Au tout début de cet article, nous avons évoqué le concept fonctions trigonométriques. Le but principal de leur objectif est d'étudier les bases de la trigonométrie et l'étude des processus périodiques. Et nous n'avons pas dessiné le cercle trigonométrique pour rien, car dans la plupart des cas, les fonctions trigonométriques sont définies comme le rapport des côtés d'un triangle ou de ses certains segments dans un cercle unitaire. J'ai également mentionné l'importance indéniable de la trigonométrie dans Vie moderne. Mais la science ne reste pas immobile, en conséquence, nous pouvons élargir considérablement la portée de la trigonométrie et transférer ses dispositions aux nombres réels et parfois complexes.

Formules de trigonométrie il en existe plusieurs types. Considérons-les dans l'ordre.

1. Relations des fonctions trigonométriques du même angle

Nous arrivons ici à l'examen d'un concept tel que identités trigonométriques de base.

Une identité trigonométrique est une égalité constituée de relations trigonométriques et qui est vraie pour toutes les valeurs des angles qui y sont incluses.

Considérez les identités trigonométriques les plus importantes et leurs preuves :

La première identité découle de la définition même de la tangente.

Prenons triangle rectangle, dans lequel il existe un angle aigu x au sommet A.



Pour prouver les identités, il faut utiliser le théorème de Pythagore :

(BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2

Maintenant, nous divisons par (AB) 2 les deux parties de l'égalité et en nous souvenant des définitions du sin et du cos de l'angle, nous obtenons la seconde identité :

(BC) 2 /(AB) 2 + (AC) 2 /(AB) 2 = 1

sin x = (BC)/(AB)

cos x = (AC)/(AB)

sin 2 x + cos 2 x = 1

Pour prouver les troisième et quatrième identités, nous utilisons la preuve précédente.

Pour ce faire, nous divisons les deux parties de la seconde identité par cos 2 x :

sin 2 x/ cos 2 x + cos 2 x/ cos 2 x = 1/ cos 2 x

sin 2x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x

Sur la base de la première identité tg x \u003d sin x / cos x nous obtenons la troisième :

1 + tg2x = 1/cos2x

Maintenant, nous divisons la seconde identité par sin 2 x :

péché 2 x/ péché 2 x + cos 2 x/ péché 2 x = 1/ péché 2 x

1+ cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x

cos 2 x/ sin 2 x n'est rien d'autre que 1/tg 2 x, donc on obtient la quatrième identité :

1 + 1/tg2x = 1/sin2x

Il est temps de se rappeler le théorème sur la somme des angles intérieurs d'un triangle, qui dit que la somme des angles d'un triangle \u003d 180 0. Il s'avère qu'au sommet B du triangle il y a un angle dont la valeur est 180 0 - 90 0 - x \u003d 90 0 - x.



Rappelez-vous à nouveau les définitions de sin et cos et nous obtenons les cinquième et sixième identités :

sin x = (BC)/(AB)

cos(90 0 - x) = (BC)/(AB)

cos(90 0 - x) = sin x

Faisons maintenant ce qui suit :

cos x = (AC)/(AB)

sin(90 0 - x) = (AC)/(AB)

sin(90 0 - x) = cos x

Comme vous pouvez le voir, tout est élémentaire ici.

Il existe d'autres identités qui sont utilisées pour résoudre des identités mathématiques, je les donnerai simplement sous la forme Informations d'arrière-plan, car ils découlent tous de ce qui précède.



2. Expressions de fonctions trigonométriques les unes par rapport aux autres

   (le choix du signe devant la racine est déterminé par le quart du cercle dans lequel se trouve le coin ?)







3. Voici les formules pour ajouter et soustraire des angles :



4. Formules double, triple et demi-angle.

   Je note qu'ils découlent tous des formules précédentes.

sin 2x \u003d 2sin x * cos x

cos 2x \u003d cos 2 x -sin 2 x \u003d 1-2sin 2 x \u003d 2cos 2 x -1

tg2x = 2tgx/(1 - tg2x)

сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x

sin3x \u003d 3sin x - 4sin 3 x

cos3x \u003d 4cos 3 x - 3cos x

tg 3x = (3tgx - tg 3 x) /(1 - 3tg 2 x)

сtg 3x = (сtg 3 x - 3сtg x) / (3сtg 2 x - 1)









5. Formules de conversion d'expressions trigonométriques :

Dans cet article, nous allons faire un tour d'horizon complet de . Les identités trigonométriques de base sont des égalités qui établissent une relation entre le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle, et vous permettent de trouver l'une de ces fonctions trigonométriques à travers une autre connue.

Nous énumérons immédiatement les principales identités trigonométriques, que nous analyserons dans cet article. Nous les écrivons dans un tableau, et ci-dessous nous donnons la dérivation de ces formules et donnons les explications nécessaires.

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Relation entre le sinus et le cosinus d'un angle

Parfois, ils ne parlent pas des principales identités trigonométriques répertoriées dans le tableau ci-dessus, mais d'une seule identité trigonométrique de base gentil . L'explication de ce fait est assez simple : les égalités sont obtenues à partir de l'identité trigonométrique de base après avoir divisé ses deux parties par et respectivement, et les égalités et découlent des définitions de sinus, cosinus, tangente et cotangente. Nous en discuterons plus en détail dans les paragraphes suivants.

C'est-à-dire que c'est l'égalité qui présente un intérêt particulier, qui a reçu le nom d'identité trigonométrique principale.

Avant de prouver l'identité trigonométrique de base, donnons sa formulation : la somme des carrés du sinus et du cosinus d'un angle est identiquement égale à un. Prouvons-le maintenant.

L'identité trigonométrique de base est très souvent utilisée dans transformation expressions trigonométriques . Il permet de remplacer par un la somme des carrés du sinus et du cosinus d'un angle. Non moins souvent, l'identité trigonométrique de base est utilisée dans l'ordre inverse: l'unité est remplacée par la somme des carrés du sinus et du cosinus de n'importe quel angle.

Tangente et cotangente par sinus et cosinus

Identités reliant la tangente et la cotangente avec le sinus et le cosinus d'un angle de la forme et découlent immédiatement des définitions de sinus, cosinus, tangente et cotangente. En effet, par définition, le sinus est l'ordonnée de y, le cosinus est l'abscisse de x, la tangente est le rapport de l'ordonnée à l'abscisse, c'est-à-dire , et la cotangente est le rapport de l'abscisse à l'ordonnée, c'est-à-dire .

En raison de cette évidence des identités et souvent les définitions de tangente et de cotangente sont données non par le rapport de l'abscisse et de l'ordonnée, mais par le rapport du sinus et du cosinus. Ainsi la tangente d'un angle est le rapport du sinus au cosinus de cet angle, et la cotangente est le rapport du cosinus au sinus.

Pour conclure cette section, il convient de noter que les identités et tenir pour tous ces angles pour lesquels les fonctions trigonométriques en eux ont un sens. Donc la formule est valable pour tout autre que (sinon le dénominateur sera zéro, et nous n'avons pas défini la division par zéro), et la formule - pour tout , différent de , où z est quelconque .

Relation entre tangente et cotangente

Une identité trigonométrique encore plus évidente que les deux précédentes est l'identité reliant la tangente et la cotangente d'un angle de la forme . Il est clair que cela se produit pour tous les angles autres que , sinon la tangente ou la cotangente n'est pas définie.

Preuve de la formule très simple. Par définition et d'où . La preuve aurait pu être effectuée d'une manière légèrement différente. Depuis et , alors .

Ainsi, la tangente et la cotangente d'un angle, auxquelles elles ont un sens, l'est.

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C'est le dernier et le plus leçon principale requis pour résoudre des problèmes B11. Nous savons déjà comment convertir des angles d'une mesure en radians en une mesure en degrés (voir leçon " Mesure en radians et degrés d'un angle"), et nous savons également comment déterminer le signe d'une fonction trigonométrique, en nous concentrant sur les quarts de coordonnées (voir leçon "Signes des fonctions trigonométriques").

L'affaire reste petite: calculer la valeur de la fonction elle-même - le nombre même qui est écrit dans la réponse. Ici, l'identité trigonométrique de base vient à la rescousse.

Identité trigonométrique de base. Pour tout angle α, l'énoncé est vrai :

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Cette formule relie le sinus et le cosinus d'un angle. Maintenant, connaissant le sinus, nous pouvons facilement trouver le cosinus - et vice versa. Il suffit de prendre la racine carrée :

Remarquez le signe "±" devant les racines. Le fait est qu'à partir de l'identité trigonométrique de base, il n'est pas clair ce qu'étaient le sinus et le cosinus d'origine : positif ou négatif. Après tout, la quadrature est une fonction paire qui "brûle" tous les inconvénients (le cas échéant).

C'est pourquoi dans toutes les tâches B11 que l'on retrouve dans l'USE en mathématiques, il y a nécessairement des conditions supplémentaires qui aident à se débarrasser de l'incertitude avec les signes. Il s'agit généralement d'une indication du quart de coordonnées par lequel le signe peut être déterminé.

Un lecteur attentif demandera sûrement : « Qu'en est-il de la tangente et de la cotangente ? Il est impossible de calculer directement ces fonctions à partir des formules ci-dessus. Cependant, il existe des corollaires importants de l'identité trigonométrique de base qui contiennent déjà des tangentes et des cotangentes. À savoir:

Un corollaire important : pour tout angle α, l'identité trigonométrique de base peut être réécrite comme suit :

Ces équations se déduisent facilement de l'identité de base - il suffit de diviser les deux côtés par cos 2 α (pour obtenir une tangente) ou par sin 2 α (pour une cotangente).

Voyons tout cela exemples concrets. Vous trouverez ci-dessous les vrais problèmes de B11 qui sont tirés de l'essai UTILISER les options en mathématiques 2012.

Nous connaissons le cosinus, mais nous ne connaissons pas le sinus. L'identité trigonométrique principale (dans sa forme "pure") ne relie que ces fonctions, nous allons donc travailler avec elle. Nous avons:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.

Pour résoudre le problème, il reste à trouver le signe du sinus. Puisque l'angle α ∈ (π /2; π ), alors dans mesure de degré il s'écrit ainsi : α ∈ (90° ; 180°).

Par conséquent, l'angle α se situe dans le quart de coordonnée II - tous les sinus y sont positifs. Donc sinα = 0,1.

Donc, nous connaissons le sinus, mais nous devons trouver le cosinus. Ces deux fonctions sont dans l'identité trigonométrique de base. Nous remplaçons :

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.

Il reste à traiter du signe devant la fraction. Que choisir : plus ou moins ? Par condition, l'angle α appartient à l'intervalle (π 3π /2). Convertissons les angles d'une mesure en radians en une mesure en degrés - nous obtenons : α ∈ (180° ; 270°).

Évidemment, c'est le quart de coordonnée III, où tous les cosinus sont négatifs. Donc cosα = −0,5.

Une tâche. Trouvez tg α si vous savez ce qui suit :

La tangente et le cosinus sont liés par une équation découlant de l'identité trigonométrique de base :

On obtient : tg α = ±3. Le signe de la tangente est déterminé par l'angle α. On sait que α ∈ (3π /2; 2π ). Convertissons les angles de la mesure en radians en la mesure en degrés - nous obtenons α ∈ (270°; 360°).

Évidemment, c'est le quart de coordonnée IV, où toutes les tangentes sont négatives. Par conséquent, tgα = −3.

Une tâche. Trouvez cos α si vous savez ce qui suit :

Encore une fois, le sinus est connu et le cosinus est inconnu. Nous écrivons l'identité trigonométrique principale:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.

Le signe est déterminé par l'angle. On a : α ∈ (3π /2 ; 2π ). Convertissons les angles de degrés en radians : α ∈ (270° ; 360°) est le quart de coordonnée IV, les cosinus y sont positifs. Par conséquent, cos α = 0,6.

Une tâche. Trouvez sin α si vous savez ce qui suit :

Écrivons une formule qui découle de l'identité trigonométrique de base et relie directement le sinus et la cotangente :

De là, nous obtenons que sin 2 α = 1/25, c'est-à-dire sinα = ±1/5 = ±0,2. On sait que l'angle α ∈ (0 ; π /2). En degrés, cela s'écrit : α ∈ (0° ; 90°) - I quart de coordonnée.

Ainsi, l'angle est dans le quart de coordonnée I - toutes les fonctions trigonométriques y sont positives, donc sin α \u003d 0,2.