Lecție și prezentare pe tema: „Funcții de putere. Proprietăți. Grafice”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre! Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online „Integral” pentru clasa a 11-a
Manual interactiv pentru clasele 9-11 „Trigonometrie”
Manual interactiv pentru clasele 10-11 „Logaritmi”

Funcții de putere, domeniu de definiție.

Băieți, în ultima lecție am învățat cum să lucrăm cu numere cu exponent rațional. În această lecție, vom lua în considerare funcțiile de putere și ne vom limita la cazul în care exponentul este rațional.
Vom considera funcții de forma: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Să considerăm mai întâi funcțiile al căror exponent este $\frac(m)(n)>1$.
Să ni se dea o funcție specifică $y=x^2*5$.
Conform definiției pe care am dat-o în ultima lecție: dacă $x≥0$, atunci domeniul funcției noastre este raza $(x)$. Să descriem schematic graficul funcției noastre.

Proprietățile funcției $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2. Nu este nici par, nici impar.
3. Crește cu $$,
b) $(2,10)$,
c) pe raza $$.
Soluţie.
Băieți, vă amintiți cum am găsit cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții pe un segment în clasa a 10-a?
Așa e, am folosit derivatul. Să rezolvăm exemplul nostru și să repetăm ​​algoritmul pentru găsirea celei mai mici și mai mari valori.
1. Găsiți derivata funcției date:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Derivata există pe întregul domeniu al funcției originale, deci puncte critice Nu. Să găsim puncte staționare:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
8 $*\sqrt(x^3)=x^3$.
64$x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ și $x_2=\sqrt(64)=4$.
O singură soluție $x_2=4$ aparține segmentului dat.
Să construim un tabel de valori ale funcției noastre la capetele segmentului și la punctul extrem:
Răspuns: $y_(nume)=-862,65$ cu $x=9$; $y_(max)=38,4$ pentru $x=4$.

Exemplu. Rezolvați ecuația: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Soluţie. Graficul funcției $y=x^(\frac(4)(3))$ este în creștere, în timp ce graficul funcției $y=24-x$ este descrescător. Băieți, voi și eu știm: dacă o funcție crește și cealaltă scade, atunci se intersectează doar într-un punct, adică avem o singură soluție.
Notă:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Adică, pentru $х=8$ am obținut egalitatea corectă $16=16$, aceasta este soluția ecuației noastre.
Răspuns: $x=8$.

Exemplu.
Trasează funcția: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Soluţie.
Graficul funcției noastre se obține din graficul funcției $y=x^(\frac(3)(4))$, deplasându-l cu 3 unități la dreapta și 2 unități în sus.

Exemplu. Scrieți ecuația tangentei la dreapta $y=x^(-\frac(4)(5))$ în punctul $x=1$.
Soluţie. Ecuația tangentei este determinată de formula cunoscută nouă:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
În cazul nostru $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Să găsim derivata:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Să calculăm:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Găsiți ecuația tangentei:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Răspuns: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Sarcini pentru soluție independentă

1. Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției: $y=x^\frac(4)(3)$ pe segment:
a) $$.
b) $(4,50)$.
c) pe raza $$.
3. Rezolvați ecuația: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Reprezentați grafic funcția: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. Scrieți ecuația tangentei la dreapta $y=x^(-\frac(3)(7))$ în punctul $x=1$.

Pentru comoditatea luării în considerare a unei funcții de putere, vom lua în considerare 4 cazuri separate: o funcție de putere cu un exponent natural, o funcție de putere cu un exponent întreg, o funcție de putere cu un exponent rațional și o funcție de putere cu un exponent irațional.

Funcție de putere cu exponent natural

Pentru început, introducem conceptul de diplomă cu exponent natural.

Definiția 1

Puterea unui număr real $a$ cu exponent natural $n$ este un număr egal cu produsul $n$ factori, fiecare dintre care este egal cu numărul $a$.

Poza 1.

$a$ este baza gradului.

$n$ - exponent.

Luați în considerare acum o funcție de putere cu un exponent natural, proprietățile și graficul acesteia.

Definiția 2

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ se numește o funcție de putere cu exponent natural.

Pentru mai multă comoditate, luați în considerare separat funcția de putere cu exponent par $f\left(x\right)=x^(2n)$ și funcția de putere cu exponent impar $f\left(x\right)=x^(2n- 1)$ ($n\în N)$.

Proprietățile unei funcții de putere cu exponent natural par

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ este o funcție pară.

Domeniu -- $ \

Funcția scade cu $x\in (-\infty ,0)$ și crește cu $x\in (0,+\infty)$.

$f("")\left(x\right)=(\left(2n\cdot x^(2n-1)\right))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1) ))\ge 0$

Funcția este convexă pe întregul domeniu al definiției.

Comportament la sfârșitul domeniului de aplicare:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty \]

Grafic (Fig. 2).

Figura 2. Graficul funcției $f\left(x\right)=x^(2n)$

Proprietățile unei funcții de putere cu exponent natural impar

Domeniul definiției sunt toate numerele reale.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ este o funcție impară.

$f(x)$ este continuu pe întregul domeniu al definiției.

Gama sunt toate numere reale.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Funcția crește pe întregul domeniu de definiție.

$f\left(x\right)0$, pentru $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Funcția este concavă pentru $x\in (-\infty ,0)$ și convexă pentru $x\in (0,+\infty)$.

Grafic (Fig. 3).

Figura 3. Graficul funcției $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Funcția de putere cu exponent întreg

Pentru început, introducem conceptul de grad cu un exponent întreg.

Definiția 3

Gradul unui număr real $a$ cu exponent întreg $n$ este determinat de formula:

Figura 4

Luați în considerare acum o funcție de putere cu un exponent întreg, proprietățile și graficul acesteia.

Definiția 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ se numește o funcție de putere cu exponent întreg.

Dacă gradul este mai mare decât zero, atunci ajungem la cazul unei funcții de putere cu exponent natural. Am discutat deja mai sus. Pentru $n=0$ obținem o funcție liniară $y=1$. Lăsăm considerația sa în seama cititorului. Rămâne de luat în considerare proprietățile unei funcții de putere cu un exponent întreg negativ

Proprietățile unei funcții de putere cu un exponent întreg negativ

Domeniul de aplicare este $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Dacă exponentul este par, atunci funcția este pară; dacă este impar, atunci funcția este impară.

$f(x)$ este continuu pe întregul domeniu al definiției.

Interval de valori:

Dacă exponentul este par, atunci $(0,+\infty)$, dacă este impar, atunci $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Dacă exponentul este impar, funcția scade cu $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Pentru un exponent par, funcția scade cu $x\in (0,+\infty)$. și crește cu $x\în \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ pe întregul domeniu

The material metodic poartă caracter de referințăși se aplică unei game largi de subiecte. Articolul oferă o prezentare generală a graficelor principalelor funcții elementare și ia în considerare cea mai importantă problemă - cum să construiți corect și RAPID un grafic. În cursul studierii matematicii superioare fără a cunoaște graficele funcțiilor elementare de bază, va fi dificil, așa că este foarte important să ne amintim cum arată graficele unei parabole, hiperbole, sinus, cosinus etc., pentru a ne aminti câteva valorile funcției. Vom vorbi și despre câteva proprietăți ale principalelor funcții.

Nu pretind completitudinea și temeinicia științifică a materialelor, accentul va fi pus, în primul rând, pe practică - acele lucruri cu care trebuie să te confrunți literalmente la fiecare pas, în orice subiect de matematică superioară. Grafice pentru manechine? Se poate spune si asa.

La cererea populară din partea cititorilor cuprins pe care se poate face clic:

În plus, există un rezumat ultra-scurt pe această temă
– stăpânește 16 tipuri de diagrame studiind șase pagini!

Serios, șase, chiar și eu am fost surprins. Acest rezumat conține grafică îmbunătățită și este disponibil pentru o taxă nominală, o versiune demo poate fi vizualizată. Este convenabil să imprimați fișierul, astfel încât graficele să fie întotdeauna la îndemână. Vă mulțumim pentru susținerea proiectului!

Și începem imediat:

Cum să construiți corect axele de coordonate?

În practică, testele sunt aproape întotdeauna întocmite de către elevi în caiete separate, aliniate într-o cușcă. De ce ai nevoie de marcaje în carouri? La urma urmei, munca, în principiu, se poate face pe coli A4. Și cușca este necesară doar pentru designul de înaltă calitate și precis al desenelor.

Orice desen al unui grafic de funcții începe cu axe de coordonate.

Desenele sunt bidimensionale și tridimensionale.

Să luăm mai întâi în considerare cazul bidimensional Sistemul de coordonate carteziene:

1) Desenăm axe de coordonate. Axa se numește axa x , și axa axa y . Întotdeauna încercăm să le desenăm îngrijită și nu strâmbă. De asemenea, săgețile nu ar trebui să semene cu barba lui Papa Carlo.

2) Semnăm axele cu majuscule „x” și „y”. Nu uitați să semnați topoarele.

3) Setați scara de-a lungul axelor: trage zero și doi unu. Când faceți un desen, scara cea mai convenabilă și obișnuită este: 1 unitate = 2 celule (desenul din stânga) - rămâneți de ea dacă este posibil. Totuși, din când în când se întâmplă ca desenul să nu încapă pe o foaie de caiet - atunci reducem scara: 1 unitate = 1 celulă (desen din dreapta). Rareori, dar se întâmplă ca scara desenului să fie redusă (sau mărită) și mai mult

NU mâzgăliți dintr-o mitralieră... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Căci planul de coordonate nu este un monument al lui Descartes, iar elevul nu este un porumbel. Am pus zeroși două unități de-a lungul axelor. Uneori în loc de unități, este convenabil să „detecți” alte valori, de exemplu, „două” pe axa absciselor și „trei” pe axa ordonatelor - și acest sistem (0, 2 și 3) va seta, de asemenea, grila de coordonate în mod unic.

Este mai bine să estimați dimensiunile estimate ale desenului ÎNAINTE de a fi desenat desenul.. Deci, de exemplu, dacă sarcina necesită desenarea unui triunghi cu vârfuri , , , atunci este destul de clar că scara populară 1 unitate = 2 celule nu va funcționa. De ce? Să ne uităm la punctul - aici trebuie să măsori cincisprezece centimetri mai jos și, evident, desenul nu se va potrivi (sau abia se va potrivi) pe o foaie de caiet. Prin urmare, selectăm imediat o scară mai mică 1 unitate = 1 celulă.

Apropo, despre centimetri și celule de notebook. Este adevărat că sunt 15 centimetri în 30 de celule de notebook? Măsurați într-un caiet pentru dobândă 15 centimetri cu o riglă. În URSS, poate că acest lucru a fost adevărat ... Este interesant de remarcat că dacă măsurați acești centimetri pe orizontală și pe verticală, atunci rezultatele (în celule) vor fi diferite! Strict vorbind, caietele moderne nu sunt în carouri, ci dreptunghiulare. Poate părea o prostie, dar desenarea, de exemplu, a unui cerc cu o busolă în astfel de situații este foarte incomod. Sincer să fiu, în astfel de momente începi să te gândești la corectitudinea tovarășului Stalin, care a fost trimis în lagăre pentru muncă de hack în producție, ca să nu mai vorbim de industria auto autohtonă, căderea avioanelor sau exploziile centralelor electrice.

Apropo de calitate, sau o scurtă recomandare despre papetărie. Până în prezent, majoritatea notebook-urilor sunt la vânzare, cuvinte rele ca să nu mai zic, rahat complet. Din motivul că se udă, și nu numai de la pixurile cu gel, ci și de la pixurile cu bilă! Economisiți pe hârtie. Pentru degajare lucrări de control Recomand să folosiți caietele fabricii de celuloză și hârtie din Arkhangelsk (18 coli, cușcă) sau Pyaterochka, deși este mai scump. Este indicat să alegeți un pix cu gel, chiar și cea mai ieftină reumplere chinezească cu gel este mult mai bună decât un pix, care fie untează, fie rupe hârtia. Singurul pix „competitiv” din memoria mea este Erich Krause. Ea scrie clar, frumos și stabil - fie cu tulpina plină, fie cu una aproape goală.

În plus: viziunea unui sistem de coordonate dreptunghiular prin ochii geometriei analitice este acoperită în articol Dependența liniară (non) a vectorilor. Baza vectorială, informatii detaliate despre sferturi de coordonate pot fi găsite în al doilea paragraf al lecției Inegalități liniare.

carcasă 3D

Aici este aproape la fel.

1) Desenăm axe de coordonate. Standard: aplica axa – îndreptat în sus, ax – îndreptat spre dreapta, ax – în jos spre stânga strict la un unghi de 45 de grade.

2) Semnăm axele.

3) Setați scara de-a lungul axelor. Scala de-a lungul axei - de două ori mai mică decât scara de-a lungul celorlalte axe. De asemenea, rețineți că, în desenul din dreapta, am folosit un "serif" non-standard de-a lungul axei (această posibilitate a fost deja menționată mai sus). Din punctul meu de vedere, este mai precis, mai rapid și mai plăcut din punct de vedere estetic - nu trebuie să căutați mijlocul celulei la microscop și să „sculptați” unitatea până la origine.

Când faceți din nou un desen 3D - acordați prioritate scalei
1 unitate = 2 celule (desen din stânga).

Pentru ce sunt toate aceste reguli? Regulile sunt acolo pentru a fi încălcate. Ce am de gând să fac acum. Cert este că desenele ulterioare ale articolului vor fi făcute de mine în Excel, iar axele de coordonate vor arăta incorecte în ceea ce privește designul adecvat. Aș putea desena toate graficele de mână, dar este foarte înfricoșător să le desenezi, deoarece Excel este reticent să le deseneze mult mai precis.

Grafice și proprietăți de bază ale funcțiilor elementare

Funcția liniară este dată de ecuația . Graficul funcției liniare este direct. Pentru a construi o linie dreaptă este suficient să cunoaștem două puncte.

Exemplul 1

Trasează funcția. Să găsim două puncte. Este avantajos să alegeți zero ca unul dintre puncte.

Daca atunci

Luăm un alt punct, de exemplu, 1.

Daca atunci

La pregătirea sarcinilor, coordonatele punctelor sunt de obicei rezumate într-un tabel:

Și valorile însele sunt calculate oral sau pe o schiță, calculator.

S-au găsit două puncte, să desenăm:

Când întocmim un desen, semnăm întotdeauna grafica.

Nu va fi de prisos să amintim cazuri speciale ale unei funcții liniare:

Observați cum am plasat legendele, semnăturile nu trebuie să fie ambigue atunci când studiați desenul. În acest caz, a fost extrem de nedorit să se pună o semnătură lângă punctul de intersecție al liniilor sau în dreapta jos între grafice.

1) O funcție liniară de forma () se numește proporționalitate directă. De exemplu, . Graficul de proporționalitate directă trece întotdeauna prin origine. Astfel, construcția unei linii drepte este simplificată - este suficient să găsiți un singur punct.

2) O ecuație de formă definește o linie dreaptă paralelă cu axa, în special, axa însăși este dată de ecuație. Graficul funcției este construit imediat, fără a găsi niciun punct. Adică, intrarea trebuie înțeleasă după cum urmează: „y este întotdeauna egal cu -4, pentru orice valoare a lui x”.

3) O ecuație de formă definește o linie dreaptă paralelă cu axa, în special, axa însăși este dată de ecuație. Graficul funcției este de asemenea construit imediat. Intrarea ar trebui să fie înțeleasă după cum urmează: „x este întotdeauna, pentru orice valoare a lui y, egal cu 1”.

Unii se vor întreba, ei bine, de ce să-ți amintești de clasa a VI-a?! Așa este, poate așa, doar în anii de practică am întâlnit o duzină bună de studenți care au fost derutați de sarcina de a construi un grafic ca sau .

Desenarea unei linii drepte este cea mai comună acțiune atunci când faceți desene.

Linia dreaptă este discutată în detaliu în cursul geometriei analitice, iar cei care doresc pot consulta articolul Ecuația unei drepte pe un plan.

Graficul funcției pătratice, graficul funcției cubice, graficul polinomial

Parabolă. Graficul unei funcții pătratice () este o parabolă. Luați în considerare celebrul caz:

Să ne amintim câteva proprietăți ale funcției.

Deci, soluția ecuației noastre: - în acest punct se află vârful parabolei. De ce este așa poate fi învățat din articolul teoretic despre derivată și din lecția despre extremele funcției. Între timp, calculăm valoarea corespunzătoare a lui „y”:

Deci vârful este în punct

Acum găsim alte puncte, în timp ce folosim cu nerăbdare simetria parabolei. Trebuie remarcat faptul că funcția – nu este chiar, dar, cu toate acestea, nimeni nu a anulat simetria parabolei.

În ce ordine să găsim punctele rămase, cred că va fi clar din masa finală:

Acest algoritm de construcție poate fi numit în mod figurat „navetă” sau principiul „înainte și înapoi” cu Anfisa Cehova.

Hai sa facem un desen:

Din graficele luate în considerare, îmi vine în minte o altă caracteristică utilă:

Pentru o funcție pătratică () următoarele este adevărată:

Dacă , atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus.

Dacă , atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în jos.

Cunoașterea aprofundată a curbei poate fi obținută la lecția Hiperbola și parabolă.

Parabola cubică este dată de funcția . Iată un desen cunoscut de la școală:

Enumerăm principalele proprietăți ale funcției

Graficul funcției

Reprezintă una dintre ramurile parabolei. Hai sa facem un desen:

Principalele proprietăți ale funcției:

În acest caz, axa este asimptotă verticală pentru graficul hiperbolei la .

Va fi o MARE greșeală dacă, la întocmirea unui desen, din neglijență, vei permite graficului să se intersecteze cu asimptota.

De asemenea, limite unilaterale, spune-ne că o hiperbolă nelimitat de susși nelimitat de jos.

Să explorăm funcția la infinit: , adică dacă începem să ne mișcăm de-a lungul axei la stânga (sau la dreapta) la infinit, atunci „jocurile” vor fi un pas subțire infinit de aproape se apropie de zero și, în consecință, de ramurile hiperbolei infinit de aproape se apropie de ax.

Deci axa este asimptotă orizontală pentru graficul funcției, dacă „x” tinde spre plus sau minus infinit.

Funcția este ciudat, ceea ce înseamnă că hiperbola este simetrică față de origine. Acest fapt este evident din desen, în plus, poate fi ușor verificat analitic: .

Graficul unei funcții de forma () reprezintă două ramuri ale unei hiperbole.

Dacă , atunci hiperbola este situată în primul și al treilea cadran de coordonate(vezi poza de mai sus).

Dacă , atunci hiperbola este situată în al doilea și al patrulea cadran de coordonate.

Nu este dificil de analizat regularitatea specificată a locului de reședință al hiperbolei din punctul de vedere al transformărilor geometrice ale graficelor.

Exemplul 3

Construiți ramura dreaptă a hiperbolei

Folosim metoda de construcție punctual, în timp ce este avantajos să selectăm valorile astfel încât să se împartă complet:

Hai sa facem un desen:

Nu va fi dificil să construiți ramura stângă a hiperbolei, aici ciudatenia funcției va ajuta doar. Aproximativ, în tabelul de construcție punctual, adăugați mental un minus fiecărui număr, puneți punctele corespunzătoare și desenați a doua ramură.

Informații geometrice detaliate despre linia considerată pot fi găsite în articolul Hiperbolă și parabolă.

Graficul unei funcții exponențiale

În acest paragraf, voi lua în considerare imediat funcția exponențială, deoarece în problemele de matematică superioară în 95% din cazuri este exponentul care apare.

Vă reamintesc că - acesta este un număr irațional: acest lucru va fi necesar la construirea unui grafic, pe care, de fapt, îl voi construi fără ceremonie. Trei puncte sunt probabil suficiente:

Să lăsăm graficul funcției deocamdată, despre asta mai târziu.

Principalele proprietăți ale funcției:

În principiu, graficele funcțiilor arată la fel etc.

Trebuie să spun că al doilea caz este mai puțin frecvent în practică, dar apare, așa că am simțit că este necesar să îl includ în acest articol.

Graficul unei funcții logaritmice

Se consideră o funcție cu logaritm natural.
Să facem un desen în linie:

Dacă ați uitat ce este un logaritm, vă rugăm să consultați manualele școlare.

Principalele proprietăți ale funcției:

Domeniu:

Interval de valori: .

Funcția nu este limitată de mai sus: , deși încet, dar ramura logaritmului urcă până la infinit.
Să examinăm comportamentul funcției aproape de zero din dreapta: . Deci axa este asimptotă verticală pentru graficul funcției cu „x” tinde spre zero în dreapta.

Asigurați-vă că cunoașteți și rețineți valoarea tipică a logaritmului: .

În mod fundamental, graficul logaritmului de la bază arată la fel: , , (logaritmul zecimal la baza 10), etc. În același timp, cu cât baza este mai mare, cu atât graficul va fi mai plat.

Nu vom lua în considerare cazul, nu-mi amintesc când ultima data a construit un grafic pe o astfel de bază. Da, iar logaritmul pare a fi un invitat foarte rar în problemele de matematică superioară.

În încheierea paragrafului, voi mai spune un fapt: Funcția exponențială și funcția logaritmicăsunt două funcții reciproc inverse. Dacă te uiți îndeaproape la graficul logaritmului, poți vedea că acesta este același exponent, doar că este situat puțin diferit.

Grafice ale funcțiilor trigonometrice

Cum începe chinul trigonometric la școală? Corect. Din sinus

Să diagramăm funcția

Această linie se numește sinusoid.

Vă reamintesc că „pi” este un număr irațional, iar în trigonometrie orbiește în ochi.

Principalele proprietăți ale funcției:

Această funcție este periodic cu punct. Ce înseamnă? Să ne uităm la tăietură. În stânga și în dreapta acestuia, exact aceeași bucată a graficului se repetă la nesfârșit.

Domeniu: , adică pentru orice valoare a lui „x” există o valoare sinus.

Interval de valori: . Funcția este limitat: , adică toate „jocurile” stau strict în segmentul .
Acest lucru nu se întâmplă: sau, mai exact, se întâmplă, dar aceste ecuații nu au o soluție.

1. Funcția de putere, proprietățile și graficul acestuia;

2. Transformări:

transfer paralel;

Simetrie asupra axelor de coordonate;

Simetrie cu privire la origine;

Simetria cu privire la dreapta y = x;

Întindere și micșorare de-a lungul axelor de coordonate.

3. Functie exponentiala, proprietățile și graficul acestuia, transformări similare;

4. Funcția logaritmică, proprietățile și graficul acesteia;

5. Funcția trigonometrică, proprietățile și graficul acesteia, transformări similare (y = sin x; y = cos x; y = tg x);

Funcția: y = x\n - proprietățile și graficul acesteia.

Funcția de putere, proprietățile și graficul acesteia

y \u003d x, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d 1 / x etc. Toate aceste funcții sunt cazuri speciale ale funcției de putere, adică funcția y = xp, unde p este un număr real dat.
Proprietățile și graficul unei funcții de putere depind în esență de proprietățile unei puteri cu un exponent real și, în special, de valorile pentru care Xși p are sens xp. Să trecem la o considerație similară. diverse ocazii depinzând de
exponent p.

1. Index p = 2n- chiar numar natural.

y=x2n, Unde n este un număr natural și are următoarele proprietăți:

• domeniul de definiție este toate numerele reale, adică mulțimea R;
• set de valori - numere nenegative, adică y este mai mare sau egal cu 0;
• funcţie y=x2n chiar, pentru că x 2n = (-x) 2n
• funcția este în scădere pe interval X< 0 și crescând pe interval x > 0.

Graficul funcției y=x2n are aceeași formă ca, de exemplu, graficul unei funcții y=x4.

2. Indicator p = 2n - 1- număr natural impar

În acest caz, funcția de putere y=x2n-1, unde este un număr natural, are următoarele proprietăți:

• domeniul definirii - multimea R;
• set de valori - set R;
• funcţie y=x2n-1 ciudat pentru că (- x) 2n-1= x2n-1;
• funcția este în creștere pe toată axa reală.

Graficul funcției y=x2n-1 y=x3.

3. Indicator p=-2n, Unde n- numar natural.

În acest caz, funcția de putere y=x-2n=1/x2n are urmatoarele proprietati:

• set de valori - numere pozitive y>0;
• funcția y = 1/x2n chiar, pentru că 1/(-x) 2n= 1/x2n;
• funcția crește pe intervalul x0.

Graficul funcției y = 1/x2n are aceeași formă ca, de exemplu, graficul funcției y = 1/x2.

4. Indicator p = -(2n-1), Unde n- numar natural.
În acest caz, funcția de putere y=x-(2n-1) are urmatoarele proprietati:

• domeniul de definiție este mulțimea R, cu excepția x = 0;
• set de valori - set R, cu excepția y = 0;
• funcţie y=x-(2n-1) ciudat pentru că (- x)-(2n-1) = -x-(2n-1);
• funcția este descrescătoare pe intervale X< 0 și x > 0.

Graficul funcției y=x-(2n-1) are aceeași formă ca, de exemplu, graficul funcției y = 1/x3.

1) Domeniul de aplicare și domeniul de funcționare.

Sfera unei funcții este setul tuturor valorilor valide valide ale argumentului X(variabil X) pentru care funcţia y = f(x) definit. Domeniul unei funcții este mulțimea tuturor valorilor reale y pe care funcția le acceptă.

În matematica elementară, funcțiile sunt studiate numai pe mulțimea numerelor reale.

2) Zerourile funcției.

Zero al funcției este valoarea argumentului la care valoarea funcției este egală cu zero.

3) Intervale de constanță a semnului unei funcții.

Intervalele de semn constant ale unei funcții sunt astfel de seturi de valori argument pe care valorile funcției sunt doar pozitive sau numai negative.

4) Monotonitatea funcției.

O funcție crescătoare (într-un anumit interval) este o funcție în care o valoare mai mare a argumentului din acest interval îi corespunde unei valori mai mari a funcției.

Funcție descrescătoare (într-un anumit interval) - o funcție în care o valoare mai mare a argumentului din acest interval corespunde unei valori mai mici a funcției.

5) Funcții pare (impare)..

O funcție pară este o funcție al cărei domeniu de definiție este simetric față de origine și pentru oricare X din domeniul definirii egalitatea f(-x) = f(x). Graficul unei funcții pare este simetric față de axa y.

O funcție impară este o funcție al cărei domeniu de definiție este simetric față de origine și pentru oricare X din domeniul definirii egalitatea f(-x) = - f(x). Graficul unei funcții impare este simetric față de origine.

6) Funcții limitate și nelimitate.

O funcție se numește mărginită dacă există un număr pozitiv M astfel încât |f(x)| ≤ M pentru toate valorile lui x. Dacă nu există un astfel de număr, atunci funcția este nelimitată.

7) Periodicitatea funcției.

O funcție f(x) este periodică dacă există un număr T diferit de zero, astfel încât pentru orice x din domeniul funcției, f(x+T) = f(x). Acest număr cel mai mic se numește perioada funcției. Toate funcții trigonometrice sunt periodice. (Formulele trigonometrice).

19. De bază functii elementare, proprietățile și graficele lor. Aplicarea funcțiilor în economie.

Funcții elementare de bază. Proprietățile și graficele lor

1. Funcția liniară.

Funcție liniară se numește funcție de forma , unde x este o variabilă și b sunt numere reale.

Număr A numită panta unei drepte, este egală cu tangentei unghiului de înclinare a acestei drepte la direcția pozitivă a axei x. Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă. Este definit de două puncte.

Proprietățile funcției liniare

1. Domeniul definiției - mulțimea tuturor numerelor reale: D (y) \u003d R

2. Mulțimea valorilor este mulțimea tuturor numerelor reale: E(y)=R

3. Funcția ia o valoare zero pentru sau.

4. Funcția crește (descrește) pe întregul domeniu de definire.

5. Funcția liniară este continuă pe întregul domeniu al definiției, diferențiabilă și .

2. Funcția pătratică.

O funcție de forma, unde x este o variabilă, coeficienții a, b, c sunt numere reale, se numește pătratică.