U prethodnom rasuđivanju uopšte nismo koristili tehničke metode diferencijalnog računa.
Teško je ne priznati da su naše elementarne metode jednostavnije i direktnije od analitičkih. Općenito, kada se bavimo određenim naučnim problemom, bolje je poći od njega individualne karakteristike nego oslanjanje isključivo na generičke metode, iako s druge strane, opšti princip, pojašnjavanje značenja primijenjenih posebnih postupaka, naravno, uvijek treba igrati vodeću ulogu. Upravo takav je značaj metoda diferencijalnog računa u bavljenju ekstremnim problemima. Posmatrano u moderna naukaželja za opštošću samo je jedna strana stvari, budući da je ono što je zaista vitalno u matematici nesumnjivo određeno individualne osobine razmatrani, problemi i primenjene metode.
U njegovom istorijski razvoj na diferencijalni račun su u velikoj mjeri utjecali pojedinačni problemi povezani s pronalaženjem najveće i najmanje vrijednosti veličina. Odnos između ekstremnih problema i diferencijalni račun može se shvatiti na sljedeći način. U VIII poglavlju ćemo detaljno proučiti izvod f"(x) funkcije f(x) i njenu geometrijsko značenje. Tamo ćemo vidjeti da je, ukratko, derivacija f"(x) nagib tangente na krivulju y = f(x) u tački (x, y). Geometrijski je očigledno da u tačkama maksimuma ili minimuma glatke krive y = f(x) tangenta na krivinu mora nužno biti horizontalna, odnosno nagib mora biti nula. Tako dobijamo uslov za tačke ekstrema f"(x) = 0.
Da bi bilo jasno šta derivacija f"(x) znači na nulu, razmotrite krivu prikazanu na slici 191. Ovdje vidimo pet tačaka A, B, C, D, ?, u kojima je tangenta na krivu horizontalna; označavamo odgovarajuće vrijednosti f(x) u ovim tačkama sa a, b, c, d, e. Najveća vrijednost f(x) (unutar površine prikazane na crtežu) postiže se u tački D, najmanja - u tački A. U tački B postoji maksimum - u smislu da u svim tačkama neki komšiluk u tački B, vrijednost f(x) je manja od b, iako je u tačkama blizu D vrijednost f(x) i dalje veća od b. Iz tog razloga, uobičajeno je reći da u tački B postoji relativni maksimum funkcije f(x), dok je u tački D - apsolutni maksimum. Slično, u tački C imamo relativni minimum, i u tački A apsolutni minimum. Konačno, što se tiče tačke E, u njoj nema ni maksimuma ni minimuma, iako je jednakost f"(x) = Q, Slijedi da je nestanak derivacije f "(x). neophodno, ali nikako dovoljno uslov za pojavu ekstremuma glatke funkcije f(x); drugim riječima, u bilo kojoj tački gdje postoji ekstrem (apsolutni ili relativni), jednakost f"(x) = 0, ali ne bilo gdje f"(x) = 0, mora biti ekstrem. One tačke u kojima derivacija f"(x) nestaje, bez obzira da li imaju ekstrem, nazivaju se stacionarno. Daljnja analiza dovodi do manje ili više složenih uslova koji se tiču viših izvoda funkcije f(x) i potpuno karakterišu maksimume, minimume i druge stacionarne tačke.
Domen funkcije, izračunajte njen izvod, pronađite domenu izvoda funkcije, pronađite bodova konverzijom derivacije u nulu, dokazati da pronađene tačke pripadaju domeni definicije originalne funkcije.
Primjer 1 Identifikujte kritično bodova funkcije y = (x - 3)² (x-2).
Rješenje Pronađite domenu funkcije, u ovom slučaju nema ograničenja: x ∈ (-∞; +∞); Izračunajte izvod y’. Prema pravilima diferencijacije proizvoda dva, postoji: y' = ((x - 3)²)' (x - 2) + (x - 3)² (x - 2)' = 2 (x - 3) (x - 2) + (x - 3)² 1. Nakon što se ispostavi kvadratna jednačina: y' = 3 x² - 16 x + 21.
Odredite domenu derivacije funkcije: x ∈ (-∞; +∞).Riješite jednačinu 3 x² - 16 x + 21 = 0 da biste pronašli za šta ona nestaje: 3 x² - 16 x + 21 = 0 .
D \u003d 256 - 252 \u003d 4x1 \u003d (16 + 2) / 6 \u003d 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3 Dakle, derivacija nestaje za x vrijednosti jednake 3 i 7/3.
Odredite pripadaju li pronađeni bodova domene originalne funkcije. Pošto je x (-∞; +∞), onda oba ova bodova su kritični.
Primjer 2 Identifikujte kritično bodova funkcije y = x² - 2/x.
Područje rješenja funkcije: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞) jer je x u nazivniku. Izračunajte izvod y’ = 2 x + 2/x².
Domen derivacije funkcije je isti kao i izvorne: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞).Riješi jednačinu 2 x + 2/x² = 0:2 x = -2 /x² → x = -jedan.
Dakle, derivacija nestaje na x = -1. Neophodan, ali nedovoljan uslov kritičnosti je zadovoljen. Pošto x=-1 spada u interval (-∞; 0) ∪ (0; +∞), ova tačka je kritična.
Izvori:
- Kritični obim prodaje, pcsThreshold
Mnoge žene pate od predmenstrualnog sindroma, koji se manifestira ne samo bolnim osjećajima, već i povećanim apetitom. Kao rezultat kritičnih dana može značajno usporiti proces mršavljenja.
Uzroci povećanog apetita tokom kritičnih dana
Razlog za povećanje apetita u periodu kritičnih dana je promjena u općoj hormonskoj pozadini žensko tijelo. Nekoliko dana prije početka menstruacije, nivo hormona progesterona raste, tijelo se prilagođava mogućem i pokušava napraviti dodatne energetske rezerve u vidu tjelesne masti, čak i ako žena sjedi. Dakle, promjena težine u kritičnim danima je normalna pojava.
Kako se hraniti tokom menstruacije
Pokušajte da ovih dana ne jedete slatkiše, slatkiše i drugu visokokaloričnu hranu koja sadrži "brzo". Njihov višak će se odmah deponovati u masti. Mnoge žene u ovom periodu zaista žele da jedu čokoladu, u ovom slučaju možete kupiti crnu čokoladu i počastiti se sa nekoliko kriški, ali ne više. Tokom menstruacije ne treba konzumirati alkoholna pića, marinade, kisele krastavce, dimljeno meso, sjemenke i orašaste plodove. Kiseli krastavčići i dimljeno meso općenito treba ograničiti u prehrani 6-8 dana prije početka menstruacije, jer takvi proizvodi povećavaju rezerve vode u tijelu, a ovaj period karakterizira povećanje nakupljanja tekućine. Da biste smanjili količinu soli u prehrani, dodajte je u minimalnoj količini u gotova jela.
Preporučuje se upotreba nemasnih mliječnih proizvoda, biljne hrane, žitarica. Mahunarke, kuhani krumpir, riža će biti korisni - proizvodi koji sadrže "spore" ugljikohidrate. Plodovi mora, jetra, riba, govedina, živina, jaja, mahunarke, sušeno voće pomoći će da se nadoknadi gubitak željeza. Pšenične mekinje će biti korisne. Oticanje je prirodna reakcija tokom menstruacije. Lagane diuretičke biljke pomoći će u ispravljanju stanja: bosiljak, kopar, peršun, celer. Mogu se koristiti kao začin. U drugoj polovini ciklusa preporučuje se konzumacija proteinskih proizvoda (masno meso i riba, mliječni proizvodi), a količinu ugljikohidrata u prehrani treba što više smanjiti.
Ekonomski koncept kritičnog volumena prodaja odgovara položaju preduzeća na tržištu, na kojem je prihod od prodaje robe minimalan. Ova situacija se zove tačka rentabilnosti, kada potražnja za proizvodima opada, a profit jedva pokriva troškove. Za određivanje kritične zapremine prodaja koristiti nekoliko metoda.
Uputstvo
Radni ciklus nije ograničen na njegove aktivnosti - proizvodnju ili usluge. Radi se o složenom radu određene strukture, uključujući rad ključnog osoblja, rukovodnog osoblja, menadžera itd., kao i ekonomista, čiji je zadatak da finansijsku analizu preduzeća.
Svrha ove analize je da se izračunaju neke količine koje u ovoj ili onoj mjeri utiču na veličinu konačnog profita. to različite vrste obim proizvodnje i prodaje, puni i prosječni, pokazatelji potražnje itd. Glavni zadatak je identificirati takav obim proizvodnje pri kojem se uspostavlja stabilan odnos između troškova i dobiti.
Minimalni volumen prodaja, pri čemu prihod u potpunosti pokriva troškove, ali se ne povećava kapital kompanije se naziva kritični volumen prodaja. Postoje tri metode za izračunavanje metoda ovog indikatora: metod jednačina, granični prihod i grafički.
Za određivanje kritične zapremine prodaja prema prvoj metodi, napravite jednačinu oblika: Vp - Zper - Zpos = Pp = 0, gdje je: Vp - prihod od prodaja i Zper i Zpos - varijabilni i fiksni troškovi Pp - dobit od prodaja i.
Prema drugoj metodi, prvi pojam, prihod od prodaja, predstavljaju kao proizvod graničnog prihoda od jedinice robe po zapremini prodaja Isto važi i za varijabilne troškove. fiksni troškovi primjenjuje se na cijelu seriju robe, pa ovu komponentu ostavite zajedničkom: MD N - Zper1 N - Zpos = 0.
Izrazite vrijednost N iz ove jednačine i dobićete kritični volumen prodaja:N = Zpos / (MD - Zper1), gdje je Zper1 - varijabilni troškovi po jedinici robe.
Grafička metoda uključuje konstrukciju. Nacrtajte dvije linije na koordinatnoj ravni: funkciju prihoda od prodaja minus funkcija troškova i profita. Na x-osi iscrtajte obim proizvodnje, a na y-osi prihod od odgovarajuće količine robe, izražen u novčanim jedinicama. Tačka presjeka ovih linija odgovara kritičnom volumenu prodaja, pozicija rentabilnosti.
Izvori:
- kako prepoznati kritičan rad
Kritičko mišljenje je skup sudova na osnovu kojih se formiraju određeni zaključci i vrši procjena predmeta kritike. Posebno je karakterističan za istraživače i naučnike svih grana nauke. Kritičko mišljenje zauzima viši nivo od običnog mišljenja.
Vrijednost iskustva u formiranju kritičkog mišljenja
Teško je analizirati i donositi zaključke o onome što ne razumiješ dobro. Stoga, da bismo naučili kritičko razmišljati, potrebno je proučavati predmete u svim mogućim vezama i odnosima s drugim pojavama. Kao i veliki značaj u ovom slučaju, on posjeduje informacije o takvim objektima, sposobnost da izgradi logičke lance prosuđivanja i izvuče razumne zaključke.
Na primjer, prosudite vrijednost umetničko delo moguće je samo poznavanjem dovoljno drugih plodova književna aktivnost. Istovremeno, nije loše biti poznavalac istorije razvoja čovečanstva, nastanka književnosti i književna kritika. Izolirano od istorijskog konteksta, djelo može izgubiti smisao. Da bi procjena umjetničkog djela bila dovoljno potpuna i opravdana, potrebno je koristiti i svoje književno znanje koje uključuje pravila građenja umjetnički tekst u okviru pojedinih žanrova, sistem različitih književnih sredstava, klasifikacija i analiza postojećih stilova i pravaca u književnosti itd. Istovremeno, važno je i proučavanje unutrašnje logike radnje, redoslijeda radnji, smještaja i interakcije likova u umjetničkom djelu.
Osobine kritičkog mišljenja
Ostale karakteristike kritičkog mišljenja uključuju:
- znanje o predmetu koji se proučava je samo polazna tačka za dalju aktivnost mozga vezanu za izgradnju logičkih lanaca;
- konzistentno izgrađeno i zasnovano na zdravom razumu rasuđivanje vodi ka identifikaciji istinitih i pogrešnih informacija o objektu koji se proučava;
- kritičko mišljenje je uvijek povezano sa procjenom dostupnih informacija o datom objektu i odgovarajućim zaključcima, dok je procjena, pak, povezana sa postojećim vještinama.
Za razliku od običnog mišljenja, kritičko mišljenje nije podložno slijepoj vjeri. Kritičko mišljenje omogućava korištenje čitavog sistema sudova o predmetu kritike kako bi se shvatila njegova suština, otkrilo pravo znanje o njemu i opovrglo lažno. Zasniva se na logici, dubini i potpunosti proučavanja, istinitosti, adekvatnosti i konzistentnosti sudova. Istovremeno, očigledne i dokazane tvrdnje prihvataju se kao postulati i ne zahtijevaju ponovno dokazivanje i ocjenjivanje.
Kritične tačke su tačke u kojima je derivacija funkcije jednaka nuli ili ne postoji. Ako je izvod 0 onda funkcija u toj tački uzima lokalni minimum ili maksimum. Na grafu u takvim tačkama funkcija ima horizontalnu asimptotu, odnosno tangenta je paralelna sa Ox osi.
Takve tačke se nazivaju stacionarno. Ako vidite „grbu“ ili „rupu“ na kontinuiranoj funkcijskoj tablici, zapamtite da je maksimum ili minimum dostignut na kritičnoj tački. Razmotrite sljedeći zadatak kao primjer.
Primjer 1 Pronađite kritične tačke funkcije y=2x^3-3x^2+5.
Rješenje. Algoritam za pronalaženje kritičnih tačaka je sljedeći:
Dakle, funkcija ima dvije kritične tačke.
Nadalje, ako trebate proučiti funkciju, tada određujemo predznak derivacije lijevo i desno od kritične točke. Ako derivacija promijeni predznak iz "-" u "+" kada prolazi kroz kritičnu tačku, tada funkcija preuzima lokalni minimum. Ako od "+" do "-" treba lokalni maksimum.
Druga vrsta kritičnih tačaka to su nule nazivnika razlomaka i iracionalnih funkcija
Funkcije s logaritmima i trigonometrijama koje nisu definirane u ovim točkama 
Treća vrsta kritičnih tačaka imaju kontinualne funkcije i module.
Na primjer, bilo koji modul-funkcija ima minimum ili maksimum u tački prekida.
Na primjer modul y = | x -5 | u tački x = 5 ima minimum (kritična tačka).
Izvod u njemu ne postoji, ali na desnoj i lijevoj strani uzima vrijednost 1, odnosno -1.
Pokušajte identificirati kritične točke funkcija
1)
2)
3)
4)
5)
Ako kao odgovor dobijete vrijednost
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1.
onda već znaš kako pronaći kritične tačke i biti u stanju da se nosi sa jednostavnom kontrolom ili testovima.
definicije:
ekstrem zove maksimum minimalna vrijednost funkcije na datom skupu.
ekstremna tačka je tačka u kojoj se postiže maksimalna ili minimalna vrijednost funkcije.
Maksimalni poen je tačka u kojoj se postiže maksimalna vrijednost funkcije.
Niska tačka je tačka u kojoj se postiže minimalna vrijednost funkcije.
Objašnjenje.
Na slici, u blizini tačke x = 3, funkcija dostiže svoju maksimalnu vrijednost (tj. u blizini ove određene tačke nema više tačke). U okolini x = 8, ona opet ima maksimalnu vrijednost (opet, da pojasnimo: u tom susjedstvu nema točke iznad). U ovim tačkama povećanje se zamjenjuje smanjenjem. To su maksimalni bodovi:
xmax = 3, xmax = 8.
U blizini tačke x = 5 postiže se minimalna vrijednost funkcije (tj. u blizini x = 5 nema tačke ispod). U ovom trenutku, smanjenje se zamjenjuje povećanjem. To je minimalna tačka:
Maksimalni i minimalni bodovi su ekstremne tačke funkcije, a vrijednosti funkcije u tim točkama su njene ekstremi.
Kritične i stacionarne tačke funkcije:
Neophodan uslov za ekstremum:
Dovoljan uslov za ekstrem:
Na segmentu, funkcija y = f(x) može doseći najmanji ili najveća vrednost bilo na kritičnim tačkama ili na krajevima segmenta.
Algoritam za proučavanje kontinuirane funkcijey = f(x) za monotonost i ekstreme:
