Există așa ceva în matematică ca limita unei funcții. Pentru a înțelege cum să găsiți limite, trebuie să vă amintiți definiția limitei unei funcții: o funcție f (x) are o limită L într-un punct x = a dacă pentru fiecare succesiune de valori a lui x care converge către punctul a, succesiunea valorilor lui y se apropie de:

• L lim f(x) = L

Conceptul și proprietățile limitelor

Ce este o limită poate fi înțeles dintr-un exemplu. Să presupunem că avem funcția y=1/x. Dacă creștem constant valoarea lui x și ne uităm la ce este egal cu y, vom obține valori din ce în ce mai descrescătoare: la x=10000 y=1/10000; la x=1000000 y=1/1000000. Acestea. cu cât mai mult x, cu atât mai puțin y. Dacă x=∞, y va fi atât de mic încât poate fi considerat egal cu 0. Astfel, limita funcției y=1/x pe măsură ce x tinde spre ∞ este egală cu 0. Se scrie astfel:

• lim1/х=0

Limita unei funcții are câteva proprietăți pe care trebuie să le rețineți: acest lucru va facilita foarte mult rezolvarea problemelor privind găsirea limitelor:

• Limita sumei este egală cu suma limitelor: lim(x+y)=lim x+lim y
• Limita produsului este egală cu produsul limitelor: lim(xy)=lim x*lim y
• Limita câtului este egală cu câtul limitelor: lim(x/y)=lim x/lim y
• Factorul constant este scos din semnul limită: lim(Cx)=C lim x

Funcția y=1/x, în care x →∞, are o limită egală cu zero; pentru x→0, limita este egală cu ∞.

• lim (sin x)/x=1 x→0

Prima limită remarcabilă este următoarea egalitate:

\begin(equation)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation)

Deoarece pentru $\alpha\to(0)$ avem $\sin\alpha\to(0)$, se spune că prima limită remarcabilă dezvăluie o incertitudine de forma $\frac(0)(0)$. În general, în formula (1), în locul variabilei $\alpha$, orice expresie poate fi plasată sub semnul sinus și la numitor, atâta timp cât sunt îndeplinite două condiții:

1. Expresiile de sub semnul sinus și din numitor tind simultan spre zero, adică. există incertitudinea formei $\frac(0)(0)$.
2. Expresiile de sub semnul sinus și la numitor sunt aceleași.

Corolarele din prima limită remarcabilă sunt, de asemenea, adesea folosite:

\begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(ecuație)

Unsprezece exemple sunt rezolvate pe această pagină. Exemplul nr. 1 este dedicat demonstrarii formulelor (2)-(4). Exemplele nr. 2, nr. 3, nr. 4 și nr. 5 conțin soluții cu comentarii detaliate. Exemplele nr. 6-10 conțin soluții practic fără comentarii, deoarece explicațiile detaliate au fost date în exemplele anterioare. Soluția folosește câteva formule trigonometrice care poate fi găsit.

Observ că prezența funcții trigonometrice cuplat cu incertitudinea $\frac (0) (0)$ nu înseamnă încă aplicarea obligatorie a primei limite remarcabile. Uneori sunt suficiente transformări trigonometrice simple - de exemplu, vezi.

Exemplul nr. 1

Demonstrați că $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Deoarece $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, atunci:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Deoarece $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ și $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$, Acea:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Să facem schimbarea $\alpha=\sin(y)$. Deoarece $\sin(0)=0$, atunci din condiția $\alpha\to(0)$ avem $y\to(0)$. În plus, există o vecinătate de zero în care $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, deci:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Egalitatea $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ a fost dovedită.

c) Să facem înlocuirea $\alpha=\tg(y)$. Deoarece $\tg(0)=0$, atunci condițiile $\alpha\to(0)$ și $y\to(0)$ sunt echivalente. În plus, există o vecinătate de zero în care $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, prin urmare, pe baza rezultatelor punctului a), vom avea:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\la(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\la(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Egalitatea $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ a fost dovedită.

Egalitățile a), b), c) sunt adesea folosite împreună cu prima limită remarcabilă.

Exemplul nr. 2

Calculați limita $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) ( x+7))$.

Deoarece $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ și $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, i.e. si atat numaratorul cat si numitorul fractiei tind simultan spre zero, atunci aici avem de-a face cu o incertitudine de forma $\frac(0)(0)$, i.e. Terminat. În plus, este clar că expresiile de sub semnul sinus și din numitor coincid (adică și este satisfăcut):

Deci, ambele condiții enumerate la începutul paginii sunt îndeplinite. De aici rezultă că formula este aplicabilă, i.e. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

Răspuns: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Exemplul nr. 3

Găsiți $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Deoarece $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ și $\lim_(x\to(0))x=0$, atunci avem de-a face cu o incertitudine de forma $\frac (0 )(0)$, adică Terminat. Cu toate acestea, expresiile de sub semnul sinus și din numitor nu coincid. Aici trebuie să ajustați expresia din numitor la forma dorită. Avem nevoie ca expresia $9x$ să fie la numitor, atunci va deveni adevărată. În esență, ne lipsește un factor de 9 USD în numitor, care nu este atât de greu de introdus - doar înmulțiți expresia din numitor cu 9 USD. Desigur, pentru a compensa înmulțirea cu $9$, va trebui să împărțiți imediat la $9$:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$

Acum, expresiile de la numitor și de sub semnul sinus coincid. Ambele condiții pentru limita $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ sunt îndeplinite. Prin urmare, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Și asta înseamnă că:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Exemplul nr. 4

Găsiți $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Deoarece $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ și $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, aici avem de-a face cu incertitudinea formei $\frac(0)(0)$. Cu toate acestea, forma primei limite remarcabile este încălcată. Un numărător care conține $\sin(5x)$ necesită un numitor de $5x$. În această situație, cel mai simplu mod este să împărțiți numărătorul cu $5x$ și să înmulțiți imediat cu $5x$. În plus, vom efectua o operație similară cu numitorul, înmulțind și împărțind $\tg(8x)$ la $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Reducând cu $x$ și luând constanta $\frac(5)(8)$ în afara semnului limită, obținem:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Rețineți că $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ îndeplinește pe deplin cerințele pentru prima limită remarcabilă. Pentru a găsi $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ se aplică următoarea formulă:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Exemplul nr. 5

Găsiți $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Deoarece $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (rețineți că $\cos(0)=1$) și $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, atunci avem de-a face cu incertitudinea de forma $\frac(0)(0)$. Totuși, pentru a aplica prima limită remarcabilă, ar trebui să scăpați de cosinusul din numărător, trecând la sinusuri (pentru a aplica apoi formula) sau tangente (pentru a aplica apoi formula). Acest lucru se poate face cu următoarea transformare:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Să revenim la limită:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$

Fracția $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ este deja apropiată de forma necesară pentru prima limită remarcabilă. Să lucrăm puțin cu fracția $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, ajustând-o la prima limită remarcabilă (rețineți că expresiile din numărător și sub sinus trebuie să se potrivească):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Să revenim la limita în cauză:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Exemplul nr. 6

Găsiți limita $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Deoarece $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ și $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, atunci avem de-a face cu incertitudinea $\frac(0)(0)$. Să o dezvăluim cu ajutorul primei limite remarcabile. Pentru a face acest lucru, să trecem de la cosinus la sinusuri. Deoarece $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, atunci:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Trecând la sinusuri în limita dată, vom avea:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) = 9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Exemplul nr. 7

Calculați limita $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ sub rezerva $\alpha\neq \ beta$.

Explicații detaliate au fost date mai devreme, dar aici pur și simplu observăm că din nou există incertitudine $\frac(0)(0)$. Să trecem de la cosinus la sinus folosind formula

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Folosind această formulă, obținem:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\dreapta| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.

Exemplul nr. 8

Găsiți limita $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Deoarece $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (rețineți că $\sin(0)=\tg(0)=0$) și $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, atunci aici avem de-a face cu incertitudinea de forma $\frac(0)(0)$. Să-l defalcăm după cum urmează:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1) ) =\frac(1)(2). $$

Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Exemplul nr. 9

Găsiți limita $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Deoarece $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ și $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, atunci există incertitudinea formei $\frac(0)(0)$. Înainte de a trece la extinderea acesteia, este convenabil să faceți o schimbare de variabilă în așa fel încât noua variabilă să tinde spre zero (rețineți că în formule variabila $\alpha \to 0$). Cel mai simplu mod este introducerea variabilei $t=x-3$. Cu toate acestea, pentru comoditatea transformărilor ulterioare (acest beneficiu poate fi văzut în cursul soluției de mai jos), merită să faceți următoarea înlocuire: $t=\frac(x-3)(2)$. Remarc că ambele înlocuiri sunt aplicabile în acest caz, doar că a doua înlocuire vă va permite să lucrați mai puțin cu fracții. Din moment ce $x\la(3)$, atunci $t\la(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\dreapta| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Răspuns: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Exemplul nr. 10

Găsiți limita $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.

Încă o dată avem de-a face cu incertitudinea $\frac(0)(0)$. Înainte de a trece la extinderea acesteia, este convenabil să faceți o schimbare de variabilă în așa fel încât noua variabilă să tindă spre zero (rețineți că în formule variabila este $\alpha\to(0)$). Cel mai simplu mod este să introduceți variabila $t=\frac(\pi)(2)-x$. Deoarece $x\la\frac(\pi)(2)$, atunci $t\la(0)$:

$$ \lim_(x\la\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\stânga|\frac(0)(0)\dreapta| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Răspuns: $\lim_(x\la\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

Exemplul nr. 11

Găsiți limitele $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

În acest caz nu trebuie să folosim prima limită minunată. Vă rugăm să rețineți că atât prima cât și a doua limită conțin numai funcții și numere trigonometrice. Adesea în exemple de acest fel este posibilă simplificarea expresiei situate sub semnul limită. Mai mult, după simplificarea și reducerea menționată mai sus a unor factori, incertitudinea dispare. Am dat acest exemplu doar cu un singur scop: să arăt că prezența funcțiilor trigonometrice sub semnul limită nu înseamnă neapărat utilizarea primei limite remarcabile.

Deoarece $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (rețineți că $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) și $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (permiteți-mi să vă reamintesc că $\cos\frac(\pi)(2)=0$), atunci avem care se ocupă de incertitudinea formei $\frac(0)(0)$. Totuși, asta nu înseamnă că va trebui să folosim prima limită minunată. Pentru a dezvălui incertitudinea, este suficient să luăm în considerare faptul că $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\la\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Există o soluție similară în cartea de soluții a lui Demidovich (nr. 475). În ceea ce privește a doua limită, ca și în exemplele anterioare din această secțiune, avem o incertitudine de forma $\frac(0)(0)$. De ce apare? Apare deoarece $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ și $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Folosim aceste valori pentru a transforma expresiile în numărător și numitor. Scopul acțiunilor noastre este de a nota suma în numărător și numitor ca produs. Apropo, adesea în cadrul unui tip similar este convenabil să se schimbe o variabilă, făcută în așa fel încât noua variabilă să tinde spre zero (vezi, de exemplu, exemplele nr. 9 sau nr. 10 de pe această pagină). Cu toate acestea, în în acest exemplu nu are rost să o înlocuiești, deși, dacă se dorește, înlocuirea variabilei $t=x-\frac(2\pi)(3)$ nu este dificil de implementat.

$$ \lim_(x\la\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ la\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\la\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

După cum puteți vedea, nu a trebuit să aplicăm prima limită minunată. Desigur, puteți face acest lucru dacă doriți (vezi nota de mai jos), dar nu este necesar.

Care este soluția folosind prima limită remarcabilă? arată ascunde

Folosind prima limită remarcabilă obținem:

$$ \lim_(x\la\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ dreapta))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3)) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Răspuns: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\la\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

Teoria limitelor- una dintre secțiunile analizei matematice pe care unii o pot stăpâni, în timp ce alții au dificultăți în calcularea limitelor. Întrebarea găsirii limitelor este destul de generală, deoarece există zeci de tehnici limite de soluție tipuri variate. Aceleași limite pot fi găsite atât folosind regula lui L'Hopital, cât și fără ea. Se întâmplă ca programarea unei serii de funcții infinitezimale vă permite să obțineți rapid rezultatul dorit. Există un set de tehnici și trucuri care vă permit să găsiți limita unei funcții de orice complexitate. În acest articol vom încerca să înțelegem principalele tipuri de limite care sunt cel mai des întâlnite în practică. Nu vom da aici teoria și definiția limitei; există multe resurse pe Internet unde se discută acest lucru. Prin urmare, să trecem la calcule practice, aici este locul în care „Nu știu! Nu pot! Nu am fost învățați!”

Calcularea limitelor folosind metoda substituției

Exemplul 1. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Rezolvare: Exemple de acest fel pot fi calculate teoretic folosind substituția obișnuită

Limita este 18/11.
Nu este nimic complicat sau înțelept în legătură cu astfel de limite - am înlocuit valoarea, am calculat-o și am notat limita ca răspuns. Cu toate acestea, pe baza unor astfel de limite, toată lumea este învățată că, în primul rând, trebuie să înlocuiască valoarea în funcție. În plus, limitele devin mai complicate, introducând conceptul de infinit, incertitudine și altele asemenea.

O limită cu incertitudine ca infinitul împărțit la infinit. Tehnici de dezvăluire a incertitudinii

Exemplul 2. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=infinit).
Rezolvare: este dată o limită a formei polinom împărțită la un polinom, iar variabila tinde spre infinit

Pur și simplu înlocuirea valorii la care ar trebui găsită variabila pentru a găsi limitele nu va ajuta, obținem o incertitudine de forma infinit împărțită la infinit.
Conform teoriei limitelor, algoritmul de calcul al limitei este de a găsi cea mai mare putere a lui „x” în numărător sau numitor. În continuare, numărătorul și numitorul sunt simplificați la acesta și se găsește limita funcției

Deoarece valoarea tinde spre zero atunci când variabila se apropie de infinit, acestea sunt neglijate sau sunt scrise în expresia finală sub formă de zerouri

Imediat din practică, puteți obține două concluzii care sunt un indiciu în calcule. Dacă o variabilă tinde spre infinit și gradul numărătorului este mai mare decât gradul numitorului, atunci limita este egală cu infinitul. În caz contrar, dacă polinomul din numitor este de ordin mai mare decât în ​​numărător, limita este zero.
Limita poate fi scrisă în formule ca aceasta:

Dacă avem o funcție de forma unui câmp obișnuit fără fracții, atunci limita sa este egală cu infinitul

Următorul tip de limite se referă la comportamentul funcțiilor aproape de zero.

Exemplul 3. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Soluție: Nu este nevoie să eliminați aici factorul conducător al polinomului. Exact invers, trebuie să găsiți cea mai mică putere a numărătorului și numitorului și să calculați limita

Valoarea x^2; x tinde spre zero atunci când variabila tinde spre zero. Prin urmare, ele sunt neglijate, așa că obținem

că limita este 2,5.

Acum știi cum să găsiți limita unei funcții din formă, împărțiți un polinom la un polinom dacă variabila tinde spre infinit sau 0. Dar aceasta este doar o mică și ușoară parte a exemplelor. Din următorul material veți învăța cum să descoperiți incertitudinile în limitele unei funcții.

Limită cu incertitudine de tip 0/0 și metode de calcul a acesteia

Toată lumea își amintește imediat regula că nu poți împărți la zero. Totuși, teoria limitelor în acest context implică funcții infinitezimale.
Să ne uităm la câteva exemple pentru claritate.

Exemplul 4. Găsiți limita unei funcții
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Rezolvare: Când înlocuim valoarea variabilei x = -1 în numitor, obținem zero și obținem același lucru la numărător. Deci avem incertitudinea formei 0/0.
Abordarea unei astfel de incertitudini este simplă: trebuie să factorizați polinomul sau, mai degrabă, să selectați factorul care transformă funcția în zero.

După extindere, limita funcției poate fi scrisă ca

Aceasta este întreaga metodă de calcul a limitei unei funcții. Facem același lucru dacă există o limită a formei polinom împărțit la un polinom.

Exemplul 5. Găsiți limita unei funcții
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Soluție: Substituirea directă arată
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
ce avem incertitudine de tip 0/0.
Să împărțim polinoamele la factorul care introduce singularitatea


Există profesori care învață că polinoamele de ordinul 2, adică de tipul „ecuații pătratice”, trebuie rezolvate prin discriminant. Dar practica reală arată că acest lucru este mai lung și mai confuz, așa că scăpați de caracteristicile în limitele conform algoritmului specificat. Astfel, scriem funcția sub formă de factori simpli și o calculăm în limită

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în calcularea unor astfel de limite. În momentul studierii limitelor, știți să împărțiți polinoamele. macar Conform programului, ar trebui să treacă deja.
Printre sarcinile pe incertitudine de tip 0/0 Există unele în care trebuie să utilizați formule de înmulțire abreviate. Dar dacă nu le cunoașteți, atunci împărțind un polinom la un monom puteți obține formula dorită.

Exemplul 6. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Rezolvare: Avem o incertitudine de tip 0/0. La numărător folosim formula de înmulțire prescurtată

și calculați limita necesară

Metodă de dezvăluire a incertitudinii prin înmulțirea cu conjugatul său

Metoda se aplică la limitele în care incertitudinea este generată de funcțiile iraționale. Numătorul sau numitorul se transformă în zero în punctul de calcul și nu se știe cum să se găsească granița.

Exemplul 7. Găsiți limita unei funcții
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Soluţie: Să reprezentăm variabila în formula limită

La substituire, obținem o incertitudine de tip 0/0.
Conform teoriei limitelor, modalitatea de a ocoli această caracteristică este de a multiplica expresia irațională cu conjugatul ei. Pentru a vă asigura că expresia nu se schimbă, numitorul trebuie împărțit la aceeași valoare

Folosind regula diferenței de pătrate, simplificăm numărătorul și calculăm limita funcției

Simplificam termenii care creeaza singularitatea in limita si efectuam substitutia

Exemplul 8. Găsiți limita unei funcții
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Rezolvare: Substituția directă arată că limita are o singularitate de forma 0/0.

Pentru a extinde, înmulțim și împărțim la conjugatul numărătorului

Notăm diferența de pătrate

Simplificam termenii care introduc singularitatea si gasim limita functiei

Exemplul 9. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Soluție: Înlocuiți doi în formulă

Primim incertitudine 0/0.
Numitorul trebuie înmulțit cu expresia conjugată, iar la numărător trebuie rezolvată sau factorizată ecuația pătratică, ținând cont de singularitate. Deoarece se știe că 2 este o rădăcină, găsim a doua rădăcină folosind teorema lui Vieta

Astfel, scriem numeratorul sub forma

și înlocuiți-l în limită

Prin reducerea diferenței de pătrate, scăpăm de singularitățile din numărător și numitor

În acest fel, puteți scăpa de singularități în multe exemple, iar aplicația trebuie remarcată oriunde o anumită diferență de rădăcini se transformă în zero în timpul înlocuirii. Alte tipuri de limite se referă funcții exponențiale, funcții infinitezimale, logaritmi, limite speciale și alte tehnici. Dar puteți citi despre acest lucru în articolele enumerate mai jos despre limite.

Aplicație

Limite online pe site pentru elevi și școlari să consolideze pe deplin materialul pe care l-au acoperit. Cum să găsiți limita online folosind resursa noastră? Acest lucru este foarte ușor de făcut; trebuie doar să scrieți corect funcția originală cu variabila x, să selectați infinitul dorit din selector și să faceți clic pe butonul „Rezolvare”. În cazul în care limita unei funcții trebuie calculată la un punct x, atunci trebuie să indicați valoarea numerică a acestui punct. Veți primi un răspuns la soluționarea limitei în câteva secunde, cu alte cuvinte - instantaneu. Cu toate acestea, dacă furnizați date incorecte, serviciul vă va anunța automat despre eroare. Corectați funcția introdusă anterior și obțineți decizia corectă limită. Pentru a rezolva limitele se aplică toate tehnici posibile, metoda lui L'Hopital este folosită mai ales des, deoarece este universală și duce la un răspuns mai rapid decât alte metode de calcul a limitei unei funcții. Este interesant să ne uităm la exemple în care modulul este prezent. Apropo, conform regulilor resursei noastre, un modul este notat cu bara verticală clasică în matematică „|” sau Abs(f(x)) din absolutul latin. Adesea, rezolvarea unei limite este necesară pentru a calcula suma unei secvențe de numere. După cum știe toată lumea, trebuie doar să exprimați corect suma parțială a secvenței studiate, iar apoi totul este mult mai simplu, datorită serviciului nostru gratuit de site-uri web, deoarece calcularea limitei sumei parțiale este suma finală a secvenței numerice. În general, teoria trecerii la limită este conceptul de bază al oricărei analize matematice. Totul se bazează tocmai pe treceri la limite, adică rezolvarea limitelor stă la baza științei analizei matematice. În integrare se folosește și trecerea la limită, când integrala, conform teoriei, este reprezentată ca suma unui număr nelimitat de arii. Acolo unde există un număr nelimitat de ceva, adică tendința numărului de obiecte la infinit, atunci teoria tranzițiilor limită intră întotdeauna în vigoare și, în forma sa general acceptată, aceasta este o soluție la limitele familiare tuturor. Rezolvarea limitelor online pe site este un serviciu unic pentru primirea unui răspuns precis și instantaneu în timp real. Limită funcție (valoarea limită a funcției) în punct dat, limitativ pentru domeniul de definire al unei funcții, este valoarea la care tinde valoarea funcției luate în considerare pe măsură ce argumentul său tinde către un punct dat. Nu este neobișnuit, și am spune chiar foarte des, că studenții își pun problema rezolvării limitelor online atunci când studiază analiza matematică. Te întrebi despre rezolvarea unei limite online cu solutie detaliata Numai în cazuri speciale, devine clar că este imposibil să faci față unei sarcini complexe fără utilizarea unui calculator de limită de calcul. Rezolvarea limitelor cu serviciul nostru este o garanție a acurateții și simplității.Limita unei funcții este o generalizare a conceptului de limită a unei secvențe: inițial, limita unei funcții într-un punct a fost înțeleasă ca limita a unei secvențe de elemente ale domeniului de valori ale unei funcții, compuse din imagini ale punctelor unei secvențe de elemente ale domeniului de definire a unei funcții care converg către un punct dat (limita la care se ia în considerare); dacă există o astfel de limită, atunci se spune că funcția converge la valoarea specificată; dacă o astfel de limită nu există, atunci se spune că funcția diverge. Rezolvarea limitelor online devine un răspuns ușor pentru utilizatori, cu condiția să știe cum să rezolve limitele online folosind site-ul web. Să rămânem concentrați și să nu lăsăm greșelile să ne provoace necazuri sub forma unor note nesatisfăcătoare. Ca orice solutie de limitare online, problema dumneavoastra va fi prezentata intr-o forma comoda si inteligibila, cu o solutie detaliata, cu respectarea tuturor regulilor si reglementarilor pentru obtinerea unei solutii. Cel mai adesea, definiția limitei unei funcții este formulată în limbajul cartierelor. Aici, limitele unei funcții sunt considerate numai în punctele care sunt limitative pentru domeniul de definire al funcției, adică în fiecare vecinătate a unui punct dat există puncte din domeniul de definire al acestei funcții. Acest lucru ne permite să vorbim despre tendința argumentului funcției la un punct dat. Dar punctul limită al domeniului definiției nu trebuie să aparțină domeniului definiției în sine, iar acest lucru se dovedește prin rezolvarea limitei: de exemplu, se poate considera limita unei funcții la capetele intervalului deschis pe care funcția este definită. În acest caz, limitele intervalului în sine nu sunt incluse în domeniul definiției. În acest sens, un sistem de vecinătăți perforate ale unui punct dat este un caz special al unei astfel de baze de mulțimi. Rezolvarea limitelor online cu o soluție detaliată se face în timp real și folosind formule într-o formă specificată în mod explicit.Puteți economisi timp și, cel mai important, bani, deoarece nu cerem compensații pentru acest lucru. Dacă la un moment dat în domeniul definiției unei funcții există o limită și soluția acestei limite este egală cu valoarea funcției în acest punct, atunci funcția se dovedește a fi continuă într-un astfel de punct. Pe site-ul nostru, soluția la limite este disponibilă online 24 de ore pe zi, în fiecare zi și în fiecare minut.Folosirea calculatorului de limită este foarte importantă și principalul lucru este să-l folosești de fiecare dată când trebuie să-ți testezi cunoștințele. Elevii beneficiază în mod clar de toată această funcționalitate. Calcularea limitei folosind și aplicarea numai a teoriei nu va fi întotdeauna atât de simplă, așa cum spun studenții cu experiență ai departamentelor de matematică ale universităților din țară. Faptul rămâne un fapt dacă există un scop. De obicei, soluția găsită la limite nu este aplicabilă local pentru formularea problemei. Un elev se va bucura de îndată ce va descoperi un calculator de limită online pe Internet și disponibil gratuit, și nu numai pentru el, ci pentru toată lumea. Scopul ar trebui privit ca matematică, în înțelegerea sa generală. Dacă întrebați pe internet cum să găsiți limita online în detaliu, atunci masa de site-uri care apar ca urmare a solicitării nu va ajuta așa cum vom face noi. Diferența dintre părți se înmulțește cu echivalența incidentului. Limita legitimă inițială a unei funcții trebuie determinată de formularea însăși a problemei matematice. Hamilton avea dreptate, dar merită să luăm în considerare declarațiile contemporanilor săi. Calcularea limitelor online nu este deloc o sarcină atât de dificilă pe cât i-ar părea cuiva la prima vedere... Pentru a nu sparge adevărul teoriilor de nezdruncinat. Revenind la situația inițială, este necesar să se calculeze limita rapid, eficient și într-o formă frumos formatată. Ar fi posibil să se facă altfel? Această abordare este evidentă și justificată. Calculatorul de limită este conceput pentru a crește cunoștințele, pentru a îmbunătăți calitatea scrisului teme pentru acasăși ridică-te starea de spirit generala printre elevi, va fi potrivit pentru ei. Trebuie doar să gândești cât mai repede posibil și mintea va triumfa. A vorbi în mod explicit despre limitele termenilor de interpolare online este o activitate foarte sofisticată pentru profesioniștii din meseria lor. Prezim raportul sistemului de diferențe neplanificate în puncte din spațiu. Și din nou, problema se reduce la incertitudine, pe baza faptului că limita funcției există la infinit și într-o anumită vecinătate a unui punct local pe o axa x dată după o transformare afină a expresiei inițiale. Va fi mai ușor să analizați ascensiunea punctelor din avion și din vârful spațiului. ÎN situatie generala nu se spun lucruri despre derivarea unei formule matematice, atât în ​​realitate, cât și în teorie, astfel încât calculatorul de limită online este folosit în scopul propus în acest sens. Fără a defini limita online, îmi este greu să efectuez calcule suplimentare în domeniul studierii spațiului curbiliniu. Nu ar fi mai ușor în ceea ce privește găsirea adevăratului răspuns corect. Este imposibil de calculat o limită dacă un anumit punct din spațiu este incert în prealabil? Să respingem existența răspunsurilor dincolo de aria de studiu. Rezolvarea limitelor poate fi discutată din punct de vedere al analizei matematice ca început al studiului succesiunii de puncte de pe axă. Simplul fapt al calculului poate fi inadecvat. Numerele sunt reprezentabile ca o succesiune infinită și sunt identificate prin notația inițială după ce am rezolvat limita online în detaliu conform teoriei. Justificată în favoarea celei mai bune valori. Rezultatul limitei funcției, ca o eroare evidentă într-o problemă formulată incorect, poate distorsiona ideea procesului mecanic real al unui sistem instabil. Abilitatea de a exprima sens direct în zona de vizionare. Prin asocierea unei limite online cu o notație similară a unei valori limită unilaterale, este mai bine să evitați exprimarea acesteia în mod explicit folosind formule de reducere. Pe lângă începerea executării proporționale a sarcinii. Vom extinde polinomul după ce putem calcula limita unilaterală și o vom scrie la infinit. Gândurile simple duc la un rezultat adevărat în analiza matematică. O simplă soluție a limitelor se reduce adesea la un grad diferit de egalitate a ilustrațiilor matematice opuse executate. Liniile și numerele Fibonacci au descifrat calculatorul de limită online, în funcție de aceasta, puteți comanda un calcul nelimitat și poate că complexitatea va trece în fundal. Procesul de desfășurare a graficului pe un plan într-o porțiune de spațiu tridimensional este în desfășurare. Acest lucru a insuflat nevoia de opinii diferite asupra unei probleme matematice complexe. Cu toate acestea, rezultatul nu va întârzia să apară. Cu toate acestea, procesul continuu de realizare a produsului ascendent distorsionează spațiul liniilor și notează limita online pentru a vă familiariza cu formularea problemei. Naturalitatea procesului de acumulare a problemelor determină nevoia de cunoaștere a tuturor domeniilor disciplinelor matematice. Un excelent calculator de limită va deveni un instrument indispensabil în mâinile studenților calificați, iar aceștia vor aprecia toate avantajele sale față de analogii progresului digital. În școli, din anumite motive, limitele online sunt numite altfel decât în ​​institute. Valoarea funcției va crește pe măsură ce argumentul se schimbă. L'Hopital a mai spus că găsirea limitei unei funcții este doar jumătate din luptă; trebuie să aduceți problema la concluzia ei logică și să prezentați răspunsul într-o formă extinsă. Realitatea este adecvată prezenței faptelor în cauză. Asociat istoric cu limita online aspecte importante disciplinele matematice și formează baza studiului teoriei numerelor. Codificarea paginii în formule matematice disponibil în limba clientului în browser. Cum se calculează limita folosind o metodă legală acceptabilă, fără a forța funcția să se schimbe în direcția axei x. În general, realitatea spațiului depinde nu numai de convexitatea unei funcții sau de concavitatea acesteia. Eliminați toate necunoscutele din problemă și rezolvarea limitelor va duce la cea mai mică cheltuială a resurselor dvs. matematice disponibile. Rezolvarea problemei enunțate va corecta funcționalitatea sută la sută. Așteptarea matematică rezultată va dezvălui online în detaliu limita în ceea ce privește abaterea de la cel mai mic raport special semnificativ. Au trecut trei zile după ce decizia matematică a fost luată în favoarea științei. Aceasta este o activitate cu adevărat utilă. Fără un motiv, absența unei limite online va însemna o divergență în abordarea generală a rezolvării problemelor situaționale. Cel mai bun titlu o limită unilaterală cu incertitudinea 0/0 va fi necesară în viitor. O resursă poate fi nu numai frumoasă și bună, ci și utilă atunci când îți poate calcula limita. Marele om de știință, ca student, a cercetat funcții pentru scris munca stiintifica. Au trecut zece ani. Înainte de diverse nuanțe, merită să comentem fără ambiguitate așteptarea matematică în favoarea faptului că limita funcției împrumută divergența principiilor. Pentru cele comandate Test răspunse. În matematică, o poziție excepțională în predare este ocupată, destul de ciudat, de studiul limitelor online cu relații cu terți care se exclud reciproc. Așa cum se întâmplă în cazuri obișnuite. Nu trebuie să reproduci nimic. După ce am analizat abordările elevilor cu privire la teoriile matematice, vom lăsa soluția limitelor în faza finală. Acesta este sensul următoarelor, studiați textul. Refracția determină în mod unic expresia matematică ca esență a informațiilor primite. limita online este esența determinării adevăratei poziții a sistemului matematic de relativitate a vectorilor multidirecționali. În acest sens vreau să exprim opinie proprie. Ca și în sarcina anterioară. Limita distinctivă online își extinde influența în detaliu la viziunea matematică a studiului secvenţial al analizei programelor în domeniul de studiu. În contextul teoriei, matematica este ceva mai presus decât știința. Loialitatea este demonstrată prin acțiuni. Rămâne imposibil să se întrerupă în mod deliberat lanțul de numere consecutive care își încep mișcarea în sus dacă limita este calculată incorect. Suprafața cu două fețe este exprimată în forma sa naturală în dimensiune completă. Pentru oportunitatea de a explora analiză matematică limita unei funcții cuprinde șirul unei serii funcționale ca vecinătate epsilon într-un punct dat. Spre deosebire de teoria funcțiilor, erorile de calcul nu sunt excluse, dar acest lucru este prevăzut de situație. Împărțirea după limită a problemei online poate fi scrisă ca o funcție de divergență variabilă pentru produs rapid sistem neliniar al spațiului tridimensional. Un caz banal stă la baza operațiunii. Nu trebuie să fii student pentru a analiza acest caz. Totalitatea momentelor de calcul în curs, inițial soluția limitelor este determinată ca funcționarea întregului sistem integral de progres de-a lungul axei ordonatelor pe valori multiple ale numerelor. Luăm ca valoare de bază cea mai mică valoare matematică posibilă. Concluzia este evidentă. Distanța dintre avioane va ajuta la extinderea teoretică limitele online, deoarece utilizarea metodei de calcul divergent al aspectului subpolar al semnificației nu are nici un sens inerent. O alegere excelentă, dacă calculatorul de limită se află pe server, acesta poate fi luat ca atare, fără a distorsiona semnificația modificării suprafeței în zone, altfel problema liniarității va deveni mai mare. O analiză matematică completă a relevat instabilitatea sistemului împreună cu descrierea acestuia în regiunea celei mai mici vecinătăți a punctului. Ca orice limită a unei funcții de-a lungul axei de intersecție a ordonatelor și a absciselor, este posibil să se încadreze valorile numerice ale obiectelor într-o vecinătate minimă în funcție de distribuția funcționalității procesului de cercetare. Să notăm sarcina punct cu punct. Există o împărțire în etape de scriere. Afirmațiile academice conform cărora calcularea limitei este cu adevărat dificilă sau deloc ușoară sunt susținute de o analiză a opiniilor matematice ale tuturor studenților de licență și absolvenți, fără excepție. Posibilele rezultate intermediare nu vor întârzia să apară. Limita de mai sus este studiată online în detaliu la minimul absolut al diferenței de sistem a obiectelor dincolo de care liniaritatea spațiului matematicii este distorsionată. Segmentarea zonei mai mare a zonei nu este utilizată de elevi pentru a calcula dezacordurile multiple după înregistrarea calculatorului de limită online pentru scăderi. După început, le vom interzice elevilor să revizuiască probleme pentru studierea mediului spațial la matematică. Deoarece am găsit deja limita funcției, să construim un grafic al studiului ei pe plan. Să evidențiem axele ordonate cu o culoare specială și să arătăm direcția liniilor. Există stabilitate. Incertitudinea este prezentă de mult timp în timpul scrierii răspunsului. Calculați limita unei funcții într-un punct pur și simplu analizând diferența dintre limitele la infinit în condițiile inițiale. Această metodă nu este cunoscută de fiecare utilizator. Avem nevoie de analiză matematică. Rezolvarea limitelor acumulează experiență în mintea generațiilor pentru mulți ani de acum înainte. Este imposibil să nu complici procesul. Elevii din toate generațiile sunt responsabili pentru încheierea acesteia. Toate cele de mai sus pot începe să se schimbe în absența unui argument de fixare pentru poziția funcțiilor în jurul unui anumit punct care rămâne în urma calculatoarelor limită în ceea ce privește diferența de putere de calcul. Să examinăm funcția pentru a obține răspunsul rezultat. Concluzia nu este evidentă. Prin excluderea funcțiilor implicit specificate din numărul total după transformarea expresiilor matematice, ceea ce rămâne este ultimul pas pentru a găsi limite online corect și cu mare precizie. Acceptabilitatea deciziei emise este supusă verificării. Procesul continuă. Localizarea secvenței izolat de funcții și, folosind enorma lor experiență, matematicienii trebuie să calculeze limita pentru a justifica direcția corectă în cercetare. Un astfel de rezultat nu are nevoie de un impuls teoretic. Schimbați proporția numerelor dintr-o anumită vecinătate a unui punct diferit de zero pe axa x către unghiul spațial de înclinare variabil al calculatorului de limită online în problema scrisă la matematică. Să conectăm două regiuni din spațiu. Dezacordul dintre rezolvatori cu privire la modul în care limita unei funcții dobândește proprietățile valorilor unilaterale în spațiu nu poate trece neobservat de performanțele supervizate intensificate ale elevilor. Direcția în matematică online limită a luat una dintre cele mai puțin contestate poziții în ceea ce privește incertitudinea în calculul acestor limite. Un calculator de limită online pentru înălțimea triunghiurilor isoscele și a cuburilor cu o latură de trei raze a unui cerc va ajuta un elev să învețe pe de rost într-un stadiu incipient al științei. Să lăsăm în seama conștiinței studenților să rezolve limitele în studiul unui sistem matematic funcțional slăbit din partea planului cercetării. Viziunea elevului asupra teoriei numerelor este ambiguă. Fiecare are propria părere. Direcția corectă în studiul matematicii va ajuta la calcularea limitei în adevăratul sens, așa cum este cazul universităților din țările avansate. Cotangenta în matematică este calculată ca un calculator limită și este raportul dintre alte două funcții trigonometrice elementare, și anume cosinusul și sinusul argumentului. Aceasta este soluția pentru înjumătățirea segmentelor. O abordare diferită este puțin probabil să rezolve situația în favoarea momentului trecut. Putem vorbi mult timp despre cum este foarte dificil și inutil să rezolvi limita online în detaliu fără înțelegere, dar această abordare tinde să crească în bine disciplina internă a studenților.

Incertitudinea tipului și speciei sunt cele mai frecvente incertitudini care trebuie dezvăluite atunci când se rezolvă limitele.

Majoritatea problemelor limită întâlnite de studenți conțin tocmai astfel de incertitudini. Pentru a le dezvălui sau, mai exact, pentru a evita incertitudinile, există mai multe tehnici artificiale de transformare a tipului de expresie sub semnul limită. Aceste tehnici sunt următoarele: împărțirea în termeni a numărătorului și numitorului cu cea mai mare putere a variabilei, înmulțirea cu expresia conjugată și factorizarea pentru reducerea ulterioară folosind soluții ecuații pătraticeși formule de înmulțire prescurtate.

Incertitudinea speciei

Exemplul 1.

n este egal cu 2. Prin urmare, împărțim termenul numărător și numitor cu termen la:

.

Comentează în partea dreaptă a expresiei. Săgețile și numerele indică la ce tind fracțiile după înlocuire n adică infinit. Iată, ca în exemplul 2, gradul n Există mai mult în numitor decât în ​​numărător, drept urmare întreaga fracție tinde să fie infinitezimală sau „super-mică”.

Obținem răspunsul: limita acestei funcții cu o variabilă care tinde spre infinit este egală cu .

Exemplul 2. .

Soluţie. Aici cea mai mare putere a variabilei X este egal cu 1. Prin urmare, împărțim termenul numărător și numitor cu termen cu X:

Comentariu asupra evoluției deciziei. În numărător trecem „x” sub rădăcina gradului al treilea și, astfel încât gradul său inițial (1) să rămână neschimbat, îi atribuim același grad ca și rădăcina, adică 3. Nu există săgeți sau numere suplimentare. în această intrare, deci încercați mental, dar prin analogie cu exemplul anterior, determinați la ce tind expresiile din numărător și numitor după ce înlocuiți infinitul în loc de „x”.

Am primit răspunsul: limita acestei funcții cu o variabilă care tinde spre infinit este egală cu zero.

Incertitudinea speciei

Exemplul 3. Descoperiți incertitudinea și găsiți limita.

Soluţie. Numătorul este diferența de cuburi. Să o factorizăm folosind formula de înmulțire prescurtată de la cursul de matematică din școală:

Numitorul conține un trinom pătratic, pe care îl vom factoriza prin rezolvarea unei ecuații pătratice (din nou o legătură cu rezolvarea ecuațiilor pătratice):

Să notăm expresia obținută în urma transformărilor și să găsim limita funcției:

Exemplul 4. Deblocați incertitudinea și găsiți limita

Soluţie. Teorema limitei coeficientului nu este aplicabilă aici, deoarece

Prin urmare, transformăm fracția în mod identic: înmulțind numărătorul și numitorul cu binomul conjugat la numitor și reducem cu X+1. Conform corolarului teoremei 1, obținem o expresie, rezolvând căreia găsim limita dorită:

Exemplul 5. Deblocați incertitudinea și găsiți limita

Soluţie. Înlocuirea directă a valorii X= 0 într-o funcție dată duce la o incertitudine de forma 0/0. Pentru a o dezvălui, efectuăm transformări identice și în final obținem limita dorită:

Exemplul 6. calculati

Soluţie: Să folosim teoremele asupra limitelor

Răspuns: 11

Exemplul 7. calculati

Soluţie:în acest exemplu, limitele numărătorului și numitorului la sunt egale cu 0:

; . Am primit, prin urmare, teorema privind limita coeficientului nu poate fi aplicată.

Să factorizăm numărătorul și numitorul pentru a reduce fracția cu un factor comun care tinde spre zero și, prin urmare, să facem posibilă aplicarea teoremei 3.

Să extindem trinomul pătrat în numărător folosind formula , unde x 1 și x 2 sunt rădăcinile trinomului. Având factorizat și numitor, reduceți fracția cu (x-2), apoi aplicați teorema 3.

Răspuns:

Exemplul 8. calculati

Soluţie: Când numărătorul și numitorul tind spre infinit, prin urmare, la aplicarea directă a teoremei 3, obținem expresia , care reprezintă incertitudinea. Pentru a scăpa de incertitudinea de acest tip, ar trebui să împărțiți numărătorul și numitorul la cea mai mare putere a argumentului. În acest exemplu, trebuie să împărțiți cu X:

Răspuns:

Exemplul 9. calculati

Soluţie: x 3:

Răspuns: 2

Exemplul 10. calculati

Soluţie: Când numărătorul și numitorul tind spre infinit. Să împărțim numărătorul și numitorul la cea mai mare putere a argumentului, adică. x 5:

=

Numătorul fracției tinde spre 1, numitorul tinde spre 0, deci fracția tinde spre infinit.

Răspuns:

Exemplul 11. calculati

Soluţie: Când numărătorul și numitorul tind spre infinit. Să împărțim numărătorul și numitorul la cea mai mare putere a argumentului, adică. x 7:

Răspuns: 0

Derivat.

Derivata functiei y = f(x) fata de argumentul x se numește limita raportului dintre incrementul său y și incrementul x al argumentului x, când incrementul argumentului tinde spre zero: . Dacă această limită este finită, atunci funcția y = f(x) se spune că este diferențiabilă în punctul x. Dacă această limită există, atunci ei spun că funcția y = f(x) are o derivată infinită în punctul x.

Derivate de bază functii elementare:

1. (const)=0 9.

3. 11.

4. 12.

Reguli de diferentiere:

A)

Exemplul 1. Aflați derivata unei funcții

Soluţie: Dacă derivata celui de-al doilea termen se găsește folosind regula diferențierii fracțiilor, atunci primul termen este o funcție complexă, a cărei derivată se găsește prin formula:

Unde , Apoi

La rezolvarea s-au folosit următoarele formule: 1,2,10,a,c,d.

Răspuns:

Exemplul 21. Aflați derivata unei funcții

Soluţie: ambii termeni sunt funcții complexe, unde pentru primul , și pentru al doilea , , apoi

Răspuns:

Aplicații derivate.

1. Viteza si acceleratia

Fie funcția s(t) să descrie poziţie obiect într-un sistem de coordonate la momentul t. Atunci derivata întâi a funcției s(t) este instantanee viteză obiect:
v=s′=f′(t)
Derivata a doua a functiei s(t) reprezinta instantaneul accelerare obiect:
w=v′=s′′=f′′(t)

2. Ecuația tangentei
y−y0=f′(x0)(x−x0),
unde (x0,y0) sunt coordonatele punctului tangent, f′(x0) este valoarea derivatei funcției f(x) în punctul tangent.

3. Ecuație normală
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),

unde (x0,y0) sunt coordonatele punctului în care este trasată normala, f′(x0) este valoarea derivatei funcției f(x) în acest punct.

4. Funcția de creștere și scădere
Dacă f′(x0)>0, atunci funcția crește în punctul x0. În figura de mai jos, funcția crește cu x x2.
Dacă f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1Dacă f′(x0)=0 sau derivata nu există, atunci acest criteriu nu ne permite să determinăm natura monotonității funcției în punctul x0.

5. Extreme locale ale unei funcții
Funcția f(x) are maxim localîn punctul x1, dacă există o vecinătate a punctului x1 astfel încât pentru toți x din această vecinătate să fie valabilă inegalitatea f(x1)≥f(x).
În mod similar, funcția f(x) are minim localîn punctul x2, dacă există o vecinătate a punctului x2 astfel încât pentru toți x din această vecinătate să fie valabilă inegalitatea f(x2)≤f(x).

6. Puncte critice
Punctul x0 este punct critic funcția f(x), dacă derivata f′(x0) din ea este egală cu zero sau nu există.

7. Primul semn suficient al existenței unui extremum
Dacă funcția f(x) crește (f′(x)>0) pentru tot x dintr-un interval (a,x1] și scade (f′(x))<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) pentru toți x din intervalul )