Triangle rectangle est un triangle dont l'un des angles est droit, c'est-à-dire égal à 90 degrés.
- Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. c ou AB)
- Le côté adjacent à l'angle droit s'appelle la jambe. Chaque triangle rectangle a deux branches (indiquées par un et b ou AC et BC)
Formules et propriétés d'un triangle rectangle
Désignations des formules :(voir photo ci-dessus)
un B- jambes d'un triangle rectangle
c- hypoténuse
α, β - angles aigus d'un triangle
S- carré
h- hauteur abaissée du haut angle droità l'hypoténuse
ma un du coin opposé ( α )
m b- médiane tirée sur le côté b du coin opposé ( β )
Mc- médiane tirée sur le côté c du coin opposé ( γ )
À triangle rectangle chaque jambe est inférieure à l'hypoténuse(Formule 1 et 2). Cette propriété est une conséquence du théorème de Pythagore.
Cosinus de l'un des angles aigus moins d'un (Formules 3 et 4). Cette propriété découle de la précédente. Étant donné que l'une des jambes est inférieure à l'hypoténuse, le rapport de la jambe à l'hypoténuse est toujours inférieur à un.
Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des jambes (théorème de Pythagore). (Formule 5). Cette propriété est constamment utilisée pour résoudre des problèmes.
Aire d'un triangle rectangleégal à la moitié du produit des jambes (Formule 6)
Somme des médianes au carré aux jambes est égal à cinq carrés de la médiane à l'hypoténuse et cinq carrés de l'hypoténuse divisés par quatre (Formule 7). En plus de ce qui précède, il y a 5 autres formules, il est donc recommandé de vous familiariser également avec la leçon " Médiane d'un triangle rectangle", qui décrit plus en détail les propriétés de la médiane.
Hauteur d'un triangle rectangle est égal au produit des jambes divisé par l'hypoténuse (Formule 8)
Les carrés des jambes sont inversement proportionnels au carré de la hauteur lâchée jusqu'à l'hypoténuse (Formule 9). Cette identité est aussi une des conséquences du théorème de Pythagore.
Longueur de l'hypoténuseégal au diamètre (deux rayons) du cercle circonscrit (Formule 10). Hypoténuse d'un triangle rectangle est le diamètre du cercle circonscrit. Cette propriété est souvent utilisée dans la résolution de problèmes.
Rayon inscrit dans triangle rectangle cercles peut être trouvé comme la moitié de l'expression, qui comprend la somme des jambes de ce triangle moins la longueur de l'hypoténuse. Ou comme le produit des jambes divisé par la somme de tous les côtés (périmètre) d'un triangle donné. (Formule 11)
Sinus d'un angle opposé ce coin jambe à l'hypoténuse(par définition d'un sinus). (Formule 12). Cette propriété est utilisée lors de la résolution de problèmes. Connaissant les dimensions des côtés, vous pouvez trouver l'angle qu'ils forment.
Le cosinus de l'angle A (α, alpha) dans un triangle rectangle sera égal à relation adjacent ce coin jambe à l'hypoténuse(par définition d'un sinus). (Formule 13)
Résoudre des problèmes géométriques nécessite une énorme quantité de connaissances. L'une des définitions fondamentales de cette science est un triangle rectangle.
Ce concept signifie composé de trois coins et
côtés, et la valeur de l'un des angles est de 90 degrés. Les côtés qui forment un angle droit s'appellent les jambes, tandis que le troisième côté qui lui est opposé s'appelle l'hypoténuse.
Si les jambes d'une telle figure sont égales, on parle de triangle rectangle isocèle. Dans ce cas, il y a une affiliation à deux, ce qui signifie que les propriétés des deux groupes sont observées. Rappelons que les angles à la base d'un triangle isocèle sont absolument toujours égaux, par conséquent, les angles aigus d'une telle figure comprendront 45 degrés chacun.
La présence de l'une des propriétés suivantes permet d'affirmer qu'un triangle rectangle est égal à un autre :
- les jambes de deux triangles sont égales ;
- les figures ont la même hypoténuse et une des jambes ;
- l'hypoténuse et l'un des angles aigus sont égaux ;
- la condition d'égalité de la jambe et de l'angle aigu est respectée.
L'aire d'un triangle rectangle peut être facilement calculée à la fois en utilisant des formules standard et en tant que valeur égale à la moitié du produit de ses jambes.
Dans un triangle rectangle, on observe les relations suivantes :
- la jambe n'est rien d'autre que la moyenne proportionnelle à l'hypoténuse et sa projection sur elle ;
- si vous décrivez un cercle autour d'un triangle rectangle, son centre sera au milieu de l'hypoténuse ;
- la hauteur tirée de l'angle droit est la moyenne proportionnelle aux projections des branches du triangle sur son hypoténuse.
Il est intéressant de noter que, quel que soit le triangle rectangle, ces propriétés sont toujours observées.
théorème de Pythagore
En plus des propriétés ci-dessus, les triangles rectangles sont caractérisés par la condition suivante :
Ce théorème porte le nom de son fondateur - le théorème de Pythagore. Il découvrit cette relation alors qu'il étudiait les propriétés des carrés construits sur
Pour prouver le théorème, on construit un triangle ABC, dont on note les côtés a et b, et l'hypoténuse c. Ensuite, nous allons construire deux carrés. Un côté sera l'hypoténuse, l'autre la somme de deux jambes.
Ensuite, l'aire du premier carré peut être trouvée de deux manières: comme la somme des aires des quatre triangles ABC et du deuxième carré, ou comme le carré du côté, naturellement, ces rapports seront égaux. C'est-à-dire:
avec 2 + 4 (ab/2) = (a + b) 2 , on transforme l'expression résultante :
c 2 +2 ab = une 2 + b 2 + 2 ab
En conséquence, nous obtenons: c 2 \u003d a 2 + b 2
Ainsi, la figure géométrique d'un triangle rectangle ne correspond pas seulement à toutes les propriétés caractéristiques des triangles. La présence d'un angle droit conduit au fait que la figure a d'autres relations uniques. Leur étude sera utile non seulement en science, mais aussi en Vie courante, puisqu'une figure telle qu'un triangle rectangle se retrouve partout.
Propriétés d'un triangle rectangle
Chers élèves de septième année, savez-vous déjà ce que figures géométriques s'appellent des triangles, vous savez prouver les signes de leur égalité. Vous connaissez aussi des cas particuliers de triangles : isocèles et rectangulaires. Les propriétés des triangles isocèles vous sont bien connues.
Mais même les triangles rectangles ont de nombreuses propriétés. Une évidente est liée au théorème sur la somme des angles intérieurs d'un triangle : dans un triangle rectangle, la somme des angles aigus est de 90°. Vous apprendrez la propriété la plus étonnante d'un triangle rectangle en 8e année lorsque vous étudierez le célèbre théorème de Pythagore.
Et maintenant, nous allons parler de deux propriétés plus importantes. L'un d'eux fait référence à des triangles rectangles avec un angle de 30°, et l'autre à des triangles rectangles arbitraires. Formulons et démontrons ces propriétés.
Vous savez bien qu'en géométrie il est d'usage de formuler des assertions inverses des avérées, lorsque la condition et la conclusion de l'assertion sont inversées. Les affirmations inverses ne sont pas toujours vraies. Dans notre cas, les deux affirmations inverses sont vraies.
Propriété 1.1 Dans un triangle rectangle, la jambe opposée à l'angle de 30° est égale à la moitié de l'hypoténuse.
Preuve : Considérons un rectangle ∆ ABC, dans lequel ÐA=90°, ÐB=30°, puis ÐC=60°..gif" width="167" height="41">, donc, qu'il fallait prouver.
Propriété 1.2 (inverse de la propriété 1.1) Si la jambe d'un triangle rectangle est la moitié de l'hypoténuse, alors l'angle opposé est de 30°.
Propriété 2.1 Dans un triangle rectangle, la médiane tirée vers l'hypoténuse est la moitié de l'hypoténuse.
Considérons un rectangle ∆ ABC, dans lequel ÐB=90°.
Médiane BD, c'est-à-dire AD=DC. Prouvons cela.
Pour le prouver, faisons une construction supplémentaire : continuons BD au-delà du point D pour que BD=DN et connectons N avec A et C..gif" width="616" height="372 src=">
Soit : ∆ABC, ÐC=90o, ÐA=30o, ÐBEC=60o, EC=7cm
1. ÐEBC=30o, puisque dans un rectangle ∆BCE la somme des angles aigus vaut 90o
2.BE=14cm(propriété 1)
3. ÐABE=30o, puisque ÐA+ÐABE=ÐBEC (propriété de l'angle extérieur d'un triangle) donc ∆AEB- isocèle AE=EB=14cm.
BC=2AN=20 cm (propriété 2).
Tâche 3. Montrer que la hauteur et la médiane d'un triangle rectangle tiré vers l'hypoténuse forment un angle égal à la différence entre les angles aigus du triangle.
Données : ∆ ABC, РВАС=90°, AM-médiane, AH-hauteur.
Prouver : РМАН=РС-РВ.
Preuve:
1) РМАС=РС (par la propriété 2 ∆ AMC-isocèle, AM=CM)
2) RMAN = RMAS-ARN = Rs-ARN.
Il reste à prouver que PNAS=PB. Cela découle du fait que РВ+РС=90° (dans ∆ ABC) et РНАС+РС=90° (depuis ∆ ANS).
Donc, РМАН=РС-РВ, qui devait être prouvé.
https://pandia.ru/text/80/358/images/image014_39.gif" width="194" height="184">Étant donné : ∆ABC, ÐBAC=90°, AH-hauteur, .
Trouvez: РВ, РС.
Solution : Dessinez le AM médian. Soit AH=x, puis BC=4x et
VM=MS=AM=2x.
Dans un ∆ AMN rectangulaire, l'hypoténuse AM est 2 fois plus grande que la jambe AH, donc ÐAMN=30°. Puisque VM=AM,
РВ=РВАМ100%">
Continuons AC au-delà du point A pour que AD=AC. Alors ∆ABC=∆ABD (pour 2 pattes). BD=BC=2AC=CD, donc ∆DBC est équilatéral, ÐC=60o et RABC=30o.
Tâche 5
Dans un triangle isocèle, l'un des angles mesure 120°, la base mesure 10 cm, trouve la hauteur dessinée sur le côté.
Solution : pour commencer, notons que l'angle de 120o ne peut être qu'au sommet du triangle et que la hauteur tracée sur le côté tombera sur son prolongement.
AB - échelle, K - chaton.
À n'importe quelle position de l'échelle, jusqu'à ce qu'elle tombe finalement au sol ∆ABC-rectangulaire. SC - médiane ∆ABC.
Par la propriété 2 SK=1/2AB. C'est-à-dire qu'à tout moment, la longueur du segment SC est constante.
Réponse : le point K se déplacera le long d'un arc de cercle de centre C et de rayon SK=1/2AB.
Tâches pour une solution indépendante.
L'un des angles d'un triangle rectangle mesure 60° et la différence entre l'hypoténuse et la plus petite jambe est de 4 cm. trouver la longueur de l'hypoténuse. Dans un rectangle ∆ ABC d'hypoténuse BC et d'angle B égal à 60o, la hauteur AD est tracée. Trouver DC si DB=2cm. Dans ∆АВС РС=90о, СD - hauteurs, ВС=2ВD. Prouver que AD=3BD. La hauteur d'un triangle rectangle divise l'hypoténuse en parties de 3 cm et 9 cm. Trouvez les angles du triangle et la distance entre le milieu de l'hypoténuse et la jambe la plus large. La bissectrice divise le triangle en deux triangles isocèles. Trouver les angles du triangle d'origine. La médiane divise le triangle en deux triangles isocèles. Est-il possible de trouver des coins
triangle d'origine ?
Niveau moyen
Triangle rectangle. Guide illustré complet (2019)
TRIANGLE RECTANGLE. PREMIER NIVEAU.
Dans les problèmes, un angle droit n'est pas du tout nécessaire - celui en bas à gauche, vous devez donc apprendre à reconnaître un triangle rectangle sous cette forme,
et dans tel
et dans tel 
Qu'y a-t-il de bien dans un triangle rectangle ? Eh bien... tout d'abord, il y a de beaux noms spéciaux pour ses fêtes.
Attention au dessin !
Rappelez-vous et ne confondez pas : jambes - deux, et l'hypoténuse - une seule(le seul, unique et le plus long) !
Eh bien, nous avons discuté des noms, maintenant la chose la plus importante : le théorème de Pythagore.
Théorème de Pythagore.
Ce théorème est la clé pour résoudre de nombreux problèmes impliquant un triangle rectangle. Elle a été prouvée par Pythagore dans des temps tout à fait immémoriaux, et depuis lors elle a apporté de nombreux bienfaits à ceux qui la connaissent. Et ce qu'il y a de mieux chez elle, c'est qu'elle est simple.
Alors, Théorème de Pythagore:
Vous souvenez-vous de la blague : « Les pantalons pythagoriciens sont égaux de tous les côtés ! » ?
Dessinons ces pantalons très pythagoriciens et regardons-les. 
Ça ressemble vraiment à un short ? Eh bien, de quels côtés et où sont-ils égaux? Pourquoi et d'où vient la blague ? Et cette blague est précisément liée au théorème de Pythagore, plus précisément à la manière dont Pythagore lui-même a formulé son théorème. Et il l'a formulé ainsi :
"Somme zone de carrés, construit sur les jambes, est égal à zone carrée construit sur l'hypoténuse.
Cela ne semble-t-il pas un peu différent, n'est-ce pas ? Et ainsi, lorsque Pythagore a dessiné l'énoncé de son théorème, une telle image s'est avérée.
Sur cette image, la somme des aires des petits carrés est égale à l'aire du grand carré. Et pour que les enfants se souviennent mieux que la somme des carrés des jambes est égale au carré de l'hypoténuse, quelqu'un d'esprit a inventé cette blague sur le pantalon de Pythagore.
Pourquoi formulons-nous maintenant le théorème de Pythagore
Pythagore a-t-il souffert et parlé de carrés ?
Vous voyez, dans les temps anciens, il n'y avait pas ... d'algèbre! Il n'y avait aucun signe et ainsi de suite. Il n'y avait pas d'inscriptions. Pouvez-vous imaginer à quel point c'était terrible pour les pauvres anciens étudiants de tout mémoriser avec des mots ??! Et nous pouvons être heureux d'avoir une formulation simple du théorème de Pythagore. Répétons-le encore pour mieux nous souvenir :
Maintenant, ça devrait être facile :
| Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des jambes. |
Eh bien, le théorème le plus important sur un triangle rectangle a été discuté. Si vous êtes intéressé par la façon dont cela est prouvé, lisez les prochains niveaux de théorie, et maintenant passons à autre chose... dans la sombre forêt... de la trigonométrie ! Aux mots terribles sinus, cosinus, tangente et cotangente.
Sinus, cosinus, tangente, cotangente dans un triangle rectangle.
En fait, tout n'est pas si effrayant du tout. Bien sûr, la "vraie" définition du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente doit être examinée dans l'article. Mais tu ne veux vraiment pas, n'est-ce pas ? On peut se réjouir : pour résoudre des problèmes sur un triangle rectangle, il suffit de remplir les simples choses suivantes :
Pourquoi tout tourne autour du coin ? Où est le coin ? Pour comprendre cela, vous devez savoir comment les déclarations 1 à 4 sont écrites avec des mots. Regardez, comprenez et rappelez-vous!
1.
Cela ressemble en fait à ceci:
Qu'en est-il de l'angle ? Y a-t-il une jambe opposée au coin, c'est-à-dire la jambe opposée (pour le coin) ? Bien sûr ! C'est un cathéter !
Mais qu'en est-il de l'angle ? Regarder attentivement. Quelle jambe est adjacente au coin ? Bien sûr, le chat. Donc, pour l'angle, la jambe est adjacente, et
Et maintenant, attention ! Regardez ce que nous avons :
Voyez comme c'est génial :
Passons maintenant à la tangente et à la cotangente.
Comment le mettre en mots maintenant ? Quelle est la jambe par rapport au coin? En face, bien sûr - il "se trouve" en face du coin. Et le cathéter ? Adjacent au coin. Alors qu'avons-nous obtenu?
Voyez comment le numérateur et le dénominateur sont inversés ?
Et maintenant encore les coins et fait l'échange :
Sommaire
Écrivons brièvement ce que nous avons appris.
 |
Théorème de Pythagore: |
Le théorème principal du triangle rectangle est le théorème de Pythagore.
théorème de Pythagore
Au fait, vous souvenez-vous bien de ce que sont les jambes et l'hypoténuse ? Si ce n'est pas le cas, regardez l'image - rafraîchissez vos connaissances
Il est possible que vous ayez déjà utilisé le théorème de Pythagore à plusieurs reprises, mais vous êtes-vous déjà demandé pourquoi un tel théorème est vrai. Comment le prouveriez-vous ? Faisons comme les anciens Grecs. Dessinons un carré avec un côté.
Vous voyez avec quelle ruse nous avons divisé ses côtés en segments de longueurs et !
Relions maintenant les points marqués
Ici, cependant, nous avons noté quelque chose d'autre, mais vous-même regardez l'image et réfléchissez à la raison.
Quelle est l'aire du plus grand carré ?
Correctement, .
Qu'en est-il de la plus petite zone ?
Bien sûr, .
La surface totale des quatre coins reste. Imaginez que nous en ayons pris deux et que nous nous appuyions l'un contre l'autre avec des hypoténuses.
Qu'est-il arrivé? Deux rectangles. Ainsi, la zone de "boutures" est égale.
Mettons tout cela ensemble maintenant.
Transformons :
Nous avons donc visité Pythagore - nous avons prouvé son théorème d'une manière ancienne.
Triangle rectangle et trigonométrie
Pour un triangle rectangle, les relations suivantes s'appliquent :
Le sinus d'un angle aigu est égal au rapport de la jambe opposée à l'hypoténuse
Le cosinus d'un angle aigu est égal au rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse.
La tangente d'un angle aigu est égale au rapport de la jambe opposée à la jambe adjacente.
La cotangente d'un angle aigu est égale au rapport de la jambe adjacente à la jambe opposée.
Et encore une fois, tout cela sous forme d'assiette :
C'est très confortable !
Signes d'égalité des triangles rectangles
I. Sur deux jambes
II. Par jambe et hypoténuse
III. Par hypoténuse et angle aigu
IV. Le long de la jambe et angle aigu
un) 
b) 
Attention! Ici, il est très important que les jambes soient "correspondantes". Par exemple, si ça se passe comme ça :
ALORS LES TRIANGLES NE SONT PAS ÉGAUX, malgré le fait qu'ils ont un angle aigu identique.
Besoin de dans les deux triangles, la jambe était adjacente, ou dans les deux - opposée.
Avez-vous remarqué à quel point les signes d'égalité des triangles rectangles diffèrent des signes habituels d'égalité des triangles ?
Regardez le sujet "et faites attention au fait que pour l'égalité des triangles" ordinaires ", vous avez besoin de l'égalité de leurs trois éléments : deux côtés et un angle entre eux, deux angles et un côté entre eux, ou trois côtés.
Mais pour l'égalité des triangles rectangles, seuls deux éléments correspondants suffisent. C'est génial, non ?
Approximativement la même situation avec des signes de similitude de triangles rectangles.
Signes de similitude des triangles rectangles
I. Coin aigu
II. Sur deux pattes
III. Par jambe et hypoténuse
Médiane dans un triangle rectangle
Pourquoi en est-il ainsi ?
Considérez un rectangle entier au lieu d'un triangle rectangle.
Traçons une diagonale et considérons un point - le point d'intersection des diagonales. Que savez-vous des diagonales d'un rectangle ?
Et qu'en découle-t-il ?
Alors il est arrivé que
- - médiane :
Souvenez-vous de ce fait ! Aide beaucoup !
Ce qui est encore plus surprenant, c'est que l'inverse est également vrai.
A quoi bon tirer du fait que la médiane tirée vers l'hypoténuse est égale à la moitié de l'hypoténuse ? Regardons l'image
Regarder attentivement. Nous avons : , c'est-à-dire que les distances entre le point et les trois sommets du triangle se sont avérées égales. Mais dans un triangle, il n'y a qu'un seul point, les distances à partir desquelles environ les trois sommets du triangle sont égaux, et c'est le CENTRE DU CIRQUE DÉCRIT. Alors, qu'est-ce-qu'il s'est passé?
Alors commençons par ce "en plus...".
Regardons i.
Mais dans les triangles semblables tous les angles sont égaux !
On peut en dire autant de et
Maintenant, dessinons-le ensemble :
Quelle utilité peut-on tirer de cette "triple" similitude.
Eh bien, par exemple - deux formules pour la hauteur d'un triangle rectangle.
On écrit les relations des parties correspondantes :
Pour trouver la hauteur, nous résolvons la proportion et obtenons première formule "Hauteur dans un triangle rectangle":
Alors, appliquons la similarité : .
Ce qui va se passer maintenant?
Encore une fois, nous résolvons la proportion et obtenons la deuxième formule :
Ces deux formules doivent être très bien mémorisées et celle qui est la plus pratique à appliquer.
Ecrivons-les à nouveau.
Théorème de Pythagore:
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des jambes :.
Signes d'égalité des triangles rectangles :
- sur deux pattes :
- le long de la jambe et de l'hypoténuse : ou
- le long de la jambe et de l'angle aigu adjacent : ou
- le long de la jambe et l'angle aigu opposé : ou
- par hypoténuse et angle aigu : ou.
Signes de similitude des triangles rectangles :
- un coin pointu : ou
- de la proportionnalité des deux jambes :
- de la proportionnalité de la jambe et de l'hypoténuse : ou.
Sinus, cosinus, tangente, cotangente dans un triangle rectangle
- Le sinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport de la jambe opposée à l'hypoténuse :
- Le cosinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse :
- La tangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport de la jambe opposée à la jambe adjacente :
- La cotangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport de la jambe adjacente à l'opposé :.
Hauteur d'un triangle rectangle : ou.
Dans un triangle rectangle, la médiane tirée du sommet de l'angle droit est égale à la moitié de l'hypoténuse : .
Aire d'un triangle rectangle :
- à travers les cathéters :
- passant par la jambe et un angle aigu : .
Bon, le sujet est clos. Si vous lisez ces lignes, alors vous êtes très cool.
Parce que seulement 5% des gens sont capables de maîtriser quelque chose par eux-mêmes. Et si vous avez lu jusqu'au bout, alors vous êtes dans les 5% !
Maintenant la chose la plus importante.
Vous avez compris la théorie sur ce sujet. Et, je le répète, c'est... c'est juste super ! Vous êtes déjà meilleur que la grande majorité de vos pairs.
Le problème c'est que cela risque de ne pas suffire...
Pour quelle raison?
Pour réussir réussir l'examen, pour l'admission à l'institut sur le budget et, SURTOUT, à vie.
Je ne vous convaincrai de rien, je dirai juste une chose...
Les gens qui ont reçu une bonne éducation gagnent beaucoup plus que ceux qui ne l'ont pas reçue. Ce sont des statistiques.
Mais ce n'est pas l'essentiel.
L'essentiel est qu'ils soient PLUS HEUREUX (il existe de telles études). Peut-être parce que beaucoup plus d'opportunités s'ouvrent devant eux et que la vie devient plus lumineuse ? Je ne sais pas...
Mais pense par toi-même...
Que faut-il pour être sûr d'être meilleur que les autres à l'examen et d'être finalement... plus heureux ?
REMPLISSEZ VOTRE MAIN, RÉSOLVANT LES PROBLÈMES SUR CE SUJET.
À l'examen, on ne vous demandera pas de théorie.
Tu auras besoin de résoudre les problèmes à temps.
Et, si vous ne les avez pas résolus (BEAUCOUP !), vous ferez certainement une erreur stupide quelque part ou ne le ferez tout simplement pas à temps.
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En conclusion...
Si vous n'aimez pas nos tâches, trouvez-en d'autres. Ne vous arrêtez pas à la théorie.
« J'ai compris » et « Je sais résoudre » sont des compétences complètement différentes. Vous avez besoin des deux.
Trouvez des problèmes et résolvez-les!
Niveau moyen
Triangle rectangle. Guide illustré complet (2019)
TRIANGLE RECTANGLE. PREMIER NIVEAU.
Dans les problèmes, un angle droit n'est pas du tout nécessaire - celui en bas à gauche, vous devez donc apprendre à reconnaître un triangle rectangle sous cette forme,
et dans tel
et dans tel
Qu'y a-t-il de bien dans un triangle rectangle ? Eh bien... tout d'abord, il y a de beaux noms spéciaux pour ses fêtes.
Attention au dessin !
Rappelez-vous et ne confondez pas : jambes - deux, et l'hypoténuse - une seule(le seul, unique et le plus long) !
Eh bien, nous avons discuté des noms, maintenant la chose la plus importante : le théorème de Pythagore.
Théorème de Pythagore.
Ce théorème est la clé pour résoudre de nombreux problèmes impliquant un triangle rectangle. Elle a été prouvée par Pythagore dans des temps tout à fait immémoriaux, et depuis lors elle a apporté de nombreux bienfaits à ceux qui la connaissent. Et ce qu'il y a de mieux chez elle, c'est qu'elle est simple.
Alors, Théorème de Pythagore:
Vous souvenez-vous de la blague : « Les pantalons pythagoriciens sont égaux de tous les côtés ! » ?
Dessinons ces pantalons très pythagoriciens et regardons-les.
Ça ressemble vraiment à un short ? Eh bien, de quels côtés et où sont-ils égaux? Pourquoi et d'où vient la blague ? Et cette blague est précisément liée au théorème de Pythagore, plus précisément à la manière dont Pythagore lui-même a formulé son théorème. Et il l'a formulé ainsi :
"Somme zone de carrés, construit sur les jambes, est égal à zone carrée construit sur l'hypoténuse.
Cela ne semble-t-il pas un peu différent, n'est-ce pas ? Et ainsi, lorsque Pythagore a dessiné l'énoncé de son théorème, une telle image s'est avérée.
Sur cette image, la somme des aires des petits carrés est égale à l'aire du grand carré. Et pour que les enfants se souviennent mieux que la somme des carrés des jambes est égale au carré de l'hypoténuse, quelqu'un d'esprit a inventé cette blague sur le pantalon de Pythagore.
Pourquoi formulons-nous maintenant le théorème de Pythagore
Pythagore a-t-il souffert et parlé de carrés ?
Vous voyez, dans les temps anciens, il n'y avait pas ... d'algèbre! Il n'y avait aucun signe et ainsi de suite. Il n'y avait pas d'inscriptions. Pouvez-vous imaginer à quel point c'était terrible pour les pauvres anciens étudiants de tout mémoriser avec des mots ??! Et nous pouvons être heureux d'avoir une formulation simple du théorème de Pythagore. Répétons-le encore pour mieux nous souvenir :
Maintenant, ça devrait être facile :
| Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des jambes. |
Eh bien, le théorème le plus important sur un triangle rectangle a été discuté. Si vous êtes intéressé par la façon dont cela est prouvé, lisez les prochains niveaux de théorie, et maintenant passons à autre chose... dans la sombre forêt... de la trigonométrie ! Aux mots terribles sinus, cosinus, tangente et cotangente.
Sinus, cosinus, tangente, cotangente dans un triangle rectangle.
En fait, tout n'est pas si effrayant du tout. Bien sûr, la "vraie" définition du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente doit être examinée dans l'article. Mais tu ne veux vraiment pas, n'est-ce pas ? On peut se réjouir : pour résoudre des problèmes sur un triangle rectangle, il suffit de remplir les simples choses suivantes :
Pourquoi tout tourne autour du coin ? Où est le coin ? Pour comprendre cela, vous devez savoir comment les déclarations 1 à 4 sont écrites avec des mots. Regardez, comprenez et rappelez-vous!
1.
Cela ressemble en fait à ceci:
Qu'en est-il de l'angle ? Y a-t-il une jambe opposée au coin, c'est-à-dire la jambe opposée (pour le coin) ? Bien sûr ! C'est un cathéter !
Mais qu'en est-il de l'angle ? Regarder attentivement. Quelle jambe est adjacente au coin ? Bien sûr, le chat. Donc, pour l'angle, la jambe est adjacente, et
Et maintenant, attention ! Regardez ce que nous avons :
Voyez comme c'est génial :
Passons maintenant à la tangente et à la cotangente.
Comment le mettre en mots maintenant ? Quelle est la jambe par rapport au coin? En face, bien sûr - il "se trouve" en face du coin. Et le cathéter ? Adjacent au coin. Alors qu'avons-nous obtenu?
Voyez comment le numérateur et le dénominateur sont inversés ?
Et maintenant encore les coins et fait l'échange :
Sommaire
Écrivons brièvement ce que nous avons appris.
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Théorème de Pythagore: |
Le théorème principal du triangle rectangle est le théorème de Pythagore.
théorème de Pythagore
Au fait, vous souvenez-vous bien de ce que sont les jambes et l'hypoténuse ? Si ce n'est pas le cas, regardez l'image - rafraîchissez vos connaissances
Il est possible que vous ayez déjà utilisé le théorème de Pythagore à plusieurs reprises, mais vous êtes-vous déjà demandé pourquoi un tel théorème est vrai. Comment le prouveriez-vous ? Faisons comme les anciens Grecs. Dessinons un carré avec un côté.
Vous voyez avec quelle ruse nous avons divisé ses côtés en segments de longueurs et !
Relions maintenant les points marqués
Ici, cependant, nous avons noté quelque chose d'autre, mais vous-même regardez l'image et réfléchissez à la raison.
Quelle est l'aire du plus grand carré ?
Correctement, .
Qu'en est-il de la plus petite zone ?
Bien sûr, .
La surface totale des quatre coins reste. Imaginez que nous en ayons pris deux et que nous nous appuyions l'un contre l'autre avec des hypoténuses.
Qu'est-il arrivé? Deux rectangles. Ainsi, la zone de "boutures" est égale.
Mettons tout cela ensemble maintenant.
Transformons :
Nous avons donc visité Pythagore - nous avons prouvé son théorème d'une manière ancienne.
Triangle rectangle et trigonométrie
Pour un triangle rectangle, les relations suivantes s'appliquent :
Le sinus d'un angle aigu est égal au rapport de la jambe opposée à l'hypoténuse
Le cosinus d'un angle aigu est égal au rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse.
La tangente d'un angle aigu est égale au rapport de la jambe opposée à la jambe adjacente.
La cotangente d'un angle aigu est égale au rapport de la jambe adjacente à la jambe opposée.
Et encore une fois, tout cela sous forme d'assiette :
C'est très confortable !
Signes d'égalité des triangles rectangles
I. Sur deux jambes
II. Par jambe et hypoténuse
III. Par hypoténuse et angle aigu
IV. Le long de la jambe et angle aigu
un)
b)
Attention! Ici, il est très important que les jambes soient "correspondantes". Par exemple, si ça se passe comme ça :
ALORS LES TRIANGLES NE SONT PAS ÉGAUX, malgré le fait qu'ils ont un angle aigu identique.
Besoin de dans les deux triangles, la jambe était adjacente, ou dans les deux - opposée.
Avez-vous remarqué à quel point les signes d'égalité des triangles rectangles diffèrent des signes habituels d'égalité des triangles ?
Regardez le sujet "et faites attention au fait que pour l'égalité des triangles" ordinaires ", vous avez besoin de l'égalité de leurs trois éléments : deux côtés et un angle entre eux, deux angles et un côté entre eux, ou trois côtés.
Mais pour l'égalité des triangles rectangles, seuls deux éléments correspondants suffisent. C'est génial, non ?
Approximativement la même situation avec des signes de similitude de triangles rectangles.
Signes de similitude des triangles rectangles
I. Coin aigu
II. Sur deux pattes
III. Par jambe et hypoténuse
Médiane dans un triangle rectangle
Pourquoi en est-il ainsi ?
Considérez un rectangle entier au lieu d'un triangle rectangle.
Traçons une diagonale et considérons un point - le point d'intersection des diagonales. Que savez-vous des diagonales d'un rectangle ?
Et qu'en découle-t-il ?
Alors il est arrivé que
- - médiane :
Souvenez-vous de ce fait ! Aide beaucoup !
Ce qui est encore plus surprenant, c'est que l'inverse est également vrai.
A quoi bon tirer du fait que la médiane tirée vers l'hypoténuse est égale à la moitié de l'hypoténuse ? Regardons l'image
Regarder attentivement. Nous avons : , c'est-à-dire que les distances entre le point et les trois sommets du triangle se sont avérées égales. Mais dans un triangle, il n'y a qu'un seul point, les distances à partir desquelles environ les trois sommets du triangle sont égaux, et c'est le CENTRE DU CIRQUE DÉCRIT. Alors, qu'est-ce-qu'il s'est passé?
Alors commençons par ce "en plus...".
Regardons i.
Mais dans les triangles semblables tous les angles sont égaux !
On peut en dire autant de et
Maintenant, dessinons-le ensemble :
Quelle utilité peut-on tirer de cette "triple" similitude.
Eh bien, par exemple - deux formules pour la hauteur d'un triangle rectangle.
On écrit les relations des parties correspondantes :
Pour trouver la hauteur, nous résolvons la proportion et obtenons première formule "Hauteur dans un triangle rectangle":
Alors, appliquons la similarité : .
Ce qui va se passer maintenant?
Encore une fois, nous résolvons la proportion et obtenons la deuxième formule :
Ces deux formules doivent être très bien mémorisées et celle qui est la plus pratique à appliquer.
Ecrivons-les à nouveau.
Théorème de Pythagore:
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des jambes :.
Signes d'égalité des triangles rectangles :
- sur deux pattes :
- le long de la jambe et de l'hypoténuse : ou
- le long de la jambe et de l'angle aigu adjacent : ou
- le long de la jambe et l'angle aigu opposé : ou
- par hypoténuse et angle aigu : ou.
Signes de similitude des triangles rectangles :
- un coin pointu : ou
- de la proportionnalité des deux jambes :
- de la proportionnalité de la jambe et de l'hypoténuse : ou.
Sinus, cosinus, tangente, cotangente dans un triangle rectangle
- Le sinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport de la jambe opposée à l'hypoténuse :
- Le cosinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse :
- La tangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport de la jambe opposée à la jambe adjacente :
- La cotangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport de la jambe adjacente à l'opposé :.
Hauteur d'un triangle rectangle : ou.
Dans un triangle rectangle, la médiane tirée du sommet de l'angle droit est égale à la moitié de l'hypoténuse : .
Aire d'un triangle rectangle :
- à travers les cathéters :
- passant par la jambe et un angle aigu : .
Bon, le sujet est clos. Si vous lisez ces lignes, alors vous êtes très cool.
Parce que seulement 5% des gens sont capables de maîtriser quelque chose par eux-mêmes. Et si vous avez lu jusqu'au bout, alors vous êtes dans les 5% !
Maintenant la chose la plus importante.
Vous avez compris la théorie sur ce sujet. Et, je le répète, c'est... c'est juste super ! Vous êtes déjà meilleur que la grande majorité de vos pairs.
Le problème c'est que cela risque de ne pas suffire...
Pour quelle raison?
Pour la réussite de l'examen, pour l'admission à l'institut sur le budget et, SURTOUT, pour la vie.
Je ne vous convaincrai de rien, je dirai juste une chose...
Les gens qui ont reçu une bonne éducation gagnent beaucoup plus que ceux qui ne l'ont pas reçue. Ce sont des statistiques.
Mais ce n'est pas l'essentiel.
L'essentiel est qu'ils soient PLUS HEUREUX (il existe de telles études). Peut-être parce que beaucoup plus d'opportunités s'ouvrent devant eux et que la vie devient plus lumineuse ? Je ne sais pas...
Mais pense par toi-même...
Que faut-il pour être sûr d'être meilleur que les autres à l'examen et d'être finalement... plus heureux ?
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