Linearne jednadžbe. Rješenje, primjeri.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom dijelu 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Linearne jednadžbe.

Linearne jednačine nisu najteža tema u školskoj matematici. Ali postoje neki trikovi koji mogu zbuniti čak i obučenog učenika. Hoćemo li to shvatiti?)

Linearna jednadžba se obično definira kao jednačina oblika:

sjekira + b = 0 gdje a i b- bilo koji broj.

2x + 7 = 0. Evo a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Ovdje a=0,1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 Ovdje a=12, b=1/2

Ništa komplikovano, zar ne? Pogotovo ako ne primjećujete riječi: "gdje su a i b bilo koji brojevi"... A ako primijetite, ali nemarno razmislite o tome?) Uostalom, ako a=0, b=0(da li su mogući brojevi?), onda dobijamo smiješan izraz:

Ali to nije sve! ako, recimo, a=0, a b=5, ispada nešto sasvim apsurdno:

Ono što opterećuje i podriva samopouzdanje u matematici, da...) Pogotovo na ispitima. Ali od ovih čudnih izraza, također morate pronaći X! Koji uopšte ne postoji. I, iznenađujuće, ovaj X je vrlo lako pronaći. Naučit ćemo kako to učiniti. U ovoj lekciji.

Kako prepoznati linearnu jednačinu po izgledu? Zavisi šta izgled.) Trik je u tome što se linearne jednačine ne nazivaju samo jednadžbama oblika sjekira + b = 0 , ali i sve jednadžbe koje se transformacijama i simplifikacijama svode na ovaj oblik. I ko zna da li je smanjen ili ne?)

U nekim slučajevima može se jasno prepoznati linearna jednačina. Recimo, ako imamo jednačinu u kojoj postoje samo nepoznate u prvom stepenu, da brojevi. A jednačina nije razlomci podijeljeni sa nepoznato , važno je! I podjela po broj, ili brojčani razlomak - to je to! Na primjer:

Ovo je linearna jednadžba. Ovdje postoje razlomci, ali nema x u kvadratu, u kocki, itd., a nema x u nazivnicima, tj. br podjela sa x. A evo jednačine

ne može se nazvati linearnim. Ovdje su svi x u prvom stepenu, ali postoji podjela po izrazu sa x. Nakon pojednostavljenja i transformacija, možete dobiti i linearnu jednačinu, i kvadratnu, i sve što želite.

Ispostavilo se da je nemoguće pronaći linearnu jednačinu u nekom zamršenom primjeru dok je gotovo ne riješite. To je uznemirujuće. Ali u zadacima se po pravilu ne pitaju za oblik jednačine, zar ne? U zadacima su jednačine uređene odlučiti. Ovo me čini srećnom.)

Rješenje linearnih jednadžbi. Primjeri.

Cjelokupno rješenje linearnih jednačina sastoji se od identičnih transformacija jednačina. Inače, ove transformacije (čak dvije!) leže u osnovi rješenja sve matematičke jednačine. Drugim riječima, odluka bilo koji Jednačina počinje istim ovim transformacijama. U slučaju linearnih jednadžbi, ono (rješenje) na ovim transformacijama završava se potpunim odgovorom. Ima smisla pratiti vezu, zar ne?) Štaviše, postoje i primjeri rješavanja linearnih jednačina.

Počnimo s najjednostavnijim primjerom. Bez ikakvih zamki. Recimo da trebamo riješiti sljedeću jednačinu.

x - 3 = 2 - 4x

Ovo je linearna jednadžba. X-ovi su svi na prvi stepen, nema dijeljenja sa X. Ali, zapravo, nije nas briga šta je jednačina. Moramo to riješiti. Shema je ovdje jednostavna. Sakupite sve sa x-ovima na lijevoj strani jednačine, sve bez x-ova (brojeva) na desnoj strani.

Da biste to učinili, morate izvršiti transfer - 4x na lijevu stranu, uz promjenu predznaka, naravno, ali - 3 - nadesno. Usput, ovo je prva identična transformacija jednačina. Iznenađen? Dakle, nisu pratili link, ali uzalud ...) Dobijamo:

x + 4x = 2 + 3

Dajemo slično, smatramo:

Šta nam je potrebno da bismo bili potpuno srećni? Da, tako da je čisto X na lijevoj strani! Pet stane na put. Riješite se pet sa druga identična transformacija jednačina. Naime, oba dijela jednačine podijelimo sa 5. Dobijamo gotov odgovor:

Elementarni primjer, naravno. Ovo je za zagrevanje.) Nije baš jasno zašto sam se setio identičnih transformacija ovde? UREDU. Uzimamo bika za rogove.) Hajde da odlučimo nešto impresivnije.

Na primjer, evo ove jednadžbe:

Gdje da počnemo? Sa X - lijevo, bez X - desno? Moglo bi biti tako. Mali koraci duž dugog puta. A možete odmah, na univerzalan i moćan način. Osim ako, naravno, u vašem arsenalu postoje identične transformacije jednačina.

Postavljam vam ključno pitanje: Šta vam se najviše ne sviđa u ovoj jednačini?

95 ljudi od 100 će odgovoriti: razlomci ! Odgovor je tačan. Pa hajde da ih se riješimo. Tako da počinjemo odmah sa druga identična transformacija. Čime je potrebno pomnožiti razlomak s lijeve strane tako da se nazivnik potpuno smanji? Tako je, 3. A desno? Sa 4. Ali matematika nam omogućava da pomnožimo obje strane sa isti broj. Kako da izađemo? Pomnožimo obje strane sa 12! One. na zajednički imenilac. Tada će se tri smanjiti, a četiri. Ne zaboravite da svaki dio trebate pomnožiti u potpunosti. Evo kako izgleda prvi korak:

Proširivanje zagrada:

Bilješka! Brojač (x+2) Uzeo sam u zagrade! To je zato što se pri množenju razlomaka, brojilac množi s cjelinom, u potpunosti! A sada možete smanjiti razlomke i smanjiti:

Otvaranje preostalih zagrada:

Nije primjer, ali čisto zadovoljstvo!) Sada se prisjećamo čarolije iz nižim razredima: sa x - lijevo, bez x - desno! I primijenite ovu transformaciju:

Evo nekih poput:

I oba dijela podijelimo sa 25, tj. ponovo primijeni drugu transformaciju:

To je sve. odgovor: X=0,16

Imajte na umu: da bismo izvornu zbunjujuću jednadžbu doveli u ugodan oblik, koristili smo dva (samo dva!) identične transformacije- prevođenje lijevo-desno sa promjenom predznaka i množenjem-dijeljenjem jednačine istim brojem. Ovo je univerzalni način! Radićemo na ovaj način bilo koji jednačine! Apsolutno bilo koji. Zato stalno ponavljam ove identične transformacije.)

Kao što vidite, princip rješavanja linearnih jednadžbi je jednostavan. Uzimamo jednačinu i pojednostavljujemo je uz pomoć identičnih transformacija dok ne dobijemo odgovor. Ovdje su glavni problemi u proračunima, a ne u principu rješenja.

Ali... U procesu rješavanja najelementarnijih linearnih jednadžbi ima takvih iznenađenja da ih mogu dovesti u jaku omamljenost...) Na sreću, takva iznenađenja mogu biti samo dva. Nazovimo ih posebnim slučajevima.

Posebni slučajevi u rješavanju linearnih jednačina.

Prvo iznenađenje.

Pretpostavimo da naiđete na elementarnu jednačinu, nešto poput:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Pomalo dosadno prenosimo sa X na lijevo, bez X - na desno... Sa promjenom predznaka, sve je chin-chinar... Dobijamo:

2x-5x+3x=5-2-3

Vjerujemo, i... oh moj! Dobijamo:

Sama po sebi, ova jednakost nije sporna. Nula je zaista nula. Ali X je nestao! I moramo napisati u odgovoru, čemu je x jednako. Inače, rešenje se ne računa, da...) Slepa ulica?

Smiren! U takvim sumnjivim slučajevima spašavaju najopštija pravila. Kako riješiti jednačine? Šta znači riješiti jednačinu? Ovo znači, pronađite sve vrijednosti x koje će nam, kada se zamijene u originalnu jednadžbu, dati tačnu jednakost.

Ali imamo tačnu jednakost već dogodilo! 0=0, gdje stvarno?! Ostaje da shvatimo pri kojim x-ovima se ovo dobija. U koje se vrijednosti x mogu zamijeniti početni jednadžba ako su ova x i dalje smanjiti na nulu? Hajde?)

Da!!! Xs se mogu zamijeniti bilo koji!Šta želiš. Najmanje 5, najmanje 0,05, najmanje -220. I dalje će se smanjiti. Ako mi ne vjerujete, možete provjeriti.) Zamijenite bilo koje vrijednosti x u početni jednačinu i izračunaj. Sve vreme će se dobiti čista istina: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 i tako dalje.

Evo vašeg odgovora: x je bilo koji broj.

Odgovor se može napisati različitim matematičkim simbolima, suština se ne mijenja. Ovo je potpuno tačan i potpun odgovor.

Drugo iznenađenje.

Uzmimo istu elementarnu linearnu jednačinu i promijenimo samo jedan broj u njoj. Evo šta ćemo odlučiti:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Nakon istih identičnih transformacija, dobijamo nešto intrigantno:

Volim ovo. Riješio linearnu jednačinu, dobio čudnu jednakost. Matematički gledano, imamo pogrešna jednakost. I govoreći običan jezik, ovo nije istina. Rave. Ali ipak, ova glupost je sasvim dobar razlog za ispravno rješenje jednadžbe.)

Opet, mislimo od opšta pravila. Šta će nam dati x, kada se zameni u originalnu jednačinu ispravan jednakost? Da, nijedan! Takvih X-ova nema. Šta god zamijenite, sve će se smanjiti, gluposti će ostati.)

Evo vašeg odgovora: nema rješenja.

Ovo je takođe savršeno validan odgovor. U matematici se takvi odgovori često javljaju.

Volim ovo. Sada se nadam da vam gubitak X-ova u procesu rješavanja bilo koje (ne samo linearne) jednadžbe neće nimalo smetati. Stvar je poznata.)

Sada kada smo riješili sve zamke u linearnim jednačinama, ima smisla riješiti ih.

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

U ovom videu ćemo analizirati čitav niz linearnih jednadžbi koje se rješavaju istim algoritmom - zato se nazivaju najjednostavnijim.

Za početak, definirajmo: što je linearna jednadžba i koju od njih treba nazvati najjednostavnijom?

Linearna jednačina je ona u kojoj postoji samo jedna varijabla i to samo u prvom stepenu.

Najjednostavnija jednadžba znači konstrukciju:

Sve ostale linearne jednadžbe se svode na najjednostavnije pomoću algoritma:

1. Otvorene zagrade, ako ih ima;
2. Premjestite termine koji sadrže varijablu na jednu stranu znaka jednakosti, a pojmove bez varijable na drugu;
3. Dovedite slične pojmove lijevo i desno od znaka jednakosti;
4. Podijelite rezultirajuću jednačinu sa koeficijentom varijable $x$.

Naravno, ovaj algoritam ne pomaže uvijek. Činjenica je da se ponekad, nakon svih ovih mahinacija, pokaže koeficijent varijable $x$ jednak nuli. U ovom slučaju su moguće dvije opcije:

1. Jednačina uopće nema rješenja. Na primjer, kada dobijete nešto poput $0\cdot x=8$, tj. na lijevoj strani je nula, a na desnoj je broj različit od nule. U videu ispod ćemo pogledati nekoliko razloga zašto je ova situacija moguća.
2. Rješenje su svi brojevi. Jedini slučaj kada je to moguće je kada je jednačina svedena na konstrukciju $0\cdot x=0$. Sasvim je logično da bez obzira koji $x$ zamijenimo, ipak će se ispostaviti da je „nula jednaka nuli“, tj. ispravna brojčana jednakost.

A sada da vidimo kako to sve funkcionira na primjeru stvarnih problema.

Primjeri rješavanja jednačina

Danas se bavimo linearnim jednadžbama, i to samo onim najjednostavnijim. Općenito, linearna jednačina označava svaku jednakost koja sadrži tačno jednu promjenljivu, a ide samo do prvog stepena.

Takve konstrukcije se rješavaju na približno isti način:

1. Prije svega, trebate otvoriti zagrade, ako ih ima (kao u našem posljednjem primjeru);
2. Onda donesi slično
3. Na kraju, izolujte varijablu, tj. sve što je povezano sa varijablom - termini u kojima je sadržana - prenosi se na jednu stranu, a sve što ostaje bez nje prenosi se na drugu stranu.

Zatim, po pravilu, trebate donijeti slično sa svake strane rezultirajuće jednakosti, a nakon toga ostaje samo podijeliti sa koeficijentom na "x", i dobićemo konačni odgovor.

U teoriji ovo izgleda lijepo i jednostavno, ali u praksi čak i iskusni srednjoškolci mogu napraviti uvredljive greške u prilično jednostavnim linearnim jednačinama. Obično se greše ili prilikom otvaranja zagrada, ili kod brojanja "plusova" i "minusa".

Osim toga, dešava se da linearna jednadžba uopće nema rješenja, ili da je rješenje cijela brojevna prava, tj. bilo koji broj. Analiziraćemo ove suptilnosti u današnjoj lekciji. Ali počet ćemo, kao što ste već shvatili, s najjednostavnijim zadacima.

Šema za rješavanje jednostavnih linearnih jednadžbi

Za početak, dozvolite mi da još jednom napišem cijelu shemu za rješavanje najjednostavnijih linearnih jednadžbi:

1. Proširite zagrade, ako ih ima.
2. Odvojite varijable, tj. sve što sadrži "x" prenosi se na jednu stranu, a bez "x" - na drugu.
3. Predstavljamo slične termine.
4. Sve dijelimo koeficijentom na "x".

Naravno, ova shema ne funkcionira uvijek, ima određene suptilnosti i trikove, a sada ćemo ih upoznati.

Rješavanje stvarnih primjera jednostavnih linearnih jednadžbi

Zadatak #1

U prvom koraku od nas se traži da otvorimo zagrade. Ali oni nisu u ovom primjeru, pa preskačemo ovaj korak. U drugom koraku moramo izolirati varijable. Napomena: govorimo samo o pojedinačnim terminima. napišimo:

Slične pojmove dajemo lijevo i desno, ali to je ovdje već urađeno. Stoga prelazimo na četvrti korak: podijelite s faktorom:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Ovdje smo dobili odgovor.

Zadatak #2

U ovom zadatku možemo posmatrati zagrade, pa ih proširimo:

I lijevo i desno vidimo približno istu konstrukciju, ali postupimo po algoritmu, tj. varijable sekvestra:

Evo nekih poput:

Iz kojih korijena ovo funkcionira? Odgovor: za bilo koje. Stoga možemo napisati da je $x$ bilo koji broj.

Zadatak #3

Treća linearna jednadžba je već zanimljivija:

\[\lijevo(6-x \desno)+\lijevo(12+x \desno)-\lijevo(3-2x \desno)=15\]

Ovdje ima nekoliko zagrada, ali se ne množe ničim, samo imaju različite znakove ispred sebe. Hajde da ih raščlanimo:

Izvodimo drugi nama već poznat korak:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Izračunajmo:

Izvodimo poslednji korak- podijelite sve sa koeficijentom na "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Stvari koje treba zapamtiti prilikom rješavanja linearnih jednačina

Ako zanemarimo prejednostavne zadatke, rekao bih sljedeće:

• Kao što sam rekao gore, nema svaka linearna jednačina rješenje – ponekad jednostavno nema korijena;
• Čak i ako postoje korijeni, nula može ući među njih - u tome nema ništa loše.

Nula je isti broj kao i ostali, ne biste ga trebali nekako diskriminirati ili pretpostaviti da ako dobijete nulu, onda ste nešto pogriješili.

Druga karakteristika je vezana za proširenje zagrada. Imajte na umu: kada je ispred njih "minus", uklanjamo ga, ali u zagradama mijenjamo znakove u suprotno. A onda ga možemo otvoriti prema standardnim algoritmima: dobićemo ono što smo vidjeli u gornjim proračunima.

Razumijevanje ove jednostavne činjenice pomoći će vam da izbjegnete glupe i štetne greške u srednjoj školi, kada se takve radnje uzimaju zdravo za gotovo.

Rješavanje složenih linearnih jednadžbi

Idemo dalje složene jednačine. Sada će konstrukcije postati složenije i pojavit će se kvadratna funkcija prilikom izvođenja različitih transformacija. Međutim, toga se ne treba bojati, jer ako, prema namjeri autora, riješimo linearnu jednadžbu, tada će se u procesu transformacije svi monomi koji sadrže kvadratnu funkciju nužno reducirati.

Primjer #1

Očigledno, prvi korak je otvaranje zagrada. Uradimo ovo veoma pažljivo:

Hajdemo sada da uzmemo privatnost:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Evo nekih poput:

Očigledno, ova jednačina nema rješenja, pa u odgovoru pišemo kako slijedi:

\[\raznolikost \]

ili bez korijena.

Primjer #2

Izvodimo iste korake. Prvi korak:

Pomerimo sve sa promenljivom ulevo, a bez nje - udesno:

Evo nekih poput:

Očigledno, ova linearna jednačina nema rješenja, pa je pišemo ovako:

\[\varnothing\],

ili bez korijena.

Nijanse rješenja

Obje jednačine su potpuno riješene. Na primjeru ova dva izraza još jednom smo se uvjerili da ni u najjednostavnijim linearnim jednadžbama sve ne može biti tako jednostavno: može biti ili jedan, ili nijedan, ili beskonačno mnogo. U našem slučaju, razmatrali smo dvije jednačine, u obje jednostavno nema korijena.

Ali želim da vam skrenem pažnju na još jednu činjenicu: kako raditi sa zagradama i kako ih proširiti ako je ispred njih znak minus. Razmotrite ovaj izraz:

Prije otvaranja, morate sve pomnožiti sa "x". Napomena: množite svaki pojedinačni termin. Unutra se nalaze dva pojma - odnosno dva pojma i množe se.

I tek nakon što se ove naizgled elementarne, ali vrlo važne i opasne transformacije završe, može se otvoriti zagrada sa stanovišta da iza nje stoji znak minus. Da, da: tek sada, kada su transformacije obavljene, setimo se da je ispred zagrada znak minus, što znači da sve ispod samo menja predznake. Istovremeno, sami zagrade nestaju i, što je najvažnije, nestaje i prednji "minus".

Isto radimo i sa drugom jednačinom:

Nije slučajno što obraćam pažnju na ove male, naizgled beznačajne činjenice. Jer rješavanje jednadžbi je uvijek niz elementarnih transformacija, gdje nemogućnost jasnog i kompetentnog izvođenja jednostavnih radnji dovodi do toga da srednjoškolci dolaze kod mene i ponovo uče rješavati tako jednostavne jednačine.

Naravno, doći će dan kada ćete ove vještine izbrusiti do automatizma. Više ne morate svaki put izvoditi toliko transformacija, sve ćete napisati u jednom redu. Ali dok tek učite, svaku radnju morate napisati posebno.

Rješavanje još složenijih linearnih jednačina

Ono što ćemo sada riješiti teško se može nazvati najjednostavnijim zadatkom, ali smisao ostaje isti.

Zadatak #1

\[\left(7x+1 \desno)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Pomnožimo sve elemente u prvom dijelu:

Uradimo retreat:

Evo nekih poput:

Uradimo zadnji korak:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Evo našeg konačnog odgovora. I, uprkos činjenici da smo u procesu rješavanja imali koeficijente s kvadratnom funkcijom, oni su se međusobno poništili, što jednačinu čini upravo linearnom, a ne kvadratnom.

Zadatak #2

\[\lijevo(1-4x \desno)\lijevo(1-3x \desno)=6x\lijevo(2x-1 \desno)\]

Uradimo prvi korak pažljivo: pomnožimo svaki element u prvoj zagradi sa svakim elementom u drugoj. Ukupno, nakon transformacije treba dobiti četiri nova pojma:

A sada pažljivo izvršite množenje u svakom članu:

Pomerimo pojmove sa "x" ulevo, a bez - udesno:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Evo sličnih pojmova:

Dobili smo konačan odgovor.

Nijanse rješenja

Najvažnija napomena o ove dvije jednačine je sljedeća: čim počnemo množiti zagrade u kojima se nalazi član veći od njega, onda se to radi prema sledeće pravilo: uzimamo prvi član iz prvog i množimo sa svakim elementom iz drugog; zatim uzimamo drugi element iz prvog i na sličan način množimo sa svakim elementom iz drugog. Kao rezultat, dobijamo četiri mandata.

O algebarskom zbiru

Zadnjim primjerom želim podsjetiti učenike šta je algebarski zbir. U klasičnoj matematici, pod $1-7$ mislimo na jednostavnu konstrukciju: oduzimamo sedam od jednog. U algebri pod ovim podrazumijevamo sljedeće: broju "jedan" dodajemo još jedan broj, odnosno "minus sedam". Ovaj algebarski zbir se razlikuje od uobičajenog aritmetičkog zbira.

Čim pri izvođenju svih transformacija, svakog zbrajanja i množenja, počnete vidjeti konstrukcije slične gore opisanim, jednostavno nećete imati problema u algebri kada radite s polinomima i jednadžbama.

U zaključku, pogledajmo još nekoliko primjera koji će biti još složeniji od ovih koje smo upravo pogledali, a da bismo ih riješili, morat ćemo malo proširiti naš standardni algoritam.

Rješavanje jednadžbi s razlomkom

Da bismo riješili takve zadatke, našem algoritmu će morati dodati još jedan korak. Ali prvo ću podsjetiti naš algoritam:

1. Otvorene zagrade.
2. Odvojene varijable.
3. Donesite slično.
4. Podijelite sa faktorom.

Nažalost, ovaj divni algoritam, uz svu svoju efikasnost, nije sasvim prikladan kada imamo razlomke ispred sebe. I u onome što ćemo vidjeti u nastavku, imamo razlomak s lijeve i desne strane u obje jednačine.

Kako raditi u ovom slučaju? Da, vrlo je jednostavno! Da biste to učinili, morate dodati još jedan korak u algoritam, koji se može izvesti i prije prve akcije i nakon nje, naime, da se riješite razlomaka. Dakle, algoritam će biti sljedeći:

1. Riješite se razlomaka.
2. Otvorene zagrade.
3. Odvojene varijable.
4. Donesite slično.
5. Podijelite sa faktorom.

Šta znači "osloboditi se razlomaka"? I zašto je to moguće učiniti i nakon i prije prvog standardnog koraka? Zapravo, u našem slučaju, svi razlomci su numerički u smislu nazivnika, tj. svuda je imenilac samo broj. Stoga, ako oba dijela jednadžbe pomnožimo ovim brojem, riješit ćemo se razlomaka.

Primjer #1

\[\frac(\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Riješimo se razlomaka u ovoj jednadžbi:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot četiri\]

Imajte na umu: sve se množi sa "četiri" jednom, tj. samo zato što imate dvije zagrade ne znači da morate svaku od njih pomnožiti sa "četiri". napišimo:

\[\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \desno)\cdot 4\]

Sada otvorimo:

Vršimo izdvajanje varijable:

Vršimo redukciju sličnih termina:

\[-4x=-1\lijevo| :\lijevo(-4 \desno) \desno.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Dobili smo konačno rješenje, prelazimo na drugu jednačinu.

Primjer #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Ovdje izvodimo sve iste radnje:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem riješen.

To je, zapravo, sve što sam danas htio reći.

Ključne točke

Ključni nalazi su sljedeći:

• Znati algoritam za rješavanje linearnih jednačina.
• Mogućnost otvaranja zagrada.
• Ne brinite ako negdje imate kvadratne funkcije, najvjerovatnije će se u procesu daljnjih transformacija one smanjiti.
• Korijeni u linearnim jednadžbama, čak i onim najjednostavnijim, su tri vrste: jedan jedini korijen, cijela brojevna prava je korijen, korijena uopće nema.

Nadam se da će vam ova lekcija pomoći da savladate jednostavnu, ali vrlo važnu temu za dalje razumijevanje sve matematike. Ako nešto nije jasno, idite na stranicu, riješite tamo prikazane primjere. Ostanite sa nama, čeka vas još mnogo zanimljivih stvari!

Analiziraćemo dve vrste sistema rešavanja jednačina:

1. Rješenje sistema metodom zamjene.
2. Rješenje sistema po članu sabiranje (oduzimanje) jednačina sistema.

Da bi se riješio sistem jednačina metoda zamjene morate slijediti jednostavan algoritam:
1. Izražavamo. Iz bilo koje jednačine izražavamo jednu varijablu.
2. Zamjena. Rezultirajuću vrijednost zamjenjujemo drugom jednačinom umjesto izražene varijable.
3. Rezultirajuću jednačinu rješavamo s jednom promjenljivom. Pronalazimo rješenje za sistem.

Riješiti sistem sabiranjem (oduzimanjem) član po član treba:
1. Odaberite varijablu za koju ćemo napraviti iste koeficijente.
2. Sabiramo ili oduzimamo jednačine, kao rezultat dobijamo jednačinu sa jednom promenljivom.
3. Rješavamo rezultirajuću linearnu jednačinu. Pronalazimo rješenje za sistem.

Rješenje sistema su tačke preseka grafova funkcije.

Razmotrimo detaljno rješenja sistema na primjerima.

Primjer #1:

Rešimo metodom zamene

Rješavanje sistema jednačina metodom zamjene

2x+5y=1 (1 jednadžba)
x-10y=3 (2. jednadžba)

1. Express
Vidi se da u drugoj jednačini postoji varijabla x sa koeficijentom 1, pa se ispostavlja da je varijablu x najlakše izraziti iz druge jednačine.
x=3+10y

2. Nakon izražavanja, zamjenjujemo 3 + 10y u prvoj jednačini umjesto varijable x.
2(3+10y)+5y=1

3. Rezultirajuću jednačinu rješavamo s jednom promjenljivom.
2(3+10y)+5y=1 (otvorene zagrade)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Rešenje sistema jednačina su presečne tačke grafova, stoga treba da nađemo x i y, jer se presečna tačka sastoji od x i y. Nađimo x, u prvom pasusu gde smo izrazili tu zamenimo y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Uobičajeno je da se na prvom mjestu ispisuju tačke, pišemo varijabla x, a na drugom mjestu varijabla y.
Odgovor: (1; -0,2)

Primjer #2:

Rešimo sabiranjem (oduzimanjem) član po član.

Rješavanje sistema jednačina metodom sabiranja

3x-2y=1 (1 jednadžba)
2x-3y=-10 (2. jednadžba)

1. Odaberite varijablu, recimo da odaberemo x. U prvoj jednadžbi varijabla x ima koeficijent 3, u drugoj - 2. Moramo učiniti koeficijente istim, za to imamo pravo pomnožiti jednačine ili podijeliti s bilo kojim brojem. Prvu jednačinu pomnožimo sa 2, a drugu sa 3 i dobijemo ukupan koeficijent 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Od prve jednačine oduzmite drugu da biste se riješili varijable x. Riješite linearnu jednačinu.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. Pronađite x. Zamjenjujemo pronađeno y u bilo kojoj od jednadžbi, recimo u prvoj jednačini.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4.6

Tačka presjeka će biti x=4,6; y=6.4
Odgovor: (4,6; 6,4)

Želite li se besplatno pripremati za ispite? Tutor online je besplatno. Bez šale.

Aplikacija

Rješenje bilo koje vrste jednačina na web stranici za konsolidaciju proučenog materijala od strane studenata i školaraca. Rješavanje jednačina online. Jednačine online. Postoje algebarske, parametarske, transcendentalne, funkcionalne, diferencijalne i druge vrste jednadžbi. Neke klase jednadžbi imaju analitička rješenja, koja su zgodna po tome što ne samo da daju tačnu vrijednost korijena, već vam omogućavaju da rješenje zapišete u formulu koja može uključivati ​​parametre. Analitički izrazi omogućavaju ne samo izračunavanje korijena, već i analizu njihovog postojanja i broja ovisno o vrijednostima parametara, što je često čak i važnije za praktičnu upotrebu od specifične vrijednosti korijenje. Rješenje jednadžbi na mreži. Rješenje jednadžbe je zadatak pronalaženja takvih vrijednosti argumenata za koje se ova jednakost postiže. Mogućim vrijednostima argumenata se mogu nametnuti dodatni uvjeti (cijeli, realni, itd.). Rješenje jednadžbi na mreži. Jednadžbinu možete riješiti online odmah i s velikom preciznošću rezultata. Argumenti datih funkcija (ponekad se nazivaju "varijable") u slučaju jednačine nazivaju se "nepoznate". Vrijednosti nepoznanica za koje se ova jednakost postiže nazivaju se rješenjima ili korijenima date jednadžbe. Kaže se da korijeni zadovoljavaju datu jednačinu. Rješavanje jednadžbe online znači pronalaženje skupa svih njenih rješenja (korijena) ili dokazivanje da nema korijena. Rješenje jednadžbi na mreži. Ekvivalentne ili ekvivalentne nazivaju se jednadžbe čiji se skupovi korijena poklapaju. Ekvivalentnim se smatraju i jednačine koje nemaju korijen. Ekvivalentnost jednačina ima svojstvo simetrije: ako je jedna jednačina ekvivalentna drugoj, onda je druga jednačina ekvivalentna prvoj. Ekvivalentnost jednačina ima svojstvo tranzitivnosti: ako je jedna jednačina ekvivalentna drugoj, a druga je ekvivalentna trećoj, tada je prva jednačina ekvivalentna trećoj. Svojstvo ekvivalencije jednadžbi omogućava izvođenje transformacija s njima, na kojima se zasnivaju metode za njihovo rješavanje. Rješenje jednadžbi na mreži. Stranica će vam omogućiti da riješite jednačinu na mreži. Jednačine za koje su poznata analitička rješenja uključuju algebarske jednačine, ne veće od četvrtog stepena: linearne jednačine, kvadratne jednačine, kubične jednačine i jednačine četvrtog stepena. Algebarske jednadžbe viših stupnjeva uglavnom nemaju analitičko rješenje, iako se neke od njih mogu svesti na jednačine nižih stupnjeva. Jednačine koje uključuju transcendentalne funkcije nazivaju se transcendentalne. Među njima su nekima poznata analitička rješenja trigonometrijske jednačine, od nula trigonometrijske funkcije dobro poznat. U opštem slučaju, kada se analitičko rešenje ne može naći, koriste se numeričke metode. Numeričke metode ne daju tačno rješenje, već samo dozvoljavaju sužavanje intervala u kojem leži korijen na određenu unaprijed određenu vrijednost. Rješavanje jednadžbi online.. Online jednadžbe.. Umjesto online jednačine, prikazaćemo kako isti izraz formira linearnu zavisnost i to ne samo duž prave tangente, već i na samoj tački fleksije grafa. Ova metoda je neophodna u svakom trenutku u proučavanju predmeta. Često se dešava da se rješenje jednačina približava konačnoj vrijednosti pomoću beskonačnih brojeva i pisanja vektora. Potrebno je provjeriti početne podatke i to je suština zadatka. Inače, lokalni uvjet se pretvara u formulu. Pravolinijska inverzija date funkcije, koju će kalkulator jednadžbe izračunati bez mnogo kašnjenja u izvršenju, bit će nadoknađena privilegijom prostora. Radit će se o nastupu studenata u naučnom okruženju. Međutim, kao i sve gore navedeno, pomoći će nam u procesu pronalaženja, a kada u potpunosti riješite jednadžbu, onda sačuvajte rezultirajući odgovor na krajevima pravolinijskog segmenta. Prave u prostoru seku se u tački, a ta tačka se zove presečena linijama. Interval na liniji je označen kao što je dato ranije. Najviša pozicija na studiju matematike će biti objavljena. Dodjeljivanje vrijednosti argumenta iz parametarski definirane površine i rješavanje jednadžbe na mreži će moći ukazati na principe produktivnog poziva funkciji. Möbiusova traka, ili kako je nazivaju beskonačnost, izgleda kao osmica. Ovo je jednostrana površina, a ne dvostrana. Prema svima dobro poznatom principu, objektivno ćemo prihvatiti linearne jednačine kao osnovnu oznaku kakve jesu u oblasti proučavanja. Samo dvije vrijednosti uzastopno datih argumenata mogu otkriti smjer vektora. Pretpostaviti da je drugačije rješenje online jednadžbi mnogo više od samog rješavanja znači dobiti punu verziju invarijante na izlazu. Bez integrisani pristup Učenicima je teško naučiti ovo gradivo. Kao i do sada, za svaki poseban slučaj, naš zgodan i pametan online kalkulator jednadžbi pomoći će svima u teškom trenutku, jer samo trebate navesti ulazne parametre i sistem će sam izračunati odgovor. Prije nego počnemo unositi podatke, potreban nam je alat za unos, što se može učiniti bez većih poteškoća. Broj svakog rezultata odgovora će biti kvadratna jednačina koja vodi do naših zaključaka, ali to nije tako lako učiniti, jer je lako dokazati suprotno. Teorija, zbog svojih posebnosti, nije potkrijepljena praktičnim znanjem. Vidjeti kalkulator razlomaka u fazi objavljivanja odgovora nije lak zadatak u matematici, jer alternativa pisanja broja na skupu povećava rast funkcije. Međutim, bilo bi netačno ne reći o obuci učenika, pa ćemo se izjasniti o svakom koliko je potrebno. Prethodno pronađena kubična jednačina će s pravom pripadati domenu definicije i sadržavati prostor numeričkih vrijednosti, kao i simboličke varijable. Nakon što su naučili ili zapamtili teoremu, naši učenici će se dokazati samo sa bolja strana i bićemo srećni zbog njih. Za razliku od skupa preseka polja, naše online jednadžbe su opisane ravninom kretanja duž množenja dve i tri numeričke kombinovane linije. Skup u matematici nije jednoznačno definisan. Najbolje rješenje, po mišljenju učenika, je pismeni izraz odrađen do kraja. Kao što je rečeno naučni jezik, apstrakcija simboličkih izraza nije uključena u stanje stvari, ali rješenje jednačina daje nedvosmislen rezultat u svim poznati slučajevi. Trajanje predavanja za nastavnike zavisi od potreba u ovoj ponudi. Analiza je pokazala potrebu za svim računskim tehnikama u mnogim oblastima, te je potpuno jasno da je kalkulator jednačina nezamjenjiv alat u darovitim rukama učenika. Lojalan pristup proučavanju matematike određuje važnost pogleda različitih pravaca. Želite odrediti jednu od ključnih teorema i na taj način riješiti jednačinu, ovisno o čijem odgovoru će se pojaviti daljnja potreba za njenom primjenom. Analitika u ovoj oblasti uzima sve više maha. Krenimo od početka i izvedimo formulu. Nakon probijanja nivoa povećanja funkcije, tangentna linija u točki fleksije nužno će dovesti do činjenice da će rješavanje jednadžbe na mreži biti jedan od glavnih aspekata u konstruiranju istog grafa iz argumenta funkcije. Amaterski pristup ima pravo da se primeni ako ovo stanje nije u suprotnosti sa nalazima studenata. To je podzadatak koji analizu matematičkih uslova kao linearnih jednačina u postojećem domenu definicije objekta stavlja u drugi plan. Pomak u smjeru ortogonalnosti poništava prednost usamljene apsolutne vrijednosti. Modulo, rješavanje jednadžbi na mreži daje isti broj rješenja, ako otvorite zagrade prvo znakom plus, a zatim znakom minus. U ovom slučaju ima dvostruko više rješenja, a rezultat će biti tačniji. Stabilan i ispravan online kalkulator jednačina je uspjeh u postizanju ciljanog cilja u zadatku koji je postavio nastavnik. Čini se da je moguće izabrati potrebnu metodu zbog značajnih razlika u stavovima velikih naučnika. Rezultirajuća kvadratna jednačina opisuje krivulju pravih, takozvanu parabolu, a znak će odrediti njenu konveksnost u kvadratnom koordinatnom sistemu. Iz jednačine dobijamo i diskriminanta i same korijene prema Vietinoj teoremi. Izraz je potrebno prikazati kao pravi ili nepravilan razlomak i koristiti kalkulator razlomaka u prvoj fazi. Ovisno o tome, formirat će se plan naših daljih proračuna. Matematika sa teorijskim pristupom korisna je u svakoj fazi. Rezultat ćemo svakako predstaviti kao kubnu jednačinu, jer ćemo u ovom izrazu sakriti njegove korijene kako bismo studentu na fakultetu pojednostavili zadatak. Bilo koja metoda je dobra ako je prikladna za površnu analizu. Dodatne aritmetičke operacije neće dovesti do grešaka u računanju. Odredite odgovor sa zadatom tačnošću. Koristeći rješenje jednadžbi, da se suočimo s tim - pronalaženje nezavisne varijable date funkcije nije tako lako, posebno kada se proučavaju paralelne prave u beskonačnosti. S obzirom na izuzetak, potreba je vrlo očigledna. Razlika polariteta je nedvosmislena. Iz iskustva predaje na institutima, naš učitelj je preuzeo glavna lekcija, na kojoj su jednačine proučavane online u punom matematičkom smislu. Ovdje se radilo o većim naporima i posebnim vještinama u primjeni teorije. U prilog našim zaključcima, ne treba gledati kroz prizmu. Donedavno se vjerovalo da zatvoreni skup brzo raste na tom području kakav jeste, a rješenje jednačina jednostavno treba istražiti. U prvoj fazi nismo razmatrali sve moguće opcije, ali je ovaj pristup opravdaniji nego ikad. Dodatne radnje sa zagradama opravdavaju neke pomake duž ose ordinate i apscise, što se ne može previdjeti golim okom. Postoji tačka pregiba u smislu širokog proporcionalnog povećanja funkcije. Još jednom dokazujemo kako neophodno stanje primjenjivat će se kroz cijeli opadajući interval jedne ili druge opadajuće pozicije vektora. U skučenom prostoru, izabraćemo varijablu iz početnog bloka naše skripte. Sistem izgrađen kao osnova na tri vektora odgovoran je za odsustvo glavnog momenta sile. Međutim, kalkulator jednačina je izveo i pomogao u pronalaženju svih članova konstruirane jednačine, kako iznad površine tako i duž paralelnih linija. Hajde da opišemo krug oko početne tačke. Tako ćemo se početi kretati prema gore duž linija presjeka, a tangenta će opisivati ​​krug cijelom dužinom, kao rezultat ćemo dobiti krivulju, koja se naziva evolventa. Uzgred, hajde da pričamo o ovoj krivulji malo istorije. Činjenica je da istorijski u matematici nije postojao koncept same matematike u čistom smislu kao što je to danas. Ranije su se svi naučnici bavili jednom zajedničkom stvari, odnosno naukom. Kasnije, nekoliko vekova kasnije, kada je naučni svet bio ispunjen kolosalnom količinom informacija, čovečanstvo je ipak izdvojilo mnoge discipline. One i dalje ostaju nepromijenjene. Pa ipak, svake godine naučnici širom sveta pokušavaju da dokažu da je nauka neograničena i da ne možete rešiti jednačinu ako nemate znanje o prirodnim naukama. Možda neće biti moguće tome konačno stati na kraj. Razmišljati o tome je besmisleno kao i zagrijavanje zraka napolju. Nađimo interval u kojem argument svojom pozitivnom vrijednošću određuje modul vrijednosti u naglo rastućem smjeru. Reakcija će pomoći da se pronađu najmanje tri rješenja, ali će ih biti potrebno provjeriti. Počnimo s činjenicom da trebamo riješiti jednadžbu na mreži koristeći jedinstvenu uslugu naše web stranice. Hajde da predstavimo oba dela zadata jednačina, pritisnite dugme "SOLVE" i dobićemo tačan odgovor u roku od samo nekoliko sekundi. U posebnim slučajevima ćemo uzeti knjigu o matematici i još jednom provjeriti naš odgovor, naime, pogledat ćemo samo odgovor i sve će postati jasno. Isti projekat će poletjeti na umjetnom redundantnom paralelepipedu. Postoji paralelogram sa svojim paralelnim stranicama, i on objašnjava mnoge principe i pristupe proučavanju prostornog odnosa uzlaznog procesa akumulacije šupljeg prostora u prirodnim formulama. Dvosmislene linearne jednadžbe pokazuju zavisnost željene varijable sa našim zajedničkim ovog trenutka vrijeme po odluci i potrebno je nekako povući i donijeti nepravilan razlomak na netrivijalan slučaj. Označavamo deset tačaka na pravoj liniji i kroz svaku tačku crtamo krivu u datom smjeru, i to konveksnošću prema gore. Bez većih poteškoća, naš kalkulator jednačina će prikazati izraz u takvom obliku da će njegova provjera valjanosti pravila biti očigledna već na početku snimanja. Sistem posebnih reprezentacija stabilnosti za matematičare na prvom mestu, osim ako formulom nije drugačije predviđeno. Na ovo ćemo odgovoriti detaljnim prikazom izvještaja o izomorfnom stanju plastičnog sistema tijela, a rješenje jednačina na mreži će opisati kretanje svake materijalne tačke u ovom sistemu. Na nivou dubinskog proučavanja bit će potrebno detaljno razjasniti pitanje inverzija barem donjeg sloja prostora. U rastućem redosledu na deonici diskontinuiteta funkcije primenićemo opštu metodu odličnog istraživača, inače, našeg sunarodnika, a u nastavku ćemo reći o ponašanju aviona. Zbog jakih karakteristika analitički zadane funkcije, online kalkulator jednačina koristimo samo za njegovu namjenu u okviru izvedenih granica ovlaštenja. Dalje raspravljajući, zaustavljamo naš pregled na homogenosti same jednačine, odnosno njena desna strana je izjednačena sa nulom. Još jednom ćemo provjeriti ispravnost naše odluke iz matematike. Da bismo izbegli dobijanje trivijalnog rešenja, izvršićemo određena prilagođavanja početnih uslova za problem uslovne stabilnosti sistema. Sastavimo kvadratnu jednačinu, za koju ćemo ispisati dva unosa koristeći dobro poznatu formulu i pronaći negativne korijene. Ako jedan korijen premašuje drugi i treći korijen za pet jedinica, onda mijenjanjem glavnog argumenta na taj način iskrivljujemo početne uslove podproblema. U suštini, nešto neobično u matematici se uvijek može opisati na najbližu stotinu pozitivnog broja. Kalkulator razlomaka je nekoliko puta bolji od svojih kolega na sličnim resursima u najboljem trenutku opterećenja servera. Na površini vektora brzine koji raste duž y-ose nacrtamo sedam linija savijenih u suprotnim smjerovima jedna prema drugoj. Promjerljivost dodijeljenog argumenta funkcije vodi brojač ravnoteže povrata. U matematici se ovaj fenomen može predstaviti kubnom jednadžbom sa imaginarnim koeficijentima, kao i bipolarnim napredovanjem opadajućih linija. Kritične tačke temperaturna razlika u mnogim značenjima i napretkom opisuju proces faktoringa složene frakcijske funkcije. Ako vam se kaže da riješite jednačinu, nemojte žuriti da to učinite ovog trenutka, svakako prvo procijenite cijeli plan akcije, pa tek onda zauzmite pravi pristup. Sigurno će biti koristi. Lakoća u radu je očigledna, a u matematici ista. Riješite jednačinu na mreži. Sve online jednadžbe su određeni tip zapisa brojeva ili parametara i varijabla koju treba definirati. Izračunajte baš ovu varijablu, odnosno pronađite određene vrijednosti ili intervale skupa vrijednosti za koje će identitet biti zadovoljen. Početni i konačni uslovi direktno zavise. AT zajednička odluka jednadžbe obično uključuju neke varijable i konstante, postavljanjem kojih ćemo dobiti cijele porodice rješenja za dati iskaz problema. Općenito, to opravdava napore uložene u pravcu povećanja funkcionalnosti prostorne kocke sa stranicom od 100 centimetara. Teoremu ili lemu možete primijeniti u bilo kojoj fazi konstruiranja odgovora. Stranica postupno izdaje kalkulator jednadžbi, ako je potrebno, pokazuje najmanju vrijednost u bilo kojem intervalu zbrajanja proizvoda. U polovini slučajeva takva lopta kao šuplja u većoj meri ne ispunjava uslove za postavljanje međuodgovora. By najmanje na y-osi u pravcu opadajuće vektorske reprezentacije, ova proporcija će nesumnjivo biti optimalnija od prethodnog izraza. U satu kada se provede potpuna analiza tačaka na linearnim funkcijama, mi ćemo, zapravo, sakupiti sve naše kompleksne brojeve i bipolarne ravninske prostore. Zamjenom varijable u rezultirajući izraz, riješit ćete jednačinu u fazama i dati najdetaljniji odgovor s velikom preciznošću. Još jednom, provjeravanje vaših radnji u matematici će biti dobar oblik od strane učenika. Udio u omjeru razlomaka fiksirao je integritet rezultata u svim važnim područjima aktivnosti nultog vektora. Trivijalnost se potvrđuje na kraju izvedenih radnji. Sa jednostavnim postavljenim zadatkom, učenici ne mogu imati poteškoća ako rješavaju jednačinu online u najkraćim mogućim vremenskim periodima, ali ne zaboravljaju na sve vrste pravila. Skup podskupova se sijeku u području konvergentne notacije. U različitim slučajevima, proizvod se ne rastavlja pogrešno na faktore. Pomoći će vam da riješite jednačinu na mreži u našem prvom dijelu o osnovama matematičke tehnike za značajne sekcije za studente na univerzitetima i tehničkim školama. Odgovaranje na primjere neće nas natjerati da čekamo nekoliko dana, jer je proces najbolje interakcije vektorske analize sa sekvencijalnim pronalaženjem rješenja patentiran početkom prošlog stoljeća. Ispostavilo se da napori da se povežemo sa okolnim timom nisu bili uzaludni, već je nešto drugo očito zakasnilo. Nekoliko generacija kasnije, naučnici širom svijeta su doveli do uvjerenja da je matematika kraljica nauka. Bilo da se radi o lijevom ili desnom odgovoru, iscrpni pojmovi ionako moraju biti napisani u tri reda, jer ćemo u našem slučaju nedvosmisleno govoriti samo o vektorskoj analizi svojstava matrice. Nelinearne i linearne jednadžbe, zajedno sa bikvadratnim jednadžbama, zauzele su posebno mjesto u našoj knjizi o najbolje prakse proračun putanje kretanja u prostoru svih materijalnih tačaka zatvorenog sistema. Linearna analiza će nam pomoći da ideju oživimo tačkasti proizvod tri uzastopna vektora. Na kraju svake postavke, zadatak je olakšan uvođenjem optimiziranih numeričkih izuzetaka u kontekstu preklapanja numeričkog prostora koji se izvode. Drugačija presuda neće se suprotstaviti odgovoru koji se nalazi u slobodnoj formi trouglovi u krugu. Ugao između dva vektora sadrži potreban postotak margine, a rješavanje jednačina na mreži često otkriva neki zajednički korijen jednačine za razliku od početnih uslova. Izuzetak igra ulogu katalizatora u cijelom neizbježnom procesu pronalaženja pozitivnog rješenja u području definicije funkcije. Ako nije rečeno da ne možete koristiti računar, onda je online kalkulator jednadžbi baš pravi za vaše teške zadatke. Dovoljno je samo da unesete svoje uslovne podatke u ispravnom formatu i naš server će u najkraćem mogućem roku dati potpuni rezultujući odgovor. Eksponencijalna funkcija raste mnogo brže od linearne. O tome svjedoče Talmudi pametne bibliotečke literature. Izvršiće proračun u opštem smislu, kao što bi radila data kvadratna jednačina sa tri kompleksna koeficijenta. Parabola u gornjem dijelu poluravnine karakterizira pravolinijsko paralelno kretanje duž osi tačke. Ovdje je vrijedno spomenuti potencijalnu razliku u radnom prostoru tijela. U zamjenu za suboptimalan rezultat, naš kalkulator razlomaka s pravom zauzima prvo mjesto u matematičkoj ocjeni pregleda funkcionalnih programa na poleđini. Lakoću korištenja ove usluge će cijeniti milioni korisnika interneta. Ako ne znate kako da ga koristite, mi ćemo vam rado pomoći. Također želimo istaknuti i istaknuti kubnu jednačinu iz niza zadataka za osnovce, kada treba brzo pronaći njene korijene i nacrtati graf funkcije na ravni. Najviši stepeni reprodukcije jedan je od najtežih matematičkih problema na institutu, a za njegovo proučavanje se izdvaja dovoljan broj sati. Kao i sve linearne jednadžbe, ni naša nije izuzetak od mnogih objektivnih pravila, pogledajte sa različitih stajališta, i ispostaviće se da je jednostavna i dovoljna za postavljanje početnih uslova. Interval porasta poklapa se sa intervalom konveksnosti funkcije. Rješenje jednačina na mreži. Proučavanje teorije je bazirano na onlajn jednadžbi iz brojnih sekcija o proučavanju glavne discipline. U slučaju ovakvog pristupa u neizvjesnim problemima, vrlo je lako predstaviti rješenje jednačina u unaprijed određenom obliku i ne samo izvući zaključke, već i predvidjeti ishod takvog pozitivnog rješenja. Usluga će nam najviše pomoći da naučimo predmetnu oblast najbolje tradicije matematike, kao što je to uobičajeno na Istoku. U najboljim trenucima vremenskog intervala slični zadaci su deset puta pomnoženi zajedničkim množiteljem. Uz obilje množenja višestrukih varijabli u kalkulatoru jednadžbi, počelo se množiti kvalitetom, a ne kvantitativnim varijablama, kao što su masa ili tjelesna težina. Kako bismo izbjegli slučajeve neravnoteže materijalnog sistema, sasvim nam je očigledno izvođenje trodimenzionalnog pretvarača na trivijalnoj konvergenciji nedegeneriranih matematičkih matrica. Dovršite zadatak i riješite jednačinu u datim koordinatama, jer je izlaz unaprijed nepoznat, kao i sve varijable uključene u postprostorno vrijeme su nepoznate. Na kratkoročno premjestite zajednički faktor izvan zagrada i unaprijed podijelite najvećim zajedničkim djeliteljem oba dijela. Ispod rezultirajućeg pokrivenog podskupa brojeva izdvojiti detaljan način trideset tri boda zaredom u kratkom periodu. Utoliko što se u u svom najboljem izdanju moguće je da svaki učenik reši jednačinu onlajn, gledajući unapred, recimo jednu važnu, ali ključnu stvar, bez koje nam neće biti lako živjeti u budućnosti. Veliki naučnik je u prošlom veku uočio niz pravilnosti u teoriji matematike. U praksi se ispostavilo da nije sasvim očekivan utisak o događajima. Međutim, u principu, upravo ovo rješenje jednačina na mreži pomaže u poboljšanju razumijevanja i percepcije holističkog pristupa proučavanju i praktičnoj konsolidaciji teorijskog materijala koji studenti obrađuju. Mnogo je lakše to učiniti tokom studiranja.

=

U sedmom razredu matematike prvo se susreću sa jednadžbe sa dvije varijable, ali se proučavaju samo u kontekstu sistema jednačina sa dvije nepoznanice. Zato iz vida ispada niz problema u kojima se uvode određeni uslovi na koeficijente jednačine koji ih ograničavaju. Osim toga, zanemaruju se i metode za rješavanje problema poput “Rješavanje jednadžbe prirodnim ili cijelim brojevima”, iako u KORISTITE materijale a na prijemnim ispitima sve češće se susreću problemi ove vrste.

Koja će se jednačina zvati jednačina sa dvije varijable?

Tako, na primjer, jednačine 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, ili xy = 12 su jednadžbe s dvije varijable.

Razmotrite jednadžbu 2x - y = 1. Ona se pretvara u pravu jednakost pri x = 2 i y = 3, tako da je ovaj par varijabilnih vrijednosti rješenje jednačine koja se razmatra.

Dakle, rješenje bilo koje jednadžbe s dvije varijable je skup uređenih parova (x; y), vrijednosti varijabli koje ova jednadžba pretvara u pravu numeričku jednakost.

Jednačina sa dvije nepoznanice može:

a) imaju jedno rešenje. Na primjer, jednačina x 2 + 5y 2 = 0 ima jedina odluka (0; 0);

b) imaju više rješenja. Na primjer, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ima 4 rješenja: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

u) nemaju rješenja. Na primjer, jednadžba x 2 + y 2 + 1 = 0 nema rješenja;

G) imaju beskonačno mnogo rješenja. Na primjer, x + y = 3. Rješenja ove jednačine će biti brojevi čiji je zbir 3. Skup rješenja ove jednačine može se napisati kao (k; 3 - k), gdje je k bilo koji realan broj.

Glavne metode za rješavanje jednačina sa dvije varijable su metode zasnovane na faktorskim izrazima, isticanje punog kvadrata, korištenje svojstava kvadratna jednačina, ograničeni izrazi, metode evaluacije. Jednačina se, po pravilu, pretvara u oblik iz kojeg se može dobiti sistem za pronalaženje nepoznatih.

Faktorizacija

Primjer 1

Riješite jednačinu: xy - 2 = 2x - y.

Rješenje.

Grupiramo pojmove u svrhu faktoringa:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Izvadite zajednički faktor iz svake zagrade:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. Imamo:

y = 2, x je bilo koji realan broj ili x = -1, y je bilo koji realan broj.

Na ovaj način, odgovor su svi parovi oblika (x; 2), x € R i (-1; y), y € R.

Jednakost nula nenegativnih brojeva

Primjer 2

Riješite jednačinu: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Rješenje.

Grupisanje:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Sada se svaka zagrada može skupiti korištenjem formule kvadratne razlike.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

Zbir dva nenegativna izraza je nula samo ako je 3x - 2 = 0 i 2y - 3 = 0.

Dakle, x = 2/3 i y = 3/2.

Odgovor: (2/3; 3/2).

Metoda evaluacije

Primjer 3

Riješite jednačinu: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Rješenje.

U svakoj zagradi odaberite cijeli kvadrat:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Procjena značenje izraza u zagradama.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 i (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, tada je lijeva strana jednadžbe uvijek najmanje 2. Jednakost je moguća ako:

(x + 1) 2 + 1 = 1 i (y - 2) 2 + 2 = 2, pa je x = -1, y = 2.

Odgovor: (-1; 2).

Hajde da se upoznamo sa još jednom metodom za rešavanje jednačina sa dve varijable drugog stepena. Ova metoda je da se jednačina smatra kao kvadrat u odnosu na neku varijablu.

Primjer 4

Riješite jednačinu: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

Rješenje.

Rešimo jednačinu kao kvadratnu u odnosu na x. Nađimo diskriminanta:

D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2 . Jednačina će imati rješenje samo kada je D = 0, tj. ako je y = 4. Zamjenjujemo vrijednost y u originalnu jednačinu i nalazimo da je x = 3.

Odgovor: (3; 4).

Često u jednadžbama sa dvije nepoznanice označavaju ograničenja na varijable.

Primjer 5

Riješite jednačinu u cijelim brojevima: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Rješenje.

Prepišimo jednačinu u obliku x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Desna strana rezultirajuće jednačine, kada se podijeli sa 5, daje ostatak od 2. Dakle, x 2 nije djeljiv sa 5. Ali kvadrat broja koji nije djeljiv sa 5 daje ostatak od 1 ili 4. Dakle, jednakost je nemoguća i nema rješenja.

Odgovor: nema korijena.

Primjer 6

Riješite jednačinu: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Rješenje.

Odaberimo pune kvadrate u svakoj zagradi:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Lijeva strana jednačine je uvijek veća ili jednaka 3. Jednakost je moguća ako |x| – 2 = 0 i y + 3 = 0. Dakle, x = ± 2, y = -3.

Odgovor: (2; -3) i (-2; -3).

Primjer 7

Za svaki par negativnih cijelih brojeva (x; y) koji zadovoljavaju jednačinu
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, izračunajte zbroj (x + y). Odgovorite na najmanji iznos.

Rješenje.

Odaberite pune kvadrate:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Pošto su x i y cijeli brojevi, njihovi kvadrati su također cijeli brojevi. Zbroj kvadrata dva cijela broja, jednak 37, dobijemo ako dodamo 1 + 36. Dakle:

(x - y) 2 = 36 i (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 i (y + 2) 2 = 36.

Rješavajući ove sisteme i uzimajući u obzir da su x i y negativni, nalazimo rješenja: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Odgovor: -17.

Ne očajavajte ako imate poteškoća pri rješavanju jednačina sa dvije nepoznanice. Uz malo vježbe, moći ćete savladati bilo koju jednačinu.

Imate bilo kakvih pitanja? Ne znate kako riješiti jednadžbe sa dvije varijable?
Da dobijete pomoć tutora - registrujte se.
Prva lekcija je besplatna!

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.