Oferă date de referință privind funcția exponențială - proprietăți de bază, grafice și formule. Sunt luate în considerare următoarele subiecte: domeniul definiției, mulțimea de valori, monotonitatea, funcția inversă, derivata, integrala, extinderea seriei de puteri și reprezentarea prin numere complexe.
Definiție
Functie exponentiala este o generalizare a produsului a n numere egale cu a:
y (n) = a n = a·a·a···a,
la mulțimea numerelor reale x:
y (x) = ax.
Aici a este un număr real fix, care este numit baza functiei exponentiale.
Se mai numește și o funcție exponențială cu baza a exponent la baza a.
Generalizarea se realizează după cum urmează.
Pentru natural x = 1, 2, 3,...
, funcția exponențială este produsul x factori:
.
Mai mult, are proprietăți (1,5-8) (), care decurg din regulile de înmulțire a numerelor. Pentru valorile zero și negative ale numerelor întregi, funcția exponențială este determinată folosind formulele (1.9-10). Pentru valorile fracționale x = m/n numere raționale, , se determină prin formula (1.11). Pentru valori reale, funcția exponențială este definită ca limită de secvență:
,
unde este o succesiune arbitrară de numere raționale care converg către x: .
Cu această definiție, funcția exponențială este definită pentru toate , și satisface proprietățile (1.5-8), ca pentru x natural.
O formulare matematică riguroasă a definiției unei funcții exponențiale și demonstrarea proprietăților acesteia este dată la pagina „Definiția și demonstrarea proprietăților unei funcții exponențiale”.
Proprietățile funcției exponențiale
Funcția exponențială y = a x are următoarele proprietăți pe mulțimea numerelor reale ():
(1.1)
definit si continuu, pentru , pentru toti ;
(1.2)
pentru un ≠ 1
are multe semnificații;
(1.3)
strict crește la , scade strict la ,
este constantă la ;
(1.4)
la ;
la ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Alte formule utile.
.
Formula pentru conversia într-o funcție exponențială cu o bază de exponent diferită:
Când b = e, obținem expresia funcției exponențiale prin exponențială:
Valori private
, , , , .
Figura prezintă grafice ale funcției exponențiale
y (x) = ax
pentru patru valori baze de grad: a = 2
, a = 8
, a = 1/2
și a = 1/8
. Se vede că pentru un > 1
funcţia exponenţială creşte monoton. Cu cât baza gradului a este mai mare, cu atât creșterea este mai puternică. La 0
< a < 1
funcţia exponenţială scade monoton. Cu cât exponentul a este mai mic, cu atât scăderea este mai puternică.
Urcând, coborând
Funcția exponențială pentru este strict monotonă și, prin urmare, nu are extreme. Principalele sale proprietăți sunt prezentate în tabel.
| y = a x , a > 1 | y = ax, 0 < a < 1 | |
| Domeniu | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Gama de valori | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| Monoton | crește monoton | scade monoton |
| Zerouri, y = 0 | Nu | Nu |
| Interceptarea punctelor cu axa ordonatelor, x = 0 | y = 1 | y = 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
Funcție inversă
Inversa unei funcții exponențiale cu baza a este logaritmul cu baza a.
Daca atunci
.
Daca atunci
.
Diferențierea unei funcții exponențiale
Pentru a diferenția o funcție exponențială, baza acesteia trebuie redusă la numărul e, aplicați tabelul derivatelor și regula de diferențiere a unei funcții complexe.
Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați proprietatea logaritmilor
și formula din tabelul derivatelor:
.
Să fie dată o funcție exponențială:
.
O aducem la baza e:
Să aplicăm regula de diferențiere a funcțiilor complexe. Pentru a face acest lucru, introduceți variabila
Apoi
Din tabelul derivatelor avem (înlocuiește variabila x cu z):
.
Deoarece este o constantă, derivata lui z față de x este egală cu
.
Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe:
.
Derivata unei functii exponentiale
.
Derivată de ordin al n-lea:
.
Derivarea formulelor > > >
Un exemplu de diferențiere a unei funcții exponențiale
Aflați derivata unei funcții
y = 3 5 x
Soluţie
Să exprimăm baza funcției exponențiale prin numărul e.
3 = e ln 3
Apoi
.
Introduceți o variabilă
.
Apoi
Din tabelul derivatelor găsim:
.
Deoarece 5ln 3 este o constantă, atunci derivata lui z față de x este egală cu:
.
Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe, avem:
.
Răspuns
Integral
Expresii folosind numere complexe
Luați în considerare funcția număr complex z:
f (z) = a z
unde z = x + iy; i 2 = - 1
.
Să exprimăm constanta complexă a în termeni de modul r și argument φ:
a = r e i φ
Apoi
.
Argumentul φ nu este definit în mod unic. În general
φ = φ 0 + 2 πn,
unde n este un număr întreg. Prin urmare, funcția f (z) nici nu este clar. Semnificația sa principală este adesea luată în considerare
.
Extinderea seriei
.
Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.
Funcțiile și proprietățile lor
Funcția este unul dintre cele mai importante concepte matematice.Funcţie Ei numesc o astfel de dependență a variabilei y de variabila x în care fiecare valoare a variabilei x corespunde unei singure valori a variabilei y.
Variabil X numit variabila independenta sau argument. Variabil la numit variabilă dependentă. Ei spun si astavariabila y este o funcție a variabilei x. Se numesc valorile variabilei dependentevalorile funcției.
Dacă dependenţa variabileila din variabilăX este o funcție, atunci poate fi scrisă pe scurt după cum urmează:y= f( X ). (Citit:la egalăf dinX .) Simbolf( X) notează valoarea funcţiei corespunzătoare valorii argumentului egal cuX .
Toate valorile variabilei independente formeazădomeniul unei funcții . Toate valorile pe care variabila dependentă le ia formăintervalul de funcții .
Dacă o funcție este specificată printr-o formulă și domeniul ei de definiție nu este specificat, atunci domeniul de definire al funcției este considerat a fi format din toate valorile argumentului pentru care formula are sens.
Metode pentru specificarea unei funcții:
1.metoda analitică (funcția este specificată folosind formula matematica;
2.metoda tabulară (funcția este specificată folosind un tabel)
3.metoda descriptivă (funcția este specificată prin descriere verbală)
4. metoda grafica (functia este specificata cu ajutorul unui grafic).
Graficul funcției numiți mulțimea tuturor punctelor planului de coordonate, ale căror abscise sunt egale cu valorile argumentului și ordonatele - valorile funcţiei corespunzătoare.
PROPRIETĂȚI DE BAZĂ ALE FUNCȚIILOR
1. Zerourile funcției
Zero al unei funcții este valoarea argumentului la care valoarea funcției este egală cu zero.
2. Intervale de semn constant al unei funcții
Intervalele de semn constant ale unei funcții sunt seturi de valori ale argumentului pe care valorile funcției sunt doar pozitive sau numai negative.
3. Funcția de creștere (scădere).
Crescând într-un anumit interval, o funcție este o funcție pentru care o valoare mai mare a argumentului din acest interval îi corespunde unei valori mai mari a funcției.
Funcţie y = f ( X ) numit crescând pe interval (A; b ), dacă pentru oricare X 1 Și X 2 din acest interval astfel încâtX 1 < X 2 , inegalitatea este adevăratăf ( X 1 )< f ( X 2 ).
Descendentă într-un anumit interval, o funcție este o funcție pentru care o valoare mai mare a argumentului din acest interval îi corespunde unei valori mai mici a funcției.
Funcţie la = f ( X ) numit in scadere pe interval (A; b ) , dacă pentru vreunul X 1 Și X 2 din acest interval astfel încât X 1 < X 2 , inegalitatea este adevăratăf ( X 1 )> f ( X 2 ).
4. Funcție pară (impar).
Chiar și funcție - o funcție al cărei domeniu de definiție este simetric față de origine și pentru oricareX din domeniul definirii egalitateaf (- X ) = f ( X ) . Graficul unei funcții pare este simetric față de ordonată.
De exemplu, y = x 2 - funcția uniformă.
Funcție ciudată- o funcție al cărei domeniu de definiție este simetric față de origine și pentru oricare X din domeniul definiției egalitatea este adevărată f (- X ) = - f (X ). Graficul unei funcții impare este simetric față de origine.
De exemplu: y = x 3 - functie impara .
Funcţie vedere generala nu este par sau impar (y = x 2 +x ).
Proprietățile unor funcții și grafica acestora
1. Funcție liniară numită funcţie a formei , Unde k Și b – numere.
Domeniul de definire al unei funcții liniare este o mulțimeR numere reale.
Graficul unei funcții liniarela = kx + b ( k ≠ 0) este o dreaptă care trece prin punctul (0;b ) și paralel cu liniala = kx .
Drept, nu paralel cu axaOU, este graficul unei funcții liniare.
Proprietățile unei funcții liniare.
1. Când k > 0 functie la = kx + b
2. Când k < 0 functie y = kx + b în scădere în domeniul definiţiei.
y = kx + b ( k ≠ 0 ) este întreaga linie numerică, adică o multime deR numere reale.
La k = 0 set de valori ale funcțieiy = kx + b constă dintr-un numărb .
3. Când b = 0 și k = 0 funcția nu este nici pară, nici impară.
La k = 0 funcția liniară are formay = b iar la b ≠ 0 este chiar.
La k = 0 și b = 0 funcția liniară are formay = 0 și este atât par cât și impar.
Graficul unei funcții liniarey = b este o dreaptă care trece prin punctul (0; b ) și paralel cu axaOh. Rețineți că atunci când b = 0 grafic al funcțieiy = b coincide cu axa Oh .
5. Când k > 0 avem asta la> 0, dacă și la< 0 dacă . La k < 0 avem că y > 0 dacă iar la< 0, если .
2. Funcția y = X 2
Rnumere reale.
Oferirea unei variabileX mai multe valori din domeniul funcției și calculând valorile corespunzătoarela conform formulei y = X 2 , descriem graficul funcției.
Graficul unei funcții y = X 2 numit parabolă.
Proprietățile funcției y = x 2 .
1. Dacă X= 0, atunci y = 0, adică Parabola are un punct comun cu axele de coordonate (0; 0) - originea coordonatelor.
2. Dacă x ≠ 0 , Acea la > 0, adică toate punctele parabolei, cu excepția originii, se află deasupra axei x.
3. Set de valori ale funcțieila = X 2 este funcția spanla = X 2 scade.
X
3.Funcție
Domeniul acestei funcții este funcția spany = | X | scade.
7. Funcția ia cea mai mică valoare în punctul respectivX, aceasta este egal cu 0. Cea mai mare valoare nu exista.
6. Funcţie
Domeniul de aplicare: 
.
Gama de funcții: 
.
Graficul este o hiperbolă.
1. Zerourile funcției.
y ≠ 0, fără zerouri.
2. Intervale de constanță a semnelor,
Dacă k > 0, atunci la> 0 la X > 0; la < 0 при X < О.
Dacă k < 0, то la < 0 при X > 0; la> 0 la X < 0.
3. Intervale de creștere și scădere.
Dacă k
> 0, atunci funcția scade pe măsură ce .
Dacă k
< 0, то функция возрастает при
.
4. Funcție pară (impar).
Funcția este ciudată.
Trinom pătrat
Ecuația formei topor 2 + bx + c = 0, unde A , bȘi Cu - niște numere șia≠ 0, numit pătrat.
Într-o ecuație pătraticătopor 2 + bx + c = 0 coeficient A numit primul coeficient b - al doilea coeficient, cu - membru liber.
Formula rădăcină ecuație pătratică are forma:
.
Expresia se numește discriminant ecuație pătratică și se notează cuD .
Dacă D = 0, atunci există un singur număr care satisface ecuația topor 2 + bx + c = 0. Totuși, am convenit să spunem că în acest caz ecuația pătratică are două rădăcini reale egale, iar numărul însuși numit rădăcină dublă.
Dacă D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Dacă D > 0, atunci ecuația pătratică are două rădăcini reale diferite.
Să fie dată o ecuație pătraticătopor
2
+
bx
+
c
= 0. Din moment ce a≠
0, apoi împărțind ambele părți ale acestei ecuații laA,
obținem ecuația 
. crezând
Și ,
ajungem la ecuație 
, în care primul coeficient este egal cu 1. Această ecuație se numeștedat.
Formula pentru rădăcinile ecuației pătratice de mai sus este:
.
Ecuații de formă
A X 2 + bx = 0, topor 2 + s = 0, A X 2 = 0
sunt numite ecuații pătratice incomplete. Ecuațiile patratice incomplete sunt rezolvate prin factorizarea părții stângi a ecuației.
teorema lui Vieta .
Suma rădăcinilor unei ecuații pătratice este egală cu raportul dintre al doilea coeficient și primul, luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este raportul dintre termenul liber și primul coeficient, adică.
Teorema inversă.
Dacă suma oricăror două numereX 1 Și X 2 egal cu , iar produsul lor este egal, atunci aceste numere sunt rădăcinile ecuației pătraticeOh 2 + b x + c = 0.
Funcția formei Oh 2 + b x + c numit trinom pătrat. Rădăcinile acestei funcții sunt rădăcinile ecuației pătratice corespunzătoareOh 2 + b x + c = 0.
Dacă discriminantul unui trinom pătratic este mai mare decât zero, atunci acest trinom poate fi reprezentat ca:
Oh 2 + b x + c = a(x-x 1 )(x-x 2 )
Unde X 1 Și X 2 - rădăcinile trinomului
Dacă discriminantul unui trinom pătratic este zero, atunci acest trinom poate fi reprezentat ca:
Oh 2 + b x + c = a(x-x 1 ) 2
Unde X 1 - rădăcina trinomului.
De exemplu, 3x 2 - 12x + 12 = 3(x - 2) 2 .
Ecuația formei Oh 4 + b X 2 + s= 0 este numit biquadratic. Folosind înlocuirea variabilei folosind formulaX 2 = y se reduce la o ecuație pătraticăA y 2 + de + s = 0.
Funcția pătratică
Funcția pătratică este o funcție care poate fi scrisă printr-o formulă de formăy = topor 2 + bx + c , Unde X - variabila independenta,A , b Și c – câteva numere șiA ≠ 0.
Proprietățile funcției și tipul graficului acesteia sunt determinate în principal de valorile coeficientuluiA și discriminatorie.
Proprietățile unei funcții pătratice
Domeniu:R;
Interval de valori:
la A > 0 [- D/(4 A); ∞)
la A < 0 (-∞; - D/(4 A)];
Chiar ciudat:
la b = 0 funcție pară
la b ≠ Funcția 0 nu este nici pară, nici impară
la D> 0 două zerouri: ,
la D= 0 unu zero:
la D < 0 нулей нет
Intervale de constanță a semnelor:
dacă a > 0, D> 0, atunci 
dacă a > 0, D= 0, atunci
e dacă a > 0, D < 0, то
în cazul în care o< 0,
D> 0, atunci 
în cazul în care o< 0, D= 0, atunci
în cazul în care o< 0,
D < 0, то
- Intervale de monotonie
pentru a > 0 
la o< 0
Graficul unei funcții pătratice esteparabolă – o curbă simetrică față de o dreaptă , trecând prin vârful parabolei (vârful parabolei este punctul de intersecție al parabolei cu axa de simetrie).
Pentru a reprezenta grafic o funcție pătratică, aveți nevoie de:
1) găsiți coordonatele vârfului parabolei și marcați-l în planul de coordonate;
2) construiți mai multe puncte aparținând parabolei;
3) conectați punctele marcate cu o linie netedă.
Coordonatele vârfului parabolei sunt determinate de formulele:
;
.
Conversia graficelor de funcții
1. Întinderea Arte graficey = x 2 de-a lungul axeila V|a| ori (la|a| < 1 este o compresie de 1/|a| o singura data).
Dacă, și< 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика относительно оси X (ramurile parabolei vor fi îndreptate în jos).
Rezultat:
graficul unei funcțiiy = ah
2
.
2. Transfer paralel grafica functionalay = ah 2 de-a lungul axeiX pe| m | (în dreapta când
m > 0 și la stânga cândT< 0).
Rezultat: graficul funcțieiy = a(x - t) 2 .
3. Transfer paralel grafica functionala de-a lungul axeila pe| n | (sus lap> 0 și în jos laP< 0).
Rezultat: graficul funcțieiy = a(x - t) 2 + p.
Inegalități cuadratice
Inegalitățile de formăOh 2 + b x + c > 0 șiOh 2 + bx + c< 0, undeX - variabil,A , b ȘiCu - niște numere șia≠ 0 se numesc inegalități de gradul doi cu o variabilă.
Rezolvarea unei inegalități de gradul doi într-o variabilă poate fi considerată ca găsirea intervalelor în care funcția pătratică corespunzătoare ia valori pozitive sau negative.
Pentru a rezolva inegalitățile de formăOh 2 + bx + c > 0 șiOh 2 + bx + c< 0 procedați după cum urmează:
1) aflați discriminantul trinomului pătratic și aflați dacă trinomul are rădăcini;
2) dacă trinomul are rădăcini, atunci marcați-le pe axăX iar prin punctele marcate se desenează schematic o parabolă ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus spreA > 0 sau în jos cândA< 0; dacă trinomul nu are rădăcini, atunci descrieți schematic o parabolă situată în semiplanul superior laA > 0 sau mai mic laA < 0;
3) găsite pe axăX intervale pentru care punctele parabolei sunt situate deasupra axeiX (dacă inegalitatea este rezolvatăOh 2 + bx + c > 0) sau sub axăX (dacă inegalitatea este rezolvatăOh 2 + bx + c < 0).
Exemplu:
Să rezolvăm inegalitatea 
.
Luați în considerare funcția
Graficul său este o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în jos (din moment ce ).
Să aflăm cum se află graficul în raport cu axaX.
Să rezolvăm ecuația pentru asta 
. Înțelegem astax =
4. Ecuația are o singură rădăcină. Aceasta înseamnă că parabola atinge axaX.
Reprezentând schematic o parabolă, constatăm că funcția ia valori negative pentru oricareX, cu exceptia 4.
Răspunsul poate fi scris astfel:X - orice număr care nu este egal cu 4.
Rezolvarea inegalităților folosind metoda intervalului
diagrama solutiei
1. Găsiți zerouri funcția din partea stângă a inegalității.
2. Marcați poziția zerourilor pe axa numerelor și determinați multiplicitatea acestora (Dacăk i este par, atunci zero este de multiplicitate pare dacăk i impar este impar).
3. Găsiți semnele funcției în intervalele dintre zerourile sale, începând din intervalul din dreapta: în acest interval funcția din partea stângă a inegalității este întotdeauna pozitivă pentru forma dată de inegalități. Când treceți de la dreapta la stânga prin zeroul unei funcții de la un interval la unul adiacent, trebuie să luați în considerare:
dacă zero este impar multiplicitate, semnul funcției se schimbă,
dacă zero este par multiplicitate, se păstrează semnul funcției.
4. Scrieți răspunsul.
Exemplu:
(x + 6) (x + 1) (X - 4) < 0.
S-au găsit zerouri de funcție. Sunt egali:X 1 = -6; X 2 = -1; X 3 = 4.
Să marchem zerourile funcției pe linia de coordonatef ( X ) = (x + 6) (x + 1) (X - 4).
Să găsim semnele acestei funcții în fiecare dintre intervalele (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) și
Din figură reiese clar că mulțimea soluțiilor inegalității este uniunea intervalelor (-∞; -6) și (-1; 4).
Răspuns: (-∞ ; -6) și (-1; 4).
Metoda avută în vedere pentru rezolvarea inegalităților se numeștemetoda intervalului.
gimnaziul rusesc
ABSTRACT
Efectuat
elev din clasa a 10-a „F” Burmistrov Sergey
Supraveghetor
profesor de matematică
Yulina O.A.
Nijni Novgorod
Funcția și proprietățile sale
Funcţie- dependență variabilă la din variabilă X , dacă fiecare valoare X se potrivește cu o singură valoare la .
variabila x- variabilă sau argument independent.
variabila y- variabilă dependentă
Valoarea funcției- sens la, corespunzătoare valorii specificate X .
Domeniul de aplicare al funcției este toate valorile pe care le ia variabila independentă.
Domeniu de funcții (set de valori) - toate valorile pe care funcția le acceptă.
Funcția este egală- dacă pentru oricine X f(x)=f(-x)
Funcția este ciudată- dacă pentru oricine X din domeniul definirii functiei egalitatea f(-x)=-f(x)
Funcția de creștere- dacă pentru oricare x 1Și x 2, astfel încât x 1
<
x 2, inegalitatea este valabilă f(
x 1
)
Funcție descrescătoare- dacă pentru oricare x 1Și x 2, astfel încât x 1 < x 2, inegalitatea este valabilă f( x 1 )>f( x 2 )
Metode pentru specificarea unei funcții
¨ Pentru a defini o funcție, trebuie să specificați un mod în care, pentru fiecare valoare de argument, poate fi găsită valoarea funcției corespunzătoare. Cel mai comun mod de a specifica o funcție este utilizarea unei formule la =f(x), Unde f(x)- expresie cu o variabilă X. În acest caz, ei spun că funcția este dată de o formulă sau că funcția este dată analitic.
¨ În practică este adesea folosit tabular modalitate de a specifica o funcție. Cu această metodă, este furnizat un tabel care indică valorile funcției pentru valorile argumentului disponibile în tabel. Exemple de funcții de tabel sunt un tabel cu pătrate și un tabel cu cuburi.
Tipuri de funcții și proprietăți ale acestora
1) Funcție constantă - funcţie dată de formulă y= b , Unde b- oarecare număr. Graficul funcției constante y=b este o dreaptă paralelă cu axa absciselor și care trece prin punctul (0;b) de pe axa ordonatelor
2) Proporționalitate directă - funcţie dată de formulă y= kx , unde k¹0. Număr k numit factor de proporționalitate .
Proprietățile funcției y=kx :
1. Domeniul unei funcții este mulțimea tuturor numerelor reale
2. y=kx- functie impara
3. Când k>0 funcția crește, iar când k<0 убывает на всей числовой прямой
3)Funcție liniară- funcție, care este dată de formula y=kx+b, Unde kȘi b - numere reale. Dacă în special k=0, atunci obținem o funcție constantă y=b; Dacă b=0, atunci obținem proporționalitate directă y=kx .
Proprietățile funcției y=kx+b :
1. Domeniu - setul tuturor numerelor reale
2. Funcția y=kx+b formă generală, adică nici par, nici impar.
3. Când k>0 funcția crește, iar când k<0 убывает на всей числовой прямой
Graficul funcției este Drept .
4)proporționalitate inversă- funcţie dată de formulă y=k /X, unde k¹0 Număr k numit coeficient de proporţionalitate inversă.
Proprietățile funcției y=k / X:
1. Domeniu - setul tuturor numerelor reale cu excepția zero
2. y=k / X - funcţie ciudată
3. Dacă k>0, atunci funcția scade pe intervalul (0;+¥) și pe intervalul (-¥;0). Dacă k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).
Graficul funcției este hiperbolă .
5)Funcţie y=x2
Proprietățile funcției y=x2:
2. y=x2 - chiar funcția
3. Pe interval funcția scade
Graficul funcției este parabolă .
6)Funcţie y=x 3
Proprietățile funcției y=x 3:
1. Domeniul definiției - întreaga linie numerică
2. y=x 3 - funcţie ciudată
3. Funcția crește de-a lungul întregii drepte numerice
Graficul funcției este parabolă cubică
7)Funcția de putere cu exponent natural - funcţie dată de formulă y=xn, Unde n- numar natural. Când n=1 obținem funcția y=x, proprietățile acesteia sunt discutate în paragraful 2. Pentru n=2;3 obţinem funcţiile y=x 2 ; y=x3. Proprietățile lor sunt discutate mai sus.
Fie n un număr par arbitrar mai mare decât doi: 4,6,8... În acest caz, funcția y=xn are aceleași proprietăți ca și funcția y=x 2. Graficul funcției seamănă cu o parabolă y=x 2, numai ramurile graficului pentru |x|>1 se ridică mai abrupt cu cât n este mai mare, iar pentru |x|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.
Fie n un număr impar arbitrar mai mare de trei: 5,7,9... În acest caz, funcția y=xn are aceleași proprietăți ca și funcția y=x 3 . Graficul funcției seamănă cu o parabolă cubică.
8)Funcția de putere cu un exponent întreg negativ - funcţie dată de formulă y=x -n , Unde n- numar natural. Pentru n=1 obținem y=1/x; proprietățile acestei funcții sunt discutate în paragraful 4.
Fie n un număr impar mai mare decât unu: 3,5,7... În acest caz, funcția y=x -n are practic aceleași proprietăți ca și funcția y=1/x.
Fie n un număr par, de exemplu n=2.
Proprietățile funcției y=x -2 :
1. Funcția este definită pentru toate x¹0
2. y=x -2 - chiar funcția
3. Funcția scade cu (0;+¥) și crește cu (-¥;0).
Orice funcții cu n chiar mai mare decât doi au aceleași proprietăți.
9)Funcţie y= Ö X
Proprietățile funcției y= Ö X :
1. Domeniul definirii – raza.
Gama de valori ale funcției este span [ 1; 3].
1. La x = -3, x = - 1, x = 1,5, x = 4,5, valoarea funcției este zero.
Valoarea argumentului la care valoarea funcției este zero se numește funcție zero.
//acestea. pentru această funcție numerele sunt -3;-1;1,5; 4,5 sunt zerouri.
2. La intervale [ 4,5; 3) și (1; 1.5) și (4.5; 5.5] graficul funcției f este situat deasupra axei absciselor, iar în intervalele (-3; -1) și (1.5; 4.5) sub axa absciselor, aceasta se explică astfel: pe intervalele [ 4,5; 3) și (1; 1,5) și (4,5; 5,5] funcția ia valori pozitive, iar pe intervalele (-3; -1) și ( 1,5; 4,5) negative.
Fiecare dintre intervalele indicate (unde funcția ia valori de același semn) se numește interval de semn constant al funcției f.//i.e. de exemplu, dacă luăm intervalul (0; 3), atunci nu este un interval de semn constant al acestei funcții.
În matematică, când se caută intervale cu semn constant al unei funcții, se obișnuiește să se indice intervale de lungime maximă. //Acestea. intervalul (2; 3) este interval de constanță a semnului funcția f, dar răspunsul ar trebui să includă intervalul [ 4.5; 3) conţinând intervalul (2; 3).
3. Dacă vă deplasați de-a lungul axei x de la 4,5 la 2, veți observa că graficul funcției scade, adică valorile funcției scad. //În matematică se obișnuiește să se spună că pe intervalul [ 4,5; 2] funcția scade.
Pe măsură ce x crește de la 2 la 0, graficul funcției crește, adică. valorile funcției cresc. //În matematică se obișnuiește să se spună că pe intervalul [ 2; 0] funcția crește.
O funcție f este numită dacă pentru oricare două valori ale argumentului x1 și x2 din acest interval astfel încât x2 > x1, inegalitatea f (x2) > f (x1) este valabilă. // sau funcția este apelată crescând într-un anumit interval, dacă pentru orice valoare a argumentului din acest interval, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției.//i.e. cu cât mai mult x, cu atât mai mult y.
Se apelează funcția f scăzând într-un anumit interval, dacă pentru oricare două valori ale argumentului x1 și x2 din acest interval astfel încât x2 > x1, inegalitatea f(x2) este în scădere pe un anumit interval, dacă pentru orice valoare a argumentului din acest interval valoarea mai mare a argumentului corespunde valorii mai mici a funcției. //acestea. cu cât mai mult x, cu atât mai puțin y.
Dacă o funcție crește pe întregul domeniu de definiție, atunci este numită crescând.
Dacă o funcție scade pe întregul domeniu de definiție, atunci este numită in scadere.
Exemplul 1. grafic al funcțiilor crescătoare și respectiv descrescătoare.
Exemplul 2.
Definiți fenomenul. Funcția liniară f(x) = 3x + 5 crește sau descrește?
Dovada. Să folosim definițiile. Fie x1 și x2 valori arbitrare ale argumentului și x1< x2., например х1=1, х2=7
