Aritmeettinen progressio nimeä numerosarja (etenemisen jäseniä)

Jossa jokainen seuraava termi eroaa edellisestä terästermillä, jota myös kutsutaan askel tai etenemisero.

Siten asettamalla etenemisen askel ja sen ensimmäinen termi, voit löytää minkä tahansa sen elementin kaavan avulla

Ominaisuudet aritmeettinen progressio

1) Jokainen aritmeettisen progression jäsen toisesta numerosta alkaen on etenemisen edellisen ja seuraavan jäsenen aritmeettinen keskiarvo

Päinvastoin on myös totta. Jos progression vierekkäisten parittomien (parillisten) jäsenten aritmeettinen keskiarvo on yhtä suuri kuin niiden välissä oleva jäsen, tämä lukusarja on aritmeettinen progressio. Tämän väitteen perusteella on erittäin helppo tarkistaa mikä tahansa järjestys.

Myös aritmeettisen etenemisen ominaisuuden perusteella yllä oleva kaava voidaan yleistää seuraavaan

Tämä on helppo tarkistaa, jos kirjoitamme termit yhtäläisyysmerkin oikealle puolelle

Sitä käytetään usein käytännössä yksinkertaistamaan laskutoimituksia tehtävissä.

2) Aritmeettisen progression n ensimmäisen jäsenen summa lasketaan kaavalla

Muista hyvin aritmeettisen progression summan kaava, se on välttämätön laskelmissa ja on melko yleinen yksinkertaisissa elämäntilanteissa.

3) Jos sinun ei tarvitse löytää koko summaa, vaan osa sekvenssistä alkaen sen k:nnestä jäsenestä, niin seuraava summakaava on hyödyllinen sinulle

4) Käytännön mielenkiintoista on löytää k:nnestä luvusta alkavan aritmeettisen progression n jäsenen summa. Käytä tätä varten kaavaa

Tähän loppuu teoreettinen materiaali ja siirrytään käytännössä yleisten ongelmien ratkaisemiseen.

Esimerkki 1. Etsi aritmeettisen progression neljäskymmenes termi 4;7;...

Ratkaisu:

Tilanteen mukaan meillä on

Määritä etenemisvaihe

Tunnetun kaavan mukaan löydämme etenemisen neljäskymmenes termin

Esimerkki2. Aritmeettinen progressio annetaan sen kolmannella ja seitsemällä jäsenellä. Etsi progression ensimmäinen termi ja kymmenen summa.

Ratkaisu:

Kirjoitamme annetut etenemisen elementit kaavojen mukaan

Vähennämme ensimmäisen yhtälön toisesta yhtälöstä, minkä tuloksena löydämme etenemisaskeleen

Löytynyt arvo korvataan mihin tahansa yhtälöihin aritmeettisen etenemisen ensimmäisen termin löytämiseksi

Laske edistymisen kymmenen ensimmäisen ehdon summa

Ilman monimutkaisia ​​laskelmia löysimme kaikki vaaditut arvot.

Esimerkki 3. Aritmeettinen progressio annetaan nimittäjästä ja yhdestä sen jäsenistä. Etsi progression ensimmäinen termi, sen 50 termin summa alkaen 50 ja ensimmäisten 100 summa.

Ratkaisu:

Kirjoitetaan kaava etenemisen sadasosalle

ja löytää ensimmäinen

Ensimmäisen perusteella löydämme etenemisen 50. termin

Etenemisen osan summan löytäminen

ja ensimmäisen 100 summa

Jakson summa on 250.

Esimerkki 4

Etsi aritmeettisen progression jäsenten lukumäärä, jos:

a3-a1 = 8, a2 + a4 = 14, Sn = 111.

Ratkaisu:

Kirjoitamme yhtälöt etenemisen ensimmäisen termin ja askeleen mukaan ja määrittelemme ne

Korvaamme saadut arvot summakaavaan määrittääksemme summan jäsenten lukumäärän

Yksinkertaistusten tekeminen

ja ratkaise toisen asteen yhtälö

Kahdesta löydetystä arvosta vain numero 8 sopii ongelman tilaan. Näin ollen etenemisen kahdeksan ensimmäisen ehdon summa on 111.

Esimerkki 5

ratkaise yhtälö

1+3+5+...+x=307.

Ratkaisu: Tämä yhtälö on aritmeettisen progression summa. Kirjoitamme sen ensimmäisen termin ja löydämme etenemisen eron

Jos jokainen luonnollinen luku n vastaa reaalilukua a n , sitten he sanovat, että annettu numerosarja :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Numeerinen sarja on siis luonnollisen argumentin funktio.

Määrä a 1 nimeltään sekvenssin ensimmäinen jäsen , numero a 2 — sekvenssin toinen jäsen , numero a 3 — kolmas ja niin edelleen. Määrä a n nimeltään n:s jäsen sekvenssejä , ja luonnollinen luku n — hänen numeronsa .

kahdelta naapurijäseneltä a n Ja a n +1 jäsensekvenssit a n +1 nimeltään myöhemmin (kohti a n ), A a n — Edellinen (kohti a n +1 ).

Jos haluat määrittää sekvenssin, sinun on määritettävä menetelmä, jonka avulla voit löytää sekvenssin jäsenen millä tahansa numerolla.

Usein sekvenssi on annettu n. termikaavat , eli kaava, jonka avulla voit määrittää sekvenssin jäsenen sen numeron perusteella.

Esimerkiksi,

positiivisten parittomien lukujen sarja voidaan antaa kaavalla

a n= 2n- 1,

ja vuorottelujärjestys 1 Ja -1 -kaava

b n = (-1)n +1 . ◄

Järjestys voidaan määrittää toistuva kaava, eli kaava, joka ilmaisee minkä tahansa sekvenssin jäsenen, alkaen joistakin, edellisten (yhden tai useamman) jäsenen kautta.

Esimerkiksi,

Jos a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jos a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , sitten numerosarjan seitsemän ensimmäistä jäsentä asetetaan seuraavasti:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekvenssit voivat olla lopullinen Ja loputon .

Sarjaa kutsutaan perimmäinen jos sillä on rajallinen määrä jäseniä. Sarjaa kutsutaan loputon jos sillä on äärettömän monta jäsentä.

Esimerkiksi,

kaksinumeroinen sarja luonnolliset luvut:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

lopullinen.

Alkunumerojärjestys:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

loputon. ◄

Sarjaa kutsutaan kasvaa , jos jokainen sen jäsenistä toisesta alkaen on suurempi kuin edellinen.

Sarjaa kutsutaan hiipumassa , jos jokainen sen jäsen toisesta alkaen on pienempi kuin edellinen.

Esimerkiksi,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . on nouseva sekvenssi;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . on laskeva sekvenssi. ◄

Kutsutaan jonoa, jonka alkiot eivät pienene lukumäärän kasvaessa tai päinvastoin eivät kasva monotoninen sarja .

Erityisesti monotoniset sekvenssit ovat kasvavia ja väheneviä sekvenssejä.

Aritmeettinen progressio

Aritmeettinen progressio kutsutaan sekvenssiä, jonka jokainen jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen, johon lisätään sama numero.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

on aritmeettinen progressio jollekin luonnolliselle luvulle n ehto täyttyy:

a n +1 = a n + d,

Missä d - joku numero.

Näin ollen tietyn aritmeettisen progression seuraavan ja edellisen jäsenen välinen ero on aina vakio:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Määrä d nimeltään aritmeettisen progression ero.

Aritmeettisen progression asettamiseksi riittää, että määritetään sen ensimmäinen termi ja erotus.

Esimerkiksi,

Jos a 1 = 3, d = 4 , niin sekvenssin viisi ensimmäistä termiä löytyy seuraavasti:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Aritmeettiselle progressiolle ensimmäisellä termillä a 1 ja ero d hänen n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Esimerkiksi,

etsi aritmeettisen progression kolmaskymmenes termi

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

sitten ilmeisesti

a n=	a n-1 + a n+1
	2

jokainen aritmeettisen progression jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellisen ja seuraavien jäsenten aritmeettinen keskiarvo.

luvut a, b ja c ovat jonkin aritmeettisen progression peräkkäisiä jäseniä, jos ja vain jos toinen niistä on yhtä suuri kuin kahden muun aritmeettinen keskiarvo.

Esimerkiksi,

a n = 2n- 7 , on aritmeettinen progressio.

Käytetään yllä olevaa lausetta. Meillä on:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Siten,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Ota huomioon, että n Aritmeettisen progression -th jäsen löytyy paitsi kautta a 1 , mutta myös kaikki aikaisemmat a k

a n = a k + (n- k)d.

Esimerkiksi,

varten a 5 voidaan kirjoittaa

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

sitten ilmeisesti

a n=	a n-k + a n+k
	2

mikä tahansa aritmeettisen jakson jäsen, alkaen toisesta, on yhtä suuri kuin puolet tämän aritmeettisen progression jäsenten summasta, jotka ovat yhtä kaukana siitä.

Lisäksi jokaiselle aritmeettiselle progressiolle yhtälö on totta:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Esimerkiksi,

aritmeettisessa progressiossa

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, koska

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

ensimmäinen n aritmeettisen progression jäsenet on yhtä suuri kuin puolen ääriterminaalien summan tulo termien lukumäärällä:

Tästä seuraa erityisesti, että jos on tarpeen summata ehdot

a k, a k +1 , . . . , a n,

silloin edellinen kaava säilyttää rakenteensa:

Esimerkiksi,

aritmeettisessa progressiossa 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jos aritmeettinen progressio annetaan, niin suuret a 1 , a n, d, n JaS n yhdistää kaksi kaavaa:

Siksi jos kolme Näistä määristä on annettu, sitten kahden muun suuren vastaavat arvot määritetään näistä kaavoista yhdistettynä kahden yhtälön järjestelmäksi, jossa on kaksi tuntematonta.

Aritmeettinen progressio on monotoninen sarja. Jossa:

• Jos d > 0 , silloin se kasvaa;
• Jos d < 0 , silloin se pienenee;
• Jos d = 0 , sekvenssi pysyy paikallaan.

Geometrinen eteneminen

geometrinen eteneminen kutsutaan sekvenssiä, jonka jokainen termi toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen, kerrottuna samalla luvulla.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

on geometrinen progressio jollekin luonnolliselle luvulle n ehto täyttyy:

b n +1 = b n · q,

Missä q ≠ 0 - joku numero.

Siten tämän geometrisen etenemisen seuraavan termin suhde edelliseen on vakioluku:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Määrä q nimeltään geometrisen progression nimittäjä.

Geometrisen progression asettamiseksi riittää, että määritetään sen ensimmäinen termi ja nimittäjä.

Esimerkiksi,

Jos b 1 = 1, q = -3 , niin sekvenssin viisi ensimmäistä termiä löytyy seuraavasti:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 ja nimittäjä q hänen n -termi löytyy kaavasta:

b n = b 1 · q n -1 .

Esimerkiksi,

etsi geometrisen progression seitsemäs termi 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

sitten ilmeisesti

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

jokainen geometrisen progression jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellisen ja seuraavien jäsenten geometrinen keskiarvo (suhteellinen).

Koska myös päinvastoin on totta, seuraava väite pätee:

luvut a, b ja c ovat jonkin geometrisen progression peräkkäisiä jäseniä, jos ja vain jos toisen neliö on yhtä suuri kuin kahden muun tulo, eli toinen luvuista on kahden muun geometrinen keskiarvo.

Esimerkiksi,

Todistakaamme, että kaavan antama sekvenssi b n= -3 2 n , on geometrinen progressio. Käytetään yllä olevaa lausetta. Meillä on:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Siten,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

joka todistaa vaaditun väitteen. ◄

Ota huomioon, että n Geometrisen progression termi löytyy paitsi kautta b 1 , mutta myös mikä tahansa aikaisempi termi b k , jolle riittää käyttää kaavaa

b n = b k · q n - k.

Esimerkiksi,

varten b 5 voidaan kirjoittaa

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

sitten ilmeisesti

b n 2 = b n - k· b n + k

geometrisen progression minkä tahansa jäsenen neliö toisesta alkaen on yhtä suuri kuin tämän progression jäsenten tulo, jotka ovat yhtä kaukana siitä.

Lisäksi yhtäläisyys on totta kaikille geometrisille progressioille:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Esimerkiksi,

eksponentiaalisesti

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , koska

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

ensimmäinen n nimittäjällä varustetun geometrisen progression termit q ≠ 0 lasketaan kaavalla:

Ja milloin q = 1 -kaavan mukaan

S n= Huom. 1

Huomaa, että jos meidän on laskettava ehdot yhteen

b k, b k +1 , . . . , b n,

sitten käytetään kaavaa:

S n- Sk -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Esimerkiksi,

eksponentiaalisesti 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jos geometrinen progressio on annettu, niin suuret b 1 , b n, q, n Ja S n yhdistää kaksi kaavaa:

Siksi, jos minkä tahansa kolmen näiden suureiden arvot annetaan, kahden muun suuren vastaavat arvot määritetään näistä kaavoista yhdistettynä kahden yhtälön järjestelmään, jossa on kaksi tuntematonta.

Geometriselle etenemiselle ensimmäisellä termillä b 1 ja nimittäjä q tapahtuu seuraavaa monotonisuusominaisuudet :

• eteneminen lisääntyy, jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy:

b 1 > 0 Ja q> 1;

b 1 < 0 Ja 0 < q< 1;

• Eteneminen vähenee, jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy:

b 1 > 0 Ja 0 < q< 1;

b 1 < 0 Ja q> 1.

Jos q< 0 , silloin geometrinen eteneminen on etumerkkivuorottelua: sen parittomilla termeillä on sama etumerkki kuin ensimmäisellä termillä ja parillisilla termeillä on päinvastainen etumerkki. On selvää, että vuorotteleva geometrinen eteneminen ei ole monotoninen.

Ensimmäisen tuote n geometrisen progression termit voidaan laskea kaavalla:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Esimerkiksi,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Portaattomasti pienenevä geometrinen eteneminen

Portaattomasti pienenevä geometrinen eteneminen kutsutaan äärettömäksi geometriseksi progressioksi, jonka nimittäjämoduuli on pienempi kuin 1 , tuo on

|q| < 1 .

Huomaa, että äärettömästi pienenevä geometrinen eteneminen ei välttämättä ole vähenevä sarja. Tämä sopii tapaukseen

1 < q< 0 .

Tällaisella nimittäjällä sekvenssi on merkki-vuorotteleva. Esimerkiksi,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Äärettömästi pienenevän geometrisen progression summa nimeä numero, johon ensimmäisen summa on n etenemisen kannalta rajoittamattoman määrän kasvun kanssa n . Tämä luku on aina äärellinen ja ilmaistaan ​​kaavalla

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Esimerkiksi,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmeettisen ja geometrisen progression välinen suhde

Aritmeettinen ja geometrinen progressio liittyvät läheisesti toisiinsa. Tarkastellaan vain kahta esimerkkiä.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Tuo

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Esimerkiksi,

1, 3, 5, . . . — aritmeettinen eteneminen erotuksen kanssa 2 Ja

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . on geometrinen progressio, jossa on nimittäjä 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . on geometrinen progressio, jossa on nimittäjä q , Tuo

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — aritmeettinen eteneminen erotuksen kanssa kirjaudu aq .

Esimerkiksi,

2, 12, 72, . . . on geometrinen progressio, jossa on nimittäjä 6 Ja

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmeettinen eteneminen erotuksen kanssa lg 6 . ◄

Aritmeettiset etenemisongelmat olivat olemassa jo muinaisina aikoina. He ilmestyivät ja vaativat ratkaisua, koska heillä oli käytännön tarve.

Joten eräässä muinaisen Egyptin papyruksissa, jolla on matemaattinen sisältö - Rhindin papyrus (XIX vuosisata eKr.) - sisältää seuraavan tehtävän: jaa kymmenen mittaa leipää kymmeneen ihmiseen edellyttäen, että kunkin ero on yksi. kahdeksasosa.

Ja muinaisten kreikkalaisten matemaattisissa teoksissa on elegantteja lauseita, jotka liittyvät aritmeettiseen etenemiseen. Joten Hypsicles of Alexandria (2. vuosisata, joka kokosi monia mielenkiintoisia ongelmia ja lisäsi neljäntoista kirjan Eukleideen "Elementteihin") muotoili ajatuksen: "Aritmeettisessa progressiossa, jossa on parillinen määrä jäseniä, toisen puoliskon jäsenten summa enemmän kuin summa jäsenet 1. ruudulla 1/2 jäsenten lukumäärästä.

Sekvenssi an on merkitty. Jakson numeroita kutsutaan sen jäseniksi, ja niitä merkitään yleensä kirjaimilla, joissa on osoitteita, jotka osoittavat sarjanumero tämä jäsen (a1, a2, a3 ... lue: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd" ja niin edelleen).

Sarja voi olla ääretön tai äärellinen.

Mikä on aritmeettinen progressio? Se ymmärretään saatuna lisäämällä edellinen termi (n), jolla on sama luku d, joka on etenemisen erotus.

Jos d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, niin tällaisen etenemisen katsotaan kasvavan.

Aritmeettisen progression sanotaan olevan äärellinen, jos vain muutama sen ensimmäisistä termeistä otetaan huomioon. Hyvin suurissa määrissä jäseniä on jo ääretön edistysaskel.

Mikä tahansa aritmeettinen progressio saadaan seuraavalla kaavalla:

an =kn+b, kun taas b ja k ovat joitain lukuja.

Väite, joka on päinvastainen, on täysin totta: jos sekvenssi annetaan samanlaisella kaavalla, niin tämä on täsmälleen aritmeettinen progressio, jolla on ominaisuudet:

1. Jokainen progression jäsen on edellisen ja seuraavan jäsenen aritmeettinen keskiarvo.
2. Päinvastoin: jos 2:sta alkaen jokainen termi on edellisen ja seuraavan termin aritmeettinen keskiarvo, ts. jos ehto täyttyy, annettu sekvenssi on aritmeettinen progressio. Tämä yhtäläisyys on samalla merkki etenemisestä, joten sitä kutsutaan yleensä etenemisen tunnusomaiseksi ominaisuudeksi.
   Samalla tavalla tätä ominaisuutta heijastava lause on tosi: jono on aritmeettinen progressio vain, jos tämä yhtälö on tosi jollekin sekvenssin jäsenelle alkaen 2.:sta.

Aritmeettisen jakson minkä tahansa neljän luvun ominaisominaisuus voidaan ilmaista kaavalla an + am = ak + al, jos n + m = k + l (m, n, k ovat progression numeroita).

Aritmeettisessa progressiossa mikä tahansa tarvittava (N:s) termi voidaan löytää käyttämällä seuraavaa kaavaa:

Esimerkiksi: aritmeettisen progression ensimmäinen termi (a1) on annettu ja on kolme, ja erotus (d) on neljä. Sinun on löydettävä tämän etenemisen neljäskymmenesviides termi. a45 = 1+4(45-1)=177

Kaavan an = ak + d(n - k) avulla voimme määrittää n:s jäsen aritmeettinen eteneminen minkä tahansa sen k:nnen termin kautta, jos se tunnetaan.

Aritmeettisen progression jäsenten summa (olettaen, että lopullisen progression 1. n jäsentä) lasketaan seuraavasti:

Sn = (a1+an) n/2.

Jos myös ensimmäinen termi tunnetaan, toinen kaava on kätevä laskemiseen:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Aritmeettisen progression summa, joka sisältää n termiä, lasketaan seuraavasti:

Laskentakaavojen valinta riippuu tehtävien ehdoista ja lähtötiedoista.

Mikä tahansa lukujen luonnollinen sarja, kuten 1,2,3,...,n,...- yksinkertaisin esimerkki aritmeettinen progressio.

Aritmeettisen progression lisäksi on olemassa myös geometrinen, jolla on omat ominaisuutensa ja ominaisuutensa.

Kun opiskelet algebraa yleissivistävä koulu(luokka 9) yksi tärkeitä aiheita on tutkimus numeerisista sekvensseistä, jotka sisältävät progressioita - geometrisia ja aritmeettisia. Tässä artikkelissa tarkastelemme aritmeettista etenemistä ja esimerkkejä ratkaisuineen.

Mikä on aritmeettinen progressio?

Tämän ymmärtämiseksi on tarpeen antaa tarkasteltavan etenemisen määritelmä sekä antaa peruskaavat, joita käytetään edelleen ongelmien ratkaisemisessa.

Tiedetään, että jossain algebrallisessa etenemisessä 1. termi on 6 ja 7. termi on 18. On tarpeen löytää ero ja palauttaa tämä sekvenssi 7. termiin.

Määritetään tuntematon termi kaavalla: a n = (n - 1) * d + a 1 . Korvaamme siihen ehdosta tunnetut tiedot, eli luvut a 1 ja a 7, meillä on: 18 \u003d 6 + 6 * d. Tästä lausekkeesta voit helposti laskea eron: d = (18 - 6) / 6 = 2. Siten tehtävän ensimmäinen osa on vastattu.

Jos haluat palauttaa sekvenssin 7. jäseneen, sinun tulee käyttää algebrallisen etenemisen määritelmää, eli a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d ja niin edelleen. Tämän seurauksena palautamme koko sekvenssin: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 ja 7 = 18.

Esimerkki 3: edistyminen

Tehdään siitä vaikeampaa vahvempi kunto tehtäviä. Nyt sinun on vastattava kysymykseen, kuinka löytää aritmeettinen progressio. Voimme antaa seuraavan esimerkin: annetaan kaksi lukua, esimerkiksi 4 ja 5. On tarpeen tehdä algebrallinen progressio, jotta näiden väliin mahtuu vielä kolme termiä.

Ennen kuin aloitat tämän ongelman ratkaisemisen, on ymmärrettävä, minkä paikan annetut numerot vievät tulevassa etenemisessä. Koska niiden välillä on vielä kolme termiä, sitten 1 \u003d -4 ja 5 \u003d 5. Kun tämä on selvitetty, siirrymme tehtävään, joka on samanlainen kuin edellinen. Jälleen n:nnelle termille käytämme kaavaa, saamme: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Alkaen: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Tässä ero ei ole kokonaisluku, vaan se on rationaalinen luku, joten algebrallisen etenemisen kaavat pysyvät samoina.

Lisätään nyt löydetty ero 1:een ja palautetaan etenemisen puuttuvat jäsenet. Saamme: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003 d mikä osui yhteen ongelman tilan kanssa.

Esimerkki 4: Jakson ensimmäinen jäsen

Jatkamme esimerkkien antamista aritmeettisesta etenemisestä ratkaisun kanssa. Kaikissa aiemmissa tehtävissä tunnettiin algebrallisen etenemisen ensimmäinen numero. Tarkastellaan nyt erityyppistä tehtävää: annetaan kaksi lukua, joissa 15 = 50 ja 43 = 37. On selvitettävä, mistä luvusta tämä sarja alkaa.

Tähän asti käytetyissä kaavoissa oletetaan a 1:n ja d:n tuntemista. Näistä numeroista ei tiedetä ongelman tilassa mitään. Kirjoitetaan kuitenkin lausekkeet jokaiselle termille, josta meillä on tietoa: a 15 = a 1 + 14 * d ja a 43 = a 1 + 42 * d. Saimme kaksi yhtälöä, joissa on 2 tuntematonta määrää (a 1 ja d). Tämä tarkoittaa, että ongelma rajoittuu lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseen.

Määritetty järjestelmä on helpoin ratkaista, jos ilmaiset 1:n jokaisessa yhtälössä ja vertaat sitten saatuja lausekkeita. Ensimmäinen yhtälö: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; toinen yhtälö: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Yhtälöimällä nämä lausekkeet, saamme: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, josta ero d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (vain 3 desimaalin tarkkuutta annetaan).

Kun tiedät d:n, voit käyttää mitä tahansa yllä olevista kahdesta lausekkeesta 1:lle. Esimerkiksi ensin: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Jos tuloksesta on epäilyksiä, voit tarkistaa sen, esimerkiksi määrittää etenemisen 43. jäsenen, joka on määritelty ehdossa. Saamme: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Pieni virhe johtuu siitä, että laskelmissa käytettiin pyöristystä tuhannesosaan.

Esimerkki #5: Summa

Katsotaanpa nyt joitain esimerkkejä ratkaisuista aritmeettisen progression summalle.

Olkoon seuraava numeerinen eteneminen: 1, 2, 3, 4, ...,. Kuinka laskea näiden lukujen 100 summa?

Tietotekniikan kehityksen ansiosta tämä ongelma voidaan ratkaista, eli laskea peräkkäin kaikki numerot, minkä tietokone tekee heti, kun henkilö painaa Enter-näppäintä. Ongelma voidaan kuitenkin ratkaista henkisesti, jos huomioi, että esitetty lukusarja on algebrallinen progressio ja sen erotus on 1. Summan kaavaa soveltamalla saadaan: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

On mielenkiintoista huomata, että tätä ongelmaa kutsutaan "Gaussiseksi", koska 1700-luvun alussa kuuluisa saksalainen, vielä vain 10-vuotiaana, pystyi ratkaisemaan sen mielessään muutamassa sekunnissa. Poika ei tiennyt algebrallisen progression summan kaavaa, mutta hän huomasi, että jos lisäät sarjan reunoilla sijaitsevia lukupareja, saat aina saman tuloksen, eli 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., ja koska nämä summat ovat täsmälleen 50 (100 / 2), niin oikean vastauksen saamiseksi riittää kertoa 50 101: llä.

Esimerkki #6: termien summa n:stä m:ään

Toinen tyypillinen esimerkki aritmeettisen progression summasta on seuraava: annettuna numerosarja: 3, 7, 11, 15, ..., sinun on löydettävä, mikä on sen ehtojen summa 8 - 14.

Ongelma ratkaistaan ​​kahdella tavalla. Ensimmäinen niistä sisältää tuntemattomien termien etsimisen 8-14 ja sitten niiden yhteenvedon peräkkäin. Koska termejä on vähän, tämä menetelmä ei ole tarpeeksi työläs. Tästä huolimatta ehdotetaan tämän ongelman ratkaisemista toisella menetelmällä, joka on yleismaailmallisempi.

Ideana on saada kaava termien m ja n välisen algebrallisen etenemisen summalle, missä n > m ovat kokonaislukuja. Kirjoitetaan molemmille tapauksille kaksi lauseketta summalle:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Koska n > m, on selvää, että 2 summa sisältää ensimmäisen. Viimeinen johtopäätös tarkoittaa, että jos otetaan näiden summien välinen erotus ja lisätään siihen termi a m (eron ottamisen tapauksessa se vähennetään summasta S n), niin saadaan tarvittava vastaus ongelmaan. Meillä on: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1 - m / 2). On välttämätöntä korvata kaavat n:n ja m:n kohdalla tähän lausekkeeseen. Sitten saadaan: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Tuloksena oleva kaava on hieman hankala, mutta summa S mn riippuu vain arvoista n, m, a 1 ja d. Meidän tapauksessamme a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Korvaamalla nämä luvut saadaan: S mn = 301.

Kuten yllä olevista ratkaisuista voidaan nähdä, kaikki tehtävät perustuvat n:nnen termin lausekkeen ja ensimmäisten termien summan kaavan tuntemiseen. Ennen kuin aloitat näiden ongelmien ratkaisemisen, on suositeltavaa lukea ehto huolellisesti, ymmärtää selvästi, mitä haluat löytää, ja vasta sitten jatkaa ratkaisua.

Toinen vinkki on pyrkiä yksinkertaisuuteen, eli jos voit vastata kysymykseen käyttämättä monimutkaisia ​​matemaattisia laskelmia, sinun on tehtävä juuri niin, koska tässä tapauksessa virheen todennäköisyys on pienempi. Esimerkiksi esimerkissä aritmeettisesta progressiosta ratkaisulla nro 6 voitaisiin pysähtyä kaavaan S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, ja jaa yleinen tehtävä erillisiin alitehtäviin (etsi tässä tapauksessa ensin termit a n ja a m).

Jos saavutetun tuloksen suhteen on epäilyksiä, on suositeltavaa tarkistaa se, kuten joissakin annetuissa esimerkeissä tehtiin. Kuinka löytää aritmeettinen progressio, selvisi. Kun sen tajuaa, se ei ole niin vaikeaa.

Ensimmäinen taso

Aritmeettinen progressio. Yksityiskohtainen teoria esimerkein (2019)

Numerosarja

Joten istutaan alas ja aletaan kirjoittaa numeroita. Esimerkiksi:
Voit kirjoittaa mitä tahansa numeroita, ja niitä voi olla niin monta kuin haluat (meidän tapauksessamme ne). Riippumatta siitä, kuinka monta numeroa kirjoitamme, voimme aina sanoa, mikä niistä on ensimmäinen, mikä toinen ja niin edelleen viimeiseen, eli voimme numeroida ne. Tämä on esimerkki numerosarjasta:

Numerosarja
Esimerkiksi sarjallemme:

Annettu numero koskee vain yhtä järjestysnumeroa. Toisin sanoen sekvenssissä ei ole kolmea sekuntia. Toinen numero (kuten -:s numero) on aina sama.
Numeroa sisältävää numeroa kutsutaan sekvenssin -:nneksi jäseneksi.

Kutsumme yleensä koko sarjaa joksikin kirjaimeksi (esimerkiksi), ja jokaista tämän sekvenssin jäsentä - sama kirjain, jonka indeksi on yhtä suuri kuin tämän jäsenen numero: .

Meidän tapauksessamme:

Oletetaan, että meillä on numeerinen sarja, jossa vierekkäisten lukujen välinen ero on sama ja yhtä suuri.
Esimerkiksi:

jne.
Tällaista numeerista sarjaa kutsutaan aritmeettiseksi progressioksi.
Roomalainen kirjailija Boethius otti käyttöön termin "eteneminen" jo 600-luvulla, ja se ymmärrettiin enemmän laajassa mielessä, äärettömänä lukujonona. Nimi "aritmetiikka" siirrettiin jatkuvien mittasuhteiden teoriasta, jota muinaiset kreikkalaiset harjoittivat.

Tämä on numeerinen sarja, jonka jokainen jäsen on yhtä suuri kuin edellinen, lisätty samalla numerolla. Tätä lukua kutsutaan aritmeettisen etenemisen erotukseksi ja se merkitään.

Yritä määrittää, mitkä numerosarjat ovat aritmeettisia ja mitkä eivät:

a)
b)
c)
d)

Sain sen? Vertaa vastauksiamme:
On aritmeettinen progressio - b, c.
Ei ole aritmeettinen progressio - a, d.

Palataan annettuun etenemiseen () ja yritetään löytää sen :nnen jäsenen arvo. Olemassa kaksi tapa löytää se.

1. Menetelmä

Voimme lisätä etenemisluvun edelliseen arvoon, kunnes saavutamme etenemisen :nnen termin. On hyvä, että meillä ei ole paljon yhteenvetoa - vain kolme arvoa:

Joten kuvatun aritmeettisen progression -:s jäsen on yhtä suuri kuin.

2. tapa

Entä jos meidän pitäisi löytää etenemisen :nnen termin arvo? Summaaminen olisi kestänyt yli tunnin, eikä ole tosiasia, että emme olisi tehneet virheitä numeroiden yhteenlaskemisessa.
Tietenkin matemaatikot ovat keksineet tavan, jolla aritmeettisen progression eroa ei tarvitse lisätä edelliseen arvoon. Katso tarkasti piirrettyä kuvaa... Olet varmasti jo huomannut tietyn kuvion, nimittäin:

Katsotaanpa esimerkiksi, mikä muodostaa tämän aritmeettisen progression -:nnen jäsenen arvon:


Toisin sanoen:

Yritä löytää itsenäisesti tällä tavalla tämän aritmeettisen progression jäsenen arvo.

Laskettu? Vertaa kirjoituksiasi vastaukseen:

Huomaa, että sait täsmälleen saman luvun kuin edellisessä menetelmässä, kun lisäsimme peräkkäin aritmeettisen progression jäsenet edelliseen arvoon.
Yritetään "depersonalisoida" tämä kaava- tuo hänet luoksesi yleinen muoto ja saada:

Aritmeettinen etenemisyhtälö.

Aritmeettiset progressiot joko kasvavat tai laskevat.

Kasvava- progressiot, joissa jokainen seuraava termien arvo on suurempi kuin edellinen.
Esimerkiksi:

Laskeva- progressiot, joissa jokainen seuraava ehtojen arvo on pienempi kuin edellinen.
Esimerkiksi:

Johdettua kaavaa käytetään termien laskennassa sekä aritmeettisen etenemisen kasvavissa että laskevissa termeissä.
Tarkastellaanpa käytännössä.
Meille annetaan aritmeettinen progressio, joka koostuu seuraavat numerot: Katsotaan mikä tämän aritmeettisen progression -:s luku tulee, jos käytämme kaavaamme laskettaessa sitä:

Siitä lähtien:

Näin ollen olimme vakuuttuneita siitä, että kaava toimii sekä laskevassa että nostavassa aritmeettisessa progressiossa.
Yritä löytää tämän aritmeettisen progression -:s ja -:s jäsen itse.

Verrataanpa tuloksia:

Aritmeettisen progression ominaisuus

Monimutkaistaan ​​tehtävää - johdetaan aritmeettisen progression ominaisuus.
Oletetaan, että meille annetaan seuraava ehto:
- aritmeettinen progressio, löydä arvo.
Se on helppoa, sanot ja alat laskea jo tuntemasi kaavan mukaan:

Olkoon, a, sitten:

Aivan oikeassa. Osoittautuu, että löydämme ensin, sitten lisäämme sen ensimmäiseen numeroon ja saamme etsimämme. Jos etenemistä edustavat pienet arvot, niin siinä ei ole mitään monimutkaista, mutta entä jos ehtoon annetaan numeroita? Hyväksy, että laskelmissa on mahdollista tehdä virheitä.
Ajattele nyt, onko mahdollista ratkaista tämä ongelma yhdessä vaiheessa millä tahansa kaavalla? Tietysti kyllä, ja yritämme tuoda sen esiin nyt.

Merkitään aritmeettisen progression haluttu termi nimellä, tiedämme sen löytämisen kaavan - tämä on sama kaava, jonka johdimme alussa:
, Sitten:

• etenemisen edellinen jäsen on:
• etenemisen seuraava termi on:

Lasketaan yhteen etenemisen edellinen ja seuraava jäsen:

Osoittautuu, että etenemisen edellisen ja seuraavien jäsenten summa on kaksi kertaa niiden välissä olevan etenemisen jäsenen arvo. Toisin sanoen, jotta voidaan löytää progressiojäsenen arvo, jolla on tunnetut aikaisemmat ja peräkkäiset arvot, on tarpeen lisätä ne ja jakaa sillä.

Aivan oikein, meillä on sama numero. Laitetaan materiaali kuntoon. Laske etenemisen arvo itse, sillä se ei ole ollenkaan vaikeaa.

Hyvin tehty! Tiedät melkein kaiken edistymisestä! Jäljelle jää vain yksi kaava, jonka legendan mukaan yksi kaikkien aikojen suurimmista matemaatikoista, "matemaatikoiden kuningas" - Karl Gauss, pääteltiin helposti itselleen ...

Kun Carl Gauss oli 9-vuotias, opettaja, joka oli kiireinen muiden luokkien opiskelijoiden töiden tarkistamisessa, kysyi oppitunnilla seuraavan tehtävän: "Laske kaikkien luonnollisten lukujen summa alkaen (muiden lähteiden mukaan aina) mukaan lukien. " Mikä oli opettajan yllätys, kun yksi hänen oppilaistaan ​​(se oli Karl Gauss) antoi minuutin kuluttua oikean vastauksen tehtävään, kun taas suurin osa urhoollisen luokkatovereista sai pitkien laskelmien jälkeen väärän tuloksen ...

Nuori Carl Gauss huomasi kuvion, jonka voit helposti huomata.
Oletetaan, että meillä on aritmeettinen progressio, joka koostuu -ti-jäsenistä: Meidän on löydettävä aritmeettisen progression annettujen jäsenten summa. Tietysti voimme manuaalisesti summata kaikki arvot, mutta entä jos meidän on löydettävä tehtävästä sen termien summa, kuten Gauss etsi?

Kuvataan meille annettua kehitystä. Katso tarkasti korostettuja lukuja ja yritä suorittaa erilaisia ​​matemaattisia operaatioita niillä.


Yritti? Mitä sinä huomasit? Oikein! Niiden summat ovat yhtä suuret

Vastaa nyt, kuinka monta tällaista paria tulee olemaan meille annetussa etenemisessä? Tietysti tarkalleen puolet kaikista luvuista.
Perustuen siihen tosiasiaan, että aritmeettisen etenemisen kahden ehdon summa on yhtä suuri ja samanlaisten yhtäläisten parien summa, saadaan, että kokonaissumma on yhtä suuri:
.
Siten minkä tahansa aritmeettisen etenemisen ensimmäisten termien summan kaava on:

Joissakin ongelmissa emme tunne th termiä, mutta tiedämme etenemiseron. Yritä korvata summakaavassa th jäsenen kaava.
Mitä sinä sait?

Hyvin tehty! Palataan nyt Carl Gaussille annettuun ongelmaan: laske itse, mikä on -th:stä alkavien lukujen summa ja -th:stä alkavien lukujen summa.

Kuinka paljon sait?
Gauss osoitti, että termien summa on yhtä suuri ja termien summa. Näinkö päätit?

Itse asiassa antiikin kreikkalainen tiedemies Diophantus osoitti aritmeettisen progression jäsenten summan kaavan jo 300-luvulla, ja koko tämän ajan nokkelat ihmiset käyttivät aritmeettisen progression ominaisuuksia voimalla.
Esimerkiksi kuvitella Muinainen Egypti ja tuon ajan suurin rakennustyömaa - pyramidin rakentaminen... Kuvassa sen toinen puoli.

Missä tässä on kehitys, sanot? Katso huolellisesti ja löydä kuvio hiekkalohkojen määrästä pyramidiseinän jokaisella rivillä.


Miksei aritmeettinen progressio? Laske kuinka monta lohkoa tarvitaan yhden seinän rakentamiseen, jos lohkotiiliä laitetaan alustaan. Toivottavasti et laske liikuttamalla sormeasi näytön poikki, muistatko viimeisen kaavan ja kaiken, mitä sanoimme aritmeettisesta progressiosta?

Tässä tapauksessa eteneminen näyttää tältä:
Aritmeettinen etenemisero.
Aritmeettisen progression jäsenten lukumäärä.
Korvataan tietomme viimeisiin kaavoihin (laskemme lohkojen lukumäärän kahdella tavalla).

Menetelmä 1.

Menetelmä 2.

Ja nyt voit myös laskea näytöllä: vertailla saatuja arvoja pyramidissamme olevien lohkojen määrään. Oliko se samaa mieltä? Hyvin tehty, olet hallinnut aritmeettisen progression th termien summan.
Tietenkään et voi rakentaa pyramidia pohjassa olevista lohkoista, mutta? Yritä laskea kuinka monta hiekkatiiliä tarvitaan seinän rakentamiseen tällä ehdolla.
Onnistuitko?
Oikea vastaus on lohkot:

Koulutus

Tehtävät:

1. Masha kuntoutuu kesää varten. Joka päivä hän lisää kyykkyjen määrää. Kuinka monta kertaa Masha kyykky viikkojen aikana, jos hän teki kyykkyn ensimmäisessä harjoituksessa.
2. Mikä on kaikkien mukana olevien parittomien lukujen summa.
3. Tukkeja varastoitaessa metsuri pinoaa ne siten, että kukin ylempi kerros sisältää yhden lokin vähemmän kuin edellinen. Kuinka monta hirsiä on yhdessä muurauksessa, jos muurauksen pohja on hirsiä.

Vastaukset:

1. Määritellään aritmeettisen progression parametrit. Tässä tapauksessa
   (viikot = päivät).

   Vastaus: Kahden viikon kuluttua Mashan tulisi kyykkyä kerran päivässä.

2. Ensimmäinen pariton numero, viimeinen numero.
   Aritmeettinen etenemisero.
   Parittomien lukujen lukumäärä puolikkaassa, mutta tarkista tämä tosiasia käyttämällä kaavaa aritmeettisen progression -:nnen jäsenen löytämiseksi:

   Numerot sisältävät parittomat numerot.
   Korvaamme saatavilla olevat tiedot kaavaan:

   Vastaus: Kaikkien mukana olevien parittomien lukujen summa on yhtä suuri.

3. Muista pyramideihin liittyvä ongelma. Meidän tapauksessamme a , koska jokaista päällimmäistä kerrosta pienennetään yhdellä tukilla, kerroksia on vain joukko, toisin sanoen.
   Korvaa tiedot kaavassa:

   Vastaus: Muurauksessa on tukkeja.

Yhteenvetona

1. - numeerinen sarja, jossa vierekkäisten lukujen välinen ero on sama ja yhtä suuri. Se lisääntyy ja vähenee.
2. Kaavan löytäminen Aritmeettisen jakson jäsen kirjoitetaan kaavalla - , jossa on etenemisen numeroiden lukumäärä.
3. Aritmeettisen progression jäsenten ominaisuus- - missä - etenemisen numeroiden lukumäärä.
4. Aritmeettisen progression jäsenten summa löytyy kahdella tavalla:
   
   , missä on arvojen määrä.

ARITMEETTINEN EDISTYMINEN. KESKITASO

Numerosarja

Istutaan alas ja aletaan kirjoittaa numeroita. Esimerkiksi:

Voit kirjoittaa mitä tahansa numeroita, ja niitä voi olla niin monta kuin haluat. Mutta voit aina kertoa, mikä niistä on ensimmäinen, mikä toinen ja niin edelleen, eli voimme numeroida ne. Tämä on esimerkki numerosarjasta.

Numerosarja on joukko numeroita, joille jokaiselle voidaan määrittää yksilöllinen numero.

Toisin sanoen jokainen luku voidaan liittää tiettyyn luonnolliseen numeroon ja vain yhteen. Emmekä määritä tätä numeroa millekään muulle tämän sarjan numerolle.

Numeroa sisältävää numeroa kutsutaan sekvenssin -:nneksi jäseneksi.

Kutsumme yleensä koko sarjaa joksikin kirjaimeksi (esimerkiksi), ja jokaista tämän sekvenssin jäsentä - sama kirjain, jonka indeksi on yhtä suuri kuin tämän jäsenen numero: .

On erittäin kätevää, jos sekvenssin -:s jäsen voidaan antaa jollain kaavalla. Esimerkiksi kaava

asettaa järjestyksen:

Ja kaava on seuraava järjestys:

Esimerkiksi aritmeettinen progressio on sekvenssi (ensimmäinen termi tässä on yhtä suuri ja erotus). Tai (, ero).

n:nnen termin kaava

Kutsumme toistuvaksi kaavaa, jossa -:nnen termin selvittämiseksi sinun on tiedettävä edellinen tai useita aikaisempia:

Löytääksemme esimerkiksi etenemisen :nnen termin tällaisella kaavalla, meidän on laskettava edelliset yhdeksän. Esimerkiksi anna. Sitten:

No, nyt on selvää, mikä kaava on?

Jokaisella rivillä lisäämme, kerrottuna jollakin numerolla. Minkä vuoksi? Hyvin yksinkertainen: tämä on nykyisen jäsenen numero miinus:

Paljon mukavampaa nyt, eikö? Tarkistamme:

Päätä itse:

Etsi aritmeettisesta progressiosta kaava n:nnelle termille ja löydä sadas termi.

Ratkaisu:

Ensimmäinen termi on yhtä suuri. Ja mitä eroa on? Ja tässä mitä:

(se on loppujen lopuksi nimeltään ero, koska se on yhtä suuri kuin etenemisen peräkkäisten jäsenten ero).

Joten kaava on:

Sitten sadas termi on:

Mikä on kaikkien luonnollisten lukujen summa välillä -?

Legendan mukaan suuri matemaatikko Carl Gauss, 9-vuotias poika, laski tämän summan muutamassa minuutissa. Hän huomasi, että ensimmäisen ja viimeisen luvun summa on yhtä suuri, toisen ja toiseksi viimeisen luvun summa on sama, kolmannen ja kolmannen lopun summa on sama ja niin edelleen. Kuinka monta tällaista paria on? Aivan oikein, tasan puolet kaikista numeroista. Niin,

Yleinen kaava minkä tahansa aritmeettisen etenemisen ensimmäisten termien summalle on:

Esimerkki:
Etsi kaikkien kaksinumeroisten kerrannaisten summa.

Ratkaisu:

Ensimmäinen tällainen numero on tämä. Jokainen seuraava saadaan lisäämällä numero edelliseen. Siten meitä kiinnostavat luvut muodostavat aritmeettisen progression ensimmäisen termin ja erotuksen kanssa.

Tämän etenemisen kolmannen termin kaava on:

Kuinka monta termiä on etenemässä, jos niiden kaikkien on oltava kaksinumeroisia?

Erittäin helppoa: .

Etenemisen viimeinen termi on yhtä suuri. Sitten summa:

Vastaus:.

Päätä nyt itse:

1. Urheilija juoksee joka päivä 1 metrin enemmän kuin edellisenä päivänä. Kuinka monta kilometriä hän juoksee viikossa, jos hän juoksi km m ensimmäisenä päivänä?
2. Pyöräilijä ajaa joka päivä enemmän maileja kuin edellinen. Ensimmäisenä päivänä hän matkusti km. Kuinka monta päivää hänen täytyy ajaa kilometriä varten? Kuinka monta kilometriä hän matkustaa matkan viimeisenä päivänä?
3. Jääkaapin hintaa myymälässä alennetaan joka vuosi saman verran. Määritä, kuinka paljon jääkaapin hinta laski joka vuosi, jos se myytiin ruplilla kuusi vuotta myöhemmin.

Vastaukset:

1. Tärkeintä tässä on tunnistaa aritmeettinen eteneminen ja määrittää sen parametrit. Tässä tapauksessa (viikot = päivät). Sinun on määritettävä tämän etenemisen ensimmäisten ehtojen summa:
   .
   Vastaus:
2. Tässä se annetaan:, se on löydettävä.
   Ilmeisesti sinun on käytettävä samaa summakaavaa kuin edellisessä tehtävässä:
   .
   Korvaa arvot:

   Juuri ei ilmeisesti sovi, joten vastaus.
   Lasketaan viimeisen päivän aikana kuljettu matka -:nnen termin kaavalla:
   (km).
   Vastaus:

3. Annettu: . Löytö: .
   Se ei helpota:
   (hieroa).
   Vastaus:

ARITMEETTINEN EDISTYMINEN. LYHYESTI TÄRKEISTÄ

Tämä on numeerinen sarja, jossa vierekkäisten lukujen välinen ero on sama ja yhtä suuri.

Aritmeettinen progressio kasvaa () ja vähenee ().

Esimerkiksi:

Kaava aritmeettisen progression n:nnen jäsenen löytämiseksi

kirjoitetaan kaavana, jossa on etenemisen numeroiden lukumäärä.

Aritmeettisen progression jäsenten ominaisuus

Sen avulla on helppo löytää etenemisen jäsen, jos sen naapurijäsenet tunnetaan - missä on etenemisen numeroiden lukumäärä.

Aritmeettisen progression jäsenten summa

On kaksi tapaa löytää summa:

Missä on arvojen määrä.

Missä on arvojen määrä.

No, aihe on ohi. Jos luet näitä rivejä, olet erittäin siisti.

Koska vain 5% ihmisistä pystyy hallitsemaan jotain itse. Ja jos olet lukenut loppuun, olet 5 %:ssa!

Nyt se tärkein asia.

Olet keksinyt teorian tästä aiheesta. Ja toistan, se on... se on vain super! Olet jo parempi kuin suurin osa ikäisistäsi.

Ongelmana on, että tämä ei ehkä riitä...

Minkä vuoksi?

Menestystä varten kokeen läpäiseminen, pääsystä instituuttiin budjetilla ja, TÄRKEIMMÄN, elinikäiseksi.

En vakuuta sinua mistään, sanon vain yhden asian ...

Hyvän koulutuksen saaneet ansaitsevat paljon enemmän kuin ne, jotka eivät ole saaneet sitä. Tämä on tilastoa.

Mutta tämä ei ole pääasia.

Pääasia, että he ovat ONNELISEMME (sellaisia ​​tutkimuksia on). Ehkä siksi, että heille avautuu paljon enemmän mahdollisuuksia ja elämästä tulee valoisampaa? En tiedä...

Mutta ajattele itse...

Mitä tarvitaan, jotta voit olla varmasti parempi kuin muut kokeessa ja lopulta... onnellisempi?

TÄYTÄ KÄSI RATKAISEMME ONGELMIA TÄSTÄ AIHESTA.

Kokeessa sinulta ei kysytä teoriaa.

Tarvitset ratkaista ongelmat ajoissa.

Ja jos et ole ratkaissut niitä (PALJON!), teet varmasti tyhmän virheen jossain tai et yksinkertaisesti tee sitä ajoissa.

Se on kuin urheilussa - sinun täytyy toistaa monta kertaa voittaaksesi varmasti.

Löydä kokoelma mistä tahansa välttämättä ratkaisuilla yksityiskohtainen analyysi ja päätä, päätä, päätä!

Voit käyttää tehtäviämme (ei välttämätöntä) ja suosittelemme niitä ehdottomasti.

Jotta pääset käsiksi tehtäviimme, sinun on autettava pidentämään parhaillaan lukemasi YouClever-oppikirjan käyttöikää.

Miten? Vaihtoehtoja on kaksi:

1. Avaa pääsy kaikkiin tämän artikkelin piilotettuihin tehtäviin - 299 hieroa.
2. Avaa pääsy kaikkiin piilotettuihin tehtäviin kaikissa opetusohjelman 99 artikkelissa - 999 hieroa.

Kyllä, meillä on 99 tällaista artikkelia oppikirjassa ja pääsy kaikkiin tehtäviin ja kaikkiin niissä oleviin piiloteksteihin voidaan avata välittömästi.

Toisessa tapauksessa me annamme sinulle simulaattori "6000 tehtävää ratkaisuineen ja vastauksineen, kullekin aiheelle, kaikille monimutkaisuustasoille." Se riittää varmasti käsiisi ongelmien ratkaisemiseen mistä tahansa aiheesta.

Itse asiassa tämä on paljon enemmän kuin pelkkä simulaattori - koko koulutusohjelma. Tarvittaessa voit käyttää sitä myös ILMAISEKSI.

Pääsy kaikkiin teksteihin ja ohjelmiin tarjotaan sivuston koko elinkaaren ajan.

Tiivistettynä...

Jos et pidä tehtävistämme, etsi muita. Älä vain lopeta teoriaan.

"Ymmärretty" ja "tiedän kuinka ratkaista" ovat täysin erilaisia ​​taitoja. Tarvitset molemmat.

Etsi ongelmia ja ratkaise!