Voit tilata yksityiskohtainen ratkaisu sinun tehtäväsi!!!

Yhtälöä, joka sisältää tuntemattoman trigonometrisen funktion merkin alla (`sin x, cos x, tg x` tai `ctg x`), kutsutaan trigonometriseksi yhtälöksi, ja tarkastelemme niiden kaavoja tarkemmin.

Yksinkertaisimmat yhtälöt ovat "sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a", missä "x" on löydettävä kulma, "a" on mikä tahansa luku. Kirjoitetaan juurikaavat kullekin niistä.

1. Yhtälö "sin x=a".

Kohdalle `|a|>1` ei ole ratkaisuja.

`|a|:lla \leq 1`:llä on ääretön määrä ratkaisuja.

Juurikaava: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Yhtälö "cos x=a".

`|a|>1` - kuten sinin tapauksessa, reaalilukujen joukossa ei ole ratkaisuja.

`|a|:lla \leq 1`:llä on ääretön määrä ratkaisuja.

Juurikaava: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Sinin ja kosinin erikoistapaukset kaavioissa.

3. Yhtälö "tg x=a".

Siinä on ääretön määrä ratkaisuja mille tahansa "a":n arvoille.

Juurikaava: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Yhtälö ctg x=a

Siinä on myös ääretön määrä ratkaisuja mille tahansa "a":n arvoille.

Juurikaava: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Kaavat trigonometristen yhtälöiden juurille taulukossa

Sinulle:
Kosinille:
Tangentille ja kotangentille:
Kaavat käänteisiä trigonometrisiä funktioita sisältävien yhtälöiden ratkaisemiseksi:

Trigonometristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Minkä tahansa trigonometrisen yhtälön ratkaisu koostuu kahdesta vaiheesta:

• käyttämällä sen muuntamiseen yksinkertaisimmaksi;
• ratkaise tuloksena oleva yksinkertainen yhtälö käyttämällä yllä olevia kaavoja juurille ja taulukoille.

Tarkastellaan pääasiallisia ratkaisumenetelmiä esimerkkien avulla.

algebrallinen menetelmä.

Tässä menetelmässä muuttujan korvaaminen ja korvaaminen tasa-arvoksi tehdään.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0,

tee korvaava: `cos(x+\frac \pi 6)=y, sitten `2y^2-3y+1=0`,

löydämme juuret: `y_1=1, y_2=1/2`, joista seuraa kaksi tapausta:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Vastaus: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorisointi.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: `sin x+cos x=1`.

Ratkaisu. Siirrä vasemmalle kaikki yhtäläisyyden ehdot: `sin x+cos x-1=0`. Käyttämällä , muunnamme ja kerroimme vasemman puolen:

"sin x - 2sin^2 x/2=0",

"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0",

"2sin x/2 (cos x/2-sin x/2) = 0",

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Vastaus: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Pelkistys homogeeniseksi yhtälöksi

Ensin sinun on saatettava tämä trigonometrinen yhtälö johonkin kahdesta muodosta:

"a sin x+b cos x=0" (ensimmäisen asteen homogeeninen yhtälö) tai "a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0" (toisen asteen homogeeninen yhtälö).

Jaa sitten molemmat osat arvolla "cos x \ne 0" ensimmäisessä tapauksessa ja "cos^2 x \ne 0" toisessa tapauksessa. Saamme yhtälöt `tg x`:lle: `a tg x+b=0` ja `a tg^2 x + b tg x +c =0`, jotka on ratkaistava tunnetuilla menetelmillä.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Ratkaisu. Kirjoita oikea puoli muotoon `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x',

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

"sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0".

Tämä on toisen asteen homogeeninen trigonometrinen yhtälö, joka jakaa sen vasemman ja oikean osan `cos^2 x \ne 0`:lla, saamme:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0

`tg^2 x+tg x - 2=0'. Otetaan käyttöön korvaava `tg x=t`, tuloksena `t^2 + t - 2=0`. Tämän yhtälön juuret ovat `t_1=-2` ja `t_2=1`. Sitten:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z.

Vastaus. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z'.

Mene Half Corneriin

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: "11 sin x - 2 cos x = 10".

Ratkaisu. Kaksoiskulmakaavoja soveltamalla tulos on: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

"4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6 = 0".

Käyttämällä yllä kuvattua algebrallista menetelmää saamme:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z',
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z'.

Vastaus. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Apukulman esittely

Trigonometrisessa yhtälössä `a sin x + b cos x =c`, jossa a,b,c ovat kertoimia ja x on muuttuja, jaamme molemmat osat `sqrt (a^2+b^2)`:lla:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))".

Vasemmalla puolella olevilla kertoimilla on sinin ja kosinin ominaisuudet, eli niiden neliöiden summa on 1 ja niiden moduuli ei ole suurempi kuin 1. Merkitse ne seuraavasti: `\frac a(sqrt (a^2+ b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C`, sitten:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Tarkastellaanpa tarkemmin seuraavaa esimerkkiä:

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: `3 sin x+4 cos x=2`.

Ratkaisu. Jakamalla yhtälön molemmat puolet `sqrt (3^2+4^2)`:lla saadaan:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))".

"3/5 sin x+4/5 cos x=2/5".

Merkitse `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Koska `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, sitten as apunurkkaus ota `\varphi=arcsin 4/5`. Sitten kirjoitamme yhtäläisyytemme muodossa:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Soveltamalla sinin kulmien summan kaavaa kirjoitamme yhtäläisyytemme seuraavassa muodossa:

`sin(x+\varphi)=2/5',

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z'.

Vastaus. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z'.

Murto-rationaaliset trigonometriset yhtälöt

Nämä ovat yhtälöitä murtolukujen kanssa, joiden osoittajissa ja nimittäjissä on trigonometrisiä funktioita.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x.

Ratkaisu. Kerro ja jaa yhtälön oikea puoli luvulla "(1+cos x)". Tuloksena saamme:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0

Koska nimittäjä ei voi olla nolla, saamme `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z.

Yhdistä murtoluvun osoittaja nollaan: "sin x-sin^2 x=0", "sin x(1-sin x)=0". Sitten "sin x=0" tai "1-sin x=0".

1. "sin x=0", "x=\pi n", "n \in Z".
2. "1-sin x=0", "sin x=-1", "x=\pi /2+2\pi n, n \in Z".

Ottaen huomioon, että ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, ratkaisut ovat `x=2\pi n, n \in Z` ja `x=\pi /2+2\pi n` , "n \in Z".

Vastaus. "x=2\pi n", "n \in Z", "x=\pi /2+2\pi n", "n \in Z".

Trigonometriaa ja erityisesti trigonometrisiä yhtälöitä käytetään lähes kaikilla geometrian, fysiikan ja tekniikan aloilla. Opiskelu alkaa 10. luokalla, tentissä on aina tehtäviä, joten yritä muistaa kaikki trigonometristen yhtälöiden kaavat - ne ovat varmasti hyödyllisiä sinulle!

Sinun ei kuitenkaan tarvitse edes muistaa niitä, tärkeintä on ymmärtää ydin ja pystyä päättelemään. Se ei ole niin vaikeaa kuin miltä näyttää. Katso itse katsomalla video.

Yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisu.

Minkä tahansa monimutkaisuuden trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen edellyttää lopulta yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemista. Ja tässä trigonometrinen ympyrä osoittautuu jälleen parhaaksi auttajaksi.

Muista kosinin ja sinin määritelmät.

Kulman kosini on yksikköympyrän pisteen abskissa (eli koordinaatti akselilla), joka vastaa kiertoa tietyllä kulmalla.

Kulman sini on yksikköympyrän pisteen ordinaatta (eli akselin suuntainen koordinaatti), joka vastaa kiertoa tietyllä kulmalla.

Positiivisena liikkeen suuntana trigonometristä ympyrää pitkin katsotaan liikettä vastapäivään. Kierto 0 astetta (tai 0 radiaania) vastaa pistettä, jonka koordinaatit (1; 0)

Käytämme näitä määritelmiä yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen.

1. Ratkaise yhtälö

Tämän yhtälön täyttävät kaikki sellaiset kiertokulman arvot, jotka vastaavat ympyrän pisteitä, joiden ordinaatta on yhtä suuri kuin .

Merkitään y-akselille piste, jossa on ordinaatit:

Piirrä x-akselin suuntainen vaakasuora viiva, kunnes se leikkaa ympyrän. Saamme kaksi pistettä, jotka makaavat ympyrällä ja joilla on ordinaatta. Nämä pisteet vastaavat kiertokulmia ja radiaaneja:

Jos jätämme pisteen, joka vastaa kiertokulmaa radiaania kohti, kiertämme täyden ympyrän, niin pääsemme pisteeseen, joka vastaa kiertokulmaa radiaania kohti ja jolla on sama ordinaatta. Toisin sanoen tämä kiertokulma täyttää myös yhtälömme. Voimme tehdä niin monta "tyhjäkäyntiä" kuin haluamme palataen samaan pisteeseen, ja kaikki nämä kulma-arvot täyttävät yhtälömme. "Tyhjäkäyntien" kierrosten lukumäärä on merkitty kirjaimella (tai). Koska voimme tehdä nämä kierrokset sekä positiiviseen että negatiiviseen suuntaan, (tai ) voi ottaa minkä tahansa kokonaisluvun arvot.

Eli alkuperäisen yhtälön ensimmäisen ratkaisusarjan muoto on:

, , - joukko kokonaislukuja (1)

Vastaavasti toisella ratkaisusarjalla on muoto:

, Missä , . (2)

Kuten arvasit, tämä ratkaisusarja perustuu ympyrän pisteeseen, joka vastaa kiertokulmaa .

Nämä kaksi ratkaisusarjaa voidaan yhdistää yhdeksi kohteeksi:

Jos otamme tämän merkinnän (eli parillisen), saamme ensimmäisen sarjan ratkaisuja.

Jos otamme tämän merkinnän (eli parittoman), saamme toisen sarjan ratkaisuja.

2. Ratkaistaan ​​nyt yhtälö

Koska kulman läpi kiertämällä saatu yksikköympyrän pisteen abskissa, merkitsemme akselille pisteen abskissalla:

Piirrä pystysuora viiva, joka on yhdensuuntainen akselin kanssa, kunnes se leikkaa ympyrän. Saamme kaksi pistettä, jotka makaavat ympyrällä ja joilla on abskissa. Nämä pisteet vastaavat kiertokulmia ja radiaaneja. Muista, että kun liikutaan myötäpäivään, saadaan negatiivinen kiertokulma:

Kirjoitamme kaksi ratkaisusarjaa:

,

,

(Oikeaan pisteeseen pääsemme ohittamalla päätäydeltä ympyrältä, eli.

Yhdistetään nämä kaksi sarjaa yhdeksi postaukseksi:

3. Ratkaise yhtälö

Tangenttien viiva kulkee yksikköympyrän pisteen, jonka koordinaatit (1,0) on yhdensuuntainen OY-akselin kanssa

Merkitse siihen piste, jonka ordinaatit ovat yhtä suuret kuin 1 (etsiimme tangenttia, jonka kulmat on 1):

Yhdistä tämä piste origoon suoralla ja merkitse suoran leikkauspisteet yksikköympyrän kanssa. Suoran ja ympyrän leikkauspisteet vastaavat kiertokulmia ja:

Koska yhtälömme täyttäviä kiertokulmia vastaavat pisteet sijaitsevat radiaanien päässä toisistaan, voimme kirjoittaa ratkaisun seuraavasti:

4. Ratkaise yhtälö

Kotangenttien viiva kulkee pisteen läpi, jonka yksikköympyrän koordinaatit ovat yhdensuuntaiset akselin kanssa.

Merkitsemme pisteen abskissalla -1 kotangenttien riville:

Yhdistä tämä piste suoran alkupisteeseen ja jatka sitä, kunnes se leikkaa ympyrän. Tämä viiva leikkaa ympyrän pisteissä, jotka vastaavat kiertokulmia ja radiaaneja:

Koska nämä pisteet erotetaan toisistaan ​​etäisyydellä, joka on yhtä suuri, voimme kirjoittaa tämän yhtälön yleisratkaisun seuraavasti:

Annetuissa esimerkeissä, jotka havainnollistavat yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisua, käytettiin trigonometristen funktioiden taulukkoarvoja.

Jos yhtälön oikealla puolella on ei-taulukkoarvo, korvaamme arvon yhtälön yleisessä ratkaisussa:

ERIKOISRATKAISUT:

Merkitse pisteet ympyrään, jonka ordinaatit ovat 0:

Merkitse ympyrään yksi piste, jonka ordinaatit ovat yhtä kuin 1:

Merkitse ympyrään yksi piste, jonka ordinaatin arvo on -1:

Koska on tapana ilmoittaa lähimpänä nollaa olevat arvot, kirjoitamme ratkaisun seuraavasti:

Merkitse pisteet ympyrään, jonka abskissa on 0:

5.
Merkitään yksi piste ympyrään, jonka abskissa on 1:

Merkitse ympyrään yksi piste, jonka abskissa on -1:

Ja muutama monimutkaisempi esimerkki:

1.

Sini on yksi, jos argumentti on

Sinin argumentti on , joten saamme:

Jaa yhtälön molemmat puolet kolmella:

Vastaus:

2.

Kosini on nolla, jos kosini-argumentti on

Kosiniemme argumentti on , joten saamme:

Ilmaisemme , tätä varten siirrymme ensin oikealle päinvastaisella merkillä:

Yksinkertaista oikea puoli:

Jaa molemmat osat -2:lla:

Huomaa, että termiä edeltävä etumerkki ei muutu, koska k voi ottaa minkä tahansa kokonaisluvun.

Vastaus:

Ja lopuksi, katso video-opetusohjelma "Juurien valinta trigonometrisessa yhtälössä trigonometrisen ympyrän avulla"

Tämä päättää keskustelun yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisesta. Ensi kerralla puhumme siitä, kuinka ratkaista.

Trigonometriset yhtälöt– Aihe ei ole helpoin. Ne ovat tuskallisen erilaisia.) Esimerkiksi nämä:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Jne...

Mutta näillä (ja kaikilla muilla) trigonometrisilla hirviöillä on kaksi yhteistä ja pakollista ominaisuutta. Ensinnäkin - et usko sitä - yhtälöissä on trigonometrisiä funktioita.) Toiseksi: kaikki lausekkeet, joissa on x, ovat näissä samoissa toiminnoissa. Ja vain siellä! Jos x näkyy jossain ulkopuolella, Esimerkiksi, sin2x + 3x = 3, tämä on sekatyyppinen yhtälö. Tällaiset yhtälöt vaativat yksilöllistä lähestymistapaa. Tässä emme ota niitä huomioon.

Emme myöskään ratkaise pahoja yhtälöitä tällä oppitunnilla.) Tässä käsitellään yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt. Miksi? Kyllä, koska päätös minkä tahansa trigonometriset yhtälöt koostuvat kahdesta vaiheesta. Ensimmäisessä vaiheessa paha yhtälö pelkistetään yksinkertaiseksi erilaisilla muunnoksilla. Toisella - tämä yksinkertaisin yhtälö on ratkaistu. Ei toista reittiä.

Joten jos sinulla on ongelmia toisessa vaiheessa, ensimmäisessä vaiheessa ei ole paljon järkeä.)

Miltä alkeistrigonometriset yhtälöt näyttävät?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Tässä A tarkoittaa mitä tahansa numeroa. Minkä tahansa.

Muuten, funktion sisällä ei ehkä ole puhdasta x, vaan jonkinlainen lauseke, kuten:

cos(3x+π /3) = 1/2

jne. Tämä vaikeuttaa elämää, mutta ei vaikuta trigonometrisen yhtälön ratkaisumenetelmään.

Kuinka ratkaista trigonometriset yhtälöt?

Trigonometriset yhtälöt voidaan ratkaista kahdella tavalla. Ensimmäinen tapa: käyttämällä logiikkaa ja trigonometristä ympyrää. Tutkimme tätä polkua täällä. Toista tapaa - muistin ja kaavojen käyttöä - tarkastellaan seuraavassa oppitunnissa.

Ensimmäinen tapa on selkeä, luotettava ja vaikea unohtaa.) Se on hyvä ratkaisemaan trigonometrisiä yhtälöitä, epäyhtälöitä ja kaikenlaisia ​​hankalia epätyypillisiä esimerkkejä. Logiikka on vahvempi kuin muisti!

Ratkaisemme yhtälöitä trigonometrisen ympyrän avulla.

Mukana on alkeellista logiikkaa ja kykyä käyttää trigonometristä ympyrää. Etkö voi!? Kuitenkin... Se tulee olemaan sinulle vaikeaa trigonometriassa...) Mutta sillä ei ole väliä. Katso oppitunteja "Trigonometrinen ympyrä ...... Mikä se on?" ja "Kulmien laskeminen trigonometrisellä ympyrällä". Siellä kaikki on yksinkertaista. Toisin kuin oppikirjoissa...)

Ah, tiedätkö!? Ja jopa hallitsi "Käytännön työtä trigonometrisen ympyrän kanssa"!? Hyväksy onnittelut. Tämä aihe on sinulle läheinen ja ymmärrettävä.) Erityisen ilahduttavaa on, että trigonometrinen ympyrä ei välitä minkä yhtälön ratkaiset. Sini, kosini, tangentti, kotangentti - kaikki on hänelle samaa. Ratkaisun periaate on sama.

Otetaan siis mikä tahansa alkeistrigonometrinen yhtälö. Ainakin tämä:

cosx = 0,5

Minun täytyy löytää X. Ihmiskielellä puhuminen tarvitsee etsi kulma (x), jonka kosini on 0,5.

Miten käytimme ympyrää aiemmin? Piirsimme siihen kulman. Asteina tai radiaaneina. Ja heti nähty tämän kulman trigonometriset funktiot. Tehdään nyt päinvastoin. Piirrä ympyrään kosini, joka on 0,5 ja heti katsotaan kulma. Jää vain kirjoittaa vastaus muistiin.) Kyllä, kyllä!

Piirrämme ympyrän ja merkitsemme kosinin, joka on yhtä suuri kuin 0,5. Tietysti kosiniakselilla. Kuten tämä:

Piirretään nyt kulma, jonka tämä kosini antaa meille. Vie hiiri kuvan päälle (tai kosketa kuvaa tabletilla) ja katso tähän samaan nurkkaan X.

Minkä kulman kosini on 0,5?

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Jotkut murisevat skeptisesti, kyllä... He sanovat, kannattiko aitata ympyrää, kun kaikki on muutenkin selvää... Voit toki muristaa...) Mutta tosiasia on, että tämä on virheellinen vastaus. Tai pikemminkin riittämätön. Ympyrän asiantuntijat ymmärtävät, että vielä on olemassa joukko kulmia, jotka antavat myös kosinin, joka on yhtä suuri kuin 0,5.

Jos käännät liikkuvan puolen OA täydelle kierrokselle, piste A palaa alkuperäiseen asentoonsa. Samalla kosinilla, joka on 0,5. Nuo. kulma muuttuu 360° tai 2π radiaania ja kosini ei ole. Uusi kulma 60° + 360° = 420° on myös ratkaisu yhtälöimme, koska

Tällaisia ​​täysiä kierroksia on ääretön määrä... Ja kaikki nämä uudet kulmat ovat ratkaisuja trigonometriseen yhtälöimme. Ja ne kaikki pitää jotenkin kirjoittaa ylös. Kaikki. Muuten päätöstä ei oteta huomioon, kyllä...)

Matematiikka voi tehdä tämän yksinkertaisesti ja tyylikkäästi. Kirjoita yhteen lyhyeen vastaukseen ääretön joukko ratkaisuja. Tältä se näyttää yhtälössämme:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

minä tulkitsen. Kirjoita silti mielekkäästi mukavampaa kuin tyhmästi piirtää salaperäisiä kirjaimia, eikö?)

π /3 on sama kulma kuin me näin ympyrässä ja tunnistettu kosinitaulukon mukaan.

2π on yksi täysi kierros radiaaneina.

n - tämä on valmiiden, ts. koko vallankumoukset. On selvää että n voi olla 0, ±1, ±2, ±3.... ja niin edelleen. Mitä on ilmoitettu lyhyt huomautus:

n ∈ Z

n kuuluu ( ∈ ) kokonaislukujen joukkoon ( Z ). Muuten, kirjeen sijaan n kirjaimia voidaan käyttää k, m, t jne.

Tämä merkintä tarkoittaa, että voit ottaa minkä tahansa kokonaisluvun n . Vähintään -3, vähintään 0, vähintään +55. Mitä haluat. Jos liität tämän luvun vastaukseesi, saat tietyn kulman, joka on varmasti ratkaisu ankaraan yhtälöimme.)

Tai toisin sanoen x \u003d π / 3 on äärettömän joukon ainoa juuri. Kaikkien muiden juurien saamiseksi riittää, että lisätään mikä tahansa määrä täysiä kierroksia arvoon π / 3 ( n ) radiaaneina. Nuo. 2πn radiaani.

Kaikki? Ei. Venytän erityisesti iloa. Muistaakseni paremmin.) Saimme vain osan yhtälömme vastauksista. Kirjoitan tämän ratkaisun ensimmäisen osan seuraavasti:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ei yhtä juuria, se on koko sarja juuria, jotka on kirjoitettu lyhyessä muodossa.

Mutta on myös muita kulmia, jotka antavat myös kosinin, joka on 0,5!

Palataan kuvaamme, jonka mukaan kirjoitimme vastauksen. Tässä hän on:

Siirrä hiiren osoitin kuvan päälle ja katso toinen kulma tuo antaa myös kosinin 0,5. Mitä se mielestäsi vastaa? Kolmiot ovat samat... Kyllä! Se on yhtä suuri kuin kulma X , piirretty vain negatiiviseen suuntaan. Tämä on kulma -X. Mutta olemme jo laskeneet x. π /3 tai 60°. Siksi voimme turvallisesti kirjoittaa:

x 2 \u003d - π / 3

Ja tietysti lisäämme kaikki kulmat, jotka saadaan täydellä kierroksella:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Siinä kaikki.) Trigonometrisessa ympyrässä me näin(joka tietysti ymmärtää)) Kaikki kulmat, jotka antavat kosinin 0,5. Ja he kirjoittivat muistiin nämä kulmat lyhyessä matemaattisessa muodossa. Vastaus on kaksi ääretöntä juurisarjaa:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Tämä on oikea vastaus.

Toivoa, yleinen periaate trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi ympyrän avulla on ymmärrettävää. Merkitsemme ympyrään kosinin (sini, tangentti, kotangentti). annettu yhtälö, piirrä sitä vastaavat kulmat ja kirjoita vastaus muistiin. Tietenkin sinun täytyy selvittää, millaisia ​​kulmia olemme näin ympyrän päällä. Joskus se ei ole niin ilmeistä. No, kuten sanoin, tässä tarvitaan logiikkaa.)

Analysoidaan esimerkiksi toinen trigonometrinen yhtälö:

Huomaa, että numero 0,5 ei ole ainoa mahdollinen luku yhtälöissä!) Minulle on vain mukavampaa kirjoittaa se kuin juuria ja murtolukuja.

Työskentelemme yleisen periaatteen mukaan. Piirrämme ympyrän, merkitsemme (siniakselille tietysti!) 0,5. Piirrämme kerralla kaikki tätä siniä vastaavat kulmat. Saamme tämän kuvan:

Käsitellään ensin kulmaa. X ensimmäisellä neljänneksellä. Muistamme sinitaulukon ja määritämme tämän kulman arvon. Asia on yksinkertainen:

x \u003d π / 6

Muistamme täydet käännökset ja kirjoitamme puhtaalla omallatunnolla muistiin ensimmäiset vastaussarjat:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Puolet työstä on tehty. Nyt meidän on määriteltävä toinen kulma... Tämä on hankalampaa kuin kosinukset, kyllä... Mutta logiikka pelastaa meidät! Kuinka määrittää toinen kulma x:n kautta? Kyllä helppoa! Kuvan kolmiot ovat samat ja punainen kulma X yhtä suuri kuin kulma X . Vain se lasketaan kulmasta π negatiiviseen suuntaan. Siksi se on punainen.) Ja vastausta varten tarvitsemme kulman, joka on mitattu oikein positiivisesta puoliakselista OX, ts. 0 asteen kulmasta.

Vie kursori kuvan päälle ja näet kaiken. Poistin ensimmäisen kulman, jotta en vaikeuttaisi kuvaa. Meitä kiinnostava kulma (piirretty vihreällä) on yhtä suuri:

π - x

x tiedämme sen π /6 . Toinen kulma on siis:

π - π /6 = 5π /6

Muistamme jälleen täyden kierroksen lisäämisen ja kirjoitamme toisen vastaussarjan:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Siinä kaikki. Täydellinen vastaus koostuu kahdesta juurisarjasta:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Tangentin ja kotangentin yhtälöt voidaan ratkaista helposti käyttämällä samaa yleisperiaatetta trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa. Ellei tietysti osaa piirtää tangenttia ja kotangenttia trigonometriseen ympyrään.

Yllä olevissa esimerkeissä käytin sinin ja kosinin taulukkoarvoa: 0,5. Nuo. yksi niistä merkityksistä, jotka opiskelija tietää on pakko. Laajennamme nyt kykyjämme kaikki muut arvot. Päätä, niin päätä!)

Oletetaan siis, että meidän on ratkaistava seuraava trigonometrinen yhtälö:

Tämä kosiniarvo sisään yhteenvetotaulukot Ei. Jätämme kylmästi huomioimatta tämän kauhean tosiasian. Piirrämme ympyrän, merkitsemme 2/3 kosiniakselille ja piirrämme vastaavat kulmat. Saamme tämän kuvan.

Ensinnäkin ymmärrämme ensimmäisen neljänneksen kulman. Tietääkseen, mikä x on yhtä suuri, he kirjoittaisivat vastauksen heti ylös! Emme tiedä... Epäonnistuminen!? Rauhoittaa! Matematiikka ei jätä omaansa vaikeuksiin! Hän keksi kaarikosinukset tätä tapausta varten. En tiedä? Turhaan. Ota selvää, se on paljon helpompaa kuin uskotkaan. Tämän linkin mukaan "käänteistrigonometrisistä funktioista" ei ole olemassa ainuttakaan hankalaa loitsua... Se on tarpeeton tässä aiheessa.

Jos olet perillä, sano vain itsellesi: "X on kulma, jonka kosini on 2/3." Ja heti, puhtaasti arkosiinin määritelmän mukaan, voimme kirjoittaa:

Muistamme lisäkierrokset ja kirjoitamme rauhallisesti muistiin trigonometrisen yhtälömme juuret:

x 1 = kaaret 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Toinen juurisarja kirjoitetaan myös lähes automaattisesti toista kulmaa varten. Kaikki on sama, vain x (arccos 2/3) on miinuksella:

x 2 = - kaaret 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Ja kaikki asiat! Tämä on oikea vastaus. Jopa helpompaa kuin taulukkoarvoilla. Sinun ei tarvitse muistaa mitään.) Muuten tarkkaavaisin huomaa, että tämä kuva ratkaisulla kaarikosinin läpi ei pohjimmiltaan eroa kuvasta yhtälölle cosx = 0,5.

Tarkalleen! Yleinen käytäntö siksi se on yleistä! Piirsin erityisesti kaksi melkein identtistä kuvaa. Ympyrä näyttää meille kulman X kosinuksensa mukaan. Se on taulukkokosini tai ei - ympyrä ei tiedä. Millainen kulma tämä on, π / 3 tai millainen kaarikosini on meidän päätettävissämme.

Sinillä sama laulu. Esimerkiksi:

Piirrämme jälleen ympyrän, merkitsemme sini yhtä suureksi kuin 1/3, piirrämme kulmat. Tästä kuvasta selviää:

Ja taas kuva on melkein sama kuin yhtälössä sinx = 0,5. Aloitamme jälleen kulmasta ensimmäisellä neljänneksellä. Mikä on x, jos sen sini on 1/3? Ei ongelmaa!

Joten ensimmäinen paketti juuria on valmis:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Katsotaanpa toista kulmaa. Esimerkissä, jossa taulukon arvo oli 0,5, se oli yhtä suuri:

π - x

Joten tässä tulee olemaan täsmälleen sama! Vain x on erilainen, arcsin 1/3. Mitä sitten!? Voit turvallisesti kirjoittaa toisen juuripaketin:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Tämä on täysin oikea vastaus. Vaikka se ei näytä kovin tutulta. Mutta se on ymmärrettävää, toivottavasti.)

Näin trigonometriset yhtälöt ratkaistaan ​​ympyrän avulla. Tämä tie on selkeä ja ymmärrettävä. Hän säästää trigonometrisissa yhtälöissä juurien valinnalla tietyllä aikavälillä, trigonometrisissa epäyhtälöissä - ne ratkaistaan ​​yleensä melkein aina ympyrässä. Lyhyesti sanottuna kaikissa tehtävissä, jotka ovat hieman monimutkaisempia kuin tavalliset.

Tietoa käytäntöön?

Ratkaise trigonometriset yhtälöt:

Aluksi se on yksinkertaisempaa, suoraan tässä oppitunnissa.

Nyt se on vaikeampaa.

Vihje: tässä sinun täytyy ajatella ympyrää. Henkilökohtaisesti.)

Ja nyt ulkoisesti vaatimattomia ... Niitä kutsutaan myös erityistapauksiksi.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Vihje: tässä sinun täytyy selvittää ympyrässä, missä on kaksi vastaussarjaa ja missä on yksi ... Ja kuinka kirjoittaa yksi kahden vastaussarjan sijaan. Kyllä, jotta yhtäkään juurta ei menetetä äärettömästä luvusta!)

No, aika yksinkertaista):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Vihje: tässä sinun on tiedettävä, mikä on arcsini, arkosiini? Mikä on arctangentti, arctangentti? Suurin osa yksinkertaiset määritelmät. Mutta sinun ei tarvitse muistaa taulukkoarvoja!)

Vastaukset ovat tietysti sekaisin):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Eikö kaikki suju? Tapahtuu. Lue oppitunti uudelleen. Vain harkiten(sellaista on vanhentunut sana...) Ja seuraa linkkejä. Päälinkit koskevat ympyrää. Ilman sitä trigonometriassa - kuinka ylittää tie sidottuina. Joskus se toimii.)

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Käsite trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisesta.

• Jos haluat ratkaista trigonometrisen yhtälön, muunna se yhdeksi tai useammaksi trigonometriseksi perusyhtälöksi. Trigonometrisen yhtälön ratkaiseminen päättyy lopulta neljän trigonometrisen perusyhtälön ratkaisemiseen.

Trigonometristen perusyhtälöiden ratkaisu.

• Trigonometrisiä perusyhtälöitä on 4 tyyppiä:
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Trigonometristen perusyhtälöiden ratkaisemiseen kuuluu yksikköympyrän eri x-asemien tarkasteleminen sekä muunnostaulukon (tai laskimen) käyttäminen.
• Esimerkki 1. sin x = 0,866. Muunnostaulukon (tai laskimen) avulla saat vastauksen: x = π/3. Yksikköympyrä antaa toisen vastauksen: 2π/3. Muista: kaikki trigonometriset funktiot ovat jaksollisia, eli niiden arvot toistuvat. Esimerkiksi sin x:n ja cos x:n jaksollisuus on 2πn ja tg x:n ja ctg x:n jaksollisuus on πn. Eli vastaus on kirjoitettu näin:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Esimerkki 2 cos x = -1/2. Muunnostaulukkoa (tai laskinta) käyttämällä saat vastauksen: x = 2π/3. Yksikköympyrä antaa toisen vastauksen: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Esimerkki 3. tg (x - π/4) = 0.
• Vastaus: x \u003d π / 4 + πn.
• Esimerkki 4. ctg 2x = 1,732.
• Vastaus: x \u003d π / 12 + πn.

Trigonometristen yhtälöiden ratkaisussa käytetyt muunnokset.

• Trigonometristen yhtälöiden muuntamiseen käytetään algebrallisia muunnoksia (faktorointi, pelkistys homogeeniset jäsenet jne.) ja trigonometriset identiteetit.
• Esimerkki 5. Käyttämällä trigonometrisiä identiteettejä yhtälö sin x + sin 2x + sin 3x = 0 muunnetaan yhtälöksi 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Näin ollen seuraavat trigonometriset perusyhtälöt täytyy ratkaista: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Kulmien etsiminen tunnetut arvot toimintoja.

  • Ennen kuin opit ratkaisemaan trigonometrisiä yhtälöitä, sinun on opittava löytämään kulmia tunnetuista funktioiden arvoista. Tämä voidaan tehdä muunnostaulukon tai laskimen avulla.
  • Esimerkki: cos x = 0,732. Laskin antaa vastauksen x = 42,95 astetta. Yksikköympyrä antaa lisäkulmia, joiden kosini on myös yhtä suuri kuin 0,732.

• Aseta liuos sivuun yksikköympyrässä.

  • Voit laittaa trigonometrisen yhtälön ratkaisuja yksikköympyrään. Yksikköympyrän trigonometrisen yhtälön ratkaisut ovat säännöllisen monikulmion kärjet.
  • Esimerkki: Yksikköympyrän ratkaisut x = π/3 + πn/2 ovat neliön kärkipisteitä.
  • Esimerkki: Yksikköympyrän ratkaisut x = π/4 + πn/3 ovat säännöllisen kuusikulmion huippuja.

• Trigonometristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät.

  • Jos annettu trigonometrinen yhtälö sisältää vain yhden trigonometrinen funktio, ratkaise tämä yhtälö trigonometrisenä perusyhtälönä. Jos annettu yhtälö sisältää kaksi tai useampia trigonometrisiä funktioita, tällaisen yhtälön ratkaisemiseen on kaksi menetelmää (riippuen sen muunnosmahdollisuudesta).
    • Menetelmä 1
  • Muunna tämä yhtälö yhtälöksi, jonka muoto on: f(x)*g(x)*h(x) = 0, missä f(x), g(x), h(x) ovat trigonometriset perusyhtälöt.
  • Esimerkki 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Ratkaisu. Korvaa sin 2x käyttämällä kaksoiskulmakaavaa sin 2x = 2*sin x*cos x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Ratkaise nyt kaksi trigonometristä perusyhtälöä: cos x = 0 ja (sin x + 1) = 0.
  • Esimerkki 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Ratkaisu: Muunna tämä yhtälö trigonometristen identiteettien avulla yhtälöksi, jonka muoto on: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Ratkaise nyt kaksi trigonometristä perusyhtälöä: cos 2x = 0 ja (2cos x + 1) = 0.
  • Esimerkki 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • Ratkaisu: Muunna tämä yhtälö trigonometristen identiteettien avulla yhtälöksi, jonka muoto on: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Ratkaise nyt kaksi trigonometristä perusyhtälöä: cos 2x = 0 ja (2sin x + 1) = 0.
    • Menetelmä 2
  • Muunna annettu trigonometrinen yhtälö yhtälöksi, joka sisältää vain yhden trigonometrisen funktion. Korvaa sitten tämä trigonometrinen funktio jollakin tuntemattomalla funktiolla, esimerkiksi t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t jne.).
  • Esimerkki 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Ratkaisu. Korvaa tässä yhtälössä (cos^2 x) arvolla (1 - sin^2 x) (identiteetin mukaan). Muunnettu yhtälö näyttää tältä:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Korvaa sin x t:llä. Nyt yhtälö näyttää tältä: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Tämä on toisen asteen yhtälö, jolla on kaksi juuria: t1 = -1 ja t2 = 9/5. Toinen juuri t2 ei täytä funktion aluetta (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Esimerkki 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Ratkaisu. Korvaa tg x t:llä. Kirjoita alkuperäinen yhtälö uudelleen seuraavasti: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Etsi nyt t ja etsi sitten x, kun t = tg x.

Kun ratkaiset monia matemaattisia ongelmia Varsinkin ennen luokkaa 10 tapahtuvien toimenpiteiden järjestys, joka johtaa tavoitteeseen, on selkeästi määritelty. Tällaisia ​​tehtäviä ovat esimerkiksi lineaariset ja toisen asteen yhtälöt, lineaariset ja toisen asteen epäyhtälöt, murto-yhtälöt ja yhtälöt, jotka pelkistyvät neliöllisiksi. Jokaisen mainitun tehtävän onnistuneen ratkaisun periaate on seuraava: on tarpeen selvittää, mihin tyyppiin ratkaistava ongelma kuuluu, muistaa tarvittava toimintosarja, joka johtaa haluttuun tulokseen, ts. vastaa ja noudata näitä ohjeita.

Ilmeisesti onnistuminen tai epäonnistuminen tietyn ongelman ratkaisemisessa riippuu pääasiassa siitä, kuinka oikein ratkaistavan yhtälön tyyppi määritetään, kuinka oikein sen ratkaisun kaikkien vaiheiden järjestys toistetaan. Tietenkin tässä tapauksessa tarvitaan taidot suorittaa identtisiä muunnoksia ja laskelmia.

Erilainen tilanne syntyy trigonometriset yhtälöt. Ei ole vaikeaa todeta, että yhtälö on trigonometrinen. Vaikeuksia syntyy määritettäessä toimintosarjaa, joka johtaisi oikeaan vastaukseen.

Tekijä: ulkomuoto yhtälöiden tyyppiä on joskus vaikea määrittää. Ja tietämättä yhtälön tyyppiä on melkein mahdotonta valita oikea useista kymmenistä trigonometrisista kaavoista.

Trigonometrisen yhtälön ratkaisemiseksi meidän on yritettävä:

1. tuo kaikki yhtälöön sisältyvät funktiot "samoihin kulmiin";
2. tuo yhtälö "samoihin funktioihin";
3. kerroin yhtälön vasen puoli jne.

Harkitse perusmenetelmiä trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen.

I. Pelkistys yksinkertaisimpiin trigonometrisiin yhtälöihin

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Ilmaise trigonometrinen funktio tunnetuilla komponenteilla.

Vaihe 2 Etsi funktion argumentti kaavojen avulla:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Vaihe 3 Etsi tuntematon muuttuja.

Esimerkki.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Ratkaisu.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, nЄZ;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, nЄZ;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Vastaus: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Muuttuva korvaus

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Tuo yhtälö algebralliseen muotoon yhden trigonometrisen funktion suhteen.

Vaihe 2 Merkitse tuloksena oleva funktio muuttujalla t (tarvittaessa aseta rajoituksia t:lle).

Vaihe 3 Kirjoita muistiin ja ratkaise tuloksena oleva algebrallinen yhtälö.

Vaihe 4 Tee käänteinen vaihto.

Vaihe 5 Ratkaise yksinkertaisin trigonometrinen yhtälö.

Esimerkki.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Ratkaisu.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Olkoon sin (x/2) = t, missä |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5 t + 3 = 0;

t = 1 tai e = -3/2 ei täytä ehtoa |t| ≤ 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, nЄZ;

x = π + 4πn, n Є Z.

Vastaus: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Yhtälön järjestyksen vähentämismenetelmä

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Korvaa tämä yhtälö lineaarisella käyttämällä tehonvähennyskaavoja:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

rusketus 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Vaihe 2 Ratkaise saatu yhtälö menetelmillä I ja II.

Esimerkki.

cos2x + cos2x = 5/4.

Ratkaisu.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n ЄZ;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Vastaus: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogeeniset yhtälöt

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Tuo tämä yhtälö muotoon

a) a sin x + b cos x = 0 (ensimmäisen asteen homogeeninen yhtälö)

tai näkymään

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (toisen asteen homogeeninen yhtälö).

Vaihe 2 Jaa yhtälön molemmat puolet arvolla

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

ja hanki tg x:n yhtälö:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Vaihe 3 Ratkaise yhtälö tunnetuilla menetelmillä.

Esimerkki.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Ratkaisu.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Olkoon sitten tg x = t

t2 + 3t-4 = 0;

t = 1 tai t = -4, joten

tg x = 1 tai tg x = -4.

Ensimmäisestä yhtälöstä x = π/4 + πn, n Є Z; toisesta yhtälöstä x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Vastaus: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Menetelmä yhtälön muuntamiseksi trigonometristen kaavojen avulla

Ratkaisukaavio

Vaihe 1. Käyttää kaikenlaisia trigonometriset kaavat, tuo tämä yhtälö menetelmillä I, II, III, IV ratkaistuun yhtälöön.

Vaihe 2 Ratkaise tuloksena oleva yhtälö tunnetuilla menetelmillä.

Esimerkki.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Ratkaisu.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 tai 2cos x + 1 = 0;

Ensimmäisestä yhtälöstä 2x = π/2 + πn, n Є Z; toisesta yhtälöstä cos x = -1/2.

Meillä on x = π/4 + πn/2, n Є Z; toisesta yhtälöstä x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Tuloksena x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Vastaus: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Kyky ja taidot ratkaista trigonometrisiä yhtälöitä ovat erittäin hyviä On tärkeää, että niiden kehittäminen vaatii huomattavia ponnistuksia sekä opiskelijalta että opettajalta.

Trigonometristen yhtälöiden ratkaisuun liittyy monia stereometrian, fysiikan jne. ongelmia.Tällaisten ongelmien ratkaisuprosessi sisältää ikään kuin monia tietoja ja taitoja, joita hankitaan trigonometrian elementtejä opiskellessa.

Trigonometriset yhtälöt ovat tärkeässä asemassa matematiikan ja yleensä persoonallisuuden kehittämisen opetusprosessissa.

Onko sinulla kysymyksiä? Etkö tiedä kuinka ratkaista trigonometriset yhtälöt?
Avun saaminen tutorilta -.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!

blog.site, kopioimalla materiaali kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.