Considérons le mouvement de deux points le long d'un cercle de longueur s dans une direction tout en démarrant simultanément à des vitesses v1 etv2 (v1 >v2) et répondez à la question : après combien de temps le premier point sera-t-il en avance sur le second d'exactement un cercle ? En supposant que le deuxième point est au repos et que le premier s'en approche avec rapidité v1 –v2., on constate que la condition du problème sera remplie lorsque le premier point sera égal au second pour la première fois. Dans ce cas, le premier point parcourra une distance égale à la longueur d'un cercle, et la formule requise n'est pas différente de la formule obtenue pour la tâche de poursuite du mouvement :

Ainsi, si deux points commencent simultanément à se déplacer autour d'un cercle dans une direction avec des vitesses v 1 et v 2, respectivement (v 1 > v 2, respectivement), alors le premier point se rapproche du second avec une vitesse v1 —v2 et au moment où le premier point rattrape pour la première fois le second, il parcourt une distance d'un cercle de plus.

Problème 3. D'un point piste circulaire, dont la longueur est de 14 km, deux voitures ont démarré simultanément dans la même direction. La vitesse de la première voiture est de 80 km/h et 40 minutes après le départ, elle avait un tour d'avance sur la deuxième voiture. Trouvez la vitesse de la deuxième voiture. Donnez votre réponse en km/h.

Solution. Soit la vitesse de la deuxième voiture soit de x km/h. Puisque 40 minutes font 2/3 d'heure et que c'est le temps pendant lequel la première voiture sera en avance d'un tour sur la seconde, nous établirons l'équation en fonction des conditions du problème

où 160 - 2x = 42, soit x = 59.

Répondre. 59km/h

Tâches de formation

T3.1. A partir d'un point sur une piste circulaire d'une longueur de 15 km, deux voitures ont démarré simultanément dans la même direction. La vitesse de la première voiture est de 60 km/h, celle de la seconde est de 80 km/h. Combien de minutes s'écouleront depuis le départ avant que la première voiture ait exactement 1 tour d'avance sur la seconde ?

T3.2. A partir d'un point sur une piste circulaire d'une longueur de 10 km, deux voitures ont démarré simultanément dans la même direction. La vitesse de la première voiture est de 90 km/h et 40 minutes après le départ, elle avait un tour d'avance sur la deuxième voiture. Trouvez la vitesse de la deuxième voiture. Donnez votre réponse en km/h.

T3.3. Deux motos démarrent simultanément dans la même direction à partir de deux points diamétralement opposés sur une piste circulaire dont la longueur est de 20 km. Combien de minutes faudra-t-il pour que les motos se rencontrent pour la première fois si la vitesse de l'une d'elles est supérieure de 12 km/h à la vitesse de l'autre ?

T3.4. L'horloge avec aiguilles indique 9 heures 00 minutes. Dans combien de minutes l’aiguille des minutes s’alignera-t-elle avec l’aiguille des heures pour la troisième fois ?

T3.5. Les compétitions de ski se déroulent sur une piste circulaire. Le premier skieur boucle un tour 2 minutes plus vite que le second et une heure plus tard il a exactement un tour d'avance sur le second. Combien de minutes faut-il au deuxième skieur pour boucler un tour ?

T3.6. Deux corps se déplacent en cercle dans une direction. Le premier boucle la boucle 3 minutes plus vite que le second et rattrape le second toutes les heures et demie. Combien de minutes faut-il au premier corps pour boucler un cercle ?

T3.7. Deux points tournent uniformément dans un cercle. Le premier fait un tour 5 secondes plus vite que le second et fait 2 tours par minute de plus que le second. Combien de tours par minute fait le deuxième point ?

T3.8. Du point A de la piste circulaire ils commencent simultanément Mouvement uniforme deux corps dans des directions opposées. Au moment de leur rencontre, le premier corps parcourt 100 mètres de plus que le second et revient au point A 9 minutes après la rencontre. Trouvez la longueur du chemin en mètres si le deuxième corps revient au point A 16 minutes après la rencontre.

L'article traite des tâches pour aider les étudiants : développer des compétences dans la résolution de problèmes de mots en préparation à l'examen d'État unifié, lors de l'apprentissage de la résolution de problèmes de composition modèle mathématique situations réelles dans tous les parallèles du primaire et du lycée. Il présente des tâches : sur le mouvement en cercle ; trouver la longueur d’un objet en mouvement ; pour trouver la vitesse moyenne.

I. Problèmes impliquant le mouvement en cercle.

Les problèmes de mouvement circulaire se sont révélés difficiles pour de nombreux écoliers. Ils sont résolus presque de la même manière que les problèmes de mouvement ordinaires. Ils utilisent également la formule. Mais il y a un point auquel nous aimerions prêter attention.

Tache 1. Un cycliste a quitté le point A de la piste circulaire et 30 minutes plus tard, un motocycliste l'a suivi. 10 minutes après le départ, il a rattrapé le cycliste pour la première fois, et 30 minutes plus tard, il l'a rattrapé pour la deuxième fois. Trouvez la vitesse du motocycliste si la longueur du parcours est de 30 km. Donnez votre réponse en km/h.

Solution. Les vitesses des participants seront prises en compte X km/h et y km/h. Pour la première fois, un motocycliste a dépassé un cycliste 10 minutes plus tard, soit une heure après le départ. Jusqu'à présent, le cycliste était sur la route depuis 40 minutes, soit des heures. Les participants au mouvement parcouraient les mêmes distances, c'est-à-dire y = x. Entrons les données dans le tableau.

Tableau 1

Le motocycliste a ensuite doublé le cycliste une seconde fois. Cela s'est produit 30 minutes plus tard, soit une heure après le premier dépassement. Jusqu’où ont-ils voyagé ? Un motocycliste a dépassé un cycliste. Cela signifie qu'il a bouclé un tour de plus. C'est le moment

auquel vous devez faire attention. Un tour correspond à la longueur de la piste, soit 30 km. Créons une autre table.

Tableau 2

On obtient la deuxième équation : y - x = 30. On a un système d'équations : Dans la réponse, nous indiquons la vitesse du motocycliste.

Réponse : 80 km/h.

Tâches (indépendamment).

I.1.1. Un cycliste a quitté le point « A » du parcours circulaire et, 40 minutes plus tard, un motocycliste l'a suivi. 10 minutes après le départ, il a rattrapé le cycliste pour la première fois, et 36 minutes plus tard, il l'a rattrapé pour la deuxième fois. Trouvez la vitesse du motocycliste si la longueur du parcours est de 36 km. Donnez votre réponse en km/h.

I.1. 2. Un cycliste a quitté le point « A » du parcours circulaire et, 30 minutes plus tard, un motocycliste l'a suivi. 8 minutes après le départ, il a rattrapé le cycliste pour la première fois, et 12 minutes plus tard, il l'a rattrapé pour la deuxième fois. Trouvez la vitesse du motocycliste si la longueur du parcours est de 15 km. Donnez votre réponse en km/h.

I.1. 3. Un cycliste a quitté le point « A » du parcours circulaire et, 50 minutes plus tard, un motocycliste l'a suivi. Dix minutes après le départ, il a rattrapé le cycliste pour la première fois, puis 18 minutes plus tard, il l'a rattrapé pour la deuxième fois. Trouvez la vitesse du motocycliste si la longueur du parcours est de 15 km. Donnez votre réponse en km/h.

Deux motocyclistes partent simultanément dans la même direction à partir de deux points diamétralement opposés sur une piste circulaire dont la longueur est de 20 km. Combien de minutes faudra-t-il aux motocyclistes pour se rencontrer pour la première fois si la vitesse de l'un d'eux est supérieure de 15 km/h à celle de l'autre ?

Solution.

Image 1

Avec un départ simultané, le motocycliste parti de « A » a parcouru un demi-tour de plus que celui parti de « B ». Soit 10 km. Lorsque deux motocyclistes se déplacent dans la même direction, la vitesse de déplacement v = -. Selon les conditions du problème, v = 15 km/h = km/min = km/min – vitesse de dépose. On retrouve le temps après lequel les motards se rejoignent pour la première fois.

10 : = 40 (minutes).

Répondre: 40 minutes.

Tâches (indépendamment).

I.2.1. Deux motocyclistes partent simultanément dans la même direction depuis deux points diamétralement opposés sur une piste circulaire dont la longueur est de 27 km. Combien de minutes faudra-t-il aux motocyclistes pour se rencontrer pour la première fois si la vitesse de l'un d'eux est supérieure de 27 km/h à celle de l'autre ?

I.2.2. Deux motocyclistes partent simultanément dans la même direction à partir de deux points diamétralement opposés sur une piste circulaire dont la longueur est de 6 km. Combien de minutes faudra-t-il aux motocyclistes pour se rencontrer pour la première fois si la vitesse de l'un d'eux est supérieure de 9 km/h à celle de l'autre ?

A partir d'un point sur une piste circulaire d'une longueur de 8 km, deux voitures ont démarré simultanément dans la même direction. La vitesse de la première voiture est de 89 km/h et 16 minutes après le départ, elle avait un tour d'avance sur la deuxième voiture. Trouvez la vitesse de la deuxième voiture. Donnez votre réponse en km/h.

Solution.

x km/h est la vitesse de la deuxième voiture.

(89 – x) km/h – vitesse de déplacement.

8 km est la longueur du parcours circulaire.

L'équation.

(89 – x) = 8,

89 – x = 2 15,

Répondre: 59 km/h.

Tâches (indépendamment).

I.3.1. A partir d'un point sur une piste circulaire d'une longueur de 12 km, deux voitures ont démarré simultanément dans la même direction. La vitesse de la première voiture est de 103 km/h et 48 minutes après le départ, elle avait un tour d'avance sur la deuxième voiture. Trouvez la vitesse de la deuxième voiture. Donnez votre réponse en km/h.

I.3.2. A partir d'un point sur une piste circulaire d'une longueur de 6 km, deux voitures ont démarré simultanément dans la même direction. La vitesse de la première voiture est de 114 km/h, et 9 minutes après le départ, elle avait un tour d'avance sur la deuxième voiture. Trouvez la vitesse de la deuxième voiture. Donnez votre réponse en km/h.

I.3.3. A partir d'un point sur une piste circulaire d'une longueur de 20 km, deux voitures ont démarré simultanément dans la même direction. La vitesse de la première voiture est de 105 km/h et 48 minutes après le départ, elle avait un tour d'avance sur la deuxième voiture. Trouvez la vitesse de la deuxième voiture. Donnez votre réponse en km/h.

I.3.4. A partir d'un point sur une piste circulaire d'une longueur de 9 km, deux voitures ont démarré simultanément dans la même direction. La vitesse de la première voiture est de 93 km/h, et 15 minutes après le départ, elle avait un tour d'avance sur la deuxième voiture. Trouvez la vitesse de la deuxième voiture. Donnez votre réponse en km/h.

L'horloge avec aiguilles indique 8 heures 00 minutes. Dans combien de minutes l’aiguille des minutes s’alignera-t-elle avec l’aiguille des heures pour la quatrième fois ?

Solution. Nous supposons que nous ne résolvons pas le problème expérimentalement.

En une heure, l’aiguille des minutes parcourt un cercle et l’aiguille des heures parcourt un cercle. Laissez leurs vitesses être de 1 (tours par heure) et Début - à 8h00. Trouvons le temps qu'il faut à l'aiguille des minutes pour rattraper l'aiguille des heures pour la première fois.

L'aiguille des minutes se déplacera plus loin, nous obtenons donc l'équation

Cela signifie que pour la première fois, les flèches s'aligneront sur

Laissez les flèches s'aligner une deuxième fois après le temps z. L'aiguille des minutes parcourra une distance de 1·z et l'aiguille des heures parcourra un cercle supplémentaire. Écrivons l'équation :

Après l'avoir résolu, nous obtenons cela.

Ainsi, à travers les flèches, ils s'aligneront pour la deuxième fois, après l'autre - pour la troisième fois, et après l'autre - pour la quatrième fois.

Par conséquent, si le départ était à 8h00, alors pour la quatrième fois les aiguilles s'aligneront

4h = 60 * 4 min = 240 min.

Réponse : 240 minutes.

Tâches (indépendamment).

I.4.1.L'horloge à aiguilles indique 4 heures 45 minutes. Dans combien de minutes l’aiguille des minutes s’alignera-t-elle avec l’aiguille des heures pour la septième fois ?

I.4.2. L'horloge à aiguilles indique exactement 2 heures. Dans combien de minutes l’aiguille des minutes s’alignera-t-elle avec l’aiguille des heures pour la dixième fois ?

I.4.3. L'horloge à aiguilles indique 8 heures 20 minutes. Dans combien de minutes l’aiguille des minutes s’alignera-t-elle avec l’aiguille des heures pour la quatrième fois ? quatrième

II. Problèmes pour trouver la longueur d'un objet en mouvement.

Un train, se déplaçant uniformément à une vitesse de 80 km/h, dépasse un poteau routier en 36 s. Trouvez la longueur du train en mètres.

Solution. Puisque la vitesse du train est indiquée en heures, nous convertirons les secondes en heures.

1) 36 secondes =

2) trouver la longueur du train en kilomètres.

80·

Réponse : 800 m.

Tâches (indépendamment).

II.2 Un train, circulant uniformément à une vitesse de 60 km/h, dépasse un poteau routier en 69 s. Trouvez la longueur du train en mètres. Réponse : 1150m.

II.3. Un train se déplaçant uniformément à une vitesse de 60 km/h traverse une ceinture forestière de 200 m de long en 1 min 21 s. Trouvez la longueur du train en mètres. Réponse : 1150m.

III. Problèmes de vitesse moyenne.

Lors d'un examen de mathématiques, vous pourriez rencontrer un problème pour trouver la vitesse moyenne. Il faut rappeler que la vitesse moyenne n'est pas égale à la moyenne arithmétique des vitesses. La vitesse moyenne est trouvée à l'aide d'une formule spéciale :

S'il y avait deux sections du chemin, alors .

La distance entre les deux villages est de 18 km. Un cycliste voyageait d'un village à l'autre pendant 2 heures et revenait par la même route pendant 3 heures. Quelle est la vitesse moyenne du cycliste sur tout le parcours ?

Solution:

2 heures + 3 heures = 5 heures - consacrées à l'ensemble du mouvement,

.

Le touriste a marché à une vitesse de 4 km/h, puis exactement en même temps à une vitesse de 5 km/h. Quelle est la vitesse moyenne du touriste sur tout le parcours ?

Laissez le touriste marcher à une vitesse de 4 km/h et à une vitesse de 5 km/h. Puis en 2t heures, il a parcouru 4t + 5t = 9t (km). La vitesse moyenne d'un touriste est = 4,5 (km/h).

Réponse : 4,5 km/h.

On constate que la vitesse moyenne du touriste s'est avérée égale à la moyenne arithmétique des deux vitesses données. Vous pouvez vérifier que si le temps de trajet sur deux tronçons de l'itinéraire est le même, alors la vitesse moyenne de déplacement est égale à la moyenne arithmétique des deux vitesses données. Pour ce faire, résolvons le même problème sous sa forme générale.

Le touriste marchait à une vitesse de km/h, puis exactement en même temps à une vitesse de km/h. Quelle est la vitesse moyenne du touriste sur tout le parcours ?

Laissez le touriste marcher à une vitesse de km/h et à une vitesse de km/h. Puis en 2t heures il a parcouru t + t = t (km). La vitesse moyenne d'un touriste est

= (km/h).

La voiture a parcouru une certaine distance en montée à une vitesse de 42 km/h et en descente à une vitesse de 56 km/h.

.

La vitesse moyenne de déplacement est de 2 s : (km/h).

Réponse : 48 km/h.

La voiture a parcouru une certaine distance en montée à une vitesse de km/h et en descente de la montagne à une vitesse de km/h.

Quelle est la vitesse moyenne de la voiture sur tout le parcours ?

Soit la longueur de la section de chemin égale à s km. Ensuite, la voiture a parcouru 2 s km dans les deux sens, passant tout le trajet .

La vitesse moyenne de déplacement est de 2 s : (km/h).

Réponse : km/h.

Considérons un problème dans lequel la vitesse moyenne est donnée et l'une des vitesses doit être déterminée. L’application de l’équation sera nécessaire.

Le cycliste montait une pente à une vitesse de 10 km/h et descendait la montagne à une autre vitesse constante. Selon ses calculs, la vitesse moyenne était de 12 km/h.

.

III.2. La moitié du temps passé sur la route, la voiture roulait à une vitesse de 60 km/h, et la seconde moitié du temps à une vitesse de 46 km/h. Trouvez la vitesse moyenne de la voiture tout au long du trajet.

III.3. Sur le chemin d'un village à un autre, la voiture a marché un certain temps à une vitesse de 60 km/h, puis exactement le même temps à une vitesse de 40 km/h, puis exactement le même temps à une vitesse égale à la vitesse moyenne sur les deux premiers tronçons du parcours. Quelle est la vitesse moyenne de déplacement sur l’ensemble du trajet d’un village à l’autre ?

III.4. Un cycliste se rend de son domicile au travail à une vitesse moyenne de 10 km/h, et revient à une vitesse moyenne de 15 km/h, car la route est légèrement descendante. Trouvez la vitesse moyenne du cycliste depuis la maison jusqu'au travail et retour.

III.5. Une voiture s'est rendue du point A au point B à vide à une vitesse constante et est revenue par la même route avec une charge à une vitesse de 60 km/h. A quelle vitesse roulait-il à vide si la vitesse moyenne était de 70 km/h ?

III.6. La voiture a roulé pendant les 100 premiers kilomètres à une vitesse de 50 km/h, pendant les 120 kilomètres suivants à une vitesse de 90 km/h, puis pendant 120 km à une vitesse de 100 km/h. Trouvez la vitesse moyenne de la voiture tout au long du trajet.

III.7. La voiture a parcouru les 100 premiers kilomètres à une vitesse de 50 km/h, les 140 kilomètres suivants à une vitesse de 80 km/h, puis 150 km à une vitesse de 120 km/h. Trouvez la vitesse moyenne de la voiture tout au long du trajet.

III.8. La voiture a roulé pendant les 150 premiers kilomètres à une vitesse de 50 km/h, pendant les 130 kilomètres suivants à une vitesse de 60 km/h, puis sur 120 km à une vitesse de 80 km/h. Trouvez la vitesse moyenne de la voiture tout au long du trajet.

III. 9. La voiture a parcouru les 140 premiers kilomètres à une vitesse de 70 km/h, les 120 kilomètres suivants à une vitesse de 80 km/h, puis 180 km à une vitesse de 120 km/h. Trouvez la vitesse moyenne de la voiture tout au long du trajet.

1. Deux voitures ont quitté le point A vers le point B en même temps. Le premier a roulé à vitesse constante tout le long du trajet. La deuxième voiture a parcouru la première moitié du trajet à une vitesse inférieure de 15 km/h à la vitesse de la première, et la seconde moitié du trajet à une vitesse de 90 km/h, ce qui lui a permis d'arriver à point B en même temps que la première voiture. Trouvez la vitesse de la première voiture si elle est supérieure à 54 km/h. Donnez votre réponse en km/h.

2. Un train, se déplaçant uniformément à une vitesse de 60 km/h, traverse en 1 minute une ceinture forestière dont la longueur est de 400 mètres. Trouvez la longueur du train en mètres.

3. La distance entre les villes A et B est de 435 km. La première voiture a roulé d'une ville A à une ville B à une vitesse de 60 km/h, et une heure plus tard, la deuxième voiture s'est dirigée vers elle à une vitesse de 65 km/h. A quelle distance de la ville A les voitures se croiseront-elles ? Donnez votre réponse en kilomètres.

4. Un train de marchandises et un train de voyageurs circulent sur deux voies ferrées parallèles dans la même direction à des vitesses respectives de 40 km/h et 100 km/h. La longueur d'un train de marchandises est de 750 m. Trouvez la longueur d'un train de voyageurs si le temps qu'il faut pour dépasser le train de marchandises est de 1 minute.

5. Un train se déplaçant uniformément à une vitesse de 63 km/h dépasse un piéton marchant dans la même direction parallèlement aux voies à une vitesse de 3 km/h en 57 secondes. Trouvez la longueur du train en mètres.

6. Résoudre les problèmes de mouvement.

7. La route entre les points A et B comprend des montées et des descentes et sa longueur est de 8 km. Le piéton a marché d'un point A à un point B en 2 heures 45 minutes. Le temps qu'il a fallu pour descendre était de 1 heure et 15 minutes. À quelle vitesse le piéton a-t-il marché en descente si sa vitesse en montée est inférieure de 2 km/h à sa vitesse en descente ? Exprimez votre réponse en km/h.

8. La voiture a voyagé de la ville au village en 3 heures. S’il augmentait sa vitesse de 25 km/h, il passerait 1 heure de moins sur ce trajet. Quelle est la distance en kilomètres de la ville au village ?

http://youtu.be/x64JkS0XcrU

9. Les compétitions de ski se déroulent sur une piste circulaire. Le premier skieur boucle un tour 2 minutes plus vite que le second et une heure plus tard il a exactement un tour d'avance sur le second. Combien de minutes faut-il au deuxième skieur pour boucler un tour ?

10. Deux motocyclistes partent simultanément dans la même direction à partir de deux points diamétralement opposés sur une piste circulaire dont la longueur est de 6 km. Combien de minutes faudra-t-il aux motocyclistes pour se rencontrer pour la première fois si la vitesse de l'un d'eux est supérieure de 18 km/h à celle de l'autre ?

Problèmes de mouvement d'Anna Denisova. Site Web http://easy-physics.ru/

11. Conférence vidéo. 11 problèmes de mouvement.

1. Un cycliste parcourt 500 m de moins chaque minute qu'un motocycliste, il passe donc 2 heures de plus sur un trajet de 120 km. Retrouvez les vitesses du cycliste et du motocycliste.

2. Un motocycliste s'est arrêté pour faire le plein pendant 12 minutes. Après cela, en augmentant la vitesse de 15 km/h, il a rattrapé le temps perdu sur une distance de 60 km. À quelle vitesse se déplaçait-il après s’être arrêté ?

3. Deux motocyclistes partent simultanément l'un vers l'autre depuis des points A et B dont la distance est de 600 km. Alors que le premier parcourt 250 km, le second parvient à parcourir 200 km. Trouvez la vitesse des motocyclistes si le premier arrive en B trois heures plus tôt que le second en A.

4. L'avion volait à une vitesse de 220 km/h. Alors qu’il lui restait 385 km de moins à parcourir que ce qu’il avait déjà parcouru, l’avion augmenta sa vitesse à 330 km/h. La vitesse moyenne de l'avion sur tout le parcours s'est avérée être de 250 km/h. Quelle distance l’avion a-t-il parcouru avant que sa vitesse n’augmente ?

5. Par chemin de fer la distance de A à B est de 88 km ; par voie d'eau elle s'élève à 108 km. Le train de A part 1 heure plus tard que le navire et arrive à B 15 minutes plus tôt. Trouvez la vitesse moyenne du train, si l’on sait qu’elle est supérieure de 40 km/h à la vitesse moyenne du navire.

6. Deux cyclistes ont quitté deux endroits distants de 270 km et se dirigent l'un vers l'autre. Le second parcourt 1,5 km de moins par heure que le premier, et le rencontre après autant d'heures que le premier parcourt en kilomètres par heure. Déterminez la vitesse de chaque cycliste.

7. Deux trains partent des points A et B l'un vers l'autre. Si le train de A part deux heures plus tôt que le train de B, alors ils se retrouveront à mi-chemin. S'ils partent en même temps, après deux heures, la distance qui les sépare sera de 0,25 de la distance entre les points A et B. Combien d'heures faut-il à chaque train pour effectuer tout le trajet ?

8. Le train a dépassé un homme immobile sur le quai en 6 s, et un quai de 150 m de long en 15 s. Trouvez la vitesse du train et sa longueur.

9. Un train de 1 km de long a passé le poteau en 1 minute, et a traversé le tunnel (de l'entrée de la locomotive à la sortie du dernier wagon) à la même vitesse en 3 minutes. Quelle est la longueur du tunnel (en km) ?

10. Des trains de marchandises et des trains rapides sont partis simultanément des gares A et B, distantes de 75 km, et se sont rencontrés une demi-heure plus tard. Le train de marchandises est arrivé en B 25 minutes plus tard que le train rapide en A. Quelle est la vitesse de chaque train ?

11. Les jetées A et B sont situées sur une rivière dont la vitesse actuelle dans ce tronçon est de 4 km/h. Un bateau se déplace d’un point A à un point B et vice-versa sans s’arrêter à une vitesse moyenne de 6 km/h. Trouvez la propre vitesse du bateau.

12. Conférence vidéo. 8 problèmes pour se déplacer en cercle

12. Deux points se déplacent uniformément et dans la même direction le long d'un cercle de 60 m de long. L'un d'eux fait un tour complet 5 secondes plus vite que l'autre. Dans ce cas, les points coïncident à chaque fois après 1 minute. Trouvez les vitesses des points.

13. Combien de temps s'écoule entre deux coïncidences consécutives des aiguilles des heures et des minutes sur un cadran de montre ?

14. Deux coureurs partent d'un point sur le ring du stade et le troisième - d'un point diamétralement opposé en même temps qu'eux dans la même direction. Après avoir parcouru trois tours, le troisième coureur a rattrapé le deuxième. Deux minutes et demie plus tard, le premier coureur rattrapait le troisième. Combien de tours par minute le deuxième coureur parcourt-il si le premier le dépasse une fois toutes les 6 minutes ?

15. Trois coureurs partent simultanément d'un point sur une piste en forme de cercle et roulent dans la même direction à vitesse constante. Le premier a dépassé le deuxième pour la première fois, en effectuant son cinquième tour, à un point diamétralement opposé au départ, et une demi-heure après, il a dépassé le troisième pour la deuxième fois, sans compter le départ. Le deuxième coureur a rattrapé le troisième pour la première fois trois heures après le départ. Combien de tours par heure le premier pilote fait-il si le deuxième pilote boucle le tour en au moins 20 minutes ?

16. Deux motocyclistes partent simultanément dans la même direction à partir de deux points diamétralement opposés sur une piste circulaire dont la longueur est de 14 km. Combien de minutes faudra-t-il aux motocyclistes pour se rencontrer pour la première fois si la vitesse de l'un d'eux est supérieure de 21 km/h à celle de l'autre ?

17. Un cycliste a quitté le point A du parcours circulaire et 30 minutes plus tard, un motocycliste l'a suivi. Dans 10 minutes. après son départ, il a rattrapé le cycliste pour la première fois, et 30 minutes plus tard, il l'a rattrapé pour la deuxième fois. Trouvez la vitesse du motocycliste si la longueur du parcours est de 30 km. Donnez votre réponse en km/h.

18. Une horloge avec des aiguilles indique 3 heures exactement. Dans combien de minutes l’aiguille des minutes s’alignera-t-elle avec l’aiguille des heures pour la neuvième fois ?

18.1 Course à deux coureurs. Ils devront parcourir 60 tours sur un ring de 3 km de long. Les deux coureurs sont partis en même temps et le premier a atteint la ligne d'arrivée 10 minutes plus tôt que le second. Quelle était la vitesse moyenne du deuxième pilote, si l’on sait que le premier pilote a dépassé le deuxième pilote pour la première fois en 15 minutes ?

13. Conférence vidéo. 6 problèmes pour se déplacer sur l'eau.

19. Les villes A et B sont situées au bord d'une rivière, avec la ville B en aval. A 9 heures du matin, un radeau part de la ville A vers la ville B. Au même moment, un bateau part de B vers A et rencontre le radeau 5 heures plus tard. Ayant atteint la ville A, le bateau fait demi-tour et navigue vers B en même temps que le radeau. Le bateau et le radeau auront-ils le temps d'arriver dans la ville B à neuf heures du soir le même jour ?

20. Un bateau à moteur part d'un point A vers un point B à contre-courant de la rivière. En chemin, le moteur est tombé en panne, et même s'il a fallu 20 minutes pour le réparer, le bateau a été emporté sur la rivière. Déterminer combien de temps plus tard le bateau est arrivé au point B, si le voyage de A à B prend généralement une fois et demie plus long que de B à A ?

21. Les villes A et B sont situées au bord d'une rivière, avec la ville A en aval. De ces villes partent deux bateaux en même temps l'un vers l'autre et se rejoignent au milieu entre les villes. Après le rendez-vous, les bateaux continuent leur voyage et, ayant atteint respectivement les villes A et B, font demi-tour et se retrouvent à une distance de 20 km du lieu du premier rendez-vous. Si les bateaux nageaient initialement à contre-courant, alors le bateau qui partait de A rattraperait le bateau qui partait de B, à 150 km de B. Trouvez la distance entre les villes.

22. Deux bateaux à vapeur, dont la vitesse est la même en eau calme, partent de deux jetées : le premier de A en aval, le second de B en amont. Chaque navire reste à destination pendant 45 minutes et revient. Si les bateaux à vapeur partent simultanément de leurs points de départ, alors ils se rencontrent au point K, qui est deux fois plus proche de A que de B. Si le premier bateau à vapeur part de A 1 heure plus tard que le second part de B, alors au retour les bateaux à vapeur se rencontrent à 20 km de A. Si le premier bateau à vapeur part de A 30 minutes plus tôt que le second de B, alors au retour ils se rencontrent 5 km au-dessus de K. Trouvez la vitesse du fleuve et le temps qu'il met au deuxième bateau à vapeur pour aller de A à TO.

23. Un radeau part du point A jusqu'au point B, situé en aval de la rivière. Au même moment, un bateau est venu à sa rencontre depuis le point B. Après avoir rencontré le radeau, le bateau a immédiatement fait demi-tour et est reparti. Quelle distance le radeau parcourra-t-il de A à B au moment où le bateau reviendra au point B, si la vitesse du bateau en eau calme est quatre fois supérieure à la vitesse du courant ?

24. Les jetées A et B sont situées sur une rivière dont la vitesse actuelle dans ce tronçon est de 4 km/h. Un bateau se déplace d’un point A à un point B et revient à une vitesse moyenne de 6 km/h. Trouvez la propre vitesse du bateau.

La conférence vidéo « Résoudre des problèmes de texte sur le mouvement dans un cercle et l'eau » aborde tous les types de problèmes sur le mouvement dans un cercle et l'eau de la Banque ouverte des tâches de l'examen d'État unifié en mathématiques.

Vous pouvez vous familiariser avec le contenu de la conférence vidéo et en regarder un fragment.

Problèmes de mouvement circulaire :

1. Deux motocyclistes partent simultanément dans la même direction à partir de deux points diamétralement opposés sur une piste circulaire dont la longueur est de 7 km. Combien de minutes faudra-t-il aux motocyclistes pour se rencontrer pour la première fois si la vitesse de l'un d'eux est supérieure de 5 km/h à celle de l'autre ?

2. Un cycliste a quitté le point A de la piste circulaire et, 20 minutes plus tard, un motocycliste l'a suivi. 5 minutes après le départ, il a rattrapé le cycliste pour la première fois, et encore 46 minutes plus tard, il l'a rattrapé pour la deuxième fois. Trouvez la vitesse du motocycliste si la longueur du parcours est de 46 km. Donnez votre réponse en km/h.

3. L'horloge avec aiguilles indique 6 heures 45 minutes. Dans combien de minutes l’aiguille des minutes s’alignera-t-elle avec l’aiguille des heures pour la cinquième fois ?

4. Deux pilotes courent. Ils devront parcourir 22 tours sur un ring de 3 km de long. Les deux coureurs sont partis en même temps et le premier a atteint la ligne d'arrivée 11 minutes plus tôt que le second. Quelle était la vitesse moyenne du deuxième pilote, si l'on sait que le premier pilote a dépassé le deuxième pilote pour la première fois après 10 minutes ?

Tâches pour se déplacer sur l'eau :

5. Le bateau à moteur a parcouru 72 km en amont du fleuve et est revenu au point de départ, mettant 6 heures de moins au retour. Trouvez la vitesse du bateau en eau calme si la vitesse actuelle est de 3 km/h. Donnez votre réponse en km/h.

6. La distance entre les jetées A et B est de 72 km. Un radeau est parti de A à B le long de la rivière, et 3 heures plus tard, un yacht est parti après lui, qui, arrivé au point B, a immédiatement fait demi-tour et est revenu à A. À ce moment-là, le radeau avait parcouru 39 km. Trouvez la vitesse du yacht en eau calme si la vitesse de la rivière est de 3 km/h. Donnez votre réponse en km/h.

7. Le bateau parcourt la distance du quai M au quai N le long de la rivière en 6 heures. Un jour, n'atteignant pas 40 km du quai N, le bateau a fait demi-tour et est revenu au quai M, passant 9 heures sur tout le voyage. Trouver la vitesse du bateau en eau calme, si la vitesse actuelle est de 2 km/h.

8. À partir du point A, un bateau et un radeau descendaient simultanément la rivière. Après avoir parcouru 40/3 km, le bateau a fait demi-tour et, après avoir parcouru 28/3 km, a rencontré le radeau. Vous devez trouver la vitesse du bateau si vous savez que la vitesse actuelle est de 4 km/h.

9. Le bateau à moteur a traversé le lac, puis a descendu la rivière qui sortait du lac. Le sentier longeant le lac est 15% moins cher que le sentier longeant la rivière. Le temps nécessaire à un bateau pour se déplacer sur un lac est 2 % plus long que sur une rivière. De quel pourcentage la vitesse du courant est-elle inférieure à la vitesse du bateau ?

10. Au printemps, un bateau se déplace à contre-courant de la rivière 1 2/3 fois plus lentement qu'avec le courant. En été, le courant devient 1 km/h plus lent, donc en été, le bateau va à contre-courant du fleuve 1 1/2 fois plus lentement qu'avec le courant. Trouvez la vitesse du courant au printemps (en km/h).

Fragment de conférence vidéo :

Type de cours : cours de répétition et de généralisation.

Objectifs de la leçon:

• éducatif
– répéter les méthodes de résolution divers types problèmes de mots pour le mouvement
• développement
– développer le discours des élèves en enrichissant et en compliquant son vocabulaire, développer la réflexion des élèves grâce à la capacité d’analyser, de généraliser et de systématiser le matériel
• éducatif
– formation d'une attitude humaine parmi les étudiants envers les participants processus éducatif

Matériel de cours :

• tableau interactif;
• enveloppes avec missions, cartes de contrôle thématiques, cartes de consultant.

Structure de la leçon.

	Principales étapes de la leçon	Tâches à résoudre à ce stade
	Organisation du temps, partie introductive	créer une ambiance conviviale en classe préparer les étudiants à un travail productif identifier les absents vérifier l'état de préparation des élèves pour la leçon
	Préparer les étudiants au travail actif (redoublement)	tester les connaissances des élèves sur le thème : « Résoudre des problèmes de mots de différents types sur le mouvement » mise en œuvre du développement de la parole et de la pensée des étudiants répondants développement de la pensée analytique et critique des étudiants en commentant les réponses des camarades de classe organiser des activités pédagogiques de toute la classe lors de la réponse des élèves appelés au tableau
	Étape de généralisation et de systématisation du matériel étudié (travail en groupe)	tester la capacité des élèves à résoudre des problèmes liés à différents types de mouvements, former des connaissances chez les étudiants, reflétées sous forme d'idées et de théories, la transition d'idées particulières à des généralisations plus larges réaliser la formation des relations morales des étudiants envers les participants au processus éducatif (lors du travail de groupe)
	Vérifier le travail, faire les ajustements (si nécessaire)	vérifier l'exécution des données pour les groupes de tâches (leur exactitude) continuer à développer chez les étudiants la capacité d'analyser, de mettre en évidence l'essentiel, de construire des analogies, de généraliser et de systématiser développer des compétences de discussion
	Résumer la leçon. Analyse devoirs	informer les élèves sur les devoirs, expliquer comment les réaliser motiver le besoin et l’obligation de faire ses devoirs résumer la leçon

Formes d'organisation activité cognitiveétudiants:

• forme frontale de l'activité cognitive - aux stades II, IY, Y.
• forme de groupe d'activité cognitive - au stade III.

Méthodes d'enseignement : verbale, visuelle, pratique, explicative - illustrative, reproductive, partiellement - recherche, analytique, comparative, généralisante, traductive.

Pendant les cours

I. Moment d'organisation, partie introductive.

L'enseignant annonce le sujet du cours, les objectifs du cours et les points principaux du cours. Vérifie l'état de préparation de la classe au travail.

II. Préparer les étudiants au travail actif (redoublement)

Répondez aux questions.

1. Quel type de mouvement est appelé uniforme (mouvement à vitesse constante).
2. Quelle est la formule du chemin avec un mouvement uniforme ( S = Vt).
3. A partir de cette formule, exprimez la vitesse et le temps.
4. Spécifiez les unités de mesure.
5. Conversion des unités de vitesse

III. Étape de généralisation et de systématisation du matériel étudié (travail en groupe)

Toute la classe est divisée en groupes (5 à 6 personnes par groupe). Il est conseillé d'avoir des étudiants dans le même groupe différents niveaux préparation. Parmi eux, un chef de groupe (l'étudiant le plus fort) est nommé, qui dirigera les travaux du groupe.

Tous les groupes reçoivent des enveloppes avec des devoirs (ils sont les mêmes pour tous les groupes), des cartes de consultant (pour les étudiants faibles) et des fiches de contrôle thématiques. Dans les fiches de contrôle thématiques, l'animateur note chaque élève du groupe pour chaque tâche et note les difficultés rencontrées par les élèves dans la réalisation de tâches spécifiques.

Carte avec des tâches pour chaque groupe.

№ 5.

N° 7. Le bateau à moteur a parcouru 112 km en amont du fleuve et est revenu au point de départ, mettant 6 heures de moins au retour. Trouvez la vitesse du courant si la vitesse du bateau en eau calme est de 11 km/h. Donnez votre réponse en km/h.

N° 8. Le bateau à moteur parcourt le fleuve jusqu'à sa destination sur 513 km et, après s'être arrêté, revient au point de départ. Trouvez la vitesse du navire en eau calme si la vitesse actuelle est de 4 km/h, que le séjour dure 8 heures et que le navire revient au point de départ 54 heures après le départ. Donnez votre réponse en km/h.

N° 9. De la jetée A à la jetée B, dont la distance est de 168 km, le premier bateau à moteur partait à vitesse constante, et 2 heures après, le second partait après lui, à une vitesse de 2 km/ h plus haut. Trouvez la vitesse du premier navire si les deux navires sont arrivés au point B en même temps. Donnez votre réponse en km/h.

Exemple de carte de contrôle thématique.

Classe ________ Nom complet de l'élève___________________________________
Numéro de travail		Commentaire

Consultants en cartes.

Carte n°1 (consultant)

1. Conduire sur une route droite

Lors de la résolution de problèmes impliquant un mouvement uniforme, deux situations se produisent souvent. Si la distance initiale entre les objets est S et les vitesses des objets sont V1 et V2, alors : a) lorsque des objets se rapprochent, le temps après lequel ils se rencontrent est égal à . b) lorsque des objets se déplacent dans une direction, le temps après lequel le premier objet rattrapera le second est égal à , ( V 2 > V 1)

Exemple 1. Le train, après avoir parcouru 450 km, a été arrêté à cause de la neige soufflée. Une demi-heure plus tard, la voie était dégagée et le conducteur, augmentant la vitesse du train de 15 km/h, l'amena sans délai à la gare. Trouvez la vitesse initiale du train si la distance parcourue par celui-ci jusqu'à l'arrêt était de 75 % de la distance totale. Trouvons le chemin entier : 450 : 0,75 = 600 (km) Trouvons la longueur du deuxième tronçon : 600 – 450 =150 (km) Créons et résolvons l'équation : X= -75 ne correspond pas aux conditions du problème, où x > 0. Réponse : la vitesse initiale du train est de 60 km/h.

Carte n°2 (consultant)

2. Conduite sur route fermée

Si la longueur d'une route fermée est S, et les vitesses des objets V 1 et V 2, alors : a) lorsque les objets se déplacent dans des directions différentes, le temps entre leurs rencontres est calculé par la formule ; b) lorsque les objets se déplacent dans une direction, le temps entre leurs rencontres est calculé par la formule

Exemple 2. Lors d'une compétition sur piste, un skieur boucle un tour 2 minutes plus vite que l'autre et une heure plus tard, il le bat d'exactement un tour. Combien de temps faut-il à chaque skieur pour boucler le cercle ? Laisser S m – longueur du tracé du périphérique et X m/min et oui m/min – vitesses respectivement du premier et du deuxième skieurs ( x> oui) . Alors S/X min et S/y min – le temps qu'il faut respectivement au premier et au deuxième skieurs pour terminer le tour. A partir de la première condition, nous obtenons l'équation. Puisque la vitesse d'éloignement du premier skieur du deuxième skieur est ( X- oui) m/min, alors à partir de la deuxième condition nous avons l'équation . Résolvons le système d'équations. Faisons un remplacement S/x = un Et S/y = b, alors le système d'équations prendra la forme : . Multipliez les deux côtés de l'équation par 60 un(un+ 2) > 0. 60(un + 2) – 60une = un(un + 2)un 2 + 2un- 120 = 0. Équation quadratique a une racine positive une = 10 alors b = 12. Cela signifie que le premier skieur termine le cercle en 10 minutes et le deuxième skieur en 12 minutes. Réponse : 10 minutes ; 12 minutes.

Carte n°3 (consultant)

3. Déplacement le long de la rivière

Si un objet se déplace avec le débit d'une rivière, alors sa vitesse est égale à Vflow. =Vob. + Vactuel Si un objet se déplace à contre-courant d'une rivière, alors sa vitesse est égale à Và contre-courant = V inc. – Vcourant : la vitesse propre de l’objet (vitesse en eau calme) est égale à La vitesse du débit de la rivière est La vitesse du radeau est égale à la vitesse du courant de la rivière.

Exemple 3. Le bateau a parcouru 50 km en aval du fleuve, puis a parcouru 36 km en sens inverse, ce qui lui a pris 30 minutes de plus que le long du fleuve. Quelle est la vitesse propre du bateau si la vitesse de la rivière est de 4 km/h ? Que la vitesse du bateau soit X km/h, alors sa vitesse le long de la rivière est ( x+ 4) km/h, et à contre-courant de la rivière ( X- 4)km/h. Le temps qu'il faut au bateau pour se déplacer le long du débit de la rivière est d'heures, et contre le débit de la rivière est d'heures. Puisque 30 minutes = 1/2 heure, alors selon les conditions du problème nous créerons l'équation =. Multipliez les deux côtés de l'équation par 2( x+ 4)(X- 4) >0 . Nous obtenons 72( x+ 4) -100(X- 4) = (x+ 4)(X- 4) X 2 + 28X- 704 = 0 x 1 =16, x 2 = - 44 (exclus, puisque x> 0). La vitesse propre du bateau est donc de 16 km/h. Réponse : 16 km/h.

IV. Étape d'analyse de résolution de problèmes.

Les problèmes qui ont causé des difficultés aux étudiants sont analysés.

N° 1. Depuis deux villes distantes de 480 km, deux voitures se sont dirigées simultanément l'une vers l'autre. Au bout de combien d’heures les voitures se croiseront-elles si leurs vitesses sont de 75 km/h et 85 km/h ?

1. 75 + 85 = 160 (km/h) – vitesse d'approche.
2. 480 : 160 = 3 (h).

Réponse : les voitures se retrouveront dans 3 heures.

N° 2. Depuis les villes A et B, dont la distance est de 330 km, deux voitures sont parties simultanément l'une vers l'autre et se sont rencontrées au bout de 3 heures à une distance de 180 km de la ville B. Trouver la vitesse de la voiture qui a quitté la ville A .Donnez la réponse en km/h.

1. (330 – 180) : 3 = 50 (km/h)

Réponse : la vitesse d’une voiture quittant la ville A est de 50 km/h.

N° 3. Un automobiliste et un cycliste sont partis en même temps d'un point A à un point B dont la distance est de 50 km. On sait qu’un automobiliste parcourt 65 km de plus par heure qu’un cycliste. Déterminez la vitesse du cycliste si l'on sait qu'il est arrivé au point B 4 heures 20 minutes plus tard que l'automobiliste. Donnez votre réponse en km/h.

Faisons un tableau.

Créons une équation en tenant compte du fait que 4 heures 20 minutes =

,

Évidemment, x = -75 ne correspond pas aux conditions du problème.

Réponse : La vitesse du cycliste est de 10 km/h.

N° 4. Deux motocyclistes partent simultanément dans la même direction à partir de deux points diamétralement opposés sur une piste circulaire dont la longueur est de 14 km. Combien de minutes faudra-t-il aux motocyclistes pour se rencontrer pour la première fois si la vitesse de l'un d'eux est supérieure de 21 km/h à celle de l'autre ?

Faisons un tableau.

Créons une équation.

, où 1/3 d'heure = 20 minutes.

Réponse : dans 20 minutes les motocyclistes se croiseront pour la première fois.

N° 5. A partir d'un point d'une piste circulaire d'une longueur de 12 km, deux voitures sont parties simultanément dans la même direction. La vitesse de la première voiture est de 101 km/h, et 20 minutes après le départ, elle avait un tour d'avance sur la deuxième voiture. Trouvez la vitesse de la deuxième voiture. Donnez votre réponse en km/h.

Faisons un tableau.

Créons une équation.

Réponse : la vitesse de la deuxième voiture est de 65 km/h.

N° 6. Un cycliste a quitté le point A de la piste circulaire et 40 minutes plus tard, un motocycliste l'a suivi. 8 minutes après le départ, il a rattrapé le cycliste pour la première fois, et encore 36 minutes plus tard, il l'a rattrapé pour la deuxième fois. Trouvez la vitesse du motocycliste si la longueur du parcours est de 30 km. Donnez votre réponse en km/h.

Faisons un tableau.

	Mouvement avant la première rencontre
cycliste