La începutul acestui articol, am discutat despre concept funcții trigonometrice. Scopul principal al scopului lor este de a studia elementele de bază ale trigonometriei și studiul proceselor periodice. Și am desenat un cerc trigonometric dintr-un motiv, deoarece în cele mai multe cazuri funcțiile trigonometrice sunt definite ca raportul dintre laturile unui triunghi sau anumite segmente ale acestuia dintr-un cerc unitar. Am menționat, de asemenea, importanța incontestabilă a trigonometriei în viața modernă. Dar știința nu stă pe loc, ca urmare, putem extinde în mod semnificativ domeniul de aplicare al trigonometriei și putem transfera dispozițiile acesteia la numere reale și, uneori, la numere complexe.

Formule de trigonometrie sunt mai multe tipuri. Să le considerăm în ordine.

1. Relații ale funcțiilor trigonometrice ale aceluiași unghi

Aici ajungem la luarea în considerare a unui astfel de concept ca identități trigonometrice de bază.

O identitate trigonometrică este o egalitate care constă din relații trigonometrice și care este valabilă pentru toate valorile unghiurilor care sunt incluse în ea.

Luați în considerare cele mai importante identități trigonometrice și dovezile lor:

Prima identitate decurge din însăși definiția tangentei.

Hai sa luam triunghi dreptunghic, în care există un unghi ascuțit x la vârful A.



Pentru a demonstra identitățile, este necesar să folosim teorema lui Pitagora:

(BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2

Acum împărțim la (AB) 2 ambele părți ale egalității și amintindu-ne definițiile sin și cos ale unghiului, obținem a doua identitate:

(BC) 2 /(AB) 2 + (AC) 2 /(AB) 2 = 1

sin x = (BC)/(AB)

cos x = (AC)/(AB)

sin 2 x + cos 2 x = 1

Pentru a demonstra a treia și a patra identitate, folosim dovada anterioară.

Pentru a face acest lucru, împărțim ambele părți ale celei de-a doua identități la cos 2 x:

sin 2 x/ cos 2 x + cos 2 x/ cos 2 x = 1/ cos 2 x

sin 2x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x

Pe baza primei identități tg x \u003d sin x / cos x, obținem a treia:

1 + tg2x = 1/cos2x

Acum împărțim a doua identitate la sin 2 x:

sin 2 x/ sin 2 x + cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x

1+ cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x

cos 2 x/ sin 2 x nu este altceva decât 1/tg 2 x, deci obținem a patra identitate:

1 + 1/tg2x = 1/sin2x

Este timpul să ne amintim teorema privind suma unghiurilor interioare ale unui triunghi, care spune că suma unghiurilor unui triunghi \u003d 180 0. Se pare că la vârful B al triunghiului există un unghi a cărui valoare este 180 0 - 90 0 - x \u003d 90 0 - x.



Amintiți-vă din nou definițiile pentru păcat și cos și obținem a cincea și a șasea identitate:

sin x = (BC)/(AB)

cos(90 0 - x) = (BC)/(AB)

cos(90 0 - x) = sin x

Acum să facem următoarele:

cos x = (AC)/(AB)

sin(90 0 - x) = (AC)/(AB)

sin(90 0 - x) = cos x

După cum puteți vedea, totul este elementar aici.

Există și alte identități care sunt folosite în rezolvarea identităților matematice, le voi da pur și simplu sub formă informații generale, deoarece toate provin din cele de mai sus.



2. Exprimări ale funcțiilor trigonometrice unele prin altele

   (alegerea semnului în fața rădăcinii este determinată de care dintre sferturile de cerc se află colțul?)







3. Următoarele sunt formulele de adunare și scădere a unghiurilor:



4. Formule duble, triple și jumătate de unghi.

   Observ că toate decurg din formulele anterioare.

sin 2x \u003d 2sin x * cos x

cos 2x \u003d cos 2 x -sin 2 x \u003d 1-2sin 2 x \u003d 2cos 2 x -1

tg2x = 2tgx/(1 - tg2x)

сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x

sin3x \u003d 3sin x - 4sin 3 x

cos3x \u003d 4cos 3 x - 3cos x

tg 3x = (3tgx - tg 3 x) /(1 - 3tg 2 x)

сtg 3x = (сtg 3 x - 3сtg x) / (3сtg 2 x - 1)









5. Formule pentru conversia expresiilor trigonometrice:

În acest articol, vom arunca o privire cuprinzătoare asupra . Identitățile trigonometrice de bază sunt egalități care stabilesc o relație între sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi și vă permit să găsiți oricare dintre aceste funcții trigonometrice printr-un altul cunoscut.

Enumerăm imediat principalele identități trigonometrice, pe care le vom analiza în acest articol. Le notăm într-un tabel, iar mai jos dăm derivarea acestor formule și dăm explicațiile necesare.

Navigare în pagină.

Relația dintre sinus și cosinus unui unghi

Uneori vorbesc nu despre principalele identități trigonometrice enumerate în tabelul de mai sus, ci despre una singură identitate trigonometrică de bază drăguț . Explicația pentru acest fapt este destul de simplă: egalitățile sunt obținute din identitatea trigonometrică de bază după împărțirea ambelor părți la și, respectiv, și egalitățile și rezultă din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. Vom discuta acest lucru mai detaliat în paragrafele următoare.

Adică, egalitatea prezintă un interes deosebit, căreia i s-a dat numele identității trigonometrice principale.

Înainte de a demonstra identitatea trigonometrică de bază, dăm formularea acesteia: suma pătratelor sinusului și cosinusului unui unghi este identic egală cu unu. Acum să demonstrăm.

Identitatea trigonometrică de bază este foarte des folosită în transformare expresii trigonometrice . Acesta permite ca suma pătratelor sinusului și cosinusului unui unghi să fie înlocuită cu unul. Nu mai rar, identitatea trigonometrică de bază este folosită în ordine inversă: unitatea este înlocuită cu suma pătratelor sinusului și cosinusului oricărui unghi.

Tangenta si cotangenta prin sinus si cosinus

Identități care leagă tangenta și cotangenta cu sinusul și cosinusul unui unghi al formei și urmează imediat din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. Într-adevăr, prin definiție, sinusul este ordonata lui y, cosinusul este abscisa lui x, tangenta este raportul dintre ordonată și abscisa, adică , iar cotangenta este raportul dintre abscisă și ordonată, adică .

Datorită acestei evidenţe a identităţilor şi adesea definițiile tangentei și cotangentei sunt date nu prin raportul dintre abscisă și ordonată, ci prin raportul dintre sinus și cosinus. Deci tangenta unui unghi este raportul dintre sinus și cosinusul acestui unghi, iar cotangenta este raportul dintre cosinus și sinus.

Pentru a încheia această secțiune, trebuie remarcat faptul că identitățile și Ține loc pentru toate astfel de unghiuri pentru care funcțiile trigonometrice din ele au sens. Deci formula este valabilă pentru orice altceva decât (altfel numitorul va fi zero și nu am definit împărțirea cu zero), iar formula - for all , diferit de , unde z este oricare .

Relația dintre tangentă și cotangentă

O identitate trigonometrică și mai evidentă decât cele două anterioare este identitatea care leagă tangentei și cotangentei unui unghi al formei . Este clar că are loc pentru orice alte unghiuri decât , altfel nici tangenta, fie cotangenta nu sunt definite.

Dovada formulei foarte simplu. Prin definiție și de unde . Dovada ar fi putut fi realizată într-un mod ușor diferit. Din moment ce şi , apoi .

Deci, tangenta și cotangenta unui unghi, la care au sens, este.

Cursul video „Obțineți un A” include toate subiectele necesare pentru un succes promovarea examenului la matematică pentru 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 examen de profil matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea USE de bază în matematică. Dacă vrei să treci examenul cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru examen pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce ai nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student de o sută de puncte, nici un umanist nu se pot descurca fără ele.

Toată teoria necesară. Căi rapide soluții, capcane și secrete ale examenului. Au fost analizate toate sarcinile relevante din partea 1 din sarcinile Băncii FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele USE-2018.

Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen. Sarcini de textși teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referinta, analiza tuturor tipurilor de sarcini USE. Stereometrie. Trucuri viclene pentru rezolvare, fișe utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero - la sarcina 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicarea vizuală a conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. Baza pentru rezolvarea problemelor complexe din partea a 2-a a examenului.

Acesta este ultimul și cel mai mult lecția principală necesare pentru rezolvarea problemelor B11. Știm deja cum să convertim unghiurile dintr-o măsură în radian într-o măsură a gradului (vezi lecția „ Radianul și măsura în grade a unui unghi”) și știm, de asemenea, cum să determinăm semnul unei funcții trigonometrice, concentrându-ne pe sferturi de coordonate (vezi lecția „Semne ale funcțiilor trigonometrice”).

Problema rămâne mică: să calculăm valoarea funcției în sine - chiar numărul care este scris în răspuns. Aici identitatea trigonometrică de bază vine în ajutor.

Identitatea trigonometrică de bază. Pentru orice unghi α, afirmația este adevărată:

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Această formulă raportează sinusul și cosinusul unui unghi. Acum, cunoscând sinusul, putem găsi cu ușurință cosinusul - și invers. Este suficient să luați rădăcina pătrată:

Observați semnul „±” în fața rădăcinilor. Cert este că din identitatea trigonometrică de bază nu este clar care au fost sinusul și cosinusul original: pozitiv sau negativ. La urma urmei, pătratul este o funcție uniformă care „arde” toate minusurile (dacă există).

De aceea, în toate sarcinile B11 care se găsesc în USE în matematică, există neapărat condiții suplimentare care ajută la scăparea de incertitudine cu semne. De obicei, aceasta este o indicație a sfertului de coordonate prin care poate fi determinat semnul.

Un cititor atent va întreba cu siguranță: „Ce zici de tangentă și cotangentă?” Este imposibil să se calculeze direct aceste funcții din formulele de mai sus. Cu toate acestea, există corolare importante din identitatea trigonometrică de bază care conțin deja tangente și cotangente. Și anume:

Un corolar important: pentru orice unghi α, identitatea trigonometrică de bază poate fi rescrisă după cum urmează:

Aceste ecuații sunt ușor de dedus din identitatea de bază - este suficient să împărțim ambele părți la cos 2 α (pentru a obține o tangentă) sau la sin 2 α (pentru o cotangentă).

Să aruncăm o privire la toate acestea exemple concrete. Mai jos sunt problemele reale cu B11 care sunt luate din proces UTILIZAȚI opțiuni la matematică 2012.

Știm cosinusul, dar nu cunoaștem sinusul. Identitatea trigonometrică principală (în forma sa „pură”) conectează doar aceste funcții, așa că vom lucra cu ea. Avem:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.

Pentru a rezolva problema, rămâne să găsiți semnul sinusului. Deoarece unghiul α ∈ (π /2; π ), atunci în măsura gradului se scrie astfel: α ∈ (90°; 180°).

Prin urmare, unghiul α se află în sfertul de coordonate II - toate sinusurile de acolo sunt pozitive. Prin urmare sin α = 0,1.

Deci, cunoaștem sinusul, dar trebuie să găsim cosinusul. Ambele funcții sunt în identitatea trigonometrică de bază. Inlocuim:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.

Rămâne să ne ocupăm de semnul din fața fracției. Ce să alegi: plus sau minus? Prin condiție, unghiul α aparține intervalului (π 3π /2). Să convertim unghiurile din măsura radianilor în măsura gradului - obținem: α ∈ (180°; 270°).

Evident, acesta este trimestrul de coordonate III, unde toate cosinusurile sunt negative. Prin urmare cosα = −0,5.

O sarcină. Găsiți tg α dacă știți următoarele:

Tangenta și cosinusul sunt legate printr-o ecuație care urmează din identitatea trigonometrică de bază:

Se obține: tg α = ±3. Semnul tangentei este determinat de unghiul α. Se știe că α ∈ (3π /2; 2π ). Să convertim unghiurile din măsura radianilor în măsura gradului - obținem α ∈ (270°; 360°).

Evident, acesta este trimestrul de coordonate IV, unde toate tangentele sunt negative. Prin urmare, tgα = −3.

O sarcină. Găsiți cos α dacă știți următoarele:

Din nou, sinusul este cunoscut și cosinusul este necunoscut. Notăm principala identitate trigonometrică:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.

Semnul este determinat de unghi. Avem: α ∈ (3π /2; 2π ). Să transformăm unghiurile din grade în radiani: α ∈ (270°; 360°) este sfert de coordonate IV, cosinusurile sunt pozitive acolo. Prin urmare, cos α = 0,6.

O sarcină. Găsiți sin α dacă știți următoarele:

Să notăm formula care decurge din identitatea trigonometrică de bază și conectează direct sinusul și cotangentei:

De aici obținem că sin 2 α = 1/25, adică. sin α = ±1/5 = ±0,2. Se știe că unghiul α ∈ (0; π /2). În grade, aceasta se scrie astfel: α ∈ (0°; 90°) - I sfert de coordonate.

Deci, unghiul este în sfertul de coordonate I - toate funcțiile trigonometrice sunt pozitive acolo, prin urmare sin α \u003d 0,2.