Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo nam omogućavaju da vas kontaktiramo i informišemo o tome jedinstvene ponude, promocije i drugi događaji i nadolazeći događaji.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Logaritam pozitivnog broja b prema bazi a (a>0, a nije jednako 1) je broj c takav da je a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Imajte na umu da je logaritam nepozitivnog broja nedefiniran. Osim toga, baza logaritma mora biti pozitivan broj koji nije jednak 1. Na primjer, ako kvadriramo -2, dobićemo broj 4, ali to ne znači da je logaritam na osnovu -2 od 4 je jednako 2.

Osnovni logaritamski identitet

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Važno je da je obim definicije desne i lijeve strane ove formule različit. Lijeva strana je definirana samo za b>0, a>0 i a ≠ 1. Desna strana je definirana za bilo koje b i uopće ne ovisi o a. Dakle, primjena osnovnog logaritamskog “identiteta” pri rješavanju jednačina i nejednačina može dovesti do promjene OD-a.

Dvije očigledne posljedice definicije logaritma

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Zaista, kada broj a podignemo na prvi stepen, dobijamo isti broj, a kada ga podignemo na nulti stepen dobijamo jedan.

Logaritam proizvoda i logaritam količnika

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Želio bih upozoriti školarce na nepromišljenu primjenu ovih formula prilikom rješavanja logaritamske jednačine i nejednakosti. Kada ih koristite “s lijeva na desno”, ODZ se sužava, a kada se prelazi sa zbira ili razlike logaritama na logaritam proizvoda ili količnika, ODZ se širi.

Zaista, izraz log a (f (x) g (x)) je definiran u dva slučaja: kada su obje funkcije striktno pozitivne ili kada su f(x) i g(x) oba manje od nule.

Transformirajući ovaj izraz u zbir log a f (x) + log a g (x), primorani smo da se ograničimo samo na slučaj kada je f(x)>0 i g(x)>0. Dolazi do sužavanja raspona prihvatljivih vrijednosti, a to je kategorički neprihvatljivo, jer može dovesti do gubitka rješenja. Sličan problem postoji i za formulu (6).

Stepen se može izvaditi iz predznaka logaritma

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

I opet bih želeo da pozovem na tačnost. Razmotrite sljedeći primjer:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Lijeva strana jednakosti je očito definirana za sve vrijednosti f(x) osim nule. Desna strana je samo za f(x)>0! Izuzimanjem stepena iz logaritma, ponovo sužavamo ODZ. Obrnuti postupak dovodi do proširenja raspona prihvatljivih vrijednosti. Sve ove primjedbe ne odnose se samo na snagu 2, već i na bilo koju ravnomjernu snagu.

Formula za prelazak na novu osnovu

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Taj rijedak slučaj kada se ODZ ne mijenja tokom transformacije. Ako ste mudro odabrali bazu c (pozitivna i nije jednaka 1), formula za prelazak na novu bazu je potpuno sigurna.

Ako odaberemo broj b kao novu bazu c, dobićemo važan poseban slučaj formule (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Nekoliko jednostavnih primjera s logaritmima

Primjer 1. Izračunajte: log2 + log50.
Rješenje. log2 + log50 = log100 = 2. Koristili smo zbir logaritama formule (5) i definiciju decimalnog logaritma.

Primjer 2. Izračunajte: lg125/lg5.
Rješenje. log125/log5 = log 5 125 = 3. Koristili smo formulu za prelazak na novu bazu (8).

Tabela formula vezanih za logaritme

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

log a r b r =log a b ili log a b= log a r b r

Vrijednost logaritma se neće promijeniti ako se baza logaritma i broj pod predznakom logaritma podignu na isti stepen.

Pod znakom logaritma mogu biti samo pozitivni brojevi, a osnova logaritma nije jednaka jedinici.

Primjeri.

1) Uporedite log 3 9 i log 9 81.

log 3 9=2, pošto je 3 2 =9;

log 9 81=2, pošto je 9 2 =81.

Dakle, log 3 9=log 9 81.

Imajte na umu da je osnova drugog logaritma jednaka kvadratu osnove prvog logaritma: 9=3 2, a broj pod znakom drugog logaritma jednak je kvadratu broja pod znakom prvog logaritam: 81=9 2. Ispada da su i broj i baza prvog logaritma log 3 9 podignuti na drugi stepen, a vrijednost logaritma se nije promijenila iz ovoga:

Sljedeće, od vađenja korijena n stepena iz redova A je podizanje broja A do stepena ( 1/n), tada iz log 9 81 možete dobiti log 3 9 uzimajući kvadratni korijen broja i osnovicu logaritma:

2) Provjerite jednakost: log 4 25=log 0,5 0,2.

Pogledajmo prvi logaritam. Uzimanje kvadratnog korijena baze 4 i iz redova 25 ; dobijamo: log 4 25=log 2 5.

Pogledajmo drugi logaritam. Baza logaritma: 0,5= 1 / 2. Broj pod znakom ovog logaritma: 0,2= 1/5. Podignimo svaki od ovih brojeva na minus prvi stepen:

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

Dakle, log 0,5 0,2=log 2 5. Zaključak: ova jednakost je tačna.

Riješite jednačinu:

log 4 x 4 +log 16 81=log 2 (5x+2). Smanjimo logaritme s lijeve strane na bazu 2 .

log 2 x 2 +log 2 3=log 2 (5x+2). Uzmite kvadratni korijen broja i osnovicu prvog logaritma. Izvucite četvrti korijen broja i bazu drugog logaritma.

log 2 (3x 2)=log 2 (5x+2). Pretvorite zbir logaritama u logaritam proizvoda.

3x 2 =5x+2. Primljeno nakon potenciranja.

3x 2 -5x-2=0. Kvadratnu jednačinu rješavamo koristeći opću formulu za kompletnu kvadratnu jednačinu:

a=3, b=-5, c=-2.

D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 prava korena.

Ispitivanje.

x=2.

log 4 2 4 +log 16 81=log 2 (5∙2+2);

log 2 2 2 +log 2 3=log 2 12;

log 2 (4∙3)=log 2 12;

log 2 12=log 2 12;

log a n b=(1/ n)∙ log a b

Logaritam broja b na osnovu a n jednak proizvodu razlomka 1/ n na logaritam broja b na osnovu a.

Nađi:1) 21log 8 3+40log 25 2; 2) 30log 32 3∙log 125 2 , ako se to zna log 2 3=b,log 5 2=c.

Rješenje.

Riješite jednačine:

1) log 2 x+log 4 x+log 16 x=5,25.

Rješenje.

Smanjimo ove logaritme na bazu 2. Primijenimo formulu: log a n b=(1/ n)∙ log a b

log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5,25;

log 2 x+0,5log 2 x+0,25log 2 x=5,25. Evo sličnih pojmova:

(1+0,5+0,25) log 2 x=5,25;

1,75 log 2 x=5,25 |:1,75

log 2 x=3. Po definiciji logaritma:

2) 0,5log 4 (x-2)+log 16 (x-3)=0,25.

Rješenje. Pretvorimo logaritam na osnovu 16 u bazu 4.

0,5log 4 (x-2)+0,5log 4 (x-3)=0,25 |:0,5

log 4 (x-2)+log 4 (x-3)=0,5. Pretvorimo zbir logaritama u logaritam proizvoda.

log 4 ((x-2)(x-3))=0,5;

log 4 (x 2 -2x-3x+6)=0,5;

log 4 (x 2 -5x+6)=0,5. Po definiciji logaritma:

x 2 -5x+4=0. Prema Vietovoj teoremi:

x 1 =1; x 2 =4. Prva vrijednost x neće raditi, jer kod x = 1 logaritmi ove jednakosti ne postoje, jer Pod znakom logaritma mogu biti samo pozitivni brojevi.

Provjerimo ovu jednačinu na x=4.

Ispitivanje.

0,5log 4 (4-2)+log 16 (4-3)=0,25

0,5log 4 2+log 16 1=0,25

0,5∙0,5+0=0,25

log a b=log c b/log c a

Logaritam broja b na osnovu A jednako logaritmu brojevi b na novoj osnovi With, podijeljeno logaritmom stare baze A na novoj osnovi With.

primjeri:

1) log 2 3=lg3/lg2;

2) log 8 7=ln7/ln8.

Izračunati:

1) dnevnik 5 7, ako se to zna lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.

c b / log c a.

log 5 7=log7/log5≈0,8451:0,6990≈1,2090.

odgovor: dnevnik 5 7≈1,209 0≈1,209 .

2) log 5 7 , ako se to zna ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.

Rješenje. Primijenite formulu: log a b =log c b / log c a.

log 5 7=ln7/ln5≈1.9459:1.6094≈1.2091.

odgovor: dnevnik 5 7≈1,209 1≈1,209 .

Nađi x:

1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.

Koristimo formulu: log c b / log c a = log a b . Dobijamo:

log 3 x=log 3 4+log 3 6+log 3 8;

log 3 x=log 3 (4∙6∙8);

log 3 x=log 3 192;

x=192 .

2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10.

Koristimo formulu: log c b / log c a = log a b . Dobijamo:

log 7 x=lg143-lg11-lg13;

log 7 x=lg143- (lg11+lg13);

log 7 x=lg143-lg (11∙13);

log 7 x=lg143-lg143;

x=1.

Stranica 1 od 1 1

Jedan od elemenata primitivne algebre nivoa je logaritam. Ime dolazi od grčki jezik od riječi “broj” ili “snaga” i označava stepen do kojeg broj u bazi mora biti podignut da bi se pronašao konačni broj.

Vrste logaritama

• log a b – logaritam broja b prema bazi a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• log b – decimalni logaritam (logaritam na osnovu 10, a = 10);
• ln b – prirodni logaritam (logaritam prema bazi e, a = e).

Kako riješiti logaritme?

Logaritam od b prema bazi a je eksponent koji zahtijeva da se b podigne na bazu a. Dobijeni rezultat se izgovara ovako: "logaritam od b prema bazi a." Rješenje logaritamskih problema je da morate odrediti datu snagu u brojevima iz navedenih brojeva. Postoje neka osnovna pravila za određivanje ili rješavanje logaritma, kao i za pretvaranje same notacije. Koristeći ih, rješavaju se logaritamske jednadžbe, pronalaze derivati, rješavaju integrali i izvode mnoge druge operacije. U osnovi, rješenje samog logaritma je njegova pojednostavljena notacija. Ispod su osnovne formule i svojstva:

Za bilo koji a ; a > 0; a ≠ 1 i za bilo koji x ; y > 0.

• a log a b = b – osnovni logaritamski identitet
• log a 1 = 0
• loga a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , za k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – formula za prelazak na novu bazu
• log a x = 1/log x a

Kako riješiti logaritme - upute korak po korak za rješavanje

• Prvo zapišite traženu jednačinu.

Napomena: ako je osnovni logaritam 10, unos se skraćuje, što rezultira decimalnim logaritmom. Ako vredi prirodni broj e, onda ga zapisujemo, svodeći ga na prirodni logaritam. To znači da je rezultat svih logaritama snaga na koju se podiže osnovni broj da bi se dobio broj b.

Direktno, rješenje leži u izračunavanju ovog stepena. Prije rješavanja izraza logaritmom, on se mora pojednostaviti prema pravilu, odnosno korištenjem formula. Glavne identitete možete pronaći ako se malo vratite u članak.

Kada sabirate i oduzimate logaritme sa dva različita broja, ali sa istim osnovama, zamijenite jednim logaritmom sa umnoškom ili podjelom brojeva b i c, respektivno. U tom slučaju možete primijeniti formulu za prelazak na drugu bazu (vidi gore).

Ako koristite izraze za pojednostavljenje logaritma, postoje neka ograničenja koja treba uzeti u obzir. A to je: osnova logaritma a je samo pozitivan broj, ali ne i jedan. Broj b, kao i a, mora biti veći od nule.

Postoje slučajevi u kojima, pojednostavljivanjem izraza, nećete moći numerički izračunati logaritam. Dešava se da takav izraz nema smisla, jer su mnoge potencije iracionalni brojevi. Pod ovim uslovom ostavite stepen broja kao logaritam.