Fonctions trigonométriques sont des fonctions élémentaires dont l'argument est coin. En utilisant fonctions trigonométriques décrit les relations entre les côtés et les angles aigus dans un triangle rectangle. Les domaines d'application des fonctions trigonométriques sont extrêmement divers. Par exemple, tout processus périodique peut être représenté comme une somme de fonctions trigonométriques (série de Fourier). Ces fonctions apparaissent souvent lors de la résolution d'équations différentielles et fonctionnelles.

Les fonctions trigonométriques comprennent les 6 fonctions suivantes : sinus, cosinus, tangente, cotangente, sécante Et cosécante. Pour chacune de ces fonctions il existe une fonction trigonométrique inverse.

La définition géométrique des fonctions trigonométriques peut être facilement introduite en utilisant cercle unitaire. La figure ci-dessous montre un cercle de rayon r= 1. Il y a un point sur le cercle M(x,y). Angle entre le rayon vecteur OM et direction d'axe positive Bœuféquivaut à α .

Sinus angle α oui points M(x,y) en rayon r: péché α = oui/r. Parce que le r= 1, alors le sinus est égal à l'ordonnée du point M(x,y).

Cosinus angle α X points M(x,y) en rayon r:cos α = X/r = X

Tangente angle α appelé le rapport des ordonnées oui points M(x,y) en abscisse X:bronzer α = oui/X, X ≠ 0

Cotangente angle α appelé rapport des abscisses X points M(x,y) à son ordonnée oui:lit bébé α = X/oui, oui ≠ 0

Sécante angle α − est le rapport du rayon r en abscisse X points M(x,y):seconde α = r/X = 1/X, X ≠ 0

Cosécante angle α − est le rapport du rayon rà l'ordonnée oui points M(x,y) : cosec α = r/oui = 1/oui, oui ≠ 0

Dans le cercle unité de projection X, oui points M(x,y) et rayon r former un triangle rectangle dans lequel x, y sont des jambes, et r− hypoténuse. Par conséquent, les définitions ci-dessus des fonctions trigonométriques appliquées à un triangle rectangle sont formulées comme suit : Sinus angle α appelé le rapport du côté opposé à l’hypoténuse. Cosinus angle α appelé le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse. Tangente angle α appelé le côté opposé au côté adjacent. Cotangente angle α est appelé le côté adjacent au côté opposé.

Graphique de la fonction sinus oui= péché X, domaine: X ∈ ℜ , plage : −1 ≤ sin X ≤ 1

Graphique de la fonction cosinus oui=cos X, domaine: X ∈ ℜ , plage : −1 ≤ cos X ≤ 1

Graphique de la fonction tangente oui= ttg X, domaine: X ∈ ℜ , X ≠ (2k + 1)π /2, plage : −∞< tg X < ∞

Graphique de la fonction cotangente oui=ctg X, domaine: X ∈ ℜ , X ≠ kπ, plage : −∞< ctg X < ∞

Les angles sont mesurés en degrés ou en radians. Il est important de comprendre la relation entre ces unités de mesure. Comprendre cette relation vous permet d'opérer avec des angles et d'effectuer la transition des degrés aux radians et inversement. Dans cet article, nous dériverons une formule pour convertir les degrés en radians et les radians en degrés, et examinerons également plusieurs exemples pratiques.

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Relation entre degrés et radians

Pour établir le lien entre les degrés et les radians, il est nécessaire de connaître la mesure en degrés et en radians d’un angle. Par exemple, prenons l’angle au centre, qui est basé sur le diamètre d’un cercle de rayon r. Pour calculer la mesure en radians de cet angle, il faut diviser la longueur de l'arc par la longueur du rayon du cercle. L'angle considéré correspond à une longueur d'arc égale à la moitié de la circonférence π.r. Divisez la longueur de l'arc par le rayon et obtenez la mesure en radians de l'angle : π · r r = π rad.

L’angle en question est donc de π radians. En revanche, il s'agit d'un angle inversé égal à 180°. Donc 180° = π rad.

Relation entre degrés et radians

La relation entre les radians et les degrés est exprimée par la formule

π radian = 180°

Formules pour convertir des radians en degrés et vice versa

À partir de la formule obtenue ci-dessus, vous pouvez dériver d'autres formules pour convertir des angles de radians en degrés et de degrés en radians.

Exprimons un radian en degrés. Pour ce faire, divisez les côtés gauche et droit du rayon par pi.

1 r a d = 180 π ° - la mesure en degré d'un angle de 1 radian est égale à 180 π.

Vous pouvez également exprimer un degré en radians.

1° = π 180 r a d

Vous pouvez effectuer des calculs approximatifs des valeurs d'angle en radians et vice versa. Pour ce faire, prenez les valeurs du nombre π avec une précision au dix millième et remplacez-les dans les formules résultantes.

1 r a d = 180 π ° = 180 3, 1416 ° = 57, 2956 °

Il y a donc environ 57 degrés dans un radian

1° = π 180 r a d = 3,1416 180 r a d = 0,0175 r a d

Un degré contient 0,0175 radians.

Formule pour convertir les radians en degrés

x r a d = x 180 π °

Pour convertir un angle de radians en degrés, vous devez multiplier l'angle en radians par 180 et le diviser par pi.

Exemples de conversion de degrés en radians et de radians en degrés

Regardons un exemple.

Exemple 1. Conversion de radians en degrés

Soit α = 3,2 rad. Nous devons connaître la mesure en degré de cet angle.

Disons un cercle unité avec un centre au point O. Traçons-lui une tangente verticale au point P. Supposons que cette tangente soit un axe numérique ayant son origine au point P et que la direction positive soit vers le haut. Prenons le rayon de notre cercle comme unité de longueur sur l'axe des nombres. Maintenant, sur l'axe des nombres, nous marquons plusieurs points ±1, ±pi/2, ±3, ±pi. Ici pi ≈3,1415 est un nombre irrationnel.

Que signifie la mesure du radian ?

Maintenant, enroulons mentalement la droite numérique autour d’un cercle. Ensuite, les points de coordonnées 1, pi/2, -1, -2 et autres se déplaceront respectivement vers les points M1, M2, M3, M4 du cercle. Dans ce cas, la longueur de l'arc PM1 sera égale à 1, la longueur de PM2 = pi/2, etc.

Nous avons associé chaque point d'une ligne à un certain point d'un cercle.

Dans ce cas, les angles sont dits mesurés en radians, et l'angle POM1 est considéré comme un angle de 1 radian (1 rad).

Considérons un certain cercle de rayon R et marquons dessus un arc RM de longueur égale à R. Marquons également l'angle ROM.

L'angle au centre qui sous-tend un arc dont la longueur est égale au rayon est appelé angle d'un radian (1 rad).

Calculons la mesure en degrés d'un angle de 1 radian.

La longueur de l'arc d'un demi-cercle est pi*R. Un angle au centre de 180 degrés repose sur cet arc. Par conséquent, un arc de longueur égale R sous-tend un angle pi fois inférieur à 180 degrés. C'est,

1 radian = (180/pi) degrés.

On sait que pi≈3,14, alors 1 rad ≈ 57,3 degrés.

Si l'on sait que l'angle contient x radians, alors pour calculer sa mesure en degrés, utilisez la formule suivante :

X radians = ((180*x)/pi) degrés.

Tableau des angles de base exprimés en radians

Lorsqu’on désigne la mesure des angles en radian, le nom « rad » est généralement omis.

Connaissant la mesure en radians de l'angle (a), vous pouvez calculer la longueur de l'arc (l) sous-tendu par cet angle à l'aide de la formule suivante : l=a*R.

Regardons la photo. Le vecteur \(AB\) a « tourné » par rapport au point \(A\) d’une certaine quantité. Donc la mesure de cette rotation par rapport à la position initiale sera angle \(\alpha\).

Que devez-vous savoir d’autre sur le concept d’angle ? Et bien sûr, les unités d'angle !

L'angle, tant en géométrie qu'en trigonométrie, peut être mesuré en degrés et en radians.

Un angle de \(1()^\circ \) (un degré) est l'angle au centre d'un cercle sous-tendu par un arc de cercle égal à \(\dfrac(1)(360) \) partie du cercle.

Ainsi, le cercle entier est constitué de \(360\) "morceaux" d'arcs de cercle, ou l'angle décrit par le cercle est \(360()^\circ \) .

Autrement dit, la figure ci-dessus montre un angle \(\beta \) égal à \(50()^\circ \), c'est-à-dire que cet angle repose sur un arc de cercle mesurant \(\dfrac(50)(360) \ ) la circonférence.

Un angle en \(1\) radians est l'angle au centre d'un cercle sous-tendu par un arc de cercle dont la longueur est égale au rayon du cercle.

Ainsi, la figure montre un angle \(\gamma \) égal à \(1 \) radians, c'est-à-dire que cet angle repose sur un arc de cercle dont la longueur est égale au rayon du cercle (la longueur \( AB \) est égal à la longueur \(BB" \) ou le rayon \(r\) est égal à la longueur de l'arc \(l\)) Ainsi, la longueur de l'arc est calculée par la formule :

\(l=\theta \cdot r\) , où \(\theta \) est l'angle central en radians.

Eh bien, sachant cela, pouvez-vous répondre combien de radians sont contenus dans l’angle décrit par le cercle ? Oui, pour cela, vous devez vous rappeler la formule de la circonférence. Elle est là:

\(L=2\pi \cdot r\)

Eh bien, corrélons maintenant ces deux formules et constatons que l'angle décrit par le cercle est égal à \(2\pi \) . Autrement dit, en corrélant la valeur en degrés et en radians, nous constatons que \(2\pi =360()^\circ \) . En conséquence, \(\pi =180()^\circ \) . Comme vous pouvez le constater, contrairement à « degrés », le mot « radian » est omis, car l'unité de mesure ressort généralement clairement du contexte.

Dans cet article, nous établirons la relation entre les unités de base de mesure des angles - degrés et radians. Cette connexion nous permettra à terme de réaliser convertir des degrés en radians et inversement. Pour que ces processus ne posent pas de difficultés, nous obtiendrons une formule de conversion des degrés en radians et une formule de conversion des radians en degrés, après quoi nous analyserons en détail les solutions des exemples.

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Relation entre degrés et radians

La connexion entre les degrés et les radians sera établie si les mesures en degrés et en radians d'un angle sont connues (les mesures en degrés et en radians d'un angle peuvent être trouvées dans la section).

Prenons l'angle au centre basé sur le diamètre d'un cercle de rayon r. On peut calculer la mesure de cet angle en radians : pour ce faire, il faut diviser la longueur de l'arc par la longueur du rayon du cercle. Cet angle correspond à une longueur d'arc égale à la moitié circonférence, c'est, . En divisant cette longueur par la longueur du rayon r, on obtient la mesure en radians de l'angle que l'on a pris. Notre angle est donc génial. Par contre, cet angle étant élargi, il est égal à 180 degrés. Par conséquent, pi radians est de 180 degrés.

Cela s'exprime donc par la formule π radians = 180 degrés, c'est, .

Formules pour convertir les degrés en radians et les radians en degrés

De l’égalité de la forme , que nous avons obtenue au paragraphe précédent, on peut facilement déduire formules pour convertir des radians en degrés et des degrés en radians.

En divisant les deux côtés de l'égalité par pi, on obtient une formule exprimant un radian en degrés : . Cette formule signifie que la mesure en degrés d’un angle d’un radian est égale à 180/π. Si nous échangeons les côtés gauche et droit de l’égalité puis divisons les deux côtés par 180, nous obtenons une formule de la forme . Il exprime un degré en radians.

Pour satisfaire notre curiosité, calculons la valeur approximative d'un angle d'un radian en degrés et la valeur d'un angle d'un degré en radians. Pour ce faire, prenez la valeur de pi au dix millième près et remplacez-la dans les formules Et , et effectuez les calculs. Nous avons Et . Ainsi, un radian équivaut approximativement à 57 degrés et un degré équivaut à 0,0175 radian.

Enfin, à partir des relations obtenues Et Passons aux formules de conversion des radians en degrés et vice versa, et considérons également des exemples d'application de ces formules.

Formule pour convertir les radians en degrés a la forme : . Ainsi, si la valeur de l'angle en radians est connue, alors en la multipliant par 180 et en divisant par pi, on obtient la valeur de cet angle en degrés.

Exemple.

Un angle de 3,2 radians est donné. Quelle est la mesure de cet angle en degrés ?

Solution.

Utilisons la formule de conversion des radians en degrés, nous avons

Répondre:

.

Formule pour convertir les degrés en radians ressemble à . Autrement dit, si la valeur de l'angle en degrés est connue, en la multipliant par pi et en divisant par 180, nous obtenons la valeur de cet angle en radians. Regardons l'exemple de solution.