Cet article est consacré à une étude détaillée formules trigonométriques jette. Dan liste complète formules de réduction, des exemples de leur utilisation sont montrés, la preuve de l'exactitude des formules est donnée. L'article donne également une règle mnémonique qui vous permet de dériver des formules de réduction sans vous souvenir de chaque formule.

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Formules de coulée. Liste

Les formules de réduction vous permettent de réduire les fonctions trigonométriques de base d'angles de taille arbitraire à des fonctions d'angles comprises entre 0 et 90 degrés (de 0 à π 2 radians). Travailler avec des angles de 0 à 90 degrés est beaucoup plus pratique que de travailler avec des valeurs arbitrairement grandes, de sorte que les formules de réduction sont largement utilisées pour résoudre les problèmes de trigonométrie.

Avant d'écrire les formules elles-mêmes, nous allons clarifier quelques points importants pour la compréhension.

• Les arguments des fonctions trigonométriques dans les formules de réduction sont des angles de la forme ± α + 2 π · z , π 2 ± α + 2 π · z , 3 π 2 ± α + 2 π · z . Ici z est un entier quelconque et α est un angle de rotation arbitraire.
• Il n'est pas nécessaire d'apprendre toutes les formules de réduction, dont le nombre est assez impressionnant. Il existe une règle mnémotechnique qui permet de dériver facilement la formule souhaitée. La règle mnémotechnique sera discutée plus tard.

Passons maintenant directement aux formules de réduction.

Les formules de moulage vous permettent de passer d'un travail avec des angles arbitraires et arbitrairement grands à un travail avec des angles allant de 0 à 90 degrés. Écrivons toutes les formules sous la forme d'un tableau.

Formules coulées

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = péché α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α péché 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Dans ce cas, les formules sont écrites en radians. Cependant, vous pouvez également les écrire en utilisant des degrés. Il suffit de convertir les radians en degrés en remplaçant π par 180 degrés.

Exemples d'utilisation de formules de distribution

Nous montrerons comment utiliser les formules de réduction et comment ces formules sont utilisées pour résoudre des exemples pratiques.

L'angle sous le signe de la fonction trigonométrique peut être représenté non pas d'une, mais de plusieurs façons. Par exemple, l'argument d'une fonction trigonométrique peut être représenté par ± α + 2 π z , π 2 ± α + 2 π z , π ± α + 2 π z , 3 π 2 ± α + 2 π z . Démontrons cela.

Prenons l'angle α = 16 π 3 . Cet angle peut s'écrire ainsi :

α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π

Selon la représentation de l'angle, la formule de réduction correspondante est utilisée.

Prenons le même angle α = 16 π 3 et calculons sa tangente

Exemple 1 : Utilisation des formules de casting

α \u003d 16 π 3, t g α \u003d?

Représentons l'angle α = 16 π 3 comme α = π + π 3 + 2 π 2

Cette représentation de l'angle correspondra à la formule de réduction

t g (π + α + 2 π z) = t g α

t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π 2 = t g π 3

A l'aide du tableau, nous indiquons la valeur de la tangente

Maintenant, nous utilisons une autre représentation de l'angle α = 16 π 3 .

Exemple 2 : Utilisation des formules de casting

α \u003d 16 π 3, t g α \u003d? α \u003d - 2 π 3 + 2 π 3 t g 16 π 3 \u003d t g - 2 π 3 + 2 π 3 \u003d - t g 2 π 3 \u003d - (- 3) \u003d 3

Enfin, pour la troisième représentation de l'angle on écrit

Exemple 3 : Utilisation de formules de casting

α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π) = c t g π 6 = 3

Donnons maintenant un exemple d'utilisation de formules de réduction plus compliquées

Exemple 4 : Utilisation des formules de casting

Représentons sin 197 ° en termes de sinus et cosinus d'un angle aigu.

Afin de pouvoir appliquer les formules de réduction, il faut représenter l'angle α = 197° sous l'une des formes

± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z. Selon l'état du problème, l'angle doit être aigu. En conséquence, nous avons deux façons de le représenter :

197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73°

On a

sin 197° = sin(180° + 17°) sin 197° = sin(270° - 73°)

Examinons maintenant les formules de réduction des sinus et choisissons celles qui conviennent.

sin (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197° = sin (180° + 17° + 360° z) = - sin 17° sin 197° = sin(270° - 73° + 360° z) = - cos 73°

Règle mnémotechnique

Il existe de nombreuses formules de coulée et, heureusement, il n'est pas nécessaire de les mémoriser. Il existe des modèles par lesquels vous pouvez dériver des formules de réduction pour différents angles et fonctions trigonométriques. Ces modèles sont appelés règles mnémoniques. La mnémotechnique est l'art de la mémorisation. La règle mnémotechnique se compose de trois parties, ou contient trois étapes.

Règle mnémotechnique

1. L'argument de la fonction d'origine est représenté sous l'une des formes

± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz

L'angle α doit être compris entre 0 et 90 degrés.

2. Le signe de la fonction trigonométrique d'origine est déterminé. La fonction écrite à droite de la formule aura le même signe.

3. Pour les angles ± α + 2 πz et π ± α + 2 πz, le nom de la fonction d'origine reste inchangé, et pour les angles π 2 ± α + 2 πz et 3 π 2 ± α + 2 πz, respectivement, il change "cofonctionner". Sinus à cosinus. Tangente à cotangente.

Pour utiliser la règle mnémotechnique pour les formules de réduction, vous devez être en mesure de déterminer les signes des fonctions trigonométriques le long des quarts du cercle unité. Regardons des exemples d'application de la règle mnémotechnique.

Exemple 1 : Utilisation d'une règle mnémotechnique

Écrivons les formules de réduction pour cos π 2 - α + 2 πz et t g π - α + 2 πz . α - angle du premier quart.

1. Puisque par condition α est le logarithme du premier trimestre, nous sautons le premier paragraphe de la règle.

2. Déterminons les signes des fonctions cos π 2 - α + 2 πz et t g π - α + 2 πz . L'angle π 2 - α + 2 πz est aussi l'angle du premier quart, et l'angle π - α + 2 πz est dans le deuxième quart. Au premier quart, la fonction cosinus est positive et la tangente au deuxième quart a un signe moins. Écrivons à quoi ressembleront les formules souhaitées à ce stade.

cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = -

3. Selon le troisième point, pour l'angle π 2 - α + 2 π le nom de la fonction change en Confucius, et pour l'angle π - α + 2 πz reste le même. Écrivons:

cos π 2 - α + 2 πz = + sin α t g π - α + 2 πz = - t g α

Examinons maintenant les formules ci-dessus et assurons-nous que la règle mnémotechnique fonctionne.

Prenons un exemple avec un angle spécifique α = 777°. On ramène le sinus alpha à la fonction trigonométrique d'un angle aigu.

Exemple 2 : Utilisation d'une règle mnémotechnique

1. Représentons l'angle α = 777 ° sous la forme requise

777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2

2. Angle initial - l'angle du premier quart. Donc le sinus de l'angle est de signe positif. En conséquence, nous avons :

3. sin 777° = sin(57° + 360° 2) = sin 57° sin 777° = sin(90° - 33° + 360° 2) = cos 33°

Voyons maintenant un exemple qui montre à quel point il est important de déterminer correctement le signe de la fonction trigonométrique et de représenter correctement l'angle lors de l'utilisation de la règle mnémotechnique. Répétons-le encore.

Important!

L'angle α doit être aigu !

Calculons la tangente de l'angle 5 π 3 . À partir du tableau des valeurs des principales fonctions trigonométriques, vous pouvez immédiatement prendre la valeur t g 5 π 3 = - 3, mais nous appliquerons la règle mnémotechnique.

Exemple 3 : Utilisation d'une règle mnémotechnique

Nous représentons l'angle α = 5 π 3 sous la forme requise et utilisons la règle

t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3

Si nous représentons l'angle alpha sous la forme 5 π 3 = π + 2 π 3, alors le résultat de l'application de la règle mnémonique sera incorrect.

t g 5 π 3 \u003d t g π + 2 π 3 \u003d - t g 2 π 3 \u003d - (- 3) \u003d 3

Le résultat incorrect est dû au fait que l'angle 2 π 3 n'est pas aigu.

La preuve des formules de réduction est basée sur les propriétés de périodicité et de symétrie des fonctions trigonométriques, ainsi que sur la propriété de décalage d'angles π 2 et 3 π 2 . La preuve de la validité de toutes les formules de réduction peut être effectuée sans tenir compte du terme 2 πz, car il dénote un changement d'angle d'un nombre entier de tours complets et reflète juste la propriété de périodicité.

Les 16 premières formules découlent directement des propriétés des fonctions trigonométriques de base : sinus, cosinus, tangente et cotangente.

Nous présentons la preuve des formules de réduction des sinus et des cosinus

sin π 2 + α = cos α et cos π 2 + α = - sin α

Regardons le cercle unitaire dont le point initial, après avoir parcouru l'angle α, est passé au point A 1 x , y , et après avoir parcouru l'angle π 2 + α - au point A 2 . A partir des deux points, nous traçons des perpendiculaires à l'axe des x.

Deux triangle rectangle O A 1 H 1 et O A 2 H 2 sont égaux en termes d'hypoténuse et d'angles qui lui sont adjacents. De la position des points sur le cercle et de l'égalité des triangles, on peut conclure que le point A 2 a pour coordonnées A 2 - y, x. En utilisant les définitions du sinus et du cosinus, on écrit :

sin α \u003d y, cos α \u003d x, sin π 2 + α \u003d x, cos π 2 + α \u003d y

sin π 2 + α \u003d cos α, cos π 2 + α \u003d - sin α

Compte tenu des identités de base de la trigonométrie et de ce qui vient d'être prouvé, on peut écrire

t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - sin α cos α = - tga

Pour prouver des formules de réduction avec un argument π 2 - α, il doit être représenté par π 2 + (- α) . Par exemple:

cos π 2 - α \u003d cos π 2 + (- α) \u003d - sin (- α) \u003d sin α

La preuve utilise les propriétés des fonctions trigonométriques avec des arguments opposés en signe.

Toutes les autres formules de réduction peuvent être prouvées sur la base de celles écrites ci-dessus.

Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez le mettre en surbrillance et appuyer sur Ctrl+Entrée

Il existe deux règles d'utilisation des formules de distribution.

1. Si l'angle peut être représenté par (π/2 ±a) ou (3*π/2 ±a), alors changement de nom de fonction sin à cos, cos à sin, tg à ctg, ctg à tg. Si l'angle peut être représenté par (π ±a) ou (2*π ±a), alors le nom de la fonction reste inchangé.

Regardez la figure ci-dessous, elle montre schématiquement quand le signe doit être changé et quand non.

2. La règle "comme tu étais, ainsi tu restes".

Le signe de la fonction réduite reste le même. Si la fonction d'origine avait un signe plus, la fonction réduite a également un signe plus. Si la fonction d'origine avait un signe moins, la fonction réduite a également un signe moins.

La figure ci-dessous montre les signes des principales fonctions trigonométriques en fonction du trimestre.

Calculer Sin(150˚)

Utilisons les formules de réduction :

Sin(150˚) est dans le deuxième quart, nous pouvons voir sur la figure que le signe du péché dans ce quart est +. Cela signifie que la fonction ci-dessus aura également un signe plus. Nous avons appliqué la deuxième règle.

Maintenant 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ est π/2. C'est-à-dire que nous traitons le cas π / 2 + 60, donc, selon la première règle, nous changeons la fonction de sin en cos. En conséquence, nous obtenons Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

Si vous le souhaitez, toutes les formules de réduction peuvent être résumées dans un seul tableau. Mais il est tout de même plus facile de retenir ces deux règles et de les utiliser.

Besoin d'aide pour vos études ?

Sujet précédent :

Trigonométrie Formules de réduction.

Les formules de lancer n'ont pas besoin d'être enseignées, elles doivent être comprises. Comprendre l'algorithme de leur sortie. C'est très facile!

Prenons un cercle unité et plaçons toutes les mesures de degré (0° ; 90° ; 180° ; 270° ; 360°) dessus.

Analysons les fonctions sin(a) et cos(a) dans chaque trimestre.

Rappelez-vous que nous regardons la fonction sin (a) le long de l'axe Y et la fonction cos (a) le long de l'axe X.

Au premier trimestre, on constate que la fonction sin(a)>0
Et fonction cos(a)>0
Le premier trimestre peut être décrit en termes de mesure de degré, comme (90-α) ou (360+α).

Au deuxième trimestre, on constate que la fonction sin(a)>0, car l'axe des ordonnées est positif dans ce trimestre.
Une fonction cos(a) parce que l'axe des x est négatif dans ce trimestre.
Le deuxième quart peut être décrit par une mesure de degré, comme (90+α) ou (180-α).

Au troisième trimestre, on constate que les fonctions péché (un) Le troisième quart peut être décrit en termes de degrés comme (180+α) ou (270-α).

Au quatrième trimestre, on peut voir que la fonction sin(a) parce que l'axe des ordonnées est négatif dans ce trimestre.
Une fonction cos(a)>0, car l'axe des x est positif dans ce trimestre.
Le quatrième quart peut être décrit en termes de degrés comme (270+α) ou (360-α).

Examinons maintenant les formules de réduction elles-mêmes.

Rappelons-nous un simple algorithme:
1. Trimestre.(Regardez toujours dans quel trimestre vous vous trouvez).
2. Pancarte.(Pour un quart, voir les fonctions cosinus ou sinus positives ou négatives).
3. Si vous avez (90° ou π/2) et (270° ou 3π/2) entre parenthèses, alors les changements de fonction.

Et donc nous commençons à démonter cet algorithme en quarts.

Découvrez à quoi l'expression cos(90-α) sera égale
Parlons de l'algorithme :
1. Quart un.


Sera cos(90-α) = sin(α)

Découvrez à quoi l'expression sin (90-α) sera égale
Parlons de l'algorithme :
1. Quart un.


Sera sin(90-α) = cos(α)

Découvrez à quoi l'expression cos(360+α) sera égale
Parlons de l'algorithme :
1. Quart un.
2. Au premier quart, le signe de la fonction cosinus est positif.

Sera cos(360+α) = cos(α)

Découvrez ce que l'expression sin (360 + α) sera égale à
Parlons de l'algorithme :
1. Quart un.
2. Au premier trimestre, le signe de la fonction sinus est positif.
3. Il n'y a pas (90° ou π/2) et (270° ou 3π/2) entre parenthèses, alors la fonction ne change pas.
Sera sin(360+α) = sin(α)

Découvrez à quoi l'expression cos(90+α) sera égale
Parlons de l'algorithme :
1. Deux quarts.

3. Il y a (90° ou π/2) entre parenthèses, puis la fonction passe du cosinus au sinus.
Sera cos(90+α) = -sin(α)

Découvrez ce que l'expression sin (90 + α) sera égale à
Parlons de l'algorithme :
1. Deux quarts.

3. Il y a (90° ou π/2) entre parenthèses, puis la fonction passe du sinus au cosinus.
Sera sin(90+α) = cos(α)

Découvrez ce que l'expression cos(180-α) sera égale à
Parlons de l'algorithme :
1. Deux quarts.
2. Au deuxième trimestre, le signe de la fonction cosinus est négatif.
3. Il n'y a pas (90° ou π/2) et (270° ou 3π/2) entre parenthèses, alors la fonction ne change pas.
Sera cos(180-α) = cos(α)

Découvrez ce que l'expression sin (180-α) sera égale à
Parlons de l'algorithme :
1. Deux quarts.
2. Au deuxième trimestre, le signe de la fonction sinus est positif.
3. Il n'y a pas (90° ou π/2) et (270° ou 3π/2) entre parenthèses, alors la fonction ne change pas.
Sera sin(180-α) = sin(α)

Je parle du troisième et du quatrième trimestre de la même manière, nous allons faire un tableau :

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Les formules de réduction sont des rapports qui permettent de passer du sinus, cosinus, tangente et cotangente aux angles `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` aux mêmes fonctions de l'angle `\alpha`, qui est dans le premier quart du cercle unité. Ainsi, les formules de réduction nous "conduisent" à travailler avec des angles compris entre 0 et 90 degrés, ce qui est très pratique.

Au total, il existe 32 formules de réduction. Ils seront sans aucun doute utiles à l'examen, aux examens, aux tests. Mais nous vous prévenons immédiatement qu'il n'est pas nécessaire de les mémoriser ! Vous devez passer un peu de temps et comprendre l'algorithme pour leur application, il ne vous sera alors pas difficile de déduire l'égalité nécessaire au bon moment.

Commençons par écrire toutes les formules de réduction :

Pour l'angle (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) ou (`90^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Pour l'angle (`\pi \pm \alpha`) ou (`180^\circ \pm \alpha`):

`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Pour l'angle (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) ou (`270^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Pour l'angle (`2\pi \pm \alpha`) ou (`360^\circ \pm \alpha`):

`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Vous pouvez souvent trouver des formules de réduction sous forme de tableau, où les angles sont écrits en radians :

Pour l'utiliser, vous devez sélectionner la ligne avec la fonction dont nous avons besoin et la colonne avec l'argument souhaité. Par exemple, pour utiliser un tableau pour savoir ce que sera ` sin(\pi + \alpha)`, il suffit de trouver la réponse à l'intersection de la ligne ` sin \beta` et de la colonne ` \pi + \ alpha`. On obtient ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.

Et le second tableau similaire, où les angles sont écrits en degrés :

Règle mnémotechnique des formules de coulée ou comment s'en souvenir

Comme nous l'avons déjà mentionné, il n'est pas nécessaire de mémoriser tous les ratios ci-dessus. Si vous les avez regardés de près, vous avez probablement remarqué certains modèles. Ils nous permettent de formuler une règle mnémonique (mnémoniques - rappelez-vous), avec laquelle vous pouvez facilement obtenir l'une des formules de réduction.

Notons tout de suite que pour appliquer cette règle, il faut bien savoir déterminer (ou retenir) les signes des fonctions trigonométriques dans les différents quarts du cercle unité.
La greffe elle-même contient 3 étapes :

1. 1. L'argument de la fonction doit être sous la forme `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, où `\alpha` est toujours un angle aigu (de 0 à 90 degrés).
   2. Pour les arguments `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` fonction trigonométrique de l'expression convertie se transforme en une cofonction, c'est-à-dire l'inverse (sinus en cosinus, tangente en cotangente et vice versa). Pour les arguments `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` la fonction ne change pas.
   3. Le signe de la fonction d'origine est déterminé. La fonction résultante sur le côté droit aura le même signe.

Pour voir comment cette règle peut être appliquée en pratique, transformons quelques expressions :

1. `cos(\pi + \alpha)`.

La fonction n'est pas inversée. L'angle ` \pi + \alpha` est dans le troisième quadrant, le cosinus dans ce quadrant a un signe "-", donc la fonction convertie aura également un signe "-".

Réponse : ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`

2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)`.

Selon la règle mnémotechnique, la fonction sera inversée. L'angle `\frac (3\pi)2 - \alpha` est dans le troisième quadrant, le sinus ici a un signe "-", donc le résultat sera également avec un signe "-".

Réponse : `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`

3. `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)`.

`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi )2-\alpha))`. Représentons `3\pi` comme `2\pi+\pi`. `2\pi` est la période de la fonction.

Important : Les fonctions `cos \alpha` et `sin \alpha` ont une période de `2\pi` ou `360^\circ`, leurs valeurs ne changeront pas si l'argument est augmenté ou diminué de ces valeurs.

Sur cette base, notre expression peut s'écrire comme suit : `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. En appliquant deux fois la règle mnémonique, nous obtenons : `cos (\pi+(\frac(\ pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.

Réponse : `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.

règle du cheval

Le deuxième point de la règle mnémotechnique ci-dessus est également appelé la règle du cheval des formules de réduction. Je me demande pourquoi les chevaux?

On a donc des fonctions avec pour arguments `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha`, les points `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` sont des points clés, ils sont situés sur les axes de coordonnées. `\pi` et `2\pi` sont sur l'axe horizontal des x, et `\frac (\pi)2` et `\frac (3\pi)2` sont sur l'axe vertical des y.

On se pose la question : « La fonction se transforme-t-elle en cofonction ? ». Pour répondre à cette question, vous devez déplacer votre tête le long de l'axe sur lequel se trouve le point clé.

Autrement dit, pour les arguments avec des points clés situés sur l'axe horizontal, nous répondons «non» en secouant la tête sur les côtés. Et pour les virages avec des points clés situés sur l'axe vertical, on répond "oui" en hochant la tête de haut en bas, comme un cheval 🙂

Nous vous recommandons de regarder un didacticiel vidéo dans lequel l'auteur explique en détail comment mémoriser les formules de réduction sans les mémoriser.

Exemples pratiques d'utilisation de formules de moulage

L'utilisation des formules de réduction commence dans les 9e et 10e années. Beaucoup de tâches avec leur utilisation sont soumises à l'examen. Voici quelques-unes des tâches où vous devrez appliquer ces formules :

• tâches pour résoudre un triangle rectangle;
• conversions numériques et alphabétiques expressions trigonométriques, calcul de leurs valeurs ;
• problèmes stéréométriques.

Exemple 1. Utilisez les formules de réduction pour calculer a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.

Solution : a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2` ;

b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3` ;

c) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2` ;

d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.

Exemple 2. Après avoir exprimé le cosinus par le sinus à l'aide des formules de réduction, comparez les nombres : 1) `sin \frac (9\pi)8` et `cos \frac (9\pi)8` ; 2) `sin \frac (\pi)8` et `cos \frac (3\pi)10`.

Solution : 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`

`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`

`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`

`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.

2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`

`sin \frac (\pi)8

`sin \frac (\pi)8

Nous montrons d'abord deux formules pour le sinus et le cosinus de l'argument `\frac (\pi)2 + \alpha` : ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` et ` cos( \frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`. Le reste en dérive.

Prenez un cercle unité et pointez dessus A avec les coordonnées (1,0). Laisser après avoir allumé coin `\alpha` il ira au point `A_1(x, y)`, et après avoir parcouru l'angle `\frac (\pi)2 + \alpha` au point `A_2(-y,x)` . En laissant tomber les perpendiculaires de ces points à la droite OX, on voit que les triangles 'OA_1H_1' et 'OA_2H_2' sont égaux, puisque leurs hypoténuses et leurs angles adjacents sont égaux. Ensuite, en se basant sur les définitions du sinus et du cosinus, on peut écrire `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos (\frac (\pi)2 + \alpha)=-y`. Comment peut-on écrire que ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` et ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, ce qui prouve la réduction formules pour le sinus et le cosinus de l'angle `\frac (\pi)2 + \alpha`.

De la définition de la tangente et de la cotangente, on obtient ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\pi) )2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` et ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, ce qui prouve la réduction formules pour la tangente et la cotangente de l'angle `\frac (\pi)2 + \alpha`.

Pour prouver des formules avec l'argument `\frac (\pi)2 - \alpha`, il suffit de le représenter par `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` et de suivre le même chemin que ci-dessus. Par exemple, `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`.

Les angles `\pi + \alpha` et `\pi - \alpha` peuvent être représentés par `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` et `\frac (\pi ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` respectivement.

Et `\frac (3\pi)2 + \alpha` et `\frac (3\pi)2 - \alpha` comme `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` et `\pi +(\frac (\pi)2-\alpha)`.

Ils appartiennent à la section "trigonométrie" des mathématiques. Leur essence est d'amener les fonctions trigonométriques des angles à une forme plus "simple". Beaucoup peut être écrit sur l'importance de leurs connaissances. Il y a 32 de ces formules !

Rassurez-vous, vous n'avez pas besoin de les apprendre, comme beaucoup d'autres formules en cours de mathématiques. Vous n'avez pas besoin de vous remplir la tête d'informations inutiles, vous devez mémoriser les «clés» ou les lois, et se souvenir ou dériver la formule souhaitée ne sera pas un problème. Au fait, quand j'écris dans des articles "... tu dois apprendre !!!" - cela signifie qu'il est vraiment nécessaire de l'apprendre.

Si vous n'êtes pas familier avec les formules de réduction, la simplicité de leur dérivation vous surprendra agréablement - il existe une «loi» avec laquelle il est facile de le faire. Et vous écrirez l'une des 32 formules en 5 secondes.

Je n'énumérerai que certaines des tâches qui seront à l'examen en mathématiques, où sans connaître ces formules, il y a une forte probabilité d'échouer dans la solution. Par exemple:

- des tâches pour résoudre un triangle rectangle, où l'on parle d'un angle externe, et des problèmes d'angles internes, certaines de ces formules sont également nécessaires.

- tâches de calcul des valeurs des expressions trigonométriques ; transformations d'expressions trigonométriques numériques ; transformations d'expressions trigonométriques littérales.

- tâches sur la tangente et la signification géométrique de la tangente, une formule de réduction de la tangente est requise, ainsi que d'autres tâches.

- problèmes stéréométriques, lors de la résolution, il est souvent nécessaire de déterminer le sinus ou le cosinus d'un angle compris entre 90 et 180 degrés.

Et ce ne sont que les points qui se rapportent à l'examen. Et au cours de l'algèbre elle-même, il existe de nombreux problèmes dont la solution, sans connaissance des formules de réduction, est tout simplement impossible à résoudre.

Alors, à quoi cela conduit-il et comment les formules stipulées nous simplifient-elles la solution des problèmes ?

Par exemple, vous devez déterminer le sinus, le cosinus, la tangente ou la cotangente de tout angle compris entre 0 et 450 degrés :

l'angle alpha varie de 0 à 90 degrés

* * *

Donc, il est nécessaire de comprendre la "loi" qui fonctionne ici :

1. Déterminer le signe de la fonction dans le trimestre correspondant.

Laissez-moi leur rappeler :

2. N'oubliez pas ce qui suit :

la fonction se transforme en cofonction

la fonction ne change pas en cofonction

Que signifie le concept - une fonction se transforme en une cofonction ?

Réponse : le sinus se transforme en cosinus ou vice versa, la tangente en cotangente ou vice versa.

C'est tout!

Maintenant, selon la loi présentée, nous écrivons indépendamment plusieurs formules de réduction :

Cet angle se situe au troisième quart, le cosinus au troisième quart est négatif. Nous ne changeons pas la fonction pour cofonction, puisque nous avons 180 degrés, ce qui signifie :

L'angle se situe dans le premier quart, le sinus dans le premier quart est positif. Nous ne changeons pas la fonction en cofonction, puisque nous avons 360 degrés, ce qui signifie :

Voici une autre confirmation supplémentaire que les sinus des angles adjacents sont égaux :

L'angle se situe au deuxième quart, le sinus au deuxième quart est positif. Nous ne changeons pas la fonction en cofonction, puisque nous avons 180 degrés, ce qui signifie :

À l'avenir, en utilisant la propriété de périodicité, d'uniformité (oddity), vous pourrez facilement déterminer la valeur de n'importe quel angle : 1050 0 , -750 0 , 2370 0 et tous les autres. Il y aura un article à ce sujet dans le futur, ne le manquez pas !

Lorsque j'utiliserai des formules de réduction pour résoudre des problèmes, je me référerai certainement à cet article afin que vous puissiez toujours rafraîchir la théorie présentée ci-dessus dans votre mémoire. C'est tout. J'espère que le matériel vous a été utile.

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Cordialement, Alexandre.

P.S: Je vous serais reconnaissant de parler du site dans les réseaux sociaux.