Viidennellä vuosisadalla eKr antiikin kreikkalainen filosofi Zeno Elealainen muotoili kuuluisat aporiat, joista tunnetuin on aporia "Achilles ja kilpikonna". Tältä se kuulostaa:

Oletetaan, että Akhilleus juoksee kymmenen kertaa nopeammin kuin kilpikonna ja on tuhat askelta jäljessä. Sinä aikana, jona Akhilleus juoksee tämän matkan, kilpikonna ryömii sata askelta samaan suuntaan. Kun Akhilleus on juossut sata askelta, kilpikonna ryömii vielä kymmenen askelta ja niin edelleen. Prosessi jatkuu loputtomiin, Akhilleus ei koskaan saavuta kilpikonnaa.

Tästä päättelystä tuli looginen shokki kaikille seuraaville sukupolville. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Heitä kaikkia, tavalla tai toisella, katsottiin Zenonin aporiaksi. Järkytys oli niin voimakas, että " ... keskustelut jatkuvat tälläkin hetkellä, tiedeyhteisö ei ole vielä päässyt yhteisymmärrykseen paradoksien olemuksesta ... matemaattista analyysiä, joukkoteoriaa, uusia fysikaalisia ja filosofisia lähestymistapoja on otettu mukaan asian tutkimiseen ; yhdestäkään niistä ei tullut yleisesti hyväksyttyä ratkaisua ongelmaan ..."[Wikipedia," Zenon Aporias "]. Kaikki ymmärtävät, että heitä huijataan, mutta kukaan ei ymmärrä, mikä petos on.

Matematiikan näkökulmasta Zeno osoitti aporiassaan selvästi siirtymisen arvosta toiseen. Tämä siirtymä edellyttää soveltamista vakioiden sijaan. Ymmärtääkseni matemaattista laitteistoa muuttuvien mittayksiköiden soveltamiseen ei ole vielä kehitetty tai sitä ei ole sovellettu Zenon aporiaan. Tavallisen logiikkamme soveltaminen johtaa meidät ansaan. Me, ajattelun inertialla, sovellamme käänteisarvoon vakioaikayksiköitä. FROM fyysinen piste Silmälle näyttää siltä, ​​että aika hidastuu, kunnes se pysähtyy kokonaan sillä hetkellä, kun Akhilleus tavoittaa kilpikonnan. Jos aika pysähtyy, Akhilleus ei voi enää ohittaa kilpikonnaa.

Jos käännämme logiikkaa, johon olemme tottuneet, kaikki loksahtaa paikoilleen. Akhilleus juoksee tasaisella nopeudella. Jokainen sen polun seuraava osa on kymmenen kertaa lyhyempi kuin edellinen. Näin ollen sen voittamiseen käytetty aika on kymmenen kertaa vähemmän kuin edellinen. Jos käytämme "äärettömyyden" käsitettä tässä tilanteessa, olisi oikein sanoa "Achilles ohittaa äärettömän nopeasti kilpikonnan".

Kuinka välttää tämä looginen ansa? Pysy vakioissa aikayksiköissä äläkä vaihda käänteisarvoihin. Zenon kielellä se näyttää tältä:

Kun Akhilleus juoksee tuhat askelta, kilpikonna ryömii sata askelta samaan suuntaan. Seuraavan aikavälin aikana, joka on yhtä suuri kuin ensimmäinen, Akhilleus juoksee vielä tuhat askelta ja kilpikonna ryömi sata askelta. Nyt Akhilleus on kahdeksansataa askelta kilpikonnan edellä.

Tämä lähestymistapa kuvaa todellisuutta riittävästi ilman loogisia paradokseja. Mutta tämä ei ole täydellinen ratkaisu ongelmaan. Einsteinin lausunto valonnopeuden ylitsepääsemättömyydestä on hyvin samanlainen kuin Zenon aporia "Achilles ja kilpikonna". Meidän on vielä tutkittava, pohdittava ja ratkaistava tämä ongelma. Ja ratkaisua ei tarvitse etsiä äärettömän suurista luvuista, vaan mittayksiköistä.

Toinen Zenonin mielenkiintoinen aporia kertoo lentävästä nuolesta:

Lentävä nuoli on liikkumaton, koska se on joka hetki levossa, ja koska se on levossa joka hetki, se on aina levossa.

Tässä aporiassa looginen paradoksi voitetaan hyvin yksinkertaisesti - riittää selventämään, että lentävä nuoli lepää joka hetki avaruuden eri pisteissä, mikä itse asiassa on liikettä. Tässä on huomioitava toinen seikka. Yhdestä valokuvasta tiellä olevasta autosta on mahdotonta määrittää sen liikkeen tosiasiaa tai etäisyyttä siihen. Auton liikkeen tosiasian selvittämiseksi tarvitaan kaksi valokuvaa, jotka on otettu samasta pisteestä eri ajankohtina, mutta niitä ei voida käyttää etäisyyden määrittämiseen. Etäisyyden määrittämiseksi autoon tarvitset kaksi valokuvaa, jotka on otettu avaruuden eri pisteistä samanaikaisesti, mutta et voi määrittää niistä liikkeen tosiasiaa (luonnollisesti tarvitset edelleen lisätietoja laskelmia varten, trigonometria auttaa sinua). Mihin haluan keskittyä Erityistä huomiota, on se, että kaksi pistettä ajassa ja kaksi pistettä avaruudessa ovat eri asioita, joita ei pidä sekoittaa, koska ne tarjoavat erilaisia ​​mahdollisuuksia tutkimiseen.

Keskiviikkona 4.7.2018

Erot setin ja multisetin välillä on kuvattu hyvin Wikipediassa. Me katsomme.

Kuten näet, "joukossa ei voi olla kahta identtistä elementtiä", mutta jos joukossa on identtisiä elementtejä, tällaista joukkoa kutsutaan "multisiksi". Järkevät olennot eivät koskaan ymmärrä tällaista absurdin logiikkaa. Tämä on taso puhuvia papukaijoja ja koulutetut apinat, joiden mieli puuttuu sanasta "täysin". Matemaatikot toimivat tavallisina kouluttajina ja saarnaavat meille absurdeja ideoitaan.

Olipa kerran sillan rakentaneet insinöörit olivat sillan alla veneessä sillan kokeiden aikana. Jos silta romahti, keskinkertainen insinööri kuoli luomansa raunioiden alle. Jos silta kesti kuormituksen, lahjakas insinööri rakensi muita siltoja.

Riippumatta siitä, kuinka matemaatikot piiloutuvat lauseen "huomaa minua, olen kotona" tai pikemminkin "matematiikka tutkii abstrakteja käsitteitä" taakse, on olemassa yksi napanuora, joka yhdistää ne erottamattomasti todellisuuteen. Tämä napanuora on rahaa. Sovelletaan matemaattista joukkoteoriaa matemaatikoihin itseensä.

Opiskelimme matematiikkaa erittäin hyvin ja nyt istumme kassalla ja maksamme palkkoja. Täällä matemaatikko tulee meille rahoilleen. Laskemme hänelle koko summan ja levitämme sen pöydällemme eri pinoihin, joihin laitamme samanarvoisia seteleitä. Sitten otamme yhden laskun jokaisesta pinosta ja annamme matemaatikolle hänen "matemaattisen palkkasarjansa". Selitämme matematiikan, että hän saa loput laskut vasta kun hän osoittaa, että joukko ilman identtisiä elementtejä ei ole sama kuin joukko, jossa on identtisiä alkioita. Tästä hauskuus alkaa.

Ensinnäkin kansanedustajien logiikka toimii: "se voi soveltaa muihin, mutta ei minuun!" Lisäksi aletaan varmistua siitä, että samanarvoisissa seteleissä on eri setelinumeroita, joten niitä ei voida pitää identtisinä elementteinä. No, me laskemme palkan kolikoissa - kolikoissa ei ole numeroita. Täällä matemaatikko muistelee kiihkeästi fysiikkaa: eri kolikoissa on eri määrä likaa, kunkin kolikon kiderakenne ja atomien järjestely on ainutlaatuinen ...

Ja nyt minulla on eniten kiinnostusta Kysy: missä on raja, jonka jälkeen monijoukon elementit muuttuvat joukon elementeiksi ja päinvastoin? Tällaista linjaa ei ole olemassa - shamaanit päättävät kaikesta, tiede ei ole edes lähellä.

Kuulehan. Valitsemme jalkapallostadionit, joilla on sama kenttäalue. Kenttien pinta-ala on sama, mikä tarkoittaa, että meillä on multiset. Mutta jos otamme huomioon samojen stadionien nimet, saamme paljon, koska nimet ovat erilaisia. Kuten näet, sama elementtijoukko on samanaikaisesti sekä joukko että monijoukko. Kuinka oikein? Ja tässä matemaatikko-shamaani-shuller ottaa valttiässän hihastaan ​​ja alkaa kertoa meille joko setistä tai multisetistä. Joka tapauksessa hän saa meidät vakuuttuneeksi siitä, että hän on oikeassa.

Ymmärtääksemme, kuinka nykyaikaiset shamaanit toimivat joukkoteorian kanssa ja sitovat sen todellisuuteen, riittää, kun vastaat yhteen kysymykseen: kuinka yhden joukon elementit eroavat toisen joukon elementeistä? Näytän sinulle ilman mitään "ei ole ajateltavissa yhtenä kokonaisuutena" tai "ei ajateltavissa yhtenä kokonaisuutena".

sunnuntaina 18. maaliskuuta 2018

Luvun numeroiden summa on shamaanien tanssi tamburiinilla, jolla ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa. Kyllä, matematiikan tunneilla meitä opetetaan etsimään luvun numeroiden summa ja käyttämään sitä, mutta he ovat shamaaneja sitä varten, opettaakseen jälkeläisilleen heidän taitojaan ja viisauttaan, muuten shamaanit yksinkertaisesti kuolevat sukupuuttoon.

Tarvitsetko todisteita? Avaa Wikipedia ja yritä löytää "Luvun numeroiden summa" -sivu. Häntä ei ole olemassa. Matematiikassa ei ole kaavaa, jolla voit löytää minkä tahansa luvun numeroiden summan. Loppujen lopuksi luvut ovat graafisia symboleja, joilla kirjoitamme numeroita, ja matematiikan kielellä tehtävä kuulostaa tältä: "Etsi mitä tahansa numeroa edustavien graafisten symbolien summa." Matemaatikot eivät voi ratkaista tätä ongelmaa, mutta shamaanit voivat tehdä sen alkeellisesti.

Selvitetään, mitä ja miten teemme löytääksemme tietyn luvun numeroiden summan. Ja niin, oletetaan, että meillä on numero 12345. Mitä on tehtävä tämän luvun numeroiden summan löytämiseksi? Harkitsemme kaikkia vaiheita järjestyksessä.

1. Kirjoita numero paperille. Mitä me olemme tehneet? Olemme muuntaneet numeron numerograafiseksi symboliksi. Tämä ei ole matemaattinen operaatio.

2. Leikkaamme yhden vastaanotetun kuvan useiksi kuviksi, joissa oli erilliset numerot. Kuvan leikkaaminen ei ole matemaattinen operaatio.

3. Muunna yksittäiset graafiset merkit numeroiksi. Tämä ei ole matemaattinen operaatio.

4. Laske yhteen saadut luvut. Nyt se on matematiikkaa.

Numeron 12345 numeroiden summa on 15. Nämä ovat matemaatikoiden käyttämiä shamaanien "leikkaus- ja ompelukursseja". Mutta siinä ei vielä kaikki.

Matematiikan kannalta ei ole väliä kumpaan numerojärjestelmään numero kirjoitetaan. Joten sisään erilaisia ​​järjestelmiä laskettaessa saman luvun numeroiden summa on erilainen. Matematiikassa lukujärjestelmä ilmoitetaan alaindeksinä luvun oikealla puolella. Suurella luvulla 12345 en halua huijata päätäni, harkitse artikkelin numeroa 26. Kirjoitetaan tämä luku binääri-, oktaali-, desimaali- ja heksadesimaalilukujärjestelmiin. Emme tarkastele jokaista askelta mikroskoopin alla, olemme jo tehneet sen. Katsotaanpa tulosta.

Kuten näet, eri numerojärjestelmissä saman numeron numeroiden summa on erilainen. Tällä tuloksella ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa. Aivan kuin suorakulmion alueen löytäminen metreinä ja senttimetreinä antaisi täysin erilaisia ​​tuloksia.

Nolla kaikissa numerojärjestelmissä näyttää samalta, eikä siinä ole numeroiden summaa. Tämä on toinen argumentti sen tosiasian puolesta, että . Kysymys matemaatikoille: miten matematiikassa ilmaistaan ​​sitä, mikä ei ole luku? Mitä matemaatikoille ei ole olemassa mitään muuta kuin numeroita? Shamaaneille voin sallia tämän, mutta tiedemiehille en. Todellisuus ei ole vain numeroita.

Saatua tulosta tulee pitää todisteena siitä, että lukujärjestelmät ovat lukujen mittayksiköitä. Emmehän voi verrata lukuja eri mittayksiköihin. Jos samat toimet saman suuren eri mittayksiköillä johtavat erilaisia ​​tuloksia Kun niitä on vertailtu, sillä ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa.

Mitä on oikea matematiikka? Tällöin matemaattisen toiminnon tulos ei riipu luvun arvosta, käytetystä mittayksiköstä ja siitä, kuka tämän toiminnon suorittaa.

Kyltti ovessa Avaa oven ja sanoo:

Auts! Eikö tämä ole naisten vessa?
- Nuori nainen! Tämä on laboratorio, jossa tutkitaan sielujen loputonta pyhyyttä taivaaseen nousemisen yhteydessä! Nimbus päällä ja nuoli ylös. Mikä muu wc?

Naaras... Halo päällä ja nuoli alas on miespuolinen.

Jos sinulla on tällainen taideteos, joka vilkkuu silmiesi edessä useita kertoja päivässä,

Sitten ei ole yllättävää, että löydät yhtäkkiä oudon kuvakkeen autostasi:

Itse pyrin näkemään miinus neljä astetta kakkaavassa ihmisessä (yksi kuva) (usean kuvan kokoonpano: miinusmerkki, numero neljä, asteen merkintä). Enkä pidä tätä tyttöä typeränä, joka ei tunne fysiikkaa. Hänellä on vain stereotypia graafisten kuvien käsityksestä. Ja matemaatikot opettavat meille tätä koko ajan. Tässä on esimerkki.

1A ei ole "miinus neljä astetta" tai "yksi a". Tämä on "kakkava mies" tai luku "kaksikymmentäkuusi" heksadesimaalilukujärjestelmässä. Ne ihmiset, jotka työskentelevät jatkuvasti tässä numerojärjestelmässä, näkevät numeron ja kirjaimen automaattisesti yhtenä graafisena symbolina.

Itse asiassa tarina nollalla jaosta kummitteli keksijänsä (a). Mutta intialaiset ovat filosofeja, jotka ovat tottuneet abstrakteihin ongelmiin. Mitä tarkoittaa jakaa ei mitään? Tuon ajan eurooppalaisille tällaista kysymystä ei ollut ollenkaan, koska he eivät tienneet nollasta tai negatiivisista luvuista (jotka ovat asteikon nollan vasemmalla puolella).

Intiassa suuren vähentäminen pienemmästä ja negatiivisen luvun saaminen ei ollut ongelma. Loppujen lopuksi, mitä 3-5 \u003d -2 tarkoittaa tavallinen elämä? Tämä tarkoittaa, että joku oli jollekin velkaa 2. Negatiivisia lukuja kutsuttiin veloiksi.

Käsitellään nyt yhtä yksinkertaisesti nollalla jakamista. Takaisin vuonna 598 jKr (miettele kuinka kauan sitten, yli 1400 vuotta sitten!) Intiassa syntyi matemaatikko Brahmagupta, joka myös ihmetteli nollalla jakamista.

Hän ehdotti, että jos otamme sitruunan ja alamme leikata sitä paloiksi, tulemme ennemmin tai myöhemmin siihen tosiasiaan, että viipaleet ovat hyvin pieniä. Mielikuvituksessa voimme saavuttaa pisteen, jossa viipaleet ovat yhtä suuret kuin nolla. Joten kysymys kuuluu, jos jaat sitruunan ei 2, 4 tai 10 osaan, vaan äärettömään määrään osia, minkä kokoisia viipaleet ovat?

Saat äärettömän määrän "nollaviipaleita". Kaikki on melko yksinkertaista, leikkaamme sitruunan erittäin hienoksi, saamme lätäkön, jossa on ääretön määrä osia.

Mutta jos otat matematiikan käyttöön, se osoittautuu jotenkin epäloogiselta

a*0=0? Mitä jos b*0=0? Joten: a*0=b*0. Ja täältä: a=b. Eli mikä tahansa luku on yhtä suuri kuin mikä tahansa luku. Ensimmäinen virhe nollalla jaossa, jatketaan. Matematiikassa jakoa pidetään kertolaskujen käänteisenä.

Tämä tarkoittaa, että jos jaamme 4 kahdella, meidän on löydettävä luku, joka kerrottuna 2:lla antaa 4. Jaa 4 nollalla - sinun on löydettävä luku, joka kerrottuna nollalla antaa 4. Eli x * 0 \u003d 4? Mutta x*0=0! Taas huonoa tuuria. Joten kysymme: "Kuinka monta nollaa sinun on otettava saadaksesi 4?" Infinity? Ääretön määrä nollia laskee silti nollaan.

Ja 0:n jakaminen 0:lla antaa yleensä epävarmuuden, koska 0 * x \u003d 0, missä x on mitä tahansa. Eli ratkaisuja on ääretön määrä.

Epäloogista ja abstraktia nollaoperaatiot eivät ole sallittuja algebran kapeissa rajoissa, tarkemmin sanottuna se on epämääräinen operaatio. Hän tarvitsee laitteen. vakavampi - korkeampi matematiikka. Joten jollain tapaa nollalla ei voi jakaa, mutta jos todella haluaa, niin nollalla voi, mutta pitää olla valmis ymmärtämään sellaisia ​​asioita kuin Dirac-deltafunktio ja muut vaikeasti ymmärrettävät asiat. Jaa terveyden vuoksi.

Nollalla jakaminen matematiikassa jako, jossa jakaja on nolla. Tällainen jako voidaan kirjoittaa muodollisesti ⁄ 0, missä on osinko.

Tavallisessa aritmetiikassa (reaaliluvuilla) tällä lausekkeella ei ole järkeä, koska:

• kun ≠ 0, ei ole olemassa lukua, joka kerrottuna 0:lla antaisi, joten yhtäkään lukua ei voida ottaa osamääräksi ⁄ 0;
• kun = 0, nollalla jako on myös määrittelemätön, koska mikä tahansa luku nollalla kerrottuna antaa 0:n ja voidaan ottaa osamääränä 0 ⁄ 0.

Historiallisesti yksi ensimmäisistä viittauksista arvon ⁄ 0 määrittämisen matemaattiseen mahdottomuuteen on George Berkeleyn infinitesimaalilaskentaa koskevassa kritiikissä.

Logiikkavirheet

Koska kerrottaessa mikä tahansa luku nollalla, tuloksena saadaan aina nolla, jakamalla lausekkeen molemmat osat × 0 = × 0, mikä on totta riippumatta arvosta ja 0:lla, saadaan lauseke = , joka on väärin mielivaltaisesti annettujen muuttujien tapauksessa. Koska nolla voidaan antaa implisiittisesti, mutta melko monimutkaisen matemaattisen lausekkeen muodossa, esimerkiksi kahden arvon erotuksena, joka on vähennetty toisiinsa algebrallisilla muunnoksilla, tällainen jako voi olla melko ilmeinen virhe. Tällaisen jaon huomaamaton sisällyttäminen todistusprosessiin selvästi erilaisten suureiden identiteetin osoittamiseksi, mikä todistaa minkä tahansa absurdin väitteen, on yksi matemaattisen sofismin lajikkeista.

Tietojenkäsittelytieteessä

Ohjelmointikielestä, tietotyypistä ja osingon arvosta riippuen nollalla jakamisyritys voi johtaa erilaisiin seurauksiin. Nollalla jakamisen seuraukset kokonaisluku- ja todellisessa aritmetiikassa ovat pohjimmiltaan erilaisia:

• Yrittää kokonaisluku nollalla jako on aina kriittinen virhe, joka tekee mahdottomaksi jatkaa ohjelman suorittamista. Se johtaa joko poikkeuksen heittämiseen (jonka ohjelma pystyy käsittelemään itse välttäen näin hätäpysäytyksen) tai ohjelman välittömään pysäyttämiseen kohtalokkaalla virheilmoituksella ja mahdollisesti puhelupinon sisällöllä. Joissakin ohjelmointikielissä, kuten Go, kokonaisluvun jakamista nollavakiolla pidetään syntaksivirheenä, ja se aiheuttaa ohjelman kääntämisen keskeytymisen.
• AT todellinen aritmeettiset seuraukset voivat olla erilaisia ​​eri kielillä:

• poikkeuksen tekeminen tai ohjelman pysäyttäminen, kuten kokonaislukujaolla;
• erityisen ei-numeerisen arvon saaminen toimenpiteen tuloksena. Tällöin laskelmat eivät keskeydy, ja niiden tuloksen voi myöhemmin tulkita ohjelma itse tai käyttäjä mielekkääksi arvoksi tai todisteeksi virheellisistä laskelmista. Yleisesti käytössä on periaate, jonka mukaan jakamalla muoto ⁄ 0, jossa ≠ 0 on liukuluku, tulos on yhtä suuri kuin positiivinen tai negatiivinen (riippuen osingon merkistä) ääretön - tai, ja kun = 0, tuloksena on erityinen arvo NaN (lyhennetty englannista not a number - "ei numero"). Tämä lähestymistapa on otettu käyttöön IEEE 754 -standardissa, jota monet tukevat modernit kielet ohjelmointi.

Satunnaisjako nollalla tietokoneohjelma aiheuttaa joskus kalliita tai vaarallisia vikoja ohjelmaohjatussa laitteistossa. Esimerkiksi 21. syyskuuta 1997 risteilijän USS Yorktown (CG-48) tietokoneistetun ohjausjärjestelmän jaon nollalla. Laivasto Yhdysvalloissa kaikki järjestelmän elektroniset laitteet sammuivat, minkä seurauksena laivan voimalaitos lakkasi toimimasta.

Katso myös

Huomautuksia

Funktio = 1 ⁄ . Kun taipumus nollaan oikealta, taipumus äärettömyyteen; kun se pyrkii nollaan vasemmalta, miinus äärettömään

Jos jaat minkä tahansa luvun nollalla tavanomaisella laskimella, se antaa sinulle kirjaimen E tai sanan Error, eli "virhe".

Tietokonelaskin vastaavassa tapauksessa kirjoittaa (Windows XP:ssä): "Nollalla jakaminen on kielletty."

Kaikki on koulusta tutun säännön mukaista, ettei nollalla saa jakaa.

Katsotaanpa miksi.

Jako on matemaattinen operaatio, joka on kertolaskujen käänteisfunktio. Jako määritellään kertolaskulla.

Jaa luku a(jaa esimerkiksi 8) numerolla b(jakaja, esimerkiksi numero 2) - tarkoittaa sellaisen luvun löytämistä x(osamäärä), kun kerrotaan jakajalla b se osoittautuu jaettavaksi a(4 2 = 8), so. a jaettuna b tarkoittaa yhtälön x · b = a ratkaisemista.

Yhtälö a: b = x vastaa yhtälöä x · b = a.

Korvaamme jakamisen kertolaskulla: 8:n sijaan: 2 = x kirjoitamme x 2 = 8.

8: 2 = 4 vastaa 4 2 = 8

18: 3 = 6 vastaa 6 3 = 18

20: 2 = 10 vastaa 10 2 = 20

Jaon tulos voidaan aina tarkistaa kertomalla. Tuloksena kertomalla jakaja osamäärällä on oltava osinko.

Samalla tavalla yritetään jakaa nollalla.

Esimerkiksi 6: 0 = ... Meidän on löydettävä luku, joka kerrottuna 0:lla antaa 6. Mutta tiedämme, että kun kerrotaan nollalla, saadaan aina nolla. Ei ole olemassa lukua, joka nollalla kerrottuna antaisi jotain muuta kuin nolla.

Kun he sanovat, että nollalla jakaminen on mahdotonta tai kiellettyä, se tarkoittaa, että tällaisen jaon tulosta vastaavaa numeroa ei ole (on mahdollista jakaa nollalla, mutta ei jakaa :)).

Miksi koulussa sanotaan, että nollalla ei voi jakaa?

Siksi sisään määritelmä a:n jakamisessa b:llä korostetaan heti, että b ≠ 0.

Jos kaikki yllä kirjoitettu tuntui liian monimutkaiselta sinulle, se on täysin sormiesi varassa: 8:n jakaminen kahdella tarkoittaa, että saat selville, kuinka monta kakkosta sinun on otettava saadaksesi 8 (vastaus: 4). Jakamalla 18 kolmella, saat selville, kuinka monta kolmoa sinun on otettava saadaksesi 18 (vastaus: 6).

Jakamalla 6 nollalla, selvitetään kuinka monta nollaa sinun on otettava saadaksesi 6. Riippumatta siitä, kuinka monta nollaa otat, saat silti nollan, mutta et koskaan saa 6:ta, eli nollalla jakamista ei ole määritelty.

Mielenkiintoinen tulos saadaan, jos yrität jakaa numeron nollalla Android-laskimessa. Näytössä näkyy ∞ (ääretön) (tai - ∞, jos jaat negatiivisella luvulla). Tämä tulos on epätosi, koska numeroa ∞ ei ole. Ilmeisesti ohjelmoijat ovat sekoittaneet täysin erilaiset toiminnot - lukujen jakaminen ja numeerisen sekvenssin n / x rajan löytäminen, missä x → 0. Kun nolla jaetaan nollalla, kirjoitetaan NaN (Not a Number - Not a number).

"Et voi jakaa nollalla!" - Useimmat oppilaat muistavat tämän säännön ulkoa ilman kysymyksiä. Kaikki lapset tietävät mitä "ei" on ja mitä tapahtuu, jos kysyt vastauksena siihen: "Miksi?" Mutta itse asiassa on erittäin mielenkiintoista ja tärkeää tietää, miksi se on mahdotonta.

Asia on siinä, että aritmeettiset neljä operaatiota - yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku - ovat itse asiassa eriarvoisia. Matemaatikot tunnustavat niistä vain kaksi täysimittaiseksi - yhteen- ja kertolasku. Nämä operaatiot ja niiden ominaisuudet sisältyvät jo lukukäsitteen määritelmään. Kaikki muut toiminnot rakentuvat tavalla tai toisella näistä kahdesta.

Harkitse esimerkiksi vähentämistä. Mitä tarkoittaa 5 - 3 ? Opiskelija vastaa tähän yksinkertaisesti: sinun on otettava viisi esinettä, otettava pois (poistettava) niistä kolme ja katsottava kuinka monta on jäljellä. Mutta matemaatikot tarkastelevat tätä ongelmaa täysin eri tavalla. Ei vähennystä, on vain yhteenlaskua. Siksi merkintä 5 - 3 tarkoittaa numeroa, joka lisätään numeroon 3 antaa numeron 5 . Tuo on 5 - 3 on vain lyhenne yhtälöön: x + 3 = 5. Tässä yhtälössä ei ole vähennyslaskua.

Nollalla jakaminen

On vain tehtävä - löytää sopiva numero.

Sama pätee kerto- ja jakolaskuihin. Äänite 8: 4 voidaan ymmärtää tuloksena kahdeksan esineen jakamisesta neljään yhtä suureen kasaan. Mutta se on oikeastaan ​​vain yhtälön lyhennetty muoto 4 x = 8.

Tässä tulee selväksi, miksi on mahdotonta (tai pikemminkin mahdotonta) jakaa nollalla. Äänite 5: 0 on lyhenne sanasta 0 x = 5. Eli tämä tehtävä on löytää luku, joka kerrottuna 0 tulee antamaan 5 . Mutta tiedämme sen kerrottuna 0 aina käy ilmi 0 . Tämä on nollan luontainen ominaisuus, tarkasti ottaen osa sen määritelmää.

Numero, joka kerrottuna 0 antaa jotain muuta kuin nollaa, sitä ei vain ole olemassa. Eli ongelmallamme ei ole ratkaisua. (Kyllä, sitä tapahtuu, jokaiseen ongelmaan ei ole ratkaisua.) 5: 0 ei vastaa mitään tiettyä numeroa, eikä se yksinkertaisesti tarkoita mitään, joten siinä ei ole järkeä. Tämän merkinnän merkityksettömyys ilmaistaan ​​lyhyesti sanomalla, että nollalla ei voi jakaa.

Tarkkaimmat lukijat kysyvät tässä vaiheessa varmasti: onko mahdollista jakaa nolla nollalla?

Todellakin, yhtälöstä lähtien 0 x = 0 onnistuneesti ratkaistu. Voit esimerkiksi ottaa x=0, ja sitten saamme 0 0 = 0. Se käy ilmi 0: 0=0 ? Mutta älkäämme kiirettäkö. Yritetään ottaa x=1. Saada 0 1 = 0. oikein? tarkoittaa, 0: 0 = 1 ? Mutta voit ottaa minkä tahansa numeron ja saada 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 jne.

Mutta jos mikä tahansa numero on sopiva, meillä ei ole mitään syytä valita yhtäkään niistä. Eli emme voi sanoa, mikä numero vastaa merkintää 0: 0 . Ja jos näin on, meidän on pakko myöntää, että tässäkään levyssä ei ole järkeä. Osoittautuu, että edes nollaa ei voida jakaa nollalla. (AT matemaattinen analyysi on tapauksia, joissa ongelman lisäehtojen vuoksi voidaan antaa etusija jollekin mahdollisista vaihtoehdoista yhtälön ratkaisemiseksi 0 x = 0; sellaisissa tapauksissa matemaatikot puhuvat "määrittömyyden paljastamisesta", mutta aritmetiikassa tällaisia ​​tapauksia ei esiinny.)

Tämä on jakotoiminnan ominaisuus. Tarkemmin sanottuna kertolaskuoperaatiolla ja siihen liittyvällä numerolla on nolla.

No, tarkimmat, tähän asti lukeneet, voivat kysyä: miksi et voi jakaa nollalla, mutta voit vähentää nollasta? Tietyssä mielessä todellinen matematiikka alkaa tästä. Siihen voidaan vastata vain tutustumalla numeeristen joukkojen muodollisiin matemaattisiin määritelmiin ja niiden operaatioihin. Se ei ole niin vaikeaa, mutta jostain syystä sitä ei opeteta koulussa. Mutta yliopiston matematiikan luennoilla sinulle opetetaan tämä ensin.

Jakofunktiota ei ole määritetty alueelle, jossa jakaja on nolla. Voit jakaa, mutta tulosta ei ole määritelty

Et voi poistaa nollasta. Matematiikka lukion 2 luokkaa.

Jos muistini ei petä, niin nolla voidaan esittää äärettömänä pienenä arvona, joten ääretöntä tulee olemaan. Ja koulu "nolla - ei mitään" on vain yksinkertaistus, niitä on niin paljon koulumatematiikassa. Mutta ilman niitä millään tavalla, kaikki ajallaan.

Kirjaudu sisään kirjoittaaksesi vastauksen

Nollalla jakaminen

Yksityinen alkaen nollalla jakaminen ei ole muuta numeroa kuin nolla.

Päättely tässä on seuraava: koska tässä tapauksessa mikään luku ei voi täyttää osamäärän määritelmää.

kirjoitetaan esim.

riippumatta siitä, minkä numeron otat testaukseen (esim. 2, 3, 7), se ei ole hyvä, koska:

\[ 2 0 = 0 \]

\[ 3 0 = 0 \]

\[ 7 0 = 0 \]

Mitä tapahtuu, jos jaat 0:lla?

jne., mutta sinun on päästävä tuotteeseen 2,3,7.

Voimme sanoa, että ongelmalle, joka koskee muun luvun kuin nollan jakamista nollalla, ei ole ratkaisua. Nollasta poikkeava luku voidaan kuitenkin jakaa mielivaltaisesti lähellä nollaa olevalla luvulla, ja mitä lähempänä jakaja on nollaa, sitä suurempi osamäärä on. Joten jos jaamme 7:llä

\[ \frac(1)(10), \frac(1)(100), \frac(1)(1000), \frac(1)(10000) \]

sitten saamme yksityiset 70, 700, 7000, 70 000 jne., jotka kasvavat loputtomasti.

Siksi usein sanotaan, että osamäärä, jossa 7 jaetaan nollalla, on "äärettömän suuri" tai "yhtä kuin ääretön", ja he kirjoittavat

\[7:0 = \infin\]

Tämän lausekkeen merkitys on, että jos jakaja lähestyy nollaa ja osinko pysyy yhtä suurena kuin 7 (tai lähestyy 7), niin osamäärä kasvaa loputtomasti.

"Et voi jakaa nollalla!" - Useimmat koululaiset muistavat tämän säännön ulkoa kysymättä kysymyksiä. Kaikki lapset tietävät mitä "ei" on ja mitä tapahtuu, jos kysyt vastauksena siihen: "Miksi?" Mutta itse asiassa on erittäin mielenkiintoista ja tärkeää tietää, miksi se on mahdotonta.

Asia on siinä, että aritmeettiset neljä operaatiota - yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku - ovat itse asiassa eriarvoisia. Matemaatikot tunnustavat niistä vain kaksi täysimittaiseksi - yhteen- ja kertolasku. Nämä operaatiot ja niiden ominaisuudet sisältyvät jo lukukäsitteen määritelmään. Kaikki muut toiminnot rakentuvat tavalla tai toisella näistä kahdesta.

Harkitse esimerkiksi vähentämistä. Mitä 5-3 tarkoittaa? Opiskelija vastaa tähän yksinkertaisesti: sinun on otettava viisi esinettä, otettava pois (poistettava) niistä kolme ja katsottava kuinka monta on jäljellä. Mutta matemaatikot tarkastelevat tätä ongelmaa täysin eri tavalla. Ei vähennystä, on vain yhteenlaskua. Siksi 5 - 3 kirjoittaminen tarkoittaa lukua, joka, kun se lisätään numeroon 3, antaa luvun 5. Eli 5 - 3 on vain yhtälön lyhennetty merkintä: x + 3 = 5. Ei vähennyslaskua. tämä yhtälö. On vain tehtävä - löytää sopiva numero.

Sama pätee kerto- ja jakolaskuihin. Tietue 8: 4 voidaan ymmärtää tuloksena kahdeksan esineen jakamisesta neljään yhtä suureen kasaan. Mutta todellisuudessa tämä on vain yhtälön 4 x = 8 lyhennetty muoto.

Tässä tulee selväksi, miksi on mahdotonta (tai pikemminkin mahdotonta) jakaa nollalla. Tietue 5: 0 on lyhenne luvusta 0 x = 5. Eli tämä tehtävä on löytää luku, joka kerrottuna 0:lla antaa 5. Mutta tiedämme, että kun kerrotaan 0:lla, se tulee aina olemaan 0. Tämä on nollan luontainen ominaisuus, tarkasti ottaen osa sen määritelmää.

Sellaista lukua ei yksinkertaisesti ole, joka kerrottuna 0:lla antaisi jotain muuta kuin nollan. Eli ongelmallamme ei ole ratkaisua. (Kyllä, niin tapahtuu, ei jokaiseen ongelmaan ole ratkaisua.) Joten 5:0 kirjoittaminen ei vastaa mitään tiettyä numeroa, eikä se yksinkertaisesti tarkoita mitään, joten siinä ei ole järkeä. Tämän merkinnän merkityksettömyys ilmaistaan ​​lyhyesti sanomalla, että nollalla ei voi jakaa.

Tarkkaimmat lukijat kysyvät tässä vaiheessa varmasti: onko mahdollista jakaa nolla nollalla? Todellakin, yhtälö 0 x = 0 on ratkaistu onnistuneesti. Voimme esimerkiksi ottaa x = 0, ja sitten saamme 0 0 = 0. Eli 0: 0=0? Mutta älkäämme kiirettäkö. Yritetään ottaa x = 1. Saamme 0 1 = 0. Eikö? Eli 0:0 = 1? Mutta voit ottaa minkä tahansa luvun tällä tavalla ja saada 0: 0 = 5, 0: 0 = 317 jne.

Mutta jos mikä tahansa numero on sopiva, meillä ei ole mitään syytä valita yhtäkään niistä. Eli emme voi sanoa mitä numeroa merkintä 0: 0 vastaa. Ja jos on, niin meidän on pakko myöntää, ettei tämäkään merkintä ole järkevä. Osoittautuu, että edes nollaa ei voida jakaa nollalla. (Laskennassa on tapauksia, joissa ongelman lisäehdoista johtuen voidaan suosia yhtälön 0 x = 0 mahdollisista ratkaisuista; sellaisissa tapauksissa matemaatikot puhuvat "epävarmuuden paljastamisesta", mutta aritmetiikassa sellaisissa tapauksissa ei tapahdu.)

Tämä on jakotoiminnan ominaisuus. Tarkemmin sanottuna kertolaskuoperaatiossa ja siihen liittyvässä luvussa on nolla.

No, tarkimmat, tähän asti lukeneet, voivat kysyä: miksi et voi jakaa nollalla, mutta voit vähentää nollasta? Tietyssä mielessä todellinen matematiikka alkaa tästä. Siihen voidaan vastata vain tutustumalla numeeristen joukkojen muodollisiin matemaattisiin määritelmiin ja niiden operaatioihin. Se ei ole niin vaikeaa, mutta jostain syystä sitä ei opeteta koulussa. Mutta yliopiston matematiikan luennoilla he ensinnäkin opettavat sinulle juuri tämän.

Vapaaehtoinen lukijan panos hankkeen tukemiseen

• opetusohjelma

3-vuotias tyttäreni Sofia viime aikoina mainitsee usein "nollan", esimerkiksi tässä yhteydessä:

- Sonya, et näyttänyt aluksi tottelevan, ja sitten tottelit, mitä tapahtuu? ..
- No... nolla!

Nuo. negatiivisten lukujen tunne ja nollan neutraalisuus on jo, oi kuinka. Pian hän kysyy: miksi on mahdotonta jakaa nollalla?
Ja niin päätin yksinkertaisin termein kirjoita ylös kaikki mitä vielä muistan nollalla jaosta ja kaikesta muusta.

Yleensä on parempi nähdä jakautuminen kerran kuin kuulla se sata kertaa.
No, tai yksi jaettuna x kertaa nähdäksesi...

Tässä on heti selvää, että nolla on elämän, maailmankaikkeuden ja kaiken sen keskus. Vastaa pääkysymys kaikesta tästä, anna itsesi olla 42, mutta keskipiste - millään tavalla 0. Sillä ei ole edes merkkiä, ei plussaa (toteli) eikä miinusta (ei totellut), se on todella nolla. Ja hän tietää paljon sioista.

Sillä jos mikä tahansa sika kerrotaan nollalla, niin sika imetään tähän pyöreään mustaan ​​aukkoon ja saadaan taas nolla. Tämä nolla ei ole niin neutraali, kun on kysymys yhteen- ja vähennyslaskussa kertolaskussa, puhumattakaan jaosta... Jos nolla on "0 / x":n päällä, niin taas musta aukko. Kaikki menee nollaan. Mutta jos jaon aikana ja jopa alhaalta - "x / 0", se alkaa ... seuraa valkoista kania, Sonya!

Koulussa he sanovat sinulle "et voi jakaa nollalla", eivätkä he punastu. Todisteeksi he pistävät "1/0 =" laskimeen ja tavallinen laskin, myös punastumatta, kirjoittaa "E", "Error", he sanovat, "se on mahdotonta - se tarkoittaa, että se on mahdotonta." Vaikka mitä pidetään tavallisena laskimena, on toinen kysymys. Nyt, vuonna 2014, tavallinen Android-puhelimen laskin kirjoittaa minulle jotain aivan muuta:

Vau ääretön. Liu'uta silmiäsi, leikkaa ympyröitä. Täällä et voi. Osoittautuu, että voit. Jos huolella. Koska älä ole varovainen, Androidini ei ole vielä samaa mieltä: "0/0=Error", taas et voi. Yritetään uudelleen: "-1/0 = -∞", oi kuinka. Mielenkiintoinen mielipide, mutta en ole samaa mieltä. Koska en ole samaa mieltä "0/0=Error" kanssa.

Muuten, nykypäivän sivustoja ohjaava JavaScript on myös eri mieltä Android-laskimen kanssa: mene selainkonsoliin (vielä F12?) ja kirjoita sinne: "0/0" (syötä). JS vastaa sinulle: "NaN". Se ei ole virhe. Tämä on "Ei numero" - ts. jotain sellaista, mutta ei numeroa. Vaikka "1/0" JS ymmärtää myös "Infinity". Se on lähempänä. Mutta kunhan on lämmintä...

Yliopistossa - korkeampi matematiikka. On rajoja, napoja ja muuta shamanismia. Ja kaikki muuttuu monimutkaisemmaksi, monimutkaisemmaksi, he lyövät pensasta, mutta eivät vain riko matematiikan kristallilakeja. Mutta jos et yritä kirjoittaa nolla-jakoa näihin olemassa oleviin lakeihin, voit tuntea tämän fantasian - sormillasi.

Katsotaanpa tätä jakoa uudelleen:

Seuraa oikeaa linjaa oikealta vasemmalle. Mitä lähempänä x on nollaa, sitä vahvemmin x:llä jaettuna lentää ylöspäin. Ja jossain pilvissä "plus ääretön". Hän on aina kauempana, kuten horisontti, et saa häntä kiinni.

Seuraa nyt vasenta riviä vasemmalta oikealle. Sama tarina, vain nyt jaettu lentää alas, äärettömästi alas, "miinus äärettömyyteen". Tästä johtuu mielipide, että "1/0= +∞" ja "-1/0 = 1/-0 = -∞".

Mutta temppu on, että "0 = -0", nollalla ei ole merkkiä, jos et monimutkaista rajojen kanssa. Ja jos jaat yhden sellaisella "yksinkertaisella" nollalla ilman merkkiä, eikö ole loogista olettaa, että myös äärettömyys tulee esiin - "vain" ääretön, ilman merkkiä, kuten nolla. Missä se on - ylä- vai alapuolella? Se on kaikkialla - äärettömän kaukana nollasta kaikkiin suuntiin. Tämä on nolla nurinpäin. Nolla - ei mitään. Infinity on kaikki kaikessa. Sekä positiivista että negatiivista. Yleisesti ottaen kaikki. Ja heti. Ehdoton.

Mutta siinä oli jotain "0/0", jotain muuta, ei äärettömyyttä... Tehdään tämä temppu: "2 * 0 = 0", joo, opettaja koulussa sanoo. Myös: "3 * 0 = 0" - taas, joo. Ja kun on vähän sylkenyt "nollalla ei voi jakaa", he sanovat, että koko maailma on jo hitaasti jakautumassa, saamme: "2=0/0" ja "3=0/0". Millä luokalla se pidetään, tietysti vain ilman nollaa.

Hetkinen, selviää "2 = 0/0 = 3", "2 = 3"?! Siksi he pelkäävät, siksi he "eivät voi". Vain "0/0" on huonompi kuin "1/0", jopa Android-laskin pelkää sitä.

Ja emme pelkää! Koska meillä on matematiikan mielikuvituksen voima. Voimme kuvitella itsemme äärettömänä Absoluuttina jossain tähtien sisällä, katsoa sieltä äärellisten lukujen ja ihmisten syntiseen maailmaan ja ymmärtää, että tästä näkökulmasta katsottuna he ovat kaikki samanlaisia. Ja "2" c "3" ja jopa "-1" ja ehkä myös opettaja koulussa.

Oletan siis vaatimattomasti, että 0/0 on koko äärellinen maailma, tai pikemminkin kaikki mikä ei ole ääretöntä eikä tyhjyyttä.

Tältä nolla jaettuna x:llä näyttää fantasioissani, kaukana virallisesta matematiikasta. Itse asiassa se näyttää 1 / x, vain taivutus ei ole yksi, vaan nolla. Muuten, 2/x:llä on taivutus kahdessa ja 0,5/x:llä on taivutus 0,5:ssä.

Osoittautuu, että 0/x x=0 saa kaikki äärelliset arvot - ei äärettömyyttä, ei tyhjyyttä. Kaaviossa on reikä nollassa, akselit näkyvät.

Tietysti voidaan vastustaa, että "0 * 0 = 0", mikä tarkoittaa, että myös nolla (tyhjyys) kuuluu luokkaan 0/0. Juoksen hieman eteenpäin - tulee nollaasteita ja tämä vastalause hajoaa palasiksi.

Oho, äärettömässä oleva voidaan kirjoittaa myös 0/0:ksi, niin käy ilmi (0/0)/0 - ääretön. Nyt järjestys, kaikki voidaan ilmaista nollien suhteella.

Jos esimerkiksi lisäät äärellisen äärettömyyteen, niin ääretön absorboi äärellisen ja pysyy äärettömänä:
1/0 + 0/0 = (1+0)/0 = 1/0.

Ja jos äärettömyys kerrotaan tyhjyydellä, ne imevät toisensa ja saadaan rajallinen maailma:
1/0 * 0 = (1*0)/0 = 0/0.

Mutta tämä on vasta unelmien ensimmäinen taso. Voit kaivaa syvemmälle.

Jos tiedät jo käsitteen "luvun potenssi" ja "1/x = x^-1", niin voit hieman miettien siirtyä kaikista näistä jaoista ja hakasulkeista (kuten (0/0)/ 0) vain tehoihin:

1/0 = 0^-1
0/0 = 0^0
0 = 0^1

Vihje.
Täällä äärettömyyden ja tyhjyyden kanssa kaikki on yksinkertaista, kuten koulussa. Ja rajallinen maailma menee näin:

0/0
= (0*1)/0
= 0*(1/0)
= 0 * 1/0
= 0^1 * 0^-1
= 0^(1 + -1)
= 0^(1-1)
= 0^0.

Uff!

Osoittautuu, että nollan positiiviset potenssit ovat nollia, negatiiviset asteet nolla on ääretön, ja nollan nollavoima on äärellinen maailma.

Näin universaali objekti "0^x" osoittautuu. Tällaiset esineet ovat täydellisesti vuorovaikutuksessa keskenään, jälleen ne noudattavat monia lakeja, kauneutta yleensä.

Vaatimaton matematiikan tietoni riitti muodostamaan heistä Abelin ryhmän, joka tyhjiössä eristettynä ("vain abstraktit objektit, sellainen merkintätapa, kuin eksponentti") kesti jopa tyylikkäimmän matematiikan opettajan kokeen. tuomio "mielenkiintoista, mutta mikään ei onnistu". Jotain tässä kuitenkin paljastuu, tämä on tabu - jako nollalla. Yleensä älä vaivaudu.

Yritetään yksinkertaisesti kertoa ääretön äärellisellä luvulla:
0^-1 * 0^0 = 0^(-1 + 0) = 0^-1.

Jälleen ääretön nieli äärellisen luvun samalla tavalla kuin sen antipodi nolla nielee äärelliset luvut, sama musta aukko:
0^1 * 0^0 = 0^(1 + 0) = 0^1.

Ja käy ilmi, että asteet ovat kuin vahvuus. Nuo. toisen asteen nolla on voimakkaampi kuin tavallinen nolla (ensimmäisen asteen nolla 0^1). Ja ääretön miinus toinen aste on vahvempi kuin tavallinen ääretön (0^-1).

Ja kun tyhjyys törmää absoluuttiseen, he mittaavat voimansa - kenellä on enemmän, hän voittaa:
0^1 * 0^-2 = 0^(1 + -2) = 0^-1 = ∞.
0^2 * 0^-1 = 0^(2 + -1) = 0^1 = 0.

Jos ne ovat yhtä vahvoja, ne tuhoutuvat ja rajallinen maailma jää:
0^1 * 0^-1 = 0^(1 + -1) = 0^0.

Muuten, virallinen matematiikka on jo lähellä. Sen edustajat tietävät "napoista" ja siitä, että napoilla on eri vahvuudet (järjestys), samoin kuin "k:n nollasta". Mutta he tallaavat edelleen kiinteää pintaa "vieressä" ja pelkäävät hypätä mustaan ​​aukkoon.

Ja viimeinen minulle on unelmien kolmas taso. Esimerkiksi nämä ovat kaikki 0^-1 ja 0^-2 - eri vahvuisia äärettömiä. Tai 0^1, 0^2 - eri vahvuisia nollia. Mutta loppujen lopuksi "-1" ja "-2" ja "+1" ja "+2" - siinä kaikki - 0/0, joka vastaa 0 ^ 0, on jo ohitettu. Osoittautuu, että tältä unelmien tasolta ei ole väliä mitä se on - nollat, äärettömät ja jopa rajallinen maailma pääsevät sinne jonkin verran valaistuneena. Jossain vaiheessa. yhdessä kategoriassa. Tätä onnea kutsutaan singulaariseksi.

On myönnettävä, että valaistumisen tilan ulkopuolella en havaitse yhtä pistettä, vaan yhtä kategoriaa - liittoa "0 ^ 0 U 0 ^ (0 ^ 0)" - täysin.

Mitä hyötyä tästä kaikesta voi saada? Loppujen lopuksi jopa vähän vähemmän hulluja "kuvittelukuja", jotka myös repivät laskimia Error = √-1:ssä, ja niistä voisi tulla virallista matematiikkaa ja yksinkertaistaa nyt teräksenvalmistuksen laskelmia.

Kuin kaukaa katsottuna puun lehdet näyttävät samalta, mutta tarkkaan katsottuna ne ovat kaikki erilaisia. Ja jos ajattelet sitä, niin taas sama. Eikä juurikaan eroa sinusta tai minusta. Tai pikemminkin, ne eivät eroa ollenkaan, jos ajattelee lujasti.

Etuna tässä on kyky sekä keskittyä eroihin että abstraktiin. Tämä on erittäin hyödyllistä sekä työssä että elämässä ja jopa kuoleman suhteen.

Nämä ovat matkat jäniksenkolo, Sonya!