Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în procedurile judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea autorităților guvernamentale de pe teritoriul Federației Ruse - de a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Logaritmul unui număr pozitiv b la baza a (a>0, a nu este egal cu 1) este un număr c astfel încât a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Rețineți că logaritmul unui număr nepozitiv este nedefinit. În plus, baza logaritmului trebuie să fie un număr pozitiv care nu este egal cu 1. De exemplu, dacă pătratăm -2, obținem numărul 4, dar asta nu înseamnă că logaritmul la baza -2 din 4 este egal cu 2.

Identitatea logaritmică de bază

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Este important ca domeniul de aplicare al definiției părților din dreapta și din stânga acestei formule să fie diferit. Partea stângă este definită numai pentru b>0, a>0 și a ≠ 1. Partea dreaptă este definită pentru orice b și nu depinde deloc de a. Astfel, aplicarea „identității” logaritmice de bază la rezolvarea ecuațiilor și inegalităților poate duce la o modificare a DO.

Două consecințe evidente ale definiției logaritmului

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Într-adevăr, când ridicăm numărul a la prima putere, obținem același număr, iar când îl ridicăm la puterea zero, obținem unul.

Logaritmul produsului și logaritmul coeficientului

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Aș dori să îi avertizez pe școlari împotriva aplicării necugetate a acestor formule atunci când rezolvă ecuații logaritmiceși inegalități. Când le folosiți „de la stânga la dreapta”, ODZ se îngustează, iar când se trece de la suma sau diferența de logaritmi la logaritmul produsului sau al coeficientului, ODZ se extinde.

Într-adevăr, expresia log a (f (x) g (x)) este definită în două cazuri: când ambele funcții sunt strict pozitive sau când f(x) și g(x) sunt ambele mai mici decât zero.

Transformând această expresie în suma log a f (x) + log a g (x), suntem forțați să ne limităm doar la cazul în care f(x)>0 și g(x)>0. Există o restrângere a intervalului de valori acceptabile, iar acest lucru este categoric inacceptabil, deoarece poate duce la pierderea soluțiilor. O problemă similară există pentru formula (6).

Gradul poate fi scos din semnul logaritmului

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Și din nou aș dori să fac apel la acuratețe. Luați în considerare următorul exemplu:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Partea stângă a egalității este în mod evident definită pentru toate valorile lui f(x), cu excepția zero. Partea dreaptă este doar pentru f(x)>0! Luând gradul din logaritm, restrângem din nou ODZ. Procedura inversă duce la o extindere a intervalului de valori acceptabile. Toate aceste observații se aplică nu numai puterii 2, ci și oricărei puteri egale.

Formula pentru trecerea la o nouă fundație

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Acel caz rar în care ODZ nu se schimbă în timpul transformării. Dacă ați ales baza c cu înțelepciune (pozitivă și nu egală cu 1), formula pentru trecerea la o nouă bază este complet sigură.

Dacă alegem numărul b ca nouă bază c, obținem un caz special important de formula (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Câteva exemple simple cu logaritmi

Exemplul 1. Calculați: log2 + log50.
Soluţie. log2 + log50 = log100 = 2. Am folosit formula sumei logaritmilor (5) și definiția logaritmului zecimal.

Exemplul 2. Calculați: lg125/lg5.
Soluţie. log125/log5 = log 5 125 = 3. Am folosit formula pentru trecerea la o nouă bază (8).

Tabel de formule legate de logaritmi

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

log a r b r =log a b sau log a b= log a r b r

Valoarea logaritmului nu se va schimba dacă baza logaritmului și numărul de sub semnul logaritmului sunt ridicate la aceeași putere.

Numai numerele pozitive pot fi sub semnul logaritmului, iar baza logaritmului nu este egală cu unu.

Exemple.

1) Comparați log 3 9 și log 9 81.

log 3 9=2, deoarece 3 2 =9;

log 9 81=2, deoarece 9 2 =81.

Deci log 3 9=log 9 81.

Rețineți că baza celui de-al doilea logaritm este egală cu pătratul bazei primului logaritm: 9=3 2, iar numărul de sub semnul celui de-al doilea logaritm este egal cu pătratul numărului de sub semnul primului logaritm: 81=9 2. Se pare că atât numărul, cât și baza primului logaritm log 3 9 au fost ridicate la a doua putere, iar valoarea logaritmului nu s-a schimbat de la aceasta:

În continuare, de la extragerea rădăcinii n gradul dintre A este ridicarea unui număr A la gradul ( 1/n), apoi din log 9 81 puteți obține log 3 9 luând rădăcina pătrată a numărului și baza logaritmului:

2) Verificați egalitatea: log 4 25=log 0,5 0,2.

Să ne uităm la primul logaritm. Luând rădăcina pătrată a bazei 4 iar din mijloc 25 ; obținem: log 4 25=log 2 5.

Să ne uităm la al doilea logaritm. Baza logaritmului: 0,5= 1 / 2. Numărul de sub semnul acestui logaritm: 0,2= 1/5. Să ridicăm fiecare dintre aceste numere la prima putere minus:

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

Deci log 0,5 0,2=log 2 5. Concluzie: această egalitate este adevărată.

Rezolvați ecuația:

log 4 x 4 +log 16 81=log 2 (5x+2). Să reducem logaritmii de la stânga la bază 2 .

log 2 x 2 +log 2 3=log 2 (5x+2). Luați rădăcina pătrată a numărului și baza primului logaritm. Extrageți a patra rădăcină a numărului și baza celui de-al doilea logaritm.

log 2 (3x 2)=log 2 (5x+2). Convertiți suma logaritmilor în logaritmul produsului.

3x 2 =5x+2. Primit după potențare.

3x 2 -5x-2=0. Rezolvăm o ecuație pătratică folosind formula generală pentru o ecuație pătratică completă:

a=3, b=-5, c=-2.

D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 rădăcini adevărate.

Examinare.

x=2.

log 4 2 4 +log 16 81=log 2 (5∙2+2);

log 2 2 2 +log 2 3=log 2 12;

log 2 (4∙3)=log 2 12;

log 2 12=log 2 12;

log a n b=(1/ n)∙ log a b

Logaritmul unui număr b bazat pe un n egal cu produsul fracției 1/ n la logaritmul unui număr b bazat pe A.

Găsi:1) 21log 8 3+40log 25 2; 2) 30log 32 3∙log 125 2 , daca se stie ca log 2 3=b,log 5 2=c.

Soluţie.

Rezolvarea ecuațiilor:

1) log 2 x+log 4 x+log 16 x=5,25.

Soluţie.

Să reducem acești logaritmi la baza 2. Aplicați formula: log a n b=(1/ n)∙ log a b

log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5,25;

log 2 x+0,5log 2 x+0,25log 2 x=5,25. Iată termeni similari:

(1+0,5+0,25) log 2 x=5,25;

1,75 log 2 x=5,25 |:1,75

log 2 x=3. Prin definiția logaritmului:

2) 0,5log 4 (x-2)+log 16 (x-3)=0,25.

Soluţie. Să convertim logaritmul în baza 16 în baza 4.

0,5log 4 (x-2)+0,5log 4 (x-3)=0,25 |:0,5

log 4 (x-2)+log 4 (x-3)=0,5. Să convertim suma logaritmilor în logaritmul produsului.

log 4 ((x-2)(x-3))=0,5;

log 4 (x 2 -2x-3x+6)=0,5;

log 4 (x 2 -5x+6)=0,5. Prin definiția logaritmului:

x 2 -5x+4=0. Conform teoremei lui Vieta:

x 1 =1; x 2 =4. Prima valoare a lui x nu va funcționa, deoarece la x = 1 logaritmii acestei egalități nu există, deoarece Numai numerele pozitive pot fi sub semnul logaritmului.

Să verificăm această ecuație la x=4.

Examinare.

0,5log 4 (4-2)+log 16 (4-3)=0,25

0,5log 4 2+log 16 1=0,25

0,5∙0,5+0=0,25

log a b=log c b/log c a

Logaritmul unui număr b bazat pe A egal cu logaritmul numere b pe o bază nouă Cu, împărțit la logaritmul bazei vechi A pe o bază nouă Cu.

Exemple:

1) log23=lg3/lg2;

2) log 8 7=ln7/ln8.

Calculati:

1) log 5 7, daca se stie ca lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.

c b / Buturuga c A.

log 5 7=log7/log5≈0,8451:0,6990≈1,2090.

Răspuns: log 5 7≈1,209 0≈1,209 .

2) jurnal 5 7 , daca se stie ca ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.

Soluţie. Aplicați formula: log a b =log c b / Buturuga c A.

log 5 7=ln7/ln5≈1,9459:1,6094≈1,2091.

Răspuns: log 5 7≈1,209 1≈1,209 .

Găsiți x:

1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.

Folosim formula: log c b / Buturuga c a = log a b . Primim:

log 3 x=log 3 4+log 3 6+log 3 8;

log 3 x=log 3 (4∙6∙8);

log 3 x=log 3 192;

x=192.

2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10.

Folosim formula: log c b / Buturuga c a = log a b . Primim:

log 7 x=lg143-lg11-lg13;

log 7 x=lg143- (lg11+lg13);

log 7 x=lg143-lg (11∙13);

log 7 x=lg143-lg143;

x=1.

Pagina 1 din 1 1

Unul dintre elementele algebrei de nivel primitiv este logaritmul. Numele vine de la limba greacă de la cuvântul „număr” sau „putere” și înseamnă gradul în care numărul din bază trebuie ridicat pentru a găsi numărul final.

Tipuri de logaritmi

• log a b – logaritmul numărului b la baza a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• log b – logaritm zecimal (logaritm la baza 10, a = 10);
• ln b – logaritm natural (logaritm la baza e, a = e).

Cum se rezolvă logaritmii?

Logaritmul lui b la baza a este un exponent care necesită ca b să fie ridicat la baza a. Rezultatul obținut se pronunță astfel: „logaritmul lui b la baza a”. Soluția la problemele logaritmice este că trebuie să determinați puterea dată în numere din numerele specificate. Există câteva reguli de bază pentru a determina sau rezolva logaritmul, precum și pentru a converti notația în sine. Folosind ele, se rezolvă ecuații logaritmice, se găsesc derivate, se rezolvă integrale și se efectuează multe alte operații. Practic, soluția logaritmului în sine este notația sa simplificată. Mai jos sunt formulele și proprietățile de bază:

Pentru orice a ; a > 0; a ≠ 1 și pentru orice x ; y > 0.

• a log a b = b – identitate logaritmică de bază
• log a 1 = 0
• loga a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , pentru k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – formulă pentru trecerea la o nouă bază
• log a x = 1/log x a

Cum se rezolvă logaritmi - instrucțiuni pas cu pas pentru rezolvare

• Mai întâi, scrieți ecuația necesară.

Vă rugăm să rețineți: dacă logaritmul de bază este 10, atunci intrarea este scurtată, rezultând un logaritm zecimal. Dacă merită numar natural e, apoi îl notăm, reducându-l la logaritmul natural. Aceasta înseamnă că rezultatul tuturor logaritmilor este puterea la care se ridică numărul de bază pentru a obține numărul b.

Direct, soluția constă în calcularea acestui grad. Înainte de a rezolva o expresie cu un logaritm, aceasta trebuie simplificată conform regulii, adică folosind formule. Poți găsi identitățile principale revenind puțin în articol.

Când se adună și se scad logaritmi cu două numere diferite, dar cu aceleași baze, înlocuiți cu un logaritm cu produsul sau împărțirea numerelor b și, respectiv, c. În acest caz, puteți aplica formula pentru mutarea la o altă bază (vezi mai sus).

Dacă folosiți expresii pentru a simplifica un logaritm, există câteva limitări de luat în considerare. Și adică: baza logaritmului a este doar un număr pozitiv, dar nu egal cu unul. Numărul b, ca și a, trebuie să fie mai mare decât zero.

Sunt cazuri în care, prin simplificarea unei expresii, nu veți putea calcula logaritmul numeric. Se întâmplă ca o astfel de expresie să nu aibă sens, deoarece multe puteri sunt numere iraționale. În această condiție, lăsați puterea numărului ca logaritm.