrat, kub i na stepen n. Formula za derivaciju kosinusa n-tog reda.

Derivat u odnosu na varijablu x kosinusa od x jednak je minus sinus od x:
(cos x)′ = - sin x.

Dokaz

Da bismo izveli formulu za kosinusni izvod, koristimo definiciju derivacije:
.

Transformirajmo ovaj izraz da ga svedemo na poznate matematičke zakone i pravila. Da bismo to uradili, moramo znati četiri svojstva.
1) Trigonometrijske formule. Potrebna nam je sljedeća formula:
(1) ;
2) Svojstvo kontinuiteta sinusne funkcije:
(2) ;
3) Značenje prve izuzetne granice:
(3) ;
4) Granično svojstvo proizvoda dvije funkcije:
Ako i tada
(4) .

Primjenjujemo ove zakone do naših granica. Prvo transformiramo algebarski izraz
.
Za to primjenjujemo formulu
(1) ;
U našem slučaju
; . Onda
;
;
;
.

Hajde da napravimo zamenu. U , . Koristimo svojstvo kontinuiteta (2):
.

Napravimo istu zamjenu i primijenimo prvu divna granica (3):
.

Pošto gore izračunate granice postoje, primjenjujemo svojstvo (4):

.

Tako smo dobili formulu za izvod kosinusa.

Primjeri

Razmislite jednostavni primjeri nalaženje izvoda funkcija koje sadrže kosinus. Nađimo derivate sljedećih funkcija:
y = cos2x; y = cos 3x; y = cos nx; y= cos 2 x; y= cos 3 x i y= cos n x.

Primjer 1

Pronađite derivate od cos 2x, cos 3x i cos nx.

Rješenje

Originalne funkcije imaju sličan oblik. Stoga ćemo pronaći derivaciju funkcije y = cos nx. Zatim, kao derivat od cos nx, zamijeniti n = 2 i n = 3 . I, tako, dobijamo formule za derivate od cos 2x i cos 3x .

Dakle, nalazimo derivaciju funkcije
y = cos nx .
Predstavimo ovu funkciju varijable x kao kompleksnu funkciju koja se sastoji od dvije funkcije:
1)
2)
Tada je originalna funkcija složena (kompozitna) funkcija sastavljena od funkcija i :
.

Nađimo derivaciju funkcije u odnosu na varijablu x:
.
Nađimo derivaciju funkcije u odnosu na varijablu:
.
Prijavljujemo se.
.
Zamjena:
(P1) .

Sada, u formuli (P1) zamjenjujemo i :
;
.

Odgovori

;
;
.

Primjer 2

Pronađite izvode kosinusa na kvadrat, kosinusa u kubici i kosinusa podignutog na stepen n:
y= cos 2 x; y= cos 3 x; y= cos n x.

Rješenje

U ovom primjeru, funkcije također imaju sličan izgled. Stoga ćemo pronaći derivaciju najopćenitije funkcije - kosinus na stepen n:
y= cos n x.
Zatim zamjenjujemo n = 2 i n = 3. I, na taj način, dobijamo formule za izvode kosinusa na kvadrat i kosinusa na kocku.

Dakle, moramo pronaći derivaciju funkcije
.
Hajde da to prepišemo u razumljivijem obliku:
.
Predstavimo ovu funkciju kao složenu funkciju koja se sastoji od dvije funkcije:
1) Varijabilne zavisne funkcije : ;
2) Varijabilne zavisne funkcije : .
Tada je originalna funkcija složena funkcija sastavljena od dvije funkcije i:
.

Nalazimo derivaciju funkcije u odnosu na varijablu x:
.
Pronalazimo derivaciju funkcije u odnosu na varijablu:
.
Primjenjujemo pravilo diferencijacije kompleksne funkcije.
.
Zamjena:
(P2) .

Sada zamijenimo i:
;
.

Odgovori

;
;
.

Derivati ​​višeg reda

Imajte na umu da je derivat od cos x prvog reda može se izraziti u smislu kosinusa na sljedeći način:
.

Nađimo izvod drugog reda koristeći formulu za izvod kompleksne funkcije:

.
Evo.

Imajte na umu da diferencijacija cos x uzrokuje da se njegov argument poveća za . Tada derivacija n-tog reda ima oblik:
(5) .

Ova formula se može strožije dokazati metodom matematičke indukcije. Dokaz za n-ti izvod sinusa dat je na stranici “Izvod sinusa”. Za n-tu derivaciju kosinusa, dokaz je potpuno isti. Potrebno je samo zamijeniti sin sa cos u svim formulama.