Vektorski i tačkasti proizvod olakšavaju izračunavanje ugla između vektora. Neka su data dva vektora $\overline(a)$ i $\overline(b)$, orijentisani ugao između njih jednak je $\varphi$. Izračunajmo vrijednosti $x = (\overline(a),\overline(b))$ i $y = [\overline(a),\overline(b)]$. Tada je $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$, gdje je $r=|\overline(a)|\cdot|\overline(b)|$ i $\varphi$ željeni ugao, to jest, tačka $(x, y)$ ima polarni ugao jednak $\varphi$, i stoga se $\varphi$ može naći kao atan2(y, x).

Površina trougla

Budući da vektorski proizvod sadrži proizvod dvije vektorske dužine i kosinus ugla između njih, vektorski proizvod se može koristiti za izračunavanje površine trokuta ABC:

$ S_(ABC) = \frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AC)]| $.

Tačka koja pripada pravoj

Neka su data tačka $P$ i prava $AB$ (date sa dve tačke $A$ i $B$). Potrebno je provjeriti da li tačka pripada pravoj $AB$.

Tačka pripada pravoj $AB$ ako i samo ako su vektori $AP$ i $AB$ kolinearni, to jest, ako je $ [ \overline(AP), \overline(AB)]=0 $.

Pripadnost tačke zraku

Neka su data tačka $P$ i zraka $AB$ (zadate sa dve tačke - početak zraka $A$ i tačka na zraku $B$). Potrebno je provjeriti da li tačka pripada zraku $AB$.

Dodatni uslov se mora dodati uslovu da tačka $P$ pripada pravoj $AB$ - vektori $AP$ i $AB$ su kodirekcionalni, odnosno kolinearni i njihov skalarni proizvod nije negativan, to jest, $(\overline(AB), \overline(AP ))\ge $0.

Tačka koja pripada segmentu

Neka su data tačka $P$ i segment $AB$. Potrebno je provjeriti da li tačka pripada segmentu $AB$.

U ovom slučaju, tačka mora pripadati i zraku $AB$ i zraku $BA$, tako da se moraju provjeriti sljedeći uslovi:

$[\overline(AP), \overline(AB)]=0$,

$(\overline(AB), \overline(AP))\ge 0$,

$(\overline(BA), \overline(BP))\ge 0$.

Udaljenost od tačke do linije

Neka su data tačka $P$ i prava $AB$ (date sa dve tačke $A$ i $B$). Potrebno je pronaći udaljenost od tačke prave $AB$.

Razmotrimo trougao ABP. S jedne strane, njegova površina je $S_(ABP)=\frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AP) ]|$.

S druge strane, njegova površina je $S_(ABP)= \frac(1)(2)h |AB|$, gdje je $h$ visina od $P$, tj. udaljenost od $P$ do $ AB $. Otuda $h=|[\overline(AB),\overline(AP)]|/|AB|$.

Udaljenost od tačke do grede

Neka su data tačka $P$ i zraka $AB$ (zadate sa dve tačke - početak zraka $A$ i tačka na zraku $B$). Potrebno je pronaći rastojanje od tačke do zraka, odnosno dužinu najkraćeg segmenta od tačke $P$ do bilo koje tačke zraka.

Ovo rastojanje je jednako ili dužini $AP$ ili udaljenosti od tačke $P$ do prave $AB$. Koji od slučajeva se dešava može se lako odrediti relativnim položajem grede i tačke. Ako je ugao PAB oštar, tj. $(\overline(AB),\overline(AP)) > 0$, onda je odgovor udaljenost od tačke $P$ do prave $AB$, u suprotnom je odgovor dužina segmenta $AB$.

Udaljenost od tačke do linije

Neka su data tačka $P$ i segment $AB$. Potrebno je pronaći udaljenost od $P$ do segmenta $AB$.

Ako osnova okomice spuštene sa $P$ na pravu $AB$ pada na odsječak $AB$, što se može provjeriti uvjetima

$(\overline(AP), \overline(AB))\ge 0$,

$(\overline(BP), \overline(BA))\ge 0$,

onda je odgovor udaljenost od tačke $P$ do prave $AB$. U suprotnom, udaljenost će biti jednaka $\min(AP, BP)$.

Predavanje: Vektorske koordinate; tačkasti proizvod vektora; ugao između vektora

Vektorske koordinate

Dakle, kao što je ranije spomenuto, vektor je usmjereni segment koji ima svoj početak i kraj. Ako su početak i kraj predstavljeni nekim tačkama, onda imaju svoje koordinate na ravni ili u prostoru.

Ako svaka tačka ima svoje koordinate, onda možemo dobiti koordinate cijelog vektora.

Pretpostavimo da imamo neki vektor čiji početak i kraj vektora imaju sljedeće oznake i koordinate: A(A x ; Ay) i B(B x ; By)

Da biste dobili koordinate ovog vektora, potrebno je oduzeti odgovarajuće početne koordinate od koordinata kraja vektora:

Da biste odredili koordinate vektora u prostoru, koristite sljedeću formulu:

Skalarni proizvod vektori

Postoje dva načina za definiranje koncepta točkastog proizvoda:

• Geometrijski način. Prema njemu, skalarni proizvod jednak je proizvodu vrijednosti ovih modula i kosinusa ugla između njih.

• algebarsko značenje. Sa stanovišta algebre, skalarni proizvod dva vektora je određena vrijednost koja proizlazi iz zbira proizvoda odgovarajućih vektora.

Ako su vektori dati u prostoru, onda biste trebali koristiti sličnu formulu:

Svojstva:

• Ako dva identična vektora pomnožite skalarno, tada će njihov skalarni proizvod biti nenegativan:

• Ako se ispostavi da je skalarni proizvod dva identična vektora jednak nuli, onda se ovi vektori smatraju nula:

• Ako se određeni vektor pomnoži sam sa sobom, tada će skalarni proizvod biti jednak kvadratu njegovog modula:

• Skalarni proizvod ima komunikativnu osobinu, to jest, skalarni proizvod se neće promijeniti permutacijom vektora:

• Skalarni proizvod vektora koji nisu nula može biti nula samo ako su vektori jedan na drugi okomiti:

• Za skalarni proizvod vektora, komutativni zakon vrijedi u slučaju množenja jednog od vektora brojem:

• Sa tačkastim proizvodom možete koristiti i distributivno svojstvo množenja:

Ugao između vektora

Tačkasti proizvod vektora

Nastavljamo da se bavimo vektorima. Na prvoj lekciji Vektori za lutke razmatrali smo koncept vektora, radnje s vektorima, vektorske koordinate i najjednostavnije probleme s vektorima. Ako ste prvi put došli na ovu stranicu iz pretraživača, toplo preporučujem da pročitate gore navedeno uvodni članak, jer za asimilaciju gradiva potrebno je navigirati u terminima i notama koje koristim, imati osnovno znanje o vektorima i biti u stanju riješiti elementarne probleme. Ova lekcija je logičan nastavak teme iu njoj ću detaljno analizirati tipične zadatke koji koriste skalarni proizvod vektora. Ovo je VEOMA VAŽAN posao.. Pokušajte da ne preskočite primjere, oni su popraćeni korisnim bonusom - praksa će vam pomoći da konsolidirate obrađeni materijal i "dođete do ruke" u rješavanju uobičajenih problema analitičke geometrije.

Dodavanje vektora, množenje vektora brojem... Bilo bi naivno misliti da matematičari nisu smislili nešto drugo. Pored već razmatranih radnji, postoji niz drugih operacija s vektorima, i to: tačkasti proizvod vektora, unakrsni proizvod vektora i mješoviti proizvod vektora. Skalarni proizvod vektora poznat nam je iz škole, druga dva proizvoda tradicionalno su vezana za kurs više matematike. Teme su jednostavne, algoritam za rješavanje mnogih problema je stereotipan i razumljiv. Jedina stvar. Postoji pristojna količina informacija, pa je nepoželjno pokušavati savladati i riješiti SVE I ODJEDNO. Ovo posebno važi za lutke, vjerujte mi, autor apsolutno ne želi da se osjeća kao Čikatilo iz matematike. Pa ne iz matematike, naravno, ni iz matematike =) Spremniji učenici mogu koristiti materijale selektivno, u određenom smislu, "steknuti" nedostajuće znanje, za tebe ću biti bezopasni grof Drakula =)

Na kraju, otvorimo malo vrata i pogledajmo šta se dešava kada se dva vektora sretnu...

Definicija skalarnog proizvoda vektora.
Svojstva skalarnog proizvoda. Tipični zadaci

Koncept tačkastog proizvoda

Prvo o ugao između vektora. Mislim da svi intuitivno razumiju koliki je ugao između vektora, ali za svaki slučaj, malo više. Razmotrite slobodne vektore koji nisu nula i . Ako ove vektore odložimo iz proizvoljne tačke, onda ćemo dobiti sliku koju su mnogi već mentalno predstavili:

Priznajem, ovdje sam opisao situaciju samo na nivou razumijevanja. Ako vam je potrebna stroga definicija ugla između vektora, pogledajte udžbenik, ali za praktične zadatke nam, u principu, nije potrebna. Takođe OVDE I DALJE, ponekad ću zanemariti nulte vektore zbog njihovog malog praktičnog značaja. Rezervisao sam posebno za napredne posetioce sajta, koji mi mogu zameriti teoretsku nepotpunost nekih od sledećih izjava.

može uzeti vrijednosti od 0 do 180 stepeni (od 0 do radijana) uključujući. Analitički, ova činjenica je zapisana kao dvostruka nejednakost: ili (u radijanima).

U literaturi se ikona ugla često izostavlja i jednostavno se piše.

definicija: Skalarni proizvod dva vektora je BROJ jednak proizvodu dužina ovih vektora i kosinusa ugla između njih:

To je prilično stroga definicija.

Fokusiramo se na bitne informacije:

Oznaka: skalarni proizvod je označen sa ili jednostavno .

Rezultat operacije je BROJ: Pomnožite vektor sa vektorom da dobijete broj. Zaista, ako su dužine vektora brojevi, kosinus ugla je broj, tada je njihov proizvod takođe će biti broj.

Samo par primjera za zagrijavanje:

Primjer 1

Rješenje: Koristimo formulu . U ovom slučaju:

odgovor:

Vrijednosti kosinusa se mogu naći u trigonometrijska tabela. Preporučujem da ga odštampate - biće potreban u skoro svim delovima tornja i biće potreban mnogo puta.

Čisto sa matematičke tačke gledišta, skalarni proizvod je bezdimenzionalan, odnosno rezultat je u ovom slučaju samo broj i to je to. Sa stajališta problema fizike, skalarni proizvod uvijek ima određeno fizičko značenje, odnosno nakon rezultata morate navesti jedno ili drugo fizička jedinica. Kanonski primjer izračunavanja rada sile može se naći u bilo kojem udžbeniku (formula je upravo tačkasti proizvod). Rad sile se mjeri u džulima, stoga će odgovor biti napisan sasvim konkretno, na primjer,.

Primjer 2

Pronađite ako , a ugao između vektora je .

Ovo je primjer za samoodlučivanje, odgovor je na kraju lekcije.

Ugao između vektora i vrijednosti dot proizvoda

U primjeru 1, skalarni proizvod je bio pozitivan, au primjeru 2 negativan. Hajde da saznamo o čemu zavisi predznak skalarnog proizvoda. Pogledajmo našu formulu: . Dužine vektora koji nisu nula su uvijek pozitivne: , tako da predznak može ovisiti samo o vrijednosti kosinusa.

Bilješka: Za bolje razumijevanje informacija u nastavku, bolje je proučiti kosinusni graf u priručniku Grafovi i svojstva funkcija. Pogledajte kako se kosinus ponaša na segmentu.

Kao što je već napomenuto, ugao između vektora može varirati unutar , a mogući su sljedeći slučajevi:

1) Ako ugao između vektora ljuto: (od 0 do 90 stepeni), zatim , i tačkasti proizvod će biti pozitivan co-directed, tada se ugao između njih smatra nula, a skalarni proizvod će također biti pozitivan. Budući da je , tada je formula pojednostavljena: .

2) Ako ugao između vektora glupo: (od 90 do 180 stepeni), zatim , i shodno tome, tačkasti proizvod je negativan: . Poseban slučaj: ako su vektori usmerena suprotno, tada se razmatra ugao između njih raspoređeno: (180 stepeni). Skalarni proizvod je također negativan, jer

Tačne su i suprotne tvrdnje:

1) Ako je , tada je ugao između ovih vektora oštar. Alternativno, vektori su kosmjerni.

2) Ako je , tada je ugao između ovih vektora tup. Alternativno, vektori su usmjereni suprotno.

Ali treći slučaj je od posebnog interesa:

3) Ako ugao između vektora ravno: (90 stepeni) zatim i dot proizvod je nula: . Obrnuto je također istinito: ako , onda . Kompaktna izjava je formulirana na sljedeći način: Skalarni proizvod dva vektora je nula ako i samo ako su dati vektori ortogonalni. Kratka matematička notacija:

! Bilješka : ponoviti osnove matematičke logike: ikona dvostrane logičke posljedice obično se čita "ako i samo tada", "ako i samo ako". Kao što vidite, strelice su usmjerene u oba smjera - "iz ovoga slijedi ovo, i obrnuto - iz ovoga slijedi ovo." U čemu je, inače, razlika od ikone za jednosmjerno praćenje? Ikona tvrdi samo to da "iz ovoga sledi ovo", a ne činjenica da je obrnuto. Na primjer: , ali nije svaka životinja panter, tako da se ikona ne može koristiti u ovom slučaju. Istovremeno, umjesto ikone mogu koristite jednostranu ikonu. Na primjer, rješavajući problem, saznali smo da smo zaključili da su vektori ortogonalni: - takav zapis će biti tačan, pa čak i prikladniji od .

Treći slučaj je od velike praktične važnosti., jer vam omogućava da provjerite da li su vektori ortogonalni ili ne. Ovaj problem ćemo riješiti u drugom dijelu lekcije.

Svojstva točkastih proizvoda

Vratimo se na situaciju kada su dva vektora co-directed. U ovom slučaju, kut između njih je jednak nuli, , i formula skalarnog proizvoda ima oblik: .

Šta se dešava ako se vektor pomnoži sam sa sobom? Jasno je da je vektor ko-usmjeren sam sa sobom, pa koristimo gornju pojednostavljenu formulu:

Broj je pozvan skalarni kvadrat vektor , i označeni su kao .

Na ovaj način, skalarni kvadrat vektora jednak je kvadratu dužine datog vektora:

Iz ove jednakosti možete dobiti formulu za izračunavanje dužine vektora:

Iako se čini nejasnim, ali zadaci lekcije će sve staviti na svoje mjesto. Za rješavanje problema i nama je potrebno svojstva tačkastog proizvoda.

Za proizvoljne vektore i bilo koji broj, sljedeća svojstva su tačna:

1) - pomični ili komutativno skalarni zakon proizvoda.

2) - distribucija ili distributivni skalarni zakon proizvoda. Jednostavno rečeno, možete otvoriti zagrade.

3) - kombinacija ili asocijativni skalarni zakon proizvoda. Konstanta se može izvaditi iz skalarnog proizvoda.

Često, svakakva svojstva (koje takođe treba dokazati!) studenti doživljavaju kao nepotrebno smeće koje samo treba zapamtiti i sigurno zaboraviti odmah nakon ispita. Čini se da ono što je ovdje bitno, svi već od prvog razreda znaju da se proizvod ne mijenja permutacijom faktora:. Moram vas upozoriti da je u višoj matematici sa takvim pristupom lako zabrljati stvari. Tako, na primjer, komutativno svojstvo ne vrijedi za algebarske matrice. To nije istina za unakrsni proizvod vektora. Stoga je barem bolje da se udubite u sva svojstva koja ćete sresti u toku više matematike kako biste razumjeli šta se može, a šta ne može učiniti.

Primjer 3

.

Rješenje: Prvo, razjasnimo situaciju s vektorom. o čemu se radi? Zbir vektora i je dobro definiran vektor, koji je označen sa . Geometrijska interpretacija radnji s vektorima može se naći u članku Vektori za lutke. Isti peršun s vektorom je zbir vektora i .

Dakle, prema uslovu, potrebno je pronaći skalarni proizvod. U teoriji, morate primijeniti radnu formulu , ali problem je što ne znamo dužine vektora i ugao između njih. Ali u uslovu su dati slični parametri za vektore, pa ćemo ići drugim putem:

(1) Zamjenjujemo izraze vektora .

(2) Otvaramo zagrade po pravilu množenja polinoma, vulgarna zverkalica se može naći u članku Kompleksni brojevi ili Integracija frakciono-racionalne funkcije. Neću se ponavljati =) Inače, distributivno svojstvo skalarnog proizvoda nam omogućava da otvorimo zagrade. Imamo pravo.

(3) U prvom i posljednjem pojmu kompaktno zapisujemo skalarne kvadrate vektora: . U drugom terminu koristimo komutabilnost skalarnog proizvoda: .

(4) Evo sličnih pojmova: .

(5) U prvom terminu koristimo formulu skalarnog kvadrata, koja je nedavno spomenuta. U zadnjem mandatu, odnosno, radi ista stvar: . Drugi pojam se proširuje prema standardnoj formuli .

(6) Zamijenite ove uslove , i PAŽLJIVO izvršite završne proračune.

odgovor:

Negativno značenje dot product navodi činjenicu da je ugao između vektora tup.

Zadatak je tipičan, evo primjera za samostalno rješenje:

Primjer 4

Nađite skalarni proizvod vektora i , ako je poznato da .

Sada još jedan uobičajen zadatak, samo za novu formulu dužine vektora. Oznake će se ovdje malo preklapati, pa ću je radi jasnoće prepisati drugim slovom:

Primjer 5

Pronađite dužinu vektora if .

Rješenje bit će kako slijedi:

(1) Dajemo vektorski izraz .

(2) Koristimo formulu dužine: , dok kao vektor "ve" imamo cjelobrojni izraz.

(3) Za kvadrat zbira koristimo školsku formulu. Obratite pažnju na to kako to čudno funkcionira ovdje: - u stvari, ovo je kvadrat razlike, i, zapravo, tako je. Oni koji žele mogu da preurede vektore na mesta: - ispalo je isto do prestrojavanja pojmova.

(4) Ono što slijedi već je poznato iz dva prethodna problema.

odgovor:

Pošto je riječ o dužini, ne zaboravite navesti dimenziju - "jedinice".

Primjer 6

Pronađite dužinu vektora if .

Ovo je primjer rješenja uradi sam. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Nastavljamo da cijedimo korisne stvari iz skalarnog proizvoda. Pogledajmo ponovo našu formulu . Po pravilu proporcije vraćamo dužine vektora na nazivnik lijeve strane:

Zamenimo delove:

Šta je značenje ove formule? Ako su poznate dužine dva vektora i njihov skalarni proizvod, onda se može izračunati kosinus ugla između ovih vektora, a samim tim i sam ugao.

Da li je skalarni proizvod broj? Broj. Da li su vektorske dužine brojevi? Brojevi. Dakle, razlomak je takođe broj. A ako je poznat kosinus ugla: , tada je pomoću inverzne funkcije lako pronaći sam ugao: .

Primjer 7

Pronađite ugao između vektora i , Ako je poznato da je .

Rješenje: Koristimo formulu:

U završnoj fazi proračuna korištena je tehnika - eliminacija iracionalnosti u nazivniku. Da bih eliminisao iracionalnost, pomnožio sam brojilac i imenilac sa .

Sta ako , zatim:

Inverzne vrijednosti trigonometrijske funkcije može se naći po trigonometrijska tabela. Iako se to retko dešava. U zadacima analitičke geometrije mnogo se češće pojavljuje neki nespretni medvjedić, a vrijednost ugla se mora približno pronaći pomoću kalkulatora. U stvari, ovu sliku ćemo viđati iznova i iznova.

odgovor:

Opet, ne zaboravite navesti dimenziju - radijane i stupnjeve. Osobno, da bih namjerno „uklonio sva pitanja“, radije naznačim oba (osim ako se, naravno, po uslovu ne traži odgovor samo u radijanima ili samo u stepenima).

Sada ćete moći sami da se nosite sa težim zadatkom:

Primjer 7*

Date su dužine vektora i ugao između njih. Pronađite ugao između vektora , .

Zadatak nije toliko težak koliko višesmjeran.
Analizirajmo algoritam rješenja:

1) Prema uvjetu, potrebno je pronaći ugao između vektora i , tako da morate koristiti formulu .

2) Nalazimo skalarni proizvod (vidi primjere br. 3, 4).

3) Odrediti dužinu vektora i dužinu vektora (vidi primjere br. 5, 6).

4) Završetak rješenja poklapa se sa primjerom br. 7 - znamo broj, što znači da je lako pronaći sam ugao:

Quick Solution i odgovor na kraju lekcije.

Drugi dio lekcije posvećen je istom tačkastom proizvodu. Koordinate. Biće još lakše nego u prvom delu.

Tačkasti proizvod vektora,
dat koordinatama u ortonormalnoj bazi

odgovor:

Nepotrebno je reći da je rad s koordinatama mnogo ugodniji.

Primjer 14

Pronađite skalarni proizvod vektora i if

Ovo je primjer rješenja uradi sam. Ovdje možete koristiti asocijativnost operacije, odnosno ne brojite, već odmah izvadite trojku iz skalarnog proizvoda i pomnožite s njom zadnji. Rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Na kraju pasusa, provokativan primjer izračunavanja dužine vektora:

Primjer 15

Pronađite dužine vektora , ako

Rješenje: opet se metoda iz prethodnog odjeljka nameće sama po sebi: ali postoji još jedan način:

Nađimo vektor:

I njegova dužina prema trivijalnoj formuli :

Skalarni proizvod ovdje uopće nije relevantan!

Koliko je van posla kada se računa dužina vektora:
Stani. Zašto ne iskoristiti prednosti očigledne dužine vektora? Šta se može reći o dužini vektora? Ovaj vektor je 5 puta duži od vektora. Smjer je suprotan, ali to nije bitno, jer govorimo o dužini. Očigledno, dužina vektora je jednaka proizvodu modul brojeva po dužini vektora:
- znak modula "jede" mogući minus broja.

Na ovaj način:

odgovor:

Formula za kosinus ugla između vektora koji su dati koordinatama

sada imamo pune informacije da izrazimo prethodno izvedenu formulu za kosinus ugla između vektora u terminima koordinata vektora:

Kosinus ugla između ravnih vektora i , dato u ortonormalnoj bazi , izražava se formulom:
.

Kosinus ugla između vektora prostora, dato u ortonormalnoj bazi , izražava se formulom:

Primjer 16

Zadata su tri vrha trougla. Pronađite (ugao vrha).

Rješenje: Pod uslovom, crtež nije potreban, ali ipak:

Potreban ugao je označen zelenim lukom. Odmah se prisjetite školske oznake ugla: - Posebna pažnja na srednji slovo - ovo je vrh ugla koji nam je potreban. Radi kratkoće, moglo bi se napisati i jednostavno.

Iz crteža je sasvim očito da se kut trokuta poklapa sa uglom između vektora i , drugim riječima: .

Poželjno je naučiti kako se mentalno izvodi analiza.

Nađimo vektore:

Izračunajmo skalarni proizvod:

I dužine vektora:

Kosinus ugla:

Upravo ovaj redoslijed zadatka preporučujem lutkama. Napredniji čitaoci mogu da napišu izračune "u jednom redu":

Evo primjera "loše" kosinusne vrijednosti. Dobijena vrijednost nije konačna, tako da nema puno smisla da se riješimo iracionalnosti u nazivniku.

Nađimo ugao:

Ako pogledate crtež, rezultat je prilično uvjerljiv. Za provjeru kuta se može mjeriti i kutomjerom. Nemojte oštetiti premaz monitora =)

odgovor:

U odgovoru to ne zaboravite pitao o uglu trougla(a ne o kutu između vektora), ne zaboravite navesti tačan odgovor: i približnu vrijednost ugla: pronađeno pomoću kalkulatora.

Oni koji su uživali u procesu mogu izračunati uglove i uvjeriti se da je kanonska jednakost istinita

Primjer 17

Trokut je u prostoru dat koordinatama njegovih vrhova. Pronađite ugao između stranica i

Ovo je primjer rješenja uradi sam. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije

Mali završni dio bit će posvećen projekcijama, u koje je "uključen" i skalarni proizvod:

Projekcija vektora na vektor. Vektorska projekcija na koordinatne ose.
Kosinus smjera vektora

Razmotrimo vektore i :

Projektiramo vektor na vektor , za to izostavljamo početak i kraj vektora okomite po vektoru (zeleno isprekidane linije). Zamislite da zraci svjetlosti padaju okomito na vektor. Tada će segment (crvena linija) biti "sjena" vektora. U ovom slučaju, projekcija vektora na vektor je DUŽINA segmenta. To jest, PROJEKCIJA JE BROJ.

Ovaj BROJ je označen na sljedeći način: , "veliki vektor" označava vektor WHCH THE projekta, "mali indeksni vektor" označava vektor NA koji je projektovan.

Sam unos glasi ovako: „projekcija vektora „a” na vektor „be””.

Šta se dešava ako je vektor "be" "prekratak"? Crtamo pravu liniju koja sadrži vektor "be". I vektor "a" će već biti projektovan u smjeru vektora "biti", jednostavno - na pravoj liniji koja sadrži vektor "be". Ista stvar će se dogoditi ako se vektor "a" ostavi po strani u tridesetom kraljevstvu - i dalje će se lako projektovati na liniju koja sadrži vektor "be".

Ako je ugao između vektora ljuto(kao na slici), onda

Ako vektori ortogonalno, zatim (projekcija je tačka čije se dimenzije pretpostavljaju nulte).

Ako je ugao između vektora glupo(na slici mentalno preuredite strelicu vektora), zatim (iste dužine, ali uzeto sa znakom minus).

Odvojite ove vektore iz jedne tačke:

Očigledno, kada se pomjera vektor, njegova projekcija se ne mijenja

Definicija 1

Skalarni proizvod vektora naziva se broj jednak proizvodu dina ovih vektora i kosinusa ugla između njih.

Zapis za proizvod vektora a → i b → ima oblik a → , b → . Pretvorimo u formulu:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ . a → i b → označavaju dužine vektora, a → , b → ^ označavaju ugao između datih vektora. Ako je barem jedan vektor nula, odnosno ima vrijednost 0, tada će rezultat biti nula, a → , b → = 0

Kada množimo vektor sam po sebi, dobijamo kvadrat njegove dine:

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

Definicija 2

Skalarno množenje vektora samo po sebi naziva se skalarni kvadrat.

Izračunato prema formuli:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ .

Pisanje a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a → n p a → b → = b → n p b → a → pokazuje da je n p b → a → numerička projekcija a → na b → , n p a → a → - projekcija b → na a → respektivno.

Formuliramo definiciju proizvoda za dva vektora:

Skalarni proizvod dva vektora a → po b → naziva se proizvod dužine vektora a → projekcijom b → smjerom a → ili proizvod dužine b → projekcijom a →, respektivno.

Točkasti proizvod u koordinatama

Proračun skalarnog proizvoda može se izvršiti preko koordinata vektora u datoj ravni ili u prostoru.

Skalarni proizvod dva vektora na ravni, u trodimenzionalnom prostoru, naziva se zbir koordinata datih vektora a → i b → .

Prilikom izračunavanja na ravni tačkastog proizvoda datih vektora a → = (a x, a y) , b → = (b x, b y) u Dekartovom sistemu, koristite:

a → , b → = a x b x + a y b y ,

za trodimenzionalni prostor je primenljiv izraz:

a → , b → = a x b x + a y b y + a z b z .

Zapravo, ovo je treća definicija dot proizvoda.

Dokažimo to.

Dokaz 1

Da bismo to dokazali, koristimo a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a x b x + a y b y za vektore a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) na kartezijanskom sistemu.

Vektore treba odgoditi

O A → = a → = a x, a y i O B → = b → = b x, b y.

Tada će dužina vektora A B → biti jednaka A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) .

Posmatrajmo trougao O A B.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) je tačno, na osnovu kosinusne teoreme.

Po uslovu se vidi da je O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , pa formulu za nalaženje ugla između vektora pišemo drugačije

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a → , b → ^) .

Tada iz prve definicije proizlazi da je b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a → , b →) , dakle (a → , b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .

Primjenom formule za izračunavanje dužine vektora dobijamo:
a → , b → = 1 2 ((a 2 x + a y 2) 2 + (b 2 x + b y 2) 2 - ((b x - a x) 2 + (b y - a y) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (b x - a x) 2 - (b y - a y) 2) = = a x b x + a y b y

Dokažimo jednakosti:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

– za vektore trodimenzionalnog prostora.

Skalarni proizvod vektora sa koordinatama govori da je skalarni kvadrat vektora jednak zbroju kvadrata njegovih koordinata u prostoru i na ravni. a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) i (a → , a →) = a x 2 + a y 2 .

Tačkasti proizvod i njegova svojstva

Postoje svojstva tačkastog proizvoda koja se primjenjuju za a → , b → i c → :

1. komutativnost (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. distributivnost (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , c →) ;
3. asocijativno svojstvo (λ a → , b →) = λ (a → , b →) , (a → , λ b →) = λ (a → , b →) , λ - bilo koji broj;
4. skalarni kvadrat je uvijek veći od nule (a → , a →) ≥ 0, gdje je (a → , a →) = 0 kada je a → nula.

Primjer 1

Svojstva se objašnjavaju definicijom proizvoda tačke u ravni i svojstvima sabiranja i množenja realnih brojeva.

Dokazati svojstvo komutativnosti (a → , b →) = (b → , a →) . Iz definicije imamo da je (a → , b →) = a y b y + a y b y i (b → , a →) = b x a x + b y a y.

Po svojstvu komutativnosti, jednakosti a x · b x = b x · a x i a y · b y = b y · a y su tačne, pa su a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

Iz toga slijedi da je (a → , b →) = (b → , a →) . Q.E.D.

Distributivnost vrijedi za sve brojeve:

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)

i (a → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,

dakle imamo

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

Točkasti proizvod s primjerima i rješenjima

Svaki problem takvog plana rješava se korištenjem svojstava i formula za skalarni proizvod:

1. (a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a → , b →) = a x b x + a y b y ili (a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z ;
4. (a → , a →) = a → 2 .

Pogledajmo neke primjere rješenja.

Primjer 2

Dužina a → je 3, dužina b → je 7. Nađite tačkasti proizvod ako je ugao 60 stepeni.

Rješenje

Po uslovu imamo sve podatke, pa računamo po formuli:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Odgovor: (a → , b →) = 21 2 .

Primjer 3

Dati vektori a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) . Šta je skalarni proizvod.

Rješenje

AT ovaj primjer razmatra se formula za izračunavanje koordinata, pošto su one navedene u uslovu problema:

(a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Odgovor: (a → , b →) = - 9

Primjer 4

Pronađite unutrašnji proizvod A B → i A C → . Na koordinatnoj ravni date su tačke A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1).

Rješenje

Za početak izračunavaju se koordinate vektora, budući da su koordinate tačaka date uslovom:

A B → = (5 - 1 , 4 - (- 3)) = (4 , 7) A C → = (1 - 1 , 1 - (- 3)) = (0 , 4)

Zamjenom u formulu koristeći koordinate, dobijamo:

(A B → , A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28 .

Odgovor: (A B → , A C →) = 28 .

Primjer 5

Dati vektori a → = 7 m → + 3 n → i b → = 5 m → + 8 n → , pronađite njihov proizvod. m → je jednako 3 i n → je jednako 2 jedinice, one su okomite.

Rješenje

(a → , b →) = (7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) . Primjenom distributivnog svojstva dobijamo:

(7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) = = (7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →)

Uzimamo koeficijent izvan znaka proizvoda i dobijamo:

(7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 5 (m → , m →) + 7 8 (m → , n →) + 3 5 (n → , m →) + 3 8 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →)

Svojstvom komutativnosti transformiramo:

35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n → ) + 24 (n → , n →)

Kao rezultat, dobijamo:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) .

Sada primjenjujemo formulu za skalarni proizvod sa uglom određenim uslovom:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411 .

Odgovor: (a → , b →) = 411

Ako postoji numerička projekcija.

Primjer 6

Pronađite unutrašnji proizvod a → i b → . Vektor a → ima koordinate a → = (9 , 3 , - 3) , projekcija b → ima koordinate (- 3 , - 1 , 1) .

Rješenje

Po uslovu, vektori a → i projekcija b → su suprotno usmereni, jer a → = - 1 3 n p a → b → → , pa projekcija b → odgovara dužini n p a → b → → , a sa „-” znak:

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

Zamjenom u formulu dobijamo izraz:

(a → , b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33 .

Odgovor: (a → , b →) = - 33 .

Zadaci s poznatim skalarnim proizvodom, gdje je potrebno pronaći dužinu vektora ili numeričke projekcije.

Primjer 7

Koju vrijednost treba uzeti λ za dati skalarni proizvod a → \u003d (1, 0, λ + 1) i b → \u003d (λ, 1, λ) bit će jednak -1.

Rješenje

Iz formule se vidi da je potrebno pronaći zbir proizvoda koordinata:

(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ .

U datom imamo (a → , b →) = - 1 .

Da bismo pronašli λ , izračunavamo jednačinu:

λ 2 + 2 · λ = - 1 , dakle λ = - 1 .

Odgovor: λ = - 1 .

Fizičko značenje skalarnog proizvoda

Mehanika razmatra primenu tačkastog proizvoda.

Kada radite A sa konstantnom silom F → telo koje se kreće od tačke M do N, možete pronaći proizvod dužina vektora F → i M N → sa kosinusom ugla između njih, što znači da je rad jednak na proizvod vektora sile i pomaka:

A = (F → , M N →) .

Primjer 8

Pomicanje materijalne tačke za 3 metra pod djelovanjem sile od 5 Ntona usmjereno je pod uglom od 45 stepeni u odnosu na osu. Pronaci .

Rješenje

Pošto je rad proizvod vektora sile i pomaka, onda, na osnovu uslova F → = 5 , S → = 3 , (F → , S → ^) = 45 °, dobijamo A = (F → , S → ) = F → S → cos (F → , S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2 .

Odgovor: A = 15 2 2 .

Primjer 9

Materijalna tačka, krećući se od M (2, - 1, - 3) do N (5, 3 λ - 2, 4) pod silom F → = (3, 1, 2), radila je jednaka 13 J. Izračunajte dužina pokreta.

Rješenje

Za date koordinate vektora M N → imamo M N → = (5 - 2 , 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3 , 3 λ - 1 , 7) .

Formulom za pronalaženje rada sa vektorima F → = (3 , 1 , 2) i M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) dobijamo A = (F ⇒ , M N →) = 3 3 + 1 (3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3λ.

Pod uslovom je dato da je A = 13 J, što znači 22 + 3 λ = 13. To implicira λ = - 3 , dakle M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) = (3 , - 10 , 7) .

Da bismo pronašli dužinu putovanja M N → , primjenjujemo formulu i zamjenjujemo vrijednosti:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158 .

Odgovor: 158 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Tu će biti i zadaci za samostalno rješenje na koje možete vidjeti odgovore.

Ako su u zadatku i dužine vektora i ugao između njih prikazani "na srebrnom tanjiru", tada uslov zadatka i njegovo rešenje izgleda ovako:

Primjer 1 Dati su vektori. Pronađite skalarni proizvod vektora ako su njihove dužine i ugao između njih predstavljeni sljedećim vrijednostima:

Vrijedi i druga definicija, koja je potpuno ekvivalentna Definiciji 1.

Definicija 2. Skalarni proizvod vektora je broj (skalar) jednak proizvodu dužine jednog od ovih vektora i projekcije drugog vektora na osu određenu prvim od ovih vektora. Formula prema definiciji 2:

Rešićemo problem koristeći ovu formulu nakon sledeće važne teorijske tačke.

Definicija skalarnog proizvoda vektora u terminima koordinata

Isti broj se može dobiti ako su pomnoženi vektori dati njihovim koordinatama.

Definicija 3. Tačkasti proizvod vektora je broj jednak zbroju parnih proizvoda njihovih odgovarajućih koordinata.

Na površini

Ako su dva vektora i u ravni definisana sa svoja dva Kartezijanske koordinate

tada je tačkasti proizvod ovih vektora jednak zbroju parnih proizvoda njihovih odgovarajućih koordinata:

.

Primjer 2 Odrediti brojčanu vrijednost projekcije vektora na osu paralelnu vektoru.

Rješenje. Pronalazimo skalarni proizvod vektora dodavanjem parnih proizvoda njihovih koordinata:

Sada moramo izjednačiti rezultirajući skalarni proizvod sa proizvodom dužine vektora i projekcije vektora na os paralelnu vektoru (u skladu sa formulom).

Dužinu vektora nalazimo kao kvadratni korijen zbira kvadrata njegovih koordinata:

.

Napišite jednačinu i riješite je:

Odgovori. Tražim numerička vrijednost jednako minus 8.

U svemiru

Ako su dva vektora i u prostoru definirana sa svoje tri kartezijanske pravokutne koordinate

,

tada je skalarni proizvod ovih vektora također jednak zbroju parnih proizvoda njihovih odgovarajućih koordinata, samo što već postoje tri koordinate:

.

Zadatak pronalaženja skalarnog proizvoda na razmatrani način je nakon analize svojstava skalarnog proizvoda. Jer u zadatku će biti potrebno odrediti koji ugao formiraju pomnoženi vektori.

Svojstva tačkastog proizvoda vektora

Algebarska svojstva

1. (komutativno svojstvo: vrijednost njihovog skalarnog proizvoda se ne mijenja od promjene mjesta pomnoženih vektora).

2. (asocijativno svojstvo u odnosu na numerički faktor: skalarni proizvod vektora pomnožen nekim faktorom i drugog vektora jednak je skalarnom proizvodu ovih vektora pomnoženim istim faktorom).

3. (distributivno svojstvo u odnosu na zbir vektora: skalarni proizvod zbira dva vektora trećim vektorom jednak je zbiru skalarnih proizvoda prvog vektora trećim vektorom i drugog vektora trećim vektorom).

4. (skalarni kvadrat vektora veći od nule) if je vektor različit od nule, i , if je nulti vektor.

Geometrijska svojstva

U definicijama operacije koja se proučava, već smo se dotakli pojma ugla između dva vektora. Vrijeme je da razjasnimo ovaj koncept.

Na gornjoj slici su vidljiva dva vektora koji su svedeni na zajednički početak. I prva stvar na koju morate obratiti pažnju: postoje dva ugla između ovih vektora - φ 1 i φ 2 . Koji se od ovih uglova pojavljuje u definicijama i svojstvima skalarnog proizvoda vektora? Zbir razmatranih uglova je 2 π i stoga su kosinusi ovih uglova jednaki. Definicija dot proizvoda uključuje samo kosinus ugla, ne i vrijednost njegovog izraza. Ali samo jedan ugao se razmatra u nekretninama. A ovo je jedan od dva ugla koji ne prelazi π tj. 180 stepeni. Ovaj ugao je prikazan na slici kao φ 1 .

1. Pozivaju se dva vektora ortogonalno i ugao između ovih vektora je pravi (90 stepeni ili π /2 ) ako skalarni proizvod ovih vektora je nula :

.

Ortogonalnost u vektorskoj algebri je okomitost dva vektora.

2. Dva vektora različita od nule čine oštri ugao (od 0 do 90 stepeni, ili, što je isto, manje π tačkasti proizvod je pozitivan .

3. Dva vektora različita od nule čine tupi ugao (od 90 do 180 stepeni, ili, što je isto - više π /2 ) ako i samo ako tačkasti proizvod je negativan .

Primjer 3 Vektori su dati u koordinatama:

.

Izračunajte produkte svih parova datih vektora. Koji ugao (oštar, pravi, tup) formiraju ovi parovi vektora?

Rješenje. Izračunat ćemo zbrajanjem proizvoda odgovarajućih koordinata.

Dobili smo negativan broj, tako da vektori formiraju tup ugao.

Dobili smo pozitivan broj, tako da vektori formiraju oštar ugao.

Dobili smo nulu, tako da vektori formiraju pravi ugao.

Dobili smo pozitivan broj, tako da vektori formiraju oštar ugao.

.

Dobili smo pozitivan broj, tako da vektori formiraju oštar ugao.

Za samotestiranje možete koristiti online kalkulator Tačkasti proizvod vektora i kosinus ugla između njih .

Primjer 4 S obzirom na dužine dva vektora i ugao između njih:

.

Odrediti pri kojoj vrijednosti broja su vektori i ortogonalni (upravni).

Rješenje. Vektore množimo prema pravilu množenja polinoma:

Sada izračunajmo svaki pojam:

.

Sastavimo jednačinu (jednakost proizvoda nuli), damo slične članove i riješimo jednačinu:

Odgovor: dobili smo vrijednost λ = 1.8, pri čemu su vektori ortogonalni.

Primjer 5 Dokazati da je vektor ortogonalno (upravno) na vektor

Rješenje. Da bismo provjerili ortogonalnost, množimo vektore i kao polinome, zamjenjujući izraz dat u uvjetu problema umjesto njega:

.

Da biste to učinili, trebate pomnožiti svaki član (član) prvog polinoma sa svakim članom drugog i dodati rezultirajuće proizvode:

.

Kao rezultat toga, dospjeli dio se smanjuje. Dobija se sljedeći rezultat:

Zaključak: kao rezultat množenja dobili smo nulu, dakle, dokazana je ortogonalnost (okomitost) vektora.

Riješite problem sami, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 6 S obzirom na dužine vektora i , i kut između ovih vektora je π /četiri . Odredite po kojoj vrijednosti μ vektori i međusobno su okomiti.

Za samotestiranje možete koristiti online kalkulator Tačkasti proizvod vektora i kosinus ugla između njih .

Matrični prikaz skalarnog proizvoda vektora i proizvoda n-dimenzionalnih vektora

Ponekad je, radi jasnoće, korisno predstaviti dva pomnožena vektora u obliku matrica. Tada je prvi vektor predstavljen kao matrica reda, a drugi - kao matrica stupaca:

Tada će skalarni proizvod vektora biti proizvod ovih matrica :

Rezultat je isti kao onaj dobiven metodom koju smo već razmatrali. Dobili smo jedan jedini broj, a proizvod reda matrice na kolonu matrice je također jedan jedini broj.

U matričnom obliku, zgodno je predstaviti proizvod apstraktnih n-dimenzionalnih vektora. Dakle, proizvod dva četvorodimenzionalna vektora će biti proizvod matrice reda sa četiri elementa sa matricom kolone takođe sa četiri elementa, proizvod dva petodimenzionalna vektora će biti proizvod matrice reda sa pet elemenata po matrica stupaca također sa pet elemenata, i tako dalje.

Primjer 7 Pronađite tačkaste proizvode parova vektora

,

koristeći matričnu reprezentaciju.

Rješenje. Prvi par vektora. Prvi vektor predstavljamo kao matricu reda, a drugi kao matricu stupaca. Nalazimo skalarni proizvod ovih vektora kao proizvod matrice reda na matricu stupaca:

Slično, predstavljamo drugi par i nalazimo:

Kao što vidite, rezultati su isti kao za iste parove iz primjera 2.

Ugao između dva vektora

Izvođenje formule za kosinus ugla između dva vektora je vrlo lijepo i sažeto.

Da se izrazi tačkasti proizvod vektora

(1)

u koordinatnom obliku, prvo nalazimo skalarni proizvod ortova. Skalarni proizvod vektora sa samim sobom je po definiciji:

Ono što je napisano u gornjoj formuli znači: skalarni proizvod vektora sa samim sobom jednak je kvadratu njegove dužine. Kosinus nule jednak je jedan, pa će kvadrat svakog orta biti jednak jedan:

Pošto su vektori

su po parovima okomite, tada će parni proizvodi ortova biti jednaki nuli:

Sada izvršimo množenje vektorskih polinoma:

Zamjenjujemo vrijednosti odgovarajućih skalarnih proizvoda ortova u desnu stranu jednakosti:

Dobijamo formulu za kosinus ugla između dva vektora:

Primjer 8 Dato tri boda A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Pronađite ugao.

Rješenje. Nalazimo koordinate vektora:

,

.

Koristeći formulu za kosinus ugla, dobijamo:

Shodno tome, .

Za samotestiranje možete koristiti online kalkulator Tačkasti proizvod vektora i kosinus ugla između njih .

Primjer 9 Zadana dva vektora

Pronađite zbir, razliku, dužinu, tačkasti proizvod i ugao između njih.

2.Razlika