Lekcija i prezentacija na temu: "Funkcije snage. Svojstva. Grafovi"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, sugestije! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna sredstva i simulatori u internet prodavnici "Integral" za 11. razred
Interaktivni priručnik za 9-11 razred "Trigonometrija"
Interaktivni priručnik za 10-11 razred "Logaritmi"

Funkcije moći, domena definicije.

Ljudi, u prošloj lekciji smo naučili kako raditi s brojevima s racionalnim eksponentom. U ovoj lekciji ćemo razmotriti funkcije stepena i ograničiti se na slučaj kada je eksponent racionalan.
Razmotrićemo funkcije oblika: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Razmotrimo prvo funkcije čiji je eksponent $\frac(m)(n)>1$.
Neka nam je data specifična funkcija $y=x^2*5$.
Prema definiciji koju smo dali u prošloj lekciji: ako je $x≥0$, tada je domen naše funkcije zraka $(x)$. Hajdemo shematski prikazati naš graf funkcije.

Svojstva funkcije $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2. Nije ni paran ni neparan.
3. Povećava se za $$,
b) $(2,10)$,
c) na zraku $$.
Rješenje.
Ljudi, sjećate li se kako smo pronašli najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu u 10. razredu?
Tako je, koristili smo derivat. Hajde da riješimo naš primjer i ponovimo algoritam za pronalaženje najmanje i najveće vrijednosti.
1. Pronađite izvod date funkcije:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Izvod postoji na cijeloj domeni originalne funkcije, dakle kritične tačke br. Nađimo stacionarne tačke:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ i $x_2=\sqrt(64)=4$.
Samo jedno rješenje $x_2=4$ pripada datom segmentu.
Napravimo tablicu vrijednosti naše funkcije na krajevima segmenta i u točki ekstrema:
Odgovor: $y_(name)=-862.65$ sa $x=9$; $y_(max)=38.4$ za $x=4$.

Primjer. Riješite jednačinu: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Rješenje. Graf funkcije $y=x^(\frac(4)(3))$ raste, a grafik funkcije $y=24-x$ opada. Ljudi, vi i ja znamo: ako se jedna funkcija povećava, a druga smanjuje, onda se sijeku samo u jednoj tački, odnosno imamo samo jedno rješenje.
Bilješka:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
To jest, za $h=8$ dobili smo tačnu jednakost $16=16$, ovo je rješenje naše jednačine.
Odgovor: $x=8$.

Primjer.
Iscrtajte funkciju: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Rješenje.
Graf naše funkcije se dobija iz grafa funkcije $y=x^(\frac(3)(4))$, pomerajući ga 3 jedinice udesno i 2 jedinice gore.

Primjer. Napišite jednadžbu tangente na pravu $y=x^(-\frac(4)(5))$ u tački $x=1$.
Rješenje. Jednačina tangente određena je formulom koja nam je poznata:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
U našem slučaju $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Nađimo derivat:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Izračunajmo:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Pronađite jednadžbu tangente:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Odgovor: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Zadaci za samostalno rješavanje

1. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije: $y=x^\frac(4)(3)$ na segmentu:
a) $$.
b) $(4,50)$.
c) na zraku $$.
3. Riješite jednačinu: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Grafikujte funkciju: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. Napišite jednadžbu tangente na pravu $y=x^(-\frac(3)(7))$ u tački $x=1$.

Radi praktičnosti razmatranja funkcije stepena, razmotrićemo 4 odvojena slučaja: funkciju stepena sa prirodnim eksponentom, funkciju stepena sa celobrojnim eksponentom, funkciju stepena sa racionalnim eksponentom i funkciju stepena sa iracionalnim eksponentom.

Funkcija snage s prirodnim eksponentom

Za početak uvodimo pojam stepena s prirodnim eksponentom.

Definicija 1

Moć realnog broja $a$ sa prirodnim eksponentom $n$ je broj jednak proizvodu $n$ faktora, od kojih je svaki jednak broju $a$.

Slika 1.

$a$ je osnova stepena.

$n$ - eksponent.

Razmotrimo sada funkciju stepena s prirodnim eksponentom, njenim svojstvima i grafom.

Definicija 2

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ naziva se funkcija stepena sa prirodnim eksponentom.

Radi dodatne pogodnosti, razmotrite odvojeno funkciju stepena sa parnim eksponentom $f\left(x\right)=x^(2n)$ i funkciju stepena sa neparnim eksponentom $f\left(x\right)=x^(2n- 1)$ ($n\u N)$.

Svojstva funkcije stepena s prirodnim parnim eksponentom

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ je parna funkcija.

Opseg -- $ \

Funkcija se smanjuje kao $x\in (-\infty ,0)$ i raste kao $x\in (0,+\infty)$.

$f("")\left(x\right)=(\left(2n\cdot x^(2n-1)\right))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1) ))\ge 0$

Funkcija je konveksna na cijeloj domeni definicije.

Ponašanje na krajevima opsega:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty \]

Grafikon (slika 2).

Slika 2. Grafikon funkcije $f\left(x\right)=x^(2n)$

Svojstva funkcije stepena s prirodnim neparnim eksponentom

Domen definicije su svi realni brojevi.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ je neparna funkcija.

$f(x)$ je kontinuiran na cijelom domenu definicije.

Opseg su svi realni brojevi.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Funkcija se povećava u cijelom domenu definicije.

$f\left(x\right)0$, za $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \levo(2n-1\desno)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Funkcija je konkavna za $x\in (-\infty ,0)$ i konveksna za $x\in (0,+\infty)$.

Grafikon (slika 3).

Slika 3. Grafikon funkcije $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Funkcija stepena s cjelobrojnim eksponentom

Za početak uvodimo koncept stepena sa celobrojnim eksponentom.

Definicija 3

Stepen realnog broja $a$ sa celobrojnim eksponentom $n$ određuje se formulom:

Slika 4

Razmotrimo sada funkciju stepena sa celobrojnim eksponentom, njenim svojstvima i grafom.

Definicija 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ naziva se funkcija stepena sa cjelobrojnim eksponentom.

Ako je stepen veći od nule, dolazimo do slučaja funkcije stepena s prirodnim eksponentom. Već smo to gore razmotrili. Za $n=0$ dobijamo linearnu funkciju $y=1$. Njegovo razmatranje prepuštamo čitaocu. Ostaje da razmotrimo svojstva funkcije stepena sa negativnim celobrojnim eksponentom

Svojstva funkcije stepena s negativnim cijelim eksponentom

Opseg je $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Ako je eksponent paran, onda je funkcija parna; ako je neparna, onda je funkcija neparna.

$f(x)$ je kontinuiran na cijelom domenu definicije.

Raspon vrijednosti:

Ako je eksponent paran, onda $(0,+\infty)$, ako je neparan, onda $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Ako je eksponent neparan, funkcija se smanjuje kao $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Za paran eksponent, funkcija se smanjuje kao $x\in (0,+\infty)$. i raste kao $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ preko cijele domene

The metodički materijal nosi referentni karakter i odnosi se na širok spektar tema. Članak daje pregled grafova glavnih elementarnih funkcija i razmatra najvažnije pitanje - kako pravilno i BRZO napraviti grafikon. U toku izučavanja više matematike bez poznavanja grafova osnovnih elementarnih funkcija biće teško, stoga je veoma važno zapamtiti kako izgledaju grafovi parabole, hiperbole, sinusa, kosinusa itd., da zapamtite neke vrijednosti funkcija. Također ćemo govoriti o nekim svojstvima glavnih funkcija.

Ne pretendujem na potpunost i naučnu temeljitost materijala, akcenat će biti stavljen, prije svega, na praksu – one stvari s kojima mora se suočiti bukvalno na svakom koraku, u bilo kojoj temi više matematike. Tabele za lutke? Može se reći.

Po popularnom zahtjevu čitalaca sadržaj koji se može kliknuti:

Osim toga, postoji ultra-kratak sažetak na tu temu
– savladajte 16 vrsta grafikona proučavajući ŠEST stranica!

Ozbiljno, šest, čak sam i sam bio iznenađen. Ovaj sažetak sadrži poboljšanu grafiku i dostupan je uz nominalnu naknadu, može se pogledati demo verzija. Pogodno je ispisati datoteku tako da su grafikoni uvijek pri ruci. Hvala na podršci projektu!

I krećemo odmah:

Kako pravilno izgraditi koordinatne ose?

U praksi, testove učenici gotovo uvijek sastavljaju u odvojenim sveskama, poredanim u kavez. Zašto su vam potrebne karirane oznake? Uostalom, posao se u principu može obaviti na listovima A4. A kavez je neophodan samo za kvalitetan i precizan dizajn crteža.

Svaki crtež funkcionalnog grafa počinje sa koordinatnim osa.

Crteži su dvodimenzionalni i trodimenzionalni.

Razmotrimo prvo dvodimenzionalni slučaj Dekartov koordinatni sistem:

1) Crtamo koordinatne ose. Osa se zove x-osa , i osa y-osa . Uvijek pokušavamo da ih nacrtamo uredan i ne iskrivljen. Strelice takođe ne bi trebalo da liče na bradu Pape Karla.

2) Osovine potpisujemo velikim slovima "x" i "y". Ne zaboravite potpisati sjekire.

3) Postavite skalu duž osi: nacrtaj nulu i dva jedinica. Prilikom izrade crteža najpogodnija i najčešća skala je: 1 jedinica = 2 ćelije (crtež lijevo) - pridržavajte se toga ako je moguće. Međutim, s vremena na vrijeme se dogodi da crtež ne stane na list bilježnice - tada smanjujemo razmjer: 1 jedinica = 1 ćelija (crtež desno). Rijetko, ali se dešava da se skala crteža još više smanji (ili poveća).

NEMOJTE žvrljati iz mitraljeza ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Jer koordinatna ravan nije Descartesu spomenik, a učenik nije golub. Mi smo stavili nula i dvije jedinice duž osi. Ponekad umjesto jedinicama, zgodno je "otkriti" druge vrijednosti, na primjer, "dva" na osi apscise i "tri" na osi ordinata - i ovaj sistem (0, 2 i 3) će također jedinstveno postaviti koordinantnu mrežu.

Bolje je procijeniti procijenjene dimenzije crteža PRIJE crtanja crteža.. Tako, na primjer, ako zadatak zahtijeva crtanje trokuta s vrhovima , , , onda je sasvim jasno da popularna skala 1 jedinica = 2 ćelije neće raditi. Zašto? Pogledajmo stvar - ovdje morate izmjeriti petnaest centimetara dolje, i, očito, crtež neće stati (ili jedva stati) na list bilježnice. Stoga odmah biramo manju skalu 1 jedinica = 1 ćelija.

Usput, o centimetrima i ćelijama bilježnice. Da li je tačno da u 30 ćelija sveske ima 15 centimetara? Izmjerite u bilježnici za kamate 15 centimetara pomoću ravnala. U SSSR-u je to možda bila istina... Zanimljivo je primijetiti da ako mjerite te iste centimetre horizontalno i okomito, onda će rezultati (u ćelijama) biti drugačiji! Strogo govoreći, moderne bilježnice nisu karirane, već pravokutne. Možda se čini kao besmislica, ali crtanje, na primjer, kruga s šestarom u takvim situacijama je vrlo nezgodno. Iskreno govoreći, u takvim trenucima počinjete razmišljati o ispravnosti druga Staljina, koji je poslat u logore zbog hakerskog rada u proizvodnji, a da ne spominjemo domaću automobilsku industriju, padajuće avione ili eksplodirajuće elektrane.

Kad smo već kod kvaliteta, ili kratka preporuka za kancelarijski materijal. Do danas je većina notebook računara u prodaji, loše riječi da ne spominjem, potpuno sranje. Iz razloga što se smoče, i to ne samo od gel olovaka, već i od hemijskih olovaka! Uštedite na papiru. Za odobrenje kontrolni radovi Preporučujem korištenje bilježnica Arhangelske fabrike celuloze i papira (18 listova, kavez) ili Pyaterochka, iako je skuplje. Preporučljivo je odabrati gel olovku, čak i najjeftiniji kineski gel za punjenje je mnogo bolji od hemijske olovke koja ili razmazuje ili trga papir. Jedina "konkurentska" hemijska olovka u mom sećanju je Erich Krause. Piše jasno, lijepo i stabilno - bilo s punim, bilo sa skoro praznim.

Dodatno: u članku je obrađena vizija pravokutnog koordinatnog sistema očima analitičke geometrije Linearna (ne)zavisnost vektora. Vektorska osnova, detaljne informacije o koordinatnim četvrtima možete pronaći u drugom pasusu lekcije Linearne nejednakosti.

3D kućište

Ovdje je skoro isto.

1) Crtamo koordinatne ose. standardno: aplicirana osovina – usmjereno prema gore, os – usmjereno desno, os – dolje lijevo strogo pod uglom od 45 stepeni.

2) Potpisujemo sjekire.

3) Postavite skalu duž osi. Razmjer duž ose - dva puta manji od razmjera duž ostalih osa. Također imajte na umu da sam na desnom crtežu koristio nestandardni "serif" duž ose (ova mogućnost je već spomenuta gore). Sa moje tačke gledišta, to je preciznije, brže i estetski ugodnije - ne morate tražiti sredinu ćelije pod mikroskopom i "klesati" jedinicu sve do početka.

Kada ponovo radite 3D crtež - dajte prednost mjerilu
1 jedinica = 2 ćelije (crtež lijevo).

Čemu služe sva ova pravila? Pravila su tu da se krše. Šta ću sad. Činjenica je da ću naknadne crteže članka napraviti u Excelu, a koordinatne osi će izgledati netočne u smislu pravilnog dizajna. Mogao bih sve grafikone nacrtati rukom, ali ih je stvarno strašno nacrtati, jer Excel nerado ih crta mnogo preciznije.

Grafovi i osnovna svojstva elementarnih funkcija

Linearna funkcija je data jednadžbom . Grafikon linearne funkcije je direktno. Da bi se konstruisala prava, dovoljno je poznavati dve tačke.

Primjer 1

Iscrtajte funkciju. Hajde da nađemo dve tačke. Povoljno je odabrati nulu kao jednu od tačaka.

Ako onda

Uzimamo neku drugu tačku, na primjer, 1.

Ako onda

Prilikom pripreme zadataka, koordinate tačaka se obično sumiraju u tabeli:

I same vrijednosti se izračunavaju usmeno ili na nacrtu, kalkulatoru.

Pronađene su dvije tačke, nacrtajmo:

Prilikom izrade crteža uvijek potpisujemo grafiku.

Neće biti suvišno prisjetiti se posebnih slučajeva linearne funkcije:

Obratite pažnju kako sam postavio natpise, potpisi ne bi trebali biti dvosmisleni prilikom proučavanja crteža. U ovom slučaju, bilo je krajnje nepoželjno stavljati potpis pored tačke preseka linija, ili u donjem desnom uglu između grafikona.

1) Linearna funkcija oblika () naziva se direktna proporcionalnost. Na primjer, . Graf direktne proporcionalnosti uvijek prolazi kroz ishodište. Dakle, konstrukcija prave linije je pojednostavljena - dovoljno je pronaći samo jednu tačku.

2) Jednačina oblika definira pravu liniju paralelnu osi, a posebno, sama osa je data jednačinom. Graf funkcije se gradi odmah, bez pronalaženja ikakvih tačaka. To jest, unos treba shvatiti na sljedeći način: "y je uvijek jednako -4, za bilo koju vrijednost x."

3) Jednačina oblika definira pravu liniju paralelnu sa osom, posebno, sama osa je data jednačinom. Graf funkcije se također gradi odmah. Unos treba shvatiti na sljedeći način: "x je uvijek, za bilo koju vrijednost y, jednako 1."

Neki će se zapitati, pa zašto pamtiti 6. razred?! Tako je, možda i jeste, samo sam tokom godina prakse sreo desetak učenika koji su bili zbunjeni zadatkom da konstruišu graf poput ili .

Crtanje prave linije je najčešća radnja prilikom izrade crteža.

Prava linija je detaljno obrađena u toku analitičke geometrije, a oni koji žele mogu pogledati članak Jednačina prave linije na ravni.

Graf kvadratne funkcije, graf kubične funkcije, graf polinoma

Parabola. Grafikon kvadratne funkcije () je parabola. Razmotrite poznati slučaj:

Prisjetimo se nekih svojstava funkcije.

Dakle, rješenje naše jednačine: - u ovoj tački se nalazi vrh parabole. Zašto je to tako može se naučiti iz teorijskog članka o derivaciji i lekcije o ekstremima funkcije. U međuvremenu izračunavamo odgovarajuću vrijednost "y":

Dakle, vrh je u tački

Sada nalazimo druge tačke, dok drsko koristimo simetriju parabole. Treba napomenuti da je funkcija – nije čak, ali, ipak, niko nije poništio simetriju parabole.

Kojim redosledom pronaći preostale bodove, mislim da će biti jasno iz konačne tabele:

Ovaj konstruktivni algoritam se može figurativno nazvati "šatlom" ili principom "nazad i nazad" kod Anfise Čehove.

Napravimo crtež:

Iz razmotrenih grafikona, na pamet mi pada još jedna korisna karakteristika:

Za kvadratnu funkciju () istina je sljedeće:

Ako je , tada su grane parabole usmjerene prema gore.

Ako je , tada su grane parabole usmjerene prema dolje.

Detaljno znanje o krivulji može se steći u lekciji Hiperbola i parabola.

Kubična parabola je data funkcijom . Evo crteža poznatog iz škole:

Navodimo glavna svojstva funkcije

Funkcija Graf

Predstavlja jednu od grana parabole. Napravimo crtež:

Glavna svojstva funkcije:

U ovom slučaju, os je vertikalna asimptota za graf hiperbole na .

Biće VELIKA greška ako, prilikom sastavljanja crteža, iz nemara dozvolite da se graf preseče sa asimptotom.

Također jednostrane granice, recite nam da je to hiperbola nije ograničeno odozgo i nije ograničeno odozdo.

Istražimo funkciju u beskonačnosti: , to jest, ako se počnemo kretati duž ose lijevo (ili desno) do beskonačnosti, tada će "igre" biti vitki korak beskonačno blizu približavaju se nuli i, shodno tome, grane hiperbole beskonačno blizu približiti osi.

Dakle, os je horizontalna asimptota za graf funkcije, ako "x" teži plus ili minus beskonačnost.

Funkcija je odd, što znači da je hiperbola simetrična u odnosu na ishodište. Ova činjenica je očigledna iz crteža, osim toga, može se lako provjeriti analitički: .

Graf funkcije oblika () predstavlja dvije grane hiperbole.

Ako je , tada se hiperbola nalazi u prvom i trećem koordinatnom kvadrantu(vidi sliku iznad).

Ako je , tada se hiperbola nalazi u drugom i četvrtom koordinatnom kvadrantu.

Nije teško analizirati specificiranu pravilnost mjesta stanovanja hiperbole sa stanovišta geometrijskih transformacija grafova.

Primjer 3

Konstruirajte desnu granu hiperbole

Koristimo metodu konstrukcije po tačkama, dok je povoljno odabrati vrijednosti tako da se potpuno dijele:

Napravimo crtež:

Neće biti teško konstruirati lijevu granu hiperbole, ovdje će neparnost funkcije samo pomoći. Grubo govoreći, u tabeli konstrukcije po tačkama, mentalno dodajte minus svakom broju, stavite odgovarajuće tačke i nacrtajte drugu granu.

Detaljne geometrijske informacije o razmatranoj liniji možete pronaći u članku Hiperbola i parabola.

Graf eksponencijalne funkcije

U ovom pasusu ću odmah razmotriti eksponencijalnu funkciju, jer se u zadacima više matematike u 95% slučajeva javlja eksponent.

Podsjećam vas da - ovo je iracionalan broj: , ovo će biti potrebno prilikom izgradnje grafa, koji ću, zapravo, izgraditi bez ceremonije. Tri boda su vjerovatno dovoljna:

Ostavimo graf funkcije za sada na miru, o tome kasnije.

Glavna svojstva funkcije:

U osnovi, grafovi funkcija izgledaju isto, itd.

Moram reći da je drugi slučaj rjeđi u praksi, ali se dešava, pa sam smatrao potrebnim da ga uključim u ovaj članak.

Grafikon logaritamske funkcije

Razmotrimo funkciju s prirodnim logaritmom.
Hajde da nacrtamo linijski crtež:

Ako ste zaboravili šta je logaritam, pogledajte školske udžbenike.

Glavna svojstva funkcije:

Domain:

Raspon vrijednosti: .

Funkcija nije ograničena odozgo: , doduše polako, ali grana logaritma ide do beskonačnosti.
Hajde da ispitamo ponašanje funkcije blizu nule na desnoj strani: . Dakle, os je vertikalna asimptota za graf funkcije sa "x" koja teži nuli na desnoj strani.

Budite sigurni da znate i zapamtite tipičnu vrijednost logaritma: .

U osnovi, dijagram logaritma na bazi izgleda isto: , , (decimalni logaritam do baze 10) itd. Istovremeno, što je veća baza, to će grafikon biti ravniji.

Slučaj nećemo razmatrati, ne sjećam se kada zadnji put napravio graf sa takvom osnovom. Da, i čini se da je logaritam vrlo rijedak gost u problemima više matematike.

U zaključku paragrafa, reći ću još jednu činjenicu: Eksponencijalna funkcija i logaritamska funkcijasu dvije međusobno inverzne funkcije. Ako pažljivo pogledate graf logaritma, možete vidjeti da je ovo isti eksponent, samo što se nalazi malo drugačije.

Grafovi trigonometrijskih funkcija

Kako počinje trigonometrijsko mučenje u školi? Ispravno. Od sinusa

Nacrtajmo funkciju

Ova linija se zove sinusoida.

Podsjećam da je "pi" iracionalan broj:, a u trigonometriji zasljepljuje u očima.

Glavna svojstva funkcije:

Ova funkcija je periodični sa tačkom. Šta to znači? Pogledajmo rez. Lijevo i desno od njega, potpuno isti dio grafa ponavlja se beskonačno.

Domain: , to jest, za bilo koju vrijednost "x" postoji vrijednost sinusa.

Raspon vrijednosti: . Funkcija je ograničeno: , odnosno sve "igre" sjede striktno u segmentu .
To se ne dešava: ili, tačnije, dešava se, ali ove jednačine nemaju rješenje.

1. Funkcija napajanja, njegova svojstva i graf;

2. Transformacije:

Paralelni prijenos;

Simetrija oko koordinatnih osa;

Simetrija oko porijekla;

Simetrija oko prave y = x;

Istezanje i skupljanje duž koordinatnih osa.

3. Eksponencijalna funkcija, njegova svojstva i graf, slične transformacije;

4. Logaritamska funkcija, njena svojstva i graf;

5. Trigonometrijska funkcija, njena svojstva i graf, slične transformacije (y = sin x; y = cos x; y = tg x);

Funkcija: y = x\n - njena svojstva i graf.

Funkcija snage, njena svojstva i graf

y = x, y = x 2, y = x 3, y = 1 / x itd. Sve ove funkcije su posebni slučajevi funkcije snage, tj. funkcije y = xp, gdje je p dati realni broj.
Svojstva i graf funkcije stepena u suštini zavise od svojstava stepena sa realnim eksponentom, a posebno od vrednosti za koje x i str ima smisla xp. Pređimo na slično razmatranje. razne prilike zavisno od
eksponent str.

1. Indeks p = 2n- čak prirodni broj.

y=x2n, gdje n je prirodan broj i ima sljedeća svojstva:

• domen definicije su svi realni brojevi, tj. skup R;
• skup vrijednosti - nenegativni brojevi, tj. y je veći ili jednak 0;
• funkcija y=x2nčak, jer x 2n = (-x) 2n
• funkcija se smanjuje na intervalu x< 0 i povećava se u intervalu x > 0.

Funkcija Graf y=x2n ima isti oblik kao, na primjer, graf funkcije y=x4.

2. Indikator p = 2n - 1- neparan prirodni broj

U ovom slučaju, funkcija snage y=x2n-1, gdje je prirodan broj, ima sljedeća svojstva:

• domen definicije - skup R;
• skup vrijednosti - skup R;
• funkcija y=x2n-1čudno jer (- x) 2n-1= x 2n-1 ;
• funkcija raste na cijeloj realnoj osi.

Funkcija Graf y=x2n-1 y=x3.

3. Indikator p=-2n, gdje n- prirodni broj.

U ovom slučaju, funkcija snage y=x-2n=1/x2n ima sljedeća svojstva:

• skup vrijednosti - pozitivni brojevi y>0;
• funkcija y = 1/x2nčak, jer 1/(-x) 2n= 1/x2n;
• funkcija raste na intervalu x0.

Grafikon funkcije y = 1/x2n ima isti oblik kao, na primjer, graf funkcije y = 1/x2.

4. Indikator p = -(2n-1), gdje n- prirodni broj.
U ovom slučaju, funkcija snage y=x-(2n-1) ima sljedeća svojstva:

• domen definicije je skup R, osim za x = 0;
• skup vrijednosti - skup R, osim y = 0;
• funkcija y=x-(2n-1)čudno jer (- x)-(2n-1) = -x-(2n-1);
• funkcija se smanjuje na intervalima x< 0 i x > 0.

Funkcija Graf y=x-(2n-1) ima isti oblik kao, na primjer, graf funkcije y = 1/x3.

1) Opseg funkcije i opseg funkcija.

Opseg funkcije je skup svih važećih valjanih vrijednosti argumenta x(promenljiva x) za koju je funkcija y = f(x) definisano. Opseg funkcije je skup svih realnih vrijednosti y da funkcija prihvata.

U osnovnoj matematici, funkcije se proučavaju samo na skupu realnih brojeva.

2) Nule funkcije.

Nula funkcije je vrijednost argumenta pri kojoj je vrijednost funkcije jednaka nuli.

3) Intervali konstantnosti predznaka funkcije.

Intervali konstantnog predznaka funkcije su takvi skupovi vrijednosti argumenata na kojima su vrijednosti funkcije samo pozitivne ili samo negativne.

4) Monotonost funkcije.

Povećana funkcija (u određenom intervalu) je funkcija u kojoj veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara većoj vrijednosti funkcije.

Opadajuća funkcija (u nekom intervalu) - funkcija u kojoj veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

5) Parne (neparne) funkcije.

Parna funkcija je funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koje X iz domena definicije jednakost f(-x) = f(x). Graf parne funkcije je simetričan oko y-ose.

Neparna funkcija je funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koje X iz domena definicije jednakost f(-x) = - f(x). Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.

6) Ograničene i neograničene funkcije.

Funkcija se naziva ograničenom ako postoji pozitivan broj M takav da je |f(x)| ≤ M za sve vrijednosti x . Ako takav broj ne postoji, onda je funkcija neograničena.

7) Periodičnost funkcije.

Funkcija f(x) je periodična ako postoji broj T koji nije nula takav da je za bilo koji x iz domena funkcije f(x+T) = f(x). Ovaj najmanji broj naziva se period funkcije. Sve trigonometrijske funkcije su periodični. (Trigonometrijske formule).

19. Basic elementarne funkcije, njihova svojstva i grafikone. Primjena funkcija u privredi.

Osnovne elementarne funkcije. Njihova svojstva i grafovi

1. Linearna funkcija.

Linearna funkcija naziva se funkcija oblika , gdje je x varijabla, a i b su realni brojevi.

Broj a koja se naziva nagib prave linije, jednaka je tangenti ugla nagiba ove prave linije prema pozitivnom pravcu x-ose. Grafikon linearne funkcije je prava linija. Definisano je sa dve tačke.

Svojstva linearne funkcije

1. Domena definicije - skup svih realnih brojeva: D (y) \u003d R

2. Skup vrijednosti je skup svih realnih brojeva: E(y)=R

3. Funkcija uzima nultu vrijednost za ili.

4. Funkcija raste (opada) u cijelom domenu definicije.

5. Linearna funkcija je kontinuirana na cijelom području definicije, diferencibilna i .

2. Kvadratna funkcija.

Funkcija oblika, gdje je x varijabla, a koeficijenti a, b, c su realni brojevi, naziva se kvadratni.